Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Уральский государственный педагогический университет»
Математический факультет
Кафедра геометрии
Дидактическая система задач повышенной трудности
по теме «Многоугольники»
Курсовая работа
Допущена к защите Исполнитель: Юдина Анна Александровна,
« 2010г.» студентка 302 группы математического
факультета очной формы обучения.
Курсовая работа защищена Руководитель: Унегова Татьяна
на оценку «_____» Александровна
«_____» ____________ 2010г.
Екатеринбург, 2010
Содержание
Введение 4
§1. Задачи и их роль в изучении математики 5
§2. Виды задач 8
11
§3. Оценка трудности и сложности задач 12
Уровень трудности задачи 12
Уровень сложности задачи 13
§4. Стандарты математического образования 16
§5. Дидактическая система задач повышенной трудности на тему «Многоугольники» 19
Для того чтобы правильно составить дидактическую систему задач повышенной трудности, нам необходимо разобраться, чем же отличается задача повышенной сложности от задачи повышенной трудности. 19
Задача повышенной сложности представляет собой задачу, которую мы разбиваем на несколько подзадач для облегчения решения задачи. Задача же повышенной трудности так же разбивается на несколько подзадач, но для того чтобы решить эти подзадачи, мы должны владеть фактами, свойствами, теоремами геометрии, которые не входят в учебную программу курса геометрии. 19
Например, если открыть учебник Атанасяна 7 – 9 класс на теме многоугольники, задач повышенной трудности мы не обнаружим вообще. Там представлены тривиальные задачи на поиск сумм углов пятиугольников, шестиугольников и т.д. И рассмотрена лишь 19
Заключение 28
Список литературы 29
1) Балл, Г. А. Теория учебных задач [Текст] / Педагогика — М.: 1990. — 291с. 29
6) Прасолов В.В. Задачи по планиметрии [Текст]: Учебное пособие. – 5-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. — 640 с. 29
Введение 4
§1. Задачи и их роль в изучении математики 5
§2. Виды задач 8
11
§3. Оценка трудности и сложности задач 12
Уровень трудности задачи 12
Уровень сложности задачи 13
§4. Стандарты математического образования 16
§5. Дидактическая система задач повышенной трудности на тему «Многоугольники» 19
Для того чтобы правильно составить дидактическую систему задач повышенной трудности, нам необходимо разобраться, чем же отличается задача повышенной сложности от задачи повышенной трудности. 19
Задача повышенной сложности представляет собой задачу, которую мы разбиваем на несколько подзадач для облегчения решения задачи. Задача же повышенной трудности так же разбивается на несколько подзадач, но для того чтобы решить эти подзадачи, мы должны владеть фактами, свойствами, теоремами геометрии, которые не входят в учебную программу курса геометрии. 19
Например, если открыть учебник Атанасяна 7 – 9 класс на теме многоугольники, задач повышенной трудности мы не обнаружим вообще. Там представлены тривиальные задачи на поиск сумм углов пятиугольников, шестиугольников и т.д. И рассмотрена лишь 19
Заключение 28
Список литературы 29
1) Балл, Г. А. Теория учебных задач [Текст] / Педагогика — М.: 1990. — 291с. 29
6) Прасолов В.В. Задачи по планиметрии [Текст]: Учебное пособие. – 5-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. — 640 с. 29
ВведениеВоспитание творческой активности учащихся в процессе изучения ими математики является одной из актуальных задач, стоящих перед преподавателями математики в современной школе. Основным средством такого воспитания и развития математических способностей учащихся являются задачи повышенной трудности. Умением решать такие задачи характеризуется, в первую очередь, состояние математической подготовки учащихся, глубина усвоения ими учебного материала. Не случайно известный методист и математик Д. Пойа пишет: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности».
Роль задач повышенной трудности обусловлена тем, что практические представления являются важнейшей составляющей интеллектуального багажа современного человека. Они нужны и для повседневной жизни в современном цивилизованном обществе, и для продолжения образования практически во всех сферах человеческой деятельности.
Можно сделать вывод, что наша тема является актуальной, ведь без умения решать задачи повышенной трудности невозможно успешно сдать Единый Государственный Экзамен.
Цель курсовой работы – разработать дидактическую систему задач повышенной трудности к теме «Многоугольники».
Задачи:
Изучить учебную литературу по теме исследования.
Изучить роль и виды задач.
3) Рассмотреть стандарт математического образования.
§1. Задачи и их роль в изучении математикиВ концепции развития школьного математического образования подчеркивается, что в настоящее время одной из важнейших целей обучения математике в школе является интеллектуальное развитие учащихся, включающее в себя способность человека к усвоению новых знаний. Ориентация на личность ученика выдвигает как одну из тенденций в направлении разработки эффективной методики преподавания математики перенос акцентов с обучения математическим фактам на обучение методам решения задач, что формирует умения анализировать, продуцировать и использовать информацию.
Перенос акцентов важен и при обучении геометрии. Изучение геометрии, базирующейся на воображении и интуиции, с одной стороны, и на логике, с другой стороны, способствует интеллектуальному развитию учащихся, развитию их познавательных интересов. Развивающий потенциал геометрии заложен, в том числе, и в геометрические задачи. Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач.
Задача - это требование или вопрос, на который необходимо найти ответ, опираясь на заданные условия.
