Методическое объединение преподавателей математики, физики и информатики
Система подготовки одаренных учащихся 5 класса к олимпиадам по математике
Председатель МО,
учитель математики
Василькова Екатерина Николаевна
ГОУ лицей №1524
Москва
Содержание
Введение……………………………………………………………….стр. 3
§1
. Историческая справка о проведении математических
олимпиад в СССР и постсоветской России…………………………..стр. 8
§2.
Основные психолого- педагогические и методические
особенности создания системы подготовки учащихся, одаренных по предмету, к олимпиадам по математике различных уровней……….стр.14
§ 3
. Методические рекомендации по использованию
нестандартных задач уроках как основа подготовки
к олимпиадам ……………………………………………………….......стр.17
§4
. Использование средств ИКТ в процессе подготовки
одаренных учащихся к математическим олимпиадам………………..стр. 30
Заключение………………………………………………………………стр.31
Приложение 1……………………………………………………………стр.32
Приложение 2……………………………………………………………стр.34
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследования
. Лицейское образование предполагает ориентацию не только на усвоение определенных знаний, но в большей мере на развитие личности, ее познавательных и созидательных способностей в соответствии с особенностями (интеллектуальными, психологическими, физическими) каждого ученика. Эффективным средством развития, выявления способностей и интересов учащихся с разными типами одаренности
являются предметные олимпиады. Математические олимпиады школьников в России имеют большую историю и традицию.
Большой вклад в становление и развитие олимпиадного движения в России, в разработку методик организации и вопросов проведения олимпиад внесли такие ученые и педагоги, как П.С. Александров, М.И. Башмаков, И.М. Гельфанд, Г.И. Глейзер, Б.В. Гнеденко, Б.Н. Делоне, Г.В. Дорофеев, Г.И. Зубелевич, А.Н. Колмогоров, Н.Н. Константинов, Г.Г. Левитас, Л.А. Люстерник, А.И. Маркушевич, И.С. Петраков, Д. Пойа, В.Н. Русанов, С.Л. Соболев, В.А. Тартаковский, Г.А. Тоноян, Г.М. Фихтенгольц, Д.О. Шклярский и др. Значительно продвинулось развитие олимпиад благодаря использованию новых информационных и коммуникационных технологий (ИКТ). Так, широкую известность в школах России через Интернет получили Международный конкурс-игра «Кенгуру. Математика для всех» (М.И. Башмаков), дистанционная олимпиада «Эйдос» (А.В. Хуторской), Московский интеллектуальный марафон, турниры Архимеда, математические бои, турниры городов и др. Недостаточно разработан вопрос участия и подготовки к олимпиадам школьников младшего и среднего звена, особенно среди «необычных» детей, хотя в последнее время наблюдается тенденция снижения возраста участников.
Как показывают результаты проведенных исследований, интерес к математическим олимпиадам, конкурсам, кружковым занятиям у учащихся 5 классов очень высок.
Вместе с тем, существующие на данный момент олимпиады, конкурсы для пятиклассников проходят разрозненно, нет единого комплексного подхода к их подготовке и проведению. Отметим также, что в настоящее время учителя испытывают нехватку современной методической литературы, предназначенной для работы со способными учащимися 5 классов по организации и проведению кружковых занятий, олимпиад по математике. Учителя осуществляют подготовку учащихся к олимпиадам, опираясь на свой собственный опыт, взгляды, т.е., как правило, работа ведется на эмпирическом уровне без должной теоретической основы. Одним из наиболее сложных моментов в обучении остается вопрос: как научить учащихся решать нестандартные задачи? Между тем обучение решению нестандартных задач с учетом психологических и физических особенностей одаренных детей на раннем этапе при подготовке к олимпиадам могло бы развивать математические способности, интерес к предмету у учащихся и развивать гибкое, вариативное мышление ребенка, что необходимо как для последующего выстраивания индивидуальных образовательных траекторий, так и для адаптации одаренных детей в современном мир. Проблемам подготовки к олимпиадам по математике были посвящены исследования Г.И. Алексеевой, И.С. Петракова, Г.А. Тонояна. В данных работах практически не затрагиваются вопросы подготовки школьников 5 классов к олимпиадам. А работы по подготовке к олимпиадам одаренных учащихся и вовсе отсутствуют. Проблема исследования обусловлена противоречием между потенциальными возможностями олимпиад по математике в области развития познавательного интереса и способностей учащихся 5 классов и недостаточным уровнем научно-методических разработок и, как следствие, недостаточной реализацией этих возможностей в данных классах.
Актуальность исследования
определяется потребностью совершенствования методики подготовки учащихся 5 классов к участию в олимпиадах по математике в аспекте развития познавательного интереса и способностей учащихся с различными типами одаренности к математике. Объект исследования
— процесс подготовки учащихся 5 классов с различными типами одаренности к участию в математических олимпиадах. Предметом исследования
являются методические подходы к подготовке учащихся с высокой мотивацией (на примере 5 классов) к участию в математических олимпиадах в аспекте развития познавательного интереса, мышления и способностей к математике. Цель исследования
- теоретическое обоснование и разработка методических подходов к подготовке одаренных учащихся 5 классов и учащихся с высокой мотивацией к участию в математических олимпиадах. Гипотеза исследования
: повышение уровня подготовки к олимпиадам у учащихся 5 классов с высокой мотивацией и одаренных учащихся к математике будет достигнуто, если ориентировать эту подготовку на обучение решению нестандартных задач на уроках по индивидуальным содержательным и методическим траекториям, а также на использование информационных и коммуникационных технологий (ИКТ). Исходя из цели исследования, были поставлены следующие задачи
:
1. Провести анализ современного состояния олимпиадного движения, а также теоретических и методических исследований по рассматриваемой проблеме. 2. Выявить психолого-педагогические особенности развития познавательного интереса и способностей у школьников 5 классов, в том числе у одаренных детей. 3. Определить основные направления и требования к совершенствованию подготовки учащихся 5 классов к математическим олимпиадам. 4. Разработать методические подходы к обучению решению нестандартных задач на уроках в 5 классах, в том числе с использованием средств ИКТ. 5. Провести экспериментальную проверку эффективности разработанной методики подготовки к математическим олимпиадам учащихся 5 классов лицея № 1524 в 2010-11 и последующих уч.г. Методологической основой исследования послужили важнейшие теоретические положения об особенностях формирования познавательного интереса у младших школьников и подростков (Л.С. Выготский, Н.С. Лейтес, Н.В. Метельский, Г.И. Щукина, Д.Б. Эльконин и др.), теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин ), теория обучения решению нестандартных математических задач (Б.В. Гнеденко , Г.В. Дорофеев , Ю.М. Колягин , Г.Г. Левитас , Д. Пойа и др.), теоретические положения в области психологии способностей (В.А. Крутецкий , И.С. Якиманская и др.), теоретические подходы к разработке программ обучения математике (М.И. Башмаков , Г.В. Дорофеев , Ю.М. Колягин , Г.Л. Луканкин , А.Г. Мордкович и др.), теория и методика информатизации образования, в том числе использования информационных и коммуникационных технологий (ИКТ) в процессе обучения (С.А. Бешенков , С.С. Кравцов , А.А. Кузнецов, О.Б. Медведев, И.В. Роберт и др).
