Методическое письмо Об использовании результатов государственной (итоговой) аттестации выпускников основной школы в новой форме в 2008 году в преподавании алгебры в общеобразовательных учреждениях

Методическое письмо

Об использовании результатов государственной (итоговой) аттестации выпускников основной школы в новой форме в 2008 году в преподавании алгебры в общеобразовательных учреждениях

Экзамен проводится с целью государственной (итоговой) аттестации по алгебре выпускников девятых классов общеобразовательных учреждений на основе оценки уровня овладения обучающимися программным материалом.

Работа рассчитана на выпускников IX классов общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев), включая классы с углубленным изучением математики. Результаты экзамена могут быть использованы при комплектовании профильных десятых классов, а также при приеме в учреждения системы начального и среднего профессионального образования без организации дополнительных испытаний.

Содержание экзамена 2008 г. регламентировалось следующими документами:

-Обязательный минимум содержания основного общего образования по математике (приложение к Приказу Минобразования России от 19.05.1998 №1276 «Об утверждении временных требований к обязательному минимуму содержания основного общего образования»).

-Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Математика. Основное общее образование (Приказ Минобразования России от 05.03.2004 №1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).

Экзамен по алгебре в новой форме проводится с 2004 года. «География» экзамена постоянно расширяется, растет число участников. В 2008 году общий охват учащихся составил 530 тыс. человек, т.е. почти 60% от всех выпускников основной школы. Можно сказать, что проведение экзамена в новой форме стало массовым. В то же время схема участия в экзамене территорий РФ различна. Можно выделить три основных вида участия: экзамен в новой форме сдают все учащиеся данной территории; происходит постепенное, по годам, расширение числа участников территории; добровольное участие отдельных школ в новой форме аттестации

На протяжении всех лет проведения экзамена его концепция принципиальным образом не менялась (на предварительном этапе она разрабатывалась совместно с представителями экспериментальных территорий, широко обсуждалась и проверялась в практике). В то же время уточнялись некоторые параметры экзамена и, прежде всего, такие, как количественное распределение зданий по содержательным блокам и по категориям познавательной области, а также критерии оценивания. В 2008 году по сравнению с 2006-2007 годами содержательно-структурных изменений в общих текстах экзаменационных работ не было. Одновременно в одной из территорий был проведен пилотный эксперимент по включению в экзамен заданий по вероятностно-статистической линии. Проверка подготовки учащихся по вероятностно-статистической линии в 2009 году продолжится в режиме локального эксперимента. Участие регионов и школ в этой работе исключительно добровольное.

Характеристика экзаменационной работы 2008 года

Структура работы отвечает цели построения системы дифференцированного обучения в современной школе, которая включает две задачи: формирование у всех учащихся базовой математической подготовки, составляющей функциональную основу общего образования; одновременное создание для части школьников условий, способствующих получению подготовки повышенного уровня, достаточной для активного использования математики в дальнейшем обучении, прежде всего, при изучении ее в старших классах на профильном уровне. В соответствии с этим работа состоит из двух частей.

Первая часть
экзаменационной работы направлена на проверку достижения базового уровня арифметико-алгебраической подготовки, безусловно, необходимой для изучения математики и смежных предметов на старшей ступени школы, а также для адаптации к жизни в современном информационном обществе. Базовая подготовка предполагает знание и понимание основных алгебраических определений, терминов и символов, фактов, формул, владение на элементарном уровне важнейшими алгоритмами, умение переходить с одного математического языка на другой и, что особенно важно, умение применять свои знания к решению несложных задач как математического, так и практического характера. Базовая подготовка должна характеризоваться определенной системностью знаний, умением распознать элементарную стандартную задачу в несколько измененной формулировке, способностью делать несложные умозаключения, понимать и интерпретировать различные формы представления математической информации.

