Министерство образования и науки РФ
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа
с. Песочнодубровка Кожевниковского района
Томской области.
РЕФЕРАТ
по теме: Математические фокусы
Выполнила:
ученица 11 класса
Павлова Влада
Руководитель:
Гуленкина В. В.
учитель математики
2009г
Оглавление:
Введение
1-Магические таблицы для угадывания чисел…………………………………….3
1.1
Волшебные таблицы; 1.2
Волшебный веер; 1.3
Угадывание чисел на шестиугольниках………………………………………………………………...5
2-Фокусы с настенным календарем………………………………………………...9
2.1
Фокус-предсказание; 2.2
Фокус с нахождением суммы; 2.3
Вычисления вслепую.
3- Фокусы с прикосновениями…………………………………………………….12
3.1
Волшебная карта цветов; 3.2
Задумайте животное.
4- Фокусы на нахождение числа…………………………………………………..13
4.1
Число – загадка; 4.2
Фокус с запиской.
5- Фокусы с мелкими предметами (домино, игральные кости и монеты)……...15
5.1
Фокус с домино; 5.2
Фокусы с игральными костями; 5.3
Фокус с монетами.
6- Фокус с предопределенным выбором………………………………………….19
6.1
Фокус Дэвида Копперфильда.
7- Фокусы с уравнениями………………………………………………………….21
8- Числовые фокусы…………………………………………………………….23
8.1
. «Сколько братьев и сестер…» 8.2
Фокус с четным числом;
8.3
Фокус с книгой;
Заключение………………………………………………………………………..28
Приложение 1. Таблица для угадывания чисел от 1 до 63………………………30
Введение
Тема моего реферата выбрана не случайно. Летом я получила письмо следующего содержания: «Жизнь как арифметические действия! Каждый день мы сталкиваемся с теми или иными действиями. А я предлагаю тебе совершить магический обряд над датой твоего рождения. Этот ритуал позволит улучшить свою жизнь. Вы должны написать на листке число месяца вашего рождения и сделать следующее: это число удвоить; полученное число умножить на 10; к итогу прибавить 73, и сумму умножить на 5, а к итогу прибавить порядковый номер месяца рождения. Записать конечный результат на лист и, сложив его пополам, подержать его в руке. По этому числу я смогу сказать кое-что о тебе. После перепиши это послание и отдать пяти знакомым, а полученное число, записанное отдельно и сохрани, а если же захочешь узнать секрет моего дара и приобрести его принеси мне свое число я не оставлю тебя без дара. Вы можете не верить в это, но это действительно действует. Не оставляйте письмо не переписанным, а то случится несчастье».
Я решил не нести это число, а самой попробовать разобраться в этом «даре». Для этого перевела команды на язык математики и увидела, что это было ни что иное как простой математический фокус, секрет которого я раскрою в своем реферате. После этого случая я и решила больше узнать о математических фокусах.
Цель моего реферата доказать, что математические фокусы - это ни что иное как решение математических задач, завуалированные в особую форму.
Задачи, которые я ставила перед собой:
I. Сбор материала по теме реферата и его обработка;
II. Обобщение материала;
III. Оформление полученного мною материала;
IV. Подготовка презентации;
V. Презентация реферата на уроках и школьном математическом вечере;
Моя работа состоит из семи параграфов. Мной были изучены и обработаны материалы литературные источники, среди которых учебная, справочная, научно-популярная литература и интернет-сайт. Оформлено приложение, в котором содержатся таблицы, рисунки, карточки, а также подготовлена презентация, сделанная редакторе Power Poınt.
Математические фокусы не пользуются особым вниманием ни у математиков, ни у фокусников. Математикам они сложны, рассматривать их как забаву, фокусники пренебрегают ими как слишком скучным делом. И все-таки математические фокусы имеют свою особую прелесть.
Математические фокусы - очень своеобразная форма демонстраций математических закономерностей. В математических фокусах изящество математики соединяется с занимательностью.
Математические фокусы – это эксперименты, основанные на математике, на свойствах фигур и чисел, и лишь обличенные в экстравагантную форму. И понять суть того или иного эксперимента – это значит понять пусть небольшую, но математическую закономерность.
Каждый из нас, несомненно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего характера: задумайте число, прибавьте 2, умножьте на 3, отнимите 5, отнимите задуманное число и т. д. всего пяток, а то и десяток каких – либо действий. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число.
Удивительной для непосвященных кажется, способность человека отгадывать задуманные другими числа. Но если вы узнаете секрет математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать свои новые фокусы. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения, где выполнены действия, получаем секрет отгадывания чисел.
В своей работе покажем секреты отгадывания чисел, классифицируя их по параграфам:
1-Магические таблицы для угадывания чисел;
2-Фокусы с настенным календарем;
3- Фокусы с прикосновениями;
4- Фокусы на нахождение числа;
5- Фокусы с мелкими предметами (домино и игральные кости);
6- Фокус с предопределенным выбором;
7- Фокусы с уравнениями;
1. Магические таблицы для угадывания чисел.
Название этого параграфа, в какой – то степени шутка, но оно объясняется тем, что здесь собраны элементы магии чисел и фигур, которые можно использовать на практике. Речь идет не об изготовлении талисманов с магическими квадратами, хотя в наше время целителей и экстрасенсов, может быть и пошло бы на ура. Просто, описанные здесь предметы, можно изготовить и с их помощью показать фокус, выступить на школьном вечере или на встрече друзей, повеселить или удивить своих знакомых. Начнем с числовых таблиц, с помощью которых можно продемонстрировать друзьям свои удивительные математические способности.
