Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Нижнетагильская государственная социально-педагогическая академия
сопротивление
материалов
Учебно-методическое пособие
для самостоятельной работы студентов
Автор-составитель В. А. Чумаков
Нижний Тагил
2007
ББК
Печатается по решению кафедры теории и методики технологического образования НТГСПА (протокол № 6 от 13.01.2006 г.)
Сопротивление материалов : учеб.-метод. пособие для самостоятельной работы студентов / авт.-сост. В. А. Чумаков ; Нижнетагильская государственная социально-педагогическая академия. – Нижний Тагил, 2007. – 84 с.
Рецензенты:
Ю. М. Филимонов, канд. физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой математики и методики преподавания математики НТГСПА;
В. К. Колесников, канд. пед. наук, доцент кафедры общетехнических дисциплин НТГСПА
В пособии изложены основные сведения по всем программным вопросам курса сопротивление материалов, основные понятия и формулы, методические указания по изучению теоретического материала, самоконтролю и тесты для проверки знаний.
Для повышения обучающих возможностей пособия и обеспечения удобства в освоении новой информации в начале пособия даны все имеющиеся обозначения, а в конце содержится справочный материал по механическим свойствам материалов и геометрическим характеристикам плоских сечений.
Цель данного пособия оказать помощь студентам в самостоятельном освоении теоретической и практической части курса.
Пособие предназначено для студентов дневного и заочного отделений факультета технологического образования и может использоваться в технических колледжах.
Редактор Е. С. Шарипова
Корректор Л. А. Сорокова
Компьютерная верстка С. В. Горбуновой
Подписано в печать 19.06.07. Формат 6084 1/16. Бумага для множительных аппаратов. Гарнитура «Таймс». Печать офсетная (на ризографе). Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 100 экз. Заказ №
Оригинал-макет изготовлен в РИО НТГСПА. Отдел издательских и множительных систем НТГСПА.
Адрес: 622031, Нижний Тагил, ул. Красногвардейская, 57.
Нижнетагильская государственная
социально-педагогическая академия, 2007
СОДЕРЖАНИЕ
Перечень основных обозначений
Программа курса «Сопротивление материалов»
Литература
Словарь понятий и терминов
Общие методические указания по изучению курса
Методические указания по изучению курса
и вопросы для самопроверки
Тесты для проверки знаний по всему курсу
Ответы на тесты
Справочный материал:
– механические характеристики малоуглеродистой стали
– ориентировочные величины основных допускаемых
напряжений на растяжение и сжатие
– геометрические характеристики некоторых плоских сечений
Перечень ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
| Р | | мощность | |
| F | | сосредоточенная сила | |
| q | | интенсивность распределенной нагрузки | |
| М | | сосредоточенный момент | |
| Qx, Qy | | поперечные силы, направленные вдоль осей х, y | |
| Mx, My | | изгибающие моменты в поперечном сечении бруса относительно осей x, y | |
| Мк | | крутящий момент в поперечном сечении бруса | |
| Ми | | изгибающий момент в поперечном сечении бруса | |
| Мэкв | | эквивалентный момент | |
| | | нормальное напряжение (общее обозначение) | |
| | | касательное напряжение (общее обозначение) | |
| 1, 2, 3 | | главные нормальные напряжения | |
| экв | | эквивалентное напряжение | |
| см | | нормальное напряжение при смятии | |
| max, min, m, a | | нормальные напряжения цикла: максимальное, минимальное, среднее, амплитуда | |
| а, m | | касательные напряжения цикла: амплитуда и среднее | |
| т | | предел текучести | |
| в | | временное сопротивление (предел прочности) | |
| R | | предел выносливости (общее обозначение) | |
| -1, -1 | | пределы выносливости при симметричном цикле изгиба и кручения | |
| 0, 0 | | пределы выносливости при отнулевом цикле изгиба и кручения | |
| R | | коэффициент асимметрии цикла | |
| [], [] | | допускаемые нормальное и касательное напряжение | |
| n | | коэффициент запаса прочности | |
| [n] | | допускаемый (требуемый) коэффициент запаса прочности | |
| l | | абсолютное удлинение (абсолютная линейная деформация) | |
| | | относительное удлинение (относительная линейная деформация) | |
| | | угол сдвига (относительная угловая деформация) | |
| | | модуль упругости | |
| G | | модуль упругости при сдвиге | |
| | | коэффициент Пуассона | |
| W | | работа внешних сил | |
| U | | потенциальная энергия деформации | |
| | | перемещение сечения бруса при растяжении (сжатии) | |
| | | угол поворота поперечного сечения бруса при кручении | |
| | | прогиб балки | |
| | | угол поворота поперечного сечения балки при изгибе | |
| А | | площадь поперечного сечения бруса | |
| Sx, Sy | | статистические моменты сечения относительно осей х, y | |
| Jx, Jy | | моменты инерции сечения относительно осей х, y | |
| Jp | | полярный момент инерции сечения | |
| Jxy | | центробежный момент инерции сечения | |
| Wx, Wy, Wp | | осевые и полярный моменты сопротивления сечения | |
| К, К | | эффективные коэффициенты концентрации напряжений | |
| q | | коэффициент чувствительности материала к концентрации напряжений | |
| , | | коэффициенты чувствительности материала к асимметрии цикла | |
| KF | | коэффициент влияния шероховатости поверхности на предел выносливости | |
| KV | | коэффициент влияния упрочнения поверхности на предел выносливости | |
| Kd | | коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения на предел выносливости | |
| Fкр | | критическая сила | |
| кр | | критическое напряжение | |
| | | гибкость стержня | |
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»
1. Пояснительная записка
1.1 Специфика учебной дисциплины
Дисциплина «Сопротивление материалов» – фундаментальная дисциплина, являющаяся составной частью предметного блока «Прикладная механика». Эта дисциплина тесно связана с курсами «Теоретическая механика» и «Детали машин», в ее основе лежат закономерности физики и математики.
Выводы многих положений в сопротивлении материалов опираются на законы и теоремы теоретической механики и прежде всего статики, а все разделы курса «Детали машин», изучающие расчет и конструирование деталей машин, полностью базируются на методах расчета курса сопротивления материалов. Знания о технологии обработки материалов: гибки и правки, резки и рубки, опиливания, сверления, точения и фрезерования – формируются на основе освоения простейших видов деформаций: растяжения, сжатия, сдвига, кручения и изгиба с учетом механических свойств применяемых материалов.
1.2 Цель и задачи учебной дисциплины
Важнейшим условием для подготовки учителя технологии и предпринимательства является глубокое знание основ фундаментальных наук, позволяющих решать практические задачи при выполнении творческих заданий в проектных и конструкторских расчетах объектов учебного, бытового и производственного назначения.
Цель курса «Сопротивление материалов» состоит в обучении методам расчета деталей машин и сооружений на прочность, жесткость и устойчивость, развитии инженерного мышления и формирования у студентов систематизированных знаний и практических навыков устанавливать, какой материал рационально применить для того или иного элемента конструкции, какую форму и размеры придать его поперечному сечению, для обеспечения надежной работы, при минимальных затратах материала.
Для надежности и безопасности работы все проектируемые конструкции (сооружения, мосты, машины, приборы) должны удовлетворять условиям прочности, жесткости и устойчивости.
Задачи курса:
– сформировать у студентов фундамент общеинженерных знаний, необходимых для освоения методов расчета типовых деталей машин на прочность, жесткость и устойчивость под действием статических нагрузок, за счет выбора более экономичных профилей проката и других конструкционных материалов;
– сформировать знания о способах определения напряжений и деформаций в зависимости от вида напряженно-деформированного состояния;
– научить выполнять расчеты на прочность и жесткость при растяжении, срезе, кручении, поперечном и продольном изгибе различных конструкций и узлов машин, применяемых в современных технологиях;
– развить навыки работы на лабораторном и исследовательском оборудовании.
В результате завершения изучения курса «Сопротивление материалов»
студент должен знать:
– механические свойства материалов и реальные значения прочных характеристик для широкого круга материалов;
– простейшие виды деформаций: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение и изгиб, использовать эти понятия при ознакомлении с процессами гибки и правки металла, резки и рубки, опиливания, сверления, точения, фрезерования;
– основные расчетные зависимости при растяжении, сдвиге, кручении, изгибе и рациональные формы поперечных сечений при этих деформациях;
– общий метод решения задач на определение линейных и угловых перемещений стержней, валов и балок.
Студент должен уметь:
– определять механические характеристики некоторых машиностроительных материалов;
– определять внешние силы, действующие на элемент конструкции (собственный вес, реакции опор, давление жидкости, силы контакта со стороны других тел, силы инерции);
– составлять расчетные схемы объектов труда и технических устройств с учетом отклонений от реальной работы конструкций;
– определять внутренние силы и напряжения при деформациях: растяжении, сжатии, сдвиге, кручении, поперечном изгибе;
– вычислять геометрические характеристики плоских сечений (площадь, осевой и полярный моменты инерции и моменты сопротивления);
– выполнять проверочный и проектный расчеты, определять допустимую нагрузку при растяжении, сдвиге, кручении и изгибе.
1.3 Принципы отбора содержания и организации учебного материала
Содержательное наполнение программы курса «Сопротивление материалов» обусловлено базовым местом этой дисциплины в процессе освоения предметного поля знаний, которая, являясь фундаментальной по характеру и обязательной в статусе дисциплин предметного блока, формирует общетехническое понимание методов расчета при решении практических задач.
Предлагаемая программа ориентируется при отборе содержания материала на следующие принципы:
– научности и фундаментальности, предполагающей отражение в содержании сущности курса «Сопротивление материалов» как учебной дисциплины, необходимой для формирования специалиста в области технологического образования;
– профессиональной направленности, состоящей в установлении системы приоритетов при отборе содержания учебного материала с учетом специфики и задач подготовки учительских кадров;
– универсальности и последовательности, обеспечивающей преемственность и возможности углубленной подготовки в рамках многоуровневого технологического образования;
– дополнительности (практические и лабораторные занятия не дублируют лекции);
– творческой активности (создание оптимальных условий для самостоятельного усвоения знаний, опыта творческой деятельности и реализации потенциальных возможностей каждого студента).
Дисциплина «Сопротивление материалов» состоит из лекционного курса, лабораторных и практических занятий, индивидуальной и самостоятельной работы.
Лекционный курс является теоретической основой получения базовых знаний, необходимых для вывода расчетных зависимостей. При этом обращается особое внимание на физическую сущность изучаемых деформаций и на те допущения и ограничения, которые делаются в процессе вывода формул.
Лабораторные работы направлены на закрепление и углубление теоретических знаний, формирование у студентов умения применять эти знания для постановки и проведения экспериментальных исследований, дают студентам представления о современных методах изучения механических свойств материалов и о поведении их при различных термомеханических воздействиях, знакомят с различными испытательными машинами и измерительными устройствами.
Практические занятия включают решение задач по расчету стержней, соединений деталей, валов, балок.
Индивидуальная работа предполагает углубленное изучение материала с выполнением расчетно-графического задания по наиболее важным разделам программы с последующей отчетностью, помогающей овладеть методами решения задач.
Контрольная работа на дневном отделении проводится по теме «Поперечный изгиб» и требует от студентов глубокого понимания физической сущности внутренних силовых факторов, умение определять и строить их эпюры и выполнять расчеты балок на прочность.
Контрольная работа на заочном отделении, являясь заключительным этапом изучения дисциплины, включает типовые задачи по расчету конструкций на прочность и ставит своей целью закрепить приобретенные знания и умения при изучении курса.
2. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
2.1 Учебно-тематический план
| № п/п | Раздел, тема | Распределение часов | |||||||||
| Всего | Дневное отделение | Заочное отделение | |||||||||
| ауд. | лек. | практ. | лаб. раб. | сам. раб. | лек. | практ. | лаб. раб. | сам. раб. | |||
| 1 2 3 4 5 6 7 8 | Введение. Основные понятия и определения Растяжение – сжатие прямого бруса Механические свойства материалов при растяжении и сжатии Сдвиг и смятие Кручение. Геометрия сечений Поперечный изгиб. Контрольная работа Сложное сопротивление Продольный изгиб | 4 16 10 12 12 26 8 7 | 2 6 4 6 4 10 2 4 | 2 4 2 2 6 2 2 | 2 2 2 4 | 4 2 2 | 2 10 6 6 8 16 6 3 | 2 4 2 2 6 | 2 1 1 4 | 2 10 10 9 9 16 8 7 | |
| Итого | 95 | 38 | 20 | 10 | 8 | 57 | 16 | 8 | 71 | ||
2.2 Содержание дисциплины
Тема 1. Введение. Основные понятия и определения
Сопротивление материалов – составная часть механики. Основные задачи и объем курса. Связь науки о сопротивлении материалов с техническими дисциплинами, трудовым и политехническим обучением. Значение курса в формировании знаний и умений учителя технологии и мастера производственного обучения.
Краткая история развития сопротивления материалов. Современное состояние этой науки.
Основные допущения и гипотезы, принимаемые в сопротивлении материалов: изотропность, сплошность, отсутствие внутренних усилий до приложения нагрузки, принцип независимости действия сил, малость перемещений, линейная связь перемещений с приложенными силами, принцип Сен-Венана.
Внешние силы и их классификация. Заданные нагрузки и реакции опор.
Внутренние силы и общий метод их определения. Простые виды деформаций: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб. Связь внутренних усилий с напряжением. Напряжения нормальные и касательные.
Тема 2. Центральное растяжение – сжатие
Понятие о деформации растяжения. Продольная сила и нормальное напряжение в поперечных сечениях бруса. Эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Закон Гука. Модуль продольной упругости (Юнга). Коэффициент поперечной деформации.
Характеристики материалов, получаемые при испытаниях со статическими нагрузками. Действительные и допускаемые напряжения. Коэффициент запаса прочности. Расчет на прочность при растяжении и сжатии. Виды расчетов на прочность. Примеры расчетов на прочность при растяжении и сжатии.