Эта часть содержит 16 заданий, в совокупности охватывающих все разделы курса и предусматривающих три формы ответа: задания с выбором ответа из четырех предложенных вариантов (10 заданий), задания с кратким ответом (5 заданий) и одно задание на соотнесение. В соответствии с характеристикой базовой подготовки, приведенной выше, каждое из шестнадцати заданий связывается с двумя параметрами: содержание и категория познавательной области.

По содержанию каждое задание относится к одному из следующих разделов: числа
, буквенные выражения
, преобразования алгебраических выражений
, уравнения
, неравенства
, последовательности и прогрессии
, функции и графики
. В ближайшие годы этот список будет дополнен разделом элементы теории вероятностей и статистики
. В первой части работы представлены все перечисленные разделы, причем число заданий по каждому из них примерно соответствует удельному весу этого раздела в школьном курсе.

Каждое задание соотносится также с одной из четырех категорий познавательной области: знание
/ понимание
, умение применить алгоритм
(далее – алгоритм), умение применить знания для решения математической
задачи
(далее – решение задачи), применение знаний в практической ситуации
(далее – практическое применение).

Количественное распределение заданий по указанным параметрам разделам приведено в таблицах 1 и 2.

Таблица 1.

Распределение заданий первой части по разделам содержания

Числа	Буквенные выражения	Тождественные преобразования	Уравнения	Неравенства	Последовательности и прогрессии	Функции и графики	Всего
3	2	3	3	2	1	2	16

Таблица 2.

Распределение заданий первой части по видам познавательной деятельности

знание / понимание	алгоритм	решение задачи	практическое применение	Всего
4 (5)	6 (5)	3 (4)	3 (2)	16

Первая часть экзамена играет свою специфическую роль в оценке уровня подготовки школьников: нельзя получить за экзамен положительную оценку, не выполнив некоторое, вполне определенное и заранее известное количество заданий из первой части работы за отведенное на эту часть работы время.

Вторая часть
работы имеет целью проверку владения экзаменуемым материалом на повышенном и высоком уровнях. Основное ее назначение – дифференцировать хорошо успевающих школьников по уровням подготовки, выявить наиболее подготовленную часть выпускников, в частности, составляющих потенциал профильных классов.

Направлена эта часть работы на проверку таких качеств математической подготовки выпускников, как уверенное владение формально-оперативным алгебраическим аппаратом, способность к интеграции знаний из различных тем курса алгебры, владение широким набором приемов и способов рассуждений, умение математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования.

В ней содержится 5 заданий разного уровня сложности из различных разделов курса, требующих развернутого ответа (с записью решения). Каждое задание второй части соотносится с одним из следующих разделов содержания: выражения и их преобразования
, уравнения
, неравенства
, текстовые задачи
, координаты и графики
, функции
, последовательности и прогрессии
. Блок «Числа» как самостоятельный в этой части не выделяется: соответствующие умения используются в качестве аппарата в ходе решения заданий из других блоков.

Задания расположены по нарастанию сложности. Фактически во второй части работы представлены три разных уровня. Первое задание (задание № 17 в экзаменационной работе), самое простое. Как правило, оно направлено на проверку владения формально-оперативными навыками: преобразование выражения, решение уравнения, неравенства, системы, построение графика. По уровню сложности это задание лишь немногим превышает обязательный уровень.

Следующие два задания (задания 18 и 19 экзаменационной работы) более высокого уровня, они сложнее первого и в техническом, и в логическом отношении, при их выполнении часто приходится интегрировать знания из различных разделов курса, т.е. они, как правило, носят комплексный характер. При хорошем выполнении первой части, правильное решение этих заданий уже обеспечивает получение «пятерки».

И, наконец, последние два задания (№ 20 и 21) – наиболее сложные, они требуют свободного владения материалом и довольно высокого уровня математического развития. Рассчитаны эти задачи на выпускников, изучавших математику более основательно, чем в рамках пятичасового курса, – это, например, углубленный курс математики, элективные курсы в ходе предпрофильной подготовки, математические кружки и пр. Хотя эти задания не выходят за рамки содержания, предусмотренного стандартом основной школы, при их выполнении выпускник имеет возможность продемонстрировать владение довольно широким набором некоторых специальных приемов (выполнения преобразований, решения уравнений, систем уравнений), проявить некоторые элементарные умения исследовательского характера.

