Работа по дисциплине «Информатика»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Томский государственный университет систем управления

и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра Сверхвысокочастотной и квантовой радиотехники (СВЧиКР)

ПРИМИНЕНИЕ ЧИСЛЕНЫХ МЕТОДОВ

ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Курсовая работа по дисциплине «Информатика»

Выполнил студент гр.157

____________Ли А. Е.

«__»__________200_г..

Проверил

_________Круглов В. Г.

«__»__________200_г.

2008

Аннотация

Курсовая работа 28с., 4 рис., 3 источника литературы.

Цель работы – разработка прикладной программы для численного решения уравнения, описывающего дисперсионные характеристики оптического волновода.

В процессе работы исследован литературный материал, описывающий возможности численного решения интегралов на языке программирования Pascal. Также исследована среда математических вычислений SciLab, позволяющая проверить вычисления прикладной программы и проиллюстрировать дисперсионные кривые, соответствующие решенному уравнению.

Прикладная программа разработана в среде Free Pascal. Вычисления прикладной программы проверены в среде SciLab. В этой же среде представлены дисперсионные кривые.

Содержание

1. Введение 6

2. Теоретическое обоснование_ 8

2.1 Распространение световых лучей в оптических волокнах_ 8

2.2 Моды, распространяющиеся в оптических волноводах_ 10

2.3 Численные методы_ 13

3. Алгоритм. Описание алгоритма_ 17

3.1 Алгоритм основной программы_ 17

3.2 Алгоритм процедуры_ 18

4. Прикладная программа_ 20

4.1 Листинг программы_ 20

4.2 Описание прикладной программы_ 21

5. Дублирование вычислений в среде SciLab_ 22

5.1 Листинг вычислений в SciLab_ 22

5.2 Описание вычислений в среде SciLab_ 25

6. Дисперсионные кривые_ 26

7. Заключение по проделанной работе_ 27

8. Список используемой литературы_ 28

1. Введение

Данная курсовая работа содержит пример численного решения уравнения расчёта нормированных дисперсионных характеристик градиентного оптического волновода. Уравнение имеет следующий вид:

(1.1)

Для численного решения данного уравнения необходимо разработать прикладную программу, результаты решения которой будут иллюстрироваться семейством соответствующих дисперсионных кривых.

Для проверки работы прикладной программы и графической иллюстрации результатов расчётов вычисления дублируются дополнительно в среде SciLab.

Следует заметить, что в данном уравнении введены некоторые величины, значительно упрощающие численное решение уравнения!

(1.2)

Где волновое число света в вакууме.

- толщина среднего слоя, имеющего более высокий показатель преломления.

Значения показателей преломления ns
и ∆n связаны следующим соотношением:

(1.3)

Формула (1.2) позволяет вычислить показатель преломления среднего слоя волновода.

это величина нормального эффективного показателя преломления, численно равная:

(1.4)

Где -показатель преломления верхнего слоя волновода.

-нормальный эффективный показатель преломления.

Для уравнения (1.1) заданы граничные значения величин и функция :

– закон преломления по поперечной координате.

(1.5)

2. Теоретическое обоснование

2.1 Распространение световых лучей в оптических волокнах
[8.3]

(2.1.0)

Основными факторами, влияющими на характер распространения света в волокне, на­ряду с длиной волны излучения, являются: геометрические параметры волокна, затухание, дисперсия.

Рис. 2.1.1 Распространение излучения по ступенчатому и градиентному многомодовым и одномодовому ОВ.

Рис. 2.2. Профиль показателя преломления многомодового градиентного оптического волокна.

