Задачи а: Ввести понятие «золотое сечение» (немного об истории). Алгебраическое нахождение «золотого сечения», геометрическое построение «золотого сечения». Рассмотреть применение «золотого сечения» в искусстве Древней Греции

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №92»

X школьная научно-практическая конференция

Золотое сечение

Выполнила:

ученица 9а класса

Дороднева Анастасия

Руководитель:

учитель математики

Прокопенко О.И.

Новокузнецк, 2007г.

Оглавление.

1. Введение ------------------------------------------------------------------- 3

2. Немного из истории.----------------------------------------------------- 4

3. «Золотое сечение » и законы искусства в Древней Греции.---- 7

4. «Золотое сечение» и «золотая спираль в живой природе».----12

5. Применение «золотого сечения» в архитектуре городов.------ 12

7. Заключение.-------------------------------------------------------------- 14

8. Список литературы.---------------------------------------------------- 17

Введение.

Целью реферата является следующее: воспользовавшись различной литературой по геомет­рии, по черчению, различными справочными материалами для бо­лее подробного изучения темы «Золотое сечение», дать наиболее полное представление о данной теме; рассмотреть применение «зо­лотого сечения».

Задачи реферата:

1. Ввести понятие «золотое сечение» (немного об истории). Алгебраическое нахождение «золотого сечения», геометрическое построение «золотого сечения».

2. Рассмотреть применение «золотого сечения» в искусстве Древней Греции.

3. Рассмотрим золотую пропорцию и связанные с нею отно­шения.

4. Продемонстрировать и разобрать понятие золотой спирали в живой природе.

5. Показать применение «золотого сечения» в эпоху Возрожде­ния.

6. Частично изучив архитектуру городов, указать наибо­лее известные здания с применением золотого сечения.

Я занялась подробным изучением темы «Золотое сечение» после того, как однажды на уроках геометрии услышала о широком применении «золотого сечения» в архитектуре. Я рассмотрела раз­личные энциклопедические сведения, разработки ученых, зани­мавшихся темой «Золотое сечение». Для нахождения материала для моего проекта использовала энциклопедические справочники по математике, учебники по архитектуре, учебные пособия.

Немного истории...

«Золотое сечение» деления в крайнем и среднем отношении - деление отрезка АВ
на две части таким образом, что большая часть АС
является средней пропорциональной между всем отрезком АВ и меньшей его частью СВ. Алгебраическое построение «золотого сечения» АВ =
а сводится к решению уравнения а: х = х
: (а - х)
(где х = АС),
откуда х==0,62а.

Отношение х
к а
может быть выражено приближенно дробями , …, где 2,3,5,8,13,21, … - Фибоначчи числа. Геометрическое построение «зо­лотого сечения» отрезка АВ осуществляется так: в точке В
восста­навливают перпендикуляр к АВ,
на нем откладывают отрезок BE
= =
I
2
AB
,
соединяют А
и Е,
откладывают ED
= ЕВ
и, наконец, АС =
AD
,
тогда будет

АВ : АС = АС
: СВ
(рис. 1).

В дошедшей до нас античной литературе «золотое сечение» впервые встречается во II книге «Начал» Евклида,

где дается его геометрическое построение, равносильное решению квадратного уравнения вида х (а +х) =
= а2
.

Евклид применял «золотое сечение» при построении правильных 5- и 10-угольников, а также в стереометрии при построении правильных 12- и 20-гранников. Несомненно, что «золотое сечение» было известно и до Евклида.

Весьма вероятно, что задача «золотого сечения» была решена ещё пифагорейцами, которым приписываются построение правильного 5-угольника и геометрического построения, равносильные решению квад­ратных уравнений.

Именно пентаграмму Пифагорейцы выбрали символом своего союза - религиозной секты во главе с Пифагором (ок. 580-500 до н. э.), которая проповедовала братскую любовь друг к другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т. д. Пифагорейцев отличало от дру­гих то, что они считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали чис­лам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) - мужскими. Число 5 - как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) - считалось символом любви. Отсюда такое внима­ние к пентаграмме, имеющей 5 углов. После Евклида исследованием «золо­того сечения» занимались Гипсикл (II в. до н. э.), Папп Александрийский (III в. н. э.) и др.

