Муниципальное общеобразовательное учреждение
Кадетская школа
г. Люберцы Московской области
Реферат
Элективный курс
«Решение задач с параметрами»
Учитель математики
Спиридонова Ирина Петровна
Г. Люберцы, 2007 г.
Оглавление
1. Введение. 3 стр.
2. Элективный курс «Решение задач с параметрами».
а) Пояснительная записка. 5 стр.
б) Структура курса планирования учебного материала. 7 стр.
в) Краткое содержание курса. 8 стр.
г) Планирование. 12 стр.
д) Методические рекомендации при изучении
некоторых тем. 13 стр.
3. Заключение. 27 стр.
4. Библиографический список. 28 стр.
5. Приложения.
ВВЕДЕНИЕ.
В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения предмета математики и подготовки учащихся к продолжению образования.
Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение определена Правительством России в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г.», где ставится задача создания специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования».
Принятая в Концепции гибкая система профильного обучения предусматривает возможность разнообразных вариантов комбинаций учебных курсов, осваиваемых старшеклассниками. Эта система включает в себя курсы трех типов: базовые общеобразовательные; профильные общеобразовательные; элективные.
Единый государственный экзамен – это словосочетание знакомо сегодня едва ли не каждой семье, в которой есть школьник. Одной из целей проведения ЕГЭ является совмещение итоговой аттестации выпускников и вступительных испытаний для поступления в ВУЗы. Еще одна из целей введения ЕГЭ – попытка улучшения качества образования в России за счет более высокой мотивации на успешное его прохождение. Теперь детей надо готовить к экзаменам по-иному, так, чтобы они сдавали их успешно, а результаты можно было сравнить. Выдерживать такие экзамены – новая задача, как для школьников, так и для педагогов.
Можно привести один из главных выводов эксперимента с ЕГЭ: «Впервые за сто лет в России появился объективный и абсолютно прозрачный механизм оценки знаний школьников».
На экзаменах прошлых лет в общеобразовательных классах, как правило, задачи с параметрами не решались, а если решались сильными учащимися, то только частично. Решаемость таких заданий не превышала 2% для всех испытуемых.
Каждый ВУЗ предъявляет свои требования к уровню математической подготовки будущего студента, поэтому ВУЗы с большим курсом математики включали в билеты задачи, решить которые, как правило, можно, пройдя специальную целенаправленную подготовку. Вопрос лишь в том, насколько конкурсная задача повышенной сложности обладает диагностической ценностью. Иными словами, можно ли с помощью этой задачи проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.
Такой диагностической и прогностической ценностью в полной мере обладают задачи с параметрами.
Практика вступительных экзаменов в ВУЗы по математике показывает, что задачи с параметрами представляют для абитуриентов наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена в любом высшем учебном заведении.
На сегодняшний день задачи с параметрами – неотъемлемая часть ЕГЭ по математике.
Поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач, и делать это нужно не от случая к случаю, а регулярно.
Что же такое параметр и почему подобные задачи вызывают такие трудности?
Параметр – это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему).
Иными словами, уравнение с параметром является фактически семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении параметра.
Введение параметра способствовало появлению качественно новых типов задач, вдохнуло, если так можно выразиться, новую жизнь в такие традиционные виды задач, как решение уравнений и неравенств. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа. В этом смысле не всякая задача, в условии которой формально присутствуют параметры («буквы»), является задачей с параметрами.
В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно.
При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельной работе.
В связи с вышесказанным, возникла необходимость в разработке и внедрении в учебный процесс элективного курса по математике по теме: «Решение задач с параметрами».
Основными формами проведения элективного курса являются изложение узловых вопросов курса в виде обобщающих лекций, семинаров, дискуссий, практикумов по решению задач, рефератов учащихся.
