Проверка статистической гипотезы о нормальном законе распределения случайной величины

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО ТОмский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОЛОГО-ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА КАРТОГРАФИИ И ГИС

Лабораторная работа №3

Проверка статистической гипотезы о нормальном

законе распределения случайной величины

Вариант 6

Выполнил: ст.981гр.

Васиковский В. А.

Проверил: ст.преп.

Войкова О.А.

Тюмень 2009 г.

Цель работы: приобрести навыки по овладению методом проверки статистической гипотезы о нормальном законе распределения изучаемой случайной величины.

Содержание работы:

1. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения с помощью критериев согласия:

· критерия Пирсона;

· критерия Романовского;

· критерия Ястремского;

· критерия Колмогорова.

2. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения с помощью приближенных методов:

· с использованием σв
;

· с использованием as
и ek
;

· графическим методом.

3. Графическая иллюстрация сходства (или расхождения) эмпирического распределения с теоретическим.

Вариант 6

Дана себестоимость продукции в рублях

xi	5	7	9	11	13	15	17
mi	3	8	24	31	23	7	4

Этап I

Представление исходных данных в виде дискретного вариационного ряда и вычисление необходимых числовых характеристик

1. Представим исходные данные в виде дискретного вариационного ряда частот.

xi	5	7	9	11	13	15	17
mi	3	8	24	31	23	7	4

2. Вычислим числовые характеристики. Промежуточные расчеты оформим в виде таблицы:

xi	mi	ui	mi *ui	mi *ui 2	mi *ui 3	mi *ui 4
5	3	-3	-9	27	-81	243
7	8	-2	-16	32	-64	128
9	24	-1	-24	24	-24	24
11	31	0	0	0	0	0
13	23	1	23	23	23	23
15	7	2	14	28	56	112
17	4	3	12	36	108	324
			∑=0	∑=170	∑=18	∑=854

Непосредственный подсчет числовых характеристик:

В условных вариантах	В исходных вариантах
М1 * =0/100=0
М2 * =170/100=1,7
М3 * =18/100=0,18
М4 * =854/100=8,54
xв =0	xв =0*2+11=11
Dв =m2 = М2 * -( М1 * )2 =1,7	Dв =1,7*22 =6,8
	σв =√6,8=2,6
m3 (U)=0,18-3*1,7*0+2*03 =0,18	m3 (х)=0,18*23 =1,44
m4 (U)=8,54-4*0,18*0+6*1,7*02 -3*04 =8,4	m4 (х)=8,54*24 =136,64
	as = m3 / σв 3 =1,44/17,6=0,08
	ek =m4 /σв 4 -3=136,64/45,7-3=-0,02
	Vσ =2,6/11*100%=23,6%

Этап II

Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

с помощью критериев согласия

3. Вычисление теоретических частот.

n*h/σв
=100*2/2,6=76,9

xi	mi	xi -xв	Ui = xi -xв /σв	φ(Ui )	nh/σв *φ(Ui )	mi ´
5	3	-6	-2,3	0,0283	2,17	2,2
7	8	-4	-1,5	0,1295	9,95	10
9	24	-2	-0,8	0,2897	22,27	22,3
11	31	0	0	0,3989	30,67	30,7
13	23	2	0,8	0,2897	22,27	22,3
15	7	4	1,5	0,1295	9,95	10
17	4	6	2,3	0,0283	2,17	2,2
						∑=100

4. Вычисление наблюдаемого значения χ2
.

mi	mi ´	mi -mi ´	(mi -mi ´ )2	(mi -mi ´ )2 /mi
3	2,2	0,8	0,64	0,2
8	10	-2	4	0,5
24	22,3	1,7	1,36	0,06
31 />	30,7	0,3	0,09	0,003
23	22,3	0,7	0,49	0,02
7	10	-3	9	1,3
4	2,2	1,8	3,24	0,8
				∑=2,88

χ2
набл
=2,88

5. К=7-3=4

6. Для нахождения табличного значения зададимся уровнем значимости L=0,05,

χ2
табл
(0,05;4)=9,49

7. Сравним χ2
набл
и χ2
табл
; 2,88<9,49; χ2
набл
<χ2
табл
, то эмпирические данные не противоречат предположению о нормальном их распределении, т.е. гипотеза о нормальном законе распределения принимается на уровне значимости 0,05*P(χ2
набл
;γ)=P(2,88;4)≈0,95>1.

8. Для применения критерия Романовского подсчитаем величину выражения:

Р=׀ χ2
набл
-К׀/√2К=׀2,88-4׀/√2*4=׀-1,12׀/2,83≈0,4

9. Так как 0,4<3, то гипотеза о нормальном законе распределения.