Волшебная таблица.
В этой таблице написаны известным образом все числа от 1 до 31. Таблица эта отличается следующим «волшебным свойством»
Задумайте, какое угодно число, не больше 31, и укажите, в каких столбцах этой таблицы находится задуманное вами число, и я тотчас же «угадаю» это число.
Магическая таблица для угадывания чисел:
| 1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
| 16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
| 17 |
9 |
5 |
3 |
3 |
| 18 |
10 |
6 |
6 |
5 |
| 19 |
11 |
7 |
7 |
7 |
| 20 |
12 |
12 |
10 |
9 |
| 21 |
13 |
13 |
11 |
11 |
| 22 |
14 |
14 |
14 |
13 |
| 23 |
15 |
15 |
15 |
15 |
| 24 |
24 |
20 |
18 |
17 |
| 25 |
25 |
21 |
19 |
19 |
| 26 |
26 |
22 |
22 |
21 |
| 27 |
27 |
23 |
23 |
23 |
| 28 |
28 |
28 |
26 |
25 |
| 29 |
29 |
29 |
27 |
27 |
| 30 |
30 |
30 |
30 |
29 |
| 31 |
31 |
31 |
31 |
31 |
Для отгадывания нам нужно хорошо знать степени числа 2.
20
=1, 21
=2, 22
=4, 23
=8, 24
=16
Первому столбцу соответствует 24
=16, второму 23
=8, третьему 22
=4, четвертому 21
=2 и пятому 20
=1. Всего лишь на вс
его нужно в уме сложить числа, соответствующие названным столбцам.
Секрет основан на кодировании чисел в двоичной системе счисления. Каждое из чисел от 1 до 31 переведено в двоичную запись и расставлено в таблице в соответствии с этим кодом.
Например, в какие столбцы нужно записать число 27? Для этого переведем число 27 в двоичную систему:
Значит 27 надо записать в 1, 2, 4 и 5 столбцах
.
Вместо данной таблицы можно взять «волшебный веер». С его помощью тоже можно отгадать любое задуманное число от 1 до 31. Фокусник просит указать, на каких лепестках веера написано задуманное число. (Слайд 3).
Основываясь на том же принципе можно составить таблицу крупнее, из чисел от 1 до 63. В этом случае в ней будет шесть столбцов, первому будет соответствовать значение 25
=32, второму 24
=16 и т. д. Эти числа как раз стоят в первой строчке таблицы. Нам остается только хорошо их запомнить, чтоб потом на таблицу не смотреть. Рассмотрим несколько примеров записи чисел в таблицу от 1 до 63. К примеру, возьмем числа 33 и 37:
33=(100001)2
Значит, число 33 нужно поставить в 1 и в 6 столбцах
.
37= (100101)2
Из этого следует, что число 37 нужно записать в 1, 4 и 6 столбцах.
Таким образом, можно разместить по нужным столбцам все числа от 1 до 63 и получим таблицу для отгадывания задуманных чисел от 1 до 63.
Таблица для отгадывания чисел от 1 до 63. (Приложение 1).
Угадывание чисел на шестиугольнике.
Этот фокус тоже относится к разделу угадывания чисел по таблице в данном случае в шестиугольнике. Для этого необходимо задумать любое число, стоящее в лучах пятиконечной звезды и сказать в каком луче оно находится. Затем на другом шестиугольнике с окружностями сказать, в каком ряду находится задуманное число. По этим данным можно безошибочно сказать, какое число вы задумали. (Слайд 4, 5).
Секрет заключается в следующем. Все числа, которые на одном рисунке расположены в первом луче звезды, на другом расположены на первой окружности от центра.
Соответственно числа второго луча - на второй окружности от центра и т. д. Следовательно, цифра, названная вам первой, указывает номер окружности от центра, а вторая цифра – номер ряда на первом рисунке. Это позволяет сразу же назвать задуманное число. Например, задумали число и сказали, что оно находится на шестом луче. Это же число на другом рисунке оказалось в четвертом ряду. Значит, вам нужно назвать число из четвертого ряда, стоящее на шестой окружности от центра – это число 6.
2. Фокусы с настенным календарем.
Фокус – предсказание.
Предупредив зрителей, что вы обладаете даром прорицания и умеете проводить в уме быстрое сложение нескольких чисел, попросите кого-то обвести на настенном календаре в любом месте любой квадрат из 16 чисел. Бегло посмотрев на обведенную фигуру, вы записываете на листке предсказание, кладете его в конверт и отдаете на хранение зрителю. Затем просите зрителя выбрать любое число в этом квадрате, обвести его кружком и вычеркнуть все числа, находящиеся в той же строчке и в том же столбике, что и обведенное число. В качестве второго числа зритель может обвести кружком любое число, оставшееся не зачеркнутым. После этого он должен вычеркнуть все числа, стоящие в одной строчке и в одном столбике со вторым обведенным числом. Так же выбирается третье число, а соответствующие столбик и строчка вычеркиваются. В результате этих операций останется не зачеркнутым одно единственное число. Его тоже нужно обвести кружком и подсчитать сумму четырех чисел, выбранных абсолютно случайным
образом.
| ПН |
7 |
14 |
21 |
28 |
|
| ВТ |
1 |
8 |
15 |
22 |
29 |
| СР |
Х |
Х |
16 |
Х |
30 |
| ЧТ |
3
|
Х |
Х |
Х |
31 |
| ПТ |
Х |
Х |
Х |
25 |
|
| СБ |
Х |
12 |
Х |
Х |
|
| ВС |
6 |
13 |
20 |
27 |
В финале эффектно предлагаете достать из конверта листок и убедиться, что на нем заранее была написана именно эта сумма.