Принцип распространения оптического излучения вдоль оптического волокна основан на явлении полного внутреннего отражения на границе сред с разными показателями преломления. Процесс распространения световых лучей в оптически более плотной сре­де, окруженной менее плотной показан на рис. 2.1. Угол полного внутреннего отражения, при котором падающее на границу оптически более плотной и оптически менее плотной сред излучение полностью отражается, определяется соотношением:

, (2.1.1)

где n1
- показатель преломления сердцевины ОВ, n2
- показатель преломления оболочки ОВ, причем n1
> n2
. При попадании светового излучения на торец ОВ в нем могут распространяться три типа световых лучей, называемые направляемыми, вытекающими
и излу­чаемыми
лучами, наличие и преобладание какого-либо типа лучей определяется углом их падения на гра­ницу раздела «сердцевина - оболочка». Те лучи, которые падают на границу раздела под углом (лучи 1, 2 и 3), отражаются от нее и вновь воз­вращаются в сердцевину волокна, распространяясь в ней и не претерпевая преломления. Так как траектории таких лучей полностью расположены внутри среды распространения — сердцевины волокна, они распространя­ются на большие расстояния и называются направляемыми.

Лучи, падающие на границу раздела под углами (лучи 4), носят название вытекающих лучей (лучей оболочки). Достигая грани­цы «сердцевина - оболочка», эти лучи отражаются и преломляются, теряя каждый раз в оболочке волокна часть энергии, в связи с чем исчезают вовсе на некотором расстоянии от торца волокна. Лучи, которые излучаются из оболочки в окружающее пространство (лучи 5), носят название излучаемых лучей и возникают в местах нерегулярностей или из-за скручивания ОВ. Излучаемые и вытекающие лучи являются паразитными и приводят к рассеиванию энергии и искажению информационного сигнала.

2.2 Моды, распространяющиеся в оптических волноводах
[8.3]

В общем случае распространение электромагнитных волн описывается системой уравнений Максвелла в дифференциальной форме:

(2.2.1)

где - плотность электрического заряда, и – напряженности электрического и магнитного полей соответственно, – плотность тока, и – электрическая и магнитная индукции.

Если представить напряженность электрического и магнитного поля и при помощи преобразования Фурье, волновые уравнения примут вид:

, (2.2.2)

где - оператор Лапласа.

Световод можно представить идеальным цилиндром с продольной осью z
, оси х
и у
в поперечной (ху
) плоскости образуют горизонтальную (xz
) и вертикальную (xz
) плоскости. В этой системе существуют 4 класса волн (Е
и Н
ортогональны):

поперечные Т
: E
z
= Н
z
= 0; Е
= Е
y
; Н
= Н
x
;

электрические Е
: Е
z
= 0, Н
z
= 0; Е
= (Е
y
, Е
z
) - распространяются в плоскости (yz
); Н
= Н
x
;

магнитные Н
: Н
z
= 0, Е
z
= 0; Н
= (Н
x
, Н
z
) - распространяются в плоскости (xz
), E
= E
z
;

смешанные ЕН
или НЕ
: Е
z
= 0, Н
z
= 0; Е
= (Е
y
, Е
z
), Н
= (Н
x
, Н
z
) - распространяются в плоскостях (xz
) и (yz
).

При решении системы уравнений Максвелла удобнее использовать цилиндрические координаты (z, r, φ
), при этом решение ищется в виде волн с компонентами E
z
, Н
z
вида:

, (2.2.3)

где и - нормирующие постоянные, - искомая функция, - продольный коэффициент распространения волны.

Решения для получаются в виде наборов из m
(появляются целые индексы m
) простых функций Бесселя для сердцевины и модифицированных функций Ханкеля для оболочки, где и - поперечные коэффициенты распространения в сердцевине и оболочке соответственно, - волновое число. Параметр определяется как решение характеристического уравнения, получаемого из граничных условий, требующих непрерывности тангенциальных составляющих компонент E
z
и Н
z
электромагнитного поля на границе раздела сердцевины и оболочки. Характеристическое уравнение, в свою очередь, дает набор из n
решений (появляются целые индексы n
) для каждого целого m
, т.е. имеем собственных значений, каждому из которых соответствует определенный тип волны, называемый модой
. В результате формируется набор мод, перебор которых основан на использовании двойных индексов.

