Обчислення визначеного інтеграла функції F на відрізку A B за формулою Сімпсона

>

Це і є квадратурна формула Сімпсона, або формула парабол із залишковим членом. Вона точна для многочлена третьго степеня, бо похідна четвертого від такого многчлена дорівнює нулю. З формули (6.31) легко знайти таку оцінку для абсолютної похибки чисельного інтегрування за формулою Сімпсона :

Якщо треба обчислити з достатньою точністю, то відрізок [a,b] ділять на 2n рівних відрізків завдовжки і до кожного з відрізків [X2k;X2k+2] (k=0,1,..., n-1) застосовують формулу Сімпсона (6.32).

Тоді де

Оскільки f’’’’(xk)=f’’’’(x),xÎ[A;B].

Таким чином дістаємо узагальнену формулу Сімпсона (парабол) із залишковим членом вигляду:

Залишковий член узагальненої формули Сімпсона

Звідси дістаємо таку оцінку абсолютної похибки чисельного інтегрування за узагальненою формулою Сімпсона :

Якщо наближене значення інтеграла треба обчислити з точністю E>0, відповідний крок інтегрування h визначається нерівністю

,

або, що те саме, відрізок [a;b] треба поділити на n рівних частин де

За узагальненою формулою Сімпсона обчислимо наближене значення інтеграла (6.19) з кроком n=0,1 і оцінимо повну абсолютну похибку D1.

Користуючись таблицею 6.1, за формулою (6.33) знайдемо :

Ісм=0,38177448»0,381745

Щоб оцінити залишковий член R(f) формули Сімпсона за формулою (6.35), треба знайти похідну четвертого порядку від функції f(x)=xcosx, маємо

f’’’’(x)=4sinx+xcosx, звідси

Тому для залишкового члена R(f) за формулою (6.35) (a=0, b=1, h=0,1, M4=5) дістанемо

Похибка остаточного округлення Do=0,2*10^(-7), а неусувна похибка DfDfбо , а значення підінтегральної функції f у вузлах Xk (k=0,1,...10) обчислювали з точністю 0,5*10^(-7), тобто Df=0,5*10^(-7).

За формулою (6.3) для повної абсолютної похибки чисельного інтегрування функції f(x)=xcosx знаходимо таку оцінку :

D1=0,278*10^(-5)+0,5*10^(-7)+0,2*10^(-7)=0,285*10^(-5)<0,3*10^(-5).

Отже обчислене за формулою Сімпсона для n=10,h=0,1 наближене значення інтеграла (6.19) має п’ять правильних значущих значущих цифр, тобто

Найбільший внесок у повну абсолютну похибку узагальненої формули Сімпсона вносить залишковий член R(f). Тому для визначення кількості відрізків n-розбиття [a;b], яке гарантує обчислення наближеного значення інтеграла з точністю E>0, досить скористатись формулою (6.36). Звичайно, всі проміжні обчислення при цьому слід проводити з точністю, більшою за E. Наприклад, щоб обчислити наближене значення інтеграла (6.19) з точністю E=0,5*10^(-4), треба відрізок [0;1] поділити не меньш як на три рівні частини, бо за формулою (6.36) ( а=0, в=1, М4=5 ) маємо

Обчислимо інтеграл (6.19) за формулою (6.33), поклавши n = 2, 4, 8, 16. Знайдемо І2 = 0,38182200; І4=0,38177633; І8=0,381773333. А це означає, що І2 має три, І4 - п‘ять, І8 - шість правильних значущих десяткових цифр. В І16 - всі 8 цифр правильні.

2. Метод Сімпсона.

Власне значення інтеграла

можна знайти методом Сімпсона (парабол). Для цього відрізок [a,b] розбивається на n=2m частин Co=A,C1=A+h,...,Cn=В з кроком h=(b-a)/n (1)

У точках Хі обчислюють значення функції У1=f(Xi) і знаходять наближене значення інтеграла за формулою Сімпсона S = Sn + Rn

де

Далі кількість точок розбиття подвоюється і здійснюється оцінка точності обчислень

Якщо , то кількість точок розбиття знову подвоюється. При цьому значення суми 2*(у1+у2+...+у2m-1) у попередніх точках розбиття зберігається, тому для обчислення інтеграла при подвоєнні кількості точок розбиття треба обчислювати значення у(х) лише в нових точках.

4.ДОДАТКИ :

4.1.Додаток 1: Структура програми.

У даній програмі використовуються змінні :

а, в - межі інтегрування;

е - точність;

х - аргумент функції f(x);

h - крок;

S, S1, S2, S3 -робочі змінні;

x1=xi+h.

Контрольний приклад.

Інтеграл

Функція ff(x) має вигляд :

Function ff( x:Real ):Real;

Begin ff:=exp(x) END;

Структура програми

1-2 - заголовок функції та опис локальних змінних;

4-11 - обчислення за формулами (2) і (3)

Програма. Інтеграл за Сімпсоном.

FUNCTION FF(X:REAL):REAL;

BEGIN FF:=EXP(X) END;

FUNCTION Simpson(a,b,e:real):real;

var h,S,S1,S2,S3,X,X1:REAL;

BEGIN

S2:=1E+30;H:=B-A;S:=FF(A)+FF(B);

REPEAT

S3:=S2;H:=H/2;S1:=0;X1:=A+H;

WHILE(X1>B)=(H<0) DO

BEGIN S1:=S1+2*FF(X1);X1:=X1+2*H;

END;

S:=S+S1;S2:=(S+S1)*H/3;X:=ABS(S3-S2)/15

UNTIL X<E;

SIMPSON:=S2; END;

4.2.Додаток 2. : Узагальнення проекту.

На даний момент існує досить багато різних методів в математичній галузі чисельного інтегрування функцій. До найвідоміших методів відносяться :

а) Квадратурні формули Ньютона-Котеса;

б) Формула прямокутників;

в) Формула трапецій;

г) Метод обчислення інтеграла за Ромбергом;

Звичайно до цих методів на перше місце слід віднести обчислення визначеного інтеграла функції f(x) на відрізку [a, b] за формулою Сімпсона а також інтегрування методом Сімпсона з оцінкою точності. Метод Сімпсона вираховує надзвичайно точне обчислення інтеграла функції. Звичайно обчислювати методом Сімпсона такі інтеграли вручну дуже довго, тому для цього і існує така дисципліна, як «Алгоритмічні мови програмування»

5.Висновок.

Отже в даній темі курсової роботи «Обчислення визначеного інтегралу функцій f(x) на відрізку [a, b] за формулою Сімпсона» показано можливість розв’язання інтегралу за формулою Сімпсона, а також інтегрування методом Сімпсона з оцінкою точності.

6.Література.

6.1. Я.М.Григоренко, Н.Д.Панкратова. «Обчислювальні методи в задачах прикладної математики»

К. «Либідь» 1995

6.2.І.П.Гаврилюк, В.Л.Макаров. ..«Методи обчислень». (У двох частинах)

К. «Вища школа» 1995.

6.3..«Методи обчислень». Практикум на ЕОМ.

К. «Вища школа» 1995.

6.4.Я.Т.Гринчишин. «Чисельні методи в фізиці та математиці».

Тернопіль, 1994.

6.5.Ю.П.Боглаев. «Вычислительная математика и программирование».

М. «Высшая школа», 1990.