В психологических исследованиях показано, что задача – важнейшее средство формирования системы знаний у учащихся, развития их мышления, обучения их действиям по самостоятельному приобретению знаний. Таким образом, у учащихся развиваются волевые черты характера, формируются такие внутренние качества личности, как внутренний план действий, разумный и устойчивый стиль деятельности, ответственность за начатое дело и потребность в доведении его до конца, творческая инициатива и многие не менее важные качества.
Рассматривая различные трактовки, Г.А. Балл [1] выделяет такую последовательность расширения понятия «задача»: задача — мыслительная задача — проблемная задача, где:
Задача - это ситуация, требующая от субъекта некоторого действия.
Мыслительная задача - это ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе его связей с известным.
Проблемная задача - ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на некоторое неизвестное на основе его связи с известным в условиях, когда субъект не обладает способом (алгоритмом) этого действия.
Эта последовательность иллюстрирует рост активности субъекта в зависимости от степени проблемности поставленной задачи.
Ю.М. Колягин [4] отмечает, что понятие «задача» является понятием, которое отражает «определенное взаимодействие субъекта с внешним миром (объектом)». Придерживаясь системного подхода, он рассматривает сложную систему: человек - заданная система, где под последней понимается некоторый объект, также представляющий собой систему. При определенных условиях в сложной системе возникает задача. При наличии потребностей и возможностей в установлении неизвестных данному человеку элементов, свойств и отношений, проблемный характер, которого зафиксирован, последнее становится задачей для данного субъекта. Эта потребность выражается в форме специального целевого указания на проблемность системы, и на желание (или необходимость) ее устранения.
Трактовка задачи как объекта мыслительной деятельности нашла свое отражение в работах Г.И. Саранцева, который отмечает, что целью задачи являются изменения в системе «человек - задачная система». При этом решение задач он сопоставляет со средством достижения деятельности, которая является упражнением. Другими словами, прямым продуктом задачи могут выступать либо изменения в задачной системе, либо в самом действующем субъекте.
В целом системный подход к определению понятия «задача» характеризуется тем, что весь окружающий мир представляет собой носитель информации, то есть глобальную информационную систему. В конкретных условиях некоторая информация человеку уже известна, а другую еще нужно установить с помощью определенных информационных процессов. Таким образом, установка на определение неизвестного и представляет собой задачу, которая является частью общей информационной системы. Схематично этот подход может быть выражен последовательностью:Информационные системы — Потребность в информации — Задача.Определение задачи в рамках системного подхода. Другой подход к определению понятия «задача» связан с разработкой теории деятельности, которая позволяет учесть не только внешние, но и внутренние источники активности субъекта.
В условиях этого подхода А.Н. Леонтьев определяет задачу как «цель, данную в определенных условиях» Исходя из данного определения, можно заметить, что определенные условия существования задачи есть не что иное, как осознание субъектом проблемности некоторой ситуации, а указание к ее разрешению приводит к возникновению задачи.
В работах Л.М. Фридмана [7] задача рассматривается независимо от субъекта, решающего ее. Он понимает под задачей знаковую модель проблемной или задачной ситуации. В этом определении проблемная ситуация - это не просто затруднение, преграда в деятельности человека, а осознанное им затруднение, способ устранения которого он желает найти, что говорит о его активности. Задачная ситуация возникает в том случае, когда нельзя найти некоторые характеристики непосредственно в ходе наблюдения или измерений и, поэтому, нужно установить их другим способом. Называя задачу знаковой моделью проблемной или задачной ситуации, Л.М. Фридман показывает их отличие, которое состоит в следующем:
1) проблемная ситуация существует реально, вне зависимости от какого-то языка, а задача всегда связана с языком, на котором она изложена;
2) проблемная ситуация всегда богаче содержанием, чем задача, так как задача - это модель ситуации, отражающая лишь некоторые ее стороны;
3) для каждой проблемной ситуации существует одна или несколько задач, которые могут отличаться друг от друга как совокупностью представленных в них ситуаций, так и языком, на котором задача выражена.
Другими словами, проблемная ситуация - это довольно смутное, мало осознанное впечатление или переживание, а задача - проблема в собственном смысле слова. Переход от проблемной ситуации к задаче осуществляется посредством процесса мышления, который может быть скрытым, но, тем не менее, он обязательно выполняется каждым человеком, решающим поставленную задачу.
Роль задач в обучении раскрыта на примере определения, данного в «Российской педагогической энциклопедии»: «Познавательная задача - учебное задание, предполагающее поиск новых знаний, способов и стимуляцию активного использования в обучении связей, отношений, доказательств».
Задача характеризуется: наличием у учащихся цели; стремлением получить ответ на тот или иной вопрос; достичь желаемого результата, с учетом имеющихся условий и требований, необходимых для решения задачи; применением способов и приемов решения, соответствующих данной цели и условиям.
§2. Виды задачОдним из признаков, по которому все математические задачи делятся на отдельные виды или классы, является характер требования задачи. По этому признаку все задачи делятся на три основных класса.
1-й класс. Задачи на нахождение искомого.
Задачи этого класса опираются на нахождение какого-либо искомого. Данным искомым могут быть величина, отношение, какой-либо объект, предмет, его положение или форма и т.д.
В этот же класс входят задачи на вычисление различных выражений, значений функций, задачи на установление характера функции и т.п.
Так же это задачи на решение различных уравнений, неравенств и их систем, т.е. задачи на нахождение некоторых переменных, удовлетворяющих определенным условиям.