Для решения поставленных задач применялись методы
: теоретические (анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования, анализ проводимых олимпиад и работ кружков по математике, обобщение опыта работы учителей в подготовке учащихся к олимпиадам, анализ практики использования средств ИКТ в процессе подготовки и проведения олимпиад); эмпирические (педагогическое наблюдение, беседы, анкетирование); опытное обучение (5 а, 5б классы ГОУ лицея № 1524 2009-10 уч.г., 5б, в классы 2010-2011 уч.г ). Этапы исследования.
Первый этап
. Изучалась и анализировалась психолого-педагогическая и учебно-методическая литература по рассматриваемой проблеме, изучался опыт учителей по подготовке учащихся к олимпиадам разного уровня, вырабатывались новые подходы к ведению занятий, разрабатывались новые формы проведения уроков( 2009-10уч.г. ). Второй этап
. Разработка теоретических основ исследования и доведение отдельных положений до методического решения. С учетом выявленных на первом этапе затруднений в практику лицея в 2010-11 уч.г. внедряется методика, рассчитанная на подготовку к олимпиадам одаренных учащихся 5 классов и учащихся с высокой мотивацией. Новизна исследования
состоит в следующем: • определены основные направления и разработаны методические требования к совершенствованию подготовки учащихся 5 классов к олимпиадам по математике, ориентированные на развитие познавательного интереса и способностей к предмету; • предложен авторский подход в обучении учащихся решению нестандартных задач; • определены формы и методы использования средств ИКТ в процессе подготовки и проведения олимпиад. Практическая значимость
заключается в разработке: • методических рекомендаций по проведению уроков (и их фрагментов) по обучению решению нестандартных задач, которые могут быть использованы учителями при подготовке учащихся 5 классов к олимпиадам (в лекциях для учителей и студентов); • адаптированных по форме и содержанию рабочих материалов для 5 классов,
• методических рекомендаций по подготовке и проведению олимпиад с использованием средств ИКТ.
§1.
Историческая справка о проведении математических олимпиад в СССР и постсоветской России.
Первая массовая математическая олимпиада для учащихся в нашей стране прошла в 1934 г. в Ленинградском государственном университете. Ее организаторами были член-корреспондент АН СССР Б.Н. Делоне, профессора В.А. Тарковский и Г.М. Фихтенгольц и др. В Москве первая математическая олимпиада для учащихся проводилась в Московском государственном университете в 1935 г., ее организовало Московское математическое общество, а его президент - академик АН СССР П.С. Александров являлся председателем оргкомитета олимпиады. Самое активное участие в работе со способными школьниками принимали крупнейшие ученые П.С. Александров, М.И. Башмаков, Б.Н. Делоне, Л.И. Капица, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев, Л.А. Люстерник, И.С. Петраков, С.Л. Соболев, В.А. Тартаковский, Г.М. Фихтенгольц, И.Ф. Шарыгин, СИ. Шварцбурд и др. По их инициативе были открыты первые специализированные школы, работали летние математические школы, проводились олимпиады на территории нашей страны и т.п. С 1961 г. олимпиады в масштабе всей страны стали проводиться регулярно (Д.Б. Фукс, И.В. Гирсанов). С 1967 г. после организации Министерства просвещения СССР заключительным этапом всероссийской математической олимпиады стала всесоюзная математическая олимпиада. Большую помощь учителям математики стал оказывать физико-математический журнал «Квант», а также серия «Библиотека «Квант», организованная по инициативе академиков А.Н. Колмогорова и И.К. Кикоина. Первые всесоюзные олимпиады сыграли большую роль в развитии региональных и школьных олимпиад. Ведущие вузы страны начали активно работать со школьниками, учителями школ, существенно укреплять связи между учеными, работающими в различных областях науки. Развитие олимпиадного движения привело к организации международных олимпиад по математике, первая из которых состоялась в 1959 г. в Брашове (Румыния). В 1992 г. в связи с распадом СССР всесоюзная олимпиада проводилась как межреспубликанская, а с 1993 г. всероссийская олимпиада школьников проходит в пять этапов. Условно их назовем: школьный, городской (районный), республиканский (областной), зональный, заключительный (всероссийский). По итогам пятого заключительного этапа формируется национальная команда России для участия в международной олимпиаде .
Последователями олимпиадного движения и сейчас делаются значительные шаги в развитии интереса и способностей к математике. К таким энтузиастам можно отнести Н.Х. Агаханова, А.С. Голованова, А.Я. Канель-Белова, Э.Д. Каганова, А.К. Ковальджи, Н.Н. Константинова, А.В. Спивака, И.В. Ященко и др. Такие энтузиасты в настоящее время есть практически в каждом регионе России.