Экзаменационные работы 2008 г. составлялись на основе двух планов, в восьми параллельных вариантах по каждому плану, всего было использовано 16 вариантов (планы представлены в Приложении 1).

В 2009 году концептуальных изменений в содержании и структуре работы не предполагается.

Основные результаты экзамена по алгебре в 2008 г.

При анализе результатов в ряде случаев сделана попытка выявления некоторых тенденций в подготовке школьников путем сопоставления результатов этого года с результатами предыдущих лет по аналогичным заданиям. Однако необходимо иметь в виду ограниченные возможности такого сопоставления, его, безусловно, предварительный характер в силу того, что состав территорий, результаты которых анализируются, из года в год меняется, анализируемые выборки существенно различаются количественным и качественным составом в силу разных схем участия в экзамене на данном этапе его внедрения.

Результаты выполнения заданий первой части работы

Ниже приведены результаты выполнения заданий по содержательным блокам, включаемым в проверку на базовом уровне (см. п. 1). Результаты выполнения одного и того же задания по территориям иногда значительно различаются, поэтому в таблицах приводится не средний процент, а разброс по территориям, причем представлен наиболее массовый диапазон. Отклонения от приводимого диапазона в ту или другую сторону записаны отдельно через запятую.

Таблица 3. Числа

№	Содержание задания	Познавательная категория	Выполнили верно (%)
1.	Сравнение и упорядочивание десятичных дробей	знание / понимание	55, 74[1]
2.	Выполнение в практической ситуации действий с числами, записанными в стандартном виде	практическое применение	65, 70-77
3.	Решение задачи на проценты, предполагающей выбор числовых данных из условия	практическое применение	60 - 72
4.	Оценка квадратного корня, определения его положения на координатной прямой	знание / понимание	86 - 95

Практически все результаты по заданиям данного блока (за исключением одного) укладываются в планируемый диапазон трудности. Неожиданно низкий результат получен по безусловно простому заданию, в котором требовалось упорядочить три десятичные дроби, например, расположить в порядке возрастания числа 0,092, 0,09 и 0,209. Из 10 тыс. учащихся, выполнявших это задание, справились с ним немногим более половины. Как показывает анализ ответов экзаменуемых, допускались все предусмотренные в дистракторах ошибки. Наиболее распространенной (16%-18%) явилась ошибка, при которой учащиеся, правильно определив первое число в нужной последовательности чисел, неверно сравнивали два оставшихся (в данном случае это ответ 0,09, 0,209, 0,092). Более 10% выпускников запутались в терминах «возрастание» и «убывание». Можно с большой степенью уверенности предположить, что такой низкий результат объясняется ошибочной тактикой выполнения этого задания. Вместо того чтобы записать числа в нужной последовательности, а затем сопоставить свой ответ с предлагаемыми, учащиеся, как показывает практика, в силу кажущейся простоты задания выполняют его устно.

Во всех вариантах экзаменационной работы два из трех заданий блока «Числа» относились к категории «практическое применение». Одно из них связано с продолжением начатой в предыдущие годы линией работы с реальными данными, представленными в стандартном виде. Ниже приведён пример одного из вариантов:

Задание 2
. Площадь территории США составляет км2
, а Швейцарии — км2
. Во сколько раз площадь территории США больше площади территории Швейцарии?

1) примерно в 23 раза
3) примерно в 43 раза

2) примерно в 230 раз
4) примерно в 2,3 раза

Эта задача была отнесена к категории «трудных» в силу того, что на уроках, как правило, учащиеся работают с «рафинированными» числами и редко получают приближенный ответ. Однако в реальности она попала в разряд «средних»; полученные результаты практически во всех территориях оказались не ниже 70%. И это выше прошлогоднего результата, полученного по задачам данной серии.