Статически неопределимые системы. Некоторые случаи расчета статически неопределимых систем.
Тема 3. Механические свойства материалов
при растяжении и сжатии
Реальные значения прочностных характеристик для широкого круга материалов (резина, бетон, ткани, пластмассы, стали, алюминиевые сплавы, бронза и т. д.). Влияние на механические свойства некоторых факторов: время, температура, химический состав, наклеп, термообработка. Местные напряжения. Понятие о концентрации напряжений.
Тема 4. Сдвиг и смятие
Абсолютный и относительный сдвиг. Поперечная сила. Деформации и напряжения при сдвиге. Расчет на прочность. Закон Гука при сдвиге. Примеры расчетов на прочность простейших деталей машин, работающих на растяжение, сдвиг (срез) и смятие.
Тема 5. Кручение
Кручение стержней с круглым поперечным сечением. Связь крутящего момента с передаваемой мощностью и угловой скоростью вращения. Эпюры крутящих моментов.
Определение касательных напряжений при кручении круглых стержней, их распределение по сечению. Угол закручивания. Расчеты на прочность и жесткость валов круглого поперечного сечения. Геометрия сечений. Вычисление экваториальных (осевых) моментов инерции при параллельном переносе осей. Примеры вычисления осевых моментов инерции прямоугольника, треугольника, круга, кольца. Вычисление полярных моментов инерции круга и кольца.
Тема 6. Поперечный изгиб
Определение прямого поперечного изгиба. Опоры и опорные реакции. Поперечная сила и изгибающий момент. Дифференциальные зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Деформации, закон Гука и нормальные напряжения при чистом изгибе. Распределение напряжений по сечению балок.
Условие прочности при изгибе. Проверка прочности балки по нормальным напряжениям. Рациональные формы поперечных сечений балок.
Касательные напряжения. Формула Журавского (без вывода).
Деформации при изгибе. Упругая линия и ее уравнение. Определение прогибов оси и углов поворота сечений балки методом начальных параметров. Расчет балок на жесткость при изгибе. Примеры.
Тема 7. Сложное сопротивление
Понятие напряженного состояния в точке. Главные напряжения. Виды напряженного состояния. Назначение теорий прочности. Краткие сведения о теориях наибольших нормальных напряжений, наибольших линейных деформаций, наибольших касательных напряжений, энергетической теории.
Общий метод решения задач сложного сопротивления. Изгиб с кручением, условия прочности. Внецентренное растяжение и сжатие.
Тема 8. Продольный изгиб
Понятие об устойчивости и критической силе. Формула Эйлера для определения критической силы балки на двух опорах. Обобщение формулы Эйлера в зависимости от закрепления концов стержня. Пределы применения формулы Эйлера. Проверка стальных стержней на устойчивость в пределах и за пределами пропорциональности.
Перечень практических работ
1. Построение эпюр внутренних продольных сил, проверка прочности брусьев и подбор сечений при растяжении и сжатии.
2. Проверка прочности соединений, работающих на срез, смятие и разрыв.
3. Определение геометрических характеристик поперечных сечений и расчет валов на прочность и жесткость.
4. Расчет статически определимых балок на прочность при изгибе (построение эпюр, подбор профиля, определение допускаемой нагрузки).
5. Расчет балок на жесткость при изгибе.
Перечень лабораторных работ
1. Испытание на растяжение малоуглеродистой стали с определением механических характеристик.
2. Исследование деформации сжатия. Испытание на сжатие малоуглеродистой стали, чугуна и дерева.
3. Исследование деформации сдвига. Испытание на срез образцов из стали и дюралюминия с определением пределов прочности на срез.
4. Определение критической силы при потере устойчивости стальной полосы.
2.3 ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Особенность курса «Сопротивление материалов» в том, что в нем наряду с общетеоретическими законами и положениями механики деформируемого твердого тела излагаются и решаются прикладные инженерные задачи проектирования и оценки прочности элементов конструкций, машин и механизмов. Поэтому учебный процесс строится на выполнении большого объема расчетной самостоятельной работы, которая осуществляется на аудиторных занятиях и во внеучебное время.
2.3.1 Аудиторная самостоятельная работа
включает следующие виды:
– на лекциях студенты овладевают такими активными формами самостоятельной работы, как фиксирование основных выводов, формулировок, умение выполнять эскизы, схемы и таблицы;
– на практических занятиях самостоятельно решают типовые задачи с использованием справочной литературы, при консультативно-координирующей функции преподавателя, при этом используя такие активные методы обучения, как групповая дискуссия и моделирование технических задач с анализом полученного решения и сопоставлением полученных результатов с реальными ситуациями;
– на лабораторных работах студенты самостоятельно определяют основные механические характеристики материалов, используемых в расчетах на прочность и жесткость, осваивают экспериментальные методы определения напряжений и деформаций, экспериментально проверяют справедливость основных положений теории и расчетных соотношений, выполняют вычислительный эксперимент, составляют отчет о проведенной работе.
2.3.2 Внеаудиторная самостоятельная работа
включает следующие виды активного обучения:
– при освоении тем, выносимых на самостоятельное изучение, студенты овладевают теоретическим материалом по текстовому или электронному методическому пособию по изучению понятий и терминов, как электронной базы знаний, составляют конспекты, вопросы для самопроверки или тесты;
– подготовка к практическим заданиям и к аудиторной контрольной работе включает: осмысление основных теоретических положений темы; выполнение тренировочных упражнений в составлении уравнений равновесия, определение внутренних силовых факторов в характерных сечениях бруса; освоение расчетных формул, на которых основана методика расчета;
– подготовка к лабораторным работам включает самостоятельное изготовление лабораторного образца на практических занятиях по металлообработке, усвоение физического смысла измеряемых механических характеристик материалов и сути изучаемых деформаций, освоение методики проведения натурного эксперимента по электронным или текстовым инструкциям для проведения лабораторных работ;
– подготовка к отчету по лабораторным работам включает задания репродуктивного и творческого характера, предъявляемые студентам в виде вопросов, минизадач, тестов, которые представляют собой задания для более глубокого изучения исследуемых явлений, процессов, закономерностей;
– в процессе выполнения индивидуальных расчетно-графических заданий студенты вырабатывают умение применять полученные знания в практических расчетах, используя компьютеризированные методические средства для контроля правильности выполнения вычислительных действий;
– подготовка к тестированию по отдельным темам, лабораторным работам и всему курсу включает ответы на вопросы для самопроверки к отдельным темам и лабораторным работам.
2.3.3 Контроль самостоятельной работы
Контроль самостоятельной работы студентов заключается в выявлении уровня полученных знаний, умений и навыков, что достигается непосредственной проверкой выполненных заданий преподавателем и применением пакета контроля знаний, который включает:
– вопросы к отчетам по лабораторным работам в электронном исполнении;
– минизадачи для контроля знаний студентов по основным темам курса;
– тестовые задания для проверки знаний студентов по отдельным темам и всему курсу;
– тестовые задания с автоматизированной системой контроля знаний;
– расчетно-графические задания с компьютерной проверкой вычислительных действий.
Методическое обеспечение самостоятельной работы осуществляется использованием следующих источников информации: предоставленных в текстовом и электронном исполнении:
– комплексное учебное пособие по сопротивлению материалов, включающее программу, методические рекомендации по изучению отдельных тем, вопросы для самопроверки, задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения, контрольные задания и методические рекомендации по их выполнению;
– словарь понятий и терминов по курсу;
– инструкции для проведения лабораторных работ;
– вопросы для подготовки к отчету по лабораторным работам;
– компьютеризированные тестовые программы для проверки знаний по лабораторным работам;
– вычислительный комплекс MathCAD, с множеством встроенных функций для записи аналитических выражений внутренних силовых факторов, построения их графиков и выполнения прочностных расчетов.
2.4 ТЕКУЩАЯ АТТЕСТАЦИЯ КАЧЕСТВА УСВОЕНИЯ ЗНАНИЙ
Текущая аттестация предполагает устный и письменный контроль усвоения основных положений курса, выполнения самостоятельных заданий, что:
– организует студента на систематическую планомерную работу над курсом;
– позволяет студенту усвоить основные понятия и термины курса «Сопротивление материалов»;
– дает возможность овладеть методами проверочного, проектного расчета и определения допускаемой нагрузки;
– позволяет отобрать основные виды письменных заданий – типовые расчеты на прочность, жесткость и устойчивость, определение внутренних силовых факторов и их графическую интерпретацию;
– дает преподавателю основание для объективной оценки каждого студента по результатам не менее десяти отчетностей по курсу;
– позволяет самому студенту представить собственный уровень знаний по курсу «Сопротивление материалов», увидеть свои сильные и слабые стороны, чтобы учесть их при подготовке к экзамену.
Текущая аттестация проводится по двенадцати видам самостоятельных работ и включает следующий перечень аттестационных мероприятий:
– ответы на контрольные вопросы и тесты к четырем лабораторным работам;
– решение задач на практических занятиях;
– выполнение домашних расчетно-графических заданий;
– контрольная работа по теме «Поперечный изгиб»;
– тестовый контроль по курсу.
2.4.1 Итоговая аттестация
Курс завершается устным экзаменом, на котором проверяется уровень усвоения знаний по предмету и сформированность умений применять полученные знания на практике. Экзаменационный билет включает два теоретических вопроса и задачу. При этом проверяется:
– усвоение теоретического материала;
– усвоение базовых понятий;
– умение составлять расчетную схему в зависимости от характера деформированного состояния бруса;
– умение применять основные расчетные зависимости при решении практических задач;
– практические умения и навыки контролируются с помощью задач, требующих умения определять внутренние силовые факторы в поперечных сечениях бруса, строить их эпюры, определять опасные сечения, в которых конструкции грозит опасность разрушения, выполнять расчеты на прочность, жесткость и устойчивость.
2.5 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Брус, деформация, прочность, жесткость, устойчивость, упругость, пластичность, хрупкость, статическая и динамическая нагрузки. Внутренние силовые факторы и их эпюры, растяжение и сжатие, сдвиг, срез и смятие, кручение, изгиб, нормальное и касательное, предельно допускаемое и расчетное напряжение, абсолютная и относительная деформация, модуль продольной упругости, коэффициент поперечной деформации, диаграммы растяжения, механические характеристики материалов, закон Гука, прочностной и проектный расчет, геометрические характеристики плоских сечений, поперечная сила, крутящий момент, изгибающий момент, угол закручивания, прогиб и угол поворота сечения балки, критическая сила, гибкость стержня, радиус инерции сечения, коэффициент запаса прочности.
СОДЕРЖАНИЕ ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
ПО КУРСУ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»
1. Внешние и внутренние силы. Метод сечений.
2. Понятие о напряжении. Эпюры продольных сил и напряжений.
3. Продольные и поперечные деформации бруса. Закон Гука.
4. Диаграмма растяжения пластического материала.
5. Наклеп. Диаграмма растяжения хрупкого материала.
6. Допускаемое напряжение и запас прочности.
7. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии. Проектный, проверочный расчет и определение допускаемой нагрузки.
8. Статически неопределимые задачи при растяжении.
9. Напряжение в наклонном сечении при осевом растяжении.
10. Понятие о деформации сдвига. Абсолютный и относительный сдвиг.
11. Закон Гука при сдвиге и расчетное уравнение. Смятие.
12. Расчет заклепочных соединений на срез, смятие, растяжение.
13. Момент инерции плоских сечений. Момент инерции прямоугольника, круга и кольца. Момент инерции сложных сечений.
14. Моменты сопротивлений плоских сечений (круг, кольцо, прямоугольник).
15. Эпюры крутящих моментов.
16. Определение напряжений и деформаций при кручении.
17. Определение касательных напряжений при кручении, расчетное уравнение.
18. Определение угла закручивания при кручении. Расчет валов на жесткость.
19. Расчет валов на прочность и жесткость.
20. Опоры балок, виды нагрузок, определение опорных реакций.
21. Поперечные силы и изгибающий момент в сечении.
22. Построение эпюр поперечных сил изгибающих моментов для балки, нагруженной сложной нагрузкой.
23. Теорема Журавского (дифференциальные зависимости при изгибе).
24. Контроль правильности построения эпюр.
25. Нормальные напряжения при изгибе.
26. Расчет балки на прочность при изгибе.
27. Линейные и угловые перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии.
28. Метод начальных параметров при определении углов поворота и прогибов.
29. Расчет балок на жесткость при изгибе.
30. Теории прочности и их применение.
31. Совместное действие изгиба и растяжения.
32. Косой изгиб.
33. Совместное действие изгиба и растяжения.
34. Внецентренное сжатие.
35. Продольный изгиб. Формула Эйлера.
36. Критическое напряжение. Предел применения формулы Эйлера.
37. Практические расчеты на устойчивость сжатых частей.
38. Основные понятия об усталости материалов, факторы, влияющие на величину предела усталости.
ТРЕБОВАНИЯ К СОДЕРЖАНИЮ И УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ
Входной контроль на первом уровне усвоения (узнавание объектов, понятий, свойств, процессов при повторном восприятии ранее усвоенной информации о них или выполнения действий с ними) основных теоретических положений тем:
– дифференцирование и интегрирование функций одной переменной;
– условия равновесия плоской и пространственной системы сил;
– типы связей, реакции связей, их определение;
– сечение геометрических тел плоскостью;
– построение прямой и параболы по заданному уравнению;
– проекция вектора на координатные оси;
– определение максимального и минимального значения функции;
– дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Текущий контроль. Собеседование по основным теоретическим положениям учебной программы во время практических занятий и приеме домашнего расчетно-графического задания, оценка качества усвоения информации на втором уровне (репродуктивные действия по решению задач путем самостоятельного воспроизведения по памяти и применения информации при выполнении типового действия, т. е. алгоритмическая деятельность решения задач по памяти).
Собеседование по теоретическому материалу лабораторных работ и оценка их усвоения на втором и третьем уровнях – продуктивные действия, выполняемые при ответах на вопросы, требующие добывания субъективно новой информации в процессе применения полученных знаний о механических свойствах материалов, характере деформаций и величине опасных сечений, по которым может произойти разрушение элемента конструкции.
