Санкт-Петербургский Государственный Университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Кафедра диагностики функциональных систем
Анализ зависимости между УК в крови больных СКВ и степенью тяжести поражения почек
Курсовая работа
Варламова
Александра
Александровна
Научный руководитель
доктор медицинских наук, профессор Шишкин В.И.
Санкт-Петербург 2008
Содержание
§1. Введение
§2. Постановка задачи
§3. Используемые методы
1. Дисперсионный анализ по одному признаку для проверки равенства нескольких средних
2. Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку с применением критерия Краскала-Уоллиса для нескольких независимых выборок
3. Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку с применением критерия Джонкхиера для нескольких выборок, упорядоченных по возрастанию влияния фактора
§4.Вывод
§5. Список литературы
§1. Введение
Формулировка проблемы
Изложим проблемную ситуацию, имеющую место в настоящее время в решении задач обработки результатов исследований. Известно, что в распоряжении исследователей имеется большая и постоянно растущая в объеме база данных результатов измерений из разных областей естествознания: астрономии, экспериментальной физики, экономики, биологии, медицины.
По мнению автора, сформировавшемуся вследствии ознакомления с содержанием официальных высказываний ведущих политиков и ученых мира, наибольшего развития в 21 веке среди других наук достигнут биология и медицина. Известно и напечатано, например, в книге Е.В. Гублера "Информатика в патологии, клинической медицине и педиатрии" [1] , что в этом аспекте решение задач обработки результатов измерений приобретает ключевое значение . Следуя рекомендациям пособия "Кандидатская диссертация" [2] выполним критический анализ ситуации, сложившейся в настоящее время в России в решении задач обработки результатов наблюдений. Уже на предварительном этапе исследования имеет место противоречивая ситуация: с одной стороны – обработка найденных в медицине результатов измерений является актуальной задачей в современной науке, с другой стороны – известно, что в медицинских ВУЗах математика, как дисциплина учебного процесса , практически не изучается. Следовательно, то что методы обработки данных медицинских исследований стали предоставляться математикам-специалистам, создает прецедент выдвижения медицины в число приоритетных направлений Российской науки.
Изложив проблемную ситуацию, перейдем к определению цели и объекта исследования.
§2. Постановка задачи
Предварительные замечания
Системные заболевания соединительной ткани, такие как системная красная волчанка , характеризуются прежде всего выраженной патологией по иммунологической компоненте. Мониторинг этого контингента больных позволяет отнести системные заболевания к числу крайне тяжелых недугов, поражающих людей в наиболее деятельный возрастной период ( в среднем 30-50 лет )[8] и приводящих к ранней инвалидизации, а порой и к летальным исходам. Усиливающееся год от года неблагоприятное воздействие окружающей среды приводит к росту иммунодефицитов различной этиологии, в том числе возрастает заболеваемость системными вариантами иммунокомплексных патологий.
В иммунокомплексных патологиях система комплемента играет важную, хотя и не всегда ясную, роль. Таким образом изучение динамики комплемента приобретает ключевое теоретическое и практическое значение. В связи с этим нами предпринят анализ зависимости уровня комплемента с тяжестью течения классического иммунокомплексного заболевания системной красной волчанкой.
Объект, предмет, цель и задача исследования
В качестве исходных данных для исследования даны выборки численных значений медико-биологических показателей человеческого организма, а именно: уровня комплемента в крови больных системной красной волчанкой ( в дальнейшем – СКВ) и степенью тяжести поражения почек. . В целях полноты изложения приведем необходимое определение : "Комплемент - система сывороточных белков, которая активируется комплексом антиген - антитело с образованием биологически-активных веществ, способных вызывать необратимые повреждения клеточных мембран. Комплемент является одним из факторов естественного иммунитета и широко применяется в диагностических иммунологических реакциях."[3, ст. 57]
Объектом нашего исследования являлись выборочные данные результатов измерений уровня комплемента ( в дальнейшем - УК), причем изучаемые данные представляют собой пять столбцов чисел ,в первом из которых представлены данные без нефрита, во втором с нефритом слабовыраженным, в третьем с нефритом средней выраженности, в четвертом с нефротическим синдром, а в пятом- с почечной недостаточностью.
Предмет исследования определяем, как нахождение зависимости УК в крови больных СКВ и степенью тяжести поражения почек.
§3. Используемые методы
Будем использовать методы биометрического анализа, основанные на проверке гипотез однородности выборок.[9]
1.
Дисперсионный анализ по одному признаку для проверки равенства нескольких средних
Во многих случаях практики интерес представляет вопрос о том, в какой мере существенно влияние того или иного фактора на рассматриваемый признак [9]. В данном случае фактором является степень поражения почек, а признаком - УК.
Научное обоснованное решение подобной задачи при некоторых предположениях составляет предмет дисперсионного анализа , введенного математиком- статистиком Р. А. Фишером.[10]
Статистическая модель
Выборки производятся из нормальных совокупностей. Первая выборка производиться из совокупности со средним, вторая - со средним , k-я из совокупности со средним . Все наблюдения независимы. Будем считать распределение данной мне совокупности нормальным.
Гипотезы №1.
Н0
: = =…=
Н1
: не все средние равны. все средние равны.
Критическая область.
Верхняя 5%-ная область Fk-1.
N
-
k
-распределения. В нашем случае F4,474
-распределения, так как k=4, а =n1
+ n2
+ n3
+ n4
+ n5
=479. Эта область определяется неравенством F>2.37. ( Определяется по таблице, см. Таблица А.4а на стр. 334 "Справочника по вычислительным методам статистики" Дж. Поллард [6] )
Вычисление значения критериальной статистики
Будем рассматривать исходные данные, представленные Таблицей №1.
Таблица №1.