Вторая из практико-ориентированных задач, в соответствии с уже сложившейся традицией, – это задача с реальным сюжетом, связанная с выполнением несложных процентных расчетов. Ее особенностью является необходимость выбора из условия нужных данных. Приведем формулировку одного из вариантов этой серии задач:

Задание 3
. Из объявления фирмы, проводящей обучающие семинары:

«Стоимость участия в семинаре — 2000 р. с человека. Группам от организаций предоставляются скидки: от 2 до 5 человек — 3%; более 5 человек — 5%».

Сколько должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 6 человек?

1) 600 р.
2) 1900 р.
3) 12000 р.
4) 11400 р.

Разброс результатов решения этой задачи по территориям небольшой, и практически всюду они соответствуют прогнозируемым. Наиболее распространенной была следующая ошибка: учащиеся выбирали ответ из расчета суммы, необходимой для одного человека из группы. Таким образом, было проявлено не отсутствие умения найти процент от числа, а неспособность разобраться в несложной фабуле. Этот недостаток в подготовке учащихся проявлялся и в предыдущие годы, что еще раз говорит о необходимости усиления внимания к осознанной работе с текстами.

Таблица 4. Выражения. Преобразования выражений

№	Содержание задания	Познавательная категория	Выполнили верно (%)
1.	Нахождение значения выражения с переменными при заданных значениях переменных	алгоритм	72 - 79
2.	Владение понятием области определения выражения вида	знание / понимание	67-751
3.	Составление буквенного выражения по условию задачи	решение задачи	55, 631
4.	Составление формулы по условию задачи	практическое применение	34 - 51
5.	Знание некоторых правил действий с многочленами: формул сокращенного умножения, умножения одночлена на многочлен	знание / понимание	75, 901
6.	Преобразование произведения многочленов на основе правила	знание / понимание	77-87
7.	Преобразование дробного выражения (одно-два действия)	алгоритм	69-80, 93
8.	Преобразование выражений, содержащих степени с целым показателем	алгоритм	83-89
9.	Преобразование числовых выражений, содержащих квадратные корни	алгоритм	63, 741

В приведенной таблице представлены результаты выполнения заданий двух блоков: буквенные выражения и преобразование выражений. Остановимся на первом из них.

Приходится констатировать, что в целом результаты выполнения всех заданий этого блока (рассматриваемых изначально и как легкие, и как трудные), оказались невысокими. От 20% до 30% учащихся не справились с нахождением значения выражения типа при заданных значениях переменных (в качестве значений переменных были взяты десятичные дроби, например, а
= 2,4; b
= – 0,9; с
= 0,7).

При выполнении задания, где требовалось выбрать из числа указанных значение переменной, при котором не имеет смысла квадратный корень вида , ошибались до трети учащихся. При этом значительная часть ошибок была связана с «присутствием» нуля: учащиеся считали, что, либо выражение не имеет смысла, либо при х
= 0 не имеет смысла данное выражение.

Наибольшие затруднения вызвали задачи с буквенными данными (см., например, п.4 таблицы 4). Ниже приведен пример такой задачи:

Задание 3
. Длина шага человека х см. По какой формуле можно вычислить число шагов n, которые ему надо сделать, чтобы пройти s метров?

1)
2)
3)
4)

Анализ ответов показывает, что практически все учащиеся знают, какое действие требуется выполнить (в приведенном примере это деление). Однако почти половина школьников игнорирует тот факт, что величины выражены в разных единицах (так, в приведенной выше задаче выбирают ответ под номером 3). Примерно пятая часть выпускников, обращая внимание на этот важный факт, ошибается при переходе от одних единиц к другим (от рублей к копейкам, от метров к сантиметрам и т.д.). А для того, чтобы не сделать такую ошибку и выбрать, например, в данной задаче, из первых двух формул нужную, достаточно всего лишь понимать, что при переходе от метров к сантиметрам должно получиться число, в 100 раз большее. И в этом (уже не первый раз) проявляется неумение применить неформальные способы рассуждения.