Автор реферата долгое время занималась изучением данной темы в рамках самообразования. В 2001г. ею была разработана «Программа дополнительного образования по математике», в которой задачи с параметрами вводились в курс обучения с 7-го класса. (См. приложения к реферату). Программа была успешно отработана на двух выпусках учащихся. Сейчас это студенты соответственно третьего и второго курсов различных ВУЗов. Все ребята отмечают значимость тех дополнительных знаний, которые они получили на этих занятиях.
Нынешний курс позволяет обобщить и систематизировать весь опыт, накопленный за эти годы; дает возможность за короткое время обучить умению решать достаточно сложные задания.
Разработанный курс направлен на решение следующих задач:
Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
Выявление и развитие их математических способностей;
Подготовка к ЕГЭ и к обучению в ВУЗе.
Элективный курс
«Решение задач с параметрами»
Пояснительная записка
Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.
Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С) встречаются задачи с параметрами. Обязательны такие задания и на вступительных экзаменах в ВУЗы.
Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.
Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.
В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами».
Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.
Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.
Цель курса
· Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами для подготовки к ЕГЭ и к обучению в ВУЗе.
· Изучение курса предполагает формирование у учащихся интереса к предмету, развитие их математических способностей.
· Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.
· Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.
В результате изучения курса учащийся должен:
усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;
применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр;
проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
овладеть исследовательской деятельностью.
Структура курса планирования учебного материала
Темы:
Первоначальные сведения. 2ч
Решения линейных уравнений, содержащих параметры. 2ч
Решения линейных неравенств, содержащих параметры. 2ч
Модуль и параметр. 2ч.
Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры. 7ч
Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 4ч
Рациональные уравнения. 2ч
Рациональные неравенства. 2 ч
Иррациональные уравнения. 2ч
Иррациональные неравенства. 2ч
Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры. 4 ч
Показательные и логарифмические неравенства, содержащие параметры . 4ч
Производная и ее применения. 4ч
Тригонометрия и параметры. 4ч
Графические приемы решения. 4ч
Нестандартные задачи с параметрами. 6ч
количество решений уравнений;
уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями.
Текстовые задачи с использованием параметра. 4 ч
Краткое содержание курса
I. Первоначальные сведения.
Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр. Основные приемы решения задач с параметрам. Решение простейших уравнений с параметрами.
Цель:
Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений.
II. Решение линейных уравнений (и уравнений, приводимых к линейным), содержащих параметр.
Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр. Решение уравнений, приводимых к линейным. Решение линейно-кусочных уравнений. Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр. Геометрическая интерпретация. Решение систем уравнений.
Цель:
Поиск решения линейных уравнений в общем виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.
III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.
Определение линейного неравенства. Алгоритм решения неравенств. Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами. Исследование полученного ответа. Обработка результатов, полученных при решении
.
Цель:
Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.
IV. Модуль и параметр.
Определение модуля.
Алгоритм решения уравнений и неравенств с модулем.
Раскрытие разных модулей.
Графический способ решения.
Цель:
Выработать навыки решения уравнений и неравенств с модулем, содержащих параметр.
V. Квадратные уравнения, содержащие параметр.
Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета.
Исследование трехчлена. Алгоритм решения уравнений. Графический способ. Аналитический способ решения. Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования
.
Цель:
Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.
VI. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.
Область значений функции. Область определения функции. Монотонность. Координаты вершины параболы.
Цель:
Познакомить с многообразием задач с параметрами, решаемых с помощью свойств квадратичной функции.
VII
. Рациональные уравнения.
Общая схема решения целых и дробно-рациональных уравнений.
Решение соответствующих уравнений, содержащих параметр.
Различные способы решения.
Цель:
Сформировать умение решать рациональные уравнения с параметром.
Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр.
VIII
.
Рациональные неравенства.
Общая схема решения, «метод областей».
Различные способы решений.
Цель:
Формировать умение и навыки решения рациональных неравенств с параметром.
IX.
Иррациональные уравнения
.
Схемы решения иррациональных уравнений.
Область определения уравнения.
Решение соответствующих уравнений, содержащих параметр.
Цель:
Сформировать умение решать иррациональные уравнения с параметром.
Исследование иррациональных уравнений, содержащих параметр.
