Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах

Пошукова робота на тему:

Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах.

П
лан

Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах
Подвійний інтеграл в полярних координатах

Обчислення подвійного інтеграла

При
одержимо подвійний інтеграл

.

1. Обчислення подвійного інтеграла

в декартових координатах

Обчислюючи подвійний інтеграл, будемо опиратися на той факт, що він виражає об’єм
циліндричного тіла з основою
, обмеженого поверхнею
. Нагадаємо, що задача про об’єм тіла розглядалася при вивченні застосування означеного інтеграла до задач геометрії. Дістали формулу

, (11.16)

Рис.11.4 Рис.11.5

де
- площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі
, а
і
- рівняння площин, що обмежують тіло. Застосуємо тепер цю формулу для обчислення подвійного інтеграла.

Припустимо спочатку, що область
задовольняє таку умову: будь-яка пряма, паралельна осі
, перетинає границю області не більше , ніж у двох точках. Називатимемо таку область правильною
в напрямі осі
, або правильною
в напрямі осі
.

На рис. 11.4 зображено циліндричне тіло. Область
беремо в прямокутник
, сторони якого дотикаються до межі області в точках
Інтервал
є ортогональною проекцією області
на вісь
, а інтервал
- ортогональною проекцією області
на вісь
. На рис. 11.5 область
показана в площині

Точками
і
границя розбивається на дві лінії:
і
, кожна з яких перетинається з будь-якою прямою, паралельною осі
, в одній точці. Тому рівняння цих ліній запишуться так:

:
,
:
.

Так само точками
і
межа області
розбивається на лінії
і
, рівняння яких:

.

Розітнемо циліндричне тіло довільною площиною, паралельною площині
, тобто
(рис. 11.4). В перерізі матимемо криволінійну трапецію
, площа якої визначається інтегралом від функції
, що розглядається як функція однієї змінної
, причому
змінюється від ординати точки
до ординати точки
. Точка
називається точкою входу прямої
в область
, а точка
- точкою виходу із області. Із рівняння ліній
і
випливає , що ординати цих точок при взятому
дорівнюють
і
. Отже, інтеграл

дає вираз для плоского перерізу
. Величина цього інтеграла залежить від вибраного
, тобто є функцією
. Позначивши його через
, маємо:

. (11.17)

Згідно з формулою (11.16) об’єм усього тіла дорівнюватиме інтегралу від
, якщо
.

Рис.11.6

Замінюючи у формулі (11.16)
її виразом (11.17), дістаємо

або в зручнішій формі

. (11.18)

Міняючи
і
місцями, можна вивести й формулу:

. (11.19)

З (11.18) і (11.19) бачимо, що значення повторного інтеграла (що стоїть у правій частині рівності (11.18) або (11.19) ) не залежить від порядку інтегрування за різними аргументами:

.

Формули (11.18) і (11.19) показують, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до послідовного обчислення двох звичайних визначених інтегралів; потрібно тільки пам’ятати, що у внутрішньому інтегралі одна зі змінних при інтегруванні вважається сталою величиною. Формули (11.18) і (11.19) зведення подвійного інтеграла до повторного набирають простого вигляду, коли область
буде прямокутником зі сторонами, паралельними осям координат (рис. 11.6). В цьому разі сталими стають межі інтегрування не тільки в зовнішньому, а й у внутрішньому інтегралі:

.

Отже, подвійний інтеграл можна обчислювати за такою схемою:

1. Спроектувати область
на вісь
(знайти точки
і
).

2. Провести пряму, паралельну осі
, яка перетинає межу області в точках входу в область і виходу з неї. Записати рівняння цих меж, тобто рівняння
і
.

3. Розставити межі інтегрування за змінною
і змінною