Семестровый контроль – экзамен. Экзаменационные билеты включают основные теоретические вопросы курса и типовые задачи на применение теоретического материала на втором уровне усвоения – выполнении алгоритмических действий по решению задач. Студенты, показавшие хорошие и отличные знания теории по одному из разделов в процессе отчетности по лабораторным и расчетно-графическим работам, могут быть освобождены от оценки этих разделов на экзамене.
Итоговый контроль. Программа государственной аттестации выпускников включает основные теоретические положения тем № 2, 4, 5, 6 и требует их воспроизведения на втором уровне усвоения – самостоятельно воспроизвести по памяти и применить информацию по алгоритмическому решению практических задач квалификационной характеристики учителя технологии и предпринимательства.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
2.6.1 Основная литература
1. Степин П. А. Сопротивление материалов: Учебник для машиностроительных спец. вузов. – 8-е изд. – М.: Интеграл-Пресс,1997.
2. Сопротивление материалов: Учеб. пособие для ст-в вузов / Под ред. Н. А. Костенко. – М.: Высш. шк., 2000.
3. Копнов В. А., Кривошапко С. Н. Сопротивление материалов: Руководство для решения задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических работ. – М.: Высш. шк., 2003.
4. Кочетов В. Т., Павленко А. Д., Кочетов М. В. Сопротивление материалов. – Ростов н/Д: Феникс, 2001.
5. Ицкович Г. М. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1999.
6. Минин Л. С., Хроматов В. Е., Самсонов Ю. П. Расчетные и тестовые задания по сопротивлению материалов: Учебное пособие для студентов / Под ред. В. Е. Хроматова. – М.: Высш. шк., 2003.
7. Сборник задач по сопротивлению материалов / Под ред. В. К. Качурина. – М.: Наука, 1992.
8. Ицкович Г. М. и др. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов: Учеб. пособие для высш. техн. учеб. заведений / Под общ. ред. Г. М. Ицковича. – Изд. 2-е, перераб. – М.: Высш. шк., 1970.
9. Рубашкин А. Т. Лабораторные работы по сопротивлению материалов. – М.: Высш. шк., 1971.
10. Лабораторные работы по сопротивлению материалов. Методические указания и задания для студентов дневного и заочного отделения индустриально-педагогического факультета. – Новокузнецк, 1986.
11. Чумаков В. А., Дмитриева Р. А. Сопротивление материалов: Методические рекомендации и контрольные задания для студентов дневного и заочного отделений индустриально-педагогического факультета. Комплексное учебное пособие в текстовом и электронном исполнении. – Нижний Тагил, 1993.
12. Чумаков В. А., Коновалова М. Н. Компьютеризированная программа для контроля знаний при выполнении расчетно-графических работ на растяжение, кручение, изгиб, сложное сопротивление.
13. Чумаков В. А. Методическое пособие по изучению понятий и терминов курса «Сопротивление материалов» в текстовом и электронном варианте. – Нижний Тагил, 1992.
2.6.2 Дополнительная литература
1. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов: Учебник для технических вузов. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1993.
2. Кинасошвили Р. С. Сопротивление материалов: Учебник для самообразования. – М., 1995.
3. Бородин Н. А. Сопротивление материалов: Пособие для студентов, обучающихся по спец. техн. профиля. – 2-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001.
4. Наделяев В., Мартынова Т., Герстеннберг В., Москвичев В., Богомаз И., Щербаков Т. Рейтинговая система оценки знаний при изучении общетехнических дисциплин (сопротивление материалов) // Высш. образование в России. – 1997. – № 2.
2.6.3 Другие информационные источники
1. Вычислительный комплекс MathCAD. Компьютерная программа для выполнения вычислительных действий, обеспечивающих с помощью встроенных функций запись аналитических выражений внутренних силовых факторов, построения их графиков и выполнения прочностных расчетов. 2004.
2. Чумаков В. А., Коновалова М. Н. Компьютеризированная программа для проверки остаточных знаний студентов по курсу «Сопротивление материалов», шесть вариантов, из восьми вопросов в тесте, 2002.
3. Чумаков В. А. Тесты для проверки знаний по курсу «Сопротивление материалов» в текстовом и электронном исполнении, четыре варианта, по 31 вопросу в каждом варианте. 2002.
4. Чумаков В. А. Специфика самостоятельной работы при изучении курса «Сопротивление материалов» // Управление самостоятельной работой студентов: Материалы научно-методической конференции НТГСПА. 11 марта 2004 г. Нижний Тагил.
5. Чумаков. В. А. Электронное обеспечение курса «Сопротивление материалов» // Информационные технологии и технические средства обучения в образовательном процессе: Материалы научно-методической конференции НТГСПА 18–19 марта 2004 г; Нижний Тагил.
6. Сопротивление материалов. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников всех технических специальностей высших учебных заведений. Высш. шк., 1976.
7. Учебные задания на расчетно-графические работы по сопротивлению материалов с методическими указаниями и с примерами выполнения для студентов механико-технологического факультета. Свердловск, 1974.
8. Тимофеев С. И. Сопротивление материалов. – Ростов н/Д: Феникс, 2004. – (Шпаргалки).
СЛОВАРЬ ПОНЯТИЙ И ТЕРМИНОВ
КУРСА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»
Тема 1,2. Введение. Основные понятия и определения
| Деформация | – | изменение формы и размеров тела под воздействием внешних сил. | |||||||||||||
| Прочность | – | способность материала конструкций выдерживать заданную нагрузку без разрушения. | |||||||||||||
| Жесткость | – | способность элемента конструкции сопротивляться образованию деформации (изменение формы и размеров элемента находятся в пределах, не нарушающих нормальную эксплуатацию конструкций). | |||||||||||||
| Устойчивость | – | способность элемента конструкции сопротивляться усилиям, стремящимся вывести ее из исходного состояния равновесия (сохранение первоначально приданной прямолинейной формы длинным деталям от возможности внезапного искривления при сжатии). | |||||||||||||
| Сопротивление материалов | – | наука, в которой изложены принципы и методы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. | |||||||||||||
| Упругость | – | свойство тел восстанавливать после удаления внешних сил свою первоначальную форму и размеры. | |||||||||||||
| Пластичность | – | свойство материала иметь остаточную деформацию. | |||||||||||||
| Брус | – | тело, у которого один размер (длина) во много раз больше двух других размеров (балки, валы); основной расчетный элемент в сопротивлении материалов. | |||||||||||||
| Стержень | – | брус с прямолинейной осью. | |||||||||||||
| Поперечное сечение | – | плоская фигура, имеющая свой центр тяжести на оси и нормальная к ней. | |||||||||||||
| Ось бруса | – | линия, соединяющая центры тяжести его поперечных сечений. | |||||||||||||
| Пластина | – | тело, ограниченное двумя плоскими поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами (фундаментные плиты, плоские днища резервуаров). | |||||||||||||
| Оболочка | – | тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с прочими размерами (котлы, цистерны, баки, трубы, элементы обшивки корпусов кораблей, самолетов). | |||||||||||||
| Массив | – | тело, у которого все три размера одного порядка (фундамент под машину, подпорные стены, шарик или ролик подшипника качения). | |||||||||||||
| Конструкция | – | система, состоящая из отдельных простых элементов (брусьев, пластин, оболочек и массивов). | |||||||||||||
| Поверхностная нагрузка | – | нагрузка, прикладываемая к телу при контакте с ним других тел (давление колес на рельсы, давление ветра или воды на стенку, давление пара). | |||||||||||||
| Объемная нагрузка | – | нагрузка, распределенная по всему объему тела и приложенная к его внутренним точкам (сила тяжести тела, сила инерции). | |||||||||||||
| Сосредоточенная нагрузка | – | сила, которая передается на деталь по площадке, размеры которой малы в сравнении с размерами самого элемента конструкции, т. е. силу можно считать приложенной в точке (давление вала на опоры, действие силы тяги автомобиля на прицеп, давление резца на обрабатываемую деталь). | |||||||||||||
| Распределенная нагрузка | – | сила, действующая на некоторой сравнительно большой площади поверхности конструкции (давление газа на поршень двигателя, давление воды, давление зерна на стенки бункера). | |||||||||||||
| Равномерно распределенная нагрузка | – | нагрузка, при которой интенсивность распределенной нагрузки постоянна по всей площади (или длине), на которую она действует (сила тяжести единицы длины балки, если размеры его поперечного сечения малы по сравнению с длиной, считают распределенной по длине стержня q), Н/м. | |||||||||||||
| Статические нагрузки | – | нарастающие медленно и плавно от 0 до своего конечного значения; достигнув его, в дальнейшем не изменяются. Примером могут служить центробежные силы в период разгона и при последующем равномерном вращении какого-либо ротора. | |||||||||||||
| Динамические нагрузки | – | изменяются во времени с большой скоростью (например, нагрузки, действующие на шасси автомобиля при его движении). | |||||||||||||
| Сплошность материала | – | материал тела имеет сплошное строение, т. е. заполняет объем, ограниченный поверхностью тела без пустот. | |||||||||||||
| Однородность материала | – | во всех точках тела материал обладает одинаковыми свойствами. | |||||||||||||
| Изотропия | – | материалы обладают одинаковыми свойствами во всех направлениях. | |||||||||||||
| Анизотропия | – | когда свойства материалов в разных направлениях различны. Примером может служить дерево, которое расколоть вдоль волокон легче, чем поперек. | |||||||||||||
| Силы упругости | – | силы взаимодействия между частицами материала, которые сопротивляются изменению формы и размеров тела под нагрузкой. | |||||||||||||
| Метод сечений | – | способ определения внутренних сил по заданным внешним нагрузкам. Сущность метода заключается в следующих четырех действиях: 1. Разрезают тело на две части. 2. Отбрасывают одну часть. 3. Заменяют действие отброшенной части на оставшуюся внутренними силами. 4. Составляют уравнения равновесия. | |||||||||||||
| Силовые факторы | – | составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил, возникающих в поперечном сечении бруса. Эти шесть силовых факторов имеют следующие наименования: Nz – продольная (или нормальная сила), Qx и Qy – поперечные силы, Mz – крутящий момент, Мx, Му – изгибающие моменты. | |||||||||||||
| Растяжение | – | деформация стержня, нагруженного продольными силами (силами, параллельными оси стержня), равнодействующая которых в каждом его поперечном сечении совпадает с осью. | |||||||||||||
| Сжатие | – | продольная сила, направлена к сечению бруса. | |||||||||||||
| Сдвиг | – | деформация, при которой в поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор – поперечная сила. | |||||||||||||
| Кручение | – | вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент – Мк. | |||||||||||||
| Поперечный изгиб | – | вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающий момент и поперечная сила, если поперечные силы не возникают, изгиб называют чистым. | |||||||||||||
| Напряжение | – | внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в данной точке данного сечения. | |||||||||||||
| Нормальное напряжение | – | составляющая напряжения, направленная по нормали к площадке ее действия, обозначается . Нормальное напряжение возникает тогда, когда частицы материала, соприкасающиеся по рассматриваемой площадке под действием приложенных к телу нагрузок стремятся отделиться друг от друга или сблизиться в направлении нормали к этой площадке. | |||||||||||||
| Касательное напряжение | – | составляющая напряжения, лежащая в плоскости сечения. Обозначается . Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц материала по плоскости рассматриваемого сечения. | |||||||||||||
| Статически определимые системы | – | внутренние силы определяются на основе условий равновесия отсеченной части системы (или отдельного бруса). | |||||||||||||
| Статически неопределимые системы | – | внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью только метода сечений. | |||||||||||||
| Тема 3. Центральное растяжение – сжатие | |||||||||||||||
| Волокно | – | линия в стержне, параллельная его оси. | |||||||||||||
| Стержень | – | прямой брус, работающий на растяжение или сжатие. | |||||||||||||
| Продольная сила | – | равнодействующая внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении бруса. Продольная сила в поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, приложенных к оставленной части. Обозначается N. | |||||||||||||
| Эпюра продольных сил | – | график изменения продольных сил по длине бруса. График функции N = f(x). Эпюра продольных сил дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают. | |||||||||||||
| Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) | – | поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси после деформации. | |||||||||||||
| Концентрация напряжений | – | возникновение местных напряжений, возникающих в местах резкого изменения формы и размеров поперечного сечения. | |||||||||||||
| Абсолютная продольная деформация | – | приращение длины бруса под действием приложенных сил. Обозначается l = l1 – l. | |||||||||||||
| Относительная продольная деформация | – | отношение приращения (изменения) длины элемента к его первоначальной длине.