Х. Иррациональные неравенства.
Схемы решения иррациональных неравенств.
Решение соответствующих неравенств, содержащих параметр.
Цель:
Формировать умение и навыки решения иррациональных неравенств с параметром.
XI
.
Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.
Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений, содержащих параметры.
Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений с параметрами.
Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения с параметрами.
XII
.
Показательные и логарифмические неравенства, содержащие параметры.
Свойства показательной функции. Решение показательных неравенств, содержащих параметры. Свойства логарифмической функции. Решение логарифмических неравенств с параметрами.
Цель:
Формировать умение и навыки решения показательных и логарифмических неравенств с параметром.
XIII
.
Производная и ее применения.
Касательная к функции. Критические точки. Монотонность. Наибольшие и наименьшие значения функции. Построение графиков функций.
Цель:
Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.
XIV
. Тригонометрия и параметры.
Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр. Тригонометрические неравенства, содержащие параметр. Область значений тригонометрических функций.
Цель:
Сформировать умение использования свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
XV
. Графические приемы решения.
Использование свойств различных функций при решении заданий с параметром.
Специфика решений графическим способом.
Преимущества и недостатки графического способа.
Цель:
Научить графическим приемам решения задач с параметром.
XVI
.
Нестандартные задачи с параметрами.
Использование различных свойств при решении задач с параметрами.
Умение проводить анализ задачи, находить алгоритм решения.
Цель:
Формировать навыки исследовательской деятельности, развивать логическое и математическое мышление.
XII
. Текстовые задачи с использованием параметра.
Использование различных свойств при решении задач с параметрами.
Умение проводить анализ задачи, находить алгоритм решения.
Цель:
Формировать навыки исследовательской деятельности, развивать логическое и математическое мышление.
Планирование
(64 часа)
| № урока
|
Тема
|
Дата проведения
|
| 1
|
Основные понятия уравнений с параметрами |
|
| 2
|
Основные понятия неравенств с параметрами |
|
| 3 – 4
|
Решение линейных уравнений с параметрами |
|
| 5 – 6
|
Решение линейных неравенств с параметрами |
|
| 7 – 8
|
Модуль и параметр |
|
| 9 – 12
|
Квадратные уравнения, содержащие параметр |
|
| 13 – 15
|
Квадратные неравенства, содержащие параметр |
|
| 16 – 19
|
Свойства квадратичной функции |
|
| 20 – 21
|
Рациональные уравнения с параметром |
|
| 22 – 23
|
Рациональные неравенства с параметрами |
|
| 24 – 25
|
Иррациональные уравнения с параметром |
|
| 26 – 27
|
Иррациональные неравенства с параметрами |
|
| 28 – 29
|
Показательные уравнения с параметром |
|
| 30 – 31
|
Логарифмические уравнения с параметром |
|
| 32 – 33
|
Показательные неравенства с параметром |
|
| 34 – 35
|
Логарифмические неравенства с параметром |
|
| 36 – 39
|
Производная и ее применения |
|
| 40 – 43
|
Параметры в тригонометрии |
|
| 44 – 47
|
Графические приемы решения |
|
| 48 – 49
|
Количество решений уравнений |
|
| 50 – 53
|
Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями |
|
| 54 – 57
|
Текстовые задачи с использованием параметра |
|
| 58 – 60
|
Итоговая контрольная работа по курсу |
|
| 62 – 64
|
Защита индивидуальных проектов |
Методические рекомендации
при изучении некоторых тем
Линейные и квадратные уравнения
Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами: ах
= b
, где х
– неизвестное, а, b
– параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра а
является значение а
= 0.
1. Если а
≠ 0 , то при любой паре параметров а
и b
оно имеет единственное решение х
= .
2. Если а
= 0, то уравнение принимает вид: 0 х
= b
. В этом случае значение b
= 0 является особым значением параметра b
.
2.1. При b
≠ 0 уравнение решений не имеет.