Значения УК в зависимости от тяжести ГН.
| .Нет нефрита
Выборка объема n1
|
Слабый нефрит
Выборка объема n2
|
Средний нефрит Выборка объема n3
|
Нефротический синдром Выборка объема n4
|
Почечная недостаточность Выборка объема n5
|
| 36 | 11 | 7 | 10 | 20 |
| 38 | 35 | 27 | 5 | 20 |
| 40 | 37 | 6 | 6 | 21 |
| 31 | 15 | 5 | 15 | 24 |
| 33 | 40 | 40 | 20 | 3 |
| 33,8 | 0 | 5 | 25 | 12 |
| 37 | 33 | 45 | 28 | 10 |
| 38 | 33 | 45 | 32 | 0 |
| 33 | 5 | 46 | 46 | 18,2 |
| 37 | 40 | 45 | 33 | 46 |
| 48 | 25 | 24 | 44 | 10 |
| 40 | 33 | 24 | 25 | 0 |
| 42 | 50 | 43 | 22,5 | 20 |
| 35 | 25 | 24,5 | 24,5 | 30,4 |
| 15 | 20 | 20,5 | 38 | 0 |
| 35 | 50 | 9 | 12 | 33,3 |
| 48 | 50 | 12 | 54,7 | 14,7 |
| 45 | 18 | 32 | 20,7 | 34,1 |
| 38 | 20 | 43 | 0 | 22,4 |
| 15 | 33 | 35,5 | 26,1 | 17,8 |
| 13 | 43 | 44 | 11 | 33,5 |
| 40 | 10 | 50 | 11,7 | 29,6 |
| 40 | 12 | 34 | 34,4 | 13,6 |
| 38 | 23 | 12 | 0 | 35 |
| 32,7 | 34 | 0 | 0 | 37 |
| 60 | 30 | 25,1 | 42 | |
| 50 | 35 | 22,5 | 32,3 | |
| 51 | 22 | 31 | 16 | |
| 45 | 22,2 | 33 | 32,5 | |
| 25 | 20 | 41,9 | 39,3 | |
| 33 | 21 | 41,7 | 40,2 | |
| 33 | 22 | 37,1 | 0 | |
| 39 | 10 | 33,4 | 39,1 | |
| 35,8 | 37,4 | 33 | 37,7 | |
| 41,7 | 22,4 | 34,3 | 33,5 | |
| 38,2 | 35 | 33 | 43,8 | |
| 37,4 | 37,3 | 36,9 | 16 | |
| 10 | 39,6 | 41 | 16 | |
| 37,9 | 0 | 33 | 31 | |
| 39,3 | 32,8 | 32,15 | 52 | |
| 37,2 | 24 | 38,8 | 51 | |
| 37,8 | 25 | 48,1 | 33,5 | |
| 49,1 | 38 | 0 | 48 | |
| 36,15 | 29 | 0 | 27 | |
| 43,8 | 32 | 26,6 | 48 | |
| 40 | 32 | 52,8 | ||
| 40 | 20 | 27 | ||
| 36 | 32,3 | 13,6 | ||
| 45 | 10 | 10 | ||
| 43,5 | 33,9 | 19,5 | ||
| 35 | 45,74 | 51,2 | ||
| 35 | 0 | 40,4 | ||
| 19,5 | 49,1 | 46,05 | ||
| 24,2 | 38 | 0 | ||
| 33 | 0 | 25,2 | ||
| 40,4 | 43,5 | 28 | ||
| 30 | 32,3 | 27 | ||
| 36 | 41 | 35 | ||
| 10 | 40 | 29 | ||
| 25 | 29,7 | 50 | ||
| 30 | 30 | 20 | ||
| 32 | 27,6 | 0 | ||
| 31 | 21,4 | 15,6 | ||
| 45 | 23 | 35 | ||
| 20 | 34,3 | 0 | ||
| 45 | 18 | 46 | ||
| 15 | 50,4 | 59,2 | ||
| 30,4 | 48,2 | 0 | ||
| 50 | 37,3 | 22,5 | ||
| 46 | 35 | 0 | ||
| 35 | 25 | 24 | ||
| 15 | 20 | 45 | ||
| 18 | 38 | 28,9 | ||
| 28 | 47,5 | 30,5 | ||
| 36,7 | 37,9 | 45,5 | ||
| 47,8 | 40,3 | 43 | ||
| 39,2 | 60 | 34,7 | ||
| 36,5 | 34,1 | 32,6 | ||
| 32 | 46,7 | 38,4 | ||
| 45,7 | 39 | 37,15 | ||
| 46,9 | 31,4 | 39 | ||
| 15,6 | 32 | 52,15 | ||
| 34,1 | 42 | 52,2 | ||
| 44,7 | 43,8 | 0 | ||
| 26,5 | 39,1 | 0 | ||
| 36,6 | 16 | 0 | ||
| 30,3 | 26,5 | 33 | ||
| 47 | 43 | 43 | ||
| 50 | 36,9 | 46,6 | ||
| 52,2 | 29,4 | 59,3 | ||
| 38,5 | 30,6 | 0 | ||
| 41 | 35,6 | 15,5 | ||
| 40 | 38,7 | 21,2 | ||
| 45 | 38,2 | 22,8 | ||
| 25,5 | 26,1 | 28,3 | ||
| 27,7 | 43,2 | 28,15 | ||
| 22,5 | 46 | 38,5 | ||
| 45 | 35,6 | 26 | ||
| 33 | 32,4 | |||
| 48,3 | 50 | |||
| 47,5 | 50 | |||
| 32 | ||||
| 50 | ||||
| 35,6 | ||||
| 33,5 | ||||
| 56,9 | ||||
| 28,9 | ||||
| 40 | ||||
| 35,2 | ||||
| 42,5 | ||||
| 50 | ||||
| 46,2 | ||||
| 52,7 | ||||
| 49,1 | ||||
| 38 | ||||
| 33,7 | ||||
| 32,6 | ||||
| 30 | ||||
| 28,9 | ||||
| 44,4 | ||||
| 48,2 | ||||
| 38,15 | ||||
| 42 | ||||
| 28,4 | ||||
| 33,5 | ||||
| 39,4 | ||||
| 38,6 | ||||
| 34,3 | ||||
| 37,7 | ||||
| 27,3 | ||||
| 39,2 | ||||
| 29,2 | ||||
| 39,2 | ||||
| 33,5 | ||||
| 18 | ||||
| 31,2 | ||||
| 23,4 | ||||
| 36,9 | ||||
| 57,3 | ||||
| 45 | ||||
| 45,3 | ||||
| 16,5 | ||||
| 34,9 | ||||
| 43,1 | ||||
| 30,8 | ||||
| 0 | ||||
| 34,5 | ||||
| 28 | ||||
| 16 | ||||
| 28,9 | ||||
| 23 | ||||
| 27 | ||||
| 41,6 | ||||
| 43,4 | ||||
| 36 | ||||
| 49 | ||||
| 25 | ||||
| 41,5 | ||||
| 35,5 | ||||
| 35 | ||||
| 33,1 | ||||
| 41,7 | ||||
| 39,15 | ||||
| 30,8 | ||||
| 45,7 | ||||
| 35,4 | ||||
| 35,8 | ||||
