Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
Кафедра нелинейной физики
Колебания в системе связанных осцилляторов
Курсовая работа
студентки 1 курса факультета нелинейных процессов
****
Научный руководитель
профессор, д. ф.-м. н., ______________Ю. П. Шараевский
Заведующий кафедрой,
чл.-кор. РАН, проф.,
д. ф.-м. н. ______________ Ю. П. Шараевский
Саратов-2008
Содержание
Введение. 3
1. Два связанных осциллятора. 4
1.1.
Анализ системы двух связанных осцилляторов
. 4
1.2
. Затухание в системе связанных осцилляторов
. 7
1.3
. Связанные осцилляторы под действием гармонической силы
. 9
2. Колебания системы со многими степенями свободы.. 11
2.1. Колебания системы
N связанных осцилляторов
. 11
2.2. Колебательные цепи
. 12
3. Переход к сплошной среде. 15
4. Заключение. 16
5. Список используемой литературы.. 17
Введение
В теории колебаний движение заряда в электрическом контуре или груза на пружине, можно описать уравнением линейного гармонического осциллятора. Но на практике в большинстве случаев приходится иметь дело не с одним осциллятором, а с более сложными системами - взаимодействующими между собой осцилляторами. В качестве примеров таких систем можно рассматривать колебания молекул в жидкостях и твердых телах, электрические цепи, состоящие из нескольких взаимосвязанных контуров, два математических маятника, связанные между собой пружиной.
Многие эффекты, проявляющиеся в системе с двумя степенями свободы, характерны для более сложных систем, поэтому осуществляется подробный анализ системы двух связанных осцилляторов. Такой подход позволяет перейти к рассмотрению большого, а затем и бесконечного числа связанных осцилляторов, осуществить переход к сплошной среде.
1. Два связанных осциллятора
1.1
.
Анализ системы двух связанных осцилляторов
Рассмотрим систему двух связанных осцилляторов на примере двух электрических контуров. Каждый контур состоит из конденсаторов с емкостью C
, катушек индуктивности L1
и L2
, связан с другим посредством общего конденсатора C1
(рис.1).
Пусть в первом контуре течет ток I1
, во втором - I2
. Пренебрегаем потерями энергии в контурах.
Тогда по первому закону Кирхгофа:
I =
I1
+
I2
Рис.1
или после интегрирования
q =
q1
+
q2
, (1)
где q
– заряд на обкладках конденсатора C1
, q1
,
q2
– заряды на конденсаторах C; , .
Совершая обходы по каждому контуру в указанных на рис. 1 направлениях, получим уравнения:
и (2)
Уравнения (2) описывают систему связанных осцилляторов. Если 1/
C = 0
, т.е. отсутствует связь, тогда (2) переходит в систему двух независимых осцилляторов с собственными частотами
и
.
Рассматривая колебания в системе двух связанных математических маятников (рис.2), соединенных пружиной k, длиной l1
и l2
с одинаковыми массами m =
m1
=
m2
, тогда уравнения движения запишутся в виде:
(3)
Как видно, уравнения (2) для контуров эквивалентны уравнениям (3), описывающим механическую систему. Рис.2
Способ связи осцилляторов, при котором в каждом из уравнений для несвязанных
систем появляются слагаемые, пропорциональные координате
второй системы, называется силовой
связью (механические системы) или емкостной
связью (колебательный контур) [1].
Аналогичным образом можно записать уравнения для системы двух связанных контуров с индуктивной связью:
Для механических систем такой способ связи называют инерционным
[1].
Тип связи зависит от выбора обобщенных координат.[2 (лекция 22)] или другими словами выбором динамических переменных [1].
В общем виде уравнения движения для системы связанных маятников можно записать так [2]:
,
.
Уравнения (2) можно получить, исходя из уравнений Лагранжа – Максвелла (уравнения Лагранжа второго рода) [2]:
,
где T
- энергия, - это обобщенная сила. Выражение называют так по аналогии с тем, что имеет место в декартовых координатах, где работа определяется как произведение (X – сила, - перемещение) [2].
Если - такие потенциальные силы, зависящие от , что
То уравнения для электрической цепи становятся следующими:
,
Где U
- электрическая, а T
– магнитная энергия, - токи, - заряды. При подстановки значений T
и U
в полученные уравнения приходим к уравнениям (2).
