Министерство Образования, Молодежи и Спорта
Республики Молдова
Государственный университет Молдовы
Курсовая Работа
Тема: Электрон в слое.
Работу выполнил студент 3-го курса: Радченко Андрей
|
Кишинёв 1997 г. Микрочастица (электрон) в слое.
Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.
Она состоит в следующем :
Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x
, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :
ì-ћ2
/(2m)׶2
/¶x2
+ U0
, x < -a
Ùï
H = í-ћ2
/(2m0
)׶2
/¶x2
, -a < x < a
ï
î-ћ2
/(2m)׶2
/¶x2
+U0
, x > a
Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;
m0
- эффективная масса электрона в области II.
Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :
ì¶2
YI
/¶x2
+ 2m/ћ2
×(E - U0
)YI
= 0 , x £-a
ï
í¶2
YII
/¶x2
+ 2m0
/ћ2
×E×YI
= 0 , -a £ x £ a
ï
î¶2
YIII
/¶x2
+ 2m/ћ2
×(E - U0
)×YI
= 0 , x ³ a
Область
I :
Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :
YI
(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).
Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,
YI
(x) = A×exp(n×x).
Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :
YII
(x) = C×exp(i
×k×x) + D×exp(-i
×k×x).
Функция состояния для третьей области выглядит так :
YIII
(x) = F×exp(-n×x).
Где
k = (2m0
×E/ћ2
)1/2
n = (2m×(U0
-E)/ћ2
)1/2
.
Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :
¨ Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.
¨ В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.
¨ Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.
Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :
YI
(x=-a) = YII
(x=-a)
YII
(x=a) = YIII
(x=a)
YI
¢(x=-a)/m = YII
¢(x=-a)/m0
YII
¢(x=a)/m0
= YIII
¢(x=a)/m
А в наших определениях этих функций это выглядит так :
A×exp(-n×a) = C×exp(-i
×k×a) + D×exp(i
×k×a)
m-
1
×A× n×exp(-n×a) = i
×k×/m0
×(C×exp(-i
×k×a) - D×exp(i
×k×a))
C×exp(i
×k×a) + D×exp(-i
×k×a) = F×exp(-n×a)
i
×k×/m0
×(C×exp(i
×k×a) - D×exp(-i
×k×a)) = - n/m×F×exp(-n×a).
Теперь составим определитель :
|exp(-n×a) -exp(-i
×k×a) -exp(i
×k×a) 0 |
|m-
1
×n×exp(-n×a) -1/m0
×i
×k×exp(-i
×k×a) 1/m0
×i
×k×exp(i
×k×a) 0 |
|0 exp(i
×k×a) exp(-i
×k×a) -exp(-n×a) |
|0 1/m0
×i
×k×exp(i
×k×a) -1/m0
×i
×k×exp(-i
×k×a) 1/m×n×exp(-n×a)|
Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:
((n/m)2
- (k/m0
)2
)×Sin(2×k×a) + 2×k×n/(m×m0
)×Cos(2×k×a) = 0.
Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.
Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.
C = F×exp(-n×a)×{exp(i
×k×a) + exp(-3×i
×k×a) ×( i
×k/m0
- n/m)/(n/m + i
×k/m0
)}
D = C×exp(-2×i
×k×a)×( i
×k/m0
- n/m)/(n/m + i
×k/m0
)
A = exp(n×a)×(C×exp(-i
×k×a) + D×exp(i
×k×a)) .
Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :
A = RA
×F
C = RC
×F
D = RD
×F.
RA
, RC
, RD
- известные постоянные.
Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.
Действительно :
YI
(x) = F×RA
×exp(n×x)
YII
(x) = F×( RC
×exp(i
×k×x) + RD
×exp(-i
×k×x)).
YIII
(x) = F×exp(-n×x).
I1
+ I2
+ I3
= 1
Где
I1
= |F|2
×|RA
|2
×òQ
exp(2×n×x)×dx = |F|2
×|RA
|2
×(2×n)-
1
×exp(2×n×x) =
= |F|2
×|RA
|2
×(2×n)-
1
×exp(-2×n×a)
I2
= |F|2
×{ òL
|RC
|2
×dx + òL
|RD
|2
×dx + RC
×RD
*
×òL
exp(2×i
×k×x)×dx +
+ RC
*
×RD
×òL
exp(-2×i
×k×x)×dx } = |F|2
×{ 2×a×(|RC
|2
+ |RD
|2
) +
((exp(2&time
×k×a) - exp(-2×i
×k×a))×RC
×RD
*
/(2×i
×k) +
+ i
×((exp(-2×i
×k×a) - exp(2×i
×k×a))×RC
*
×RD
/(2×k) }
I3
= |F|2
×òW
exp(-2×n×x)×dx = |F|2
×(2×n)-
1
×exp(-2×n×a)
|F|2
= { |RA
|2
×(2×n)-
1
×exp(-2×n×a) + 2×a×(|RC
|2
+ |RD
|2
) +
((exp(2×i
×k×a) - exp(-2×i
×k×a))×RC
×RD
*
/(2×i
×k) +
+ i
×((exp(-2×i
×k×a) - exp(2×i
×k×a))×RC
*
×RD
/(2×k) + (2×n)-
1
×exp(-2×n×a) }-
1
.
Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.
Электрон в слоях
Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.
То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.
Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:
U(x)=U(x+2a) (1)
Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.
Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:
¶2
Y/¶x2
+ 2m/ћ2
×(E-U0
)Y = 0
следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.
Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:
r = exp(i
2ak)
Тогда Y(x+2ma) = Y(x)×rm
, где m=0, ±1, ±2,... (2)
Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0
) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.
Рассмотрим область
I:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:
¶2
YI
/¶x2
+ 2m2
/ћ2
×(E-U0
)YI
= 0 , 0 > x > -a
его решение выглядит просто:
YI
(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).
Где n = (2m2
(U0
-E) /ћ2
)1/2
Рассмотрим область
II:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:
¶2
YII
/¶x2
+ 2m1
/ћ2
×EYII
= 0 , a³x³ 0
его решение выглядит просто:
YII
(x) = C×exp(i
×p×x) + D×exp(-i
×p×x).
Где p = (2m1
E/ћ2
)1/2
Рассмотрим область
III:
¶2
YIII
/¶x2
+ 2m2
/ћ2
×(E - U0
)YIII
= 0 , 2a > x > a
его решение выглядит просто:
YIII
(x) = r (A×exp(n×x) + B×exp(-n×x)).
Запишем граничные условия:
YI
(x=0) = YII
(x=0)
YII
(x=a) = YIII
(x=a)
YI
¢(x=0)/m = YII
¢(x=0)/m0
YII
¢(x=a)/m0
= YIII
¢(x=a)/m
Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:
A+B=C+D
C exp(i
p a)+D exp(-i
p a) = exp(i
2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))
(A-B) n/m2
= (C-D) i
p / m1
(C exp(i
p a)-D exp(-i
p a)) i
p / m1
= exp(i
2 a k) n/m2
(A exp(n a)-B exp(-n a))
Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :
|1 1 -1 -1 |
|exp(i
×k×2a+n×a) exp(i
×k×2a-n×a) -exp(i
×p×a) -exp(-i
×p×a) |
|n/m2
-n/m2
-i
×p/m1
i
×p/m1
|
|n/m2
exp(i
×k×2a+n×a) -n/m2
×exp(i
×k×2a-n×a) - i
×p/m1
×exp(i
×p×a) i
×p/m1
×exp(-i
×p×a) |
и приравняем его к нулю.
Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.
Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.
a=10; U=10; m1
=4; m2
=1
| 0.1135703312666857 | 0.6186359585387896 | 0.2019199605676639 |
| 0.3155348518478819 | 0.05047267055441365 | 1.263391478912778 |
| 0.4544326758658974 | 2.137353840637548 | 0.808172718170137 |
| 2.479933076698526 | 0.4544326758658974 | 6.168062551132728 |
| 5.611693924351967 | 1.820461802850339 | 1.529165865668653 |
| 1.023077302091622 |
a=10 U=10m1
=2m2
=1
| 0.1032788024178655 | 0.2324238959628721 | 0.41331603936642 |
| 0.6460490460448886 | 0.930750939555283 | 1.26759057783714 |
| 1.656787195799296 | 2.098624192369327 | |
| 2.593469359607937 | 3.141805331837109 | |
| 3.744277072860902 | 5.887485640841992 |
a=10 U=10m1
=1m2
=1
| 0.05408120469105441 | 0.2163802958297131 | 0.4870681554965061 |
| 0.86644533469418 | 1.354969224117534 | 1.953300729714778 |
| 2.662383817919513 | 4.418966218448088 | 7.961581805911094 |
a=10 U=10m1
=0.5m2
=1
| 0.118992095909544 | 4.249561710930034 | 1.068004282376146 |
| 0.4754473139332004 | 5.78216724725356 | 2.955345679469631 |
| 1.895012565781256 |
a=10 U=10m1
=.25m2
=1
| 0.2898665804439349 | 4.30026851446248 |
| 2.479039415645616 | 1.132264393019809 |