| 27 | ||||
| 19,5 | ||||
| 29,4 | ||||
| 33,3 | ||||
| 36,6 | ||||
| 42,6 | ||||
| 30 | ||||
| 36,1 | ||||
| 43 | ||||
| 33,3 | ||||
| 28,7 | ||||
| 28,7 | ||||
| 45,1 | ||||
| 31,8 | ||||
| 33 | ||||
| 39,1 | ||||
| 29 | ||||
| 46,7 | ||||
| 41,05 | ||||
| 29,9 | ||||
| 50 | ||||
| 47 | ||||
| 34,4 | ||||
| 11 | ||||
| 20,6 | ||||
| 36,6 | ||||
| 38,6 | ||||
| 29,48 | ||||
| 25 | ||||
| 0 | ||||
| 38 | ||||
| 34,7 | ||||
| 38,2 | ||||
| 43,8 | ||||
| 40,3 | ||||
| 38,5 | ||||
| 60 | ||||
| 50 | ||||
| 36 | ||||
| 55 | ||||
| 33,5 | ||||
| 25,1 | ||||
| 24,8 | ||||
| Всего:Т1
=7502,38 |
Т2
=3157,44 |
Т3
=2819,55 |
Т4
=1223,50 |
Т5
=505,60 |
Т = Т1
+ Т2
+ Т3
+ Т4
+ Т5
Т=15208,47, Т2
= 231297559,74, N = 479
Средние значения выборок:
=35,6
= 31,1
= 28,7
= 26,38
= 19,8
Возведем в квадрат значение всех наблюдений и просуммируем их [6].
Вычисляем:
=
567988,11
Общая сумма квадратов будет следующей:
- /
N
=
85112,2
Находим сумму квадратов между выборками:
(/n1
+….+/nk
) – T2
/N = 8470,35
Теперь можно заполнить таблицу дисперсионного анализа [6].
Таблица №2.
Дисперсионный анализ по одному признаку.
Компонента дисперсии (1) |
Сумма квадратов (2) |
Степень свободы (3) |
Средний квадрат (4)=(2)/(3) |
| Между выборками | ()-/N | k-1 | (определяется делением) |
| Остаточная | (определяется вычитанием) | N-k | |
| Полная | N-1 | ----- |
Получаем:
Таблица №2а.
Дисперсионный анализ по одному признаку. Результаты.
Компонента дисперсии (1) |
Сумма квадратов (2) |
Степень свободы (3) |
Средний квадрат (4)=(2)/(3) |
| Между выборками | 8470,35 | 4 | 2117,59 |
| Остаточная | 76641,85 | 474 | 161,69 |
| Полная | 85112,2 | 478 | ----- |
Значение критериальной статистики равно:
F = средний квадрат между выборками / остаточный средний квадрат = 2117,59 / 161,69 = 13,09
Сравним F и Fкритич
: 13,09>2,37
Вывод. Следовательно, мы отвергаем гипотезу Н0
,то есть можно предположить, что при 5%-ном уровне значимости УК в крови больных СКВ зависит от степени тяжести поражения почек.
Мы не знаем, какое распределение имеют наши выборки. Описанный метод применяется , как это было описано в статистической модели, для нормальных совокупностей. В связи с этим будет правомочно применить непараметрический метод для выяснения равенства нескольких средних.
2. Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку с применением критерия Краскала-Уоллиса для нескольких независимых выборок
Для проверки совпадений нескольких средних часто применяется непараметрический критерий, свободный от распределения. Его можно использовать, когда рассматриваемые совокупности не являются нормально распределенными [7].
Статистическая модель
Имеется k совокупностей, в нашем случае 5 совокупностей. Каждая выборка извлекается из своей совокупности. Все наблюдения независимы.
Гипотезы
Н0
: все k совокупностей одинаково распределены.
Н1
: нулевая гипотеза не верна.
Критическая область
Верхняя 5%-ная область распределения
2
k
-1.
В нашем случае
2
4
, что соответствует значению критерия , превышающему 9,49
. Данное число взято из Таблицы А.2 на стр. 331 "Справочника по вычислительным методам статистики" Дж. Полларда. [6]
Вычисление значения критериальной статистики
Для этого наблюдения xij
заменяются их рангами rij
.Все n наблюдений упорядоченны по возрастанию от 1 до n. Находим сумму рангов R1
, R2
,…, Rk
для k групп. Вычисляем критерий [4]:
H= ( R2
1
/n1
+….+ R2
k
/nk
) – 3 ( N + 1 )
Значения комплемента упорядочены по возрастанию. Они иногда совпадают, тогда ранг принимает среднее значение.
Далее, используя Таблицу №1
, присваиваем каждому значению комплемента соответствующий ранг в данных пяти выборках и получаем сумму рангов [5] .
