В.Н. Катасонов
1. Рождение бесконечности
Бесконечность есть одна из фундаментальных категорий человеческой мысли. Тема бесконечности не является прерогативой ни одной специальной области культуры: бесконечное как символ, как проблема, как таинство присутствует и в искусстве, и в науке, и в философии, и в богословии. Отношение к бесконечности в разных культурах разное.
Античная мысль в основном рассматривает бесконечное как неоформленное, как неставшее и, следовательно, несовершенное. В пифагорейском списке противоположностей бесконечное стоит на стороне дурного (злого). Бытие в античной мысли тесно связано с категорией меры и предела. Бесконечное в этом смысле выступает как беспредельное, безграничное, почти не существующее – nohm. Бесконечное есть нечто близкое к хаосу, а иногда и отождествляется с ним. Бесконечное сближается у Платона и Аристотеля с категорией материи как бесформенным и в силу этого как бы несуществующим, постигаемым лишь «незаконнорожденным умозаключением» под-лежащим субстратом вещей. Бесконечное как беспредельное само по себе немыслимо, утверждает Платон в «Филебе»: «...Беспредельное множество отдельных вещей и [свойств], содержащихся в них, неизбежно делает также беспредельной и бессмысленной твою мысль, вследствие чего ты никогда ни в чем не обращаешь внимания ни на какое число» [1]. Бытие вещи доставляется идеей (или формой), которая ограничивает бесконечное, осуществляя «вписывание» вещи в упорядоченное единство Космоса.
В то же время есть античные философы, которые более позитивно используют категорию бесконечного. Прежде всего к ним относится Анаксимандр, у которого главным началом космологии служит апейрон (греч. noriepa – букв. безграничное), из которого возникают и в который возвращаются все вещи (однако по известным фрагментам не совсем ясно, является ли апейрон высшим бытийственным началом или только хаотической смесью основных элементов). Кроме того, здесь нужно назвать атомистов Левкиппа и Демокрита, у которых бесконечное пустое пространство содержит бесконечное количество атомов, образующих бесконечное количество миров. Однако понимание движения в пространственно-временном континууме, допускающем бесконечную делимость, сталкивается с непреодолимыми апориями, выдвинутыми Зеноном Элейским. Начиная с V в. до н.э. и вплоть до сегодняшнего дня эти апории неизменно воспроизводятся в европейской мысли, пытающейся понять структуру континуума.
Господствующее отношение к бесконечности в античности все же иное. В окончательном виде оно было выражено Аристотелем. Для Аристотеля бесконечность существует только потенциально как возможность безграничного изменения: «Бесконечное есть материя для завершенности величин и целое только в возможности, а не в действительности; оно делимо и при уменьшении и обратном прибавлении, а целым и ограниченным [бесконечное] оказывается не само по себе, а по отношению к другому; и поскольку оно бесконечно, оно не охватывает, а охватывается. Поэтому оно и непознаваемо, как бесконечное, ибо материя [как таковая] не имеет формы» [2]. Не существует актуально бесконечного тела, конечен и сам космос, не существует бесконечной последовательности причин (так как в противном случае, по Аристотелю, отсутствовала бы первоначальная истинная причина движения). Актуально бесконечное не дано ни чувствам, ни уму. Потенциальная бесконечность реализуется у Аристотеля для чисел в направлении возрастания – натуральный ряд, а для величин в направлении убывания – потенциально бесконечное деление данного отрезка. Непосредственно зависящая от этого круга идей античная математика всегда мыслит свои «прямые» и «плоскости» как конечные, хотя и произвольно большие отрезки или куски плоскостей (в отличие от новоевропейской математики, в которой уже с XVII в. начинают рассматривать бесконечные прямые, например, в проективной геометрии).