В средневековой Европе с «золотым сечением» познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик и комментатор Евкли­да Дж. Кампано из Новары (XIII в.) добавил к 13 книге «Начал» предпо­ложение, содержащее арифметическое доказательство несоизмеримости отрезка и обеих частей его «золотого сечения».

В XV-XVI вв. усилился интерес к «золотому сечению» среди ученых и художников" в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от сатаны. Вспомним, например, как описывает Гёте про­никновение дьявола Мефистофеля в келью доктора Фауста, на которой была начертана пентаграмма. Мефистофель сначала позвал черного пуделя от­грызть кончик двери с частью пентаграммы. Только после этого он сам смог предстать перед Фаустом. Л. Пачоли посвятил «золотому сечению» трактат «О божественной пропорции» (1509); о «золотом сечении» много писал в одном из своих ранних произведений И. Кеплер (1596). Ленардо да Винчи считал, что идеальные пропорции человеческого тела должны быть связа­ны числом Ф,
деление отрезка в отношении Ф
он назвал «золотым сече­нием». «Золотое сечение» или близ­кие ему пропорциональные отноше­ния легли в основу композиционного построения многих произведений ми­рового искусства, например, Капелла Пации во Флоренции, архитектора Ф. Брунеллески, XV в.

«ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ» И ЗАКОНЫ
ИСКУССТВА В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ.

рис. 2

Статуя «Дорифор».

Рассмотрим теперь примене­ние «золотого сечения» в скульп­турах Древней Греции. Работы Фидия в оригиналах почти не со­хранились, поэтому для иллюстра­ции возьмем произведение его младшего современника, скульпто­ра и теоретика искусства Поликлета(вторая половина V в. до н. э.).

В своём трактате «Канон» он стремился установить законы про­порциональности человеческого тела. Теория пропорций Поликлета ярко воплотилась в статуе «Дорифор»-копьеносец, которую он изваял в строгом соответствии всех частей. В этой статуе мы

встречаем много раз примененное число. Так, пупок (точка О) де­лит высоту статуи в отношении «золотого сечения». Значит, если высоту АВ
принять за 1, то АО
= j,
но тогда ОВ
=1 - j.
Однако на рис. 2 показано, что расстояние ОВ
берётся равным. Нет ли здесь противоречия? Проверим: если считать, что 1 - j=j, то прихо­дим к уравнению j2
+ j - 1=0.

Откуда j = ,т. е. получили то же самое значение, которое вычислили ранее.

Но проанализируем другие пропорции знаменитой статуи. Рас­стояние от подошвы копьеносца до его колена равно j3
,
высота шеи вместе с головой равна j4
,
длина шеи до уха - j5
, а расстояние уха до макушки -j6
.
Таким образом, в этой статуе мы видим гео­метрическую прогрессию со знаменателем

j : j2
, j3
, j4
, j5
, j6
.

Парферон.

«Золотое сечение» многократно встречается при анализе геометрических закономерностей Парферона. Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам такое же эстетиче­ское наслаждение, как и нашим предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воз­действия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и нахо­дили в соотношениях его частей золотую пропорцию. Известен це­лый ряд пропорций. Так, приняв за ширину торцевого здания, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из вось­ми членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно j, между третьей и шестой - j2
,
между четвертой и пятой - j4
. Анало­гичные закономерности мы видим и в построении здания по высо­те. Объединив их, получим прогрессию: 1, j, j2
, j3
, j4
, j5
.

Здесь поучительно вспомнить о пропорциях человеческого те­ла, отмеченных ранее. Сравнивая, видим, что отношение торцевой длины здания к его высоте равно отношению человеческого роста к длине нижней части тела: 1/j. Высота крыши Парфенона относится к расстоянию между крышей и капителями колонн, как j4
: j5
,
т. е. так же, как отрезок ВС
относится к отрезку ЕС.