В 2002 г. в Глазго (Шотландия) прошла XLIII международная олимпиада по математике, в которой приняли участие 479 школьников из 84 стран мира. Впервые в истории олимпиад не только в России, но и Советского Союза, все наши школьники завоевали на этой олимпиаде золотые медали. До этого лучшие результаты наших ребят были несколько скромнее: четырежды команда СССР завоевывала по 5 золотых медалей, а команда России - дважды (в 2000 и 2001 гг.). Вместе с тем, в олимпиадном движении произошли существенные изменения, которые требуют новых подходов в методике подготовки и проведения математических олимпиад. Так, до 90-х гг. XX века проходила всесоюзная олимпиада школьников, состоящая из четырех туров. Первый тур - школьные олимпиады, на которые приглашались учащиеся V-X классов. Второй тур - районные олимпиады, на которые приглашались учащиеся V-X классов - победители школьных олимпиад. Третий тур - областные, краевые и республиканские олимпиады, на которые приглашались учащиеся VII-X классов, иногда VIII-X классов. Четвертый, заключительный тур — всесоюзная олимпиада, которая по существу превратилась в отборочное соревнование для определения состава команды СССР на международную олимпиаду. Школьные олимпиады проводились для учащихся, начиная с IV класса. Городские, республиканские и заключительный туры всесоюзной олимпиады школьников проходили в строгой последовательности. Кроме этого в школах, городах практиковались заочные олимпиады, командные соревнования. Командное соревнование под названием «Математический бой» было изобретено в середине 60-х годов учителем математики ленинградской школы № 30 И.Я. Веребейчиком и получило широкое распространение в настоящие годы. После 90-х гг., кроме проводимой всероссийской олимпиады школьников, в жизнь школ входят новые формы олимпиад, конкурсов, турниров, организаторами которых являются высшие учебные заведения, институты, центры математического образования и т.д. Большую роль в распространении данных конкурсов сыграли публикации в научно-популярных и научно-методических журналах «Квант» и «Математика в школе», пособиях для внеклассной работы. Например, стали популярны такие соревнования, как «Турниры городов», «Интеллектуальные марафоны», «Математические бои» и др. Также широкую известность таким конкурсам, особенно к началу XXI века, принесли стремительно развивающиеся новые информационные и коммуникационные технологии. В частности в российском секторе Интернет большую популярность приобрела конкурс-игра «Кенгуру. Математика для всех», которая проводится Институтом продуктивного образования (г. Санкт-Петербург), руководимым академиком РАО М.И. Башмаковым. Сайт «Конкурса-игры «Кенгуру» расположен по адресу http://vvww.kenguru.sp.ru//. Этот конкурс имеет массовый охват учащихся со 2 по 11 класс, проводится по всей стране и привлекает своей доступностью. Он стал доступным способом общения на разном уровне - от школьного класса до национального региона. В начале 80-х годов П. Холлоран, профессор математики из Сиднея, решил организовать новый тип игры-конкурса для австралийских школьников: вопросник с выбором предложенных ответов, проверяемый компьютером. Тысячи школьников могли участвовать в конкурсе одновременно. Успех австралийского национального математического конкурса был огромен. В 1991 г. два французских математика решили провести эту игру во Франции, назвав ее «Кенгуру» в честь своих австралийских друзей. Первая игра собрала 120 000 учеников колледжей, а позже конкурс охватил также школьников и лицеистов. 21 европейская страна объединилась под эгидой ассоциации «Кенгуру без границ». Эта международная ассоциация объединяет участников из многих стран. Целью ассоциации является широкое распространение общей математической культуры и, в частности организация конкурса-игры, проводимой в один и тот же день во всех странах-участницах. Например, в 2003 г. конкурс проводился 20 марта. В «Кенгуру - 2003» участвовало около двух миллионов учащихся из 28 стран, почти 560 000 школьников из 71 региона Российской Федерации. Сейчас Россия вышла на первое место в мире по количеству участников конкурса. Ежегодно количество участников конкурса по России увеличивается, а начинался конкурс с 300 человек в 1994 г. в Санкт-Петербурге. География конкурса охватывает практически все регионы России. Если в первые годы в нем принимали участие только школьники Санкт-Петербурга и Ленинградской области, то в 2003 г. - 71 регион (г. Москва, Тульская, Астраханская, Тверская, Кемеровская, Новосибирская области, Ямало-Ненецкий, Ханты-Мансийский АО, Республики Татарстан, Башкортостан, Саха (Якутия) и т.д.) Конкурс проводится непосредственно в школе. Участникам вручаются заранее полученные от оргкомитета задания, содержащие 30 задач, где каждая задача сопровождается пятью вариантами ответа. Писать полные решения не требуется, следует лишь на специальном бланке для ответов указать найденный номер для ответа к каждой задаче. На всю работу дается 1 час 15 минут. Затем листы с ответами и данными участника сдаются и направляются в оргкомитет (г. Санкт-Петербург) для проверки и обработки. 30 задач конкурса разделены на 3 части: • 10 наиболее легких задач, оцениваемых в 3 балла каждая. Трехбалльные задачи подбираются так, чтобы каждый участник конкурса мог решить хотя бы несколько из них. Эти задачи не требуют специальной подготовки, они по силам каждому, кто внимательно прочитает условие. • 10 - потруднее, оцениваемых в 4 балла. Эти задачи рассчитаны на то, чтобы школьные отличники и «хорошисты» могли проявить себя, эти задачи заметно сложнее трехбалльных и часто приближены к школьной программе. • 10 - наиболее трудных, за решение которых дается 5 баллов. Эти задачи составляются так, чтобы даже наиболее подготовленным ребятам было о чем подумать. Для их решения надо проявить и смекалку, и умение рассуждать, и наблюдательность. Таким образом, участник конкурса может максимально набрать 120 баллов. После проверки (примерно через месяц) каждая школа, принявшая участие в конкурсе, получает ведомость с указанием полученных баллов и места каждого ученика в общем списке. При этом результаты выступления учащихся подводятся отдельно по школе, городу, республике, России. Связь организаторов со школами-участниками, в большинстве своем осуществляется через Интернет. Конкурс-игра «Кенгуру - математика для всех» способствует популяризации математики и повышению интереса к ней среди учащихся. При подборе задач для этого конкурса организаторы придерживаются двух принципов: решение задач должно доставлять удовольствие; «Кенгуру» -хоть и не очень жесткое, но все-таки соревнование, поэтому побеждать должны наиболее способные и подготовленные. Большое преимущество данного конкурса - оперативная связь между организаторами и участниками. Также успехом пользуется дистанционная эвристическая олимпиада «Эйдос» [http://www.eidos.ru/olymp/]. Организаторы: А.В. Хуторской и Центр «Эйдос». В отличие от традиционных олимпиад на эвристических олимпиадах ученики соревнуются в способности сочинять, изобретать, открывать новое, предлагать собственные версии, конструировать модели, создавать закономерности. Для того чтобы стать участником олимпиады необходимо иметь электронную почту и выход в Интернет для участия и ознакомления с материалами предыдущих олимпиад. Данная олимпиада может быть предметной или метапредметной, т.е. выходящей за рамки отдельных дисциплин. Дистанционная олимпиада позволяет решать многие образовательные задачи: развитие умений исследовать объекты и генерировать идеи в конкретной образовательной области, выражать мысли в письменной и графической формах, оперировать информацией по теме с помощью компьютерных средств. Как правило, в эвристической олимпиаде 4-5 заданий, которые называются номинациями. Единых ответов на эвристические задания не существует. Участником олимпиады может стать любой ученик или группа учеников с 1 по 11 классы. Данная олимпиада предназначена для любого школьника с любым уровнем подготовки.