Чтобы это сделать, нужно было сложить два числа, находящихся на двух диагонально противоположных углах квадрата (безразлично какая пара из двух возможных берется) и удвоить найденную сумму.
Сумма чисел, выбранных по одному из каждой строки и каждого столбца квадрата, равно сумме чисел на диагонали. Эта последняя есть сумма четырех членов арифметической прогрессии с разностью 8 и равна, в силу известной формулы, удвоенной суммы первого и последнего членов.
Например, рисунок приведенный выше. После вычеркивания и обведения трех чисел осталось число 12. Найдем сумму: 3+18+23+12=56. Также, если мы (5+23)*2=56
Фокус с нахождением суммы.
В этом фокусе фокусник очень быстро может отгадать сумму чисел, входящих в обведенный квадрат на календаре. Для этого снова просите зрителя обвести на настенном календаре в любом месяце квадрат, содержащий 16 чисел.
Взглянув на него ровно секунду, отворачиваетесь и через мгновение, необходимое для умножения суммы двух чисел, стоящих на противоположных концах любой диагонали, обведенного квадрата, на восемь.
| ПН |
7 |
14 |
21 |
28 |
|
| ВТ |
1 |
8 |
15 |
22 |
29 |
| СР |
2 |
9 |
16 |
23 |
30 |
| ЧТ |
3 |
10 |
17 |
24 |
31 |
| ПТ |
4 |
11 |
18 |
25 |
|
| СБ |
5 |
12 |
19 |
26 |
|
| ВС |
6 |
13 |
20 |
27 |
Например, из выделенного квадрата сложим 1 и 25 и умножим сумму на 8. (1+25)*8=208. Значит, сложив числа 1+2+3+4+8+9+10+11+15+16+17+18+22+23+24+25=208.
Вычисления вслепую.
Каждый следующий номер должен быть менее трудоемок для зрителей, чтобы не переутомить их и, вместе с тем, более эффектен. На этот раз вообще не смотрим на календарь и стоим, повернувшись спиной к зрителям, а один из них по нашему распоряжению выбирает на настенном календаре любой месяц и обводит на нем какой–нибудь квадрат, содержащий 9 чисел. Мы же просим самую малость : назвать наименьшее из чисел, попавших в этот квадрат, чтобы через пару мгновений назвать сумму этих девяти чисел. Объяснение наших действий. Нужно прибавить к названному числу 8 и результат умножить на 9.
Если – m
наименьшее число в указанном квадрате, то весь квадрат имеет вид
| m |
m+7 |
m+14 |
| m+1 |
m+8 |
m+15 |
| m+2 |
m+9 |
m+16 |
И сумма всех чисел квадрата равна 9m+72=9(m+8).
| ПН |
7 |
14 |
21 |
28 |
|
| ВТ |
1 |
8 |
15 |
22 |
29 |
| СР |
2 |
9 |
16 |
23 |
30 |
| ЧТ |
3 |
10 |
17 |
24 |
31 |
| ПТ |
4 |
11 |
18 |
25 |
|
| СБ |
5 |
12 |
19 |
26 |
|
| ВС |
6 |
13 |
20 |
27 |
Вычисления для данного примера: (8+8)·9=144 и гораздо длиннее 8+15+22+9+16+23+10+17+24=144
3. Фокусы с прикосновениями.
Волшебная карта цветов.
Зритель задумывает цветок (Слайд 6), и фокусник начинает перебирать карандашом цветы. При каждом прикосновении зритель называет про себя одну букву из названия выбранного цветка и произносит вслух: «стоп» когда его слово будет исчерпано. Указка и будет остановлена около задуманного цветка. Первое прикосновение делается около фиалки, далее обходятся цветы против часовой стрелки через один
..
Задумайте животное.
Зритель задумывает какое-нибудь животное (Слайд 7) и произносит про себя название его по буквам, в то время как показывающий дотрагивается до рисунка. .
Начав с жеребенка, он переходит затем вверх по линии к гиппопотаму и так продолжает обход всех животных, двигаясь в направлениях, указываемых линиями, пока зритель не дойдет до последней буквы своего слова и не скажет «стоп».
4. Фокусы на нахождение задуманного числа.
Число-загадка.
Попросите зрителя написать любое трехзначное число, но только такое, чтобы крайние цифры отличались друг от друга на число, которое укажет фокусник. Пусть затем он поменяет местами в этом числе крайние цифры. Получится еще одно число. Далее предложите зрителю вычесть меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и фокусник может всегда сказать наперед, каким будет частное от деления этой разности на 9.
Частное же равняется указанной фокусником разности между крайними цифрами числа, умноженной на 11. Например, если сначала взять число 845, то 845-548=279; 279/9=33=11·(8-5).