Эти совпадения не случайны. В своих архитектурных творени­ях древнегреческие мастера исходили из пропорций, которые виде­ли в природе, и прежде всего в пропорциях человеческого тела.

Чем же интересен этот символ с точки зрения математики?

Построим сначала правильный пятиугольник. Это легко сде­лать с помощью описанной окружности. Из её центра надо после­довательно отложить углы с вершиной в центре окружности, рав360/5=720
, стороны углов пересекут окружность в точках А, В,С,
D
, Е.
Соединив их последовательно, получим правильный пяти­угольник. А теперь проведем в этом пятиугольнике все диагона­ли. Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т. е. зна­менитую пентаграмму (рис. 2).

рис.2

Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в кото

ром пересечение диагона­лей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении её сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возмож­ность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечно­сти.

Пентаграмма представляет собой вместилище «золотых пропорций».

При п
= 5 имеем 180°× 3 : 5 = 108°.

В пятиугольнике ABCDE
,
Ð1 = 108°:3 = 36°. Теперь рассмотрим пентаграмму на рис. 3. Соединим в ней точки К и
F
.
Выше уже отмечалось, что пятиугольник KLFPM
- правиль­ный, т. е. угол KLF
= 108°. Тогда Ðl = Ð2 = 36°. Но угол Е тоже равен 36°. Из того что Ð1 = ÐE
,
следует, что ЕС
параллельна KF
,
а тогда ΔВЕР подобен
∆
BKF
,

ЕВ
: KB
= РВ
: FB
.
(1)

Обозначим ЕВ = а
и KB
= х,
перепишем пропорцию (1) иначе:

а
: х
= х:(а
- х),
или х2
+ ах
- а2

= 0. Мы получили то же самое уравнение, решением которого является х
=

Значит, KB
: ЕВ =
j
.

Таким образом доказано, что стороны пентаграммы пересекаясь, делят друг друга на отрезки, длины которых образуют «золотую пропорцию»

Рис.3

«Золотая пропорция» и связанные с нею отношения.

Применение «золотой пропорции» часто сводится к построению отрезка длиной Ф =
. Это число является обратным по отношению к числу j.
В самом деле:

Естественно поставить вопрос о том, как построить отрезок длиной Ф.

Построение:

а) отложим отрезок АВ = 1; из точки В восстановим перпенди­куляр к отрезку АВ и отложим на нем отрезок ВС = 1;

б) разделим отрезок АВ пополам точкой О,

ОС=

в) из точки О проведем окружность радиусом , пересекающую луч АВ в точке D, AD=j.

Ранее было доказано, что j2
= 1 - j.
Теперь докажем, что Ф2

=
1+j

Доказательство. С одной стороны,

=

С другой стороны, Ф+1= Ф2
=Ф + 1.

«Золотое сечение» и «золотая спираль» в живой природе

Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил - тяготения и инерции. «Золотая пропорция» - символ этого взаимодействия, поскольку диктуемое ею отношение большей части целого к самому целому выражает основные момен­ты живого роста: стремительный взлет легкого юного побега до зрелости и замедленный рост «по инерции» до момента цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь но­вому побегу.

Одним из первых проявления «золотого сечения» в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых ги­потез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571-1630). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.

Приведем один из сравнительно недавно установленных фак­тов. В 1850 г. немецкий ученый А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового откло­нения ветки растения равна примерно 138°.

Представим себе, что две соседние ветки растения исходят из одной точки (на самом деле это не так: в реальности ветви распо­лагаются выше или ниже друг от друга). Обозначим одну из них через ОА,
другую через ОВ.
Угол между лучами-ветками обозна­чим через a, а угол, дополняющий его до 360°, - через b.
Составим «золотую пропорцию» деления до полного угла, считая, что угол В
- большая часть этой величины:

360:
b
=
b
:(360-
b
).