В неоплатонизме постепенно, не без существенного влияния восточной мистики, пробивает себе дорогу новое положительное понимание бесконечного. Переходной ступенью служили здесь философские взгляды Филона Александрийского, давшего эллинистическую транскрипцию библейского понимания Божества. Единое у Плотина, стоящее выше Ума и, следовательно, выше всякой определенности и формы (в частности, числа), не может быть названо бесконечным. Но Ум Плотин называет бесконечным в следующих смыслах: в смысле его бесконечного могущества, его единства и самодостаточности. Все сущее оказывается тем самым между двумя бесконечностями: актуальной бесконечностью божественного Ума и потенциальной бесконечностью мэональной материи, лишенной границ и формы и получающей свои определения только через «отражения» совершенств высшего бытия.
Существенный перелом в отношении бесконечного происходит с утверждением в европейской культуре христианства. Античная культура не имеет примера бесконечной «вещи», которую она могла бы осмыслить. Мысль о бесконечности оказывается для нее как бы только блуждающим эхом несуществующего возгласа... Но в христианском миропонимании такая бесконечная «вещь» обретена: это – сам Бог, всемогущий, всеведущий и бесконечно милостивый. Вместе с христианством в европейскую культуру приходит и идея творения мира ex nihilo, из ничего. Сама эта идея творения как перехода от ничто к бытию также символизирует собой актуальную бесконечность: если формирование чего-то нового из другого, предшествующего естественно зависит от соотношения мощи творческого начала и сопротивления материала, то идея творения из ничего требует уже бесконечной мощи Творца, преодолевающего саму онтологическую противоположность бытия и ничто. С актуальной же бесконечностью связано и христианское понимание свободы. Бог свободно творит мир, в Его творческом акте нет никакой логической необходимости, связывающей божественную волю и как бы измеряющей ее. В этой спонтанности творческого импульса, разрывающего всякую логическую непрерывность, скрыта актуальная бесконечность божественной любви, дарующей бытие всем вещам и человеку.
Не только христианский Бог в себе оказывается актуально бесконечным, но и творение, в различной мере, и в особенности человек как «образ Божий», несет на себе отпечаток совершенств Творца. Однако это понимание утверждается не сразу. У Оригена еще налицо сильнейшая зависимость от основных постулатов греческой мысли: даже Бог не сможет быть бесконечным, так как бесконечное не имеет формы и немыслимо. Если бы Бог был бесконечным, то Он не мог бы мыслить Самого Себя. Высшее совершенство Бога и его конечность необходимо связаны, по Оригену. Но уже Августин задает вопрос: неужели Бог не может мыслить всех чисел (натуральный ряд) разом? Конечность Бога несовместима, по Августину, с божественным достоинством. В отношении же тварного мира сдвиг происходит еще позднее. У Альберта Великого и Фомы Аквината еще полностью господствуют аристотелевские запреты: в мире не может существовать актуальная бесконечность. Даже точки континуума существуют в нем только потенциально.
2. Попытки «приручения» бесконечного
«Легализация» актуальной бесконечности в тварном мире исторически была тесно связана с обсуждением природы человеческой души. Последняя сотворена, согласно христианской теологии, «по образу Божьему». В какой степени божественные совершенства отразились в человеческой душе? Уже Дунс Скот настаивал, что человеческая душа по своей природе превосходит ту конечность, которая характерна для всего тварного: ведь человеческая душа способна воспринимать божественную благодать, т.е. самого бесконечного Бога. Значит, ей дарована некоторая, адекватная предмету восприятия, бесконечная воспринимающая способность. Еще дальше идут мистики. Экхарт прямо учит о том, что в глубине человеческой души имеется нетварная божественная «искорка». Как соприродная Богу, эта «искорка», естественно, актуально бесконечна. Подобное понимание образа Божьего прокладывало дорогу пантеизму и не раз осуждалось католической церковью. Однако в XV в. кардинал Николай Кузанский развивает свое учение о совпадении абсолютного максимума и абсолютного минимума. В рамках этого учения бесконечное, абсолютный максимум становится «адекватной мерой» всех конечных вещей. Понимание соотношения бесконечного и конечного принципиально меняется по отношению к античному: если для последнего все конечное было актуальным, а бесконечное выступало лишь как потенциальное, то для Кузанца – наоборот, любая конечная вещь выступает как потенциальное ограничение актуально бесконечной божественной возможности – бытия (possest)! Аналогично и в рамках пантеизма Спинозы оказывается, что omnis determinatio est negatio (каждое определение есть отрицание): не через предел, не через ограничение бесформенной материи получают вещи свое бытие, а именно от подлежащей бесконечной божественной субстанции, внутри которой самоопределение выступает как частичная негация. Божественная субстанция – природа имеет бесконечные атрибуты, в том числе протяженность и длительность. Время же, число и мера являются только конечными, или потенциально бесконечными, средствами воображения. В анализе проблемы бесконечного Спиноза предвосхищает подходы к бесконечному у создателя теории множеств Г. Кантора.
