Содержание
Семестр 1_ 2
Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации_ 2
Абсолютные, относительные, средние величины_ 2
Относительные величины_ 2
Средние величины_ 2
Статистические распределения и их характеристики_ 3
Показатели вариации (колеблемости) признака_ 4
Сложение дисперсий_ 4
Показатель асимметрии_ 5
Показатель эксцесса (островершинности) 5
Кривые распределения 5
Выборочное наблюдение 6
Формулы ошибок простой случайной выборки_ 7
Формулы для определения численности простой и случайной выборки_ 7
Типичная выборка_ 7
Серийная выборка_ 8
Малые выборки_ 8
Корреляционная связь_ 8
Уравнение регрессии_ 9
Ряды динамики_ 10
Показатели динамики_ 10
Средние показатели динамики_ 10
Тренды_ 11
Семестр 2 (Индексы) 11
Семестр 1
Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации
Равный интервал
, величина интервала - , m
– число групп
Формула Стерджесса (величина интервала) - , n
– число наблюдений
Абсолютные, относительные, средние величины
Относительные величины
Относительные величины (ОВ) динамики характеризуют изменение явления во времени. (Коэффициент роста)
Темп роста
– с переменной базой - yn
– уровень явления за период
(например, выпуск продукции по кварталам года)
С постоянной базой - , yk
– постоянная база сравнения
ОВ планового задания
-
ОВ выполнения плана
-
ОВ динамики
-
ОВ структуры
характеризуют долю отдельных частей в общем объеме совокупности (удельный вес) -
ОВ координации
отражают отношение численности двух частей единого целого, т. е. показывают, сколько единиц одной группы приходится в среднем на одну, на 10 или на 100 единиц другой изучаемой совокупности.
ОВ координации -
ОВ наглядности (сравнения)
отражают результаты сопоставления одноименных показателей, относящихся к одному и тому же периоду времени, но к разным объектам или территориям (например, сравнивается годовая производительность труда по 2-м предприятиям)
ОВ сравнения -
Средние величины
Степенные средние общего типового расчета:
Средняя степенная простая
- , - индивидуальное значение признака, по которому рассчитывается средняя,
n
– объем совокупности (число единиц)
Средняя степенная взвешенная
- , fi
– частота повторения индивидуального признака
(=n)
| Значе-ние k |
Наименование средней |
Формула средней |
|
| Простая |
Средняя |
||
| -1 |
Гармоническая |
|
, |
| 0 |
Геометрическая |
|
|
| 1 |
Арифметическая |
|
, |
| 2 |
Квадратическая |
|
|
гарм.
< геом
< арифм
< квадрат
, x=w/f
Гармоническая простая – когда небольшая совокупность и индивидуальные значения не повторяются. Используется, если исчисляем среднюю из обратных величин.
Средняя квадратическая – для расчета среднего квадратического отклонения, являющегося показателем вариации признаков
Средняя геометрическая простая – для вычисления среднего коэффициента роста (темпа) в рядах динамики, если промежутки, к которым относятся коэффициенты роста, одинаковы.
Статистические распределения и их характеристики
Мода
– значение признака, которое наиболее часто встречается в совокупности
, - нижняя граница модального интервала (интервал с наибольшей частотой), - величина интервала, - частота в модальном интервале.
Медиана
– значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.
- положение медианы
, - нижняя граница медианного интервала, - накопленная частота интервала, предшествующего медианному, - частота медианного интервала.
Квартель
,
,
Дециль
, (от 1/10 до 9/10)
Показатели вариации (колеблемости) признака
Среднее линейное отклонение
– на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения.
-для несгруппированных данных (первичного ряда):
-для вариационного ряда:
Среднее квадратическое отклонение
- для несгруппированных данных:
- для вариационного ряда:
Дисперсия
- для несгруппированных данных:
- для вариационного ряда:
Коэффициент вариации
(используется для характеристики однородности совокупности по исследуемому признаку)
- до 17% – совокупность совершенно однородна, 17%-33% - достаточно однородна, >33% - неоднородна.
