Комплексный анализ методов теории нечетких множеств

= {0,25/a1 + 0,7/a2 + 0,3/a3};

={0,5/2+0,9/2,5+0,35/1,5};

= {1,0/5+0,75/4+0,6/3}.

Критерии имеют различную значимость при определении наиболее рационального варианта. В связи с этим необходимо определить весовые коэффициенты bi критериев. Один из возможных способов получения значений весовых коэффициентов заключается в построении матрицы попарных сравнений критериев. Для критериев, использованных при решении задачи выбора лучшего банка, составлена следующая матрица:

Весовой коэффициент критерия bi определяется на основании вычисленных значений правого собственного вектора матрицы попарных сравнений ai с последующим умножением на число критериев п.

bi = ain.

Значения ai и bi приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Собственный вектор матрицы полярных сравнений критериев и их весовые коэффициенты

Множество оптимальных альтернатив В с учетом различной важности критериев качества определяется путем пересечения нечетких множеств следующим образом:

Найдем множество оптимальных альтернатив с учетом полученных весовых критериев:

В = { min { 0,051,062; 0,70,318; 0,350,404; 0,250,589; 0,52,652; 1,00,972 }

min { 0,251,062; 1,00,318; 0,60,404; 0,70,589; 0,92,652; 0,750,972 }

min { 0,41,062; 0,30,318; 0,20,404; 0,30,589; 0,352,652; 0,60,972 }}.

Множество оптимальных вариантов В имеет вид:

Таким образом, лучшей альтернативой является банк а2 на втором месте банк a3 самым худшим вариантом для вклада денег является банк а1.

Проанализируем ряд виброзащитных технологий для выявления наиболее конкурентоспособной на определенном международном рынке.

Задачу выбора рационального виброизолятора с учетом наиболее важных критериев качества рассмотрим на примере анализа четырех альтернатив: а1 — пневматического виброизолятора; a2 — металлического торсионного элемента, работающего на скручивание; a3 — винтовой пружины; a4 — резинового элемента.

Для оценки альтернатив используем восемь критериев качества:

F1 — собственная частота колебаний виброизолятора (f, Гц);

F2—долговечность элемента (Т, лет);

F3 — габаритный размер (h, метр);

F4 — коэффициент передачи на резонансе (Tz, безразмерные единицы);

F5 — устойчивость к механическим повреждениям (шкала экспертных оценок);

F6 — стоимость (тыс. руб.);

F7 — шумоизоляция (дБ);

F8 — патентная чистота (условные единицы измерения).

На основании функций принадлежности всех альтернатив по восьми критериям определены их конкретные значения, которые представляют собой следующие нечеткие множества:

По этим данным составлены матрицы нечетких отношений предпочтения R1, ..., R8

Задача выбора решается в соответствии с описанной выше процедурой.

1. Строим нечеткое отношение Q1 = R1 ÇR2 Ç …ÇR8:

Находим подмножество недоминируемых альтернатив на множестве {А, }:

по всем i и j (i¹j):

2. Строим отношение Q2.

Коэффициенты wk относительной важности критериев имеют следующие значения: w1 = 0,23, w2 = 0,09, w3 = 0,04, w4 = 0 23 w5 = 0,04, w6 = 0,09, w7 = 0,23, w8 = 0,04.

Определяем нечеткое отношение Q2.

Находим подмножество недоминируемых альтернатив множества [А, }:

по всем i и j (i¹j):

3. Результирующее множество недоминируемых альтернатив есть пересечение множеств НД и НД

4. Следовательно, рациональным следует считать выбор альтернативы a1 имеющей максимальную степень недоминируемости.