Спекулятивная теология Николая Кузанского также служит основанием представлений и о бесконечности Вселенной. Бог является «основанием» мира: то, что содержится в Боге «в свернутом виде», мир «разворачивает» в пространстве и времени. Пространственная протяженность мира и время его существования не могут быть конечными, потому что они «выражают» бесконечность Бога. Хотя мир не является бесконечным в том же смысле, как и Бог, – мир не есть все, что может быть, – тем не менее его привативная бесконечность (не Infinitum, а Indeterminatum) включает в себя бесконечность пространства и времени. Пересмотр Н. Коперником геоцентрической системы и полемический талант Дж. Бруно помогают этому тезису Кузанца стать в высшей степени популярным к XVIII столетию.
На фоне других философов XVII в. В. Лейбниц выступает как наиболее убежденный защитник существования актуальной бесконечности. Тема бесконечности обсуждалась Лейбницем в разных аспектах. Актуально бесконечно, прежде всего, количество субстанций – монад в Универсуме. Каждая часть материи представляет собой также актуально бесконечную совокупность монад. Устойчивость агрегатов этих монад связана с особыми принципами их подчинения и с законом предустановленной гармонии. «Всякую часть материи можно представить наподобие сада, полного растений, и пруда, полного рыб. Но каждая ветвь растения, каждый член животного, каждая капля его соков есть опять такой же сад или такой же пруд» («Монадология», № 67). И эта иерархия вложенных друг в друга миров продолжается у Лейбница до бесконечности. Каждая монада представляет в своих восприятиях весь бесконечный универсум, бесконечный как в пространстве, так и во времени. Это понимание ведет Лейбница в психологии к формулировке концепции бесконечно малых («подсознательных») восприятий. В математике же это приводит к особому пониманию структуры пространственного континуума и, наконец, к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Лейбницевские идеи в отношении актуальной бесконечности остаются в высшей степени действенными и по существу непревзойденными все последующие три столетия (см. [3, т. 1], особенно гл. 2). Лейбниц же указал и на характерную аналогию между проблемами свободы и структуры континуума (см. [4, с. 312–314] – «О свободе»). Обе имеют общий логический корень, связанный с актуальной бесконечностью.
Однако Лейбниц хорошо понимал, что овладеть бесконечностью в науке не удается чисто техническими средствами (в отличие, например, от Б. Больцано, надежды которого справиться с бесконечностью чисто формально, в рамках некоторого исчисления, явно усматриваются в его «Парадоксах бесконечного» – см. [5, гл. I, § 5]). Продвижение науки в бесконечное, – как в бесконечно малое, так и бесконечно большое, – требует «интеллектуальной оптики» с бесконечным увеличением, требует метафизики, новых метафизических постулатов. И великий немецкий ученый и философ явно формулирует эти постулаты. Главным здесь является принцип непрерывности Лейбница или, более точно, некоторое конкретное его выражение: принцип законопостоянства. «Принцип же этот состоит в том, что свойства вещей всегда и повсюду являются такими же, каковы они сейчас и здесь», – формулирует этот принцип Лейбниц в письме к королеве Пруссии Софии-Шарлотте (см. [4, т. 3, с. 389]). Принцип этот применяется к бесконечному, т.е. утверждается, что «на бесконечности» все будет происходить так же, как и в конечном. Именно этот постулат позволяет Лейбницу рассматривать «бесконечно малые треугольники» в дифференциальном исчислении в одном ряду с конечными, настаивать на справедливости преформистской доктрины в эмбриологии и утверждать в метафизике существование непрерывной шкалы расположенных в направлении возрастания совершенства монад, идущей от «непробужденных» монад минералов через растения, животных и человека вплоть до высшей субстанции... – до Самого Бога. Принцип законопостоянства, тесно связанный с лейбницевским принципом достаточного основания, как бы «связывает» божественную волю с божественной мудростью и, устанавливая тотальную логическую когерентность мира, не оставляет ни единой возможности для каких-либо онтологических «зияний», будь то случайное событие или чудо...