§2. Основные особенности системы подготовки учащихся, одаренных по предмету, к олимпиадам по математике различных уровней.
Развитие учащихся во многом зависит от той деятельности, которую они выполняют в процессе обучения. Если деятельность репродуктивная
– ученик получает готовую информацию, воспринимает ее, понимает, запоминает, а затем воспроизводит. Цель такой деятельности – формирование знаний, умений и навыков.
Если деятельность продуктивная –
происходит активная работа мышления, связанная с логическими операциями анализа, синтеза, сравнения, аналогии, обобщения. Задумываясь над основанием собственных умений (рефлексируя), ребенок овладевает обобщенными способами действий, лежащими в основе этого умения, и тем самым приобретает знания, которые может конкретизировать при решении целого класса частных задач. В общем случае появлению конкретных знаний предшествует овладение методом получения этих знаний.
Опираясь на психологические особенности
пятиклассников - а среди лицеистов 5 класса есть и 8,9- летние дети, - выделим те (Д.Пойа), на которые мы опирались при создании системы подготовки к олимпиадам. Это следующие особенности:
1) до 6-7 лет ребенок, оперируя предметами
, овладевает окружающим миром через конкретные действия
; в этом возрасте большинство детей не может выполнять обратные операции и не владеет принципами сохранения количества и величины предмета;
2) в период обучения в начальной школе (до 10-11 лет) от действий с предметами ребенок постепенно переходит к выполнению операций с образами (символами) этих предметов; ребенок в этом возрасте в состоянии выполнять операции не непосредственно с помощью проб и ошибок, а сначала мысленно; может совершать действия в обратной последовательности; дети этого возраста способны упорядочивать имеющиеся предметы
, овладевают принципом сохранения, однако все операции конкретны
и ограничены его жизненным опытом;
3) примерно к 12 годам ребенок переходит в последнюю стадию умственного развития (стадию «формальных операций»), когда становиться возможным выполнение мыслительных операций, уже не опирающихся на личный конкретный опыт
; ребенок овладевает абстрактно-понятийными способами мышления и к 14-15 годам у него формируется логика взрослого человека.
4)
Помимо данных особенностей развития, одаренных учащихся часто характеризуют: свернутость и вариативность мышления, долговременная память, рассеянное внимание, психические отклонения, неадекватная самооценка и эгоизм.
Проанализировав данные психолого-физиологические положения и имеющиеся в распоряжении педагогов пособия
по работе с одаренными детьми по математике и подготовке их к олимпиадам, мы сделали вывод, что обычно их содержание организовано следующим образом: это сборники заданий для учащихся повышенной сложности и на смекалку с прилагаемыми ответами или, в лучшем случае, коротким решением.
При этом основным методом обучения детей остается репродуктивный: запоминание способа решения заданной конкретной задачи и тренинг (повторение способа решения при многократном выполнении однотипных заданий). При таком методе следующим этапом работы учителя является предложение детям карточек с набором заданий разных типов с целью идентификации ребенком по внешним признакам известных типов заданий и извлечения из памяти заученных способов их решения.
Но “развитая память еще не есть образованность, точная информация еще не есть знания” (У. Глассер). За счет усвоения готовых способов решения разнообразных частных задач невозможно получить развитие способности к самостоятельному нахождению способов решения. Поэтому учащийся, столкнувшись с задачей нового типа или более повышенной сложности, часто терпит неудачу при ее решении…однако одаренный ребенок не отказывается от решения сразу, как обычный школьник, а пытается решить ее. В случае неуспеха возникают критические ситуации, выход из которых возможен в одной из следующих стратегий: преодоление (конструктивная стратегия), либо приспособление или отторжение (неконструктивные стратегии поведения).
В предлагаемой нами методике работы с одаренными детьми по математике главной задачей является раскрытие принципов действия
, решение задачи не ради точного ответа, а ради способа
его получения, ради логических рассуждений (зачастую свернутых) на пути к нему. Для осуществления технологического процесса при данном подходе к обучению необходима строгая логика построения учебного содержания
.
§ 3. Методические рекомендации по использованию нестандартных задач уроках как основа подготовки к олимпиадам .
Для конструирования содержания по подготовке к олимпиадам в 5 классе нами отбирались задания, которые, во-первых
, не могли быть использованы на уроках в рамках учебного курса математики:
а) задания, выходящие за рамки изучаемых понятий по годам обучения, но возможность нахождения способов их решения прогнозируется исходя из зоны ближайшего развития одаренных детей;
б) задания, требующие нестандартного подхода к их решению;
во-вторых
(и это главное), могли быть систематизированы по общему способу их решения и представлены в виде модели (знаковой, геометрической, диаграммы, алгоритма действий и т.д.)
Речь идет о моделировании
как особом общем способе познания и важнейшем учебном действии, являющимся составным элементом учебной деятельности
. С одной стороны, моделирование выступает целью обучения, а с другой – средством самостоятельного решения
учащимися конкретных математических задач. Учащиеся в процессе особо организованного обучения овладевают действием моделирования, нарабатывая его как способ или даже метод продвижения в системе понятий.
