Методический кабинет средней школы №23
Методические рекомендации по работе
с УМК
Мордковича А.Г.
План
I. Знакомство с учебно-методическим комплектом Мордковича А.Г.
1) Введение
2) Основные содержательно-методические алгебраические линии в школьном курсе математики 1-11 классов (общая концепция)
а) Числа
б) Математический язык. Алгебраические преобразования
в) Функции и графики
г) Уравнения и неравенства
3) Концепция курса алгебры для общеобразовательной школы
а) Основные положения
б) Принципы
в) Приоритетность функционально-графической линии
4) Состав учебно-методического комплекта для учащихся
5) Состав учебно-методического комплекта для учителя
6) Отличительные особенности учебников для 5 и 6 классов
7) Отличительные особенности учебников для 7-11 классов
8) Отличительные особенности задачников для 7-11 классов
9) Отличительные особенности контрольных работ
10) Содержание методического пособия по алгебре для 7-9 классов
11) Содержание методического пособия по алгебре и началам анализа для 10-11 классов
12) Беседа с Мордковичем А.Г. (журнал «Школьное обозрение», №4 2001 год)
II. Математический язык. Математическая модель
III. Функции и их графики
1) Методические особенности концепции изучения функций
2) Уровень строгости введения свойств функции
3) Система упражнений, универсальных при изучении любого класса функций, и их методические особенности
4) Методические особенности изучения темы «Линейная функция»
5) Математическая модель y=f(x)
6) Кусочная функция и ее график
7) Чтение графика функции
IV. Некоторые упражнения из задачника «Алгебра-7»
V. Тригонометрия (10 класс)
I. ЗНАКОМСТВО С УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИМ КОМПЛЕКТОМ Александра Григорьевича МОРДКОВИЧА
В 2001 году завершено создание учебно-методического комплекта (УМК) по математике (5-6 класс), алгебре (7-9 класс), алгебре и началам анализа (10-11 класс), образующего единую содержательно-методическую линию с 5 по 11 класс. Авторский коллектив разработчиков возглавил профессор, доктор педагогических наук, заведующий кафедры математического анализа и методики преподавания математики Московского государственного педагогического университета Александр Григорьевич Мордкович. В этом коллективе работают преподаватели учреждений повышения квалификации, педагогических ВУЗов, школьные учителя: Зубарева И.И., Дудницын Ю.П., Мишустина Т.Н., Тульчинская Е.Е., Денищева Л.О., Корешкова Т.А..
Все книги имеют гриф Министерства образования РФ и включены в Федеральный комплект.
Учебники написаны в соответствии с действующим стандартом школьного математического образования и, в значительной степени, с учетом тех изменений в программе, которые предполагается осуществить в ближайшие годы (элементы комбинаторики, первые представления о вероятности, о математическом языке и математических моделях и т.д.).
ОСНОВНЫЕ СОДЕРЖАТЕЛЬНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 1-11 КЛАССОВ
(общая концепция)
1.ЧИСЛА
Начальная школа.
Натуральные числа. Арифметические операции над натуральными числами, их свойства и пользование для рационализации вычислений (на уровне наиболее рационального способа вычисления суммы 37+124+63). Первые представления о признаках делимости и о делении с остатком. Первые представления о дробях (на уровне долей 1/2, 1/3). Сравнение натуральных чисел.
5 класс.
Обобщение представлений о натуральных числах, их свойствах и свойствах арифметических операций. Признаки делимости. Деление с остатком. Обыкновенные и десятичные дроби. Бесконечные периодические десятичные дроби и их связь с обыкновенными дробями. Координатный луч. Первые представления о степени числа (квадрат и куб числа). Первые представления о приближенных вычислениях (округления чисел).
6 класс.
Положительные и отрицательные числа. Множество рациональных чисел. Свойства арифметических операций над рациональными числами. Модуль рационального числа. Отношение порядка во множестве рациональных чисел. Координатная прямая. Числовые промежутки. Степени с натуральными показателями, их свойства.
7 класс.
Алгебраические выражения над множеством рациональных чисел. Степень с нулевым показателем.
8 класс.
Обобщение представлений о рациональных числах. Иррациональные числа. Множество действительных чисел. Арифметические операции над действительными числами и их свойства. Числовая прямая. Модуль действительного числа, его свойства и геометрический смысл ( как расстояние на координатной прямой между точками x и a). Числовые неравенства и их свойства. Степень с отрицательным целым показателем. Стандартный вид числа. Приближенные вычисления. Операция извлечения квадратного корня из неотрицательного числа и ее свойства.
11 класс.
Операция извлечения корня n-й степени из числа, степени с рациональными показателями и их свойства. Понятие о степени с иррациональным показателем. Степень с произвольным действительным показателем.
2.МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Начальная школа.
Первые представления об употреблении букв в математике. Ознакомление с простейшими математическими моделями типа: «больше на», «меньше на», «больше в», «меньше в».
5-6 классы.
Развитие представлений об использовании букв в математике, вычисление значений буквенных выражений (выражений с переменными). Составление математических моделей простейших реальных ситуаций (на уровне линейных уравнений). Знакомство с алгебраическими терминами: алгебраическое выражение, коэффициент, подобные слагаемые.
7 класс.
Одночлены, многочлены, арифметические операции над ними. Разложение многочлена на множители.
8 класс.
Алгебраические дроби. Квадратные корни. Преобразования иррациональных выражений (с квадратными корнями).
10 класс.
Формулы тригонометрии, тригонометрические преобразования.
11 класс.
Корни n-й степени. Степени с рациональными показателями. Преобразования иррациональных выражений. Логарифмы и их свойства. Преобразования показательно-логарифмических выражений.
3. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
Начальная школа.
Пропедевтика: ознакомление с простейшими зависимостями, заполнение таблиц, составление диаграмм.
5 класс.
Координатный луч. Таблицы, диаграммы.
6 класс.
Координатная плоскость. Построение прямых вида x=a, y=b. Отыскание координат точек и построение точек по заданным координатам. Изображение фигур в координатной плоскости (по заданным координатам точек) Построение точек, симметричным данным в координатной плоскости относительно той или иной оси координат, относительно начала координат.
7 класс.
Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Линейная функция и прямая пропорциональность. Функция у=х2
и ее график. Кусочные функции, составленные из линейных функций и функции у=х2
. Наглядно-интуитивное представление о непрерывных и разрывных функциях. Применение графика функции для отыскания ее наибольшего и наименьшего значений на заданном промежутке. Графическое решение линейных и квадратных уравнений, систем линейных уравнений. Первое знакомство с записью . Упражнения, связанные с отработкой функциональной символики ( типа: найти ). Кусочные функции и их графики.
8 класс.
Изучение функций у=к/х, у=ах2
, у=ах2
+ bx +c, , y=. Параллельный перенос графика. Графическое решение уравнений, графическое решение квадратных неравенств. Отыскание наибольших и наименьших значений функций на заданных промежутках (в основном с помощью графика). Упражнения на отработку функциональной символики. Определение возрастающей и убывающей функции (первое свойство, определенное в курсе алгебры). Новые свойства: ограниченность функции сверху и снизу, выпуклость функции вверх или вниз (геометрическое истолкование). Чтение графика.
9 класс.
Общение накопленных представлений о функциях, их свойствах и графиках. Определение функции, ее области определения и области значений. Способы задания функции (аналитический, графический, словесный). Определение следующих понятий: наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке, ограниченность функции, четность и нечетность. Кусочные функции и их графики. Чтение графика (область определения, область значений, монотонность, непрерывность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значения, четность и выпуклость). Функциональная символика. Графическое решение систем уравнений.
Степенные функции у=хn,
y=x-
n
.
Последовательность как функция натурального аргумента. Прогрессии.
Числовая окружность. Тригонометрические функции, их свойства и графики (первое знакомство).
10 класс.
Тригонометрические функции. Периодичность.
Предел последовательности, предал функции. Производная и ее использование для исследования функций на монотонность и экстремумы, для построения графиков функций.
Первообразная и неопределенный интеграл. Определенный интеграл.
11 класс.
Функция , степенные функции с рациональным показателем. Показательная и логарифмическая функции, их свойства (включая дифференцирование).
4. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Начальная школа. Решение простейших уравнений (типа: 4х=28, х+6=9) на основе зависимостей между компонентами арифметических действий. Первые представления о переводе текстовой задачи на язык уравнений.
5-6 классы. Линейные уравнения и текстовые задачи, сводящиеся к линейным уравнениям ( на языке математического моделирования: составление математической модели, работа с составленной моделью, осмысление полученного результата применительно к условиям - получение ответа на вопрос задачи ).
7 класс. Линейные уравнения и текстовые задачи ( постоянное повторение курса 5-6 классов по мере продвижения в материале 7 класса). Системы линейных уравнений с двумя переменными и их использование в качестве математических моделей реальных ситуаций. Методы решения систем: графический, подстановка, алгебраическое сложение. Первые представления о решении квадратных уравнений (методом разложения на множители и графическим методом).