Условием существования направляемой моды является экспоненциальное убывание ее поля в оболочке вдоль координаты r
, что определяется значением поперечного коэффициента распространения в оболочке. При = 0 устанавливается критический режим, заключающийся в невозможности существования направляемой моды, что соответствует:

. (2.2.4)

Последнее уравнение имеет бесчисленное множество решений [5]:

(2.2.5)

Введем величину, называемую нормированной частотой V
, которая связывает структурные параметры ОВ и длину световой волны, и определяемую следующим выражением:

, (2.2.6)

При = 0 для каждого из решений уравнения (2.2.5) имеет место критическое значение нормированной частоты (m
= 1, 2, 3…, n
= 0, 1, 2, 3…):

и т.д.

Для моды HE11

критическое значение нормированной частоты . Эта мода распространяется при любой частоте и структурных параметрах волокна и является фундаментальной модой ступенчатого ОВ. Выбирая параметры ОВ можно добиться режима распространения только этой моды, что осуществляется при условии:

(2.2.7)

Минимальная длина волны, при которой в ОВ распространяется фундаментальная мода, называется волоконной длиной волны отсечки. Значение определяется из последнего выражения как:

(2.2.8)

2.3 Численные методы

Математическое моделирование процессов и явлений в различных областях науки и техники является одним из основных способов получения новых знаний и технологических решений. Для осуществления математического моделирования исследователь независимо от его специальности должен знать определённый минимальный набор алгоритмов вычислительной математики, а также владеть способами и программной реализации на персональных вычислительных машинах. Такие знания и навыки необходимы также и при использовании готовых пакетов программ, иначе будут затруднительными планирование вычислительного эксперимента и инте

рпретация его результатов.

При работе с персональными вычислительными машинами широко используются языки программирования, каждый из которых имеет определённые преимущества и недостатки. В данном курсовом проекте используется язык программирования Паскаль.

Но следует заметить, что в следствии особенностей языков программирования на разных этапах решения прикладных задач бывает выгодно использовать разные языки или совмещать их на одном этапе при программировании частей одной задачи. Так как каждый язык обладает своим набором средств для программной реализации алгоритмов, то «дословный» перевод программ с одного языка на другой не всегда возможен. Один и тот же алгоритм должен быть записан на каждом языке программирования с использованием своих изобразительных средств. Здесь возникает ситуация перевода текста с одного естественного языка на другой.[8.2]

Для численного решения математических выражений и уравнений существует огромное множество численных методов. В данном проекте нам необходимо рассмотреть некоторые численные методы позволяющие получить численное решение выражения (1.1), где наибольший интерес для вычислительных действий представляет определённый интеграл следующего вида:

(2.3.1)

Известно несколько численных методов интегрирования таких как:

- метод левых прямоугольников

- метод правых прямоугольников

- метод средних прямоугольников

- метод трапеций

- метод Симпсона

Каждый и этих численных методов имеет свои особенности и области применения. Одним из важнейших параметров численных методов является величина погрешности их вычисления, так как известно что численные методы вычисления не дают абсолютно точного результата. Каждый метод обладает своим алгоритмом, помогающим в программной реализации того или иного численного метода.

Известно, что геометрический смысл определённого интеграла заключается в вычислении площади криволинейной трапеции. Данная криволинейная трапеция представляет из себя фигуру, нижнее основанием которой является отрезок, лежащий на оси абсцисс, а верхним основанием является кривая, задаваемая подынтегральной функцией. Боковые стороны задаются прямыми линиями – проекциями пределов интегрирования на ось абсцисс.

Знание этой геометрической интерпретации определённого интеграла позволяет нам вычислить интеграл, вычислив площадь криволинейной трапеции, находящейся под кривой, задаваемой подынтегральной функцией.

Мой выбор для решения данного уравнения пал на метод трапеций. Этот метода заключается в последовательно вычислении площади трапеций с высотой h, которая является шагом интегрирования.