Сложим и вычтем уравнения (2), получим:
,
.
Для упрощения дифференциальных уравнений введем обозначения
и
,
откуда
и .
Пусть для простоты , тогда . И после преобразований получим:
,
(4)
, (5)
где .
Т.о. q’
и q”
- линейные комбинации обычных координат q1
и
q2
,
которые
называются нормальными координатами
, и которым соответствуют нормальные частоты
:
и ,
а соответствующие нормальным координатам гармонические колебания - собственные моды
системы.
Следует отметить, что число независимых (нормальных) координат, необходимое и достаточное для однозначного определения положения системы называется числом степеней свободы системы.[2 (лекция 22)]
В случае, когда q’ = 0 (
q1
=
q2
),
колебания системы описываются уравнением (5), т.е. первая нормальная мода с частотой . Ток I1
= I2
,
в обоих контурах направлены либо по часовой стрелке, либо против нее. Следовательно, ток через конденсатор C1
не протекает. Если же q” = 0 (
q1
= -
q2
),
рассматривая уравнение (4), то возбуждается вторая мода с частотой и в любой момент времени через конденсатор C проходит удвоенный ток I1
(
I2
)
.
Т. о. уравнения (4), (5) можно свести к уравнениям двух независимых осцилляторов.
Обобщая: линейная консервативная система с N
степенями свободы может быть представлена в виде набора N
независимых осцилляторов.
Рассмотрим парциальные частоты в колебательном контуре.
Парциальной системой
, соответствующей данной координате, является система, получаемая из исходной “закреплением” всех остальных координат [3].
“Закрепление” координат на примере уравнений (2) означает, что либо q1
= 0
, либо q2
= 0
.
В первом случае получим , во втором .
Т.о. парциальные частоты определяются следующим образом:
и . (6)
При эти частоты равны . Сравним их с нормальными частотами:
, (7)
т.о. парциальные частоты всегда лежат между нормальными.().
Двойное неравенство (7) наглядно демонстрирует, что введение связи в систему связанных осцилляторов увеличивает интервал между собственными частотами.
Перепишем уравнения (2) в соответствии с (6) в виде ():
и (8)
Общее решение выглядит следующим образом:
,
, (9)
При этом
,
.
Введем обозначение , коэффициент связи. Тогда последнее слагаемое, стоящее под корнем будет равным:
.
Связь между осцилляторами мала, если . При этом их колебания не зависят друг то друга. В случае амплитуда колебаний осцилляторов одинакова.
Сильная связь может возникнуть если при любых ρ,
или при .
Рассмотрим передачу энергии в системе связанных осцилляторах.
Пусть в начальный момент времени был возбужден первый контур, полагая , имеем:
, , , .
Тогда, подставляя начальные условия в (9) и выражая через , получим решения:
,
.
Во второй формуле амплитуда переменная. Передача энергии от одного колебательного контура к другому за время сопровождается уменьшением амплитуды первого контура и увеличением Рис.3
амплитуды
второго. Получаются биения
(рис.3).
1.2
. Затухание в системе связанных осцилляторов
Введём затухания в линейную колебательную систему. В общем случае уравнения движения выглядят следующим образом [4]:
,
. (10)
Полагая, что , получаем характеристическое уравнение для системы 10:
Пусть - корни, тогда общее решение запишется в виде:
,
. (11)
Коэффициенты при каждой экспоненте связаны друг с другом соотношениями:
().
Когда нет трения, то и . Наличие затухания приводит к тому, что корни либо действительные, либо комплексно сопряженные. При малых и , (11) примет вид:
,
,
где
, ,
, ,
, , , .
Таким образом, если в системе есть затухания, то общее решение – сумма двух колебаний с частотами и , с комплексными амплитудами.
Рассмотрим затухающие колебания в LC – контуре.
Отличие такого контура от рассмотренного ранее – наличие электрического сопротивления, т.е. в колебательной системе происходит потеря энергии (в механических системах из-за трения).
В каждое уравнение добавляется новое слагаемое – падение напряжения на сопротивлении [2]:
и
Будем искать решение в виде , . При подстановки которых, получим
,
.