F F
| |||||||||||||
| Абсолютная поперечная деформация | – | изменение размера поперечного сечения а = а – а1
| |||||||||||||
| Относительная поперечная деформация | – | отношение изменения размера поперечного сечения к его первоначальному значению . | |||||||||||||
| Линейная деформация | – | общее наименование продольной и поперечной деформации. | |||||||||||||
| Модуль продольной упругости (Юнга) | – | физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость. E – Н/мм2 | |||||||||||||
| Коэффициент поперечной деформации (Пуассона) | – | Отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютному значению. Характеризует способность материала к поперечной деформации. | |||||||||||||
| Закон Гука | – | между продольной деформацией и соответствующим (действующим в ее направлении) нормальным напряжением существует прямо пропорциональная (линейная) зависимость = Е или так как . | |||||||||||||
| Жесткость сечения бруса | – | произведение ЕА. | |||||||||||||
| Жесткость бруса | – | способность самого стержня данной длины сопротивляться деформированию, равному . | |||||||||||||
| Перемещение поперечного сечения | – | перемещение произвольного сечения бруса равно изменению длины участка, заключенного между этим сечением и заделкой. | |||||||||||||
| Эпюра перемещений | – | график, показывающий перемещения поперечных сечений в функции их расстояния от неподвижного конца бруса (или сечения, условно принятого за неподвижное). | |||||||||||||
| Диаграмма растяжения | – | графическая зависимость между растягивающей образец силой F и удлинением образца ∆l. | |||||||||||||
| Механические характеристики материала | – | предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести, предел прочности, относительное остаточное удлинение при разрыве, относительное остаточное сужение при разрыве. | |||||||||||||
| Предел пропорциональности | – | наибольшее напряжение, до достижения которого деформации растут пропорционально напряжениям (для которого справедлив закон Гука).Н/мм2. | |||||||||||||
| Предел упругости | – | наибольшее напряжение, до достижения которого в образце не возникает остаточных деформаций. Н/мм2. | |||||||||||||
| Предел текучести | – | напряжение, при котором происходит рост пластической деформации образца при практически постоянной нагрузке
| |||||||||||||
| Предел прочности (временное сопротивление) | – | условное напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, выдерживаемой образцом до разрушения Н/мм2. | |||||||||||||
| Линии Людерса – Чернова | – | линии, появляющиеся на поверхности образца в процессе испытания на растяжение, наклоненные к оси образца под углом 45°, в результате значительных взаимных сдвигов кристаллов, которыми сопровождается текучесть материала. | |||||||||||||
| Относительное остаточное удлинение при разрыве | – | отношение величины абсолютно остаточного удлинения после разрыва к длине образца до испытания. Является важнейшей характеристикой пластичности материала. | |||||||||||||
| Относительное остаточное сужение при разрыве | – | Ψ = (А0 – А1)/A0 · 100 %, где А0 – первоначальная площадь поперечного сечения; А1 – площадь поперечного сечения в наиболее тонком месте шейки после разрыва. Характеризует свойства пластичности материалов. | |||||||||||||
| Наклеп | – | явление повышения предела пропорциональности и снижения пластичности материала при повторных нагружениях. | |||||||||||||
| Твердость материала | – | способность материала сопротивляться проникновению в него другого тела, практически не получая остаточных деформаций. | |||||||||||||
| Хрупкость | – | способность материала разрушаться при незначительных остаточных деформациях. Остаточное удлинение 2–5 %. | |||||||||||||
| Хрупкопластичные материалы | – | материалы, имеющие различные пределы текучести при растяжении и сжатии. Например, для стали 30 ХГС. 0,2р 0,880,2с, где 0,2р – условный предел текучести при растяжении, 0,2с – условный предел текучести при сжатии. | |||||||||||||
| Упругое последействие | – | изменение упругих деформаций по времени. | |||||||||||||
| Пластическое последействие | – | изменение во времени пластических деформаций в нагруженной детали. | |||||||||||||
| Ползучесть | – | изменение во времени полных деформаций (т. е. суммы упругих и пластичных). | |||||||||||||
| Релаксация | – | явление, при котором упругие деформации тела со временем переходят в пластические. Результатом этого является изменение действующих напряжений при сохранении полной величины деформации. | |||||||||||||
| Предельное (опасное) напряжение | – | напряжение, при котором образец из данного материала разрушается или в нем возникают заметные пластические деформации. Для пластических материалов – предел текучести Т, для хрупких – предел прочности пч. | |||||||||||||
| Коэффициент запаса прочности | – | отношение предельного напряжения пред к наибольшему расчетному напряжению , возникающему в элементе конструкции при эксплуатационной нагрузке n = пред/. | |||||||||||||
| Допускаемое напряжение | – | напряжение, при котором обеспечивается прочность и долговечность элемента конструкции. [] = пред/[n]. | |||||||||||||
| Расчетное напряжение | – | напряжение, возникающее в произвольном сечении бруса = N/A. | |||||||||||||
| Условие прочности при растяжении | – | прочность конструкции обеспечена, если возникающее в ней наибольшее напряжение не превышает допускаемого. Неравенство = N/A ≤ [] называется условием прочности при растяжении (сжатии). | |||||||||||||
| Проверочный расчет | – | расчет, в котором по данным (расчетной схеме, материалу, силам и всем геометрическим размерам системы) требуется оценить ее прочность. Фактические напряжения не должны отклоняться от допускаемых более чем на ± 5 % = N/A ≤ [], Перенапряжение больше этого значения недопустимо с точки зрения прочности, а недонапряжение свидетельствует о перерасходе материала. | |||||||||||||
| Расчетная схема | – | модель механической системы, ее упрощенное представление, принимаемое за основу прочностного расчета. Расчетная схема определяется совокупностью принимаемых гипотез: методикой расчета, которую собираются применить; упрощенным изображением элементов системы; условным представлением действующих на систему сил; пренебрежением некоторыми размерами и конструктивными деталями элементов, которые практически не сказываются на их прочности. | |||||||||||||
| Проектный расчет | – | расчет, в котором по заданным схеме нагружения, силам, материалу и части геометрических размеров системы требуется определить ее остальные геометрические размеры, т. е. площадь поперечного сечения из условия прочности A ≥ N/[σ]. | |||||||||||||
| Допускаемая продольная сила | – | сила, которую можно допустить по условию прочности бруса. Определяют по заданным размерам поперечного сечения стержня и известному допускаемому напряжению. [N] A[]. Определив допускаемую продольную силу и установив связь между продольной силой и нагрузкой (методом сечений), можно определить и допускаемую нагрузку. | |||||||||||||
| Уравнение перемещений | – | дополнительное уравнение, которое выражает условие совместимости (неразрывности) деформаций элементов системы. | |||||||||||||
| Тема 4. Сдвиг | |||||||||||||||
| Чистый сдвиг | – | вид напряженного состояния, при котором на гранях элемента действуют только касательные напряжения.
| |||||||||||||
| Площадки сдвига | – | площадки, по которым действуют только касательные напряжения. | |||||||||||||
| Абсолютный сдвиг | – | линейная величина смещения сечений II относительно сечения I, т. е. α. Абсолютный сдвиг зависит от расстояния b между действующими силами F. Чем больше расстояние b, тем больший абсолютный сдвиг получается при одной и той же действующей силе.
| |||||||||||||
| Относительный сдвиг | – | угловая деформация или угол сдвига, являющийся мерой деформации сдвига, а вследствие малости угла – и самому углу. a / b = tg | |||||||||||||
| Модуль упругости при сдвиге (модуль поперечной упругости) | – | коэффициент пропорциональности G в уравнении = G, характеризует способность материала сопротивляться деформации сдвига, его жесткость при деформации сдвига. | |||||||||||||
| Касательное напряжение при сдвиге | – | напряжение, возникающее в поперечном сечении бруса; условно считают, что касательные напряжения при сдвиге равномерно распределены по плоскости среза. | |||||||||||||
| Поперечная сила при сдвиге | – | внутренний силовой фактор Q, равномерно распределенный по сечению площади А, создающий касательные напряжения , лежащие в плоскости сечения. | |||||||||||||
| Односрезное заклепочное соединение | разрушение каждой заклепки происходит по одной плоскости среза. | ||||||||||||||
| Двухсрезное заклепочное соединение | – | разрушение заклепки происходит по двум плоскостям среза. | |||||||||||||
| Условие прочности на срез | – | выражение ср = Q/Aср [], устанавливающее зависимость между расчетным напряжением ср, возникающим в поперечном сечении рассчитываемой детали, поперечной силой Q и допускаемым напряжением на срез [ср]. | |||||||||||||
| Смятие | – | вид деформации, возникающей при соприкосновении соединенных деталей, оказывающих давление друг на друга. | |||||||||||||
| Площадь смятия | – | площадь соприкосновения соединяемых деталей. При контакте по цилиндрической поверхности принимают площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость. | |||||||||||||
| Напряжение смятия | – | давление, возникающее между поверхностями отверстий соединительных деталей – см. | |||||||||||||
| Условие прочности на смятие | – | неравенство см = F/iAсм [см], связывающее расчетное напряжение см, F/i – нагрузку на одну соединительную деталь, Асм – расчетную площадь смятия, [см] – допускаемое напряжение на смятие. | |||||||||||||
Тема 5. Геометрия сечений | |||||||||||||||
| Статический момент площади сечения | – |
статическим моментом плоского сечения относительно оси х называется взятая по всей площади сечения сумма произведений элементарных площадок на их расстояние до этой оси ; . Статический момент имеет размерность – L3. | |||||||||||||
| Осевой (экваториальный) момент инерции сечения | – | осевым моментом инерции плоского сечения относительно данной оси называется взятая по всей площади сечения сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой оси. ; . Размерность осевого момента инерции – L4. | |||||||||||||
| Центробежный момент инерции | – | геометрическая характеристика, представляющая собой взятую по всей площади сечения сумму произведений площадей элементарных площадок на произведение их расстояний до двух взаимно перпендикулярных осей . Центробежный момент инерции имеет размерность – L4. | |||||||||||||
| Полярный момент инерции | – | сумма произведений площадей элементарных площадок на произведение их расстояний до оси перпендикулярной площади сечения , Ip = Ix + Iy. Размерность – L4. | |||||||||||||
| Главные оси инерции | – | оси, относительно которых центробежный момент равен нулю. | |||||||||||||
| Главные центральные оси инерции | – | главные оси, проходящие через центр тяжестисечения. | |||||||||||||
| Тема 6. Кручение | |||||||||||||||
| Кручение | – | вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент, обозначаемый Мкр или Т. Обычно эти крутящие моменты Мкр возникают под действием внешних моментов М. Внешние моменты передаются на вал, как правило, в местах посадок на него шкивов, зубчатых колес и т. п. | |||||||||||||
| Вал | – | вращающийся и работающий на кручение стержень. | |||||||||||||
| Крутящий момент | – | результирующий момент относительно продольной оси бруса внутренних касательных сил, возникающих в его поперечном сечении. Размерность – Нм. Крутящий момент, возникающий в произвольном поперечном сечении бруса, численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов, приложенных к оставленной части. Крутящий момент в сечении считается положительным, когда внешний момент вращает отсеченную часть против часовой стрелки. | |||||||||||||
| Эпюра крутящих моментов Касательное напряжение при кручении | – – | график, показывающий закон изменения крутящих моментов по длине бруса.
направлено перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку. Величина его прямо пропорциональна расстоянию от центра тяжести сечения. | |||||||||||||
| Полярный момент сопротивления | – | отношение полярного момента инерции сечения к его радиусу Wp. | |||||||||||||
| Угол закручивания | – | угол поворота φ торцевого сечения бруса. | |||||||||||||
| Жесткость сечения бруса при кручении | – | произведение GJp. Модуль сдвига G характеризует жесткость материала, а полярный момент инерции является геометрической характеристикой жесткости бруса. | |||||||||||||
| Относительный угол закручивания | – | мера жесткости при кручении. Угол закручивания на единицу длины вала. Принимают [φ] = 0,25...1,0 град/м. | |||||||||||||
| Условие статической прочности вала при кручении | – | имеет вид , где τmax – наибольшее касательное напряжение, возникающее в его опасном поперечном сечении, Мкр – крутящий момент в этом сечении, [τкр] – допускаемое напряжение, его принимают равным | |||||||||||||
| Условие жесткости вала | – | имеет вид [φ] – допускаемый относительный угол закручивания в градусах. | |||||||||||||
| Расчет вала на прочность | – | определение диаметра вала из условия, что . | |||||||||||||
| Расчет вала на жесткость | – | определение его диаметра из условия, что [ ], . | |||||||||||||
Тема 7. Поперечный изгиб | |||||||||||||||
| Изгиб | – | вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. | |||||||||||||
| Поперечный изгиб | – | вид деформации, когда в поперечном сечении бруса возникают поперечные силы и изгибающие моменты. | |||||||||||||
| Чистый изгиб | – | если изгибающий момент является единственным внутренним усилием, возникающим в поперечном сечении стержня. | |||||||||||||
| Прямой изгиб | – | изгиб, при котором плоскость действия нагрузок совпадает с одной из главных плоскостей. | |||||||||||||
| Плоский изгиб | – | все нагрузки и реакции связей действуют в одной плоскости. | |||||||||||||
| Нейтральный слой | – | слой волокон, который лишь искривляется, не испытывая при этом ни растяжения, ни сжатия. | |||||||||||||
| Нейтральная ось | – | линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения бруса. | |||||||||||||
| Балка | – | брус, работающий на прямой изгиб. | |||||||||||||
| Пролет балки | – | расстояние между опорами балки. | |||||||||||||
| Консоль | – | часть балки, расположенная по одну сторону от опор. | |||||||||||||
| Поперечная сила | – | равнодействующая внутренних касательных сил, возникающих в поперечном сечении бруса. Поперечная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных к его отсеченной части.