Таблица №3.
Таблица рангов наблюдений.
Нет нефрита Выборка объема n1
|
Слабый нефрит Выборка объема n2
|
Средний нефрит Выборка объема n3
|
Нефротический синдром Выборка объема n4
|
Почечная недостаточность Выборка объема n5
|
|||||
| УК | Ранг | УК | Ранг | УК | Ранг | УК | Ранг | УК | Ранг |
| 36 | 282 | 11 | 45 | 7 | 33 | 10 | 39 | 20 | 86 |
| 38 | 315,5 | 35 | 264 | 27 | 144,5 | 5 | 28,5 | 20 | 86 |
| 40 | 352,5 | 37 | 296,5 | 6 | 31,5 | 6 | 31,5 | 21 | 95,5 |
| 31 | 188,5 | 15 | 59,5 | 5 | 28,5 | 15 | 59,5 | 24 | 115 |
| 33 | 220 | 40 | 352,5 | 40 | 352,5 | 20 | 86 | 3 | 26 |
| 33,8 | 242 | 0 | 13 | 5 | 28,5 | 25 | 126,5 | 12 | 50 |
| 37 | 296,5 | 33 | 220 | 45 | 405,5 | 28 | 28 | 10 | 39 |
| 38 | 315,5 | 33 | 220 | 45 | 405,5 | 32 | 197,5 | 0 | 13 |
| 33 | 220 | 5 | 28,5 | 46 | 420,5 | 46 | 420,5 | 18,2 | 77 |
| 37 | 296,5 | 40 | 352,5 | 45 | 405,5 | 33 | 220 | 46 | 420,5 |
| 48 | 436,5 | 25 | 126,5 | 24 | 115 | 44 | 396,5 | 10 | 39 |
| 40 | 352,5 | 33 | 220 | 24 | 115 | 25 | 126,5 | 0 | 13 |
| 42 | 375,5 | 50 | 453,5 | 43 | 383 | 22,5 | 105,5 | 20 | 86 |
| 35 | 264 | 25 | 126,5 | 24,5 | 119,5 | 24,5 | 119,5 | 30,4 | 181,5 |
| 15 | 59,5 | 20 | 86 | 20,5 | 92 | 38 | 315,5 | 0 | 13 |
| 35 | 264 | 50 | 453,5 | 9 | 34 | 12 | 50 | 33,3 | 231 |
| 48 | 436,5 | 50 | 453,5 | 12 | 50 | 54,7 | 471 | 14,7 | 56 |
| 45 | 405,5 | 18 | 74,5 | 32 | 197,5 | 20,7 | 94 | 34,1 | 247 |
| 38 | 315,5 | 20 | 86 | 43 | 383 | 0 | 13 | 22,4 | 102,5 |
| 15 | 59,5 | 33 | 220 | 35,5 | 273,5 | 26,1 | 137,5 | 17,8 | 72 |
| 13 | 53 | 43 | 383 | 44 | 396,5 | 11 | 45 | 33,5 | 237 |
| 40 | 352,5 | 10 | 39 | 50 | 453,5 | 11,7 | 47 | 29,6 | 171 |
| 40 | 352,5 | 12 | 50 | 34 | 244,5 | 34,4 | 252,5 | 13,6 | 54,5 |
| 38 | 315,5 | 23 | 110 | 12 | 50 | 0 | 13 | 35 | 264 |
| 32,7 | 210 | 34 | 244,5 | 0 | 13 | 0 | 13 | 37 | 296,5 |
| 60 | 478 | 30 | 176,5 | 25,1 | 132,5 | 42 | 375,5 | ||
| 50 | 453,5 | 35 | 264 | 22,5 | 105,5 | 32,3 | 204 | ||
| 51 | 462,5 | 22 | 99,5 | 31 | 188,5 | 16 | 68 | ||
| 45 | 405,5 | 22,2 | 101 | 33 | 220 | 32,5 | 207 | ||
| 25 | 26,5 | 20 | 86 | 41,9 | 373 | 39,3 | 345,5 | ||
| 33 | 220 | 21 | 95,5 | 41,7 | 371 | 40,2 | 359 | ||
| 33 | 220 | 22 | 99,5 | 37,1 | 299 | 0 | 13 | ||
| 39 | 334 | 10 | 39 | 33,4 | 233 | 39,1 | 337 | ||
| 35,8 | 278,5 | 37,4 | 304,5 | 33 | 220 | 37,7 | 306,5 | ||
| 41,7 | 371 | 22,4 | 102,5 | 34,3 | 250 | 33,5 | 237 | ||
| 38,2 | 323 | 35 | 264 | 33 | 220 | 43,8 | 393,5 | ||
| 37,4 | 304,5 | 37,3 | 302,5 | 36,9 | 293 | 16 | 68 | ||
| 10 | 39 | 39,6 | 346 | 41 | 365 | 16 | 68 | ||
| 37,9 | 309,5 | 0 | 13 | 33 | 220 | 31 | 188,5 | ||
| 39,3 | 343,5
|
32,8 | 211 | 32,15 | 202 | 52 | 465 | ||
| 37,2 | 301 | 24 | 115 | 38,8 | 332 | 51 | 462,5 | ||
| 37,8 | 308 | 25 | 126,5 | 48,1 | 439 | 33,5 | 237 | ||
| 49,1 | 445 | 38 | 315,5 | 0 | 13 | 48 | 436,5 | ||
| 36,15 | 286 | 29 | 165 | 0 | 13 | 27 | 144,5 | ||
| 43,8 | 393,5 | 32 | 197,5 | 26,6 | 141 | 48 | 436,5 | ||
| 40 | 352,5 | 32 | 197,5 | 52,8 | 470 | ||||