К ним же относятся геометрические вычислительные задачи, где нужно найти длину отрезка, величину угла, площадь фигуры, объем тела и т.д.
Задачи, в которых нужно установить вид заданных выражений, чисел, форму заданной геометрической фигуры или тела — это также задачи, рассматриваемого класса.
Потому как к этому виду задач относится довольно много задач, то для решения задач этого класса нет определенного общего метода решения. Но все же знание, что данная задача принадлежит именно этому классу, сужает поиск плана решения и служит ориентиром в этих поисках.
2-й класс. Задачи на доказательство или объяснение.
В задачах этого класса требование состоит в том, чтобы доказать или опровергнуть некоторое утверждение. Проверить верность или ложность данного утверждения. Объяснить, почему то или иное явление или факт может существовать и при каких условиях.
Обычно задачи из этого класса начинаются со слов «Доказать», «Проверить» или содержат вопрос «Почему?».
3-й класс. Задачи на геометрические преобразования или построения.
К этому классу относятся задачи, в которых требуется преобразовать какое-либо выражение, упростить его, представить в другом виде, построить геометрическую фигуру или выражение, удовлетворяющее указанным условиям.
Класс этих задач довольно разнообразен. Характерной для него особенностью является то, что в каждой из них заданы какие-то выражения, объекты или элементы, из которых требуется создать, построить другой какой-то элемент, который соответствует заданным свойствам.
Существуют так же и другие виды задач, которые мы не будем подводить под одну классификацию:
1) Стандартные задачи
Математические задачи, для решения которых в школьном курсе математики имеются готовые правила (в любой форме) или эти правила непосредственно следуют из каких-либо определений или теорем, определяющих программу решения этих задач в виде последовательности шагов, называются стандартными или шаблонными. При этом предполагается, что для выполнения отдельных шагов решения стандартных задач в курсе математики также имеются вполне определенные правила:
правило-формула;
правило-тождество;
правило-теорема;
правило-определение.
Стоит отметить, что такие задачи должны уметь решать все. Это в первую очередь связано с тем, что ход и направление решения всегда идет по одному и тому же принципу.
2) Нестандартные задачи
Как уже отмечалось, одним из основных признаков стандартных задач является наличие определенных правил и положений, основываясь на которые можно составить однозначную программу решения такой задачи.
Соответственно, нестандартные задачи– это такие задчи, для которых в курсе математики не существует определенных правил и положений, для определения программы решения.
Для успешного решения нестандартных задач необходимо в первую очередь уметь думать, догадываться, мыслить логически. Но без знаний, опыта такие задачи решить невозможно.
При решении этих задач преследуются следующие цели:
формирование и развитие мыслительных операций: анализа и синтеза;
сравнения, аналогии, обобщения и так далее;
развитие и тренинг мышления вообще и творческого в частности;
поддержание интереса к предмету, к учебной деятельности (уникальность занимательной задачи служит мотивом к учебной деятельности);
развитие качеств творческой личности, таких, как познавательная активность, усидчивость, упорство в достижении цели, самостоятельность;
подготовка учащихся к творческой деятельности (творческое усвоение знаний, способов действий, умение переносить знания и способы действий в незнакомые ситуации и видеть новые функции объекта).
3) Проблемные задачи
Довольно трудными задачами являются проблемные — те, у которых неизвестно не только решение, но и плохо определены либо данные, либо цель. Потому, как и сама задача, так и ее решение могут быть весьма содержательными и разнообразными. В этой ситуации приходится столкнуться не с одной задачей, а с множеством. Часто проблемная задача может быть рассмотрена, как основа для многих аналогичных задач.
Из всего сказанного выше следует, что для успешного выполнения таких заданий чрезвычайно важным является решение в процессе обучения геометрии следующих дидактических задач:
1) овладение учащимися базовыми знаниями, умениями применять их в стандартной ситуации;
2) формирование системных знаний об изучающихся в школьном курсе фигурах;
3) знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов;
4) формирование гибкости мышления, способности анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.
4) Прикладные задачи
Наиболее близкими к реальной жизни являются прикладные задачи, их особенность заключается в том, что в ходе ее решения приходится переходить от реальной ситуации к ее математическому описанию, или, проще говоря, к математической модели. Очень часто при решении практической задачи удается, изучив условие, построить математическую модель, провести решение, основываясь на этой модели, а затем, получив результат, перевести его на язык исходной ситуации.
Умение решать прикладные задачи означает умение применять математику на практике.
К прикладной задаче следует предъявлять следующие требования:
в содержании прикладных задач должны отражаться математические и нематематические проблемы и их взаимная связь;
задачи должны соответствовать программе курса, вводится в процесс обучения как необходимый компонент, служить достижению цели обучения;
вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для учащихся, содержание и требование задач должны “сближаться” с реальной действительностью;
способы и методы решения задач должны быть приближены к практическим приемам и методам;
прикладная часть задач не должна покрывать ее математическую сущность.
Прикладные задачи дают широкие возможности для реализации общедидактических принципов в обучении математике в школе. Практика показывает, что прикладные задачи могут быть использованы с разной дидактической целью, они могут заинтересовать или мотивировать, развивать умственную деятельность, объяснять соотношение между математикой и другими дисциплинами.
Мы рассмотрели некоторые виды математических задач, среди которых были нестандартные задачи. Именно к этому виду задач и принадлежат задачи повышенной трудности, с которыми нам предстоит дальнейшая работа.
