работа по курсу "Математическая статистика"

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

Кафедра 804 "Теория вероятности и математическая статистика"

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу

"Математическая статистика"

Выполнил:

студент группы 08-304

Принял:

профессор каф. 804

Кан Ю. С.

Дата: Оценка: Подпись:

2003 г.

Задание 1.

Дан случайный вектор , где , k
= 15.

Методом Монте-Карло найти вероятность .

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) заключается в моделировании требуемой случайной величины с помощью выборки большого объема. При этом вероятность попадания рассматриваемой случайной величины в заданную область Q
определяется, исходя из соотношения:

,

где n
– объем выборки, m
– количество реализаций случайной величины, попавших в область Q
.

Для того чтобы смоделировать нормальный случайный вектор с ковариационной матрицей K
, задается линейное преобразование, переводящее стандартный нормальный случайный вектор в рассматриваемый случайный вектор с матрицей K
.

Чтобы найти матрицу преобразования , приводим квадратичную форму к сумме квадратов:

, где

,

.

Таким образом, моделируя вектор из трех некоррелированных стандартных нормальных случайных величин, с помощью преобразования получаем гауссовский вектор с ковариационной матрицей K
.

Вектор моделируется с помощью датчика случайных чисел. Для каждой полученной реализации случайного вектора выполняется проверка на попадание в заданный шар. Итоговая вероятность рассчитывается как отношение количества реализаций, попавших в шар, к объему выборки.

На рис. 1а и 1б показаны результаты статистического испытания при объеме выборки n
= 10000, k = 15 и k = 1.

Рис. 1а (n = 10000, k = 15)

Рис. 2б (n = 10000, k = 1)

Задание 2.

Имеются 50 опытов наблюдения X
и Y
:

,

где .

Оценить параметры a
и b
методом наименьших квадратов.

Решение 1:

Для нахождения оценок и применим метод максимального правдоподобия.

,

Составляем функцию правдоподобия:

,

где n
– объем выборки (n
= 50).

Получаем логарифмическую функцию правдоподобия:

.

Задача максимизации сводится к минимизации суммы квадратов:

Распишем сумму квадратов:

.

Введем новые обозначения:

С учетом новых обозначений получаем:

J
(a,b
) = a
a
2
+ nb
2
+ 2b
ab
– 2g
a
– 2d
b
+ l

Берем частные производные:

2a
a
+ 2b
b
– 2g
,

2nb
+ 2b
a
– 2d
.

Решаем систему:

	a a + b b = g ,
	nb + b a = d .

Получаем:

,

.

Решение 2:

Оценки параметров можно получить, решая так называемую нормальную систему уравнений:

,

где , ,

Получаем:

т.е. то же самое в виде системы:

	nb + b a = d .
	a a + b b = g ,

Как видно, это та же система, что и в решении 1.

Таким образом, с учетом данных, полученных в опытах по наблюдению за X
и Y
, получаем значения коэффициентов:

a
= 121.415720807951,

b
= 75.462893127151,

g
= 472.393613346561,

d
= 293.720213200493,

l
= 1838.39078890617.

Получив значения коэффициентов, получаем значения оценки параметров:

a
= 3.86747517626168,

b
= 0.0373869460469762.

На рис. 2 представлена прямая .

Рис. 2. Результаты оценки параметров.

Задание 2а.

Построить доверительные интервалы уровня 0.95 для параметров a
и b
.

Основная МНК-теорема:

Пусть в условия предыдущей задачи

,

.

Тогда

,

.

Следствие:

,

,

где - (i
, i
)-й элемент матрицы , - квантиль уровня для распределения Стьюдента с степенями свободы.

С учетом условия задачи () и всего вышесказанного, получаем следующее:

Матрица ,

соответственно,

» 0.322795848743494

» 0.132930005519663

» 0.662505924471855

» 2.011

Итого – доверительные интервалы уровня 0.95:

для a
: ( 3.84191262236633 , 3.89303773015703 )

для b
: ( -0,0246869720909494 , 0,0994608641849019 ) Задание 3.

Рассматривая как выборку, построить гистограмму (10 интервалов одинаковой длины). Пользуясь критерием и полученной гистограммой, проверить гипотезу о нормальном законе распределения с уровнем значения 0.01 случайной величины .

Минимальное и максимальное выборочные значения равны –0.2083122 и 0.2076246, соответственно. Разобьем получившийся промежуток на 10 интервалов одинаковой длины. В таблице 1 представлены характеристики получившегося разбиения.

№	Левый конец	Правый конец	Кол-во элементов выборки, попавших в интервал
1	-2,2233607326425400	-1,7794225005712100	2
2	-1,7794225005712100	-1,3354842684998800	2
3	-1,3354842684998800	-0,8915460364285440	5
4	-0,8915460364285440	-0,4476078043572120	9
5	-0,4476078043572120	-0,0036695722858795	8
6	-0,0036695722858795	0,4402686597854530	8
7	0,4402686597854530	0,8842068918567850	7
8	0,8842068918567850	1,3281451239281200	3
9	1,3281451239281200	1,7720833559994500	4
10	1,7720833559994500	2,2160215880707800	2

Таблица 1. Данные для гистограммы.

Рис. 3. Гистограмма.

Прежде чем проверять гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины , оценим параметры закона распределения в предположении, что распределение гауссовское. Из условия предыдущей задачи

Значит, мат. ожидание равно нулю, а дисперсия оценивается выборочной дисперсией:

Подставляя выборочные данные, получаем: 0.00878

Таким образом, выдвигаемая гипотеза:

Для каждого интервала вычисляем вероятность, а также частоту попадания выборочных точек. Полученные результаты представлены в таблице 2.

№ ( k )			Вероятность попадания в k -интервал:	Частота попадания выборочных точек в k -интервал ,
1	0,0131	0,0376	0,0245	0,04
2	0,0376	0,0909	0,0533	0,04
3	0,0909	0,1865	0,0956	0,10
4	0,1865	0,3273	0,1408	0,18
5	0,3273	0,4986	0,1713	0,16
6	0,4986	0,6700	0,1714	0,16
7	0,6700	0,8119	0,1419	0,14
8	0,8119	0,9079	0,0960	0,06
9	0,9079	0,9618	0,0539	0,08
10	0,9618	0,9864	0,0246	0,04

Таблица 2. Вероятностные и частотные характеристики.

На основании полученных результатов вычисляем статистику:

3.077

Если гипотеза верна, то статистика

Используя закон распределения , находим критическое значение для заданного уровня p
= 0.01:

0.99

Из таблицы распределения получаем: 20.8

, значит гипотеза принимается.