Руководство фирмы рассматривает кандидатов на замещение вакантной должности бухгалтера. Задача заключается в том, чтобы, используя описанный выше метод, выявить наилучшего претендента. Обсуждение среди членов руководства фирмы дало следующий результат:

d1: "Если кандидат имеет требуемые квалификацию, образование и опыт ведения бухгалтерского учета, то он — удовлетворяющий (отвечающий требованиям)";

d2: "Если он вдобавок к вышеописанным требованиям умеет работать с современным программным обеспечением (ПО), то он — более чем удовлетворяющий";

d3: "Если он дополнительно к условиям d2 обладает необходимыми юридическими знаниями, то он — безупречный";

d4: "Если он имеет все оговоренное в d3, кроме способности работать с современным ПО, то он — очень удовлетворяющий";

d5: "Если кандидат имеет необходимую квалификацию, имеет опыт ведения бухгалтерского учета, обладает юридическими знаниями, но не имеет высшего образования, он все же будет удовлетворяющим";

d6: "Если он не имеет квалификации и не имеет опыта ведения бухгалтерского учета, то он — неудовлетворяющий".

Анализ приведенных информационных фрагментов позволяет выявить шесть критериев, используемых для принятия решения:

Х1 — квалификация; Х2 — образование; Х3, — опыт ведения бухгалтерского учета; Х4, — умение работать с современным ПО; Х5 — юридическая грамотность, Y— удовлетворительность.

Для формулирования правил следует определить возможные значения лингвистических переменных Xi и Y, которые будут использоваться для оценки кандидатов:

d1: "Если Х1 = ПОДХОДЯЩЯЯ и X2 = ВЫСШЕЕ, и Х3 = ДОСТАТОЧНЫЙ. то Y = УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ";

d2: "Если Х1 = ПОДХОДЯЩАЯ и X2 = ВЫСШЕЕ, и Х3 = ДОСТАТОЧНЫЙ, и X4 = СПОСОБЕН, то Y = БОЛЕЕ ЧЕМ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ";

d3: "Если Х1 = ПОДХОДЯЩАЯ и Х2 = ВЫСШЕЕ, и X3 = ДОСТАТОЧНЫЙ, и Х4 = СПОСОБЕН, и X5 = ОБЛАДАЕТ, то Y = БЕЗУПРЕЧНЫЙ";

d4: "Если Х1 = ПОДХОДЯЩАЯ и Х2 = ВЫСШЕЕ, и Х3 = ДОСТАТОЧНЫЙ, и X4 = ОБЛАДАЕТ, то Y = ОЧЕНЬ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ";

d5: "Если Х1 = ПОДХОДЯЩАЯ и X2 = НЕ ВЫСШЕЕ, и Х3 = ДОСТАТОЧНЫЙ, и X5 = ОБЛАДАЕТ, то Y = УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ";

d6: "Если Х1 = НЕ ИМЕЕТ и Х3 = НЕДОСТАТОЧНЫЙ, то Y = НЕУДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ".

Переменная Y задана на множестве J = {0; 0,1; 0,2; ...; 1}.

Значения переменной Y заданы с помощью следующих функций принадлежности:

S = УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ определено как mS(х) = х, х Î J;

MS = БОЛЕЕ ЧЕМ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ — как mMS(x)=Öx; xÎJ;

VS = ОЧЕНЬ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ — как mVS(x) = х2, xÎJ,

US = НЕУДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ — как mVS(x) = 1 - х, х Î J.

Выбор производится из пяти кандидатов на множестве U = {u1, и2, u3, u4, u5}.

В рассматриваемой задаче оценки кандидатов заданы следующими нечеткими множествами:

ПОДХОДЯЩАЯ (квалификация) А = {0,8/u1, 0,61u2, 0,5/u3, 0,1/u4, 0,3/u5};

ВЫСШЕЕ (образование) В = {0,5/u1,1/u2, 0/u3, 0,5/u4, 1/u5};

ДОСТАТОЧНЫЙ (опыт) С = {0,6/u1, 0,9/и2, 1/u3, 0,7/u4, 1/u5};

СПОСОБЕН (работать с ПО) D = {1/u1, 0,3/и2, 1/u3, 0/u4, 0/u5}',

ОБЛАДАЕТ (юридическими знаниями) Е = {0/u1, 0,5/u2, 1/u3, 0,8/u4, 1/u5}.