Qmn > 0; Qmn < 0. Поперечная сила в сечении балки считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – сверху вниз, и отрицательной – в противном случае. | |||||||||||||
| Изгибающий момент | – | результирующий момент внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении бруса, взятый относительно нейтральной оси этого сечения. Изгибающий момент Мх в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части, относительно той точки продольной оси бруса, через которую проходит рассматриваемое сечение. Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз.
| |||||||||||||
| Эпюра поперечных сил | – | график изменения поперечной силы по длине балки. | |||||||||||||
| Эпюра изгибающих моментов | – | график изменения изгибающего момента по длине балки. | |||||||||||||
| Нормальное напряжение при изгибе | – | перпендикулярно плоскости сечения и изменяется по высоте поперечного сечения балки пропорционально расстоянию от нейтральной оси σ = Mxy / Ix – нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения балки. Мх – изгибающий момент в сечении; у – расстояние от нейтральной оси балки до волокна; Ix – момент инерции площади сечения. | |||||||||||||
| Кривизна нейтрального слоя балки | – | кривизна прямо пропорционально изгибающему моменту и обратно пропорционально величине Е1х, называемой жесткостью балки, где ρ – радиус кривизны нейтрального слоя балки. | |||||||||||||
| Осевой момент сопротивления (момент сопротивления при изгибе) | – | отношение момента инерции относительно данной оси к половине высоты сечения. W. Размерность L3. Момент сопротивления – это геометрическая характеристика прочности бруса, работающего на прямой изгиб. | |||||||||||||
| Касательное напряжение при изгибе | – | возникает при поперечном изгибе и определяется по формуле: , где Qy – поперечная сила в сечении; Sx – статический момент площади отсеченной части сечения относительно нейтральной оси; Ix – момент инерции площади сечения, b – ширина поперечного сечения. | |||||||||||||
| Условие прочности при изгибе | – | зависимость max= служит для проверочного расчета. В случае необходимости из нее можно определить требуемый момент сопротивления или допускаемый по условию прочности изгибающий момент. | |||||||||||||
| Дифференциальное уравнение оси балки | – | выражение . | |||||||||||||
| Угол поворота поперечного сечения | – | угол φА, на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, или угол между касательной к упругой линии в данной точке и осью деформированного бруса.
| |||||||||||||
| Прогиб произвольного поперечного сечения | – | перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки, – yA. | |||||||||||||
| Упругая линия (изогнутая ось) | – | геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса, т. е. ось изогнутого бруса. | |||||||||||||
| Универсальное уравнение изогнутой оси балки | – | уравнение для определения прогибов в любой точке балки на расстоянии х от ее левого конца: | |||||||||||||
| Условие жесткости при изгибе | – | выражается неравенством fmax [f]; максимальный прогиб (стрела прогиба) не должен превышать допускаемой [f].
| |||||||||||||
| Допускаемый прогиб | – | прогиб, при котором обеспечивается возможно большая жесткость конструкции при наименьшем расходе материала. Значение допускаемого прогиба зависит от назначения и условий работы конструкции и колеблется в пределах от до длины пролетов. | |||||||||||||
| Тема 8. Сложное напряженное состояние ипонятие о теориях прочности | |||||||||||||||
| Эквивалентное (расчетное) напряжение | – | напряжение, которое следует создать в растянутом (или сжатом) образце, чтобы его прочность была одинаковой с прочностью образца, находящегося в условиях сложного напряженного состояния. Обозначается sэкв. | |||||||||||||
| Предельное напряженное состояние | – | при некотором значении главных напряжений, напряженное состояние в некоторой точке (точках) образца становится предельным, т. е. наступает текучесть либо появляются признаки хрупкого разрушения. | |||||||||||||
| Теории прочности | – | гипотезы, указывающие признаки равноопасности (критерии эквивалентности) различных напряженных состояний, называются гипотезами (теориями) прочности. | |||||||||||||
Тема 9. Сложное сопротивление | |||||||||||||||
| Сложное сопротивление | – | в поперечных сечениях стержня действуют несколько силовых факторов (внутренних усилий), одновременно учитываемых при расчете на прочность. | |||||||||||||
| Косой изгиб | – | возникает в том случае, когда внешние силы, перпендикулярные оси стержня, не лежат в одной плоскости, проходящей через главную ось его поперечного сечения.
| |||||||||||||
| Внецентренное сжатие | – | продольная нагрузка не в центре тяжести поперечного сечения, а с некоторым смещением (эксцентриситетом) относительно главных осей сечения.
| |||||||||||||
| Эквивалентный момент | – | момент, который входит в расчетную формулу аналогично расчету на изгиб вместо изгибающего момента, который зависит от изгибающих и крутящих моментов, а также от принятой гипотезы прочности, , . | |||||||||||||
| Тема 10. Продольный изгиб | |||||||||||||||
| Продольный изгиб | – | изгиб стержня, связанный с потерей устойчивости прямолинейной формы его равновесия.
| |||||||||||||
| Критическая сила | – | наименьшее значение сжимающей силы, при которой сжатый стержень теряет способность сохранять прямолинейную форму равновесия . | |||||||||||||
| Плоскость наименьшей жесткости | – | плоскость, в которой лежит одна из главных осей, относительно которой момент инерции минимален – Imin. | |||||||||||||
| Гибкость стержня | – | безразмерная геометрическая характеристика сжатого стержня, показывающая его сопротивляемость потере устойчивости, она одновременно отражает и длину стержня и жесткость его поперечного сечения . | |||||||||||||
| Приведенная длина стержня | – | равна фактической длине стержня, умноженной на некоторый коэффициент μ, зависящий от способов закрепления концов стержня . | |||||||||||||
| Коэффициент приведения длины стержня | – | коэффициент μ, характеризующий способ закрепления концов сжатого стержня.
μ = 1 μ = 2,0 μ = 0,5 μ = 0,7 | |||||||||||||
| Радиус инерции сечения | – | геометрическая характеристика формы и размеров поперечного сечения сжатого стержня. | |||||||||||||
| Критическое напряжение | – | нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы . | |||||||||||||
| Коэффициент запаса устойчивости | – | число [ny], показывающее, во сколько раз фактически действующая или допускаемая нагрузка меньше критической. Коэффициент запаса устойчивости принимают несколько большим коэффициента запаса прочности. | |||||||||||||
| Коэффициент продольного изгиба | – | коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения на сжатие или коэффициент продольного изгиба. . Зависит от материала стержня и его гибкости. Расчет на устойчивость по коэффициентам φ имеет вид: . | |||||||||||||
Изучение курса «Сопротивление материалов» (науки о прочности, жесткости и устойчивости деформируемых под нагрузкой элементов машин и конструкций) следует начать с повторения раздела «Статика» (связи и реакции связей, равновесие тел, уравнения равновесия, геометрические характеристики сечений).
Освоение каждой темы должно обязательно сопровождаться составлением конспекта, ответами на вопросы для самопроверки, ознакомлением с методикой решения задач, решением рекомендуемых задач, ответами на тесты. Если при решении задач возникнут затруднения, следует воспользоваться имеющимися в пособии методическими указаниями к решению задач, а также словарем понятий и терминов. Совершенно необходимо научиться решать задачи самостоятельно и соблюдать правила вычислений, используя калькулятор.
При выводе формул необходимо обращать особое внимание на физическую сущность явления и на те допущения и ограничения, которые делаются в процессе выводов. Необходимо хорошо разбираться в тех чертежах и рисунках, которыми сопровождаются выводы формул.
В процессе выполнения лабораторных работ студент знакомится с инструкциями по их выполнению, с испытательными машинами, измерительным инструментом, методами и видами экспериментального исследования конструкционных материалов, составляет отчет о проделанной работе, отвечает на вопросы, прилагаемые к инструкции лабораторной работы, и проходит компьютеризированный опрос по тестам.
Непременными условиями успешного овладения учебным материалом являются:
а) четкое понимание физического смысла рассматриваемых понятий;
б) свободное владение методом сечений;
в) осознанное применение геометрических характеристик прочности и жесткости поперечных сечений;
г) самостоятельное решение достаточно большого числа задач.
Методические указания по изучению курса
и вопросы для самопроверки
ТЕМА 1Введение. Основные понятия и определения
Литература: Степин П. А. § 1–6, Ицкович Г. М. § 1.1–1.5
Приступая к изучению курса, следует хорошо проработать тему «Введение», в которой изложены цели и задачи науки «Сопротивление материалов». «Сопротивление материалов» является одним из разделов механики реального твердого тела, способного деформироваться под влиянием приложенных к нему внешних сил, тесно связано с теоретической механикой, так как выводы многих теоретических положений в сопротивлении материалов опираются на законы и теоремы теоретической механики, но в то же время между этими двумя науками имеется и существенное различие. В то время как теоретическая механика устанавливает общие законы механического движения тел, не учитывая их физических свойств (твердость, прочность, упругость, силы сцеплений), сопротивление материалов основное внимание уделяет изучению деформации реальных твердых тел, которые возникают под действием внешних сил, вызывающих изменение формы и размеров тела, а тело благодаря силам внутреннего сцепления оказывает этому изменению определенное противодействие.
Ряд положений теоретической механики в сопротивлении материалов не принимается. Это относится к аксиоме о присоединении или отбрасывании взаимно уравновешенной системы сил, перенесении точки приложения силы вдоль ее линии действия, замены одной системы сил другой, ей статически эквивалентной, так как в этих случаях изменяется характер и величина деформации детали, что влечет за собой ошибки в расчетах конструкций.
Основной задачей науки о сопротивлении материалов является создание эффективных методов определения размеров элементов конструкций, которые обеспечили бы надежную их работу.
В теме «Основные понятия» вводятся понятия, которыми студент будет оперировать постоянно при изучении курса сопротивления материалов, важно хорошо усвоить их.
В основу решения большинства задач, рассматриваемых в курсе сопротивления материалов, положены гипотезы об однородности, сплошности и изотропности материала, об идеальной его упругости, пластичности, а также принципы: независимости начальных размеров механической системы, так называемый принцип Сен–Венана, позволяющий производить замену одной системы сил другой системой, статически эквивалентной. Введение указанных гипотез и принципов позволяет упростить решение задач сопротивления материалов без заметных погрешностей в результатах.
При изучении классификации внешних сил (нагрузок) следует отчетливо представлять их разновидности в зависимости от способа их приложения – объемные и поверхностные. Поверхностные нагрузки делят на распределенные и сосредоточенные. По характеру действия нагрузки делят на статические и динамические. Необходимо разбираться в разновидностях каждой из нагрузок и уметь привести пример на каждую из них.
Нагрузки, действующие на тело, вызывают в нем деформации. Тело, деформации которого рассматриваются, имеет форму бруса, т. е. тела, у которого длина значительно больше линейных размеров поперечного сечения. Если деформация после прекращения действия сил на тело исчезает, то такая деформация называется упругой. Неисчезающие деформации называются остаточными или пластическими, такие деформации в машинах и сооружениях, как правило, не допускаются.
Внешние силы (нагрузки), действующие на брус, вызывают возникновение в нем внутренних сил (сил упругости). Для определения внутренних сил пользуются методом сечений, который позволяет определить внутренние силы в том или ином сечении тела и заключается в следующем: брус, находящийся в равновесии, разрезают (мысленно) на две части, отбрасывают одну из частей, заменяют действие отброшенной части на оставшуюся внутренними силами и составляют уравнения равновесия для оставшейся части, на которую действуют приложенные к ней внешние и внутренние силы. Действующая в проведенном поперечном сечении система внутренних сил эквивалентна в общем случае одной силе и одному моменту. Разложив их на составляющие, получим соответствующие три силы (по направлению координатных осей Qx, Qy, Nz) и три момента (относительно этих осей Мх, Мy, Mz), которые называют внутренними силовыми факторами (ВСФ.).
Возникновение тех или иных ВСФ зависит от фактического нагружения бруса. Определяют ВСФ с помощью уравнений равновесия статики (рис. 1).
1. ∑Fix = 0 4. ∑Mx(Fi) = 0
2. ∑Fiy = 0 5. ∑My(Fi) = 0
3. ∑Fiz = 0 6. ∑Mz(Fi) = 0
Рис. 1
Надо хорошо усвоить, что внутренним нормальным силам соответствуют нормальные напряжения – σ (сигма), касательным силам касательные напряжения – τ (тау) (рис. 2).
τ
σ
Нормальное напряжение σ, действующее нормально, т. е. перпендикулярно к сечению, и касательное напряжение τ, действующее параллельно плоскости сечения или касательно к нему, являются составляющими полного напряжения , величина которого равна: =.
Рис. 2
Напряжение выражает меру внутренних сил, возникающих в материале элемента конструкции.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое деформация? Какие деформации называются упругими и какие пластическими (остаточными)?
2. Какие деформации (упругие или пластические) недопустимы при нормальной работе конструкции?
3. Что называется прочностью, жесткостью и устойчивостью детали (конструкции)?
4. Укажите, в каком из перечисленных ниже случаев нарушение нормальной работы произошло из–за недостаточной прочности, а в каком – из–за недостаточной жесткости или устойчивости детали:
– нормальная работа зубчатого зацепления колес нарушена из-за слишком большого упругого прогиба валов;
– при подъеме груза оторвался трос;
– велосипедная спица внезапно искривилась.
5. Как разделяются нагрузки (по их видам), действующие на части сооружений, и каковы их размерности?
6. На каких гипотезах и допущениях основаны выводы расчетных зависимостей сопротивления материалов?
7. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечном сечении бруса, сколько их может возникнуть и какие виды деформаций с ними связаны?
8. В чем заключается метод сечений? Для чего он применяется в сопротивлении материалов? Укажите последовательность операций при использовании метода сечений.
9. С какими внутренними силовыми факторами связано возникновение в поперечном сечении бруса нормальных напряжений и с какими – касательных напряжений?
10. Что называется напряжением? Какова его размерность?
11. Что такое нормальное и касательное напряжения? Как они действуют в рассматриваемых сечениях твердого тела? В каких единицах они выражаются?
12. Какова зависимость между полным, нормальным и касательным напряжением в точке в данном сечении?
13. Какие основные задачи решаются наукой о сопротивлении материалов?
14. Какие допущения о свойствах материалов приняты в курсе «Сопротивление материалов»?
ТЕМА 2
Растяжение и сжатие прямого бруса
Литература: Степин П. А. § 7–9, § 11–20, Ицкович Г. М. § 2.1–2.5, § 2.9–2.11
Изучение темы необходимо начинать с выяснения вопроса о внутренних силовых факторах, действующих в сечении бруса. Применение метода сечений позволяет найти величину и направление равнодействующей внутренней (продольной) силы упругости в рассматриваемом сечении. Принято считать, что внутренняя растягивающая сила положительна, а сжимающая – отрицательна. Поэтому неизвестную продольную силу всегда направляют от сечения (рис. 3), предполагая, что в рассматриваемом сечении возникает растяжение. Величина продольной силы определяется из условия равновесия отсеченной части, а именно: сумма сил, действующих по оси х, равна нулю при условии равновесия бруса.
Fix = F – N = 0, и следовательно N = F.
Если при расчете продольная сила получается положительной, это значит, что она действительно направлена от сечения и является растягивающей. Если N получается отрицательной, то она является сжимающей.