10. Для применения критерия Ястремского подсчитаем величину

Р=׀ χ2
набл
-S׀/√2n+4*0,6=׀2,88-7׀/√2*100+4*0,6=׀-4,12׀/202,4≈0,02

11. Так, как 0,02<3, то гипотеза о нормальном распределении принимается.

12. 13. Для применения критерия Колмогорова, необходимо подсчитать величину D. Для подсчета накопленных частот и разности между ними составим таблицу:

xi	mi	mi ´	Mi	Mi ´	Mi -Mi ´	׀Mi -Mi ´׀
5	3	2,2	1	2,2	-1,2	1,2
7	8	10	9	12,2	-3,2	3,2
9	24	22,3	33	34,5	-1,5	1,5
11	31	30,7	64	65,2	-1,2	1,2
13	23	22,3	87	87,5	-0,5	0,5
15	7	10	94	97,5	-3,5	3,5
17	4	2,2	98	99,7	-1,7	1,7

14. D=max׀m-m´׀=1,7

15. λ=D/√n=1,7/√100≈0,17

16. По специальной таблице находим Р(λ)=Р(0,17)=0,000

17. Так как 0,000<0,05,то гипотезу о нормальном распределении следует принять.

Этап III

Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

с помощью приближенных методов

18. Приближенная проверка с использованием значений σв
.

0,3σв
=0,3*2,6=0,78;

0,7σв
=0,7*2,6=1,82;

1,1σв
=1,1*2,6=2,86;

3,0σв
=3,0*2,6=7,8.

19. Вычисление границ интервалов

№1: 11±0,78→[11,78; 10,22]

№2: 11±1,82→[12,82; 9,18]

№3: 11±2,86→[13,86; 8,14]

№4: 11±7,8→[18,8; 3,2]

20. Подсчитаем число значении, попавших в последний интервал

mN
1
=31;

mN
2
=11;

mN
3
=33;

mN
4
=77;

21. mN
1/
n=0,31; mN
2 /
n=0,11; mN
3/
n=0,33; mN
4 /
n=0,77

22. Приближенная проверка с помощью as
и ek
.

as
= m3
/ σв
3
=0,081

ek
=m4
/σв
4
-3=136,64/45,7-3=-0,011

23. Подсчитаем несмещенные оценки

as
=√n(n-1)/n-2*as
=√100*99/98*(0,08)=0,08;

24. Вычислим средние квадратические отклонения Sa
, Se
.

Sa
=√6n(n-1)/(n-2)(n-1)(n+3)=√59400/999306=√0,0594412=0,2438

Se
=√24(n-1)2
/(n-3)(n-2)(n+3)(n+5)=√235224/1,03=√228372,81=0,048

25. Проверим выполнимость условий

׀as
׀≤3Sa
; 0,08≤0,72

׀ek
׀≤5Se
; 0,04≤0,24

Вывод: Изучаемое эмпирическое распределение скорее всего подчиняется нормальному закону распределения.

Графическая проверка.

26. От дискретного вариационного ряда перейдем к интервальному, учитывая, что данные значения вариант есть середины интервалов, длины которых равны 2.

xi	5	7	9	11	13	15	17
mi	3	8	24	31	23	17	4

xi -xi+1	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18
mi	3	8	24	31	23	17	4

27. 28. 29. Составим расчетную таблицу для подсчета накопленных частот и нахождения квантилей:

i	xi	mi	∑mi	Pi =∑mi /n	Pi *100%	Up
1	5	3	3	0,03	3	0,382
2	7	8	11	0,11	11	0,456
3	9	24	35	0,35	35	0,298
4	11	31	66	0,66	66	0,255
5	13	23	89	0,89	89	0,164
6	15	7	96	0,96	96	0,245
7	17	4	100	1	100	0,159

30. В прямоугольной системе координат построим точки с координатами:

(5; 0,382), (7; 0,456), (9; 0,298), (11; 0,255), (13; 0,164), (15; 0,245), (17; 0,159).

Вывод:
Так как точки располагаются вблизи некоторой прямой, то есть основания предполагать, что эмпирическое распределение подчиняется нормальному закону.

Этап IV.

31. Увидеть величину расхождения поможет построение соответствующих графиков.

Точки теоретического распределения соединены светлой линией, эмпирического – темнее.

(xi;
mi):
(
5
;3), (
7
;
8
), (
9
; 2
4
), (
11
;31), (
13
; 2
3
), (
15
;
7
), (
17
;4)

(
xi;
mi
´
): (5; 2,2), (7;10), (9;22,3), (11;30,7), (13;22,3), (15;10), (17;2,2)