С учетом введенных обозначений правила d1, ...,d6 принимают вид:

d1 : “Если Х= А и В, и С, то Y =S”;

d2: "Если Х= А и В, и С, и D, то Y = MS":

d3: “Если X= А и В, и С, и D, и E, то Y = P”;

d4: “Если X = А и B, и С, и Е, то Y = VS”;

d5: “Если X = A, и не В, и С, и E, то Y = S”;

d6: “Если Х = не A и не С, то Y = US”.

Вычислим функции принадлежности для левых частей приведенных правил:

Теперь правила можно записать в виде:

Используя для преобразования правил вида "Если Х = М, то Y = Q" импликацию Лукасевича mD(u, j) = min(l, 1-mM /(u) + mY (j)), для каждой пары (u, j) Î U х J получаем следующие нечеткие отношения на U ´ J:

В результате пересечения отношений D1, ..., D6 получаем общее функциональное решение:

Для вычисления удовлетворительности каждой из альтернатив применим правило композиционного вывода в нечеткой среде:

Ek = Gk°D, где Еk — степень удовлетворения альтернативы k;

Gk — отображение альтернативы k в виде нечеткого подмножества на U, D — общее функциональное решение. Тогда

Кроме того, в этом случае (u) = 0; u¹uk, (u) = 1; u = uk. Отсюда (i) = (uk, i) Другими словами, Еk есть k-я строка в матрице D. Теперь применим описанную выше процедуру для сравнения нечетких подмножеств в единичном интервале для получения наилучшего решения на основе точечных оценок.

Для первой альтернативы

E1 ={0,5/0; 0,6/0,1; 0,7/0,2; 0,8/0,3; 0,9/0,4; 1/0,5; 1/0,6; 1/0,7; 1/0,8; 0,9/0,9; 0,8/1}.

Вычисляем уровневые множества Eja и мощность такого множества М(Еa) по формуле

Аналогично находим точечные оценки для других альтернатив:

для второй альтернативы F(E2) = 0,656;

для третьей — F(E3) = 0,575;

для четвертой — F(E4) = 0,483;

для пятой — F(E5) = 0,562.

В качестве лучшей выбираем альтернативу, имеющую наибольшую точечную оценку. В нашем примере это альтернатива и2, следовательно, она и будет наилучшей. Второе место занимает альтернатива u3; третье – u5, четвертое – и1, а самой худшей из альтернатив является u4.

Формализация знаний с помощью правил позволяет учитывать различную важность критериев и самих правил. Предположим, что в рассмотренной задаче ЛПР считает крайне важным умение кандидата на должность бухгалтера работать с программным обеспечением. Тогда в правилах d2 и d3 значением критерия Х4 будет понятие ОЧЕНЬ СПОСОБЕН, описываемое нечетким множеством D1 следующего вида:

Правило d4 исключим из рассмотрения, так как теперь кандидат, не владеющий умением работать с ПО, не является ОЧЕНЬ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИМ. Тогда соответствующие левым частям правил нечеткие множества Мi, i = 1, .... 6, i¹ 4, будут иметь вид:

F(u1)—0,560; F(u2)— 0,600; F(u3)—0,575; F(u4)— 0,475; F(u5)— 0,530.

Сравнение полученных результатов показывает, что с повышением значимости критерия Х4 ранжировка альтернатив несколько изменилась: и1 и u5 поменялись местами. Этот факт согласуется с исходными данными, так как кандидат и1 имеет максимальное значение по критерию Х4, а u5 - минимальное.

Для учета различной важности правил будем использовать нормированные весовые коэффициенты, которые можно получить либо путем попарных сравнений, либо путем экспертного назначения весов.