Новых существенных инициатив в деле «приручения» бесконечности пришлось ждать после Лейбница почти 200 лет. С 1870-х гг. Г. Кантор начинает печатать свои работы по теории множеств. Кантор строит особые бесконечные числа (ординалы) и их арифметику. Основные свои работы он написал в рамках «наивной» теории множеств исходя из представления о самоочевидности основного понятия
Примеров подобной навязчивости история становления теории множеств знает немало. Один из самых знаменитых – это континуум-гипотеза. Г. Кантор очень надеялся и настойчиво стремился доказать, что следующая по величине после мощности множества натуральных чисел a0 идет как раз мощность множества, представляющего собой арифметическую модель континуума (подробнее см., например, [5, гл. 5, § 1]).
2a0 = a1
Однако ни самому Кантору, ни его последователям доказать этого не удалось. В 1963 г. П. Коэн показал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках теории множеств Цермело – Френкеля... Более того, Коэн склонялся к тому, что мощность континуума больше [6, с. 42], чем любое an для любого n, больше aw и т.д. (w есть первый бесконечный ординал, соответствующий множеству всех натуральных чисел {1, 2, 3,...})... Бесконечное разоблачает наши наивные ожидания, что в нем «все происходит так, как здесь и теперь». В бесконечном слишком много возможностей. И главное, непонятно вообще, как эти возможности можно было бы «учесть», инвентаризировать.
3. Умудренное незнание
Даже в своих простейших вариантах мир теории множеств оказывается в высшей степени парадоксальным. Трудно сразу представить, что принятие аксиомы выбора, столь казалось бы естественного утверждения, приводит к парадоксу Банаха – Тарского: «Используя аксиому выбора, можно разбить шар на конечное число частей, которые можно переставить так, что получатся два шара такого же размера, как и исходный шар» [7, с. 42]. И сразу, конечно, возникает вопрос: а как это соотносится с физическим миром? Неужели подобное возможно и в отношении вещества?.. Или же аксиома выбора здесь неприменима?.. Мы не знаем ответов на эти вопросы.
Так называемые парадоксы, а точнее, сложнейшие апории, были «язвою» теории множеств с самых первых этапов ее вхождения в научный оборот, уже с 1890-х гг. Так, Б. Рассел, анализируя канторовскую теорему о так называемом «множестве-степени» (теорема о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет мощность большую, чем исходное множество), выделил понятие «множества, которое не является элементом самого себя». Например, множество всех множеств не будет таким множеством, а множество натуральных чисел является множеством, не совпадающим ни с каким своим элементом. Если мы рассмотрим множество М всех множеств, не являющихся элементами самого себя, то мы не сможем ни отрицательно, ни утвердительно ответить на вопрос: будет ли оно само множеством того же типа, что и его элементы, т.е. множеством, не содержащим самого себя в качестве элемента? Если мы ответим утвердительно, отсюда следует, что М как содержащее все множества, не являющееся собственным элементом, должно содержать и себя, что противоречит предположению. Если же мы ответим отрицательно, т.е. М не является множеством, не содержащим себя в качестве элемента, тогда, значит, М содержит себя в качестве своего элемента, но все элементы М суть множества, не содержащие себя в качестве своего элемента, т.е. мы опять получаем противоречие. На основании подобных размышлений Рассел сформулировал определение предикативных и непредикативных свойств множеств. Только первые могут действительно определять множества; использование же вторых ведет к парадоксам. Эти наблюдения воплотились в дальнейшем в так называемую теорию типов, которую Рассел развивал совместно с Уайтхедом.