Причем, α
, β
и m
– не известны. По отношению к α
, и β
эти уравнения линейны, имеют нетривиальное решение, когда детерминант равен нулю:
.
Развертывая детерминант, получаем уравнение 4-й степени:
В отсутствии сопротивления (трения) оба корня отрицательны, , где - действительная частота.
При наличии сопротивления корни либо действительные, либо комплексные, попарно сопряженные. Общее решение состоит из суммы двух колебаний с возрастающими или затухающими амплитудами.
В случае системы с сопротивлением происходит сдвиг фаз между колебаниями каждой из частот в обеих координатах.
Затухание в системе связанных осцилляторов может быть неодинаковым для разных мод, поскольку, например, конденсаторы “работают” для различных нормальных колебаний по-разному[6]. Наконец, небольшое затухание никак не может повлиять на фундаментальные свойства нормальных колебаний – соответствие между числом нормальных мод и количеством колебательных степеней свободы.
1.3
. Связанные осцилляторы под действием гармонической силы
.
Пусть на осцилляторы действует внешняя гармоническая сила с частотой p
.
Тогда уравнения движения в общем случае:
,
. (12)
Общее решение системы - сумма однородного (собственные колебания) и частного (правые части системы ненулевые) решений [1].
Решение ищем в виде:
,
.
Подставляя эти выражения в (12), получим:
,
. (13)
Детерминант системы
.
Если ∆=0
, то в системе установятся свободные колебания, рассматривались ранее и также были определены для них нормальные частоты. Если ∆≠0
, то для всех p
система (13) имеет решение, причем однородные уравнения не имеют решения.
Решение уравнений сис
, .
Резонансные кривые, изображенные на рис.4 позволяют сделать следующие выводы.
1. Пусть сила действует на первую парциальную систему, т.е. , , тогда возможно совпадение частоты внешней силы и парциальной частоты второго осциллятора - динамическое демпфирование [2], первый осциллятор не колеблется:
, .
2. Резонанс наступает при совпадении частоты внешней силы с одной из собственных частот системы, происходит неограниченный рост амплитуд в обоих осцилляторах.
3. при частоте внешней силы второй осциллятор не колеблется, это возможно, если связь носит смешанный характер.
Пусть сила действует на второй осциллятор, т.е. , , тогда
.
Для линейных систем справедлива теорема взаимности
[2]: если на второй осциллятор действует сила , то движение первой координаты – такое же, как Рис.4
движение второй координаты, когда на первый осциллятор действует сила .
Она справедлива для линейных систем с любым числом степеней свободы, в том числе и для сплошных сред.
В электродинамике, например, теорема взаимности применяется в теории антенн.
2. Колебания системы со многими степенями свободы
2.1. Колебания системы
N связанных осцилляторов
Рассмотрим систему n
связанных осцилляторов.
Для этого воспользуемся уравнением Лагранжа [4]:
, ,
где каждому значению p
соответствует одно из уравнений движения
Подставим в него значения кинетической и потенциальной энергий, которые определяются формулами:
и . (14)
Где и - симметрические матрицы, - обобщенные координаты. Кинетическая и потенциальная энергии положительны при колебания вблизи положения равновесия.
Подставляя (14) в уравнения Лагранжа, уравнения движения примут вид:
. (15)
Делая подстановку , получаем систему алгебраических уравнений
, (16)
которая имеет ненулевые решения, если детерминант равен нулю:
. (17)
Корни уравнения (17) действительные или комплексные попарно сопряженные ().
Если известны собственные значения, т.е. решение (16), то общее решение уравнений движения представляется в виде:
(18)
Положим , и , тогда (18) примет вид:
. (19)
Уравнение (19) содержит 2n
постоянных и . Подстановка частного решения позволяет получить две системы уравнений, откуда в свою очередь, общее решение (19) содержит 2n независимых постоянных:
. (20)
Согласно формулам (20), общее решение представлено n
гармониками, входящими в каждую координату. При сложении эти гармоники не влияют друг на друга.
- коэффициенты распределения
[4], матрица которых определяет распределение амплитуд отдельных гармоник во всех координатах.
Из уравнения (16) для z
-го колебания
,
зная распределение амплитуд z
-го колебания (элементы z
-го столбца матрицы ), можно перейти к выражению для частоты:
(21)
Формула (21) позволяет установить зависимость частоты от условий задачи [2].