В рассматриваемой задаче возможны различные подходы к выбору кандидата на должность: мягкий, жесткий, рациональный и т. д. Мягкий подход обычно имеет место в условиях дефицита времени и квалифицированных кадров, основную директиву этого подхода можно сформулировать так: "лишь бы умел что-нибудь делать". При мягком подходе самый большой вес будет иметь правило d6 а все остальные будут одинаково значимыми. Значения весовых коэффициентов правил приведены в табл. 4.5.

Жесткий подход к выбору кандидата на должность возможен в случае избытка квалифицированных кадров и ресурса времени, отводимого для выбора. Целью такого подхода является поиск кандидата, наиболее соответствующего идеалу. Назначенные ЛПР экспертные оценки важности правил с использованием 10-балльной шкалы и соответствующие весовые коэффициенты приведены в табл. 4.5.

Таблица 2.5

Оценки важности правил

Нечеткие отношения D1, ..., D6, возводятся в степени, соответствующие весовым коэффициентам правил, после чего выполняется их пересечение и получается общее решение D.

В табл. 4.7. приведены результирующие лингвистические оценки альтернатив, полученные методом нечеткого вывода, и соответствующие им значения мер сходства.

Таблица 2.7

Результаты работы системы нечеткого вывода

Полученные результаты позволяют увидеть, что кандидаты u1, u2, u4, u5 являются удовлетворяющими специалистами (мера сходства больше 0,5), а кандидат u3 почти с одинаковым значением меры сходства принадлежит ко всем возможным категориям. При этом значения меры сходства находятся в интервале (0,22 - 0,32), что свидетельствует о весьма слабом сходстве с соответствующими понятиями. Такие результаты скорее следует интерпретировать как неспособность данного объекта вписаться в рамки имеющихся градаций при сформулированном наборе правил, чем как свойство быть похожим на все категории одновременно. Альтернатива u1 хорошо согласуется с понятием хорошего кандидата, а u2 и u5 — с понятием очень хорошего кандидата. Альтернатива u4 также претендует на роль очень хорошего кандидата, однако сходство с соответствующим нечетким прототипом имеет весьма невысокое.

Теория нечетких множеств, предложенная Л. Заде в 1961 г., к настоящему времени приобрела широкую популярность и получила практическое применение во многих отраслях знаний. В сфере принятия решений на базе этой теории разработан широкий спектр разнообразных методов, только небольшая часть из которых рассмотрена в настоящей книге. Нелегкой проблемой сегодняшнего дня является выбор подходящего метода или программного обеспечения для поддержки процессов принятия решений. Поэтому особую актуальность приобретают проведение сравнительного анализа различных методов и разработка рекомендаций по их применению.

Рассмотрим подходы к решению одной задачи многокритериального выбора в условиях неопределенности с использованием различных методов. При этом будем использовать исходную информацию, полученную от одного и того же высококвалифицированного эксперта. Ранее были рассмотрены задачи в условиях одинаковой и различной важности критериев. Последняя ситуация является более общей, поэтому будем решать задачу в условиях неодинаковой значимости критериев.

Анализ и оценка инвестиционных проектов — одна из самых сложных задач в сфере экономики, производства и управления. Ее сложность обусловлена, с одной стороны, значительной неопределенностью, так как при решении вопроса об инвестициях всегда нужно предвидеть будущее, и с другой стороны — наличием множества заведомо противоречивых критериев. Человеку (ЛПР) свойственно желать получения максимальной прибыли при минимальных затратах, чего, как известно, никому не удавалось достигнуть, поскольку минимальные затраты равны нулю. При решении подобных задач в условиях определенности целевая функция строится на основе независимых, а следовательно, и непротиворечивых критериев. Однако в условиях неопределенности анализ решений производится на основе вербальной экспертной информации, элементы которой могут противоречить друг другу. При этом результаты анализа решений, полученные любыми методами, теряют свою ценность, так как точность и достоверность результата вычислений никогда не могут превзойти точности и достоверности исходных данных.

