Числа Фибоначчи и Золотое сечение

ГОУ Гимназия №1505

«Московская городская педагогическая гимназия-лаборатория»

Реферат

Числа Фибоначчи и Золотое сечение

автор
: ученик 9 класса «Б»

Азов Никита

Руководитель:
Шалимова М.Н.

Москва

2012

Содержание

Введение
………………………………………………….……………2

Глава 1

История Чисел Фибоначчи.………………………………..……..5

Глава 2

Числа Фибоначчи как возвратная прогрессия………...…...……………………………………..….....12

Глава 3

Числа Фибоначчи и Золотое сечение………………………

Заключение
…………………………………………………...…...16

Список литературы
………………………………………………………………….……..20

Введение.

Актуальность исследования. На мой взгляд в настоящие дни уделяется мало внимания математическим теоремам и фактам, известным из истории развития науки. На примере чисел Фибоначчи я хотел бы показать насколько они могут глобальны и широко применимы не только в математике, но и в повседневной жизни.

Целью моей работы является изучение истории, свойств, применения и связей чисел Фибоначчи с золотым сечением.

Глава 1. Числа Фибоначчи и их история.

Леонардо (1170-1250гг.) был рожден в Пизе. В последствии получил прозвище Фибоначчи, что означает «хорошо рожденный сын». Его отец торговал в арабских странах Северной Африки. Там Леонардо изучал математику с арабскими учителями, а также знакомился с достижениями индийских и древнегреческих ученых по трактатам в арабском переводе. Усвоив весь изучаемый им материал, он создал собственную книгу – «Книгу абака» (первое издание было написано в 1202 году, но до нас сохранилось только переиздание 1228 года). Таким образом, он стал первым средневековым выдающимся математиком, а также ознакомил Европу с арабскими цифрами и десятичной системой вычисления, которой мы пользуемся каждый день с ранних лет и до самой старости.

«Книгу абака» можно разделить на пять частей по содержанию. Первые пять глав книги посвящены арифметике целых числе на основе десятичной нумерации. В 6-7 главе описаны действия над обыкновенными дробями. В 8-10 главе описаны приемы решения задач с помощью пропорций. В 11 главе рассматриваются задачи на смешение, в 12 главе речь идет о так называемых числах Фибоначчи. Далее описаны еще некоторые приемы с числами и приведены задачи на разные темы.

Основная задача поясняющая возникновение ряда чисел Фибоначчи – задача о кроликах. Вопрос задачи звучит так: «Сколько пар кроликов в один год рождается от одной пары?». К задаче дано пояснение, что пара кроликов через месяц рождает еще одну пару, а по природе кролики начинают рожать потомство на второй месяц после своего рождения. Автор дает нам решение задачи. Получается, что в первый месяц первая пара родит еще одну. Во второй первая пара родит еще одну – будет три пары. В 3-ий месяц родят две пары – изначально данная и рожденная в первый месяц. Получается 5 пар. И так далее, используя такую же логику в рассуждении мы получим, что в четвертый месяц будет 8 пар, в пятый 13, в шестой 21, в седьмлй 34, в в восьмой 55, в девятый 89, в дестый 144, в одиннадцатый 233, в двенадцатый 377.

[1]

Мы можем обозначить кол-во кроликов в любой из двенадцати месяцев как un.
Мы получаем ряд чисел:

u1
, u2
,…,un
[2]
(1)

В ряде этих чисел каждый член равен сумме двух предыдущих. Получается, что любой член уравнения можно определить по уравнению:

un
=un
-1
+un
-2
[3]
(2)

Рассмотрим важный частный случай для этого уравнения, когда u1
и u2
=1. Мы получим последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… Эту же последовательность чисел мы получали в задачу про кроликов. Эти числа названы числами Фибоначчи в честь автора.

Эти числа а также уравнение (2) обладает многими свойствами, который будут рассматриваться в моей работе.

Глава 2. Связь между рядом Чисел Фибоначчи и прогрессиями. Основные свойства ряда.

Для того, чтобы вывести основные свойства ряда возьмем как пример первые пять чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8. Мы видим, что каждое новое число равно сумме двух предыдущих. Отсюда мы можем вывести формулу получения любого числа ряда, а также формулу суммы любого кол-ва чисел из ряда.

Fn
=Fn
-1
+Fn
-2
[4]
F1
+F2
…+Fn
=Fn
+2
-1[5]

Мы видим, что формулы кардинально отличаются от формул свойственных арифметической и геометрической прогрессий. А также мы можем сказать что только первые два числа из ряда могут относится к каким либо прогрессиям.

У арифметической и геометрических прогрессий имеются только две ранее упомянутые формулы, и чтобы посчитать например сумму четных, нечетных или сумму квадратов чисел каждый раз приходится решать задачу для отдельно взятого ряда. Но так как ряд чисел Фибоначчи является неизменным (не имеет шагов, знаменателей и различных первых членов прогрессии), то это значит, что для него можно вывести формулу получения сумм отдельных элементов ряда. Вот например формула для получения суммы чисел ряда под четными номерами:

F2
+F4
+…+F2
n
=F2
n
+1
-1[6]

Существует аналогичная формула для чисел из ряда под нечетными номерами:

F1
+F3
…+F2
n
-1
=F2
n
[7]

Также есть формула для получения суммы чисел из ряда возведенных в квадрат:

F2
n
+F2
n
+1
=F2
n
+1
[8]
F2
1
+F2
2
+F2
3
+…+F2
n
=Fn
Fn
+1
[9]

У чисел Фибоначчи есть еще одно уникальное свойство, которое нехарактерно для для арифметической и геометрической прогрессий. Отношение ряда чисел (предыдущего к последующему) постоянно стремится к значению 0.618, аналогичная ситуация происходит при делении Fn
на Fn
+2
(отношение стремится к 0.382), при делении Fn
на Fn
+3
(отношение стремится к 0.236) и так далее. В итоге мы получили набор отношений. Набор их значений и значений обратных им называются фибоначчиевы коэффициенты. А значение обратное 0.618 – 1.618, является числом («фи»). Он также является одним из пары корней характерического для ряда многочлена x2
-x-1.