В заданиях на преобразование алгебраических выражений лучший результат показан при выполнении действий со степенями с целым показателем (83%-89%). Кроме того, учащиеся в целом продемонстрировали знание некоторых правил преобразования целых выражений: формул сокращенного умножения, правила и др.

Несколько выше, чем обычно, результат выполнения заданий на преобразование дробных выражений. Однако, скорее всего, он объясняется максимально простыми заданиями этого года, например, , . Но и с этими заданиями не справились от 20% до 30% выпускников 9 класса. Необходимо отметить, что на изучение данного материала выделяется достаточно большое время, уровень требований в учебном процессе довольно высок, а результаты, ежегодно получаемые в ходе экзамена, низкие. Это служит серьезным основанием для пересмотра всей методической системы изучения алгебраических дробей в основной школе. При этом необходимо учитывать, что реальный уровень, необходимый большинству школьников для изучения курса математики старших классов, вполне разумен и достигаем, и изучение этого вопроса должно строиться дифференцированно.

Таблица 5. Уравнения. Неравенства

№	Содержание задания	Познавательная категория	Выполнили верно (%)
1.	Решение линейных уравнений	алгоритм	69, 851
2.	Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными	алгоритм	69,74-81
3.	Вычисление абсцисс точек пересечения параболы с осью х , выбор решения, соответствующего условию	решение задачи	57,64-67
4.	Вычисление координат точек пересечения параболы и прямой, выбор решения, соответствующего условию.	решение задачи	49, 721
5.	Составление уравнения по условию текстовой задачи: 5.1. Задача на движение по шоссе 5.2. Задача на движение по реке	решение задачи	57, 781 61-74
6.	Решение линейных неравенств с одной переменной	алгоритм	65, 791
7.	Решение квадратных неравенств с опорой на готовый график	алгоритм	59, 671
8.	Решение неполных квадратных неравенств	алгоритм	63-65, 73-75
9.	Применение свойств неравенств	знание / понимание	74-77, 83

Просмотр данных таблицы позволяет увидеть некоторые парадоксальные результаты. Простое линейное уравнение решено хуже, чем система линейных уравнений (обычно бывает наоборот). Решение квадратного неравенства с опорой на готовый график выполнено хуже, чем задание, в котором для ответа на вопрос приходится решать три неполных квадратных неравенства. Одна из самых простых задач на движение по шоссе решена хуже, чем более трудные задачи на движение по реке. Дело в том, что указанные низкие проценты получены по одной и той же выборке и могут объясняться лишь особенностями этой выборки, что затрудняет полноценный анализ результатов по соответствующим заданиям.

Что касается других заданий, то в целом проценты их верного выполнения находятся в прогнозируемых диапазонах (решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными, составление уравнения по условию текстовой задачи (движение по реке), решение задачи на вычисление абсциссы точки пересечения параболы с осью х
, решение неполных квадратных неравенств).

Как повторяется из года в год, основные ошибки при составлении уравнения по условию текстовой задачи связаны с незнанием зависимости между скоростью движения, временем движения и пройденным расстоянием.

В среднем несколько ниже планируемых результаты выполнения задания на применение свойств числовых неравенств. Один из вариантов такого задания приведен ниже :

Какое из следующих неравенств не следует из неравенства ?

1) 2) 3) 4)

Неоднократные наблюдения за работой школьников в процессе выполнения экзаменационных и подобных им заданий дают основания сформулировать следующую причину ошибок: задание кажется настолько простым, что перенос членов неравенства учащиеся выполняют мысленно и при этом неизбежно ошибаются.

Таблица 6. Функции. Последовательности.