Сложение дисперсий
Величина общей дисперсии
() характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц данной совокупности
, - общая средняя арифметическая для всей совокупности
Межгрупповая дисперсия
() отражает систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки
,- средняя в каждой группе, - число единиц в каждой группе
Средняя внутригрупповая дисперсия
() характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки.
, где - дисперсия по отдельной группе
или
Равенство:
Корреляционное отношение
, >0,5 – связь между групповым фактором и результирующим признаком – тесная, <0,5 – связь слабая
Показатель асимметрии
, - центральный момент третьего порядка
Средняя квадратическая ошибка: , n
– число наблюдений
Если , асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если , асимметрия несущественна, ее наличие объясняется влиянием случайных обстоятельств.
- правосторонняя асимметрия, - левосторонняя асимметрия.
Показатель эксцесса (островершинности)
, - центральный момент четвертого порядка
>0 – высоковершинное, < 0 – низковершинное (= -2 – предел)
Средняя квадратическая ошибка: n
– число наблюдений
Кривые распределения
Кривая линия, которая отражает закономерность изменения частот в чистом, исключающем влияние случайных факторов виде, называется кривой распределения.
Плотность распределения (расчет теоретических частот)
, - нормированное отклонение
, - определяется по таблице (приложение 1)
Критерий согласия К. Пирсона (
для проверки близости теоретического и эмпирического распределений, для проверки соответствия эмпирического распределения закону нормального распределения)
f
– эмпирические частоты в интервале,
f
’
– теоретические частоты в интервале
Критерий согласия Романовского
,
m
– число групп,
m
-3 – число степеней свободы при исчислении частот нормального распределения
Если к<3, то можно принять гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения
Критерий Колмогорова
, D
– максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами,
n
– сумма эмпирических частот
Распределение Пуассона (теоретические частоты)
,
n
– общее число независимых испытаний, λ – среднее число появления редкого события в
n
одинаковых независимых испытаниях,
m
– частота данного события, е=2,71828
Выборочное наблюдение
N – объем генеральной совокупности
n – объем выборочной совокупности (число единиц, попавших в выборку)
- генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности)
- выборочная средняя
р – генеральная доля (доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности)
w – выборочная доля
- генеральная дисперсия
- выборочная дисперсия
- среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности
S – среднее квадратическое отклонение признака в выборочной совокупности.
Неравенство Чебышеба
При неограниченном числе наблюдений, независящих друг от друга из генеральной совокупности с вероятностью сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что расхождение между выборочной и генеральной средней будет сколь угодно малой величиной .
Теорема Ляпунова
Дает количественную оценку ошибки. При неограниченном объеме из генеральной совокупности с Р расхождения выборочной и генеральной средней равна интегралу Лапласа
, - нормированная функция Лапласа (интеграл Лапласа)
Р – гарантированная вероятность
t – коэффициент доверия, зависящий от Р
| Р
|
0,683 |
0,954 |
0,997 |
| t
|
1 |
2 |
3 |
- предельная ошибка выборки
, - стандартная среднеквадратическая ошибка
, - предельная (максимально возможная) ошибка средней,
t
– коэффициент кратности средней ошибки выборки, зависящий от вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки
, - предельная (максимально возможная) ошибка доли
Средняя ошибка (n>30) при случайной повторной выборке:
,
При случайной бесповторной выборке:
,
Формулы ошибок простой случайной выборки
| Способ отбора единиц |
||
| повторный |
бесповторный |
|
| Средняя ошибка μ:
Для средней |
|
|
| Для доли |
|
|
| Предельная ошибка Δ:
Для средней |
|
|
| Для доли |
|
|
Доверительные интервалы для генеральной средней –
Доверительные интервалы для генеральной доли –
Доверительная вероятность – функция от t, вероятность находится по приложению3
Формулы для определения численности простой и случайной выборки
| Способ отбора единиц |
||
| повторный |
бесповторный |
|
| Численность выборки (n): Для средней |
|
|
| Для доли*
|
|
|
| *
|
||
Типичная выборка
Применяется в тех случаях, когда из генеральной совокупности можно выделить однокачественные группы единиц (или однородные), затем из каждой группы случайно отобрать определенное число единиц в выборку.