Основные принципы такой организации работы с одаренными детьми
:
- В ходе использования моделирования нецелесообразно предлагать детям модель в готовом виде. Модель всегда есть результат некоторого этапа исследования
. Существенные признаки и связи, зафиксированные в модели, становятся наглядными для учащихся тогда, когда эти признаки, связи были выделены самими детьми в их собственном действии, т.е. когда они сами участвовали в создании моделей. В противном случае учащиеся не видят их в модели, и она не становится для них наглядной.
- Для того, чтобы учащиеся вышли на новую модель, учитель сначала предлагает им задачу, которую они уже легко решают, используя известный способ и модель. Создав ситуацию успеха, можно предложить детям задачу, которая внешне похожа на предыдущую, но её решение старым способ либо приводит к неудаче, либо нерационально. Ребенок обнаруживает дефицит собственных знаний
и понимает, что в такой ситуации, когда у него возникают трудности и известная м
. Следовательно, у детей возникает необходимость, что является основой для устойчивой мотивации дальнейшей деятельности.
- Построение модели учащимися обеспечивает наглядность существенных свойств, скрытых связей и отношений, все остальные свойства, несущественные в данном случае, отбрасываются. Часто это не под силу одному ученику, поэтому такую работу целесообразно проводить в группах
. Внутри группы дети сами организуют свои действия: либо сначала обсуждают способы решения, а затем каждый самостоятельно пытается выполнить задание, либо сначала каждый пробует выполнить задание, а потом сравнивает свой способ решения со способами других детей. В качестве доказательства правильности решения задачи используется все та же модель. В данном случае она является средством для обоснования точки зрения.
Разобравшись и проанализировав то многообразие текстовых задач, которое есть в школьном курсе математики (включая и нестандартные задачи), можно классифицировать
модели, которыми может пользоваться учащийся. Для различных исследований в математике разработаны методы теории графов, теории вероятностей и математической статистики, математической логики и комбинаторики, аксиоматический метод, методы исследования элементарных функций, решения уравнений, доказательства утверждений, построения геометрических фигур, измерения величин и т.д. В начальной и 5 классе школе учащиеся вполне могут моделировать комбинаторные и логические задачи, задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, графов, уравнений, задачи на измерение величин.
Учителю математики, занимающемуся подготовкой учащихся к олимпиадам, так же необходимо обеспечить работу с задачами следующих разделов (разумеется, адаптированными под 5 класс):
1. Ребусы, криптограммы.
2. Текстовые задачи.
3. Теория чисел.
4. Планиметрия.
5. Стереометрия.
6. Уравнения, неравенства и системы.
7. Доказательства числовых неравенств.
8. Задачи на взвешивание.
9. Логические задачи.
10. Комбинаторные задачи.
Из каждого раздела не стоит рассматривать случайную выборку задач, нужно выделить основные темы, методы, способы. Так, например, в разделе «Теория чисел» в 5 классе можно определить следующие основные темы:
1. Восстановление знаков действий.
2. Восстановление цифр натуральных чисел.
3. Числовые ребусы.
4. Четные и нечетные числа.
5. Признаки делимости.
6. Простые и составные числа.
7. Деление с остатком.
8. Перестановка и зачеркивание цифр в натуральном числе.
9. Последние цифры натурального числа.
10. Степень с натуральным показателем.
11. Системы счисления.
12. Уравнения в целых числах.
13. Неравенства в целых числах.
При непосредственной подготовке учащихся к математическим конкурсам и олимпиадам необходимо акцентировать внимание учащихся на следующих моментах:
- в качестве одной из задач конкурса любого уровня может быть задача, в условии которой фигурирует год проведения олимпиады,
- в конкурсных задачах отсутствуют задачи с длительными выкладками,
- в задачах на доказательство требуется полное обоснование,
- если в условии требуется указать все возможные способы решения, то от полноты количества указанных способов зависит и количество полученных баллов,
- если в условии требуется ответить на вопрос «Можно ли…?», то для ответа достаточно привести один положительный пример, а для того, чтобы дать ответ «нельзя». Необходимо рассмотреть все возможные случаи, обобщая их в доказательство.
Как пример описанной выше работы, рассмотрим технологию организации работы с арифметическими ребусами.
При работе с такими типами заданий следует учитывать несколько технологичных приемов:
1. Следует предлагать детям обратные преобразования: сначала обычный пример сделать арифметическим ребусом, заменив цифры буквами; затем ребус превратить в обычный пример, разгадав числа. Тогда дети будут понимать, откуда берутся одинаковые цифры на месте одинаковых букв, лишний старший разряд, разная цифра в суммах одинаковых слагаемых и т.д.
2. Различные “секреты” ребусов не задавать одновременно, это следует делать поочередно, причем после введения каждого “секрета” и его подробного обсуждения предлагать детям самим придумать ребус с таким “секретом”.
3. Следует учитывать возрастные особенности детей: ребусы с буквами требуют умения учащихся абстрагироваться, выполнять в уме большую часть вычислительных операций, что трудно для малышей, легче дается 3-4-хклассникам.
4. Примеры со * решаются проще, чем ребусы с буквами. Они построены по принципу “распутай клубок”. Поэтому начинать работу следует именно с таких примеров.
Все арифметические ребусы можно разделить на 2 группы:
I группа.
Задания, где в примерах цифры частично заменены на * (либо другие значки), нужно восстановить вместо * недостающие цифры и выполнить действие. Эти задания выполняются по общему принципу “распутай клубок”.
II группа.
Задания, где примеры либо математические выражения состоят только из * либо из букв (обычных и “сказочных”).
Последовательность работы с арифметическими ребусами.
Последовательность работы с арифметическими ребусами, где
нужно заменить * недостающими цифрами и выполнить действие.
Постановка задачи.
Учитель предлагает внимательно рассмотреть примеры, записанные на доске, и найти «секрет» этих примеров.