При помощи этого метода мы вычисляем последовательно площадь более малых трапеций, пределы интегрирования который значительно уже нежели пределы интегрирования исходного определённого интеграла.

Рис. 2.3.1 метод трапеций

Сам метод трапеций не является самым точным при вычислении определённого интеграла, но погрешность его вычислений удовлетворяет для вычисления поставленной задачи. Метод не очень сложен в программной реализации и позволяет нам найти искомые величины в нашем уравнении.

Например, при вычислении интеграла вероятности с помощью данного метода мы получается следующее значение 0,8427007, в то время когда табличное значение этого интеграла равно 0,8427008 [8.2]..

Для получения конечного результата при вычислении на нашего интеграла необходимо просуммировать площади всех малых трапеций.

(2.3.2)

Где – площадь малой трапеции высоты h.

Теперь основываясь на методе трапеций разработаем прикладную программы для численного решения уравнения (1.1).

3. Алгоритм. Описание алгоритма

3.1 Алгоритм основной программы

Алгоритм начинается с ввода функции и количества шагов интегрирования. Затем задаётся цикл по m, внутри которого происходит вычисление уравнение.

Внутри внешнего цикла по m задаётся цикл по . В теле внутреннего цикла приводится численное решение интеграла (2.3.1) по средству процедуры . После чего вычисляется значение V. В конце внутреннего цикла после всех вычислений выводятся значения m, V и .

Таким образом вычисляется уравнение при каждом значении , после чего присваивается новое значение .

Заканчивается алгоритм после решения уравнения для каждого значения m.

3.2 Алгоритм процедуры

В данной процедуре происходит непосредственное численное интегрирование методом трапеций.

Задаётся цикл по количеству шагов интегрирования, затем вычисляется площадь каждой малой трапеции и все их площади суммируются.

Выводится вся площадь подынтегральной функции в заданных пределах интегрирования, после чего процедура заканчивается.

4. Прикладная программа

4.1 Листинг программы

Program
volnovod;

VAR
a,Ytm, h, s,s1,k,bm,v:extended; n,I,m:Longint;

CONST
p=3.14159265;

FUNCTION
F(y:real):real;

BEGIN

F:=sqrt(exp(-(y*y))-bm);

END;

PROCEDURE TRAP;

BEGIN

H:=(Ytm-A)/N;

s1:=0;

FOR
i:=1 TO
N-1 do

BEGIN

K:=(F(A)+F(A+H))/2; s:=k*h; A:=A+h; s:=s+s1; s1:=s;

END;

END;

BEGIN

FOR
m:=1 TO
5 do

BEGIN

bm:=0.02;

WHILE
bm<=0.9 DO

BEGIN

A:=0:

Ytm:=sqrt(-LN(bm));

Write(‘N=’);

Read(N);

TRAP;

V:=((m*p)+((3/4)*p))/s;

If
V<=40 then begin

Writeln(‘m=’,m); Writeln(‘V=’,V); Writeln(‘bm=’,bm); end;

bm:=bm+0.0001;

END;
END;
END.

4.2 Описание прикладной программы

Принцип работы прикладной программы полностью соответствует, приведённому выше, алгоритму. Программа написана в среде Turbo Pascal 7.0.

В результате работы программы решается уравнении для каждого значения m, т.е. вычисляется зависимость от .

Программа начинается с названия и задания, используемых переменных, после чего идёт описание функции.

Следующим шагом создания программы является описание процедуры вычисления площади подынтегральной функции (численное интегрирование). После процедуры начинается тело основной программы.

Внутри основной программы задаются два цикла, описываемых выше, внутри которых происходят все вычисления.

Сначала задаются пределы интегрирования и шаг интегрирования, после чего при помощи описанной выше процедуры вычисляется интеграл.

Зная значение, вычисленного интеграла, рассчитываем значение и выводим соответствующие значения , и .

И таким образом все выше описанные операции повторяются циклически.