Стандартная среднеквадратическая ошибка:
Повторный отбор - , - средняя из внутригрупповых
Бесповторный отбор -
Отбор единиц при типичной выборке из каждой типичной группы:
1.Равное число единиц , - число единиц, отобранных из
i
-ой типичной группы,
n
– общий объем,
R
– число групп
2.Пропорциональный отбор , - доля
i
-ой группы в общем объеме генеральной совокупности
3.Отбор единиц с учетом вариации случайного признака
Серийная выборка
Вместо случайного отбора единиц совокупности осуществляется отбор групп (серий, гнезд). Внутри отобранных серий производится сплошное наблюдение.
Средняя стандартная ошибка:
Повторный отбор - , , m
– число отобранных серий, - средний уровень признака в серии, - средний уровень признака для всей выборочной совокупности
Бесповторный отбор - , M
– общее число серий
Малые выборки
Выборки, при которых наблюдением охватывается небольшое число единиц (n<30)
Средняя ошибка малой выборки
,
Вероятность того, что генеральная средняя находится в определенных границах, определяется по формуле , - значение функции Стьюдента (приложение 4)
Корреляционная связь
Для оценки однородности совокупности – коэффициент вариации по факторным признакам
, совокупность однородна, если ≤ 33%
Линейный коэффициент корреляции
Несгруппированные данные
Сгруппированные данные -
Оценка существенности линейного коэффициента корреляции
при большом объеме выборки , . Если это отношение больше значения t-критерия Стьюдента (приложение 6, k=n-2, вероятность – 1-α)
при недостаточно большом объеме выборки ,
Корреляционное отношение
, , где , ,
| Признаки |
А(да) |
(нет) |
Итого |
| В (да) |
a |
b |
a+b |
| (нет) |
c |
d |
c+d |
| Итого |
a+c |
b+d |
n |
| A,b,c,d – частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернативных признаков, n – общая сумма частот |
|||
Коэффициент ассоциации
Коэффициент контингенции
Уравнение регрессии
Линейная
Гиперболичская
Параболическая
Показательная
Для проверки возможности использования линейной функции определяется разность , если она <0,1 то можно применить линейную функцию.
,m
– число групп
. Если < F-критерия, то можно. (Значение F-критерия определяется по таблице (приложение 5) α=0,05, число степеней свободы числителя (k1
= m-2) и знаменателя (k2
=n-m))
Достоверность уравнения корреляционной зависимости , - средняя квадратическая ошибка,
y
– фактические значения результативного признака, - значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии,
l
– число параметров в уравнении регрессии.
Если это отношение не превышает 10-15%, то уравнение хорошо отображает изучаемую взаимосвязь.
Ряды динамики
Показатели динамики
| Показатель |
Метод расчета |
|
| С переменной базой (цепные) |
С постоянной базой (базисные) |
|
| Абсолютный прирост (показывает, на сколько в абсолютном выражении уровень текущего периода больше (меньше) базисного)
|
|
|
| Коэффициент роста (показывает, во сколько раз уровень текущего периода больше (меньше) базисного)
|
|
|
| Темп роста, % (это коэффициент роста, выраженный в %, показывает, сколько процентов уровень текущего периода составляет по отношению к уровню базисного периоа)
|
|
|
| Темп прироста, % (показывает, на сколько % уровень текущего периода больше (меньше) уровня базисного периода)
|
|
|
| Абсолютное значение 1% прироста (показывает, какая абсолютная величина скрывается за относительным показателем – одним процентом прироста)
|
|
|
Средние показатели динамики
| Показатель |
Метод расчета |
| Средний уровень ряда -Для интервального ряда |
|
| -Для моментального ряда с равными интервалами |
|
| -Для моментального ряда с неравными интервалами |
|
| Средний абсолютный прирост |
или |
| Средний коэффициент рост |
или |
| Средний темп роста, % |
|
| Средний темп прироста, % |
или |
| Средняя величина абсолютного значения 1% прироста |
|
Тренды
Линейный
Пусть =0, тогда если количество уровней в ряду динамики нечетное, то временные даты (t) будут (-2, -1, 0, 1, 2). Если четное, то (-5, -3, -1, 1, 3, 5)
Семестр 2 (Индексы)
Индекс – относительная величина, характеризующая изменение уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или по сравнению с планом.