Чтобы доказать это правило, заметим, что каждое трехзначное число можно представить в виде 100
a
+10
b
+с, тогда число с переставленными цифрами будет равно 100
c
+10
b
+
a
.
Вычитая второе из первого и деля его на 9, имеем:
100a+10b+
с
-(100c+10b+a)/9=99(a-c)/9=11(a-c)
Фокус с запиской.
Напишите на бумажке число 1089, вложите бумажку в конверт и запечатайте его. Затем предложите кому-нибудь написать на этом конверте любое трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались друг от друга более чем на единицу. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он опять переставит крайние числа, и получившееся число прибавит к разности первых двух. Когда он получит сумму, предложите ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое, к удивлению, и есть полученное им число.
Секрет этого фокуса заключается в том, что разность между любым трехзначным числом, полученным из него перестановкой крайних цифр, всегда делится на 99. (см. предыдущий фокус). Так как крайние цифры отличаются более чем на единицу, то эта разность обязательно будет трехзначным числом, обозначим ее 100
k
+10
l
+
m
.
Имеем: 100
k
+10
l
+
m
=99
k
+(10
l
+
m
+
k
).
Так как разность делится на 99, то это равенство показывает, что обязательно: 10
l
+
m
+
k
=99, откуда вытекает, что
l
=9,
m
+
k
=9. Число с переставленными крайними цифрами имеет вид 100
k
+10
l
+
k
, и сумма равняется: 100
k+10l+m+100m+10l+k=100(k+m)+20l+(m+k)=100·9+20·9+9=1089
.
5. Фокусы с мелкими предметами (игральной костью и домино).
Пожалуй, почти каждый мелкий предмет, так или иначе связанный с числами или счетом, использовался для показа фокусов математического характера или для математических головоломок и задач. В этой главе мы рассмотрим математические фокусы с игральной костью и домино.
Фокус с домино.
Фокусник предлагает желающему задумать какую-либо косточку, после чего говорит: «Умножьте число очков одной половины на 2, к произведению прибавьте 7 и сумму умножьте на 5; теперь прибавьте к результату число очков другой половины косточки и скажите, что у вас получилось». Фокусник же скажет, какое число вы задумали..
Так как же фокусник определил, какое число вы задумали? Для этого надо от сказанного задумавшим результата отнять 35, тогда цифры полученного двузначного числа будут указывать на соответствующие числа очков задуманной косточки домино.
Действительно, если
a
и
b
– числа очков задуманной косточки домино, то мы последовательно производим над ними следующие действия.
2а;
2а+7;
10а+35;
10а+35+
b.
Отнимая от окончательного результата 35, получим двузначное число 10а+
b
, цифрами которого будут а и
b
, т.е. число очков на косточке домино.
Само собой разумеется, что мы можем предложить к произведению прибавить не 7, а любое другое число, которое мы обозначим через
m
, тогда от окончательного результата надо будет отнять уже не 35, а 5
m
. Этот же прием можно применить к угадыванию двузначных чисел.
Фокусы с игральными костями.
Атрибутом нескольких числовых фокусов служат игральные кости. Для демонстрации можно изготовить их в увеличенном масштабе, чтобы за процессом могли наблюдать зрители. Игральная кость имеет форму кубика, на гранях которого нанесены точки, количество которых соответствует числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем соблюдается «принцип семерки»: числа на противоположных гранях в сумме дают семь (1-6 2-5 3-4). Ориентация первых трех чисел показана на рисунке, остальные по «принципу семерки». Такая игральная кость соответствует существующему стандарту.
Угадывание суммы выпавших очков.
Фокусник поворачивается спиной к зрителям и просит одного из зрителей бросить на стол три игральные кости. Затем предлагаете сложить три выпавших числа, взять любую из трех костей и прибавить число на нижней ее грани к только что полученной сумме. Потом снова бросить эту же кость и выпавшее число, опять прибавить к сумме. Поворачиваясь к зрителям, фокусник акцентирует их внимание на том, что ему не может быть известно, какую из трех костей бросали заново, и какое число стояло у нее на нижней грани перед этим. Затем фокусник собирает кости, встряхивает их в руке, подносит к уху, и тут же правильно называет конечную сумму..
Объяснение фокуса. Прежде чем собрать кости, нужно быстро сложить числа на верхних гранях и добавив к сумме семерку, получите конечную сумму.
Отгадывание выпавшего числа очков на 2 костях.
Фокусник не глядя на стол, на котором лежат игральные кости, просит зрителя бросить две игральных кости и запомнить выпавшие числа. Затем зрителю предлагается:
- Выбрать одно из этих двух чисел и умножить его на 5;
- К произведению прибавить 7;
- Затем удвоить полученную сумму;
- И, наконец, прибавить к ответу второе число.
Узнав полученное таким образом число, вы сообщаете, какие числа выпали на каждой из двух костей.
Для этого, мысленно вычитаете из названного числа 14 и получаете двузначное число, две цифры которого равны двум исходным числам. В самом деле, допустим, выпали числа а и
b
. Нам важно, что каждое из них меньше 10. В результате проделанных операций получаем: 5а, 5а+7, 10а+14, 10а+
b
+14.
Таким образом, если из окончательного ответа вычесть 14, то останется двузначное число, цифры в котором соответствуют исходным числам.
Отгадывание выпавшего числа очков на 3 костях.