| 40 | 352,5 | 20 | 86 | 27 | 144,5 | ||||
| 36 | 282 | 32,3 | 204 | 13,6 | 54,5 | ||||
| 45 | 405,5 | 10 | 39 | 10 | 39 | ||||
| 43,5 | 390,5 | 33,9 | 243 | 19,5 | 79 | ||||
| 35 | 264 | 45,74 | 417 | 51,2 | 464 | ||||
| 35 | 264 | 0 | 13 | 40,4 | 362,5 | ||||
| 19,5 | 79 | 49,1 | 445 | 46,05 | 424 | ||||
| 24,2 | 118 | 38 | 315,5 | 0 | 13 | ||||
| 33 | 220 | 0 | 13 | 25,2 | 134 | ||||
| 40,4 | 362,5 | 43,5 | 390,5 | 28 | 152,5 | ||||
| 30 | 176,5 | 32,3 | 204 | 27 | 144,5 | ||||
| 36 | 282 | 41 | 365 | 35 | 264 | ||||
| 10 | 39 | 40 | 352,5 | 29 | 165 | ||||
| 25 | 126,5 | 29,7 | 172 | 50 | 453,5 | ||||
| 30 | 176,5 | 30 | 176,5 | 20 | 86 | ||||
| 32 | 197,5 | 27,6 | 149 | 0 | 13 | ||||
| 31 | 188,5 | 21,4 | 98 | 15,6 | 64,5 | ||||
| 45 | 405,5 | 23 | 110 | 35 | 264 | ||||
| 20 | 86 | 34,3 | 250 | 0 | 13 | ||||
| 45 | 405,5 | 18 | 74,5 | 46 | 425 | ||||
| 15 | 59,5 | 50,4 | 461 | 59,2 | 475 | ||||
| 30,4 | 181,5 | 48,2 | 440,5 | 0 | 13 | ||||
| 50 | 453,5 | 37,3 | 302,5 | 22,5 | 105,5 | ||||
| 46 | 420,5 | 35 | 264 | 0 | 13 | ||||
| 35 | 264 | 25 | 126,5 | 24 | 115 | ||||
| 15 | 59,5 | 20 | 86 | 45 | 405,5 | ||||
| 18 | 74,5 | 38 | 315,5 | 28,9 | 161,5 | ||||
| 28 | 152,5 | 47,5 | 432,5 | 30,5 | 183 | ||||
| 36,7 | 291 | 37,9 | 309,5 | 45,5 | 414 | ||||
| 47,8 | 434 | 40,3 | 360,5 | 43 | 383 | ||||
| 39,2 | 341 | 60 | 478 | 34,7 | 255,5 | ||||
| 36,5 | 287 | 34,1 | 247 | 32,6 | 208,5 | ||||
| 32 | 197,5 | 46,7 | 427,5 | 38,4 | 325 | ||||
| 45,7 | 415,5 | 39 | 334 | 37,15 | 300 | ||||
| 46,9 | 429 | 31,4 | 192 | 39 | 334 | ||||
| 15,6 | 64,5 | 32 | 197,5 | 52,15 | 466 | ||||
| 34,1 | 247 | 42 | 375,5 | 52,2 | 467,5 | ||||
| 44,7 | 399 | 43,8 | 393,5 | 0 | 13 | ||||
| 26,5 | 139,5 | 39,1 | 337 | 0 | 13 | ||||
| 36,6 | 289 | 16 | 68 | 0 | 13 | ||||
| 30,3 | 180 | 26,5 | 139,5 | 33 | 220 | ||||
| 47 | 430,5 | 43 | 383 | 43 | 383 | ||||
| 50 | 453,5 | 36,9 | 293 | 46,6 | 426 | ||||
| 52,2 | 467,5 | 29,4 | 168,5 | 59,3 | 476 | ||||
| 38,5 | 327 | 30,6 | 184 | 0 | 13 | ||||
| 41 | 365 | 35,6 | 276 | 15,5 | 63 | ||||
| 40 | 352,5 | 38,7 | 331 | 21,2 | 97 | ||||
| 45 | 405,5 | 38,2 | 323 | 22,8 | 108 | ||||
| 25,5 | 135 | 26,1 | 137,5 | 28,3 | 156 | ||||
| 27,7 | 150 | 43,2 | 388 | 28,15 | 155 | ||||
| 22,5 | 46 | 420,5 | 38,5 | 327 | |||||
| 45 | 105,5 | 35,6 | 276 | 26 | 136 | ||||
| 33 | 220 | 32,4 | 206 | ||||||
| 48,3 | 442 | 50 | 453,5 | ||||||
| 47,5 | 432,5 | 50 | 453,5 | ||||||
| 32 | 197,5 | ||||||||
| 50 | 453,5 | ||||||||
| 35,6 | 276 | ||||||||
| 33,5 | 237 | ||||||||
| 56,9 | 473 | ||||||||
| 28,9 | 161,5 | ||||||||
| 40 | 352,5 | ||||||||
| 35,2 | 271 | ||||||||
| 42,5 | 378 | ||||||||
| 50 | 453,5 | ||||||||
| 46,2 | 425 | ||||||||
| 52,7 | 469 | ||||||||
| 49,1 | 445 | ||||||||
| 38 | 315,5 | ||||||||
| 33,7 | 241 | ||||||||
| 32,6 | 208,5 | ||||||||
| 30 | 176,5 | ||||||||
| 28,9 | 161,5 | ||||||||
| 44,4 | 398 | ||||||||
| 48,2 | 440,5 | ||||||||
| 38,15 | 321 | ||||||||
| 42 | 375,5 | ||||||||