В следующем параграфе мы рассмотрим, чем отличаются друг от друга задачи повышенной трудности и сложности, чтобы грамотно составить комплект задач для учителей, который бы в дальнейшем использовался ими на дополнительных занятиях по математике.
§3. Оценка трудности и сложности задачПредставим оценку трудности и сложности А.Г Балла [1]. Основными из понятий этого рода являются уровни трудности и сложности задач. В обиходной речи, а нередко и в научной литературе термины «трудность» и «сложность» используются при описании задач почти как синонимы. Между тем целесообразно разграничивать области их употребления. Более того, каждое из этих понятий нуждается в дальнейшей дифференциации.
Уровень трудности задачи
В качестве одного из существенных признаков задачи, проблемы, проблемной ситуации психологи называют обычно необходимость преодоления субъектом тех или иных трудностей (затруднений). При этом важную роль играет их качественный анализ. Мы, однако, ограничимся рассмотрением количественного аспекта трудности задач, или, иначе говоря, уровня их трудности.
Задача mq, отнесенная к решателю Q, обладающему некоторыми (ограниченными) ресурсами, может быть охарактеризована уровнем трудности этой задачи, т. е. мерой фактического или предполагаемого (прогнозируемого) расходования ресурсов решателя Q на ее решение.
Уточним, что «решение задачи» имеется в виду успешное решение – приведение предмета задачи в требуемое состояние. Если ресурсы решателя Q недостаточны (в качественном или количественном отношении) для решения задачи mq, то последняя не может быть решена (этим решателем). Об уровне трудности задачи mq в таком случае можно говорить лишь условно (считая его бесконечным). Если решение задачи достигается лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы, то уровень ее трудности естественно считать большим, чем следует из оценки реально расходуемых ресурсов.
Уровнем трудности, как он определен выше, можно в принципе характеризовать и задачи, отнесенные к искусственным решателям, например компьютерам. Вместе с тем для неотнесенных задач понятие трудности лишено смысла.
Уровень трудности отнесенной задачи mq зависит от характеристик как неотнесенной задачи М, так и решателя Q. Как явствует из приведенного выше определения уровня трудности, это понятие непосредственно относится не к задаче как таковой, а к процессу (реальному или предполагаемому) ее решения. Если некоторая задача может быть решена различными способами, то уровень ее трудности может существенно зависеть от того, каким именно способом она решается.
Имеет смысл различать интегральную трудность (трудоемкость) задачи, характеризующую объем расходования ресурсов и дифференциальную трудность, характеризующую интенсивность расходования. При этом можно выделять мгновенные значения последней и значение, усредненное на отрезке времени, в течение которого решается задача.
Для количественной оценки трудности решаемых людьми задач используют различные показатели – субъективные и объективные.
Субъективные показатели можно разделить на две группы. Показатели первой группы отражают мнения или впечатления самих субъектов, решающих задачи, об их трудности, о вызванном ими утомлении, а показатели второй группы – мнения экспертов (учителей и методистов в случае учебных задач, руководителей работ в случае трудовых задач и т. д.). Субъективные показатели обеих групп используются, в частности, для характеристики трудности текстов, в том числе учебных.
На две группы делятся и объективные показатели. К первой относятся те из них, которые характеризуют расходование ресурсов субъектом. Сюда, в частности, входят:
а) физиологические показатели, например изменения частоты пульса, частоты дыхания, артериального давления;
б) продолжительность процесса решения;
в) дискретные поведенческие показатели, характеризующие объем расходования ресурсов (объем затраченного труда), такие, например, как количество предпринятых субъектом попыток решения задачи.
Чтобы повысить адекватность оценивания трудности задач, обращаются к методам математической статистики. Так, Я. А. Микк [3], измерив значения 31 показателя трудности задачи понимания текста и проведя факторный анализ, выделил фактор, который он интерпретировал как «суммарную трудность текста». На основе результатов анализа получен ряд формул, связывающих этот фактор с отдельными показателями трудности, доступными непосредственному измерению.
Уровень сложности задачи
В отличие от трудности, представляющей собой специфическую характеристику задач, сложность – это характеристика, применимая к любой системе. Общее понятие об уровне сложности системы может касаться, в частности, таких систем, как предмет задачи, задачная система или формулировка задачи. Мы, однако, говоря об уровне сложности задачи, имеем в виду сложность не какой-либо из этиx систем, а реального или предполагаемого процесса решения задачи. Такая трактовка, в наибольшей степени соответствует интуитивному представлению о сложности задачи. К тому же при указанной трактовке уровня сложности задач
Если существует несколько нормативных способов решения некоторой задачи MQ, то ее можно охарактеризовать несколькими значениями нормативной сложности. Например, одна и та же математическая задача может обладать для одного и того же решателя разной сложностью в зависимости от того, как ее решать – арифметическим или алгебраическим способом.
Реальная сложность задачи, как правило, выше или равна нормативной, но иногда бывает и ниже, т. е. фактический процесс решения оказывается проще нормативного (например, задуманного учителем, если рассматривается решение задач учащимися). В таких случаях говорят иногда о «красивом (изящном) решении».