Если уравнение имеет корень n
-ой кратности, т.е. существует единственная частота, следует обращение в нуль всех элементов детерминанта и
.
Такое соотношение между кинетической и потенциальной энергиями выполняется, например, когда связи между координатами отсутствуют либо в системе присутствуют как инерционная, так и силовая связи. При наличии связей одного типа корней n-ой кратности в системе нет.
Таким образом, у системы с N
степенями свободы имеется N
мод. Каждой моде соответствует своя частота и своя фазовая постоянная, определяемая начальными условиями.
2.2. Колебательные цепи
Система связанных осцилляторов, в которой они упорядочены так, что каждый из осцилляторов связан только с двумя соседями (за исключением двух крайних), называется цепочкой осцилляторов
[1].
На рис.5 изображены примеры колебательных цепей с силовой связью (а, б
) и индукционной (в, г
).
Колебательные цепи – в зависимости от их реакции на периодические возмущения на входе – называют фильтрами высоких и низких частот [4].
Фильтры низких частот
(рис. 5а, 5б), через которые могут проходить только возмущения с частотами, лежащими ниже определенной граничной частоты. Фильтры высоких частот
(рис. 5в, 5г) пропускают колебания, частота которых лежит выше . Рис. 5
некоторой граничной частоты
В качестве примеров фильтров можно привести широко распространенные радиотехнические цепочки, электронные приборы СВЧ диапазона и модель кристалла, в котором пружины заменяют межатомные связи.
Рассмотрим схему, изображенную на рис. 5а. Пусть имеется N+2
шара, и оба конца цепи закреплены. Масса каждого шара – m
и жесткость пружины k
. Тогда уравнение движения для n-ой массы можно записать так:
. (22)
Введем комплексные амплитуды :
.
Подставляя это решение в (22):
, , (23)
Положим распределение амплитуд колебаний в виде , где A и - некоторые постоянные. Тогда из уравнения (23) следует:
(24)
Если цепочка состоит из механических маятников, то при , (24) примет вид:
(24’)
Оба конца цепи находятся в положении равновесия: и . Из этого условия находим, что , или
, . (25)
Тогда собственные частоты определяются следующим образом:
.
Спектр – совокупность всех собственных частот системы [1]. Расстояние между любыми двумя точками спектра равно . На рисунке 6, демонстрирующем зависимость , точками отмечено положение собственных частот, лежащих в интервале между крайними точками
и .
Рис.6
Распределение собственных частот вдоль оси неоднородно. Увеличивая количество осцилляторов N
, плотность проекций точек, изображающих собственные частоты, на эту ось будет возрастать быстрее около крайних точек.
Если , а движущиеся элементы находятся в ограниченном объеме, то расстояние между соседними элементами стремится к нулю. Система ведет себя так, как если бы она была непрерывной, т.е. движение соседних элементов почти одинаково.
Если в нашем случае увеличивать количество масс и пружин, а их самих уменьшать, то рассматриваемая цепь переходит в струну. Картина колебаний принимает вид стоячих
волн
.
Стоячие волны являются нормальными модами непрерывных систем [5]. Непрерывная система имеет бесконечное число степеней свободы и соответственно бесконечным числом мод.
Общее движение системы может быть описано как суперпозиция ее мод. Амплитуды и фазовые константы определяются из начальных условий.
Назовем длиной волны – расстояние вдоль системы между двумя осцилляторами, которые колеблются в одинаковой фазе [1].
Тогда для j
-го колебания можно записать:
,
где d
– расстояние меду соседними осцилляторами, определяется формулой (25), - длина волны j
-го колебания. Этот параметр для колебаний в пространстве имеет такой же смысл, что и период T для колебаний во времени.
Длина всей цепочки равна (N
+1)d
. По длине системы должно укладываться целое число полуволн – условие резонанса, которое выглядит следующим образом:
.
Учитывая предыдущее уравнение, получим (25).
Вводя волновое число k, равное ,
имеем .
Следовательно, колебания цепочки осцилляторов можно описывать в терминах стоячих волн.
Рассмотрим спектр колебаний цепочки с большим числом элементов, например модель кристалла. В любом бесконечно малом интервале частот будет содержаться большое число собственных мод . Поэтому вводится функция - плотность распределения
собственных частот [1]:
.