На этот раз вызовите зрителя посмышленнее, так как вычислений придется сделать больше. Зритель бросает три кости, фокусник демонстративно на стол не смотрит. Затем просите зрителя:
- число, выпавшее на одной из костей, умножить на два;
- к полученному произведению прибавить пять;
- и результат снова умножить на пять;
- число, выпавшее на второй кости прибавить к предыдущей сумме и результат умножить на десять;
- наконец, к последнему числу прибавить значение, выпавшее на третьей кости.
Зритель сообщает полученный результат, и вы немедленно можете назвать три выпавших числа.
Объяснение фокуса. От названного результата вычислений
нужно отнять 250. Три цифры полученной разности и будут искомыми числами, выпавшими на костях. Математические вычисления следуют тем же, что и в предыдущем фокусе.
Фокус с монетами.
У вашего приятеля в одной руке зажат гривенник, а в другой — копейка (или в одной руке монета десять рублей, а в другой — один рубль). Несколько волшебных действий по рецептам числовой магии — и вы способны определить, в какой руке какая из монет находится!
Попросите приятеля взять в одну руку гривенник, а в другую — копейку. Предложите ему умножить стоимость монеты в левой руке на 2, 4, б или 8, затем умножить стоимость монеты в право
Левая Правая Левая Правая
рука рука рука рука
рука рука
49к. – нечетное 78к. – четное
Значит, копейка – Значит, копейка –
в ПРАВОЙ руке. В ЛЕВОЙ руке.
6. Фокус с предопределенным выбором.
Математический фокус Дэвида Копперфильда.
Фокусы знаменитого иллюзиониста Дэвида Копперфильда восхищают и поражают зрителей не только сложностью и оригинальностью, но прежде всего грандиозностью замысла и мастерством воплощения, использованием сложнейших оптических эффектов, специальных устройств и приспособлений.
Примечательно, что Дэвид Копперфильд включил в свои программы также серию математических фокусов, которые редко показывают на эстраде из-за того, что они не очень зрелищны. Тем не менее, ему удалось найти эффективную подачу одного такого фокуса. Фокусник не только приглашает всех зрителей поучаствовать в нем, но делает активным участником представления каждого телезрителя.
Происходит это следующим образом: фокусник размещает на экране 15 предметов, например кружков, и выкладывает их в виде шестерки: в колечке-12, а в хвостике-3. У Копперфильда кружки заменены одной звездочкой и двумя стрелками (в хвостике) и кружками (в колечке), изображающим среди прочего самые известные в мире достопримечательности: Эйфелеву башню, Египетские пирамиды, Статую Свободы и т. д. Зрителям предлагают задумать любое число больше 3 (предположим 7) и отсчитать его сверху вниз, начиная с первой звездочки, по хвостику и далее по колечку против часовой стрелки (рис. 1). Затем фокусник просит зрителей, снова подсчитать предметы до задуманного числа, начиная с того, на котором они остановились, но на этот раз по часовой стрелке и только вокруг колечка (рис. 2). Предмет, на котором при счете падает задуманное число, на рисунке затемнен.
В принципе фокус может быть закончен уже на этой стадии, но Копперфильд идет дальше. Он уверенно снимает с экрана ряд предметов, заявляя, что они лишние и зритель на них остановиться, не мог (рис. 3). Затем снова предлагает отсчитать в любом направлении еще 4 предмета, начиная с соседнего от того, на котором остановился каждый зритель на предыдущем шаге (рис. 4). Удивительно то, что в результате манипуляций все указывают на один и тот же предмет.
Фокусы такого типа называются фокусами с предопределенным выбором. Он основан на том, что, независимо от варианта схемы (количества звездочек на хвостике или предметов на колечке), действий фокусника и зрителей, результат предсказуем и будет одним и тем же для всех участников, несмотря на то, что каждый из них задумал свое число. При всей кажущейся сложности объяснения этих фокусов достаточно просты.
Итак, независимо от того, какое первоначальное число задумал зритель, счет заканчивается всегда на одном и том же предмете. Чтобы его найти, нужно хвостик шестерки (в данном случае три звездочки) наложить на колечко по часовой стрелке, начиная с предмета, следующего (тоже по часовой стрелке) за тем, к которому подходит хвостик. Кончик хвостика ляжет на задуманный предмет на колечке (рис. 5). Все остальные манипуляции фокусника - лишь отвлекающий маневр для того, чтобы замаскировать этот факт. В зависимости от фантазий фокусника, он может, на каком- то этапе даже снять с экрана предмет, на котором остановился зритель при первоначальном счете, - ответ все равно будет для всех одинаков.
Теперь легко догадаться, для чего фокусник ставит ограничение на задуманное число (в нашем случае больше трех) только выполнение этого условия позволит зрителям при счете предметов попасть в колечко – основную фигуру для манипуляции. Узнав секрет фокуса, вы можете модернизировать его по собственному усмотрению.
В заключении предлагаем вам некоторую вариацию описанного фокуса – угадывание задуманного числа на циферблате часов. Попытайтесь разгадать его самостоятельно.
Также начнется с того, что зритель задумывает какое-нибудь число от 1 до 12. Фокусник берет указку и начинает притрагиваться ее кончиком к числам на циферблате часов, причем делает это, по-видиму, в совершенно произвольном порядке. Зритель считает про себя прикосновения фокусника к часам и, дойдя до 20, произносит слово «стоп». И странное совпадение: в этот момент указка оказывается как раз на задуманном числе.