Индивидуальный индекс физического объема выпуска продукции
Индивидуальный индекс цен
Индивидуальный индекс затрат на выпуск продукции
Индивидуальный индекс стоимости продукции
Агрегатный индекс физического объема продукции
(Относительное изменение физического объема продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным)
- характеризует абсолютное изменение физического объема в относительном выражении без влияния ценового фактора.
Средний взвешенный арифметический индекс физического объема продукции
, iq
– индивидуальный индекс по каждому виду продукции
Средний взвешенный гармонический индекс физического объема продукции
Агрегатный индекс цен
(характеризует среднее изменение цен по совокупности различных видов продукции)
- абсолютное изменение всей стоимости продукции за счет изменения цен
Агрегатный индекс цен
(характеризует среднее изменение цен на потребительские товары)
Агрегатный индекс затрат на выпуск всей продукции
Двухфакторный индекс
Связь:
Индекс планового задания
Индекс степени выполнения плана
Связь:
Изменение себестоимости продукта А по фирме , средняя себестоимость -
Индекс влияния структурных сдвигов в объеме продукции
, d
0
– удельный вес каждого предприятия в общем объеме выпуска продукта А
Абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет двух факторов: , за счет изменения физического объема продукции -, за счет изменения цен на продукцию -
Абсолютное изменение общих затрат на выпуск продукции за счет двух факторов: , за счет изменения физического объема продукции - , за счет среднего изменения себестоимости единицы продукции - .
Выработка
- W = Q/T , W
– выработка,
Q
– физический объем реализованной продукции/услуг,
T
– затраты живого труда (среднесписочная численность работников/рабочих)
Трудоемкость
(показатель, обратный выработке) - t = 1/W = T/Q Трудоемкость характеризует величину затрат рабочего времени на единицу произведенной продукции.
Индекс динамики выработки переменного состава
, определяющий отношение выработки отчетного периода к выработке базисного периода - Iw
= W1
/W0
Этот индекс характеризует изменение производительности труда под влиянием всех факторов, а именно: НТП, человеческого фактора (квалификация и т.п.) и др.
Индекс динамики трудоемкости
- It
= t1
/t0
Индекс динамики трудоёмкости характеризует изменение трудоёмкости в отчетном периоде по сравнению с базисным, и его величина зависит от изменения трудоёмкости производимой продукции и от изменения объемов производства этой продукции.
IQ
= IW
* IT
– система связанных индексов, которая позволяет определить влияние интенсивных и экстенсивных факторов на изменение объема продукции, услуг.
Среднегодовая стоимость основных фондов
в базисном и отчетном годах - , - введенные в эксплуатацию фонды в течение года, - число месяцев эксплуатации фондов в данном году, - фонды, выбывшие из эксплуатации в течение года, - число месяцев, оставшихся до конца года после выбытия фондов из эксплуатации.
Фондоотдача
-.
Фондоёмкость
– показатель, обратный фондоотдаче, за базисный и отчетный годы по формуле
Индекс динамики фондоотдачи
IV
п.с.
= = Этот индекс характеризует изменение фондоотдачи под влиянием всех факторов, включая НТП (новая техника, технология), человеческий фактор, структурный фактор, который на уровне АО может выражаться в изменении состава основных фондов в отчетном по сравнению с базисным годом.
Индекс динамики фондоемкости
Влияние интенсивного (качественного) и экстенсивного (количественного) факторов
на абсолютное изменение физического объема продукции/услуг. Под экстенсивным фактором обычно понимают абсолютное изменение основных фондов. Под интенсивным – абсолютное изменение показателя фондоотдачи.
Влияние экстенсивного фактора:
Влияние интенсивного фактора:
Влияние обоих факторов
:
Показатели фондовооруженности рабочих
, - среднесписочная численность рабочих
.
Индекс динамики фондовооруженности:
Коэффициент износа основных фондов
на конец отчетного года
Износ фондов
на конец отчетного года