Тогда средняя энергия осциллятора, находящегося в состоянии теплового равновесия при температуре T определяется как:
,
где - постоянная Планка, - постоянная Больцмана.
Откуда энергия внутренней среды равна
Это полученное соотношение применяется, например, в теории теплоемкости кристаллов при известном .
При , используя формулы (24) и (25) и , получаем:
.
Вблизи границ спектра обращается в бесконечность(рис.7):
, ,
, .
Обращение в бесконечность функции в критических точках – особенность одномерных цепочек. Для колебаний в двумерных (пластины, мембраны) и трехмерных кристаллических решеток - остается конечной, а ее производная терпит разрыв. Рис.7
Вид функция зависит от структуры колебательной цепи, т.е. от количества элементов цепи разных типов на одном периоде системы и от их масс.
3. Переход к сплошной среде
Рассмотрим цепочку связанных осцилляторов – одномерную кристаллическую решетку, представляющую собой упорядоченную структуру. Другими примерами такой структуры являются цепочка, состоящая из LC
-элементов, набор связанных пружинами маятников. Смещая в такой системе один элемент от положения равновесия, получаем смещение соседних элементов, т.е. по всей структуре побежит волна.
Если в уравнении Клейна-Гордона, которое описывает распространение одномерных волн в среде с дисперсией [1]:
, (26)
где (связанные маятники массой m
, имеющие собственную частоту , связь между которыми осуществляется пружинами с жесткостью ), устремить к нулю, то получим
. (27)
Это классическое волновое уравнение. Любая одномерная волна может быть описана решением (27).
Подставляя в (26) имеем
. (28)
- сдвиг фазы волны при смещении вдоль цепочки осцилляторов на одну ячейку.
Уравнение (28) получается из (24’), если .
Дисперсионное уравнение, описывающее связь и k
, в общем случае выглядит следующим образом:
.
Дисперсия существует, описывается уравнением (28), что обусловлено существованием пространственного и временного собственного масштабов ( и a)..
ka
<<1, (a
<<) справедливо для достаточно длинных волн, т.е. цепочку осцилляторов можно рассматривать как одномерную сплошную среду, описываемую уравнением (26).
Наличие дисперсии обусловлено существованием собственного временного масштаба .
При , , т.е. длина маятника и не влияет на его колебание, следовательно, получаем сплошную среду без дисперсии (отсутствие пространственного и временного масштабов). Каждый маятник имеет собственный период , «среда» не будет воспринимать частоту меньше собственной.
В случае в уравнении (24’) соотношение между a
и может быть любым (), тогда получаем цепочку связанных шариков. Дисперсия в системе сохраняется, она существенна, пока a
не мало по сравнению с .
Существование дисперсии в среде связанно с наличием в ней собственных, не зависимых от параметров волны пространственных и временных масштабов.
4. Заключение
В данной работе были рассмотрены колебания в системе двух связанных осцилляторов, проведен анализ этой системы в случае свободных колебаний и при воздействии внешней силы. Рассмотрено явление внутреннего резонанса, при котором отдельные подсистемы (парциальные) обмениваются энергией друг с другом, а также явление динамического демпфирования, которое используется на практике для гашения «вредных» колебаний.
Выводы, относящиеся к колебаниям в системе с двумя степенями свободы, обобщаются на случай колебаний в более сложных электрических схемах или механических вибраций.
В работе осуществлен переход от колебательной цепочки, набора элементарных осцилляторов, к одномерной сплошной среде.
С помощью некоторых цепочек можно реализовать практически любую дисперсионную зависимость, на основе которых исследуется распространение волн в различных средах.
5
. Список используемой литературы
[1] Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. – М.: Физматлит, 2001.
[2] Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. Полное собрание трудов. Т. 4. –М.:Изд-во АН СССР, 1957.
[3]Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. – М.: Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика. 2000.
[4] Магнус К. Колебания. – М.:Изд-во Мир, 1982.
[5] Крауфорд Ф. Волны. Берклеевский курс физики. Т. 3. – М.: Наука, 1974.
[6] Козлов С.Н., Зотеев А.В. колебания и волны. Волновая оптика. – М.: Физический факультет МГУ, 2006.