8 класс. Решение линейных неравенств (на основе свойств числовых неравенств). Квадратные уравнения и неравенства. Рациональные уравнения. Решение текстовых задач. Иррациональные уравнения (с квадратными корнями). Понятие о посторонних корнях и проверке корней о решении уравнений. Первые представления о равносильности уравнений и неравенств. Первые примеры на решение уравнений и неравенств с параметрами.
9 класс. Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений (графический метод, подстановка, алгебраическое сложение, метод введения новых переменных). Системы уравнений, как математические модели реальных ситуаций.
10 класс. Тригонометрические уравнения и неравенства.
11 класс. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы уравнений. Обобщение сведений о решении уравнений, неравенств и систем уравнений. Равносильность уравнений и неравенств. Посторонние корни, потеря корней, проверка. Основные методы решения уравнений: графический, разложение на множители, введение новых переменных, переход от уравнения f(u)=f(v) к уравнению u=v. Системы и совокупности неравенств. Решение неравенств с модулями, иррациональных неравенств. Методы решения систем уравнений.
Уравнения и неравенства с параметрами (относительно несложные).
КОНЦЕПЦИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ
ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ
Основные положения
Математика в школе – не наука и даже не основа науки, а учебный предмет.
Пояснения автора
: в учебном предмете не обязательно соблюдать законы науки математики (например, такие: все начинается с аксиом, нельзя начинать изучение теории без строгого определения основного понятия, все утверждения требуется доказывать и т.д.), зачастую более существенны законы педагогики и особенно психологии.
В связи с этим поговорим об определениях в школьно курсе математики. Наша позиция: сложное математическое понятие (например, функция, равносильность уравнений и т.п.) следует вводить при выполнении двух условий:
1) у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия – опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении (вербальный опыт
) и опыт использования понятия на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях (генетический опыт
);
2) у школьников появилась потребность
в формальном определении понятия.
В отличии от сложившихся традиций мы не вводим в 7 классе определение функции, хотя работаем с функциями и в 7, и в 8 классах очень много. И только в 9 классе, проанализировав накопленный учащимися опыт
в использовании понятия функции и в работе со свойствами функции в курсе алгебры 7-8 классов, убеждаем их в том, что у них появилась потребность
в формальном определении понятия функции и соответствующих свойств функции.
В учебном предмете, в отличие от науки, мы не обязаны все доказывать. Более того, в ряде случаев правдоподобные рассуждения или толкования, опирающиеся на графические модели, а интуицию, имеют для школьников более весомую общекультурную ценность, чем формальное доказательство. Если формальные доказательства мало поучительны, они заменяются правдоподобными рассуждениями. Мое кредо – больше геометрических иллюстраций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше опоры на правое полушарие мозга.
2.
Математика в школе – предмет не естественно-научный, а гуманитарный.
Пояснения автора
: естественным этапом развития познания, на котором осуществляется переход от содержательного и качественного анализа объекта к формализации и количественному анализу, является математическое моделирование реальных процессов. Математическое моделирование – основа происходящей в настоящее время математизации научных знаний. Поэтому одной из основных задач школьного математического образования является ознакомление учащихся с соотношениями между явлениями реального мира и его математическими моделями, практическое их обучение построению математических моделей, объяснение им того, что абстрактная математическая модель, в которой отброшено все несущественное, позволяет глубже понять суть вещей. Реальные процессы математика описывает на особом математическом языке в виде математических моделей. Главное назначение математического языка – способствовать организации деятельности (тогда как основное назначение обыденного языка – служить средством общения), что в наше время очень значимо для культурного человека. Поэтому математический язык и математическая модель – ключевые слова в постепенном развертывании курса, его идейный стержень.
Гуманитарный потенциал школьного курса алгебры мы, во-первых, видим в том, что владение математическим языком и математическим моделированием позволит ученику лучше ориентироваться в природе и обществе; во-вторых, в том, что математика по своей внутренней природе имеет богатые возможности для воспитания его мышления и характера; в-третьих, в реализации в процессе преподавания идей развивающего и проблемного обучения; в-четвертых, в том, что уроки математики (при правильной постановке) способствуют развитию речи обучаемого не в меньшей степени, чем уроки русского языка и литературы.
Принципы
Принцип крупных блоков
(компактное изучение того или иного раздела курса алгебры).
Отсутствие тупиковых тем
(ни в одном классе ни одна тема не связана ни с предыдущим, ни с последующим материалом).
Принцип детерминированности, логической завершенности построения курса
(программа курса выстроена так, что темы, как правило, непереставимы, порядок ходов понятен учителю).
Принцип завершенности в пределах учебного года
(школьный курс алгебры – «пятисерийный (по числу лет изучения курса) роман с продолжением»; в каждом конкретном классе изучается определенная серия, имеющая свою внутреннюю интригу и более-менее законченное содержание).
Приоритетность функционально-графической линии
Математические модели напрямую связаны с функциями, поэтому функции становятся ведущей идеей курса алгебры практически во всех разделах (за исключением первого раздела в 7-м классе, посвященного преобразованиям целых выражений, где закладывается фундамент математического языка, без которого невозможно изучение математических моделей). Реализуемая концепция изучения функций существенно отличается от традиционной. Методология новой концепции заключается в следующем: каждый год обучения ориентирован на конкретную модель реальной действительности.
| Класс
|
Функция
|
Что моделирует
|
| 7 класс
|
Линейная функция |
Равномерные процессы |
| 8 класс
|
Квадратичная функция |
Равноускоренные процессы |
| 10 класс
|
Тригонометрические функции |
Периодические процессы |
| 11 класс
|
Показательная функция |
Процессы органического роста |
Состав учебно-методического комплекта для учащихся
Зубарева И.И. Математика-5 (6)
Мордкович А.Г. Алгебра-7 (8, 9). Учебник.
Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра-7 (8, 9). Задачник.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11. Учебник.
Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала анализа, 10-11.Задачник.
Состав учебно-методического комплекта для
учителя
Мордкович А.Г. Алгебра, 7-9 класс. Методическое пособие для учителя.
Мордкович А.Г. Алгебра, 10-11 класс. Методическое пособие для учителя.
Дудницын Ю.П. Алгебра-7 (8,9). Контрольные работы / Под ред. А.Г. Мордковича.
Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е. Контрольные работы по алгебре и началам анализа.
Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е. Алгебра: Тесты для 7-9 классов общеобразовательных учреждений.
Отличительные особенности учебников для 5 и 6 классов
- Подача теоретического материала малыми порциями, в мягкой и доступной форме;
- высокий уровень наглядности (учебники полноцветные);
- насыщенная и разнообразная система упражнений в каждом параграфе;
- использование современных методических представлений – постепенное приучение школьников к таким терминам, как математическая модель и математический язык;
- личностно-ориентированная подача материала, нацеленная на организацию познавательной деятельности учащихся на уроке под руководством учителя и способствующая реализации деятельностного подхода в обучении;
- реализация комбинаторно-стохастической линии (в основном, в игровой форме);
- наличие контрольных вопросов и заданий в конце каждого параграфа;
- наличие в конце учебника текстов домашних контрольных работ по разделам программы.
Обе книги и по содержанию, и по стилю выстроены так, чтобы обеспечить школьникам достаточно мягкий и безболезненный переход к систематическому изучению в 7 классе курсов алгебры и геометрии. В курс математики 5 класса вводятся такие понятия как математический язык, математическая модель, которые находят свое развитие в 6 классе, где появляются такие термины как «графическая модель», «геометрическая модель», «аналитическая модель». Эти понятия позволяют сформировать тот идейный стержень, благодаря которому математика предстает перед учащимися не как набор разрозненных фактов, которые учитель излагает только потому, что они есть в программе, а как цельная развивающаяся и в то же время развивающая дисциплина общекультурного характера. Учащемуся создаются комфортные условия для приобщения к чтению учебной литературы, к самостоятельному добыванию информации, что очень важно, ибо это фактически является основой социального заказа, который сегодня ставит общество перед школьным математическим образованием. Некоторое увеличение объема теоретического текста имеется в учебнике только к концу 6 класса – при изложении элементов теории делимости и элементов теории вероятностей.
Содержание предлагаемых учебников полностью отвечает требованиям стандарта математического образования и опирается на тот минимум содержания, который предлагают учебники для начальной школы, что дает возможность использования данного учебника в качестве продолжения любого курса начальной школы, как традиционного, так и развивающего направлений. Что касается последнего, то авторам наиболее близка система развивающего обучения Л.В. Занкова. Суть основного принципа развивающего обучения, сформулированного Л.В. Занковым, принципа ведущей роли теоретических знаний, состоит в осознанном усвоении теоретических знаний учащимися, а потому его реализация заключается. прежде всего, в том, что ученик, выполняя определенную последовательность упражнений, получает возможность самостоятельно сформулировать правило (алгоритмы действий с десятичными дробями в 5 классе и с обыкновенными дробями и отрицательными числами – в 6 классе), определение нового или уже знакомого понятия (например, определение угла) или даже ввести новый термин (например, название новых столбцов в таблице разрядов – разряд десятых, сотых и т.д.).