| 28,4 | 157 | ||||||||
| 33,5 | 237 | ||||||||
| 39,4 | 345 | ||||||||
| 38,6 | 329,5 | ||||||||
| 34,3 | 250 | ||||||||
| 37,7 | 306,5 | ||||||||
| 27,3 | 148 | ||||||||
| 39,2 | 341 | ||||||||
| 29,2 | 167 | ||||||||
| 39,2 | 341 | ||||||||
| 33,5 | 237 | ||||||||
| 18 | 74,5 | ||||||||
| 31,2 | 191 | ||||||||
| 23,4 | 112 | ||||||||
| 36,9 | 293 | ||||||||
| 57,3 | 474 | ||||||||
| 45 | 405,5 | ||||||||
| 45,3 | 413 | ||||||||
| 16,5 | 71 | ||||||||
| 34,9 | 257 | ||||||||
| 43,1 | 387 | ||||||||
| 30,8 | 185,5 | ||||||||
| 0 | 13 | ||||||||
| 34,5 | 254 | ||||||||
| 28 | 152,5 | ||||||||
| 16 | 68 | ||||||||
| 28,9 | 161,5 | ||||||||
| 23 | 110 | ||||||||
| 27 | 144,5 | ||||||||
| 41,6 | 369 | ||||||||
| 43,4 | 389 | ||||||||
| 36 | 282 | ||||||||
| 49 | 443 | ||||||||
| 25 | 126,5 | ||||||||
| 41,5 | 368 | ||||||||
| 35,5 | 273,5 | ||||||||
| 35 | 264 | ||||||||
| 33,1 | 229 | ||||||||
| 41,7 | 371 | ||||||||
| 39,15 | 339 | ||||||||
| 30,8 | 185,5 | ||||||||
| 45,7 | 415,5 | ||||||||
| 35,4 | 272 | ||||||||
| 35,8 | 278,5 | ||||||||
| 27 | 144,5 | ||||||||
| 19,5 | 79 | ||||||||
| 29,4 | 168,5 | ||||||||
| 33,3 | 231 | ||||||||
| 36,6 | 289 | ||||||||
| 42,6 | 379 | ||||||||
| 30 | 176,5 | ||||||||
| 36,1 | 285 | ||||||||
| 43 | 383 | ||||||||
| 33,3 | 231 | ||||||||
| 28,7 | 158,5 | ||||||||
| 28,7 | 158,5 | ||||||||
| 45,1 | 412 | ||||||||
| 31,8 | 193 | ||||||||
| 33 | 220 | ||||||||
| 39,1 | 337 | ||||||||
| 29 | 165 | ||||||||
| 46,7 | 427,5 | ||||||||
| 41,05 | 367 | ||||||||
| 29,9 | 173 | ||||||||
| 50 | 453,5 | ||||||||
| 47 | 430,5 | ||||||||
| 34,4 | 252,5 | ||||||||
| 11 | 45 | ||||||||
| 20,6 | 93 | ||||||||
| 36,6 | 289 | ||||||||
| 38,6 | 289 | ||||||||
| 29,48 | 170 | ||||||||
| 25 | 126,5 | ||||||||
| 0 | 13 | ||||||||
| 38 | 315,5 | ||||||||
| 34,7 | 255,5 | ||||||||
| 38,2 | 323 | ||||||||
| 43,8 | 393,5 | ||||||||
| 40,3 | 360,5 | ||||||||
| 38,5 | 327 | ||||||||
| 60 | 478 | ||||||||
| 50 | 453,5 | ||||||||
| 36 | 282 | ||||||||
| 55 | 472 | ||||||||
| 33,5 | 237 | ||||||||
| 25,1 | 132,5 | ||||||||
| 24,8 | 121 | ||||||||
| Всего: | R1
57877 |
R2
23298.5 |
R3
21259.5 |
R4
8789 |
R5
3072 |
||||
| N = 479 | k = 5 |
| R1
= 57877 |
n1
= 210 |
| R2
= 23298,5 |
n2
= 101 |
| R3
= 21259,5 |
n3
= 98 |
| R4
= 8789 |
n4
= 45 |
| R5
= 3072 |
n5
= 25 |
Теперь можно полученные суммы рангов подставить в формулу и получить значение критериальной статистики Краскела-Уоллиса [4] :
Н=23,03
Полученный результат не является незначимым, поэтому нельзя считать, что выборки извлечены из одинаково распределенных совокупностей и что средние значения совокупностей совпадают. Но этот вывод является приближенным, так как в нашей таблице есть много совпадающих значений. Для учета влияния связей можно воспользоваться модифицированной формой статистики Краскела-Уоллиса [4]:
Н`
=
, где g – число групп совпадающих значений, Тj
= (t - t), t– число совпадающих наблюдений в группе с номером j .
Таблица №4.
Группы совпадающих наблюдений.