Рис. 3
При изучении растяжения и сжатия прямого бруса следует обратить особое внимание на гипотезу плоских сечений, которая справедлива и при других видах нагружения бруса. Сущность ее заключается в том, что плоские сечения, нормальные к оси бруса до деформации, остаются и после деформации плоскими и нормальными к его оси, а отсюда следует, что продольные элементы бруса растягиваются одинаково, силы упругости будут распределяться по сечению бруса равномерно, а поэтому напряжение во всех точках сечения определяется по формуле σ = N / A, где N – внутренняя сила, А – площадь поперечного сечения, которая является геометрической характеристикой прочности и жесткости, форма сечения значения не имеет, все точки сечения равноопасны.
Мерой деформации растяжения является относительное удлинение
ε = Δ l / l, где l – первоначальная длина бруса, Δl = l1 – l – абсолютное удлинение. Величина ε не имеет размерности и часто выражается в процентах.
Рис. 4
О
Рис. 4
собого внимания заслуживает закон Гука, согласно которому в пределах упругой деформации материала между напряжением и деформацией принимается прямо пропорциональная зависимость, которая выражается формулой:σ = Εε, где σ – напряжение,
Ε – модуль продольной упругости (модуль упругости первого рода или модуль Юн
ε – относительное удлинение (или осевое укорочение).
Модуль продольной упругости имеет размерность напряжения МПа или Па (1 МПа = 106 Па) и характеризует жесткость материала, его способность сопротивляться упругому деформированию.
Для участка бруса длиной l, на котором постоянны продольная сила и площадь поперечного сечения, закон Гука можно записать в виде:
.
Это вторая форма закона Гука. Произведение ЕА называют жесткостью сечения. При расчетах на растяжение и сжатие используют основной принцип прочности детали: действующие или расчетные напряжения ни в одной точке детали не должны превышать допускаемые напряжения.
Так как при растяжении (сжатии) во всех точках сечения напряжения одинаковы, то при расчете бруса на прочность определяют положение наиболее напряженного (опасного) поперечного сечения. Если брус имеет постоянное по его длине поперечное сечение, то опасным является сечение, в котором возникает наибольшая продольная сила N. Если значение продольной силы во всех сечениях одинаково, то опасным является сечение с наименьшей площадью. Для определения опасного сечения бруса при изменяющихся по его длине площади поперечного сечения и продольной силе необходимо строить эпюру нормальных напряжений.
Условие прочности бруса при растяжении (сжатии), составленное для опасного сечения, имеет вид:
.
Условие прочности в словесной форме можно записать следующим образом:
| Действующее (расчетное) напряжение = | Внутреннее усилие | ≤ Допускаемое напряжение |
| Характеристика поперечного сечения |
Форма сечения бруса не влияет на его прочность при растяжении (сжатии). Форму сечения бруса необходимо знать только для определения размеров сечения при известном сечении площади.
С помощью условия прочности выполняют три вида расчетов: проверочный расчет, проектный расчет и определение допускаемой нагрузки.
Надо знать, что в ряде случаев необходимые для расчета бруса усилия невозможно найти только из уравнений равновесия. Такие задачи называют статически неопределимыми. При решении таких задач уравнения, которых не хватает для определения усилий, составляют из условия деформации бруса или системы.
Вопросы для самопроверки1. Как нужно нагрузить прямой брус, чтобы он испытывал только растяжение (сжатие)?
2. Чем отличаются внутренние силовые факторы, возникающие при растяжении и сжатии?
3. Что называется продольной силой в сечении бруса? Как ее определить?
4. Что называется эпюрами продольных сил и нормальных напряжений? Как они строятся?
5. Определите продольную силу в каждом из поперечных сечений бруса (рис. 5) и постройте эпюры продольных сил.
3 2 1
50 кН 20 кН
3 2 1
Рис. 5
6. Выберите из приведенных на рис. 6 эпюр продольных сил ту, которая соответствует схеме нагружения бруса. Приведите схемы нагружения бруса, которые будут соответствовать остальным эпюрам продольных сил.
20 кН 12 кН 8 кН
а)
20 кН 8 кН
б)
6кН
в)
16 кН 8 кН
4 кН
г)
20 кН 4 кН
8 кН
д)
8 кН 6 кН
4 кН
Рис. 6
7. Что такое продольная и поперечная деформация бруса при растяжении (сжатии)? Напишите формулы для определения величин абсолютного и относительного удлинения или укорочения.
8. Что такое коэффициент Пуассона? Отчего зависит его величина?
9. По какой формуле определяется величина напряжения в поперечном сечении стержня?
10. Как распределяются напряжения по поперечному сечению бруса при растяжении (сжатии)?
11. Какая геометрическая характеристика сечения характеризует его прочность и жесткость при растяжении (сжатии)?
12. Зависит ли возникающее при растяжении (сжатии) напряжение:
– от материала бруса;
– от формы поперечного сечения?
13. Сформулируйте закон Гука и приведите формулу, выражающую этот закон.
14. Как определяется удлинение (укорочение) участка бруса с постоянным поперечным сечением и постоянной силой по всей его длине?
15. Какая величина в формуле закона Гука характеризует жесткость материала?
16. Во сколько раз изменится удлинение бруса, если при прочих равных условиях:
а) увеличить длину бруса в два раза;
б) увеличить диаметр бруса в два раза?
Как отразятся подобные изменения на прочности бруса?
17. Стальной стержень квадратного сечения, у которого модуль продольной упругости Е = 2 · 105 МПа, длина L = 0,6 м, закреплен одним концом и нагружен на другом конце растягивающей силой F = 40 кН. Определите:
а) нормальное напряжение в поперечном сечении;
б) изменение длины стержня.
18. Что называется допустимым напряжением материала? Почему оно должно быть ниже предела пропорциональности данного материала?
19. До какого предельного напряжения, являющегося механической характеристикой пластичного материала, можно нагружать брус, не опасаясь появления пластической деформации?
20. Для какого материала допустимое напряжение определяют по пределу текучести т, а для какого по пределу прочности в?
21. Что называется коэффициентом запаса прочности и каковы его численные значения, исходя из свойств материала?
22. Сформулируйте условия прочности и запишите в математической форме это условие при расчете на растяжение и сжатие.
23. Сколько различных видов расчета можно произвести с помощью условия прочности?
24. Напишите формулы, по которым:
а) проверяется действительное напряжение в сечении бруса;
б) подбирается площадь поперечного сечения и определяется величина допустимой нагрузки при заданном значении бруса.
25. При проверке прочности различных элементов конструкции, для материала которых допускаемое напряжение принято 160 МПа, фактические расчетные напряжения оказались равными 110, 155, 160, 167 и 180 МПа. Какие из перечисленных случаев соответствуют:
а) недостаточной прочности;
б) недостаточной жесткости;
в) достаточной прочности и экономичности?
26. Для бруса, показанного на рис. 7, определить диаметр, считая его по всей длине постоянным. Допускаемое напряжение для материала (Ст 3) принять равным 160 МПа.
12 кН 5 кН
Рис. 7
27. Определить допустимое значение нагрузки F по условию прочности стержня СВ, выполненного из стальной полосы 38 мм.
Принять [] = 160 МПа, АD = 0,5м, DВ = 0,7м.
Рис. 8
28. Какие системы (конструкции) называются статически определимыми и какие – статически неопределимыми?
29. Каков порядок решения статически неопределимых задач?
30. Что называется напряженным состоянием в точке тела? По каким формулам определяются нормальные и касательные напряжения, возникающие в наклонных площадях в случае плоского напряженного состояния?
ТЕМА 3
Механические свойства материалов
при растяжении и сжатии
Литература: Степин П. А. § 10, Ицкович Г. М. § 2.6–2.8
При изучении этой темы необходимо уделить основное внимание вопросу испытания материалов, основным механическим характеристикам прочности материала: пределов пропорциональности, упругости, текучести и прочности (временное сопротивление), учесть, что числовые их значения условны, так как для их нахождения соответствующие силы делят на первоначальную площадь поперечного сечения испытываемого образца.
При опытном изучении деформации растяжения очень важной характеристикой является пластичность материала, которая характеризуется величиной относительного удлинения после разрыва образца
и относительного сужения площади поперечного сечения
, где
А0 – первоначальная площадь сечения образца,
Аш – площадь сечения шейки образца после разрыва.
Вопросы для самопроверки1. Между какими величинами выражает зависимость диаграмма растяжения?
2. Как строится диаграмма растяжения?
3. Что называется пределом пропорциональности?
4. Что называется пределом упругости?
5. Что называется пределом текучести?
6. Что называется пределом прочности?
7. Каким механическим характеристикам материала соответствуют точки А, В, С, D на диаграмме растяжения (рис. 9)?
D
С Е
А В
Рис. 98. Какие материалы принято считать пластичными, хрупкими?
9. Какие механические характеристики, полученные при его испытании на растяжение, служат для оценки пластичности?
10. Какая деформация возникла в теле, если после снятия нагрузки размеры и формы тела полностью восстановились?
11. В чем заключается явление наклепа? Как получают наклеп в деталях и как от него избавляются?
12. На каком участке диаграммы растяжения пластичного материала выполняется закон Гука? Как графически определить модуль упругости?
13. Какой вид имеет диаграмма сжатия пластического материала?
14. Какой вид имеет диаграмма сжатия чугуна? Чем она отличается от диаграммы растяжения этого материала?
15. Можно ли определить предел прочности пластичного материала при испытании его на сжатие?
16. Предел прочности материала при растяжении пч.р = 120 Н/мм2. Предел прочности этого же материала на сжатие пч.с = 500 Н/мм2. Определите, какой это материал.
а) хрупкий,
б) пластичный.
ТЕМА 4
Срез и смятие
Литература: Степин П. А. § 23–26, Ицкович Г. М. § 4.1–4.2
Р
Рис. 10
азрушения, возникающие при таком виде нагружения, когда внешние силы действуют перпендикулярно оси бруса, равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, лежат в близко расположенных плоскостях, как, например, при резке листа металла, называют срезом (рис. 10).На срез работают различные соединительные детали: шпонки, штифты, заклепки, болты.
При практических расчетах элементов конструкций на прочность при срезе следует иметь в виду, что эти расчеты носят условный характер и выводы сопротивления материалов могут быть применим лишь при введении некоторых допущений:
1. В поперечных сечениях элементов возникают только поперечные силы;
2. Касательные напряжения равномерно распределены по площади поперечного сечения;
3. Если элемент имеет несколько сечений среза, то возникающие в них поперечные силы одинаковы;
4. Внешние силы, сдвигающие соединительные элементы, равномерно распределены между соединительными элементами.
С учетом двух последних допущений поперечная сила в сечении соединительного элемента:
, где F – внешняя сила, приложенная к соединительным элементам,
i – число плоскостей среза одного элемента,
n – число элементов.
Условие прочности при срезе имеет вид:
, где [τ] – допускаемое касательное напряжение.
При выборе допускаемых напряжений на срез пользуются следующими соотношениями:
для хрупких материалов [τ] = (0,8…1,0) [σр] и
для пластичных материалов [τ] = (0,5…0,6) [σр].
Условие прочности при срезе позволяет выполнять проектный (определение общей площади среза) и проверочный расчеты, а также определять значения допускаемой нагрузки.
Деформация материала часто сопровождается смятием материала в местах соприкосновения отдельных элементов конструкции: так, смятию подвергается поверхность детали, по которой происходит ее касание с шайбой или гайкой затянутого болтового соединения, боковая поверхность заклепки и поверхность скрепляемых предметов в месте соприкосновения с заклепкой.
Считают, что напряжения смятия распределяются по поверхности контакта равномерно. Условно для упрощения расчета допускают, что напряжения смятия распределяются равномерно по площади проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость.
Проверка на смятие производится: в случае разнородных материалов, для более мягкого материала, например при соединении двух деревянных брусков болтом проверяется на смятие древесина.
Расчетное уравнение на смятие имеет вид:
,
где σсм – фактическое напряжение на смятие,
F – нагрузка,
А – площадь смятия,
[σсм] – допускаемое напряжение на смятие.
Допускаемое напряжение на смятие принимают [σсм] = (1,7…2,0) [σ], где
[σ] – допускаемое напряжение на сжатие.
Вопросы для самопроверки1. Что называется деформацией сдвига?
2. Что называется абсолютным и относительным сдвигом?
3. Напишите формулы для определения абсолютного сдвига и касательных напряжений при сдвиге.
4. Как определяется величина действительных напряжений в поперечном сечении бруса при чистом сдвиге (срезе)?
5. Сформулируйте условие прочности при расчете на срез.
6. Какую механическую характеристику прочности материала нужно знать, чтобы определить силу давления пробойника на лист для вырубки в нем отверстия?
7. Определить толщину листа t, в котором пробили квадратное отверстие со стороной а = 18 мм, если предел прочности при срезе пч = 400 Н/мм2, а величина силы F необходимой для пробивания отверстия равна 320 кН (рис. 11).
Рис. 11
8. Что такое смятие? На каких допущениях основаны расчеты на смятие?
9. Как определяется площадь смятия, если поверхность смятия плоская и если поверхность смятия цилиндрическая?
10. По какой формуле ведется расчет на смятие?
11. Шпилька 20 мм прикрепляет к стене стальной лист сечением 1008 мм (рис. 12). Чему равны напряжения среза и смятия шпильки и напряжение растяжения в листе, если F = 40 кН.
Рис. 12
12. Сформулируйте закон Гука при сдвиге. Каков физический смысл модуля сдвига?
13. Какая существует зависимость между модулем упругости первого и второго рода?
14. Как рассчитываются заклепочные соединения на срез и смятие?
15. По какому сечению в заклепочном соединении проводится проверка листов на разрыв?
ТЕМА 5
Кручение, геометрия сечений
Литература: Степин П. А. § 27–31, § 35–39, Ицкович Г. М. § 6.1–6.6, § 5.1–5.3
В теории изгиба и кручения важную роль играют моменты инерции сечения. Необходимо вспомнить и повторить из теоретической механики правила нахождения центра тяжести сечения и статических моментов плоских фигур.
Необходимо уяснить вычисление моментов инерции для простейших плоских фигур (прямоугольника, треугольника, круга).