Подсказка.
В этом фокусе, также как и в предыдущем, применяются принципы последовательного счета и предопределение выбора. Чтобы его разгадать, используйте разность чисел 20 и 12, равную 8, и этот факт, что девятое прикосновение фокусника к циферблату должно обязательно попасть на одно из этих чисел.
7. Фокусы с уравнениями.
В книге Я.И. Перельмана в главе «язык алгебры» есть глава «искусство отгадывать числа». Здесь автор раскрывает секрет фокуса, который очень прост, и в основе его лежат все те же уравнения. Пусть фокусник предлагает вам выполнить программу действий. Затем он просит вас сообщить окончательный результат и, получив его, моментально называет задуманное число. Как он это делает? Чтобы понять это, достаточно все команды перевести на язык алгебры.
| Команды |
Язык алгебры |
| Задумай число Прибавь 2 Умножь результат на 3 Отними 5 Отними задуманное число Умножь на 2 Отними 1 |
х
х
3х
3х
2х
4х
4х
|
Из первой колонки видно, что если вы задумали х
, то после всех команд у вас должно получиться 4 х
+1. Зная это, нетрудно отгадать задуманное число. Пусть зритель задумал число 12, то после всех выполненных команд он получает число 49. Фокусник мысленно решает простое уравнение:4 х
+1=49; От результата вычитает 1 и делит полученное число на 4. После сообщает вам, что вы задумали 12.( х
=(49-1)/4=12). Как видно все очень просто: фокусник заранее знает, что надо сделать с результатом, чтобы получить задуманное число. Вам предлагается несколько вариантов этих фокусов.
Ч
исловой фокус.
Задумайте число. Прибавьте 1. Умножьте на 3. Прибавьте снова 1.Прибавьте задуманное число. Скажите, что у вас получилось. Когда вы называете фокуснику конечный результат всех этих выкладок, он отнимает 4, остаток делит на 4 и получает то, что было задумано. Например, вы задумали число 12. Прибавили 1 -получили 13. Умножили на 3 -получи ли 39.Прибавили 1 – у вас 40. Прибавили задуманное число: 40 + 12 = 52. Когда вы называете число 52, он отнимает от него 4, а оставшееся 48 делит на 4. Получает 12 -число, которое было вами задумано. Почему же всегда так получается? Фокусник заранее знает, что после всех выкладок получается уравнение 4 х
+4.
Можно предложить вашим приятелям своим, по своему усмотрению, выбрать характер действий над задуманным числом. Вы предлагаете задумать число и производить в любом порядке действия следующего характера: прибавлять или вычитать задуманное число. Например, он задумывает число 5 (этого он не сообщает) и, выполняя действия, говорит вам команды, а вы в это время переводите его команды на «язык алгебры».
| Он |
Вы |
| Я задумал число Умножил на 2 Прибавил 5 Прибавил задуманное число Прибавил 1 Умножил на 2 Отнял задуманное число Отнял 3 Отнял задуманное число Умножил на 2 Прибавил 3 Получил 37 |
х.
2х
2х
3х
3х
6х
5х
5х
4х
8х
8х
|
Вы мгновенно называете, что он задумал число 2, так как в конце у вас получилось 8х
+21. И после того как вам сообщат результат вы решаете уравнение 8х
+21=37; х
=(37-21)/8
Но есть один случай, когда фокус не удается. Если, например, после ряда операций вы получаете х
+8, а затем ваш товарищ попросит вычесть задуманное число х
+8-х
=8. Никакого уравнения не получается и отгадать задуманное число вы не в состоянии. Что же делать? Поступайте так: как только у вас получится результат, не содержащий неизвестного х
, вы прерываете своего товарища и говорите, что ничего не спрашивая, можете сказать, сколько у него получилось. Получилось 8.
8. Числовые фокусы.
Стержнем следующих фокусов является следующий состав числа. Приведу несколько следующих фокусов, которые вызывают интерес у зрителей. секрет этого фокуса раскрывает магические обряд над датой моего рождения.
Попросите задумавшего умножить первое из задуманных чисел на 2 и к произведению прибавить 5, полученную сумму умножить на 5 и к результату прибавить 10. К полученному числу прибавить второе задуманное число и все умножить на 10; к полученному результату прибавить третье задуманное число и опять умножить на 10; потом прибавить четвертое/из задуманных чисел и опять умножить на 10 и т. д. Словом, пусть задумавший несколько чисел, каждое из которых не превышает десяти, постоянно умножает на 10 и прибавляет одно из задуманных чисел, пока не прибавит последнего. Вслед за тем пусть задумавший числа объявит последнюю полученную им сумму, и если задумано только два числа, то, вычтя из этой суммы 35, найдем, что число десятков остатка дает первое задуманное число, а число простых единиц дает второе задуманное число. Если же задумано три числа, то из сказанной вам суммы вычтите 350, и тогда число сотен даст первое задуманное число, число десятков — второе, число простых единиц — третье. Если задумано четыре числа, то из сказанной вам суммы вычтите 3500, и тогда число тысяч остатка дает первое задуманное число, число сотен — второе, число десятков — третье, число единиц- четвертое. Ясно, что в случае пяти задуманных чисел нужно из сказанного вам результата вычитать 35 000 и т. д. Пусть, например, задуманы 3,5,8, 2. Удваивая первое из них, получаем 6; прибавляя 5, получаем 11; умножая это число на 5, имеем 55; прибавляя 10, получаем 65; прибавляя второе задуманное число, получаем 70; умноженное на 10, оно дает 700; прибавляя сюда третье задуманное число, получаем 708; умножая на 10, получаем 7080; прибавляя сюда четвертое число, получаем 7082. Если теперь из этого последнего числа вычесть 3500, то получится остаток 3582, который и выражает по порядку цифр задуманные числа: 3,5,8,2.