№	Содержание задания	Познавательная категория	Выполнили верно (%)
1.	Соотнесение графика функции с формулами	знание / понимание	65, 801
2.	Выяснение взаимного расположения в координатной плоскости гиперболы и прямой	решение задачи	64, 70-76
3.	Чтение графика функции	знание / понимание	65-66, 74-77
4.	Интерпретация графика реальной зависимости	практическое применение	52, 561
5.	Нахождение некоторого члена последовательности, заданной рекуррентной формулой.	знание / понимание	28, 361
6.	Владение понятием арифметической прогрессии, понимание ее графической интерпретации	знание / понимание	51, 62-64

Из приведенных данных видно, что для многих учащихся оказалось трудным задание, направленное на проверку знания расположения в координатной плоскости графика функции . Можно предположить, что у этих учащихся не сформировано никакого из возможных алгоритмов распознавания графика, соответствующего заданной формуле. В то время как умение распознавать, используя для этого определения, свойства, относится к общеинтеллектуальным умениям и должно формироваться и на уроках математики. Кроме того, отсутствие у учащихся твердых знаний об особенностях расположения графика линейной функции в координатной плоскости будет существенно мешать содержательному овладению началами математического анализа в старших классах уже хотя бы в силу отсутствия наглядной опоры.

По большинству территорий были показаны достаточно близкие и несколько превышающие прогнозируемый уровень трудности результаты при выполнении задания на понимание взаимного расположения гиперболы и прямой:

Задание 2
. Какая из прямых пересекает график функции в двух точках?

1)
2)
3)
4)

Если рассматривать этот факт с точки зрения тенденций в изменении подготовки девятиклассников по теме «Функции», то его следует оценить положительно. Дело в том, что наличие представлений об изучаемых графиках является важным и, безусловно, относится к минимальному набору базовых знаний. Если же говорить об учащихся, не справившихся с этим заданием (от 25% до 35%), то у них, отсутствуют представления о расположении в координатной плоскости основных графиков в зависимости от значений коэффициентов, входящих в соответствующую формулу. Это еще раз подтверждает выводы, сделанные при анализе предыдущего задания.

Результаты выполнения задания на чтение графика функции существенно различаются по территориям. Для некоторых территорий оно оказалось реально трудным, а для других попало в планируемую категорию заданий средней трудности. Анализ выбора ответов показывает, что учащиеся путают абсциссу и ординату точки, неправильно трактуют такую запись, как , при нахождении наименьшего значения функции выбирают нижнюю точку графика на оси у
. Иными словами, вообще не обладают навыками восприятия готового графика как целостного объекта с характерными свойствами.

Задача, в которой нужно было выполнить некоторые вычисления, сняв данные с реального графика, оказалась трудной. Кроме того, анализ результатов показывает, что вопрос в одном из вариантов оказался более простым – например, в одной из территорий на него правильно ответили вдвое больше учащихся в сравнении с результатами выполнения других вариантов. Приходится констатировать, что при решении этой задачи учащиеся оказались не в равных условиях. В трех вариантах из четырех учащимся была предложена несколько более сложная вычислительная задача, что и привело к таким низким результатам.

Результаты по блоку «Последовательности и прогрессии» низкие. Решение задачи на арифметическую прогрессию было связано с пониманием представления членов арифметической прогрессии точками на координатной плоскости. Планируемый диапазон трудности этой задачи – от 60% до 70% (в силу ее новизны для экзамена). Результаты по территориям (кроме одной) мало различаются, находятся в диапазоне 62-64%, что соответствует прогнозируемому диапазону. Необходимо заметить, что у выпускников часто возникают трудности, когда требуется перейти с одного математического языка на другой, когда речь идет о некоторой интерпретации. Это, безусловно, указывает, на проблемные места в математической подготовке школьников.

Результаты выполнения задания на применение рекуррентной формулы оказались очень низкими, существенно ниже прогнозируемых. Выскажем некоторые предположения о причинах такой ситуации. Вполне возможно, что учащиеся ошибались при вычислениях, хотя умение найти число, обратное данному, безусловно, относится к обязательным требованиям. Но, скорее всего, основная причина состоит в другом – в непонимании самой формулы.