Рассматривая теорему о моменте инерции сечения относительно оси, параллельной центральной (Iy1 = Iy + a2A), необходимо понять, что теорема справедлива только в том случае, если ось у проходит через центр тяжести фигуры.
Важно уяснить, что сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей.
Приступая к изучению раздела «Кручение», следует отметить, что данную деформацию испытывают такие детали машин, как валы, пружины, иногда болты при затяжке гайки ключом и др. Деформация кручения появляется при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к его оси. Моменты этих пар называют вращающими моментами.
При вычислении вращающих моментов пользуются формулой:
, где М – вращающий момент в Нм,
N – мощность в кВт,
угловая скорость,
n – число оборотов в минуту.
Необходимо уяснить те допущения, на которых основана элементарная теория кручения стержней круглого сечения: крайние сечения остаются плоскими, расстояния между поперечными сечениями не изменяются, радиусы, проведенные на торцевых сечениях, остаются прямолинейными и поворачиваются вместе с сечениями на некоторый угол.
Следует разобраться в построении эпюры крутящих моментов. Эпюра показывает изменение величины крутящего момента по длине вала. Необходимо уметь самостоятельно выполнять вывод формулы для напряжений при кручении стержня круглого сечения.
При кручении напряжение распределяется по поперечному сечению неравномерно (в линейной зависимости от расстояния точки до полюса сечения)
, где τ – касательное напряжение в точке, находящейся на расстоянии ρ от оси бруса.
Мкр – крутящий момент в поперечном сечении,
ρ – расстояние до точки сечения,
Ip – полярный момент инерции площади сечения,
Опасными считаются все точки контура сечения, геометрическими характеристиками прочности и жесткости сечения являются соответственно полярный момент сопротивления и полярный момент инерции, значения которых зависят не только от площади, но и от формы сечения. Рациональным (т. е. дающим экономию материала) является кольцевое сечение, имеющее по сравнению с круглым сплошным меньшую площадь при равном моменте сопротивления (моменте инерции).
Необходимо уметь рассчитывать диаметр вала из условия прочности:
и условия жесткости:
, где
Wp – полярный момент сопротивления площади сечения,
l – длина вала,
G – модуль упругости при сдвиге,
Ір – полярный момент инерции площади сечения.
Для бруса из пластичного материала принимают [τ] = (0,55…0,6) [σр], для валов из конструкционных сталей обычно принимают [τ] = 20…50 МПа.
Допускаемый угол закругления в машиностроении принимают:
[φ] = 0,25…1,00 град/м.
Вопросы для самопроверки1. Как нужно нагрузить прямой брус, чтобы он испытывал только кручение?
2. Как определить вращающий момент, передаваемый шкивом (зубчатым колесом и т. д.), если известна передаваемая мощность и угловая скорость?
3. Чему должна быть равна алгебраическая сумма вращающихся моментов для равномерно вращающегося вала?
4. Что называется крутящим моментом в поперечном сечении бруса?
5. Какая разница между крутящим и скручивающим или вращающим моментом?
6. Что такое эпюра крутящих моментов? Как производится ее построение? Сформулируйте правило знаков при определении величины крутящего момента.
7. Выберите из приведенных на рис. 13 эпюр крутящих моментов ту, которая соответствует схеме нагружения вала, приведите схемы напряжения, которые будут соответствовать остальным эпюрам крутящих моментов.
а) 4 кНм 3 кНм 12 кНм 5 кНм
б) 5 кНм 8 кНм
4
7 кНм
в)
5 кНм
4 кНм
3 кНм
г)
4 кНм 7 кНм
5 кНм
д)
2 кНм 5 кНм
4 кНм
Рис. 13
8. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого стержня при кручении? Как находится их величина в произвольной точке поперечного сечения?
9. Что называется полярным моментом инерции сечения? Какова размерность этой величины? По каким формулам вычисляется полярный момент инерции круга и кругового кольца?
10. По какому закону распределяются напряжения в поперечном сечении круглого бруса при кручении?
11. Какая геометрическая характеристика сечения характеризует при кручении:
а) его прочность;
б) его жесткость?
12. Зависит ли напряжение, возникающее при кручении:
а) от материала бруса;
б) от формы поперечного сечения (круг или кольцо)?
13. Какие точки поперечного сечения являются опасными при кручении бруса? Для каких точек сечения напряжение вычисляется по формуле = Мкр / Wp?
А
D В
о
С
Рис. 12
14. Как записывается условие прочности при кручении? Что такое полярный момент сопротивления? По каким формулам вычисляются его значения для круга и для кругового кольца?
15. Какой величиной характеризуется величина деформации при кручении?
16. По какой формуле определяется угол поворота какого–либо поперечного сечения бруса, имеющего ступенчато–переменное поперечное сечение и нагруженного несколькими скручивающими (вращающими) моментами?
17. Зависит ли угол закручивания сечения: а) от материала бруса; б) от формы поперечного сечения?
18. Во сколько раз изменится угол закручивания бруса, если при прочих равных условиях: а) увеличить длину бруса в два раза; б) увеличить диаметр бруса в два раза? Как отразятся подобные изменения на прочности бруса?
19. Определить диаметр вала, показанного на рис. 13,а, считая его по всей длине постоянным, если [] = 40 МПа.
20. Напишите математическое выражение условия жесткости при кручении. Сколько различных видов расчета можно производить из этого условия?
ТЕМА 6
Поперечный изгиб
Литература: Степин П. А. § 45–54, § 58–60, Ицкович Г. М. § 7.1–7.9, § 7.13
Приступая к изучению этой темы необходимо уяснить, что теория изгиба построена при следующих допущениях и предположениях (рис. 15):
1. Геометрическая ось бруса, т. е. ось, проходящая через центры тяжести сечений, есть прямая линия;
2. Внешние силы рис.15 (нагрузки), изгибающие брус, лежат в одной плоскости, проходящей через геометрическую ось бруса, и все нагрузки перпендикулярны к геометрической оси бруса;
3. Плоскость действия нагрузок является плоскостью симметрии бруса;
4. Поперечные сечения бруса, плоские до деформации изгиба, остаются плоскими и после деформации;
5. Деформации бруса незначительны.
Изгибом называют такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают два силовых фактора – поперечная сила Q и изгибающий момент М, для определения численных значений которых используется метод сечений. Необходимо помнить, что поперечная сила в данном сечении равна алгебраической сумме внешних сил, расположенных только по одну сторону (справа или слева) от рассматриваемого сечения, а изгибающий момент в данном сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил (расположенных слева или справа от сечения), взятых относительно центра тяжести сечения. При этом надо строго придерживаться правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента. Поперечная сила считается положительной, если внешние силы стремятся сдвинуть левую часть балки относительно правой вверх или правую часть балки относительно левой – вниз. Правило для поперечной силы показано на рис. 16.
Рис. 16
Правило знаков для изгибающих моментов: внешним моментам, изгибающим мысленно закрепленную в рассматриваемом сечении отсеченную часть балки выпуклостью вниз, приписывается знак плюс, а моментам, изгибающим отсеченную часть балки выпуклостью вверх, – знак минус (рис. 17).
Рис. 17
Следует научиться свободно строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Для проверки правильности построения эпюр целесообразно пользоваться теоремой Журавского, устанавливающей зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой:
, т. е. поперечная сила равна производной от изгибающего момента по абсциссе сечения х.
Интенсивность распределения нагрузки:
, т. е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения х равна интенсивности распределенной нагрузки.
Необходимо уметь выводить формулу для определения нормальных напряжений в производной точке сечения балки:
, где
М – изгибающий момент в данном сечении балки,
у – расстояние точки сечения от нейтральной оси,
Ix – осевой момент инерции сечения балки.
Из формулы для определения нормальных напряжений в производной точке можно получить расчетное уравнение на изгиб. Обозначив допускаемое напряжение на изгиб [σ], получим расчетное уравнение:
, где
Мmax – наибольший изгибающий момент в сечении балки,
Wx – осевой момент сопротивления сечения.
Условие прочности позволяет выполнять три вида расчетов: проверочный расчет балки на прочность, определение допускаемых размеров сечения и расчет допускаемых действующих на балку нагрузок.
Рис. 18
После этого следует перейти к изучению вопроса об определении углов поворота поперечных сечений и прогибов балок. Для их определения целесообразно использовать универсальные уравнения.
Линейное перемещение у центра тяжести сечения называется прогибом. Наибольший прогиб обозначают f. Сечение балки поворачивается вокруг нейтральной линии сечения на некоторый угол φ, который называется углом поворота сечения. Условие жесткости при изгибе записывают в виде:
f ≤ [f]; φmax ≤ [φ].
Допускаемый прогиб назначают в долях пролета балки l.
Для валов принимают [f] = (0,0002...0,0010)l.
Допускаемые углы поворота сечений вала в местах, где расположены подшипники, принимают в пределах 0,001...0,005 рад.
Вопросы для самопроверки1. Как нужно нагрузить прямой брус, чтобы он испытывал только прямой изгиб?
2. Что называется поперечной силой и изгибающим моментом в данном сечении балки?
3. Как находится поперечная сила в каком–либо сечении балки? Сформулируйте правило знаков для определения поперечной силы.
4. Как находится изгибающий момент в каком–либо сечении балки? В каком случае изгибающий момент считается положительным?
5. Определите поперечную силу и изгибающий момент в каждом поперечном сечении балки на рис. 19.
F = 12 кН q = 8 кН/м
М = 2 кНм 1 2 3
0,2 м 0,5 м 0,5 м 1,4 м 0,4 м 1,2 м
1 2 3
Рис. 196. Выберите из приведенных на рис. 20 эпюр изгибающих моментов ту, которая соответствует схеме нагружения балки. Приведите схемы нагружения балки, которые соответствуют остальным эпюрам изгибающих моментов.
а)
q = 8 кН/м F = 5 кН
3 м 2 м
б)
25 кНм
8 кНм
М
в)
М
51 кНм
10 кНм
г)
5 кНм
41 кНм М
Рис. 207. Напишите формулу для определения нормального напряжения в произвольной точке поперечного сечения бруса, работающего на изгиб. Какая геометрическая характеристика сечения характеризует его прочность при изгибе?
8. Как распределяются нормальные напряжения по поперечному сечению при изгибе?
9. Зависит ли возникающее при изгибе нормальное напряжение: а) от материала балки; б) от формы поперечного сечения?
10. Какие точки поперечного сечения балки являются опасными? Для кааких точек сечения нормальные напряжения вычисляют по формуле = Ми/Wх.
11. Как записывается условие прочности при изгибе?
12. Что называется осевым моментом сопротивления площади сечения?
13. Напишите формулы для определения осевых моментов сопротивления круга, кольца, прямоугольника.
14. Какие формулы поперечных сечений рациональны для балок из пластичных материалов?
15. Какие формулы поперечных сечений следует применять для чугунных балок?
16. Во сколько раз изменится прочность балки, если при прочих равных условиях: а) увеличить диаметр балки в два раза; б) увеличить в два раза длину консольной балки, нагруженной силой на конце консоли (консольной называется балка с опорой в виде заделки)?
17. Для балки, показанной на рис. 20, подберите ее диаметр, приняв [] = 160 МПа.
18. В каких плоскостях возникают касательные напряжения при изгибе? Как находится их величина?
19. Как записываются дифференциальные уравнения изогнутой оси балки?
20. Напишите универсальные уравнения для определения перемещений при изгибе.
21. В чем состоит сущность расчета на жесткость при изгибе?
ТЕМА 7
Сложное сопротивление
Литература: Степин П. А. § 68–72, § 75–81, Ицкович Г. М. § 8.1–8.3, § 9.1–9.4
На практике часто встречаются случаи, когда в результате действия нагрузки в поперечных сечениях бруса одновременно появляется несколько компонентов внутренних сил. Тогда говорят, что брус находится в условиях сложного сопротивления. Таковы, например, случаи одновременного изгиба в двух плоскостях (косой изгиб) (рис. 21), одновременного растяжения или сжатия с изгибом (рис. 22) и, в частности, внецентренного растяжения (сжатия) одновременного кручения и изгиба (рис. 23).
Рис. 22
Рис. 21 Рис. 23
Задачи на сложное сопротивление решаются исходя из принципа независимости действия сил. Этот принцип позволяет получить окончательный результат решения задачи при совместном действии различных силовых факторов путем наложения (суммирования) результатов, вызванных каждым внешним силовым фактором в отдельности.
Наиболее часто на практике в поперечных сечениях бруса возникают следующие комбинации внутренних силовых факторов: два изгибающих момента, действующие во взаимно перпендикулярных плоскостях; продольная сила и изгибающие моменты; изгибающие и крутящий моменты; продольная сила и крутящий момент. Следует иметь в виду, что напряжение надо рассматривать как алгебраическую сумму нормальных напряжений, вызванных растягивающими и изгибающими внешними силовыми воздействиями, а касательное напряжение τ – как алгебраическую сумму касательных напряжений в данной точке, вызванных кручением и изгибом.
Необходимо более детально рассмотреть задачу об определении напряжений и деформаций для трех случаев сложного сопротивления: косого изгиба, внецентренного растяжения (сжатия), совместного действия изгиба и кручения.
Вопросы для самопроверки1. Что называется напряженным состоянием в данной точке деформируемого тела?
2. Какие имеются виды напряженного состояния материала?
3. Как определить напряжение на наклонной площадке растянутого стержня?
4. Как называются площадки, по которым действуют наибольшие и наименьшие нормальные напряжения?
5. Какие напряжения называются главными?
6. Чему равно наибольшее касательное напряжение в случае плоского и объемного напряженного состояния?
7. Напишите формулу обобщенного закона Гука.
8. Зачем применяются гипотезы прочности?
9. Как формируются гипотезы прочности наибольших касательных напряжений и удельной потенциальной энергии формоизменения?
10. Какие формулы служат для определения величин эквивалентных напряжений по гипотезам прочности наибольших касательных напряжений и удельной потенциальной энергии формоизменения?