5. Дублирование вычислений в среде
SciLab

5.1 Листинг вычислений в
SciLab

i=1;

m=0;

for bm=0.02:0.0001:0.9

a=0;

b=sqrt(-log(bm));

y=a:0.001:b;

f=sqrt(exp(-(y^2))-bm);

r=inttrap(y,f);

V=((m*%pi)+((3/4)*%pi))/r;

d(i)=V;

w(i)=bm;

i=i+1;

end

plot(d,w);

i=1;

m=1;

for bm=0.02:0.0001:0.9

a=0;

b=sqrt(-log(bm));

y=a:0.001:b;

f=sqrt(exp(-(y^2))-bm);

r=inttrap(y,f);

V=((m*%pi)+((3/4)*%pi))/r;

d(i)=V;

w(i)=bm;

i=i+1;

end

plot(d,w);

i=1;

m=2;

for bm=0.02:0.0001:0.9

a=0;

b=sqrt(-log(bm));

y=a:0.001:b;

f=sqrt(exp(-(y^2))-bm);

r=inttrap(y,f);

V=((m*%pi)+((3/4)*%pi))/r;

d(i)=V;

w(i)=bm;

i=i+1;

end

plot(d,w);

i=1;

m=3;

for bm=0.02:0.0001:0.9

a=0;

b=sqrt(-log(bm));

y=a:0.001:b;

f=sqrt(exp(-(y^2))-bm);

r=inttrap(y,f);

V=((m*%pi)+((3/4)*%pi))/r;

d(i)=V;

w(i)=bm;

i=i+1;

end

plot(d,w);

i=1;

m=4;

for bm=0.02:0.0001:0.9

a=0;

b=sqrt(-log(bm));

y=a:0.001:b;

f=sqrt(exp(-(y^2))-bm);

r=inttrap(y,f);

V=((m*%pi)+((3/4)*%pi))/r;

d(i)=V;

w(i)=bm;

i=i+1;

end

plot(d,w);

i=1;

m=5;

for bm=0.02:0.0001:0.9

a=0;

b=sqrt(-log(bm));

y=a:0.001:b;

f=sqrt(exp(-(y^2))-bm);

r=inttrap(y,f);

V=((m*%pi)+((3/4)*%pi))/r;

d(i)=V;

w(i)=bm;

i=i+1;

end

plot(d,w);

5.2 Описание вычислений в среде
SciLab

Дублирование вычислений происходило при помощи программирования в SciLab. Задаётся цикла по , внутри которого прописываем пределы интегрирования и подынтегральная функция, затем вычисляется интеграл и значение при заданном значении .

Каждое вычисленное значение v и соответствующее значение заносятся в отдельные массивы чисел, по которым далее строится график дисперсионной кривой для заданного значения .

Эта операция повторяется для каждого значения от 0 до 5.

6. Дисперсионные кривые

Рис. 6.1 Семейство дисперсионных кривых в среде SciLab.

7. Заключение по проделанной работе

В ходе проделанной работы была изучена литература, описывающая численные методы, программирование в среде Free Pascal и SciLab.

Также изучена литература, описывающая физическую интерпретацию данного уравнения.

С помощью среды SciLab были проверены вычисления, проводимые в прикладной программе. Эта проверка показала достаточно высокую точность вычислений прикладной программы. Значения, полученные в среде SciLab, отличаются от вычислений прикладной программы примерно на одну тысячную. Это позволяет судить о достаточно высокой точности вычислений прикладной программы и соответственно о точности вычислений интеграла методом трапеций, который использовался в прикладной программе.

8. Список используемой литературы

8.1. Сергиевский М.В., Шалашов А.В., Турбо паскаль 7.0., Язык, среда, программирования. – М.:Машиностроение. – 1994. – 254с.

8.2 Мудров А.Е., Численные методы для ПЭВМ на языках Бэйсик, Фортран и Паскаль. – Томск : МП «РАСКО», 1991. – 272с.

8.3