Другим очень неприятным казусом был парадокс Бурали-Форти. Речь в нем идет о множестве W всех порядковых чисел. Согласно конструкциям Кантора, это множество вполне упорядочено, и, следовательно, оно должно иметь соответствующий порядковый тип b. Этот тип b должен быть больше, чем все типы, содержащиеся в W. Однако по условию W есть объединение всех порядковых типов, т.е. b тоже входит в W. И мы тем самым приходим к противоречию: b>b. Бурали-Форти делал из этого парадокса тот вывод, что канторовская теорема о сравнимости любых ординалов неверна. И тогда разрушалось также утверждение и о сравнимости любых кардиналов (мощностей).
Кантор пытался уйти от парадоксов, связанных с «очень большими» множествами, по существу, опять... введением новых аксиом. Уже к концу 1990-х гг. он предлагает (в письмах к Дедекинду) различать множественность (или совокупность) (Vielheit) и множество (Menge). Не всякая множественность есть множество. Если «совместное бытие» всех элементов некоторой множественности (совокупности) можно «мыслить без противоречия», то мы говорим, – по Кантору, – что нам дано некоторое множество. В противном случае мы можем говорить только о множественности или неконсистентной совокупности. Например, именно таков случай, когда мы рассматриваем «совокупность всего мыслимого» или множества всех множеств, не являющихся элементом самого себя из парадокса Рассела. Собственно говоря, теория множеств в своей содержательной части действительна только для множеств, а не для любых совокупностей.
Но как же практически определять, будет ли совокупность консистентной или нет? На основании чего мы можем утверждать, что множественности, которым приписываются даже первые кардинальные числа: a0 (мощность любого счетного множества), a1, .., an – являются консистентными? Ответ Кантора определенен и... неубедителен: утверждение о консистентности этих множеств есть «аксиома обобщенной трансфинитной арифметики» (см. [5, гл. 5, § 3]). Но опять, не является ли постулирование подобных свойств для бесконечности ничем не оправданной «навязчивостью» в отношении этого таинственного «объекта»?
Любопытно заметить, что вместе с признанием существования неконсистентных совокупностей рушилась одна из основных интенций теории множеств. Кантор с самого начала стремился преодолеть потенциальность, «дурную бесконечность» потенциальной бесконечности, стремился утвердить рассмотрение бесконечного как актуальной данности. Но в конце концов это оказалось в принципе невозможным. Например, вся совокупность ординалов (участвующая, в частности, и в парадоксе Бурали-Форти) является неконсистентной... «Теория множеств, – пишет чешский математик П. Вопенка, – усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу» [8, с. 24].
Драматические события истории «приручения» актуальной бесконечности в науке вызывают в памяти классическую дихотомию христианского богословия: апофатический и катафатический путь познания Бога. Катафатическое (от греч. Vokitajatak – утвердительный) богословие описывает Бога так, как Он нам является в откровении. Здесь Богу подобают имена – Мудрость, Любовь, Благость и т.д., взятые в превосходной степени. Однако в своей природе, в своей сущности Бог остается трансцендентным и непостижимым. Бог неименуем в своей глубине, и путь приближения к нему есть путь христианской мистики. Соответствующее этому богословие называется апофатическим (от греч. ajVokitajop – отрицательный). «Путь негативный, апофатический стремится познать Бога не в том, что Он есть (т.е. не в соответствии с нашим тварным опытом), а в том, что Он не есть», – пишет В.Н. Лосский [9, с. 261–336]. Путь этот состоит в последовательности отрицаний: исключается все тварное, все тварные качества, включая и «небеса», т.е. ангельский мир. Далее исключаются самые возвышенные атрибуты: благость, любовь, мудрость, – так как Бог выше и всего этого. И наконец, бытие, ибо Бог как источник самого существования выше и бытия. Остается лишь мистический опыт неизреченного предстояния Живому Богу, лицом к Лицу...
