Статистическая обработка экспериментальных данных

Аннотация

Темой курсовой
работы является
"Статистическая
обработка
экспериментальных
данных". Целью
курсовой работы
является закрепление
изученного
материала по
дисциплине
"Метрология,
стандартизация
и сертификация"
и приобретение
практических
навыков обработки
экспериментальных
данных различных
видов измерений.

В курсовой
работе приведены:

– в разделе
"Однократные
измерения":
порядок выполнения
однократного
измерения,
внесены необходимые
поправки и
определен
предел, в котором
находится
значение измеряемой
величины;

– в разделе
"Многократные
измерения":
результаты
измерений,
порядок выполнения
многократного
измерения,
исключены
ошибки из результатов
измерений и
определен
результат
измерений;

– в разделе
"Обработка
результатов
нескольких
серий измерений":
серии результатов
измерений,
порядок их
обработки и
результат
измерения;

– в разделе
"Косвенные
измерения":
функциональная
зависимость
между искомой
величиной Z
и измеряемыми
величинами
X
и Y,
определены
и внесены поправки
и определен
результат
измерения;

– в разделе
"Определение
погрешностей
результатов
измерений
методом математической
статистики":
результаты
измерения,
выстроены:
гистограмма
нормального
рассеяния
измерений и
график реального
рассеяния
измерений в
едином масштабе.

Курсовая
работа содержит
30 листов расчетно-пояснительной
записки.

1

СОДЕРЖАНИЕ

Курсовая
работа 1

Введение 3

1. Однократное
измерение 4

2. Многократное
измерение 6

3. Обработка
результатов
нескольких
серий измерений 13

4. Функциональные
преобразования
результатов
измерений
(косвенные
измерения) 19

5. Определение
погрешностей
результатов
измерений
методом математической
статистики 25

29

Литература 30

Измерения
— один из важнейших
путей познания
природы человеком.
Они играют
огромную роль
в современном
обществе. Наука
и промышленность
не могут существовать
без измерений.
Практически
нет ни одной
сферы деятельности
человека, где
бы интенсивно
не использовались
результаты
измерений,
испытаний и
контроля.

Диапазон
измерительных
величин и их
количество
постоянно
растут и поэтому
возрастает
и сложность
измерений. Они
перестают быть
одноактным
действием и
превращаются
в сложную процедуру
подготовки
и проведения
измерительного
эксперимента
и обработки
полученной
информации.

Другой причиной
важности измерений
является их
значимость.
Основа любой
формы управления,
анализа, прогнозирования,
контроля или
регулирования
— достоверная
исходная информация,
которая может
быть получена
лишь путем
измерения
требуемых
физических
величин, параметров
и показателей.
Только высокая
и гарантированная
точность результатов
измерений
обеспечивает
правильность
принимаемых
решений.

Условие.
При
однократном
измерении
физической
величины получено
показание
средства измерения
X
= 10. Определить,
чему равно
значение измеряемой
величины, если
экспериментатор
обладает априорной
информацией
о средстве
измерений и
условиях выполнения
измерений,
согласно исходным
данным.

Исходные
данные:

Показание
средства измерения
– X
= 10.

Вид закона
распределения
– равномерный.

Значение
оценки среднеквадратического
отклонения
– SX
= 0,8.

Значение
аддитивной
поправки – Θa
= 0,9.

Расчет.
Так как в качестве
априорной
используется
информация
о законе распределения
вероятности,
т.е. закон распределения
вероятности
является равномерным,
то пределы, в
которых находится
значение измеряемой
величины,
определяются
через доверительный
интервал:

; (1)

Для
равномерного
закона распределения
вероятности
результата
измерения
значение E
(аналог доверительного
интервала)
можно определить
из выражения:

,
(2)

где
.

Внесем
аддитивную
поправку и
уточним пределы,
в которых находится
значение измеряемой
величины.

Условие.
При многократном
измерении одной
и той же физической
величины получена
серия из 24 результатов
измерений Qi;
.
Определить
результат
измерения.