2.2. При b
= 0 уравнение примет вид: 0 х
= 0. Р
Пример
. Решить уравнение
2а(а —
2) х = а —
2. (1)
Решение.
Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х
обращается в 0. Такими значениями являются а
=0 и а
=2. При этих значениях а
невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х
. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2
это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества
A1
={0}, А2
={2} и А3
= {а
≠0, а
≠2}
и решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:
1) а=
0 ;
2) а=
2 ;
3) а
≠0, а
≠2.
Рассмотрим эти случаи.
1) При а=
0 уравнение (1) принимает вид 0 х
= - 2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а=
2 уравнение (1) принимает вид 0 х
=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.
3) При а≠0, а≠2 из уравнения (1) получаем, х = ,
откуда х = .
0твет:
1) Если а=
0,
то корней нет;
2)если а=
2,
то х
– любое действительное число;
3) если а
≠0, а
≠2 , то х
= .
Пример.
Решить уравнение
(а
— 1) х
2
+2 (2а
+1) х
+(4а
+3) =0; (2)
Решение.
В данном случае контрольным является значение a
=1. Дело в том, что при a
=1 уравнение (2) является линейным, а при а≠
1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а
= l; 2) а
≠1.
Рассмотрим эти случаи.
1) При a
=1 уравнение (2) примет вид 6х
+7=0. Из этого
уравнения находим х
= -.
2) Из множества значений параметра а ≠
1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (2) обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D=0
при а=ао
,
то при переходе значения D
через точку ао
дискриминант может изменить знак (например, при а<ао
D< 0, а при а>ао
D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао
меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<ао
корней нет, так как D< 0, а при а>ао
D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.
Составим дискриминант уравнения (2):
=(2а+ l)2
— (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.
Из уравнения = 0 находим а = -—
второе контрольное значение параметра а.
При
этом если а
<-
, то D <0; если a
≥-
, то D≥0, a
≠ 1.
Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а
<-
и в случае, когда { a
≥-,
a
≠ 1 }.
Если а
<-
, то уравнение (2) не имеет действительных корней; если же
{ a
≥-,
a
≠ 1 }, то находим
Ответ:
1) если а
<-
, то корней нет;
2) если а
= 1, то х = -;
3) если a
≥-,
a
≠ 1, то
.
Свойства квадратичной функции
в задачах с параметрами
При решении различных задач часто используются не только свойства квадратного уравнения, но и свойства квадратичной функции. Полезно дать учащимся таблицу, позволяющую составлять систему неравенств для нахождения решений задачи. Однако, на мой взгляд, для рационального подхода к поиску решения достаточно рассмотреть только расположение графиков при положительном старшем коэффициенте, но обратить внимание, что тогда неравенства составляются в виде а
f(
A)< 0
или а
f(
A)> 0
(а
- старший коэффициент).
Пример.
При каких значениях параметра а
один из корней уравнения
(а2
-2)х2
+(а2
+а
-1)х
-а3
+а
=0
больше числа а,
а другой меньше числа а
?
Решение.
Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а
нули квадратичной функции
g(х)=
(а2
-2)х2
+(а2
+а
-1)х
-а3
+а
лежат на вещественной оси по разные стороны от точки х = а
?
Исходя из таблицы, имеем условие: а
f(
A)< 0.
В нашем случае это условие принимает вид
(а2
-2)
g(а)<
0.
Следовательно, требованию задачи удовлетворяют решения неравенства
(а2
-2)
((а2
-2)а2
+(а2
+а
-1)а
-а3
+а
)<0, где а2
-20 (а
=, а
=- требованию задачи не удовлетворяют).
Решая полученное неравенство,
находим, что а
(-; -1)(1; ).
Ответ
:
При а
(-; -1)(1; ).
Пример.
При каких значениях параметра корни уравнения
(1)
больше 1?
Решение.
Очевидно, что задача равносильна следующей: при каких значениях параметра корни квадратного трехчлена
больше 1?