Отличительные особенности учебников 7-11 классов
- Подача теоретического материала ведется очень подробно, обстоятельно, достаточно живым литературным языком;
- высокий уровень наглядности;
- книга для домашнего чтения; книга не для заучивания, а для изучения (учащиеся, как правило, могут не носить учебник с собой в школу);
- изложение характеризуется четкостью, алгоритмичностью, выделяются основные этапы рассуждений с фиксацией внимания читателя на выделенных этапах (например: решение практически всех текстовых задач оформлено в виде трех этапов: составление математической модели; работа с составленной моделью; ответ на вопрос задачи);
- каждая глава заканчивается разделом «Основные результаты»;
- проблемное изучение материала (проблема – это то, что мы не можем решить сразу, это то, что будучи разрешено, дает эмоциональный заряд, приносит радость);
- выход за пределы минимума содержания;
- большое количество примеров с подробным решением;
- введение знаков: рабочий словарь; вспомните; обратите внимание; вопрос – ответ; запомните; ключ к успеху; алгоритм; узнаете далее.
Отличительные особенности задачников 7-11 классов
- Задач и упражнений избыточно много, что позволяет не прибегать к использованию дополнительного дидактического материала,
- упражнения рассредоточены по отдельным подтемам, внутри подтем достаточно четко выдерживается линия нарастания трудности;
- упражнения сконцентрированы по двум блокам: первый – до черты – содержит задания базового и среднего уровня сложности; номера примеров среднего уровня сложности снабжены значком , к этим примерам даны ответы в конце задачника. Второй блок упражнений – после черты – содержит дополнительные задания среднего уровня сложности и задания повышенной сложности, которые отмечены значком. Некоторые из этих заданий решены в пособии для учителя. Практически ко всем примерам второго блока даны ответы.
- В начале задачника для 8 класса приведены упражнения на повторение курса алгебры 7 класса;
- в конце каждой главы имеются тексты домашних контрольных работ на 2 варианта.
Отличительные особенности контрольных работ
- Работы приведены в 4-х вариантах одинаковой сложности;
- каждый вариант составлен из трех частей, каждая из которых помечена своим значком (первая часть содержит задания, соответствующие базовому уровню математической подготовки учащихся, выполнение этих заданий проводится в один-два шага; вторая часть содержит задания, которые выполняются в несколько шагов; задания третьей части позволяют ученикам применять свои знания в нестандартных ситуациях, подтверждая высокий уровень своего развития);
- по мере изучения курса алгебры и увеличения объема знаний в течение учебного года однотипные задания могут перемещаться из одной части контрольной работы в другую;
- имеется Приложение, в котором дан вариант обязательной части каждой из контрольных работ, который может быть использован в период подготовки школьников к соответствующей контрольной работе или при проведении повторной контрольной работы (для учащихся, не справившихся с контрольной работой).
Методическое пособие для учителя по алгебре (7-9 классы) содержит
- концепцию и программу курса алгебры для 7-11 классов;
- методические рекомендации по работе с учебником;
- решение некоторых упражнений из задачника;
- структуру планирования учебного материала в 7-9 классах (из расчета – 3 часа в неделю и 4 часа в неделю);
- поурочное планирование курса алгебры в 7-9 классах (из расчета – 3 часа в неделю).
Методическое пособие для учителя по алгебре и началам анализа (10-11 классы) содержит
- структуру планирования учебного материала в 10-11 классах (из расчета – 3 часа в неделю);
- поурочное планирование курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах;
- методические рекомендации по работе с учебником;
- решение некоторых упражнений из задачника.
Беседа с Мордковичем А.Г.
Вопрос.
Александр Григорьевич, в чем заключается принципиальная новизна концепции, лежащей в основе созданной вами линии?
Ответ.
Сразу хочу сказать, что основная идея, лежащая в основе данной концепции, только сейчас начинает активно обсуждаться в педагогической среде, в то время как сформулирована она уже довольно давно. Речь идет прежде всего о реализации гуманитарного (общекультурного) потенциала математики. О том, что математика – наука гуманитарная, говорил более 100 лет назад известный немецкий математик Феликс Клейн. В гораздо большей степени это относится к математике как школьному предмету. Но, похоже, сейчас эта позиция начинает приживаться.
Сам я рассматриваю математику в первую очередь как своеобразный язык. Поэтому главной задачей созданного мной школьного курса алгебры является погружение в этот языковой мир: ключевыми словами курса являются математическая модель
и математический язык.
Все устали от формальной математики, от заучивания бесконечных формул, большинство из которых в жизни чаще всего остается невостребовано. Еще 200 лет назад И. Кант сказал о том, Что нужно «учить не мыслям, а мыслить», но до сих пор этот принцип остается в школе недостижимым идеалом.
Вопрос.
Так что же, формулы в вашем курсе не нужно заучивать? А как же экзамены?
Ответ.
Моя позиция заключается в том, что в школьной математике надо срочно отойти от рутины заучивания формул. Вопрос об экзаменах – обычный вопрос, который беспокоит учителей и родителей. Однако, на мой взгляд, формулы пусть специально учит тот, кто хочет поступать в соответствующий вуз – там другие правила игры. Однако 60-70 процентам учеников не нужна «вступительная» математика. Будь моя воля, я разрешил бы пользоваться справочниками на всех экзаменах.
С другой стороны, если школьник постоянно видел формулу перед глазами, применял ее, он все равно ее выучит, даже если перед ним не ставить такую цель. Вообще формулы в моем курсе математики стоят на третьем месте. На первом плане – функции, на втором – уравнения. Кстати, функциональный приоритет при изучении математики уже давно стал в развитых странах широко распространенной методической практикой, которая, к сожалению, до сих пор не прижилась в России, хотя и постоянно пропагандировалась ведущими учеными (А.Я. Хинчиным, В.Л. Гончаровым и др.).
Вопрос.
А какие преимущества дает приоритет функциональной линии при построении школьного курса алгебры?
Ответ.
Функциональный приоритет моей математической линии позволяет избежать многих трудностей в освоении нового материала. Ведь традиционно в отечественной школе вся алгебра до последнего времени была «левополушарной», а значит, схоластической. А для математических функций можно построить графики и, значит, включить работу правого полушария мозга. Как образно сформулировал наш ведущий математик В.И. Арнольд, левое полушарие отвечает за аналитику, логику, шахматы, интриги, а правое – за интуицию, образы и все, что нужно для реальной жизни.
Моей задачей было задействовать оба полушария. Школьники, которые занимаются по моим учебникам, с 7 класса привыкают, например, к графическому решению уравнений. По опыту общения с учителями я знаю, что обычно наибольшие методические сложности представляет самых заформализованных разделов, таких, скажем, как уравнения и неравенства с параметрами. Однако во многих случаях стоит только нарисовать картинку, построить график – школьникам становится все ясно. Кстати говоря, функциональный подход оказался столь привлекательным для учителей, что наши учебник и задачник по алгебре и началам анализа для 10-11 классов заказывают даже те школы, которые в 7-9 классах вели обучение по другим учебникам алгебры.
Еще одна методическая проблема, стоящая перед учителями математики, которую мне, надеюсь, удалось решить, - проблема введения новых, достаточно сложных математических понятий. Обычно такие уроки и для учителя, и для школьника оказываются самыми трудными. Мое психологическое и методическое «ноу-хау» заключается в том, что сложные понятия изучаются сначала на наглядно-интуитивном уровне, потом на рабочем и только в последнюю очередь на формальном…
Вопрос.
В отличие от других УМК по математике в вашем комплекте учебник издан отдельно от задачника, чем это вызвано?
Ответ.
Разделение учебника и задачника не случайно, оно носит принципиальный характер. И хотя это невыгодно экономически, я иду на него сознательно. Самостоятельность учебника позволяет мне писать его настолько подробно и доступно, чтобы ребенок мог разобраться в тексте сам. Старые учебники, которые издаются более тридцати лет, по сути представляют собой справочники. Они написаны сугубо предметным языком и в основном для учителя. А на уроках математики ребенка надо приучать к самостоятельному чтению, к самостоятельному добыванию информации, но не по справочнику же?
Что касается задачников, то над ними вместе со мной работали авторские коллективы учителей-практиков. Мы стремились сделать задачники избыточными и самодостаточными, чтобы учителю при подготовке к уроку не приходилось обращаться к другим задачникам. Задачники очень четко структурированы, они содержат два базовых уровня – устный и письменный – и два более высоких уровня (выше среднего и повышенной трудности). В каждом блоке однотипных упражнений задания идут с постепенным нарастанием сложности, с добавлением от номера к номеру по одному дидактическому компоненту трудности.
Вопрос.
Уже более пяти лет учителя работают по вашим учебникам и задачникам, с какими трудностями, насколько вам известно, им приходится сталкиваться?
Ответ.
Мой учебник требует несколько иных форм работы учителя, нежели остальные, и прежде всего обсуждения на уроке того материала, который ребенок прочитал дома. Беседовать о прочитанном, стимулировать ребенка к дальнейшему изучению – это то, чему учителям приходится учиться и что зачастую вызывает у них определенные сложности.