Исходные
данные:

Таблица 1

Расчет.
Порядок расчета
и их содержание
определяются
условием:

10…15 < n<
40…50,

так как n
= 24.

1. Определяем
оценки результата
измерения
и среднего
квадратического
отклонения
результата
измерения
.

(3)

(4)

Для удобства
вычисления
среднего
квадратического
отклонения
результата
измерения
составим таблицу:

Таблица 2

2. Необходимо
обнаружить
и исключить
ошибки. Для
этого:

– вычисляем
наибольшее
по абсолютному
значению
нормированное
отклонение

(5)

– задаемся
доверительной
вероятностью
P
= 0,95 и из соответствующих
таблиц (табл.
П6) с учетом q
= 1 – P
находим соответствующее
ей теоретическое
(табличное)
значение
:

при n
= 24;

– сравниваем
с
:
.
Это означает,
что данный
результат
измерения Qi,
т.е. Q24
является ошибочным,
он должен быть
отброшен. Необходимо
повторить
вычисления
по п.п. 1 и 2 для
сокращенной
серии результатов
измерений и
проводить их
до тех пор, пока
не будет выполняться
условие
.

Повторяем
вычисления,
при этом отбрасываем
измерение №24:

(6)

(7)

Таблица 3

при n
= 23;

Сравниваем
с
:
.
Отбрасываем
измерение №11
и повторяем
вычисления.

(8)

(9)

Таблица 4

при n
= 22;

Сравниваем
с
.
Так как
,
то результат
измерения №10
не является
ошибочным и
окончательно
остается 22
измерения, т.е.
n
= 22.

3. Проверяем
гипотезу о
нормальности
распределения
оставшихся
результатов
измерений.

– Применяем
критерий 1, вычисляем
отношение

(10)

– задаемся
доверительной
вероятностью
P1
= 0,99 и для уровня
значимости
q1
= 1 – P1
по таблице П7
определяем
квантили
распределения
и
,
,
для
n
= 22.

– сравниваем
с
и
:
,
значит гипотеза
о нормальном
законе распределения
вероятности
результата
измерения
согласуется
с экспериментальными
данными, т.е.
результаты
наблюдений
можно считать
распределенными
нормально.

Так как
n
> 15, применяем
критерий 2.

– задаемся
доверительной
вероятностью
P2
= 0,98 и для уровня
значимости
q2
= 1 – P2
с учетом n
= 22 определяем
по таблице П8
значения m
и P*.
m
= 2; P*
= 0,97.

– для
вероятности
P*
из таблиц для
интегральной
функции нормированного
нормального
распределения
Ф(t)
определяем
значение t:

;
(11)

при Ф(t)
= 0,485 t
= 2,17;

Рассчитываем
E:

; (12)

;

Согласно
критерию 2 результаты
наблюдений
принадлежат
нормальному
закону распределения,
если не более
m
разностей
превысили E.
Из таблицы 4
видно, что ни
одна разность
не превышает
E
= 3,4566. Следовательно,
гипотеза о
нормальном
законе распределения
вероятности
результата
измерения
согласуется
с экспериментальными
данными.

Соблюдаются
оба критерия,
значит закон
можно признать
нормальным
с вероятностью
,
.

4. Определяем
стандартное
отклонение
среднего
арифметического.

Так как
закон распределения
вероятности
результата
измерений
признан нормальным,
то стандартное
отклонение
определяем
как:

(13)

5. Определяем
доверительный
интервал.

Закон
распределения
вероятности
результата
измерений
признан нормальным,
поэтому доверительный
интервал для
заданной
доверительной
вероятности
P
определяется
из распределения
Стьюдента.

P
= 0,98;
;
t
= 2,33;

;
(14)

Значение
Q
будет находиться
в пределах:

Условие.
При многократных
измерениях
одной и той же
величины получены
две серии по
12 (nj)
результатов
измерений в
каждой. Эти
результаты
после внесения
поправок представлены
в таблице 5.
Вычислить
результат
многократных
измерений.

Исходные
данные:

Таблица 5

Расчет.