Эта традиционная богословская дихотомия как бы отзывается эхом и в научных интерпретациях бесконечности. Исторически традиционный, «консервативный» подход к бесконечности, укорененный еще в греческой античности, – именно «апофатический». Отказываясь рассматривать актуально бесконечное, признавая только потенциальную бесконечность, мы как бы остаемся «по эту сторону» от бесконечности, рассматриваем ее только с точки зрения конечного. Спекулятивные же построения с актуально бесконечным есть уже «катафатика»: мы претендуем познать бесконечное в самом себе. Вся сложность в том, что бесконечность, действительно, нам в некотором смысле «дана». Кантор справедливо писал, что если мы признаем потенциальную бесконечность, то мы должны признать и актуальную [10, с. 297]. Актуальная бесконечность представляет собой как бы «вместилище», в котором разворачивается ряд потенциальной бесконечности (например, натуральный ряд чисел: 1,2,3,..), и это вместилище должно быть уже актуально данным. Мы «видим» это вместилище как бы «боковым зрением»; точнее говоря, мы не можем «видеть» этого вместилища как отдельный «объект», потому что мы сами есть его часть, а грань между субъектом и объектом оказывается здесь снятой... Кантор прав, что нам дано это «объемлющее вместилище», однако каким должен быть «способ передвижения» по нему – вопрос сложный и спорный... В нашем восприятии актуально бесконечного «по ту сторону» субъект-объектной грани опять усматривается некоторая параллель с апофатикой христианского опыта, в которой предстояние Богу лицом к лицу также «неслиянно и нераздельно». Хотя, конечно, есть и существенная разница: опыт, так сказать, «математической апофатики» характерно безличен... Скорее его можно уподобить неоплатонической апофатике: в этом «все» актуально бесконечного открывается нам как бы только «пространство» для личной встречи (см., например, [9]).
Мы говорили выше, что позитивные попытки осмысления бесконечности начались в европейской мысли именно с утверждением христианства. Наличие этой «пуповины», связывающей проблемы бесконечности и теологию, в новейшее время было еще раз убедительно засвидетельствовано работами Кантора. Четыре столетия настойчивых усилий по осмыслению бесконечного не принесли нам много нового знания. Бесконечность и сегодня остается для нас глубокой тайной, такой же непостижимой, как свобода, личность, Бог. Эти попытки, однако, позволили «расчистить почву», лучше осознать, что мы действительно знаем, что нам только кажется, а чего мы просто очень хотим... Благодаря этому мы сегодня можем, в частности, лучше оценить мудрость слов, сказанных на заре новоевропейской науки одним из ее гениальных пионеров, Блезом Паскалем: «Мы знаем, что есть бесконечность, но мы не знаем ее природы... Можно, следовательно, также очень хорошо знать, что Бог есть, не зная того, что Он есть; и мы не должны заключать, что Бога нет из того, что мы неясно осознаем Его природу» (см. [11, p. 161]).
Список литературы
1. Платон. Филеб. – 17e, 4–8 (пер. Н.В.Самсонова).
2. Аристотель. Физика. 207a, 22–27 (пер. В.П.Карпова).
3. Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. М.: Наука, 1993.
4. Лейбниц Г.В. Сочинения в четырех томах. Т. 1. М., 1982. С. 312–317.
5. Катасонов В.Н. Боровшийся с бесконечным: Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. М.: Мартис, 1999.
6. Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. Библиотека сб. «Математика». М., 1982.
7. Справочная книга по математической логике. Ч. II. Теория множеств. М., 1982.
8. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. Новое в зарубежной науке // Математика. М.: Мир, 1983. № 31.
9. Лосский В.Н. Догматическое богословие // Мистическое богословие. Киев, 1991. С. 261–336.
10. Кантор Г. Труды по теории множеств / Отв. ред. А.Н. Колмогоров, А.П. Юшкевич. М., 1985.
Pensees // Pensees de Pascal et de Nicole. Paris, 1852.