4 + 2 = 6 6 – 5 = 1 1 + 7 = 8 8 – 3 = 5
Дети без труда выясняют, что результат каждого примера является началом следующего («цепочка» примеров). Тогда учитель предлагает решить головоломку, которая называется «распутай клубок».
56 – Δ = -
- – 15 = -
18 + 6 = Δ
- + 1 = ►
Дети фиксируют свои вопросы: как решить примеры, в которых нет двух чисел? Почему задание называется «распутай клубок», о каком клубке речь? С этими вопросами учитель отправляет их работать в группах. Поиск ответов на вопросы ведется совместно.
Этап моделирования.
В групповой работе учащиеся выясняют, что один пример решить все же можно. Таким образом, будет найдено значение Δ. Подставив его в первый пример, находим следующее число и т.д. Теперь детям понятно, почему назвали задание «распутай клубок». Учитель предлагает сравнить это задание с цепочкой примеров. Дети выясняют, что в обоих заданиях цифра результата подставляется в следующий пример, т.е. принцип одинаков. В любой условной форме моделируют этот принцип: Δ + . = . . - . = Δ
Этап контроля.
Учитель предлагает детям последовательно решить следующие задания:
1. Распутать еще один «запутанный клубок», пользуясь выведенным принципом (здесь для усложнения изменена последовательность примеров).
82 + - = ►
- + 8 = Δ
Δ – 39 = -
94 – 45 = -
2. Превратить цепочку примеров, записанную на доске ранее, в «запутанный клубок» (для этого некоторые цифры заменить геометрическими фигурами).
В качестве «ловушки» учитель предлагает такой вариант выполненного задания (одинаковые цифры заменены не одинаковыми, а разными фигурами):
4 + 2 = 6 6 – 5 = 1 1 + 7 = 8 8 – 3 = 5
4 + 2 = Δ Δ – 5 = - ■ + 7 = - - – 3 = ►
≠
Дети находят «ловушку» и фиксируют основное правило: одинаковые цифры должны быть заменены одинаковыми значками (и наоборот). Например, так:
7 = 7
Δ = Δ
3. Придумать самостоятельно «запутанный клубок». Для этого дети сначала должны составить цепочку примеров.
4. Вставить вместо Δ одну и ту же цифру, чтобы равенство было верным.
1Δ + 3Δ + 5Δ = 111
Дети выполняют это задание путем перебора вариантов:
1 + 1 + 1 = 3 не подходит; 2 + 2 + 2 = 6 не подходит
3 + 3 + 3 = 9 не подходит; 4 + 4 + 4 = 12 не подходит
5 + 5 + 5 = 15 не подходит; 6 + 6 + 6 = 18 не подходит
7 + 7 + 7 = 21 подходит - 21 + (10 + 30 + 50) = 111
Выполняя это задание, учащиеся, кроме того, моделируют алгоритм выполнения такого задания и форму записи: последовательный перебор возможных вариантов с фиксацией, подходит или нет такой вариант.
Этап преобразования модели.
Учитель предлагает детям следующее задание: Восстановить пример:
7 3 Δ 739 можно дать более сложный
+2
-
6
+236
вариант - - Δ
Δ 7 5 975 + 2
-
6
Δ - 5
Дети могут выполнять задание в парах, группах либо индивидуально. После выполнения задания обсудить, с чего начинали, где была та ниточка, за которую потянули, чтобы распутать весь клубок. Выяснить, что, чтобы сложить многозначные числа, нужно сосчитать несколько примеров с однозначными числами, своеобразную цепочку. А такие задания мы выполнять умеем. Главное – найти подсказку, где «начинается клубок».
Итак, «секреты»,
которые помогают решать арифметические ребусы:
№1. Одинаковые знаки (буквы) обозначают одинаковые цифры.
7 = 7
Δ = Δ
№2. Чтобы решить такой пример, нужно найти начало «клубочка» (откуда будет раскручиваться логическое рассуждение).
?
´
!
№3. Нужно учитывать «переполнение» из соседнего разряда.
1
7 3 Δ
+ 2
-
6
Δ 7 5
Этап контроля.
1. Детям предлагается ряд примеров на сложение и вычитание со *. В третьем и четвертом классе это могут быть примеры на умножение и деление.
3 7 0 * * * 5 9 * _* 2 * 4 8
.
+ * 9 * 8
´ 8 0 0
3 *
* * *
9 * 4 0 5 0 8 * 2 * * * _ 2 *
* *
0
2. Запиши суммы обычными цифрами:
Ỵ Ỵ 0 Ỵ Ỵ Ŧ Ŧ Ŧ Ŧ Ұ Ұ 0 Ұ Ұ
+ Ỵ 0 Ỵ Ỵ Ỵ
+ Ŧ Ŧ Ŧ Ŧ
+ Ұ Ұ Ұ Ұ Ұ
. . .
6 6 . . .
9 8 . . . .
5 4
Решая такие задания, дети выясняют еще два «секрета» арифметических ребусов, связанные с «переполнениями» из соседнего разряда:
- откуда берется еще один разряд в сумме, и какая цифра там может быть? (только 1).
- почему при сложении одинаковых знаков (букв) написаны (а значит, получаются) разные цифры? (виновато «переполнение» из соседнего разряда).
Открытия дополняют составленный ранее перечень «секретов»:
№4. На месте «свободного» старшего разряда в сумме может быть только цифра 1, которая получается из переполнения соседнего разряда.
1
. . . .
+ . . . .
1 . . . .
№5. При сложении двух одинаковых букв могут получиться разные результаты. Виновато в этом «переполнение» из соседнего разряда.
нет переполнения 1 есть переполнение
Ŧ Ŧ Ŧ Ŧ
+ Ŧ Ŧ
+ Ŧ Ŧ
8 8 .
9 8
цифры одинаковые цифры разные
Значит, Ŧ может быть равно 4, а может быть равно 9. Об этом обязательно следует помнить.
Последовательность работы с арифметическими ребусами, которые составлены только из * либо из букв (обычных и «сказочных»).
Постановка задачи.