1. Обрабатываем
экспериментальные
данные по алгоритму,
изложенному
в п.п. 1–3 задания
2, при этом:

– определяем
оценки результата
измерения
и среднеквадратического
отклонения
;

– обнаруживаем
и исключаем
ошибки;

– проверяем
гипотезу о
нормальности
распределения
оставшихся
результатов
измерений.

(15)

(16)

Таблица 6

;

(17)

;
;

при n
= 12;

– сравниваем
и
с
:
и
.
Результаты
измерения Q1,11
и Q2,12
являются ошибочными,
они должны быть
отброшены.

Повторяем
вычисления,
при этом отбрасываем
измерения №1-11
и №2-12:

(18)

(19)

Таблица 7

;

;
;

при n
= 11;

Сравниваем
и
с
:
и
.
Результаты
измерений №1 10
и №2-9 не являются
ошибочными
и окончательно
остается 11 измерений
для обоих серий
измерений, т.е.
n
= 11.

– Так
как n
.

2. Проверяем
значимость
различия средних
арифметических
серий. Для этого:

– вычисляем
моменты закона
распределения
разности:

,
(21)

n1
= n2
= n

(22)

– задавшись
доверительной
вероятностью
P
= 0,95, определяем
из таблицы
интегральной
функции нормированного
нормального
распределения
Ф(t)
значение t.

t =
1,645

– сравниваем
с
,
.
.
Различия между
средними
арифметическими
в сериях с
доверительной
вероятностью
P
можно признать
незначимым

3. Проверим
равнорассеянность
результатов
измерений в
сериях, для
этого:

– определяем
значение Ψ:

(23)

> 1

Из таблицы
находим значение
аргумента
интегральной
функции распределения
Фишера Ψ0;
Ψ0=1,96 при
P=0,95.

Сравниваем
Ψ и Ψ0:
Ψ > Ψ0,
следовательно,
серии с доверительной
вероятностью
P
= 0,95 считаем рассеянными.

4. Обрабатываем
совместно
результаты
измерения обеих
серий с учетом
весовых коэффициентов:

– определяем
оценки результата
измерения
и среднеквадратического
отклонения
S

(24)

(25)

– задавшись
доверительной
вероятностью
P
= 0,95, определяем
по таблице t
= 1,96. Определяем
доверительный
интервал.

Условие.
При многократных
измерениях
независимых
величин X
и Y
получено по
12 (n)
результатов
измерений. Эти
результаты
после внесения
поправок представлены
в таблице 8.
Определить
результат
вычисления
Z = f (X,Y).

Исходные
данные:

Таблица 8

Расчет.

1. Обрабатываем
экспериментальные
данные по алгоритму,
изложенному
в п.п. 1–3 задания
2, при этом:

– определяем
оценки результатов
измерений
,
и среднеквадратических
отклонений
и
;

– обнаруживаем
и исключаем
ошибки;

– проверяем
гипотезу о
нормальности
распределения
оставшихся
результатов
измерений.

; (25)

; (26)

Таблица 9

;
;

; (27)

;
;

при n
= 12;

– сравниваем
и
с
:
и
.
Результаты
измерения X11
и Y12
являются ошибочными,
они должны быть
отброшены.

Повторяем
вычисления,
при этом отбрасываем
измерения X11
и Y12:

Таблица 10

(28)

;

(29)

;

;
;

при n
= 11;

Сравниваем
и
с
:
и
.
Результаты
измерений X10
и Y9
не являются
ошибочными
и окончательно
остается 11 измерений
для обоих видов
величин измерений,
т.е. n
= 11.

Так как
n
.

2. Определяем
оценку среднего
значения функции

; (30)

3. Находим
частные производные
первого и второго
порядка для
функции Z = f (X,Y)
по X
и Y.

;

;

;

;

Определяем
поправку:

(31)

4. Определяем
оценку стандартного
отклонения
функции

(32)

5. Находим
число степеней
свободы

(33)

Определяем
доверительный
интервал для
функции, для
этого задаемся
доверительной
вероятностью
P
= 0,98 и из распределения
Стьюдента
находим t

n =
m
+ 1 = 17 + 1 = 18

t =
2,57

(34)

Значение
функции будет
находиться
в промежутке:

Условие.
В ходе измерений
физической
величины получены
100 результатов
измерения,
представленных
в таблице 11.
Исключить
погрешности
и определить
достоверный
результат
измерения.