| Повторяющиеся значения УК | Кол-во повторений tj
|
Значение Tj
|
| 0 | 25 | 15600 |
| 5 | 4 | 60 |
| 6 | 2 | 6 |
| 10 | 9 | 720 |
| 11 | 3 | 24 |
| 12 | 5 | 120 |
| 13,6 | 2 | 6 |
| 15 | 6 | 210 |
| 15,6 | 2 | 6 |
| 16 | 5 | 120 |
| 18 | 4 | 60 |
| 19,5 | 3 | 24 |
| 20 | 11 | 1320 |
| 21 | 2 | 6 |
| 22 | 2 | 6 |
| 22,4 | 2 | 6 |
| 22,5 | 4 | 60 |
| 23 | 3 | 24 |
| 24 | 5 | 120 |
| 24,5 | 2 | 6 |
| 25 | 10 | 990 |
| 25,1 | 2 | 6 |
| 26,1 | 2 | 6 |
| 26,5 | 2 | 6 |
| 27 | 6 | 210 |
| 28 | 4 | 60 |
| 28,7 | 2 | 6 |
| 28,9 | 4 | 60 |
| 29 | 3 | 24 |
| 29,4 | 2 | 6 |
| 30 | 6 | 210 |
| 30,4 | 2 | 6 |
| 30,8 | 2 | 6 |
| 31 | 4 | 60 |
| 32 | 8 | 504 |
| 32,3 | 3 | 24 |
| 32,6 | 2 | 6 |
| 33 | 17 | 4896 |
| 33,3 | 3 | 24 |
| 33,5 | 7 | 336 |
| 34 | 2 | 6 |
| 34,1 | 3 | 24 |
| 34,3 | 3 | 24 |
| 34,4 | 2 | 6 |
| 34,7 | 2 | 6 |
| 35 | 13 | 2184 |
| 35,5 | 2 | 6 |
| 35,6 | 3 | 24 |
| 35,8 | 2 | 6 |
| 36 | 5 | 120 |
| 36,6 | 3 | 24 |
| 36,9 | 3 | 24 |
| 37 | 4 | 60 |
| 37,3 | 2 | 6 |
| 37,4 | 2 | 6 |
| 37,7 | 2 | 6 |
| 37,9 | 2 | 6 |
| 38 | 10 | 990 |
| 38,2 | 3 | 24 |
| 38,5 | 3 | 24 |
| 38,6 | 2 | 6 |
| 39 | 3 | 24 |
| 39,1 | 3 | 24 |
| 39,2 | 3 | 24 |
| 39,3 | 2 | 6 |
| 40 | 12 | 1716 |
| 40,3 | 2 | 6 |
| 40,4 | 2 | 6 |
| 41 | 3 | 24 |
| 41,7 | 3 | 24 |
| 42 | 4 | 60 |
| 43 | 7 | 336 |
| 43,5 | 2 | 6 |
| 43,8 | 4 | 60 |
| 44 | 2 | 6 |
| 45 | 12 | 1716 |
| 45,7 | 2 | 6 |
| 46 | 6 | 210 |
| 46,7 | 2 | 6 |
| 47 | 2 | 6 |
| 47,5 | 2 | 6 |
| 48 | 4 | 60 |
| 48,2 | 2 | 6 |
| 49,1 | 3 | 24 |
| 50 | 14 | 2730 |
| 51 | 2 | 6 |
| 52,2 | 2 | 6 |
| 60 | 3 | 24 |
g = 88
Теперь можно полученные результаты подставить в модифицированную формулу и получить уточненное значение критериальной статистики Краскела-Уоллиса :
Н`
= 23,037
Вывод.
Скорректированное значение Н`
статистики Краскела-Уоллиса несущественно отличается от значения Н, т.о. мы можем отвергнуть гипотезу Н0
на минимальном уровне значимости. Следовательно , мы подтвердили результат полученный ранее : существует зависимость между УК в крови больных СКВ и степенью тяжести поражения почек .
3. Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку с применением критерия Джонкхиера для нескольких выборок, упорядоченных по возрастанию влияния фактора
Нам заранее известно, что имеющиеся группы результатов упорядочены по возрастанию влияния фактора.. В нашем случае фактором является степень тяжести ГН. В таких случаях целесообразно использовать критерий Джонхиера , более чувствительный против альтернатив об упорядоченном влиянии фактора [5].
Статистическая модель
Имеется k совокупностей, в нашем случае 5 совокупностей. Каждая выборка извлекается из своей совокупности. Все наблюдения независимы. имеющиеся группы результатов упорядочены по возрастанию влияния фактора . 1-й столбец Таблицы №1 отвечает наименьшему уровню фактора, последний – наибольшему, а промежуточные столбцы получили номера, соответствующие их положению. В нашем случае фактором является степень тяжести поражения почек [4] .
Гипотезы
Н0
:==…= ( влияние фактора упорядоченно.)
Н1
: …
Критическая область
Верхняя 5% область F-распределения, что в нашем случае соответствует значению критерия, превышающему значение 2,21. Данное число взято из таблицы А.4 на стр. 334 [6].
Вычисление значения критериальной статистики
Вычислим статистику Манна – Уитни. Сравниваем k способов обработки, в нашем случае 5. Поступим следующим образом : для каждой пары натуральных чисел u и v , где 1£u<v£k , составляем по выборкам с номерами u,vстатистику Манна – Уитни [4].
U = , y)
Определим так же статистику Джонхиера как :
J =
Для нахождения значений статистики Манна – Уитни будем использовать программу,( так как мы имеем выборки большого объема) написанную на языке FortranPowerStation для Windows , версия 4.0 .Выбор данного языка программирования связан с тем, что он максимально приближен к общепринятому языку математических формул. [11].
implicit real*8 (a-h, o-z)
dimension a1(210), a2(101),a3(98),a4(45),a5(25)
open (unit=11, file='1.dat', access='sequential', status='old')
open (unit=12, file='2.dat', access='sequential', status='old')
open (unit=13, file='3.dat', access='sequential', status='old')
open (unit=14, file='4.dat', access='sequential', status='old')
open (unit=15, file='5.dat', access='sequential', status='old')
open (unit=16, file='res.dat',access='append',status='unknown')
do 2222 i=1,210
read (11, 21) a1(i)
21 format(e8.1)
2222 continue
do 2223 i=1,101
read (12, 21) a2(i)
2223 continue
do 2224 i=1,98
read (13, 21) a3(i)
2224 continue
do 2225 i=1,45
read (14, 21) a4(i)
2225 continue
do 2226 i=1,25
read (15, 21) a5(i)
2226 continue
u12=0
do 101 i=1,210
do 91 j=1,101
if (a1(i)<a2(j)) then
u12 = u12+1
elseif (a1(i).eq.a2(j)) then
u12= u12+0.5
else
u12= u12+0.0
endif
91 continue
101 continue
u13=0
do 102 i=1,210
do 92 j=1,98
if (a1(i)<a3(j)) then
u13 = u13+1
elseif (a1(i).eq.a3(j)) then
u13= u13+0.5