11. Какой вид деформации бруса называется косым изгибом?
12. По какой формуле определяется нормальное напряжение при косом изгибе?
13. В каких точках поперечного сечения возникают наибольшие напряжения при косом изгибе?
14. Может ли балка круглого поперечного сечения испытывать косой изгиб?
15. Как находят напряжения в произвольной точке поперечного сечения при внецентренном растяжении или сжатии?
16. Какие напряжения возникают в поперечном сечении стержня при изгибе с кручением?
17. Какие точки поперечного сечения вала, испытывающего кручение и изгиб, являются опасными? Для каких точек сечения эквивалентные напряжения вычисляют по формуле э = Мэ / Wx?
18. Как пишутся условия прочности вала на совместное действие изгиба и кручения по третьей и четвертой теории прочности?
19. Как находится величина расчетного момента при изгибе с кручением вала по третьей и четвертой теориям прочности?
20. Вычислите эквивалентный момент по третьей теории прочности, приняв для опасного сечения вала Ми = 380 Нм и Мк = 320 Нм. Определите диаметр вала, приняв [] = 80 МПа.
ТЕМА 8
Продольный изгиб
Литература: Степин П. А. § 83–89, Ицкович Г. М. § 12.1–12.4
При изучении явления продольного изгиба необходимо обратить внимание на то, что при сжатии длинных стержней бывают случаи, когда при постепенном увеличении нагрузки резко меняется форма равновесия и напряженное состояние, в результате чего может быть внезапное разрушение.
Если сжимающие силы будут больше предельной величины, то ось стержня изогнется и стержень будет подвергаться, кроме сжимающей силы, изгибающему моменту (рис. 24 а, б).
Рис. 24
F – действующая на стержень сжимающая сила,
Fкр – критическая сила, т. е. сжимающая центрально приложенная сила, при которой стержень еще устойчиво сохраняет прямолинейную форму равновесия
Величина критической силы определяется по формуле Эйлера:
, где
Е – модуль упругости 1-го рода материала стержня,
μ – коэффициент приведения длины стержня,
Imin – наименьший осевой момент инерции сечения,
l – длина стержня,
Fкр – величина критической силы.
Зная величину критической силы Fкр и площадь сечения стержня А, можно определить величину критического напряжения:
,
так как представляет собой радиус инерции сечения и
есть гибкость стержня, то величина критического напряжения выражается формулой:
.
Нужно обратить особое внимание на предел применимости формулы Эйлера . При гибкости меньше предельной формула Эйлера неприменима, расчет стержня на устойчивость выполняют по эмпирической формуле Ясинского кр=а – b, где a и b – коэффициенты, зависящие от материала. Следует также четко представлять себе, что при расчетах на устойчивость в отличие от расчетов на прочность предельное напряжение (здесь – критическое напряжение σкр) зависит не только от материала бруса, но и его геометрических размеров, формы сечения, а также от способа закрепления концов.
В обоих случаях λ λпред расчет стержня на продольный изгиб можно вести при помощи коэффициента понижения допускаемого напряжения на простое сжатие. Расчетная формула имеет вид:
Fдоп = []сжA, коэффициент φ зависит от гибкости и материала стержня.
Вопросы для самопроверки1. В чем заключается явление потери устойчивости сжатого стержня?
2. Какую форму обретает центрально–сжатый стержень, если сжимающая его сила больше критической?
3. Какая сила называется критической?
4. По какой формуле находится величина критической силы?
5. Что называется гибкостью стержня?
6. Как учитывается влияние способов закрепления концов стержня?
7. Перечислите основные способы закрепления концов стержня и назовите коэффициенты приведения длины, учитывающие их влияние на величину критической силы.
8. Какой из показанных на рис. 24 стержней, выполненных из одинакового материала, одинаковой длины и поперечного сечения, потеряет устойчивость при меньшем значении сжимающей силы?
а) F б) F в) F г) F
Рис. 25
9. При какой гибкости стержня применима формула Эйлера для подсчета критической силы?
10. Во сколько раз изменится значение критической силы для стержня большой гибкости, если: а) длину стержня увеличить в два раза; б) диаметр стержня уменьшить в два раза?
11. На рисунке 26 показаны поперечные сечения трех сжатых стержней. Какое сечение (круг или кольцо) при равной площади сечения и прочих равных условиях потеряет устойчивость при большем значении критической силы? Какое сечение (круг, кольцо или прямоугольник) менее рационально с точки зрения устойчивости стержня?
Y Y Y
X X X
a) б) в)
Рис. 2612. Какой момент инерции подставляется в формулу Эйлера?
13. Определите критическую силу для стержня (рис. 25, в) длиной 1,5 м, квадратного сечения 2020 мм и выполненного из ст. 3. Модуль продольной упругости материала Е = 200 ГПа.
14. Как производится проверка стержней на устойчивость при помощи коэффициента ?
15. Как подбирается сечение стержня при расчете на устойчивость?
тесты для проверки знаний по всему курсу
| № вопр. | вопрос | варианты ответа | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| 1.1. | Как называется способность элемента конструкции выдерживать заданную нагрузку без разрушения? | Жесткость | Прочность | Устойчивость | Наклеп |
| 1.2. | Установите соответствие: 1. Свойство тел восстанавливать после удаления внешних сил свою первоначальную форму и размеры. 2. Свойство материала иметь остаточную деформацию. 3. Способность материала сопротивляться проникновению в него другого тела, практически не получающего остаточных деформаций. 4. Способность материала разрушаться при незначительных остаточных деформациях. | А. Твердость Б. Упругость В. Пластичность Г. Хрупкость | |||
| 1.3. | Для какой части стержня не изменится его внутренняя продольная сила при переносе силы из точки В в точку А? | ВА | АС | СВ | – |
| 1.4. | Какая из эпюр внутренних продольных сил N является верной? | ||||
| 1.5. | Напряжением называют: | Силу, действующую на некоторой сравнительно большой площади поверхности конструкции | Внутреннюю силу, приходящуюся на единицу площади в данной точке сечения | Силу, которая передается на деталь по площадке, размеры которой малы по сравнению с размерами элемента конструкции | Равнодействующую внутренней силы упругости, противодействующей внешней силе |
| 2.1. | Определите абсолютное и относительное удлинение ε, пользуясь законом Гука, если напряжение в поперечном сечении стержня σ = 140 МПа, Е = 2·105 МПа, l = 2 м | ε = 0,07 % Δl = 1,4 мм | ε = 0,06 % Δl = 1,3 мм | ε = 0,065 % Δl = 1,38 мм | ε = 0,05 % Δl = 0,8 мм |
| 2.2. | На каком участке диаграммы выполняется закон Гука? | ОА | ВС | ОВ | СD |
| 2.3. | Нормальное напряжение в поперечном сечении бруса при растяжении (сжатии) определяется по формуле: | ||||
| 2.4. | Определите размеры поперечного сечения бруса, растягиваемого силой F = 24кН, если предел текучести σт = 240 МПа, коэффициент запаса прочности [n] = 2. | А = 130 мм2 | А = 300 мм2 | А = 250 мм2 | А = 200 мм2 |
| 3.1. | Какая точка на диаграмме растяжения пластического материала соответствует пределу текучести? | С | А | В | D |
| 3.2. | Как называется условное напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, выдерживаемой образцом до разрушения? | Предел текучести | Предел прочности | Предел пропорциональности | Предел упругости |
| 3.3. | По какой формуле определяется относительное остаточное сужение при разрыве? | ||||
| 3.4. | Как называется напряжение, при котором образец из данного материала разрушается или в нем возникают заметные остаточные деформации? | Допускаемое | Действительное | Расчетное | Предельное |
| 4.1. | Укажите закон Гука при сдвиге. | ||||
| 4.2. | Укажите условие прочности при расчете заклепок на перерезывание. | ||||
| 4.3. | Определите наибольшую толщину листа t, в котором продавливается отверстие диа–метром d = 10 мм, силой F = 160 кН, если предел проч–ности материала на срез τпч = 320 Н/мм2 | d = 15,4 мм | d = 16,7 мм | d = 16,3 мм | d = 15,9 мм |
| 4.4. | Какой вид деформации возникает при соприкосновении соединенных деталей, оказывающих давление друг на друга? | Растяжение | Срез | Смятие | Кручение |
| 5.1. | Какая эпюра крутящих моментов соответствует заданной схеме загружения вала? | ||||
| 5.2. | По какой формуле определяется каса–тельное напряжение в произвольном волокне вала при кручении? | ||||
| 5.3. | Какой скручивающий момент Мкр может быть приложен к стальному валу диаметром D = 20 мм при допускаемом напряжении [τкр] = 80Н/мм2? | Мкр = 110 Нм | Мкр = 128 Нм | Мкр = 157 Нм | Мкр = 95 Нм |
| 5.4. | Укажите условие жесткости при кручении вала. | ||||
| 6.1. | Чему равна поперечная сила в сечении балки при x = 3 м. | Q = 54 кН | Q = 48 кН | Q = 62 кН | Q = 56 кН |
| 6.2. | Чему равен изгибающий момент в сечении балки при х = 3 м. | М = 182 кНм | М = 157 кНм | М = 192 кНм | М = 176 кНм |
| 6.3. | Выберите правильный вариант эпюры поперечной силы Q для заданного загружения балки |
|
| ||
| 6.4. | Выберите правильный вариант эпюры изгибающего момента М для заданного загружения балки |
|
| ||
| 6.5. | Проверить прочность деревянной консольной балки прямоугольного поперечного сечения длиной l = 1 м, нагруженной силой F = 320 Н, если [σи] = 94 Н/мм2, b = 100 мм, h = 150 мм | σ = 8,53 Н/мм2 ≤ [σ] | σ = 9,45 Н/мм2 ≤ [σ] | σ = 8,42 Н/мм2 ≤ [σ] | σ = 9,56 Н/мм2 ≤ [σ] |
| 7.1. | Укажите формулу для определения осевого момента инерции площади круга | 0,1 d4 | 0,2 d3 | 0,1 d3 | 0,05 d4 |
| 7.2. | Как называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения? | Осевой момент инерции | Полярный момент сопротивления | Осевой момент сопротивления | Центробежный момент инерции |
| 8.1. | При каком способе опирания стойки коэффициент приведения длины μ = 1? | ||||
| 8.2. | По какой формуле определяется критическая сила для стержней большой гибкости? | σTA | σпчA | ||
| 8.3. | Как вычислить гибкость стоек большой длины? | ||||
Справочный материал
Таблица 1. Механические характеристики
малоуглеродистой стали
Механические свойства стали по гост 380–88
| Марка стали | Временное сопротивление в, МПа | Предел текучести т, МПа, для толщин, мм | Относительное удлинение 5 % – для толщин, мм | |||||
| до 20 | св. 20 до 40 | св. 40 до 100 | св. 100 | до 20 | св. 20 до 40 | св. 40 | ||
| не менее | ||||||||
| Ст 0 | Не менее 300 | – | – | – | – | 23 | 22 | 20 |
| Ст1кп | 300–390 | – | – | – | – | 35 | 34 | 32 |
| Ст1пс, Ст1сп | 310–410 | – | – | – | – | 34 | 33 | 31 |
| Ст2кп | 320–410 | 215 | 205 | 195 | 185 | 33 | 32 | 30 |
| Ст2пс, Ст2сп | 330–430 | 225 | 215 | 205 | 195 | 32 | 31 | 29 |
| Ст3кп | 360–460 | 235 | 225 | 215 | 195 | 27 | 26 | 24 |
| Ст3пс, Ст3сп | 370–480 | 245 | 235 | 225 | 205 | 26 | 25 | 23 |
| Ст3Гпс | 370–490 | 245 | 235 | 225 | 205 | 26 | 25 | 23 |
| Ст3Гсп | 390–570 | – | 245 | – | – | – | 24 | – |
| Ст4кп | 400–510 | 255 | 245 | 235 | 225 | 25 | 24 | 22 |
| Ст4пс, Ст4сп | 410–530 | 265 | 255 | 245 | 235 | 24 | 23 | 21 |
| Ст5пс, Ст5сп | 490–630 | 285 | 275 | 265 | 255 | 20 | 19 | 17 |
| Ст5Гпс | 450–590 | 285 | 275 | 265 | 255 | 20 | 19 | 17 |
| Ст6пс, Ст6сп | Не менее 590 | 315 | 305 | 295 | 295 | 15 | 14 | 12 |
Таблица 2. Ориентировочные величины основных
допускаемыхнапряжений на растяжение и сжатие
| Материал | Допускаемое напряжение, кг/см2 | ||
| на растяжение | на сжатие | ||
| Чугун серый в отливках | 280–800 | 1200–1500 | |
| Сталь Ст.2 | 1400 | ||
| Сталь Ст.3 | 1600 | ||
| Сталь Ст. 3 в мостах | 1400 | ||
| Сталь машиностроительная (конструкционная) углеродистая | 600–2500 | ||
| Сталь машиностроительная (конструкционная) легированная | 1000–4000 и выше | ||
| Медь | 300–1200 | ||
| Латунь | 700–1400 | ||
| Бронза | 600–1200 | ||
| Алюминий | 300–800 | ||
| Алюминиевая бронза | 800–1200 | ||
| Дуралюмин | 800–1500 | ||
| Текстолит | 300–400 | ||
| Гетинакс | 500–700 | ||
| Бакелизированная фанера | 400–500 | ||
| Сосна вдоль волокон | 70–100 | 100–120 | |
| Сосна поперек волокон | – | 15–20 | |
| Дуб вдоль волокон | 90–130 | 130–150 | |
| Дуб поперек волокон | 20–35 | ||
| Каменная кладка | до 3 | 4–40 | |
| Кирпичная кладка | до 2 | 6–25 | |
| Бетон | 1–7 | 10–90 | |
Таблица 3. Геометрические характеристики некоторых плоских сечений
| Сечение | Ордината центра тяжести yс | Площадь А | Осевой момент инерции Jх | Момент сопротивления Wх | Радиус инерции iх |
| 0 |
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|