Анализ опыта преподавания темы «Прогрессии» показывает, что учителя в силу разных причин практикуют узко прагматичный подход к отбору учебного материала, ограничиваясь лишь формулами и решением некоторых стандартных задач, т.е. формируя только специальные знания, а не общекультурные. В результате учащиеся не осознают сущностные аспекты содержания данного вопроса, безусловно имеющие общеобразовательное значение. В частности, важной составляющей математической грамотности современного человека является понимание символических обозначений, однако опыт показывает, что рекуррентные формулы рассматриваются мимоходом и достаточно формально, они не осознаются школьниками как символическая запись вычислительного алгоритма. Поэтому перенос знания на аналогичную, но все же новую ситуацию затруднен, что бывает в случае ориентировки учащихся не на существенные, основополагающие отношения, а на внешние, ситуативные.

Результаты выполнения заданий второй части работы

Ниже в таблице 7 представлены результаты выполнения заданий, представляющих следующие блоки содержания: выражения и их преобразования, уравнения и системы уравнений, неравенства, координаты и графики, арифметическая и геометрическая прогрессии. В последнем столбце таблицы приведен суммарный процент учащихся, справившихся с указанным заданием без недочетов или допустивших непринципиальную погрешность. Как и для части 1, в таблицах приводится не средний процент, а разброс по территориям, причем представлен наиболее массовый диапазон. Отклонения от приводимого диапазона записаны отдельно через запятую. Все отклонения в данном случае всегда в сторону увеличения процента учеников, справившихся с заданием; они получены по выборке, в которой достаточно высок удельный вес школ повышенного уровня.

Таблица 7. Результаты выполнения заданий части 2

№	Содержание задания	Уровень[2]	Выполнили верно (%)
1	Разложение многочленов на множители: применение способа группировки и последующего вынесения общего множителя за скобки	П1	57-60, 67
2	Применение аппарата неравенств для нахождения области определения алгебраического выражения	П2	20-26, 35
3	Комбинированная задача по теме «Арифметическая прогрессия»	П2	15-19, 25
4	Решение системы двух уравнений с двумя переменными	В	18-19, 31
5	Решение задачи геометрического содержания на координатной плоскости с опорой на графические представления	В	2-4, 8

Прежде всего, отметим значительный разброс в результатах выполнения заданий по территориям, который отражен в таблице. При этом процент верного выполнения практически никогда не превышает прогнозируемого.

Первое задание направлено на проверку владения умением выполнять в несложных случаях разложение многочлена на множители способом группировки. Владение этим умением важно для тех учащихся, которые изучают математику на уровне, требующем уверенного применения алгебраического аппарата к решению математических задач. Результат выполнения этого задания можно считать удовлетворительным. С ним справилось около 60% школьников. При этом анализ результатов показывает, что чуть более 10% девятиклассников успешно применили метод группировки, но не довели разложение на множители до конца.

Следующее задание также относится к повышенному уровню, но отличается от первого в качественном отношении: оно требует комплексного применения нескольких алгоритмов, относящихся к разным разделам курса, умения видеть и анализировать структуру выражения в целом. А именно, надо учесть условие существования квадратного корня и решить квадратное неравенство, учесть условие существования дроби и найти значения х
, при которых знаменатель не равен нулю, и, наконец, исключить эти значения из множества решений квадратного неравенства, если они туда попадают. В целом результат выполнения этого задания также удовлетворительный – с таким непростым комплексным заданием справилось по разным территориям от 20% до 35% выпускников.