Отсюда получаем уравнение b2
+ 360
b - 3602
= 0 и находим по­ложительный корень b=-180+=222,48.

Тогда a =
360° - 222, 48° = 137,52° 138°.

Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при «золотом сечении».

Рассмотрим теперь расположение семечек в корзинке подсол­нуха. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону закручено 13 спиралей, в другую - 21. В более крупных соцветиях подсол­нечника число соответствующих спиралей 21 и 34 или 34 и 55. По­хожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. В верхушках очень многих побегов можно различить такие же системы спиральных рядов.

Число рядов листьев или цветков, ориентированных противо­положно, отличается у разных растений, но чаще всего принимает следующие значения:

=0,5; =0,666…; =0,6; =0,625…, =0,615…, =0,619047…,

=0,617977…, =0,518055…

Начиная со второго члена этого ряда, в нем повторяется число j,
с каждым новым шагом выражаемое всё более точно: j = = 0,618033...

Логарифмическая спираль (рис. 6) единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров. Видимо, это свой ство

Рис.6

и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других. По логарифмической спирали свернуты раковины многих улиток и моллю­сков; та же спираль встречается в соцветиях растений; даже пауки, сплетая паутины, закру­чивают нити вокруг центра по логарифмиче­ской спирали.

Таким образом, человеческие представления о красивом формируются явно под влиянием того, какие воплощения порядка и гармонии человек видит в живой природе. А природа, как известно, любит повторения. В различных своих творениях, казалось бы, очень далёких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы.

«Золотое сечение» - один из этих основополагающих принци­пов природы.

Применение «золотого сечения»
в архитектуре городов

Педагогический университет города Волгограда

Фасадная часть здания пе­дагогического университета города Волгограда построена по принципу «золотого сечения» (рис. 8).

№ п/п	Параметры здания	Размеры, полу­ченные при по­мощи линейки, м	Размеры, полу­ченные после вычислений, м
1	Высота	0,19	17,4
2	Высота колонны	0,13	12
3	Расстояния между двумя колоннами	0,04	4,3
4	Расстояния между че­тырьмя колоннами	0,07	7,2
5	Расстояния между шестью колоннами	0,12	12
6	Расстояние от верхней части до колонны	0,053	. 5,3

Возьмем за 1 ширину торцевого фасада. Расстояние между пер­вой и шестой колоннами равно j, между второй и пятой - j2, меж­ду третьей и четвертой - jЗ.

Аналогичные закономерности мы видим и в построении зданий по высоте. Объединив их, мы получаем прогрессию: 1, j, j2, jЗ, j4.

Вывод: произведя ряд вычислений и преобразований, я вы­явила закономерность и определила, что фасадная часть здания пе­дагогического университета действительно построена по принципу «золотого сечения» (рис. 8).

Здание Новокузнецкого драматического театра

.(рис.9)

рис.8 рис.9

Заключение.

Я думаю, что данный реферат является мини-пособием для изучения «золотого сечения». Возможно, не все под­робно, но в реферате затронуты все опорно-полагающие аспекты. Также в реферате рассмотрено применение «золотого сечения» в искусстве с древнейших времен до наших дней. Секрет того могучего эмо­ционального воздействия, которое эти здания оказывают на зрите­ля, многие искусствоведы искали и находили в соотношениях «зо­лотой пропорции».

В реферате описано применение «золотого сечения» только на нескольких зданиях, но здания, при построении которых применяли «золотое сечение», встречаются во многих городах неод­нократно.

Литература

1. Большой энциклопедический словарь: математика. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1988.

2. Газета «Математика», приложение к учебно-методическому пособию «Первое сентября». - Волгоград: издательский дом «Первое сентября», 2005.

3. Квант: научно-популярная физико-математическая энциклопедия. -М.: Бюро «Квантум».

4. Математический энциклопедический словарь. - М.: Советская эн­циклопедия, 1988.

5. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1985.