Министерство образования Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова
(технический университет)
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине
___________________Информатика_
_________________________________________
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Тема:
_________Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных_____
______
_______________уравнений
_методом
_Рунге
_
Кутта
______________________________________________________________________________________________________
Автор: студент гр. ГК-01
________________ /_Диткина А.В../
(подпись)
(Ф.И.О.)
ОЦЕНКА:
_____________
Дата: ___________________
ПРОВЕРИЛ
Руководитель проекта _доцент
__ ________________ /_Маховиков А.Б./
(должность) (подпись) (Ф.И.О.)
Санкт - Петербург
2002
| Министерство образования Российской Федерации |
||
| Санкт-Петербургский государственный горный институт им Г.В. Плеханова (технический университет) |
||
| УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой ___________ /Доц.Прудинский
"___"__________2002 г. |
||
Кафедра ______Информатики и компьютерных технологий
_________________________________
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине_________Информатика______________________________________
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
ЗАДАНИЕ
студенту группы _гк
-
01
Диткина А.В.
(шифр группы) (Ф.И.О.)
1. Тема работы __Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений метолом Рунге-Кутта ._________________________________________
2. Исходные данные к проекту: согласно методическим указаниям
Решить задачу Коши методом Рунге-Кутта для заданного дифференциального уравнения первого порядка на отрезке (a,b) с шагом h=0.1 и начальным условием y(a)=c.
3. Содержание пояснительной записки: работа состоит из страниц
4. Перечень графического материала: работа содержит 1 график
5. Срок сдачи законченного проекта: 1 декабря 2002 года
Руководитель проекта доцент
_____________ / Маховиков А.Б.
./
(должность) (подпись) (Ф.И.О.)
Дата выдачи задания: 1 октября 2002 года
Аннотация.
Практические навыки работы на персональном компьютере и знания в области информатики позволяют эффективно применять современное программное обеспечение для решения различных задач.
Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы. Данная курсовая работа является примером использования возможностей компьютерных технологий для решения инженерных задач любого уровня сложности. С помощью пакета программ MS Office, процессора MathCad, а также языка программирования QBASIC был трижды произведен расчёт задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта. Как и следовало ожидать, результат расчетов на языке Basic подтвердил правильность проведённых расчётов в Excel и MathCad.
Пояснительная записка содержит теоретические сведения, расчётные формулы, алгоритм и текст программы.
Страниц , таблиц , рисунков .
The summary.
The practical skills of work on the personal computer and knowledge in the field of computer science allow effectively to apply the modern software to the decision of various tasks.
The explanatory slip represents the report on performance of course work. The given course work is an example of use of opportunities of computer technologies for the decision of engineering tasks of any level of complexity. With the help of the software package MS Office, processor MathCad, and also programming language QBASIC the account of a task Koshi for the ordinary differential equation by a method Runge-Kutta was three times made. As well as it was necessary to expect, the result of accounts in language Basic has proved the carried out(spent) accounts in Excel and MathCad.
The explanatory slip contains the theoretical items of information, settlement formulas, algorithm and text of the program.
Pages, tables, figures. Оглавление
Введение............................................................................................................................ 4
..............................................................................................................................5
Расчетные формулы.......................................................................................................... 6
Расчет с помощью таблиц, выполненных средствами Microsoft Excel.................... 10
Результаты расчета......................................................................................................... 23
Представление результатов в виде графиков.............................................................. 27
Схема алгоритма............................................................................................................. 29
Выводы............................................................................................................................ 30
Библиографический список……………………………………………………. …….31
Введение
В настоящее время широко используются возможности персонального компьютера, так как он позволяет упростить решение задач, требующих затраты времени на решение проблем, связанных с трудоёмким вычислением.
Повсеместное внедрение компьютеров в инженерную практику предопределяет проведение разных расчетов с использованием компьютерных технологий. Это значительно уменьшает время, расходуемое на выполнение вычислений, помогает избежать вычислительных ошибок и может использоваться при повторных расчетах. Повсеместное распространение программ обработки электронных таблиц во многом объясняется универсальными возможностями их применения, поскольку без вычислений в широком смысле этого слова, не обойтись в самых разных сферах нашей жизни. Благодаря мощным математическим и инженерным функциям с помощью Excel можно решить множество задач в области естественных и технических наук. Применение электронных таблиц Microsoft Excel позволяет автоматизировать как расчет определяемых параметров, так и графически проиллюстрировать полученные результаты.
Целью курсовой работы является углубление знаний по информатике, развитие и закрепление навыков работы с табличным процессором Microsoft Excel,программой MathCad и языком программирования Basic, а также применение их для решения с помощью ЭВМ задач из предметной области.
В этом курсовом проекте мы решаем математическую задачу с помощью ЭВМ. В соответствии с методом решения задачи разрабатывается алгоритм решения, который представляется в графической форме. Разработанная программа проходит этап отладки, в процессе к
Эта курсовая работа поможет улучшить знания ПК, которые будут нам необходимы для выполнения следующих курсовых работ.
Решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта.
Общие сведения.
Обыкновенным дифференциальным уравнением n
-го порядка, разрешенным относительно старшей производной, называется выражение вида
(1),
где х - независимая переменная; у – неизвестная функция.
Известно, что общее решение (общий интеграл) уравнения (1) записывается в виде
(2),
где с,
, с2
,…, сn
– произвольные постоянные; G – функция указанных аргументов.
Решения, получившиеся из общего решения (2) при фиксированных значениях с,
, с2
,…, сn
,
называется частным решением уравнения (1). Чтобы выделить из общего решения (2) частное решение, необходимо задать n условий, которые единственным образом определили бы постоянные с,
, с2
,…, сn
.