Нет ничего проще и бесполезнее, чем написать на доске тему, определение, доказательство теоремы и задать решение примеров. Но заставить своих учеников разговориться – непросто, а ведь только в самостоятельной речи ребенка рождается настоящее понимание предмета, пусть поначалу эта речь и косноязычна. Но вы можете спросить: а о чем же, собственно, говорить на уроках математики? Тем для разговоров предостаточно – это и происхождение понятий, и то, насколько удалось продвинуться в освоении математического языка, и преимущества графического или формального способа решения. Все это можно найти в моих учебниках. Очень важно выбрать для учителя не только тему для обсуждения, но и найти для этого подходящий момент на уроке. В своих методических пособиях я попытался помочь учителю в этом непростом деле.
Мои учебники предполагают возрастание ответственности учителя за общение с детьми и приучение детей к самостоятельному изучению литературы.
Вопрос.
Ваш курс алгебры принципиально отличается от традиционных курсов. Какие учебники математики может использовать учитель в 5-6 классах, чтобы перейти в 7 классе на ваши учебники по алгебре?
Ответ.
Чаще всего учителя, начинающие работать в 7 классе по нашим пособиям, используют в 5-6 классах широко распространенные учебники Н.Я. Виленкина и др. Надежную основу для курса алгебры создают также учебники Н.Б. Истоминой, учебники Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон…
Вопрос.
В каких классах ваш комплект охотнее всего используют – в математически ориентированных или гуманитарных?
Ответ.
Вообще наша линия рассчитана на общеобразовательную массовую школу и ни в коем случае не на нынешние так называемые гуманитарные классы. Я сталкивался с тем, что наши пособия использовались и в математических классах. Просто учителю приходилось добавлять некоторые темы.
Классические же учебники для математических классов написаны моим учителем, покойным Наумом Яковлевичем Виленкиным. Но эти учебники, к сожалению, уже устарели. Сейчас мы начали новый проект по созданию УМК для математических классов; учебник для 8 класса в настоящее время готовится к выходу в свет, завершается работа над соответствующим задачником. По структуре они будут соответствовать нашей общеобразовательной линии, но существенно углубят ее.
В то же время вместе с УМК для общеобразовательной школы, о котором мы сегодня говорили, он будет удобен учителю, который преподает как в обычном, так и в математическом классе в рамках одной школы. Да и ученику, который по каким-либо причинам захочет перейти из одной параллели в другую, будет легче адаптироваться. Другими словами, наш будущий комплект для «углубленки» вкупе с уже действующим общеобразовательным УМК станет хорошим вариантом для профильной школы, о которой сейчас так много говорят.
Беседовала Татьяна Пушкарева
Журнал «Школьное обозрение», №4 2001 год
II.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Данная тема в 7 классе изучается первой и занимает ключевое положение во всем курсе алгебры. На ее изучение отводится 9 часов (из расчета – 3 часа в неделю) или 12 часов (из расчета – 4 часа в неделю). Она включает в себя следующие подтемы:
1. Числовые и алгебраические выражения 4 часа (5 часов)
2. Что такое математический язык 2 часа
3. Что такое математическая модель 2 часа (4 часа)
Контрольная работа 1 час
Имеет смысл планировать уроки таким образом, чтобы повторяя материал курса математики 5-6 классов, начинать вводить новые термины: математический язык, математическая модель, не давая им строгого истолкования (эти понятия будут постепенно уточняться и постоянно пополняться новым содержанием, вплоть до 11 класса). Главная забота учителя состоит в том, чтобы школьники привыкли к этим терминам и включили их в свой словарный запас.
Необычна подача теоретического материала по теме «Математический язык».
Математики отличаются от «нематематиков» тем, что, обсуждая научные проблемы, говорят друг с другом и пишут на особом «математическом языке». Например, на обычном языке говорят: «От перемены мест сомножителей произведение не меняется». Слыша это, математик пишет (или говорит): аb =ba.
Говорят, что культурный человек, кроме родного языка, должен владеть хотя бы одним иностранным языком. Это верно, но требует дополнения: культурный человек должен еще говорить, писать, думать и на математическом языке,
поскольку это тот язык, на котором, как мы не раз убедимся в дальнейшем, «говорит» окружающая действительность. Этому и будем учиться.
Чтобы овладеть новым языком, необходимо изучить его буквы, слоги, слова, предложения, правила, грамматику.
Рассмотрим следующую таблицу, в которой приведены различные ситуации и их математические модели, при этом х – масса капусты, у – масса картофеля.
| №
|
Реальная ситуация
|
Математическая модель
|
| 1 2 3 4 5 6 |
В магазин привезли поровну картофеля и капусты В магазин привезли картофеля в 2 раза больше, чем капусты В магазин привезли капусты на 100 кг больше, чем картофеля После того, как продали 250 кг капусты, картофеля и капусты стало поровну После того, как продали 250 кг капусты и 368 кг картофеля, картофеля и капусты стало поровну После того, как продали 250 кг капусты, картофеля и стало в 2,2 раза больше, чем капусты |
х = у у = 2х или х = у/2 х = у + 100 или у = х – 100 х – 250 = у или х = у + 250 х – 250 = у – 368 (х – 250) * 2,2 = у или х – 250 = у/2,2 |
В данной таблице щли от реальной ситуации к математической модели, но надо уметь двигаться и в обратном направлении, т.е. по заданной математической модели описывать словами реальную ситуацию. Например, что означает (при тех же обозначениях) такая математическая модель 2х = у – 29 (это означает следующее: после того, как продали 29 кг картофеля, капусты стало в 2 раза меньше).
Примеры заданий, приводимых в задачнике «Алгебра-7»
Перейти от словесных моделей к математическим:
- произведение чисел х и у равно 9;
- для чисел a, b, c и d: сумма первых двух чисел равна удвоенной разности двух последних.
- Три килограмма яблок стоят столько же сколько 2 килограмма груш. При этом известно, что 1 кг яблок стоит х руб., а 1 кг груш стоит у кг.
- В первой бригаде работает а человек. а во второй - с человек. Если половину членов первой бригады перевести во вторую, то в первой бригаде людей станет меньше на 20 человек.
- Первое число равно z, а второе на 6 больше первого, при этом 1/3 первого числа равна 1/4 второго.
- Первое число равно с, второе число в 1,4 раза больше первого. Если из второго числа вычесть 5,2, а к первому прибавить 4,8, то получатся равные результаты.
- *Разность чисел а и b в 3 раза меньше их частного;
- *Трехзначное число содержит k сотен и m единиц.
Естественно, что возникает вопрос: зачем нужна математическая модель реальной ситуации, что она дает, кроме краткой выразительной записи? Чтобы ответить на этот вопрос, решим следующую задачу.
№1. В жилом доме всего 215 квартир. Сколько из них однокомнатных, если известно, что трехкомнатных квартир на 10 меньше, чем двухкомнатных, и на 5 больше, чем однокомнатных.
Решение
Пусть х квартир – трехкомнатные, тогда
(х + 10) квартир – двухкомнатные,
(х – 5) квартир – двухкомнатные.
По условию задачи всего в доме 215 квартир. Составим уравнение:
х + (х + 10) + (х – 5) = 215
3х + 5 = 215
3х = 210
х = 70
70 квартир – трехкомнатные;
70 + 10 = 80 (квартир) – двухкомнатные;
70 – 5 = 65 (квартир) – однокомнатные.
Ответ: 70 квартир, 80 квартир. 65 квартир.
В ходе решения было четкое разделение на 3 этапа:
1 этап:
введя переменную х и переведя текст задачи на математический язык, была составлена математическая модель – в виде уравнения х + (х + 10) + (х – 5) = 215.
2 этап
: решение уравнения (занятие «чистой» математикой).
3 этап:
использование полученного решения для ответа на вопрос задачи.
Подведем итоги:
в процессе решения задачи были выделены 3 этапа:
1 этап:
составление математической модели.
2 этап
: работа с математической моделью (решение уравнения).
3 этап:
ответ на вопрос задачи.
Замечание: математические модели бывают не только алгебраические, но и графические (геометрические), аналитические.
№2. Расстояние между городами мотоциклист проехал за 2 часа, а велосипедист – за 5 часов. Скорость велосипедиста на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста и расстояние между городами
Решение
|
|
скорость (км/ч)
|
время (ч)
|
расстояние (км)
|
| мотоциклист
|
х + 18 |
2 |
2(х + 18) |
| велосипедист
|
х |
5 |
5х |
По условию задачи мотоциклист и велосипедист проехали равные расстояния. Составим уравнение:
2(х + 18) = 5х
2х + 36 = 5х
-3х = -36
х = 12
12 км/ч – скорость велосипедиста
12 + 18 = 30 (км/ч) – скорость мотоциклиста
5 * 12 = 60 (км) – расстояние между городами
Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч, 60 км.
Примеры задач, приводимых в задачнике «Алгебра-7».
Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:
- №109. *На трех полках находится 75 книг. На первой полке в два раза больше книг, чем на второй, а на третьей – на 5 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке? (глава 1 «Математическая модель. Математический язык)
- №115. *Старинная задача: «Спросил некто у учителя: «Скажи, сколько у тебя учеников в классе, так как я хочу отдать тебе в ученье своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, то будет у меня 100 учеников». Спрашивается, сколько у учителя учеников?» (глава 1)
- №293. Сумма двух третей неизвестного числа и его половины на 7 больше самого неизвестного числа. Найдите это число. (глава 3 «Одночлены. Арифметические операции над одночленами»)
- №296. Первое число в 1,5 раза больше второго. Известно, что удвоенное первое число на 24 больше, чем третья часть второго. Найдите эти числа. (глава 3)
Решение
| было
|
стало
|
|
| первое число
|
1,5х |
2 * 1,5х |
| второе число
|
х |
1/3х |
По условию задачи первое число стало на 24 больше второго. Составим уравнение:
2 * 1,5х – 24 = 1/3х (или 2 * 1,5 х – 1/3х = 24 или 1/3х + 24 = 2 * 1,5х)
3х – 24 = 1/3 х
9х - х = 72
8х = 72
х = 9
9 – второе число
1,5 * 9 = 13,5 – первое число
Ответ: 9 и 13,5.
- №310. *Туристы отправились в трехдневный поход. В первый день они прошли 7/22 всего пути, во второй – 1/3 оставшегося пути, а в третий – последние 25 км. Найдите длину туристского маршрута. (глава 3)
- №312. *Некоторое число уменьшили на 15%, а затем увеличили на 10%. После этого получили число, которое на 13 меньше первоначального. Найдите первоначальное число. (глава 3)
- №314. *На школьном празднике присутствовали все ученики седьмых классов школы. Шестая часть присутствующих участвовала в викторине, а 2/3 участвовали в концерте. Известно, что все ученики 7а класса (а их 21 человек) участвовали либо в викторине либо в концерте. Ученики 7а класса составили 30% активных участников праздника. Сколько всего в школе учеников седьмых классов? (глава 3)
- №429. *Мастер изготовляет на 8 деталей в час больше, чем ученик. Ученик работал 6ч, а мастер – 8ч. Вместе они изготовили 232 детали. Сколько деталей в час изготовлял ученик? (глава 4 «Многочлены. Арифметические операции над многочленами»)
- №434. *Из двух пунктов А и В, расстояние ме
- №460. *Из четырех чисел второе больше первого на 3, третье больше второго на 5, а четвертое является суммой первого и второго. Найдите эти числа, если известно, что произведение первого и второго на 74,2 меньше разности между квадратом третьего числа и четвертым числом. (глава 4)
- № 839. В седьмых классах девочек в 1,3 раза больше, чем мальчиков. Сколько всего учеников в седьмых классах, если девочек на 12 больше, чем мальчиков. (глава 6 «Линейная функция»)
- № 843. *Первое число составляет 124% второго. Найдите эти числа, если их сумма равна 112. (глава 6)
- №1119. Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по единице, то получится 1/2, а если из них вычесть по единице, то получится 1/3. Найдите эту дробь. ( глава 8 «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными»)
- №1120. *Одно число на 140 меньше другого; 60% большего числа на 64 больше 70% меньшего. Найдите эти числа. (глава 8)
- №1124. * Путь по морю от города А до города В на 60 км короче, чем по шоссе. Теплоход проходит путь от А до В за 5 часов, а автомобиль – за 3 часа. Найдите скорости теплохода и автомобиля, если известно, что скорость теплохода составляет 40% скорости автомобиля. (глава 8)
- №1136. *Среднее арифметическое двух чисел равно 185. Если одно число разделить на другое, то в частном получится 2 и в остатке 40. Найдите эти числа. (глава 8)
- №1138. *Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если это число разделить на разность его цифр, то в частном получится 24 и в остатке 2. Найдите исходное число. (глава 8)
- №1142. * Имеется лом стали двух сортов с содержанием 5% и 40% никеля. Сколько тонн стали каждого сорта нужно взять, чтобы, сплавив их, получить 140 т стали, в которой содержится 30% никеля? (глава 8)
- №1145. *Какое двузначное число обладает следующим свойством: если между его цифрами поместить цифру 0, то число увеличится в 6 раз? (глава 8)
Примечание:
задачи, обозначенные *, находятся в задачнике после черты.
Решение некоторых предложенных задач.
№115
. Пусть х учеников у учителя.
По условию задачи, если придет еще столько же и полстолько, и четвертая часть, и еще один ученик, то будет 100 учеников. Составим уравнение
х + х + х/2 + х/4 + 1 =100
х = 36
36 учеников у учителя
Ответ: 36 учеников.
№ 312
. Пусть х – первоначальное число, тогда
0,85х + 0,085х – полученное число.
По условию задачи полученное число меньше первоначального на 13. Составим уравнение
0,85х + 0,085х = х – 13
х = 200
200 - первоначальное число
Ответ: 200.
№314
. 1) 21 чел. –30%; 21 * 100 : 30 = 70(чел.) – активные участники
2) Пусть х семиклассников в школе.
По условию задачи 1/6 присутствующих участвовала в викторине, 2/3 – в концерте, а всего было 70 активных участников. Составим уравнение
1/6х + 2/3х = 70
х = 84
84 учащихся 7-х классов в школе
Ответ: 84 человека.
№ 434
.Пусть х км/ч – разность скоростей велосипедиста и пешехода.
По условию задачи через 45 минут расстояние между ними стало равным 7 км. Составим уравнение 3/4х = 7 – 1
х = 8
8км/ч – разность скоростей
8 * 1,5 + 1 = 13 (км) – расстояние между велосипедистом и пешеходом через 1,5 часа
Ответ: 13 км.
№460
. Пусть х – первое число, тогда
х + 3 – второе число,
х + 8 – третье число,
2х + 3 – четвертое число.
По условию задачи произведение первого и второго на 74,2 меньше разности между квадратом третьего числа и четвертым числом. Составим уравнение
х(х + 3) + 74,2 = (х + 8)2
– (2х + 3)
х = 1,2
1,2 – первое число
1,2 + 3 = 4,2 – второе число
1,2 + 8 = 9,2 – третье число
2*1,2 + 3 = 5,4 – четвертое число
Ответ: 1,2; 4,2; 9,2; 5,4.
№1120
. Пусть х – первое число, у – второе число.
Так как одно число на 140 меньше другого, то составим уравнение х – у = 140. Так как 60% большего числа на 64 больше 70% меньшего, то составим уравнение 0,6х – 0,7у = 64. Составим систему уравнений ; .
340 – первое число; 200 – второе число
Ответ: 200; 340.
№1136
. Пусть х – первое число, у – второе число.
Так как среднее арифметическое двух чисел равно 185, то составим уравнение (х + у) / 2 = 185. Так как, если одно число разделить на другое, то в частном получится 2 и в остатке 40, то составим уравнение х = 2у + 40. Составим систему уравнений ; .
260 – первое число; 110 – второе число
Ответ: 110; 260.
№1138
. Пусть х – количество десятков, у – количество единиц,
тогда 10х + у – исходное число.
Так как сумма цифр этого числа равна 11, то составим уравнение х + у = 11. Так как, если это число разделить на разность его цифр, то в частном получится 24 и в остатке 2, то составим уравнение 10х+у = (х –у)*24+2. Составим систему уравнений ; .
7 – количество десятков; 4 – количество единиц; 74 – исходное число
Ответ: 74.
№1142.
Пусть х т – масса лома 1 сорта, у т – масса лома 2 сорта,
тогда (х+у) т – масса сплава,
0,05х т – масса никеля лома 1 сорта,
0,4у т – масса никеля лома 2 сорта,
0,3(х+у) т – масса никеля сплава.
Так как масса сплава равна 140 т , то составим уравнение х+у=140. Так как в сплаве содержится 30% никеля, то составим уравнение 0,05х +0,4у=0,3(х+у). Составим систему уравнений ; .
40 т - масса стали 1 сорта; 100 т – масса стали 2 сорта
Ответ: 40 тонн, 100 тонн.
№1145.
Пусть х – количество десятков, у – количество единиц,
тогда 10х+у – исходное число,
100х+у – полученное число.
Так как полученное число в 6 раз больше исходного, то составим уравнение
6(10х+у) = 100х+у
8х = у
Так как х и у – это цифры, то единственное решение последнего уравнения такие: х=1; у=8.
1 – количество десятков; 8 – количество единиц; 18 – исходное число
Ответ: 18.
Понятие модели появляется также при изучении темы «Координатная прямая», а именно, понятие геометрической и аналитической модели. При работе с числовыми промежутками необходимо обратить внимание учащихся на умение переходить от геометрической модели к аналитической модели и к символической записи, а также от аналитической модели – к геометрической модели и к символической записи. Например:
| Геометрическая модель
|
Обозначение
|
Название числового промежутка
|
Аналитическая модель
|
||||||||||||||
|
|
открытый луч луч отрезок |
|
III.
ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
Подчеркнем еще раз, что из основных содержательно-методических линий школьного курса алгебры для 7-11 классов в качестве приоритетной выбрана функционально-графическая линия.
Это прежде всего выражается в том, что какой бы класс функций, уравнений не изучался, построение материала практически всегда осуществляется по жесткой схеме:
функция – уравнения – преобразования.
Раскроем методические особенности концепции изучений функций, заложенные в программе.
1. Отказ от формулировки определения функции при первом появлении этого понятия.
Ничего страшного в этом нет, о чем свидетельствует и история математики. Многие математические теории строились, развивались и обогащались все новыми и новыми фактами и приложениями, несмотря на отсутствие определения основного понятия этой теории. Так было в теории пределов (до О. Коши), так было и в теории действительных чисел. Действительными числами оперировали многие века, не имея определения, и лишь в конце XIX века появилось сразу несколько вариантов определения действительного числа (Р. Дедекинд, К. Вейерштрасс, Г. Кантор). Можно строить теорию и при отсутствии определения исходного понятия – во многих случаях это оправдано с методической точки зрения. Определение функции в школе необходимо ввести тогда, когда ученики накопят достаточный опыт в оперировании этим понятием. В данной программе это предусмотрено вначале 9 класса.
2. Постепенное введение в программу свойств функции, подлежащих изучению на различных уровнях строгости.
Перечислим те свойства функции, которые на том или ином уровне изучаются в различных разделах школьного курса алгебры: область определения, наибольшее и наименьшее значения, непрерывность (точки разрыва), монотонность, выпуклость, область значений, четность, периодичность, дифференцируемость, ограниченность, экстремумы.
Учителей, естественно, всегда беспокоят 3 вопроса:
- каким из этих понятий нужно дать в школе точное определение, а какие достаточно описать на наглядно-интуитивном уровне;
- как и когда давать то или иное определение;
- если точное определение вводится позже первичного использования понятия, то каковы пропедевтика и динамика развития соответствующего понятия?
Главная методическая ошибка – появление указанных свойств функций в более или менее полном объеме практически одновременно. Не следует забывать, что в реальной жизни употребление определенных терминов в речи со смутным их пониманием часто предшествует полноценному пониманию. Поэтому автор считает не только возможным, но и полезным употребление школьниками, начиная с 7 класса таких, например, терминов, как непрерывность функции, наибольшее и наименьшее значение функции, без знания строгих математических определений этих понятий. В 8 классе на таком же наглядно-интуитивном уровне вводится понятие выпуклости и ограниченности функции.
Почему автор считает необходимым готовить базу для введения формальных определений? С его точки зрения, принципиальная трудность заключается в том, что неокрепший мозг ученика не в состоянии осмыслить наличие в одном определении двух кванторов: квантора общности («для всех», «для каждого», «для любого») и квантора существования («существуют», «для некоторого») – в рамках одного предложения. «Существует» и «для любого» - это для него в определенном смысле противоречащие друг другу ситуации. Опыт показывает, что «двухкванторные определения» трудны для восприятия школьников, поэтому важна опережающая формальное определение опора на наглядность. В такой ситуации работают оба полушария головного мозга ученика: правое, отвечающее за образы, и левое, отвечающее за формально-логическое мышление. Вводя понятия наименьшего (наибольшего) значения функции в 7 классе, а понятия ограниченности функции - в 8 классе, используются как раз геометрические образы. Например, ограниченность сверху трактуется геометрически так: весь график расположен ниже некоторой прямой. В последнем предложении фактически имеются оба квантора – весь
график ниже некоторой прямой.
Однако геометрическая иллюстрация помогает учащемуся преодолеть логические трудности. Вот так постепенно ум его «в порядок приводит».
Рассмотрим следующую таблицу, в которой рассматривается уровень строгости введения свойств функции. В таблице приняты следующие условные обозначения:
Н
– соответствующее свойство функции вводится на наглядно-интуитивном уровне;
Р
- свойство функции изучается на рабочем уровне, на уровне словесного описания;
Ф
– формальное определение свойства.
| класс
свойство
|
7
|
8
|
9
|
10
|
| Область определения Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке Монотонность Непрерывность Ограниченность Выпуклость Область значений Четность Периодичность Дифференцируемость Экстремумы |
Н
Н
Н
Н
-
-
-
-
-
-
-
|
Р
Р
Ф
Н
Н,Р
Н
Р
-
-
-
-
|
Ф
Ф
Ф
Н
Ф
Н
Ф
Ф
-
-
-
|
Ф
Ф
Ф
Р,Ф
Ф
Н
Ф
Ф
Ф
Н
Ф
|
3.
Система упражнений, универсальных при изучении любого класса функций:
- графическое решение уравнений;
- отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке;
- преобразование графиков;
- функциональная символика;
- кусочные функции;
- чтение графика.
Эти блоки позволяют изучение рассматриваемой математической модели – функции – сделать понятной, красивой и привычной. Создается эффект предсказуемости деятельности учащихся на уроке, что делает совместную деятельность учителя и ученика на уроке достаточно комфортной.
Рассмотрим методические особенности каждого из этих направлений.
1). Графическое решение уравнений.
Автор считает, что данный способ решения уравнений должен быть первым и одним из самых главных при решении уравнений любых типов. Неудобства, связанные с применением графического метода, как правило, и создают ту проблемную ситуацию, которая приводит к необходимости отыскания алгоритмов аналитическим способов решения уравнения.
Графический способ приводит ученика к ситуации, когда график функции строится не ради графика, а для решения другой задачи – для решения уравнения. График функции является не целью, а средством
, помогающим решить уравнение. В данных учебных пособиях графический способ решения уравнений предшествует аналитическим способам.
2). Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке.
Начиная с 7 класса, учащимся предлагаются задания такого типа: найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х + 3 на отрезке . Для этого необходимо построить график линейной функции у = 2х + 3, выделить часть графика на отрезке и по графику найти наибольшее и наименьшее значения функции. В данной ситуации график нужен не сам по себе, а является средством
для выполнения предложенного задания.
3). Преобразование графиков.
В 8 классе в теоретическом плане изучаются 2 преобразования: параллельный перенос – построение графика функции с помощью известного графика функции и построение графика функции . В 9 классе учащиеся знакомятся еще с одним преобразованием: растяжением графика, т.е построением графика функции по известному графику .
4). Функциональная символика.
Как только в 7 классе появляется запись , учащимся предлагаются задания, нацеленные на осознание смысла этой записи, так как они часто не могут исследовать, например, функцию на четность не потому, что не знают определения четности, а потому, что не понимают смысла записи . Поэтому автор считает полезным включать в задачники задания следующего типа: для функции , где , найти и т. д.
5). Кусочные функции.
Для правильного формирования у учащихся как самого понятия функции, так и представления о методологической сущности этого понятия, полезно рассматривать кусочные функции, то есть функции, заданные различными формулами на разных промежутках области определения. Во многих случаях именно кусочные функции являются математическими моделями реальных ситуаций. Использование кусочных функций готовит как в пропедевтическом, так и в мотивационном плане понятие непрерывности. Использование кусочных функций позволяет учителю сделать систему упражнений более разнообразной (что существенно для поддержания интереса к предмету у учащихся), творческой. Можно отметить и следующий воспитательный момент: воспитание умения принять решение, зависящее от правильной ориентировки в условиях, это и своеобразная эстетика – красота графиков кусочных функций, предложенных автором и самими учениками.
6) Чтение графиков.
Очень важно научить учащихся описывать по графику свойства функции, переходить от заданной геометрической модели (графика) к вербальной (словесной). По мере появления свойств функции перевод одного языка на другой становится все богаче, а значит, учащиеся видят, как они постепенно умнеют по мере изучения математики; наличие большого числа свойств функции позволяет сделать процесс чтения графика интересным, разнообразным с литературной точки зрения. У ученика имеется возможность составить довольно четкий «словесный портрет» функции по ее графику.
Изучение темы «Линейная функция»
начинается с введения нового термина «числовой промежуток», что позволяет корректно формулировать задание: найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке. Изменяется традиционная методика изложения темы «Линейная функция». Первой изучается тема «Линейные уравнения с двумя переменными», где рассматриваются задания следующего типа:
- найти какое-либо решение уравнения 2х + 3у = 5;
- найти решение уравнения 2х + 3у = 5, зная, что х=2, зная, что у=0, и т.п.
- построить график уравнения х + у = 3 и с помощью графика указать несколько решений этого уравнения.
Далее внимание учащихся обращается на то, что график линейного уравнения с двумя переменными проще строить, если уравнение будет преобразовано к виду , для которого и употребляется термин «линейная функция». Затем учащимся предлагается теорема о графике линейного уравнения (доказательство данной теоремы будет рассмотрено в курсе геометрии). Прежде, чем вводить данную теорему, им предлагается построить несколько графиков линейных уравнений, в каждом случае выбирая по 4-6 точек и обнаруживая, что все они лежат на одной прямой. Тогда формулировка теоремы и вывод из нее о том, что достаточно построить две точки и провести через них прямую, будет сделан детьми самостоятельно.