Обычно, если уж различают понятия о трудности и сложности задач, то трактуют «сложность задачи как объективную категорию и трудность как субъективную категорию». Мы процитировали И. Я. Лернера, поясняющего, что «трудность характеризует возможность субъекта преодолеть объективную сложность задачи...». С нашей точки зрения, такая трактовка правомерна в качестве первого приближения к раскрытию существа дела. Более детальный анализ показывает, однако, что и трудность, и сложность задач (отнесенных к людям, которые решают или должны решать их) зависят как от объективных, так и от субъективных (в онтологическом смысле) факторов. К объективным принадлежит: лежащий вне субъекта предмет задачи или (для познавательных задач) объект познания; требование задачи, находящееся вне субъекта (в случае, если рассматривается трудность или сложность внутренней задачи, – требование внешней задачи, являющейся источником возникновения рассматриваемой внутренней); наконец, условия, в которых осуществляется или должно осуществляться решение задачи. К субъективным факторам относятся способности и подготовка субъекта, его мотивы и установки, его отношение к задаче, его физическое и психическое состояние.
§4. Стандарты математического образованияИ. Ф. Шарыгин [8] достаточно широко описал в своей статье стандарты математического образования.
Принято считать, что российское математическое образование является едва ли не лучшим в мире. Такого мнения придерживаются многие российские и зарубежные специалисты. Мы полагаем, что, несмотря на очевидный спад, произошедший за последнее время, российское математическое образование сохранило свой высокий уровень и обладает еще большим потенциалом для своего развития. И нужны для этого весьма незначительные финансовые вложения. Эффект же, причем экономический эффект, может оказаться существенным. Мы вправе рассматривать наше математическое образование, как весьма мощный стратегический ресурс России. При этом в качестве стратегического ресурса математика и математическое образование может выступать и внутри России и на внешнем рынке. (В условиях глобализации Россия может специализироваться на экспорте нефти и математики.) Но в таком случае, вопрос о том, какими должны быть стандарты математического образования, далеко выходит за узко предметные рамки и становится важнейшим общественно-политическим вопросом.
Понятно, что заявить в качестве образовательного стандарта по математике повышенный уровень математических классов не реально. Понимание же стандарта, как минимального уровня стратегически неверно. Будем считать, что образовательный стандарт (по математике) должен соответствовать нормальному, программному уровню, проще говоря, четверке. От этой площадки, отступив вниз, мы получаем минимальный уровень (тройку). Ступенька вверх и далее - получаем высокий уровень, пятерку. Безусловно, минимальный уровень следует ограничить снизу. Основным инструментом измерения соответствия тому или иному уровню является задача. Некоторое исключение составляет уровень минимальный, где не менее важным мы считаем знание и понимание теории.
Из этого следует, что при разработке стандарта математического образования важно не просто определить содержание математических курсов, а определить в некотором смысле оптимальное содержание, которое в наибольшей мере будет способствовать общематематическому (и не только) развитию учащихся. И при определении содержания вредными могут оказаться оба подхода, как минимизация содержания математического образования, так и его чрезмерное разрастание. На минимальном содержании невозможно развитие математической культуры, освоение математического метода по понятным причинам. Но также нельзя хорошо освоить математику, развить математическую культуру при перегруженной программе. Чрезмерное обилие изучаемых тем приведет к тому, что каждая из них будет изучаться формально и поверхностно. При отборе содержания основным критерием должна быть значимость того или иного раздела для общематематического развития учащегося. Отсюда можно вывести концентрический принцип определения содержания математических курсов и построения стандартов математического образования. На периферию отправляются менее значимые темы и разделы.
Очевидно также, что эффективность обучения математике в решающей степени определяется объемом часов, отводимых на ее изучение. В настоящий момент математическая экспертиза указывает в качестве нижней грани, после которой эффективность изучения математики в школе начнет резко снижаться, 6 часов в неделю в основной и старшей школе.
Заметим, что стандарты по различным предметам нельзя подгонять под единый концептуальный трафарет, разрабатывать по единой схеме. Сегодня в школе мы имеем предметы, которые можно разделить на четыре цикла (типа): гуманитарный, естественно-научный, математический и физкультурный. Особенность математики, которая должна отражаться и в соответствующих стандартах, в том, что в ней явно видны черты, характерные для предметов всех других циклов, а также и черты, типичные именно для математики.
Стандарты математического образования следует разбить на несколько групп. Во-первых, стандарт для базовой школы и стандарт для углубленного изучения математики. Во-вторых, стандарт для результата обучения и стандарт для процесса обучения. Представляется разумным не разрабатывать специально стандарт для углубленного изучения математики, а сделать добавление (сверху) к стандарту базовой школы, сдвинув при этом измерительную шкалу. Что касается связи между процессом и результатом обучения, то очевидным является утверждение, что для достижения необходимого результата процесс обучения доложен вестись на более высоком уровне, чем тот, который мы хотим видеть в итоге, хотя, конечно, мы не должны его завышать и создавать разрыв между стандартами для процесса и для результата. Кроме того, качество процесса обучения зависит от качества учебников. Но еще больше оно зависит от подготовки учителя, от нагрузки, ложащейся на учителя, и, наконец, от его материального положения.
Нетрудно заметить, что в приведенном выше стандарте школьного математического образования речи о рассмотрении задач повышенной трудности и не идет, видимо, из-за нехватки часов, выделяемых на уроки или другого фактора. Но в государственный экзамен по математике такие задачи включаются. Тогда возникает вопрос: а как учащиеся должны сдавать его?
В современных условиях существует противоречие между потребностью и необходимостью формировать эвристическую деятельность учащихся и отсутствием эффективного методического обеспечения в этом.