Эти условия можно задать значениями искомой функции и ее производных в некоторой точке , т.е. значениями
(3)
В этом случае задача интегрирования уравнения (1) называется задачей Коши, а значения (3) – начальными значениями (условиями).
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений решение представляет собой некоторое аналитическое выражение , подстановка которого в уравнение (1) обращает последнее в тождество. Решить дифференциальное уравнение (1) численным методом - это значит, для данной последовательности значений аргумента найти при к=0,1,2,,…,n
значения функции , являющейся аналитическим решением уравнения (1), т.е. удовлетворяет интегралу (2). Таким образом, численное решение дифференциального уравнения (1) сводится к построению для функции , являющейся решением уравнения (1), таблицы значений, соответствующей заданной последовательности значений аргумента. Аналитическое выражение для функции при этом, как правило, неизвестно, а в большинстве случаев не может быть найдено в конечном (замкнутом виде).
Величина называется шагом интегрирования. Шаг интегрирования является переменным, если для различных h
величина hk
различна. Если , то говорят, что интегрирование ведется с постоянным шагом. В случае при k=0,1,2,…, n.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение вида
(4)
Для заданных значений аргумента x1
, x2
,…, xn
, расположенных в порядке монотонного изменения, требуется вычислить при k=1,2,…,n
значения функция , являющейся решением уравнения (4), если известно начальное значение
(5)
Для решения этой задачи применялся метод Эйлера, где имеет место Формула
(6)
погрешность которой
(7)
Погрешность метода Эйлера, как видно из формулы (7), на каждом шаге очень велика. Поэтому на практике методом Эйлера пользуются редко. Значительно чаще для решения задачи (4) и (5) пользуются методом Рунге-Кутта.
Имеется несколько видов формул Рунге-Кутта различного порядка. Формула Рунге-Кутта первого (m=1)
порядка совпадает с формулой Эйлера (6), а формула второго (m=2
) порядка - с формулами улучшенного метода Эйлера
(8)
где k1
, k2
–
коэффициенты Рунге-Кутта,
Погрешность формулы (8) можно записать в виде
(9)
При каждом m>2
имеется несколько разновидностей формулы Рунге-Кутта.
Рассмотрим наиболее распространенные из них. Формулы Рунге-Кутта третьего порядка записываются следующим образом:
(10)
В каждой из приведенных выше групп формул сначала вычисляют значения k1
,k2
,
после чего находят yk+1
. Они настолько громоздки, что ими практически не пользуются. Для формул Рунге-Кутта нет точных оценок погрешности при m>2
. Известно только, что Формула Рунге-Кутта m-
го порядка имеет погрешность порядка hm+1
.
Численное решение задачи Коши методом Рунге-Кутта
Аналитическое выражение для решений дифференциальных уравнений, за исключением линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, удаётся получить достаточно редко. В MathCad нет средств символьного решения уравнений, но достаточно хорошо представлены методы численного решения задачи Коши.
Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближённых значений решения y(x) в узлах сетки Если k=1,2,…,N, то сетка называется равномерной (h-шаг метода).
Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке используется информация о решении только в точке x0
.
Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки точное решение раскладывают по формуле Тейлора в окрестности узла xi
:
Если расчетные формулы численного метода согласуются с разложением по формуле Тейлора до членов порядка , то число p называется порядком метода.
Метод Рунге-Кутта обычно называют одношаговый метод четвертого порядка, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутта. В этом методе величины вычисляются по следующим формулам:
Погрешность метода на одном шаге сетки равна Практически оценить величину М достаточно сложно. При оценке погрешности обычно используют правило Рунге.
Для этого сначала проводят вычисления с шагом h, а затем – с шагом h/2. Если -приближение, вычисленное с шагом h, а - с шагом h/2, то справедлива оценка:
За оценку погрешности решения, вычисленного с шагом h/2, принимают величину
В MathCad для решения задачи Коши на отрезке методом Рунге-Кутта с постоянным шагом предназначена функция rkfixed ().
Результаты вычисления функции rkfixed – матрица, в первом столбце которой содержатся координаты узлов равномерной сетки а во втором – значения приближенного решения в соответствующих узлах. Перед обращением к функции rkfixed необходимо присвоить переменной y значение переменной - начальное значение аргумента, переменной - значение конечной точки отрезка интегрирования, переменной N – количество узлов равномерной сетки. Переменной D(x,y) присваивается выражение для вычисления правой части f(x,y).
Ниже приведём решение задачи Коши на отрезке [-2,2] методом Рунге-Кутта с постоянным шагом. Изобразим графики решений, вычисленных с шагом 0.3, 0.6 и 0.15. Фрагмент рабочего документа MathCad с вычислениями и графиками приведём в приложении 1
.
Расчет с помощью таблиц, выполненных средствами
Microsoft
Excel
.
Представление результатов в виде графиков.
Приведем схему алгоритма для программы расчета.
Схема алгоритма.
-Библиографический список.
1. Б.П.Демидович, И.А.Марон. Основы вычислительной математики. М: Государственное издательство физико-математической литературы.
2. Информатика: Учебник / Под ред. Проф. Н.В. Макаровой. М: Финансы и статистика, 1997.
3. Информатика: Практикум по технологии работы на компьютере / Под ред. Проф. Н.В. Макаровой. М: Финансы и статистика, 1997.
4. В.Б. Комягин. Программирование в Excel5 и Excel7 на языке Visual Basic. М: Радио и связь, 1996.
5. Н.Николь, Р.Альбрехт. Excel 5.0. Электронные таблицы. М: Изд. «ЭКОМ», 1996.