Учеников важно
- быстро и уверенно научить переходить от модели ax + by + c = 0 к модели y = kx + m;
- подвести к выводу, что во многих случаях мало составить математическую модель ситуации, требуется еще очертить границы применимости модели;
- научить на наглядно-интуитивном уровне находить наибольшее и наименьшее значения функции, а также выяснять, возрастает или убывает заданная линейная функция (если двигаться по графику слева направо, мы как бы «поднимаемся в горку». В этом случае употребляют термин возрастание.
Если, двигаясь слева направо, мы как бы «спускаемся с горки», то употребляют термин убывание
).
Учащимся предлагаются задания:
- построить график линейной функции у=2х+2;
- выделить часть графика на отрезке ;
- найти наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке;
- с помощью графика решить уравнение 2х+2=0;
- с помощью графика решить неравенство 2х+2>0;
- с помощью графика решить неравенство2х+2£0.
Задания подобного рода решают сразу несколько проблем:
1.разнообразие системы упражнений;
2.создание таких условий, когда построение графика является не целью, а средством для решения другой задачи;
3.осуществление пропедевтики понятия наибольшего (наименьшего) значения функции;
4.
|
работа с графической моделью.
|
унаиб
= 4; унаим
= -2
|
2х+2=0 при х=-1
2х+2>0 при х>-1 (хÎ(-1;+))
|
|
|
|
|
2х+2£0 при х£-1 (хÎ)
Важно, чтобы ученики убедились в том, что
непрерывная функция на отрезке всегда
достигает своего наибольшего и наименьшего
значения, а на незамкнутом промежутке – не всегда.
Например: если хÎ, то унаим
не существует;
если хÎ, то унаиб
не существует.
Используя построенный график функции, учащимся предлагается также выполнить следующие задания: найдите
- координаты точек пересечения графика с осями координат;
- значение у, соответствующее значению аргумента, равному 0; -1; -3;
- значение аргумента, соответствующее значению у, равному 3; -1; -4;
- выясните, возрастает или убывает заданная линейная функция.
При изучении данной темы предлагаются также следующие задания по готовым графикам:
1. напишите уравнение прямой пропорциональности, график которой изображен;
2. определите знак углового коэффициента линейной функции, график которой изображен;
3. определите знаки коэффициентов k и m, если известно, что график линейной функции y=kx+m изображен;
4. на рисунке изображены графики линейной функции у=3х; у=-3х; у=3+х. Укажите, какая формула соответствует тому или иному графику;
5. составьте уравнение прямой y=kx+m, изображенной на заданном рисунке.
При изучении темы «Одночлены. Арифметические операции над одночленами» автор вводит понятия «корректная задача» и «некорректная задача». Поэтому при изучении темы «Прямая пропорциональность и ее график» учащиеся готовы к выполнению заданий типа:
1. выясните, корректно ли задание: найти точку пересечения данных прямых; если задание корректно, то выполните его:
а) у=2х, у=2х-3; б) у=3х, у=2х-1; в) у=5-х, у=-х; г) у=4, у=х+3;
2. подставьте вместо знаков * такие числа, чтобы графики линейных функций совпадали; установите, в каких случаях это задание некорректно:
а) у=8х + * и у=7х+8; б) у=4,5х - * и у=4,5х - *; в) у= *х + 8 и у=5х + 8.
Глава «Функция у=х2
»
включает в себя следующие темы:
- функция у=х2
и ее график;
- графическое решение уравнений;
- понятие о математической модели ;
- кусочные функции.
Словарный запас математического языка при изучении данной темы пополняется следующими терминами:
- непрерывная функция («непрерывность» рассматривается как эквивалент представления о сплошной линии, служащей графиком функции), разрыв функции;
- кусочная функция;
- область определения функции;
- чтение графика.
При изучении темы «Функция у=х2
и ее график» отрабатывается нахождение наибольшего и наименьшего значения функции у=х2
на отрезках и лучах. Сначала предлагаются следующие задания: используя выделенную часть графика функции у=х2
, найдите наибольшее и наименьшее значение функции и ответьте на вопрос, какому промежутку оси абсцисс соответствует выделенная часть. Затем предлагаются задания, в которых необходимо построить график функции у=х2
и выделить соответствующую часть графика для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на:
а) отрезке ; б) отрезке ; в) отрезке ; г) луче ;
д) луче ; е) луче ; ж) луче .
С целью пропедевтики понятия кусочной функции учащиеся выполняют следующие задания: постройте график функции у=х2
на заданном промежутке:
а) ; б) ; в) ; г) ; .
Целый параграф посвящен отработке нахождения значения функция у=, он называется «Что означает в математике запись у=». Учащимся предлагается, например, найти f(2a), f(-8x), (f(x)-2)2
f(2x+3)-9, f(-x6
), f(3x5
), f(-3x5
) для линейных функций, а также функции у=х2
.
Использование математической модели вида функции у= оказывается удобным во многих случаях, в частности, когда реальный процесс описывается различными формулами на разных промежутках изменения независимой переменной. Таким образом учащимся объясняется появление в этом же параграфе кусочных функций. Сначала предлагается найти значение кусочной функции в точке, а затем – построить ее график. Пользуясь графиком, учащиеся находят:
- область определения;
- наименьшее и наибольшее значение;
- промежутки убывания и возрастания;
- точки разрыва.
Описание свойств функции с помощью построенного графика обычно называют чтением графика
. Чтение графика – это своеобразный переход от геометрической модели (от графической модели) к словесной модели (к описанию свойств функции). А построение графика – это переход от аналитической модели к геометрической модели. При построении графика кусочной функции иногда ее ветви неудачно «состыкованы»: одна из ветвей («кусочков») начинается не в точке, где оканчивается предыдущая ветвь. Математики говорят так: «функция у=претерпевает разрыв
в этой точке». Если же функция не имеет точек разрыва, то ее называют непрерывной.
В этом же параграфе имеются следующие задания:
- Дана функция у=, где у=
Выясните, корректно ли предложенное задание, и если да, то выполните его:
1) вычислите f(-4); 2) вычислите f(1);
3) вычислитеf(-4,5); 4) вычислите f(4,9).
- Составьте аналитическую запись функции у= и постройте график функции, заданной следующими условиями:
а) значения функции равны 5 при всех отрицательных значениях аргумента и равны –2 при всех неотрицательных значениях аргумента;
б) значения функции равны 6 при всех неотрицательных значениях аргумента и равны – 1 при всех отрицательных значениях аргумента.
-
|
|
Составьте аналитическую запись функции по ее графику, представленному на рисунке:
Ответы:
а) ; г) ;
д) ; е) .
- Дана функция у=. Постройте график функции у=. Опишите свойства функции с помощью полученного графика:
1. у =; 2. у =;
3. у =; 4. у =.
5. ;
|
| |
Решение (график 4).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
IV.
НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ИЗ ЗАДАЧНИКА «АЛГЕБРА-7»
Глава 1 «Математический язык. Математическая модель»
1. В выражении 5*6+24 : 3-2 расставьте скобки так, чтобы его значение было:
а) наименьшим; б) наибольшим.
2. Составьте числовое выражение, значение которого равно 100, используя перечисленные цифры и не меняя порядок их следования:
а) 1, 2, 3, 4, 5; б) пять единиц; в) пять пятерок; г) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3. Составьте числовые выражения, используя в их записи только четыре четверки так, чтобы эти выражения принимали только следующие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Решение:
1. а) (5*6+24) : 3-2=16 – наименьшее значение;
б) 5*(6+24) : (3-2)=150 – наибольшее значение.
2. а) 100=(1*2+3)*4*5; б) 100=111-11; в) 100=(5+5+5+5)*5;
г) 100=1*23+4+5+67-8+9; 100=1+2+3+4+5+6+7+8*9.
3. 0=44-44; 1=44 : 44; 2=4 : 4+4 : 4; 3=(4+4+4) : 4;
4=4+(4-4) : 4; 5=(4*4+4) : 4; 6=(4+4) : 4+4; 6=(4+4) : 4+4;
7=44 : 4-4; 7=4+4-4 : 4; 8=((4+4) : 4)*4; 9=4+4+4 : 4;
10=(44-4) : 4.
Глава 2 «Степень с натуральным показателем и ее свойства»
1. Вычислите n+k, если 2n
=1024, 3k
=81.
2. Найдите х, если 22-3х
=256.
3. Решите уравнение .
Глава 3 «Одночлены. Операции над одночленами»
1. Представьте заданный одночлен С в виде Bn
, где В – некоторый одночлен, если С=256а36
b216
c1296
, n=4.
2. Запишите во втором столбце такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом из первого столбца была равна многочлену, записанному в третьем столбце:
а) 5х+6 9х+7
б) a3
+2a2
b+b3
a3
+2a2
b+b3
в) 2c2
d+3cd2
-8 0
Глава 4 «Многочлены. Операции над многочленами»
1. Найдите значение числового выражения 3(22
+1)(24
+1)(28
+1)(216
+1)-232
.