Все-таки нестандартным задачам, задачам повышенной трудности необходимо уделять внимание, если этого не удается делать на уроках, то на факультативах и дополнительных занятиях. И прежде всего, стоит убедить учащихся, как важны для них трудные задачи.
§5. Дидактическая система задач повышенной трудности на тему «Многоугольники»В современной методике преподавания объектом исследования становится не столько отдельная задача и организация работы с ней, сколько совокупности, блоки, циклы, системы задач.
Дидактическая система – это выделенное по определенным критериям целостное образование. Нам нужно получить дидактическую систему задач, которую определим как некоторую совокупность задач, находящихся во взаимосвязи друг с другом и выполняющих определенные дидактические функции в процессе обучения.
При составлении данной системы мы учитываем и характеристики дидактической системы:
целостность структуры;
единство целей, организационных принципов;
единство содержания, форм и методов обучения [5].
Для того чтобы правильно составить дидактическую систему задач повышенной трудности, нам необходимо разобраться, чем же отличается задача повышенной сложности от задачи повышенной трудности. Задача повышенной сложности представляет собой задачу, которую мы разбиваем на несколько подзадач для облегчения решения задачи. Задача же повышенной трудности так же разбивается на несколько подзадач, но для того чтобы решить эти подзадачи, мы должны владеть фактами, свойствами, теоремами геометрии, которые не входят в учебную программу курса геометрии. Например, если открыть учебник Атанасяна 7 – 9 класс на теме многоугольники, задач повышенной трудности мы не обнаружим вообще. Там представлены тривиальные задачи на поиск сумм углов пятиугольников, шестиугольников и т.д. И рассмотрена лишьТеорема Фалеса, хотя, как мы знаем, существует достаточное количество теорем, не входящих в школьный курс геометрии, но позволяющих решать задачи, повышенной трудности. Такие теоремы, как Теорема Брахмагупты (Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке M, то прямая, проходящая через точку M и перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.) или Теорема Птолемея (Произведение длин диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений длин его противоположных сторон.).
Мы составили дидактическую систему задач повышенной трудности на тему «Многоугольники», сюда будут входить задачи, для решения которых необходимо использовать Теоремы Птолемея, Паскаля, гомотетию, преобразования фигур и т.д. Этой системой задач можно будет пользоваться учителю, как было сказано ранее, на факультативах и дополнительных занятиях на геометрии.
Основные сведения [6]:
1. Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющий его соседние вершины.
2. Выпуклый многоугольник называют описанным, если все его стороны касаются некоторой окружности. Выпуклый четырехугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда AB + CD = BC + AD.
Выпуклый многоугольник называют вписанным, если все его вершины лежат на одной окружности. Выпуклый четырехугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда ABC + CDA = DAB + BCD.
3. Выпуклый многоугольник называют правильным, если все его стороны равны и все углы также равны.
Выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на угол 2π/n с центром в некоторой точке О он переходит в себя. Точку О называют центром правильного многоугольника.
I. Вписанные и описанные четырехугольники:
1. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Лучи AB и CD пересекаются в точке Р, а лучи BC и AD — в точке Q. Доказать, что четырехугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: AB + CD = BC + AD, AP + + CQ = AQ + CP или BP + BQ = DP + DQ.
Решение:
1) Докажем, что если четырехугольник ABCD описанный, то выполняются все условия. Пусть K, L, M и N — точки касания вписанной окружности со сторонами AB, BC, CD и DA. Тогда AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + +BL + CL + DN = BC + AD, AP + CQ = AK + PK + QL - CL = AN + PM + QN - CM = AQ + CP и BP + BQ = AP – AB + +BC + CQ = (AP + CQ) + (BC - AB) = AQ + CP + CD – AD = DP + DQ.
2) Докажем теперь, например, что если BP + BQ = DP + DQ, то четырехугольник ABCD описанный. Рассмотрим для этого окружность, касающуюся стороны ВС и лучей BA и CD. Предположим, что прямая AD не касается этой окружности; сдвинем эту прямую так, чтобы она коснулась окружности (рис. 1).
3) Пусть S — такая точка прямой AQ, что Q'S || DD'. Так как BP + BQ = DP + DQ и BP + BQ' = D'P + D'Q', то QS + SQ' = QQ' – противоречие. В двух других случаях доказательство проводится аналогично.
Рис. 1.
2. На стороне ВС треугольника АВС взяты точки К1 и К2. Доказать, что общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников АВК1 и АСК2 и общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников АВК2 и АСК1 пересекаются в одной точке.
Решение:
1) Пусть O — точка пересечения общих внешних касательных к вписанным окружностям треугольников АВК1 и АСК2 (рис. 2). Проведем из точки О касательную l к вписанной окружности треугольника, образованного прямыми AK1, AK2 и касательной к вписанным окружностям треугольников АВК1 и АСК2, отличной от прямой ВС.
2) Пусть прямая l пересекает прямые АВ и AK2 в точках В' и К'2. Четырехугольник BK2K'2B' описанный. Значит прямая l касается вписанной окружности треугольника АВК2.
3) Аналогично доказывается, что прямая l касается вписанной окружности треугольника АСК1.
Рис. 2.
3. Четырехугольник ABCD вписанный. Доказать, что центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB образуют прямоугольник.