Объяснение предложенного способа угадывания.
Пусть задуманные числа а, b, c, d… Над ними производятся следующие действия: для первых двух чисел.
(2а + 5) · 5 = 10а + 25
10а + 25 + 10= 10а + 35
10а + 35 + b
Для третьего числа:
(10а + 35 + b) · 10 + с = 100а + 350 + 10b + с
Для четвертого числа:
(100а + 350 + 10b + с) · 10 + d = 1000а + 100b + 10с + 3500 и т.д.
Отсюда ясно, что, вычитая из результата 35, 350, 3500, смотря по количеству задуманных чисел, мы получаем все задуманные числа в виде цифр остатка, считая слева направо.
«Сколько братьев и сестер…»
Вы сможете угадать, сколько братьев, сестер, дедушек и бабушек у вашего приятеля, после того как он выполнит несколько арифметических действий на калькуляторе! Пример
Допустим, у вашего приятеля: братьев — 4; сестер — 3; бабушек и дедушек — 2.
Предложите приятелю:
Набрать на калькуляторе цифру, соответствующую количеству братьев– 4
1. Умножить это число на 2. 4´2=8
2. Прибавить к произведению 3 8 + 3=11
3. Умножить полученную сумму на 5. 11 ´ 5 = 55
4.Прибавить к результату сестер. 55 + 3 = 58
5. Умножить полученную сумму на 10 58 ´ 10 = 580
6. Прибавить бабушек и дедушек. 580 + 2 = 582
7. И, наконец, прибавить 125. 582 + 125 = 707
Закончив вычисления, попросите у приятеля калькулятор с результатом на табло. Вычтите из него 275, и на табло чудесным образом появится количество братьев, сестер и бабушек с дедушками!
Для нашего примера
707 – 275 = братья ® 432 ¬ бабушки и дедушки
сестры
Исключения:
1. Если после вычитания числа 275 на табло появится двузначное число, значит, у вашего приятеля нет братьев.
Пример
12 = 012; следовательно, число братьев равно 0.
2.Если после вычитания числа 275 на табло явится, лишь одна цифра, значит, у вашего приятеля нет ни братьев, ни сестер.
Пример
2 = 002;
Следовательно, число братьев равно нулю и число сестер также равно нулю.
Фокус с книгой.
Попросите приятеля открыть книгу и загадать какое-либо слово на любой странице. Совершив магические действия, вы без труда найдете это тайное слово из тысячи слов этой книги.
Предложите приятелю выбрать любую страницу в книге и записать номер страницы, не показывая вам. (Стр.47). Пусть он выберет любую из первых девяти строк на этой странице, и запишет номер строки (строка 8). Попросите его в этой строке выбрать любое слово из первых девяти слов, и записать его номер от начала строки и само слово. (Слово 3: МАГИЯ). Дайте ему калькулятор, и попросите его выполнить следующие действия:
| 1. Ввести номер страницы |
47 |
| 2. Умножить этот номер на 2 |
47 ´ 2 = 94 |
| 3. Умножить это произведение на 5 |
94 ´ 5 = 470 |
| 4. К результату прибавить 20 |
470 + 20 = 490 |
| 5. Прибавить к этой сумме номер строки (8) |
490 + 8 = 498 |
| 6. Прибавить 5 к полученной сумме |
498 + 5 = 503 |
| 7. Умножить полученный результат на 10 |
503 ´ 10 = 5030 |
| 8. Прибавить к этому произведению номер слова |
5030 + 3 = 5033 |
Узнайте у приятеля окончательный результат. Стоит лишь вычесть из него 250 и вы назовете номер страницы, номер строки и место загадочного слова от начала строки. 5033 – 250 = 4783. 47 – страница, 8 – строка, 3 – слово. Найдите эту страницу в книге, отсчитайте столько строк и слов в этой строке и вы обнаружите загадочное слово МАГИЯ.
Исключения:
1. Если друг выбрал страницу с однозначным номером, то последнее число будет состоять из 3 цифр.
Пример.
2. если будет выбрана страница с трехзначным номером, последнее число будет состоять из пяти цифр.
Пример.
Объяснение фокуса. а
– номер страницы, b
– номер строки, с
– номер слова.
Действия. 1.
а; 2.
2а; 3.
10а; 4
. 10а + 20; 5.
10а + 20 + b; 6.
10а + 25 + b;
7.
100а + 250 + 10b; 8.
100а + 250 + 10b + с – 250 = 100а + 10b + с. Это стандартный вид трехзначного числа.
Фокус с четным числом.
Предложите кому-нибудь задумать четное число. Затем утроить его, затем взять половину полученного числа и опять утроить ее. Если он скажет, чему равно частное отделение найденного числа на 9, то вы назовете задуманное число.