Переход от одной формулировки задачи к другой подчеркивает ту общую часто используемую при решении алгебраических уравнений второй степени идею, которая связана с описанием тех или иных свойств квадратного трехчлена и их геометрической интерпретации на графике. В частности, для того, чтобы корни квадратного трехчлена
(2)
были больше числа , необходимо и достаточно выполнение условий
(3)
(см. рис. 1.1.)
Условия (3) равносильны условиям
где - дискриминант, а - производная квадратного трехчлена. Требование же того, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа , означает выполнение условий
Возвращаясь к исходной задаче, замечаем, что при =0 уравнение (1) имеет корень , который требованиям задачи не удовлетворяет.
Рассмотрим случай . При таких условия (3) запишутся в виде
Решая эту систему, находим, что .
Очевидно, что этот же результат мы получили бы и решая неравенство , где - меньший корень уравнения (1)
Ответ:
.
Рациональные неравенства с параметрами
Пример
.
Найти все значения параметра , при которых неравенство
выполняется при всех .
Решение.
Исходное неравенство является однородным неравенством второй степени относительно функции и . Если разделить его на , то получится равносильное неравенство
которое после замены становится квадратным неравенством относительно переменной с параметром :
(*)
Найдем множество значений функции при . Имеем: , то есть Отсюда при ; другие значения (отличные от нуля) найдем из условия неотрицательности дискриминанта этого квадратного уравнения: , то есть .
Итак, исходное неравенство выполняется для всех тогда и только тогда, когда неравенство (*) выполняется для всех .
Рассмотрим квадратный трехчлен с абсциссой вершины и дискриминантом . Тогда имеем следующие необходимые и достаточные условия для нахождения искомых значений параметра :
|
|
Последовательно преобразуя, получаем:
Объединяя решения систем (1)-(3), получаем ответ.
Ответ
:
Иррациональные уравнения с параметрами
Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.
Пример.
В зависимости от значений параметра решить уравнение
(1)
Решение.
Решим уравнение (1) пятью способами, которые необходимо знать, ибо наряду с другими подходами они могут быть использованы и при решении иных типов уравнений.
Способ 1.
Уравнение (1) равносильно системе
или системе
(2)
Решая уравнение из системы (2), находим
(3)
откуда следует, что при уравнение (1) имеет одно решение . Если , то , и тогда уравнение (1) будет иметь два решения при тех значениях параметра , при которых совместна система
,
т.е. при
Уравнение (1) будет иметь только один корень , если , а . В этом случае решая систему
приходим к выводу, что .
Замечая теперь, что при дискриминант уравнения системы (2) отрицателен, получаем
Ответ:
если , то решений нет;
если , то ;
если , то ;
если , то .
Способ 2
. Возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получим уравнение из системы (2), корни которого задаются формулами (3). Но здесь надо иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения (1) в квадрат могли появиться посторонние корни.
Поэтому при данном способе решения необходимо произвести проверку. Так, подставляя корень в исходное уравнение, придем к соотношению
,
откуда .
Если же подставить корень в уравнение (1), то придем уже к отношению , и, таким образом, .
Учитывая теперь, что при корней нет, а при имеем , получаем тот же ответ, что и при первом способе решения.
Способ 3.
Если воспользоваться геометрическим смыслом квадратного трехчлена, то, обращаясь к равносильной уравнению (1) в системе (2), приходим к выводу, что уравнение (1)будет иметь корни и в том случае, когда корни квадратного трехчлена не меньше . Аналитически соответствующие условия записываются в виде системы
Решая эту систему, находим, что .
При уравнение (1) имеет решение .
Если же , т.е. , то уравнение (1) будет иметь один корень . При решений нет.
Способ 4.
Рассмотрим графики функций
и
заданных соответственно левой и правой частями уравнения (6.1).
Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут решениями уравнения (1). При графики не пересекаются (см. рис. 6.1) и значит уравнение (1) решений не имеет.
При графики касаются и уравнение (1) имеет один корень .
При уравнение (1) будет иметь корни и , определяемые формулами (3) (см. рис. 6.2).