На рис. 2.9 приведены результаты решения задачи выбора рационального инвестиционного проекта, полученные различными методами.

Рисунок 2.9

Несмотря на то, что исходная информация во всех рассмотренных примерах является последовательной и непротиворечивой, полученные результаты заметно отличаются. Кроме описанных выше нечетких методов принятия решений, для сравнения использовался метод анализа иерархий, который обычно дает результаты, хорошо согласующиеся с интуитивными представлениями экспертов при рациональном подходе к принятию решений.

Несовпадение результатов, полученных разными методами, объясняется, с одной стороны, разными способами представления экспертной информации, а с другой стороны — различием подходов к принятию решений. Максиминная свертка и лингвистическая векторная оценка являются реализациями пессимистического подхода, игнорирующего хорошие стороны альтернатив, когда лучшей считается альтернатива, имеющая минимальные недостатки по всем критериям. Аддитивная свертка предполагает оптимистический подход, когда низкие оценки по критериям имеют одинаковый статус по сравнению с высокими. Нечеткий вывод на правилах реализует эвристический подход.

Анализ приведенных результатов позволяет сделать следующие выводы:

1. Методы принятия решений на нечетких моделях позволяют удобно и достаточно объективно производить оценку альтернатив по отдельным критериям. В отличие от других методов добавление новых альтернатив не изменяет порядок ранее ранжированных наборов. При оценке альтернатив по критериям возможна как лингвистическая оценка, так и оценка на основе точечных оценок с использованием функций принадлежности критериев.

2. Основной проблемой многокритериального выбора с применением нечетких моделей является представление информации о взаимоотношениях между критериями и способы вычисления интегральных оценок. Методы, базирующиеся на разных подходах, дают различные результаты. Каждый подход имеет свои ограничения и особенности, и пользователь должен получить о них представление, прежде чем применять тот или иной метод принятия решений.

3. Большинство нечетких методов принятия решений показывает слабую устойчивость результатов относительно исходных данных. Исследование рассмотренных методов показало, что наибольшей устойчивостью обладает метод, основанный на правилах.

Заключение

Немногие задумываются, насколько ощутимую помощь могут оказать методы нечеткой логики в управлении. Ввиду вышеуказанных исследований можно сделать следующие выводы:

Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

Анализ нечетких методов принятия решений позволяет сформулировать требования к дальнейшим разработкам в этой области. Это развитие теоретических подходов к описанию сложных взаимоотношений между критериями, более широкое применение интеллектуальных методов на основе нечеткой логики, а также развитие комбинированных методов принятия решений с использованием нечетких представлений

Список использованной литературы

1. Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебное пособие / А.И.Орлов.- М.: Издательство «Экзамен», 2005. - 656 с.

2. Борисов А. Н., Кроумберг О. А., Федоров И. П. Принятие решений на основе нечетких моделей: примеры использования. – Рига: Зинатве, 1990. – 184 с.

3. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике — М.: Финансы и статистика, 2000. — 368 с.

4. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/Под ред. Д. А. Поспелова. — М.: Наука, 1986. — 312 с.

5. Боросов А.Н. Принятие решений на основе нечетких моделей: ПримерыI использования. Рига: Зинанте, 1990.

6. Вопросы анализа и процедуры принятия решений/Под ред. И.Ф. Шах-нова. М.: Мир, 1976.

7. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств/Пер, с франц. М,: Радио и связь, 1982.

9. Лебег А. Об измерении величин. - М.: Учпедгиз, 1960. - 204 с.

10. Орлов А.И. Основания теории нечетких множеств (обобщение аппарата Заде). Случайные толерантности. – В сб.: Алгоритмы многомерного статистического анализа и их применения. - М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1975. - С.169-175.

11. Орлов А.И.Математика нечеткости. - Наука и жизнь. 1982. No.7. С.60-67.