Министерство образования и науки Российской Федерации
Управление образования и науки Кудымкарского муниципального района
МОУ «Кувинская средняя общеобразовательная школа»
Конкурс учебной – исследовательских работ учащихся
Секция математика
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ
Работу выполнила
ученица 8-ого класса
Трошева Наталья.
Руководитель:
Копытова Н.Г.,
учитель математики
2009г.
Содержание
Введение………………………………………………………………………3-5
Из истории…………..……………………………………………………..…6-8
Признаки делимости чисел:
1. Признаки делимости на 2…………………………………..…………...9
2. Признаки делимости на 3…………………………………………….…9
3. Признаки делимости на 4……………………………………………….9
4. Признаки делимости на 5……………………………………………….9
5. Признаки делимости на 6………………………………………...….9-10
6. Признаки делимости на 7……………………………………………...10
7. Признаки делимости на 8……………………………………………...10
8. Признаки делимости на 9……………………………………………...10
9. Признаки делимости на 10…………………………………………10-11
10. Признаки делимости на 11……………………………………………11
11. Признаки делимости на 12……………………………………………11
12. Признаки делимости на 13……………………………………...…….12
13. Признаки делимости на 14……………………………………………12
14. Признаки делимости на 15…………………………………………....12
15. Признаки делимости на 19………………………………………...12-13
16. Признаки делимости на 25………………………………………...….13
17. Признаки делимости на 50…………………………………………….13
Заключение…………………………………………………………………….14
Библиографический список………………………………………………15-16
Приложения………………………………………………………………..16-18
Введение
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.
Д. Пойа
В арифметике много разделов и один из них - делимость чисел.
При изучении на уроках математики темы « Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9,10» возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа. Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.
Старинная восточная притча:
Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
- О, мудрец!- сказал старший брат. - Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
- Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.
Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5.Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
- О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.
- Это не лишний, - сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.
Объект исследования
– изучение всевозможных признаков делимости.
Предмет исследования
– нахождение признаков делимости.
Цель исследования
– найти и систематизировать признаки делимости, позволяющие решить задачи, не прибегая к громоздким решениям и выводам.
Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
1) Самостоятельно исследовать делимость чисел.
2) Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.
3) Объединить и обобщить признаки из разных источников.
4) Сделать вывод.
Гипотеза:
исследованные признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.
Методы исследования:
анализ, синтез, сравнение.
Работа имеет практическое применение
. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.
Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.
Из истории математики о делимости чисел
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль. БЛЕЗ
ПАСКАЛЬ
(Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции. Вместе с Галилеем и Стевином Паскаль разработал основные положения классической гидростатики и установил ее основной закон – «Закон Паскаля». Умер Паскаль в Париже в 1662 году.
Признак делимости Паскаля.
Натуральное число а разделится на другое натуральное число
b
только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число
b
, делится на это число.
Например: число 2814 делится на 7, так как делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).
Делители и кратные
.
Делителем натурального числа а
называют натуральное число, на которое а
делится без остатка.
Простые и составные числа.
Простыми
называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.
Например, число 17 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.
Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя, называются составными.
Например, число 121 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 11; 121. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.
Делимость чисел обладает свойствами
:
1. Если а
и р
- натуральные числа, причем р
-простое,
то либо а делится на р, либо а и р взаимно просты.
Например
15и
11.
15и5.
2.Если М- общее кратное а и
b
, а т - их наименьшее общее кратное, то М делится на т
.
Например, 3 и 5. Их кратное 90, наименьшее общее кратное 15, тогда 90 делится на 15.
3. Рефлексивность
: если а делится на
b
, то и
b
делится на а.
Это свойство очевидно, как и то , что любое равенство можно читать как справа налево, так и слева направо
4. Транзитивность:
если а делится на
b
и
b
делится на
с, то и а делится на
с.
Разъясним транзитивность нам конкретном примере: 36:12, 12:4, тогда и 36:4Кроме того, нетрудно заметить, что делимость чисел практически никак не связана с их величиной: существуют маленькие числа, которые делятся на сравнительно большое количество чисел. Например, 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12. И число 43 имеет только два делителя: 1, 43.
Признаки делимости на 2
Необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра была четной.
Например:
В числе 29654 последняя цифра 4 – она четная, значит, число делится на 2.
Признаки делимости на 3
Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы
сумма его цифр делилась на 3.
Например:
513 – 5+1+3=9, значит, число делится на 3.
Признаки делимости на 4
Чтобы число делилось на 4 надо
проверить делится ли на 4 число из двух последних цифр. Например:
1836 – 36:4, значит, 1836 делится на 4 без остатка.
Кроме этого на 4 делятся числа, запись которых оканчивается двумя нулями.
Например: 5500
Признаки делимости на 5
Число делится на 5 в том, и только в том случае если оно оканчивается на
5 или на 0.
245 делится на пять.
Признаки делимости на 6
Чтобы проверить делимость числа на 6, надо:
1) Число сотен умножить на 2,
2) Полученный результат вычесть из числа стоящего после числа сотен.
Если полученный результат делится на 6, то и все число делится на 6. Например:
138 – число сотен 1*2=2, 38-2=36, 36:6, значит, 138 делится на 6.
Признаки делимости на 7
Чтобы узнать делится ли число на 7, надо:
1. Число, стоящее до десятков умножить на два,
2. К результату прибавить оставшееся число.
3. Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет. Например:
4690 - 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.
Признаки делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число из трех последних цифр
делится на 8.
Например:
6709112 – 112 делится на 8, значит, 6709112 кратно 8.
Признаки делимости на 9
Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно,
чтобы сумма его цифр делилась на 9.
Например:
598455 – 5+9+8+4+5+5=36:9=4
Признаки делимости на 10
Число делится на 10 в том, и только в
том случае, если число оканчивается на 0.
Например:
33312890
– делится на 10.
Признаки делимости на 11
Число делится на 11, если разность
суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.
Испытаем число 100397.
Нумерация идет слева направо.
1+0+9=10
0+3+7=10
10-10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.
Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:
Испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Например, испытаем число 15235.
Разбиваем на группы
и складываем их:
1+52+35=88.
88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.
Признаки делимости на 12
Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например: 12653400 - делится на 3 и 4, а значит и на 12.
Признаки делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.
Например:
858 делится на 13, так как делится на 13.
Признаки делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Пример:
Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.
Признаки делимости на 15
Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.
Например:
1146795
– 1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.
Признаки делимости на 19
Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.
1 0 2 6
1 2
1 1 4
8
1 9
Числа кратные 19 всегда делятся на 19.
19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228..
Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.
В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.
Признаки делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.Пример:
Число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.
Признаки делимости на 50
Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце записи числа две последние цифры делились бы на 25 и представляли бы четное число. А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100- трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.
Например:
6957200
, 67906850
.
Заключение
В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняла, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.
Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.
Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов. Учителям - с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, интеллектуальным конкурсам «Марафон знаний», региональному конкурсу «Кенгуру».
В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел
Для решения этих проблем ставлю следующие задачи:
· более глубокое изучение литературы по теме «признаки делимости чисел
· подбор задач, решаемых с помощью признаков делимости.
Я изложила эту работу доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно, мог взять мой реферат и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости чисел.
Библиографический список
· И. Я. Депман «История арифметики» Москва 1965 Издательство «Просвещение»
· Г. И. Глейзер «История математики в школе 7 – 8 классы» Москва 1982 «Просвещение»
· «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва 2004 «Мир книги»
· «Математика» Москва 1999 «Первое сентября»
· «Математика» Москва 2000 «Первое сентября»
· «Математика» Москва 2002 «Первое сентября»
· «Избранные вопросы математики. 9 кл. Факультативный курс». – М.: Просвещение, 1979.
· «Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра»/ Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом – 5-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1977.
· «Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов»/ К. П. Сикорский – издание 2-е, исправленное и дополнительное – М.: «Просвещение», 1974.
· Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989.- 352 с.
· Я.И. Перельман. Занимательная Алгебра, - М.: Триада-Литера, 1994.-199с.
· Воробьев КН., Признаки делимости, издательство «Наука», 1974.
· Кордемский Б. А., Математическая смекалка, Ленинград, издательство технико-теоретической литературы, 1956.
· Перельман Я.И., Занимательная алгебра, Москва, издательство «Наука», 1988.
· 1.И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин « За страницами учебника математики» М. Просвещение. 1989 г. стр.97.
· 2. М. Б. Гельфанд, В.С. Павлович «Внеклассная работа по математике в 8-летней школе» М. Просвещение. 1965 г. стр.37.
· Журнал «Математика в школе» №5 за 1999 г. стр.40.
· Математика – это интересно! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006 год. Пельман Я. И.
· Внеклассная работа по математике 5-11 классы М.: Айрис – пресс 2007 год Фарков А. В.
· Оригинальные головоломки с числами. М.: Эксмо, 2007. Кен Рассел, Филипп Картер.
· Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.
Приложения
Задача № 1.
Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?
Задача № 2.
Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:
А) число которое делиться на 10;
Б) четное число;
В) число, кратное 5;
Г) нечетное число.
Задача № 3
Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей.
Первый посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий - каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.
Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер? (Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7).
Ответ: 1 раз в 420 дней.
Задача № 4
Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11.
Напишите наибольшее из таких чисел.
Напишите наименьшее из таких чисел.
(Нужно знать признак делимости на 11).
Ответ: 987652413
102347586
Задача № 5
Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.
Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527.
Задача № 6
Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.
Ответ: 8910.
Задача № 7
Какой цифрой оканчивается десятичная запись числа 333³³³?
Ответ: цифрой 3.
Задача № 8.
Катя утверждает, что она придумала признак делимости на 81: «Если сумма цифр числа делится на 81, то и само это число делится на 81.» Верно ли Катино утверждение? Если да, то докажите его. Если нет, приведите пример опровергающий пример Кати.
Ответ: опровергающий пример 9999999918.
Задача № 9.
Числа Р; Р² + 4; Р² + 6 простые. Найдите Р.
Ответ: Р=5.
Название реферата: Секция математика признаки делимости чисел
| Слов: | 2942 |
| Символов: | 23576 |
| Размер: | 46.05 Кб. |
Вам также могут понравиться эти работы:
- Гендерные стереотипы и предрассудки
- Ценности иудейского наследия
- Задачи: выяснить, что включает в себя понятие «криптология»; узнать, какие известны способы шифрования; изучить сферы использования шифров
- «Геометрическая прогрессия»
- по дисциплине: «Математика» на тему: «Задачи на клетчатой бумаге»
- Курс – семестровый, 2 семестр
- 1 Понятие конституционно-правового статуса