При графики функций и пересекаются в одной точке, и значит уравнение (1) имеет одно решение (см. рис. 6.3)
Способ 5.
Перепишем равносильную уравнению (1) систему (2) в виде
Построив тогда в плоскости график функции при условии (см. рис. 6.4), мы приходим к выводам, полученным ранее четырьмя рассмотренными способами.
Ответ:
если , то решений нет;
если , то ;
если , то ;
если , то .
Показательные и логарифмические неравенства с параметрами
Пример
.
Найти все значения параметра , при которых неравенство
выполняется для всех действительных значений .
Решение.
Исходное неравенство
равносильно следующей совокупности двух систем:
|
|
В системе (1) параметр , поэтому коэффициент , стоящий при в левой части последнего неравенства, положителен, следовательно, последнее неравенство системы (1) равносильно неравенству
которое не может выполняться при всех действительных значениях при любом фиксированном значении параметра . Таким образом, система (1) не дает искомых значений параметра.
В системе
(2)
из первого неравенства () так же, как и раньше, вытекает, что , следовательно, второе неравенство равносильно неравенству
,
которое, очевидно, выполняется для всех действительных тогда и только тогда, когда
С учетом того, что , получаем
Ответ:
Производная и ее применения
Пример.
Найти все значения параметра , при которых функция
имеет хотя бы один экстремум строго между числами и .
Решение.
Для вычисления экстремумов функции найдем её производную:
откуда следует, что в точках экстремума, то есть при , значение параметра , так как . Поэтому интервал , на котором, согласно условию задачи, надо искать экстремум, целиком расположен справа от точки 0.
Дальнейшее решение задачи изложим двумя способами.
I- ый способ.
Рассмотрим квадратный трехчлен с абсциссой вершины и дискриминантом , положительность которого следует из того, что
Если абсцисса вершины параболы, являющейся графиком функции , расположена левее интервала , то есть величина , то значения и должны быть разных знаков, причем - отрицательно:
откуда следует, что
Если лежит строго между и , то либо , либо должно быть положительно:
Если лежит правее интервала , то есть , то значения и должны быть разных знаков, причем - положительно:
Объединяя найденные значения параметра в рассмотренных трех случаях, получает ответ: .
II – й способ.
Как мы уже получили ранее, в точках экстремума, то есть при имеем . В плоскости нарисуем график функции . Точки экстремума будем искать на интервале , то есть при что соответствует внутренним точкам острого угла, ограниченного прямыми и , и находящегося в первой четверти. Найдем точки пересечения прямых и с параболой . Решая квадратные уравнения, получаем:
Так как производная при и при , то исходная функция является возрастающей в области , расположенной ниже параболы , и убывающей в области, расположенной выше этой параболы; в точках параболы функция имеет экстремум (в силу того, что выполнено достаточное условие экстремума – смена знака производной).
Левая ветвь параболы пересекается с прямыми и в точках и соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка левой ветви параболы ).
Правая ветвь параболы пересекается с прямыми и в точках и соответственно. Все точки параболы, расположенные строго между этими точками пересечения, отвечают точкам экстремума функции , соответствующим искомым значениям параметра : (проекция на ось указанного участка правой ветви параболы ).
Объединяя найденные выше интервалы и значений параметра , получаем ответ.
Ответ:
.
Заключение
Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в ВУЗы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики.
Даже если бы эти задачи не предлагались на выпускных и вступительных экзаменах, то все равно в школьной математике задачам с параметрами должно уделяться большое внимание. В этом автор данного реферата глубоко убеждена: ведь известно, какую роль играют данные задачи в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются (и опыт это подтверждает) с другими задачами. Решение задач, уравнений с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.
При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные методические принципы:
принцип параллельности
– следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь;
принцип вариативности
– рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы;
принцип самоконтроля
– невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач;
принцип регулярности
– увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках.
Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке к ЕГЭ, вступительным экзаменам в ВУЗы, на занятиях математического кружка. В нем систематизирован теоретический и дидактический материал, отвечающий принципу последовательного нарастания сложности.
Б
иблиографический список.
1.
Амелькин. В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Справочное пособие по математике. – 2-е изд. - Мн. ООО «Асар», 2002. – 464 с.; ил.
2.
Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. – 4-е изд. – Просвещение, 1997. – 271 с.; ил.
3.
Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. – 3-е изд. – М.; Илекса, Харьков: Гимназия, 1998, - 336 с.
4.
Дорофеев Г. В. и др. Математика: Для поступающих в вузы: Пособие. – 5-е изд. – М.: Дрофа, 2002. – 672 с.; ил.
5.
Сканави М. И. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. – 7-е изд. – М. 1996. – 528 с.; ил.
6.
Мордкович и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000. – 315 с; ил.
7.
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Алгебра: Доп. главы к шк. и кл. с углубл. изуч. матаматики. – М.: Просвещение,1997. – 224 с.; ил.
8.
Саакян С. М. и др. задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10-11 кл. общеобразоват.учреждений. – М.: Просвещение, 1997. – 256 с.; ил.
9.
Черкасов О. Ю.Якушев А. Г. Математика для поступающих в серьезные вузы. – М.: Московский лицей, 1998. – 400 с.
10.
Говоров В. М. и др. Математика: сборник задач с решениями для поступающих в вузы. – М.: АСТ: Астрель,2005. – 829 с.; ил.
11.
Шарыгин И. Ф. Сборник задач по математике с решениями: Учеб. пособие для 11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: АСТ: Астрель, 2001. – 448 с.; ил.
12.
Ромашко В. Д. Параметры. – Интернет.
13.
Карп. А. П. Сборник задач для подготовки к выпускным экзаменам по алгебре и началам анализа. – Санкт-Петербург: Оракул, 1998. – 284 с.
14.
Бортаковский А. С., Закалюкин В. М. Задачи повышенной сложности по математике для абитуриентов, - М.: Изд-во МАИ, 2003. – 424 с.
15.
Бортаковский А. С., Закалюкин В., Шапошников В. П. Экзаменационные задачи и варианты по математике: Учебное пособие. – 3-е изд. – М.: Изд-во МАИ, 2004. – 384 с.
16.
Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. Учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 кл. – М.: Экзамен, 1998. – 192 с.
17.
Горнштейн П. И., Мерзляк А. Г., Полонский В. Б. Якир М. С. Экзамен по математике и его подводные рифы. – М.: Илекса, Харьков:Гимназия, 1998. – 236 с.
18.
Сергеев И. Н. Математика. Задачи с ответами и решениями: Пособие для поступающих в вузы. – М.:КДУ, 2005. – 3-е изд. – 360 с.; ил.
19.
Приходько Л. А., Грознова С. Ю. Математика: Пособие для поступающих в 10-ый лицейский класс. – М.: Изд-во Рос. экон. акад., 2002. – 69 с.
20.
Лебедев В. В. Решения задач репетиционного экзамена по математике 2002-2004 г. М.: «Экспресс-Полиграф-Сервис»., - 2002.
21.
Потапов М. К.., Олехник С. Н.,Нестеренко Ю. В. Уравнения и неравенства с параметрами. – Изд-во Московского университета, 1992. – 16 с.
22.
Осколков В. А. и др. Сборник конкурсных задач по математике с решениями и ответами. – М.: МИФИ, 2003. – 92 с.
23.
Сборники «Математика. ЕГЭ». – М.: Экзамен,2004, 2005, 2006.
24.
Сборники «Математика. ЕГЭ». – М.: АСТ: Астрель,2006, 2007.
25.
Сборники «Математика. ЕГЭ». – М.: Просвещение, 2005-2007.
26.
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Сборник задач и контрольных работ (7-9 кл.). – Москва-Харьков: Илекса, Гимназия, 1999.
27.
Ершова А. П., Голобородько В. В., Ершова А. С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре (7-11 кл)