else
u13= u13+0.0
endif
92 continue
102 continue
u14=0
do 103 i=1,210
do 93 j=1,45
if (a1(i)<a4(j)) then
u14 = u14+1
elseif (a1(i).eq.a4(j)) then
u14= u14+0.5
else
u14= u14+0.0
endif
93 continue
103 continue
u15=0
do 104 i=1,210
do 94 j=1,25
if (a1(i)<a5(j)) then
u15 = u15+1
elseif (a1(i).eq.a5(j)) then
u15= u15+0.5
else
u15= u15+0.0
endif
94 continue
104 continue
u23=0
do 105 i=1,101
do 95 j=1,98
if (a2(i)<a3(j)) then
u23 = u23+1
elseif (a2(i).eq.a3(j)) then
u23= u23+0.5
else
u23= u23+0.0
endif
95 continue
105 continue
u24=0
do 106 i=1,101
do 96 j=1,45
if (a2(i)<a4(j)) then
u24 = u24+1
elseif (a2(i).eq.a4(j)) then
u24= u24+0.5
else
u24= u24+0.0
endif
96 continue
106 continue
u25=0
do 107 i=1,101
do 97 j=1,25
if (a2(i)<a5(j)) then
u25 = u25+1
elseif (a2(i).eq.a5(j)) then
u25= u25+0.5
else
u25= u25+0.0
endif
97 continue
107 continue
u34=0
do 108 i=1,98
do 98 j=1,45
if (a3(i)<a4(j)) then
u34 = u34+1
elseif (a3(i).eq.a4(j)) then
u34= u34+0.5
else
u34= u34+0.0
endif
98 continue
108 continue
u35=0
do 109 i=1,98
do 99 j=1,25
if (a3(i)<a5(j)) then
u35 = u35+1
elseif (a3(i).eq.a5(j)) then
u35= u35+0.5
else
u35= u35+0.0
endif
99 continue
109 continue
u45=0
do 110 i=1,45
do 100 j=1,25
if (a4(i)<a5(j)) then
u45 = u45+1
elseif (a4(i).eq.a5(j)) then
u45= u45+0.5
else
u45= u45+0.0
endif
100 continue
110 continue
U=u12+u13+u14+u15+u23+u24+u25+u34+u35+u45
22 format(2x,'u12=',f10.3)
23 format(2x,'u13=',f10.3)
24 format(2x,'u14=',f10.3)
25 format(2x,'u15=',f10.3)
26 format(2x,'u23=',f10.3)
27 format(2x,'u24=',f10.3)
28 format(2x,'u25=',f10.3)
29 format(2x,'u34=',f10.3)
30 format(2x,'u35=',f10.3)
31 format(2x,'u45=',f10.3)
32 format(2x,'U=',f10.3)
write(16,22)u12
write(16,23)u13
write(16,24)u14
write(16,25)u15
write(16,26)u23
write(16,27)u24
write(16,28)u25
write(16,29)u34
write(16,30)u35
write(16,31)u45
write(16,32)U
end
Обработав таким образом результаты наблюдений, получаем значения статистики Манна – Уитни:
u12= 8441,000
u13= 7793,500
u14= 3172,500
u15= 888,000
u23= 4637,500
u24= 1928,500
u25= 648,500
u34= 2054,500
u35= 805,500
u45= 411,000
Подставив в формулу полученные значения получаем результат для статистики Джонхиера:
J= 30780,5
Значение статистики Джонхиера очень велико, что свидетельствует в пользу гипотезы Н1
об упорядоченном влиянии фактора , в нашем случае – зависимости УК в крови больных СКВ от степени поражения почек. То есть мы снова подтвердили результат, полученный ранее.
Но поскольку предложенные выборки велики, то можно проверить полученный результат, подсчитав приближенную статистику J* для большой выборки [4].
Вычислим величину:
J*
= ( J – MJ ) /
Где MJ = ( N2
- ) , DJ = ( N2
( 2N + 3 ) - ( 2nj
+ 3))
В результате вычислений мы получаем значение J*
= 5,9.
Вывод.
Полученный результат превышает критическое значение, что позволяет отклонить гипотезу Н0
, и принять гипотезу Н1.
Таким образом мы подтверждается результат, полученный с помощью статистики J – влияние фактора в предложенных выборках упорядоченно.
§4.Вывод
Целью данной курсовой работы был анализ зависимости между УК в крови больных СКВ и степенью тяжести поражения почек. Исходные данные были подвергнуты методам статистического анализа, независимым между собой. Результатом является доказательство наличия зависимости УК в крови больных СКВ и степенью тяжести поражения почек в каждом из использованных методов, что позволяет сформулировать окончательный вывод : УК в крови больных СКВ зависит от степени тяжести поражения почек, причем УК уменьшается с возрастанием степени тяжести поражения почек.
§5. Список литературы
1. Гублер Е.В. Информатика в патологии, клинической медицине и педиатрии. –Л.: Медицина, 1990.-176с.
2. Кузин Ф.А. Кандидатская диссертация . Методика написания, правила оформления и порядок защиты. Практическое пособие для аспирантов и соискателей ученой степени. –5-е изд., доп.-М.:Ось 89, 2000.-224с.
3. Энциклопедический словарь медицинских терминов: В 3-х томах. Около 60000 терминов.-М.: Советская энциклопедия, - Т.2. 1983.-448с.
4. Тюрин Ю.Н. , Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере .-М.: Инфра – М., 1982.-528с.
5. Холлендер М., Вулф Д.А. Непараметрические методы статистики.-М.: Финансы и статистика., 1983.-518с.
6. Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам статистики.-М.: Финансы и статистика., 1982.-344с.
7. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей.-М.: Финансы и статистика,-Т.2. 1985.-488с.
8. Шишкин В.И., Кудрявцева Г.В. Регуляторная роль функциональной системы "Комплемент – простагландиды – пентозофосфатный путь обмена углеводов" в патогенезе основных ревматологических заболеваний.-СПб.: НИИХ. 2002.-38с.
9. Колмогоров А.Н. Теория вероятности и математическая статистика.-М.:Наука.,1986.-535с.
10. Фишер Р.А. Статистические методы для исследователей.-М.:Госстатиздат.,1982.-344с.
11. Фишер Ф.П., Суиндл Д.Ф. Системы программирования.-М.:Статистика.,1971.-606с.