Решение:
1) Пусть Оа, Оb, Oc, Od центры вписанных окружностей треугольников BCD, ACD, ABD и ABC соответственно. Так как ADB = ACB, то AOcB = 90° + (ADB/2) = 90° + +(ACB/2) = AOdB. Поэтому четырехугольник ABOdOc вписанный, то есть OcOdB = 180° – OcAB = 180° - (A/2).
2) Аналогично, OaOdB = 180° - (C/2). Так как А +С = 180°, то OcOdB + OaOdB = 270°, а значит, OaOdOc = 90°.
3) Аналогично, остальные углы четырехугольника OaObOcOd равны 90°.
II. Четырехугольники:
1. Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Доказать, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.
Решение:
1) Пусть О — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Без ограничения общности можно считать, что α = АОВ < 90°.
2) Опустим перпендикуляры АА1, ВВ1, СС1, DD1 на диагонали четырехугольника ABCD. Так как ОА1 = ОА cos α, OB1 = ОВ cos α, ОС1 = ОС cos α, OD1 = OD cos α, то при симметрии относительно биссектрисы угла АОВ четырехугольник ABCD переходит в четырехугольник, гомотетичный четырехугольнику A1B1C1D1 с коэффициентом 1/cos α.
2. Диагонали описанной трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке О. Радиусы вписанных окружностей треугольников AOD, AOB, BOC и COD равны r1, r2, r3 и r4 соответственно. Доказать, что + = + .
Решение:
1) Пусть S = SAOD, x = AO, y = DO, a = AB, b = BC, c = CD, d = DA; k — коэффициент подобия треугольников BOC и AOD. Тогда
,
,
так как SBOC = S и SAOB = SCOD = kS.
2) Поскольку , остается заметить, что a + с = b + d.
3. Окружности, диаметрами которых служат стороны AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, касаются сторон CD и AB соответственно. Доказать, что BC || AD.
Решение:
1) Пусть M и N – середины сторон AB и CD. Опустим из точки В перпендикуляр DP на прямую MN, а из точки M перпендикуляр MQ на CD. Тогда Q – точка касания прямой CD и окружности с диаметром AB.
2) Прямоугольные треугольники PDN и QMN подобны, поэтому DP = ND · MQ/MN = ND
· MA/MN.
3) Аналогично расстояние от точки А до прямой MN равно ND · MA/MN. Следовательно, AD || MN.
4) Аналогично ВС || MN.
III. Теорема Птолемея:
1. Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке D. Доказать, что АВ + АС 2AD.
Решение:
По теореме Птолемея АВ · CD + AC · BD = AD · BC. Учитывая, что CD = BD BC/2, получаем требуемое.
2. Дан параллелограмм ABCD. Окружность, проходящая через точку А, пересекает отрезки AB, AC и AD в точках P,Q и R соответственно. Доказать, что AP · AB + AR · AD
= AQ · AC.
Решение:
1) Применяя теорему Птолемея к четырехугольнику APQR, получаем AP · RQ + AR · QP =
= AQ · PR.
2) Так как АСВ = RAQ = RPQ и RQP = 180° - PAR = ABC, то RQP ~ ABC, а значит, RQ : QP : PR = AB : BC : CA. Остается заметить, что BC = AD.
IV. Пятиугольники:
1. В равностороннем (неправильном) многоугольнике ABCDE угол ABC вдвое больше угла DBE. Найти величину угла АВС.
Решение:
1) Так как EBD = ABE + CBD, то на стороне ED можно взять точку Р так, что EBP = ABE = AEB, то есть BP || AE. Тогда PBD = EBD - EBP = CBD = BDC, то есть BP || CD. Следовательно, AE || CD.
2) Так как AE = CD, то CDEA — параллелограмм. Поэтому АС = ED, то есть, треугольник АВС равносторонний и АВС = 60°.
2. Доказать, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырех сторонах пятиугольника.
Решение:
1) Пусть перпендикуляры, восстановленные к прямой АВ в точках А и В, пересекают стороны DE и СD в точках P и Q. Любая точка отрезка CQ является вершиной прямоугольника, вписанного в пятиугольник ABCDE (стороны этого прямоугольника параллельны АВ и АР), причем при перемещении этой точки от Q к C отношение длин сторон прямоугольников изменяется от AP/AB до 0.
2) Так как угол AEP тупой, то AP > AE = AB. Поэтому для некоторой точки отрезка QC отношение длин сторон прямоугольника равно 1.
V. Шестиугольники:
1. Суммы углов при вершинах A,C,E И B,D,F выпуклого шестиугольника ABCDEF с равными сторонами равны. Доказать, что противоположные стороны этого шестиугольника параллельны.
Решение:
1) Сумма углов при вершинах А, С и Е равна 360°, следовательно, из равнобедренных треугольников ABF, CBD и EDF можно сложить треугольник, приложив АВ к СВ, а ED и EF к CD и AF. Стороны полученного треугольника равны сторонам треугольника BDF.
2) При симметрии относительно прямых FB, BD и DF точки A, C и E переходят в центр O описанной окружности треугольника BDF, а значит, AB ||OF || DE.
2. Доказать, что если в выпуклом шестиугольнике каждая из трех диагоналей, соединяющих противоположные вершины, делит площадь пополам, то эти диагонали пересекаются в одной точке.
Решение:
1) Предположим, что прямые, на которых лежат диагонали шестиугольника, образуют треугольник PQR. Обозначим вершины шестиугольника следующим образом: вершина А лежит на луче QP, B – на RP, C – на RQ и так далее.