Учитель предлагает детям решить следующие арифметические ребусы:
* * * + * = * * * * ӨӨӨ + Ψ = ΨĦĦĦ Ответ: (999+1=1000)
* * * - * * = * ΨĦĦ - ӨӨ = Ψ (100-99=1)
* * * * - * = * * * ΨĦĦĦ - Ψ = ӨӨӨ (1000-1=999)
Дети сначала теряются, но потом быстро находят решение. Учитель спрашивает, почему была заминка? В чем (предположительно) ожидалась трудность? Учащиеся сообщают, что в этих ребусах нет ни одной известной цифры, только буквы или звездочки. Но смогли найти решение, потому что «секреты» арифметических ребусов, выведенные на предыдущем занятии, все равно работают.
ӨӨӨ + Ψ = ΨĦĦĦ работает «секрет» № 4 – в свободном старшем разряде1;
- затем «секрет» № 2 – найти начало клубочка, цифра 1 в старшем разряде и есть это начало;
- затем «секрет» № 1 – одинаковые буквы = одинаковые цифры.
Этап анализа и моделирования.
Учитель спрашивает, почему ребусы записаны на доске именно таким образом: в строчку сначала со звездочками, а затем с буквами. Дети быстро приходят к выводу, что второй ребус, имеющий такое же решение, служил подсказкой для первого. Ребусы, в которых есть только *, почти не имеют подсказок-«секретов», кроме № 4) – цифра 1 в старшем свободном разряде. Поэтому решать их труднее, они больше основаны на сообразительности и воспроизведения из памяти готовых решений.
Далее учитель предлагает детям несколько арифметических ребусов с буквами. Ребусы нужно решить и перечислить, какие «секреты» из уже известных использовались (для того, чтобы замоделировать их перечень для такого вида работы). Отдельно учитель предлагает фиксировать трудные моменты для поиска новых «секретов».
| о х о х о + а х а х а
о х о х о х |
1 0 1 0 1 +9 0 9 0 9
1 0 1 0 1 0 |
«Секреты» № 4,2,1,3. |
| т р и + т р и т р и
д ы р а |
403 + 403 403
1209 |
«Секреты» № 4, 2, 1. Новый «секрет» №6 – если при сложении трех
|
р 0 р 5 + р +0 + р +5 р
р 0 .
|
| г а + г о
у г у |
9 5 + 9 6
1 9 1 |
«Секреты» № 4, 2, 1. Новые «секреты» : – №7: если при сложении двух
– №8: если же есть переполнение в этот разряд, то это может быть и цифра 9. Все зависит от того, нужно ли переполнение в более старший разряд. В данном ребусе не может ноль стоять в начале числа, значит, только 9. |
р 0 + р
р 0 1
9 .
+ 9 .
.
|
Таким образом, перечень подсказок-«секретов» увеличивается еще на 3 пункта.
Этап контроля и оценки.
1. Учитель предлагает детям буквенные ребусы на отработку всех известных «секретов». Обязательно обсуждать результат после нахождения решения: ввести форму записи «последовательности распутывания клубка».
к о ш к а 5 6 3 5 0
+ к о ш к а + 5 6 3 5 0
к о ш к а
5 6 3 5 0
с о б а к а 1 6 9 0 5 0
с – только1.
а + а + а = а только 0, так как из этого разряда не нужно переполнение.
к + к + к = к только 5.
к + к + к = о 5 + 5 + 5 (+ 1 из переполнения)= 6 – это о.
о + о + о = б 6 + 6 + 6 = либо 8 , либо 9.
Остаются цифры 2, 3, 4.
ш + ш + ш = 0 2 + 2 + 2 (+ 1 из переполнения) = 7 не подходит.
3 + 3 + 3 (+ 1 из переполнения) = 10 подходит, ш – 3.
Значит, если есть переполнение, то б – 9.
2. Учитель предлагает детям ребусы со * (частично применяются «секреты»).
- Найди два натуральных числа, разность и частные которых – одно и то же число.
* - * = * : *
(Ответ: 4 – 2 = 4 : 2)
- Вставь вместо звездочки одну и ту же цифру, чтобы равенство было верным.
*4 + *1 + *3 + *0 + *1 = 259 (Ответ: 54 + 51 + 53 + 50 + 51= 259)
- Расшифруй запись,
* * + * * * = * * * * , если известно, что оба слагаемых и сумма не изменяются, если прочесть их справа налево. (Ответ: 22 + 979 = 1001)
3. Задания из игры- конкурса «Кенгуру»:
- Какое самое большое количество нечетных цифр может оказаться в сумме
к е н г у р у
+ к е н г у р у
(Ответ: 6).
- Реши ребус, если к = 2.
к е н ´ г = у р у (Ответ: 217 ´ 4 = 868).
§4. Использование средств ИКТ в процессе подготовки одаренных учащихся к математическим олимпиадам.
Основной целью
использования информационно-компьютерных технологий при подготовке к олимпиадам одаренных детей в 5 классе становится цель обеспечения индивидуализации обучения (наряду с целями экономии времени и повышения доли наглядности в обучении, приводимыми в некоторых электронных пособиях).
В МО преподавателей математики ГОУ лицея № 1524 идет разработка методов обучения с помощью информационных и компьютерных технологий и фрагментов электронных уроков
, ориентированных на одаренных детей, а также выявления позитивных и негативных последствий, которые оказывает информатизация на обучение и развитие одаренных детей. В планировании по математике 5 класса предусмотрены 6 уроков с ИКТ, однако их может быть больше (на усмотрение учителя).
Одним из очень интересных факторов, создающих предпосылки для успешного обучения одаренных детей с использованием средств ИКТ и Интернета является то, что таких детей характеризует высокая самостоятельность в процессе познания. Они широко используют «саморегуляционные стратегии» обучения и легко переносят их на новые задачи (в том числе задачи старших классов, вплоть до 10-11 класса) , что позволяет опережать программный материал и создаёт предпосылки для новых форм индивидуализации в обучении. Эти дети могут учиться автономно, в том числе и при поддержке учителя.
Также разработка специальных компьютерных обучающих программ, расширяющих возможности реализации новых способов и форм самообучения и саморазвития, а также компьютеризация контроля знаний способствуют реализации принципа индивидуализации обучения, столь необходимого для одаренных учащихся, в том числе при подготовке к олимпиадам.