Исходные
данные:

Таблица 11

Расчет.
Случайные
погрешности,
имеющие место
при измерении,
подчиняются
закону нормального
распределения,
который графически
изображается
кривой Гаусса,
имеющей симметричную
форму с округленной
вершиной и с
каждой стороны
по одной точке
перегиба на
некотором
расстоянии
от вершины.

При проведении
исследования,
чтобы составить
графики и определить,
на сколько
полученная
кривая рассеяния
фактических
результатов
измерения
приближается
к теоретической
кривой нормального
распределения,
обе кривые надо
начертить
совмещёнными
в одинаковом
масштабе. С
этой целью
рассчитаем
данные, необходимые
для построения
кривой нормального
распределения.
Для сокращения
расчетов и
упрощения
примерного
построения
кривой нормального
распределения
можно ограничиться
определением
только трех
параметров:
максимальной
ординаты Ymax
(при X = 0),
ординаты для
точек перегиба
Yσ
(при X
= ±SQ)
и величины поля
рассеяния.

Результаты
измерения Qi
разбиваем на
9 групп через
установленные
интервалы с
указанием
абсолютной
частоты (mi)
появления
результата
измерения
внутри каждого
интервала.
Данные располагаем
для удобства
расчетов в
форме таблицы
(таблица 12), заполняемой
по мере проведения
расчетов.

Величина
интервала
определяется
по формуле:

(35)

Таблица 12

(36)

Определим
среднеквадратическое
отклонение:

(37)

Для построения
кривой нормального
рассеяния
определим:

1. Ymax: (38)

2. Y
для точек перегиба
(X
= +σ):

(39)

3. Величина
поля рассеяния

4. Координаты
кривой нормального
рассеяния

По этим данным
строится кривая
нормального
распределения
непосредственно
на графике
рассеяния
фактических
значений.

Величина
смещения центра
поля рассеяния
от середины
области допустимых
значений по
абсциссе равна:

, (40)

где: Qср
– абсцисса
центра поля
рассеяния;

Qв
– верхнее предельное
значение области
допустимых
значений;

Qн
– нижнее предельное
значение области
допустимых
значений.

Значения
аргумента для
верхнего и
нижнего предельно
допустимых
значений определим
по формулам:

, ; (41)

; ;

Вероятность
ошибки τ (%)

– по верхнему
пределу, τв
= [0,5–Ф(Zв)]·100%=[0,5–Ф(1,86)]·100%=3,14%

– по нижнему
пределу, τн
= [0,5–Ф(Zн)]·100%=[0,5–Ф(-1,52)]·100%=6,43%

Рис. 2.
Кривая рассеяния
фактических
значений и

кривая
нормального
распределения

Шишкин И.Ф.
Метрология,
стандартизация
и управление
качеством –
М.: Изд-во стандартов,
1990.

ГОСТ 8.401–80.

Бронштейн
И.Н., Семендяев
К.А. Справочник
по математике
для инженеров
и учащихся
вузов. – М.: Наука,
1986. – 544 с.

Атамалян
Э.Г. Приборы и
методы измерения
электрических
величин. – М.:
Высшая школа,
1989. – 384 с.

1

МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ
РФ

ОРЛОВСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ

Ливенский
политехнический
колледж

(филиал) Орел
ГТУ

кафедра
ПМиС

КУРСОВАЯ
РАБОТА

по дисциплине:
«Метрология,
стандартизация
и сертификация»

по теме:
«Статистическая
обработка
экспериментальных
данных»

Выполнил:

студент
гр. 21 – с

направление
550100

курс
2

шифр
994145 ____________________Старина
А.Г.

Работу
проверил ____________________Бакурова
Ю.А.

Оценка
___________________

Дата
защиты ______________

ЛИВНЫ 2002