Переведем команды на язык алгебры:
2
n
– четное число. После выполнения команд получаем: 2
n
· 3 = 6
n
; 6
n
: 2 = 3
n
; 3
n
· 3 = 9
n
; 9
n
: 9 =
n
;
n
.
n
– половина задуманного числа. Чтобы назвать задуманное число, вы должны сообщенное число умножить на 2.
Пример. Пусть задумано 6. после утроения получаем 18, половина этого числа равна 9, утроив, получаем 27. Если теперь разделить на 9, то получим 3, т. е. половина задуманного числа.
Можно предложить любое задуманное целое число. Если утроенное задуманное число на 2 не делится, то к утроенному числу нужно добавит 1, а потом разделить на 2, и действовать как описано выше. Нужно также иметь ввиду, что в этом случае при угадывании числа после удвоения нужно обязательно прибавит 1. Проверим это правило для нахождения любого задуманного числа. Если задумано число четное, проверка уже сделана. Пусть теперь задумано нечетное число 2
n
+ 1
, наши действия принимают вид:
(2
n
· 3) = 6
n
+ 3
;. Поскольку это число на 2 не делится, то, прибавляя 1 находим: 6
n
+ 3 + 1 = 6
n
+ 4.
разделив это число на 2 получим: 3
n
+ 2.
(3
n
+ 2) · 3 = 9
n
+ 6.
частное отделения 9
n
+ 6
на 9 равно n. (остаток равен 6). Удваивая это частное и прибавляя 1, находим задуманное число 2
n
+ 1.
Заключение
В своем реферате я пыталась рассмотреть математические фокусы. Мне было интересно доказать, что математические фокусы, не что иное, как своеобразная форма демонстрации математических закономерностей. Интересно было узнать, что для угадывания возраста и даты рождения, состава семьи, страницы, строки и слова в книге и т.д., а также фокусов с домино и игральными костями является понятие состава числа.
Я узнала, что секретом отгадывания многих фокусов являются уравнения. Математические фокусы разнообразны. Во многих математических фокусах числа завуалированы предметами, имеющими отношение к числам. Во время проведения презентации реферата на школьном вечере я убедилась, что математические фокусы интересны школьникам. Задаваемые в остроумной и забавной форме, которую можно придумать по своему вкусу, эти задачи представляют собой очень хорошее и полезное развлечение для играющих. Они развивают навыки в быстром устном счете, навыки вычислений т.к. можно загадывать малые и большие числа. Поэтому, мои материалы можно использовать на уроках математики, на школьных вечерах. В этом практическая значимость моего реферата.
Литература:
1. М. Гарднер «Математические чудеса и тайны» Москва «Наука» 1970
2. Б. А. Кордемский «Удивительный мир чисел» Москва Просвещение 1986
3. Я. И Перельман «Занимательная алгебра» Москва «Наука» 1970
4. Я. И. Перельман «Занимательные задачи и опыты» Минск «Беларусь» 1994
5. В.В. Трошин «Магия чисел и фигур» Москва «Глобус» 2007
6. 365 веселых игр и фокусов. Москва АСТ - пресс 2005
7. moikompas.ru/compas/focus_pocus
8. deltadim.narod.ru/matfocus.htm
9. nauka.relis.ru/52/0002/52002048.htm
Приложение 1.
Математическая таблица для отгадывания чисел от 1 до 63.
| 1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
| 32
|
16
|
8
|
4
|
2
|
1
|
| 33 |
17 |
9 |
5 |
3 |
3 |
| 34 |
18 |
10 |
6 |
6 |
5 |
| 35 |
19 |
11 |
7 |
7 |
7 |
| 36 |
20 |
12 |
12 |
10 |
9 |
| 37 |
21 |
13 |
13 |
11 |
11 |
| 38 |
22 |
14 |
14 |
14 |
13 |
| 39 |
23 |
15 |
15 |
15 |
15 |
| 40 |
24 |
24 |
20 |
18 |
17 |
| 41 |
25 |
25 |
21 |
19 |
19 |
| 42 |
26 |
26 |
22 |
22 |
21 |
| 43 |
27 |
27 |
23 |
23 |
23 |
| 44 |
28 |
28 |
28 |
26 |
25 |
| 45 |
29 |
29 |
29 |
27 |
27 |
| 46 |
30 |
30 |
30 |
30 |
29 |
| 47 |
31 |
31 |
31 |
31 |
31 |
| 48 |
48 |
40 |
36 |
34 |
33 |
| 49 |
49 |
41 |
37 |
35 |
35 |
| 50 |
50 |
42 |
38 |
38 |
37 |
| 51 |
51 |
43 |
39 |
39 |
39 |
| 52 |
52 |
44 |
44 |
42 |
41 |
| 53 |
53 |
45 |
45 |
43 |
43 |
| 54 |
54 |
46 |
46 |
46 |
45 |
| 55 |
55 |
47 |
47 |
47 |
47 |
| 56 |
56 |
56 |
52 |
50 |
49 |
| 57 |
57 |
57 |
53 |
51 |
51 |
| 58 |
58 |
58 |
54 |
54 |
53 |
| 59 |
59 |
59 |
55 |
55 |
55 |
| 60 |
60 |
60 |
60 |
58 |
57 |
| 61 |
61 |
61 |
61 |
59 |
59 |
| 62 |
62 |
62 |
62 |
62 |
61 |
| 63 |
63 |
63 |
63 |
63 |
63 |