2. Докажите равенство (32
+22
)(34
+24
)( 38
+28
)(316
+216
)=0,2(332
-232
).
Решение:
1. 3=22
-1, значит, 3(22
+1)(24
+1)(28
+1)(216
+1)-232
= (22
-1)(22
+1)(24
+1)(28
+1)(216
+1)-232
=
|
= (24
-1)(24
+1)(28
+1)(216
+1)-232
= (28
-1)(28
+1)(216
+1)-232
= (216
-1)(216
+1)-232
= 232
-1-232
= -1.
|
|||
|
|
2. представим 1как 0,2(32
-22
) и домножим на 1 левую часть. Далее решение аналогично примеру 1.
Глава
5 «Разложение многочленов на множители»
1. Докажите, что значение выражения
а) 106
-57
кратно 59; б) 97
+312
кратно 90; в) 810
-227
кратно 14.
2. Пусть х1
+х2
=7, х1
х2
=2. Вычислите а) х2
2
+х1
2
; б) х1
2
+х2
2
, в) х1
4
+х2
4
; г) х1
3
х2
2
+х1
2
х2
3
.
3. Докажите, что если a+b=9, то (a+1)(b+1)-(a-1)(b-1)=1.
4. Докажите тождество 4b2
c2
– (b2
+ c2
– a2
)2
= (a + b + c)(a – b + c)(a + b – c)(b + c – a).
Решение:
1. а) 106
-57
= 26
* 56
- 57
= 56
(26
– 5) = 56
* 59, значит, значение данного выражения делится на 59, т.е. кратно 59;
б) 97
+312
= 314
+ 312
= 312
(32
+ 1) = 312
* 10, полученное произведение делится на 9 и на 10, значит, делится и на 90, т.е. кратно 90.
2. б) х1
2
+х2
2
= (х1
+х2
)2
- 2х1
х2
= 49 – 4 = 45;
в) х1
4
+х2
4
= (х1
2
+х2
2
)2
- 2х1
2
х2
2
= 452
– 2*(х1
х2
)2
=2025 – 2*4 = 2017;
г) х1
3
х2
2
+х1
2
х2
3
= (х1
х2
)2
* (х1
+х2
) = 4*7 = 28.
Глава 6 «Линейная функция»
1. Определите, корректно ли предложенное задание. Если задание корректно, то выполните его:
а) что больше, а или с, если а – наименьшее натуральное число, принадлежащее лучу , а с – наименьшее целое число, принадлежащее тому же лучу;
б) что больше, а или с, если а – наименьшее натуральное число, принадлежащее интервалу (1; 6,4), а с – наименьшее целое число, принадлежащее интервалу (5; 6).
2. Дана точка М(1,5). Найдите координаты точек L и N таких, что MN=2ML, если NL=10,5. Сколько решений имеет эта задача?
3. Что на координатной плоскости хОу является графиком уравнения:
а) х2
= 4; б) у2
= 4; в) х2
– 5х = 0; г) у2
+ 2у = 0?
4. Постройте на координатной плоскости хОу график уравнения:
а) ху + 2 – 2у – х = 0; б) ху2
= 4х; в) ух2
+ 9у = 0; г) 4 + ху + 2(х + у) = 0.
5. Пусть А – наибольшее значение линейной функции у=2х-3 на отрезке , а С – наибольшее значение линейной функции у=0,5х-4 на том же отрезке. Что больше: А или С? Сделайте графическую иллюстрацию.
6. Даны две возрастающие линейные функции у=k1
x+m1
, y=k2
x+m2
. Подберите такие коэффициенты k1
,m1
, k2
, m2
, чтобы их графики были параллельны.
7. Графики линейных функций у=kx+m и y=ax+b пересекаются в точке, лежащей внутри второго координатного угла координатной плоскости хОу. Определите знаки коэффициентов k, m, a, b, если известно, что прямая у=kx+m не проходит через третий координатный угол, а прямая y=ax+b проходит через первый координатный угол.
Решение:
1. а) 1 – наименьшее натуральное число, принадлежащее лучу , а 4 – наименьшее целое число, принадлежащее тому же лучу, значит, с>а.
2.
|
||||
|
||||
На рисунках представлены геометрические модели заданной ситуации: их четыре, т.е. задача имеет 4 решения: а) координата точки L: 1,5+10,5=12; координата точки N: 1,5+2*10,5=22,5; б) координата точки L: 1,5+10,5 : 3=5; координата точки N: 1,5-10,5 : 3 * 2=-5,5;
в) координата точки L: 1,5-10,5=-9; координата точки N: -9-10,5=-19,5;
г) координата точки L: 1,5-10,5 : 3=-2; координата точки N: 1,5+10,5 : 3 * 2=8,5.
3. г) у2
+2у = у(у+2); у(у+2)=0; у=0 или у+2=0; у=0 или у=-2, то есть график данного уравнения представляет собой объединение двух прямых у=0 и у=-2.
5. Графическая иллюстрация
|
Глава 7 «Функция у=х2
»
1. Пусть А – наименьшее значение функции у=х2
на отрезке , а В – наибольшее значение этой же функции на отрезке . Что больше: А или В? Сделайте графическую иллюстрацию.
2. Постройте график функции: а) ; б) ; в) .
Глава 8 «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными»
1. Дана система уравнений . Известно, что пара чисел (5; 6) является ее решением. Найдите значение а и b.
2. Решите графически систему уравнений , если известно, что первое уравнение этой системы обращается в первое равенство при х=5 и у=-3.
3. Составьте аналитическую запись системы линейных уравнений, геометрическая иллюстрация которой представлена на рисунке:
V.
ТРИГОНОМЕТРИЯ (10 класс)
При изучении темы «Тригонометрия» А.Г. Мордкович отмечает трех ее «китов»:
- числовая окружность;
- простейшие тригонометрические уравнения;
- теоремы сложения.
Для успешного изучения материала автор предлагает систему дидактических игр:
1. отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, выраженных в долях числа p (p/3, -p/4, -3p/2 и т. д.);
2. отыскание на числовой окружности точек, соответствующим заданным числам, не выраженным в долях числа p;
3. отыскание координат точек числовой окружности;
4. отыскание на числовой окружности точек по заданным координатам;
5. составление аналитических записей (двойных неравенств) для дуг числовой окружности;
6. отыскание декартовых координат точки по ее криволинейной координате.
При изучении темы «Тригонометрические функции» сохраняется система упражнений, универсальных при изучении любого класса функций; вводится новое преобразование графика функции y=f(kx).
Arcsin и arcos – это новые термины в освоении математического языка. Рассматриваются следующие виды тригонометрических уравнений:
- базовые уравнения: sinx=a, cosx=a, tgx=a;
- простейшие уравнения вида: sin3x=a, cos(x/3+p/4)=a;
- квадратные уравнения относительно sinx, cosx (метод введения новой переменной);
- однородные уравнения первой степени;
- однородные уравнения второй степени;
- уравнения, сводящиеся к однородному уравнению второй степени за счет применения основного тригонометрического тождества, тригонометрических преобразований.
Тема «Преобразование тригонометрических выражений» начинается с теоремы сложения, затем предлагаются формулы двойного аргумента, формулы понижения степени, формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение, преобразование произведений тригонометрических функций в сумму, преобразование выражения A sinx + B cosx к виду C sin(x + t). Автор отмечает, что в тригонометрии действуют 3 закона:
Закон №1: увидал сумму – делай произведение.
Закон №2:
увидел произведение – делай сумму.
Закон №3:
увидел квадрат – понижай степень.
Изучение темы «Производная» А.Г. Мордкович предлагает начать с числовой последовательности, его предела, затем – предела функции, прежде всего, предела на бесконечности, затем рассматриваются теоремы об арифметических операциях над пределами, несложные примеры на их вычисление. Главным является то, чтобы учащиеся могли геометрически интерпретировать запись как существование у графика функции y=f(x) горизонтальной асимптоты у=b, и, обратно, глядя на график функции, имеющей горизонтальную асимптоту, переходить к аналитической модели (с использованием символа предела). Важно уметь конструировать эскизы графиков с заданными свойствами. При изучении производной основное внимание следует уделить модели , ее геометрическому и физическому истолкованию, приводится 5-тишаговый алгоритм отыскания производной, поясняется, как «на глазок» определить, дифференцируема ли функция, график которой предлагается на конкретном рисунке. Далее рассматриваются правила дифференцирования и формулы дифференцирования (отсутствует правило дифференцирования сложной функции, имеется лишь его частный случай: y=f(kx+m)). В учебнике и задачнике имеются все основные сюжеты, связанные с задачами на касательную:
- составление уравнения касательной к графику функции в точке, принадлежащей графику;
- проведение касательной параллельно заданной прямой;
- отыскание угла, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс, а также
- проведение касательной из точки, внешней по отношению к заданному графику;
- нестандартные геометрические сюжеты, связанные с касательной.
В заключении рассматривается исследование функций с помощью производной, а также упражнения на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции. Решение задач на оптимизацию предлагается по обычной схеме – в виде трех этапов математического моделирования.