2) Так как прямые AD и BE делят площадь шестиугольника пополам, то SAPEF + SPED = SPDCB + SABP и SAPEF + SABP = SPDCB + SPED. Поэтому SABP = SPED, то есть AP · BP = EP · DP =
= (ER + RP) (DQ + QP) > ER · DQ.
3) Аналогично, CQ · DQ > AP · FR и FR · ER > BP · CQ. Перемножая эти неравенства, получаем AB · BP · CQ · DQ · FR · ER > ER · DQ · AP· FR ·BP ·CQ, чего не может быть. Следовательно, диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.
3. Доказать, чтоесли в выпуклом шестиугольнике каждый из трех отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, делит площадь пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке.
Решение:
1) Обозначим середины сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF так, как показано на рисунке 3. Пусть О – точка пересечения отрезков КМ и LN.
Рис. 3.
2) Площади треугольников, на которые делят шестиугольник отрезки, соединяющие точку О с вершинами с серединами сторон, обозначим так, как показано на том же рисунке.
3) Легко проверить, что SKONF = SLOMC, то есть a + f = c + d. Следовательно, ломаная POQ делит шестиугольник на две части равной площади, а значит, отрезок PQ проходит через точку О.
VI. Правильные многоугольники:
1. Все углы выпуклого многоугольника А1 … Аn равны, и из некоторой его внутренней точки О все стороны видны под равными углами. Доказать, что этот многоугольник правильный.
Решение:
Стороны многоугольника А1 … Аn параллельны сторонам правильного n – угольника. Отложим на лучах ОА1, …, ОАn равные отрезки ОВ1, …, ОВn. Тогда многоульник В1 … Вn правильный и стороны многоугольника А1 … Аn образуют равные углы с его сторонами. Следовательно, ОА1 : ОА2 = ОА2 : ОА3 = … = ОАn : ОА1 = k, то есть ОА1 =
= kОА2 = OA3 = … = OA1, а значит, k = 1.
2. Вершины правильного n – угольника окрашены в несколько цветов так, что точки одного цвета служат вершинами правильного многоугольника. Доказать, что среди этих многоугольников найдутся два равных.
Решение:
1) Обозначим центр многоугольника через О, вершины – через А1, …, Аn. Предположим, что среди одноцветных многоугольников нет равных, то есть они имеют m = m1 < m2 < m3 < … < mn сторон соответственно. Рассмотрим преобразование f, определенное на множестве вершин n – угольника и переводящее вершину Ak в вершину Аmk: f (Ak) = Аmk (считаем, что Аp+qn = Ap). При этом преобразовании вершины правильного m – угольника переходят в одну точку В, поэтому сумма векторов , где Ai - вершины m – угольника, равна .
2) Поскольку AmiOAmj = m AiOAj вершины любого правильного многоугольника с числом сторон больше m переходят при рассматриваемом преобразовании в вершины правильного многоугольника. Поэтому и сумма векторов по всем вершинам n – угольника и аналогичные суммы по вершинам m2-, m3-, …, mk – угольников равны нулю. Получено противоречие с тем, что сумма векторов по вершинам m – угольника не равна нулю. Поэтому среди одноцветных многоугольников найдутся два равных.
ЗаключениеРешение задачи крайне сложный процесс, при описании которого невозможно исчерпать все многообразие его сторон. Дать учащимся правила, позволяющие решить любую нестандартную задачу, невозможно, так как нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы, а универсального метода, позволяющего решить любую задачу, к сожалению, нет. Даже строгое выполнение всех указаний и следование советам учителя не сможет уложить процесс отыскания решений уложить в определенный алгоритм.
Искусство решения задач повышенной сложности основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов, не вошедших в этот курс, и владении определенным арсеналом приемов и методов решения геометрических задач. А также умением использовать банк опорных задач, выделенных по данной теме.
Использование учителем в своей работе задач повышенной сложности позволит ему добиться больших успехов в развитии математических способностей у учащихся.
В данной курсовой работе мы рассмотрели понятие и dblsгеометрических задач, стандарты математического образования по математике. Выяснили, что задача – это многогранное явление обучения, она занимает большое место в учебном процессе и выступает способом организации и управления учебно-познавательной деятельности учащихся.
Список литературы 1) Балл, Г. А. Теория учебных задач [Текст] / Педагогика — М.: 1990. — 291с.2) Бурдин, А. О. О классификации задач [Текст] / Совершенствование содержания и методов обучения естественно-математическим дисциплинам в средней школе. — М.: 1981. — 37 с.
3) Гребенюк О.С. Общая педагогика. Курс лекций. [Текст] /О.С. Гребенюк. Калининград: Издательство КГУ, 1996.
4) Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Мокрушин Е.Л. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики [Текст] . — М., Просвещение, 1977. — 270с.
5) Микк, Я. А. Оптимизация сложности учебного текста [Текст] : Я. А. Микк. – М.: Дрофа, 1981. — 150с.
6) Прасолов В.В. Задачи по планиметрии [Текст]: Учебное пособие. – 5-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. — 640 с.7) Фридман, Л. М. Как научиться решать задачи [Текст] / Л. М. Фридман.- 3-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 1989. — 369 с.
8) Шарыгин, И. Ф. Геометрия 7-9 классы [Текст]: учебник для общеобразоват. учреждений 4-е изд. доп. — М.: Дрофа, 2000. — 367 с.
9) http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=487