Заключение.
В заключение считаем необходимым сформулировать рекомендации учителям, работающим над подготовкой к олимпиадам одаренных детей (
при условии предварительной психологической диагностики по выявлению одаренности по данному предмету) :
1. необходимо усиливать теоретическую подготовку одаренных детей,
2. при подготовке уделять особое внимание геометрическим нестандартным задачам, способу доказательства от противного и смешанным задачам (комбинаторика и теория чисел и др.),
3. усилить изучение внепрограммного материала: теория чисел и логические задачи с шахматами),
4. обращать внимание на специфику решения задач с параметрами и на интеграцию геометрии и комбинаторики.
5. создавать индивидуальные траектории подготовки к олимпиадам (в том числе с использованием ИКТ),
6. готовить задачи с измененным условием (нестандартность по фабуле),
7. развивать мышление одаренных детей в направлении культуры алгоритмизации и пространственного мышления, т.к. такой тип мышления довольно часто не характерен для одаренных детей.
8. формировать навыки исследования,
9. использовать склонность одаренных детей к самообучению.
Приложение 1
Список ресурсов для подготовки к олимпиадам по математике (в помощь педагогам и родителям)
http://www.mat.1september.ru - Газета «Математика» Издательского дома «Первое сентября»
http
://
www
.
mathematics
.
ru
- Математика в Открытом колледже
http://www.math.ru - Math.ru: Математика и образование
http
://
www
.
mccme
.
ru
- Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО)
http://www.allmath.ru - Allmath.ru — вся математика в одном месте
http
://www.
eqworld
.
ipmnet
.
ru
- EqWorld: Мир математических уравнений
http://www.exponenta.ru - Exponenta.ru: образовательный математический сайт
http
://
www
.
bymath
.
net
- Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет-школа
http://www.neive.by.ru - Геометрический портал
http
://www.
graphfunk
.
narod
.
ru
- Графики функций
http://www.comp-science.narod.ru - Дидактические материалы по информатике и математике
http
://www.
rain
.
ifmo
.
ru
/
cat
- Дискретная математика: алгоритмы (проект Computer Algorithm Tutor)
http://www.uztest.ru - ЕГЭ по математике: подготовка к тестированию
http
://www.
zadachi
.
mccme
.
ru
- Задачи по геометрии: информационно-поисковая система
http://www.tasks.ceemat.ru - Задачник для подготовки к олимпиадам по математике
http
://
www
.
math
-
on
-
line
.
com
- Занимательная математика — школьникам (олимпиады, игры, конкурсы по математике)
http://www.problems.ru - Интернет-проект «Задачи»
http
://
www
.
etudes
.
ru
- Математические этюды
http://www.mathem.h1.ru - Математика on-line: справочная информация в помощь студенту
http
://
www
.
mathtest
.
ru
- Математика в помощь школьнику и студенту (тесты по математике online)
http://www.matematika.agava.ru - Математика для поступающих в вузы
http
://www.
school
.
msu
.
ru
- Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ
http://www.mathprog.narod.ru - Математика и программирование
http
://
www
.
zaba
.
ru
- Математические олимпиады и олимпиадные задачи
http://www.kenguru.sp.ru - Международный математический конкурс «Кенгуру»
http
://www.
methmath
.
chat
.
ru
- Методика преподавания математики
http://www.olympiads.mccme.ru/mmo - Московская математическая олимпиада школьников
http
://
www
.
reshebnik
.
ru
- Решебник.Ru: Высшая математика и эконометрика — задачи, решения
http://www.mathnet.spb.ru - Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина
http://www.turgor.ru
- Турнир городов — Международная математическая олимпиада для школьников
Приложение 2
Пример задания по подготовке к олимпиаде по математике
5 КЛАСС
Задача 1.
Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, равно 200 км. Скорости машин - 60 км/ч и 80 км/ч. Чему будет равно расстояние между ними через 1 час?
Решение.
Возможны четыре случая (сделайте рисунок!):
1) Машины едут навстречу друг другу: 200-(60+80)=60 км;
2) Машины едут в разные стороны: 200+(60+80)=340 км;
3) Машины едут в одну сторону, вторая догоняет первую: 200+(60-80)=180 км;
4) Машины едут в одну сторону, вторая впереди: 200+(80-60)=220 км.
Ответ.
Возможны четыре случая: 60, 180, 220 и 340 км.
Задача 2.
Как при помощи только пяти цифр 5, знаков арифметических действий и скобок представить каждое из чисел от 0 до 10 включительно?
Решение
. Например:
0=(5-5)*(5+5+5)
1=5:5+(5-5)*5
2=(5+5):5+5-5
3=(5*5-5-5):5
4=5-5:5+5-5
5=5+(5-5)*(5+5)
6=5+5:5+5-5
7=5+5:5+5:5
8=5+(5+5+5):5
9=(5*5-5):5+5
10=5+5+(5-5)*5
Задача 3.
Ученик написал на доске пример на умножение двузначных чисел. Затем он стёр все цифры и заменил их буквами. Получилось равенство:
AB * CD = MLNKT
Докажите, что ученик ошибся.
Решение.
Равенство AB*CD=MLNKT получиться не может, так как наибольшее возможное произведение двузначных чисел 99*99<100*100=10000.
Задача 4.
В трёх ящиках лежат орехи. В первом орехов на 6 меньше, чем в двух других вместе, а во втором - на 10 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов в третьем ящике?
Решение.
Обозначим через x, y и z количества орехов в каждом из трех ящиков. Сложив два равенства x+6=y+z и y+10=x+z, получим, что 2z=16, откуда z=8.
Ответ.
В третьем ящике 8 орехов.
Задача 5.
После 7 стирок длина, ширина и высота куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились вдвое. На сколько еще стирок хватит оставшегося мыла?
Решение.
Нарисовав кусок мыла и поделив каждую сторону пополам, видим, что получится 8 маленьких кусочков, каждый из которых равен оставшемуся поcле 7 стирок. То есть на 7 стирок ушло мыла столько, сколько было в остальных 7 кусочках, поэтому остатка хватит ровно на одну стирку.
Ответ.
Оставшегося мыла хватит на одну стирку.