Если описанное выше задание носит в основном формально-оперативный характер с некоторым логическим шагом, то следующее задание (на арифметическую прогрессию) отличается от него качественно. Результаты его выполнения почти во всех территориях (кроме одной) ниже прогнозируемых (15%-19%) и соответствуют диапазону задач высокого уровня. В этом прослеживается некоторая закономерность. Как уже отмечалось при анализе выполнения первой части экзаменационной работы, учащиеся всегда затрудняются при интерпретации, применении знаний. В данном случае надо было, прежде всего, дважды распознать арифметическую прогрессию, далее применить формулу суммы первых n
членов арифметической прогрессии для суммирования натуральных чисел и чисел, кратных 3. Но основная «изюминка» данной задачи – это логический шаг: чтобы найти сумму чисел, не делящихся на
3, надо найти сумму всех натуральных чисел до заданного числа включительно и вычесть из нее сумму тех чисел, которые делятся на
3. Этот логический прием имеет общий характер и применяется при решении многих задач повышенного уровня, и обучение математике обязано формировать у сильных учащихся соответствующее умение. Никакими специальными приемами для решения подобной задачи владеть не надо, все необходимые фактические знания учащиеся получают в общем курсе алгебры основной школы. В силу этого такая задача имеет право на существование, а ее результаты указывают некоторое направление совершенствования преподавания.

Следующее задание (решение системы уравнений) можно назвать нестандартным; такие системы, если и встречаются в учебниках, то не отрабатываются, но чаще они встречаются в курсах повышенного уровня. Фактические знания, требуемые для ее решения, не выходят за рамки обязательного минимума содержания, но чтобы решить ее, надо свободно владеть этими знаниями и уметь применить их в нужной ситуации. Результаты по этой задаче удовлетворительные, при этом есть территория, где процент выполнения даже выше прогнозируемого.

Последнее задание – задача, решаемая с опорой на гр

афические представления. Приведем пример одного из вариантов:

Задание 5
. Найдите все значения
k
, при которых прямая пересекает в трех различных точках график функции

Эта задача, безусловно, трудная. Её решение предполагает два этапа. Первый – технического характера, заключающийся в построении графика. Этот этап для хорошо подготовленного школьника не должен представлять затруднений. Вся суть этой задачи – во втором этапе, требующем проведения некоторого исследования. Надо увидеть границы, в которых должна «вращаться» прямая
, чтобы иметь с графиком три общие точки, и найти граничные значения коэффициента k
. Решение, в котором присутствует только первый этап и не сделано никакой попытки перейти ко второму, т. е. не найдено идеи решения, не должно оцениваться положительным баллом. В этом случае задача считается нерешенной.

Но во всех территориях нашлись выпускники, которые справились с этой задачей. Это, безусловно, потенциал профильных классов с высокими требованиями к уровню математической подготовки.

Остановимся теперь на некоторых типичных недочетах и недостатках, которые показали просмотр и проверка письменных решений учащихся заданий второй части экзаменационной работы.

Одной из важных целей обучения математике является формирование умения ясно, точно, логически грамотно выражать свои мысли, как в устной, так и в письменной форме. Однако цель эта достигается далеко не всегда. Так, работы учащихся свидетельствуют об отсутствии у них общих представлений о том, что собственно нужно указывать и комментировать в ходе решения той или иной задачи, какие моменты решения действительно являются существенными. Достаточно часто встречаются обширные (на 2-3 страницы) «сочинения», содержащие такие, безусловно, ненужные комментарии, как словесное описание применяемых алгоритмов. Например, в задании, где требуется построить график функции, составленный из частей двух парабол, учащиеся подробно описывают словами полное построение каждой из них, что по существу противоречит вспомогательной роли этого этапа работы. При этом, увлекшись описанием, они могут забыть выделить на рисунке итоговый график.

Наряду с работами-сочинениями нередко можно видеть и такие работы, в которых сплошным текстом идут выкладки без выделения каких-либо этапов решения, вообще не содержащих никаких пояснений. В связи со сказанным отметим, что очень нечасто встречаются работы, в которых используются такие слова, раскрывающие логику рассуждений, как «следовательно», «поэтому», «значит» и пр.

Весьма типичным недостатком в записи решения является неверное употребление математической терминологии и символики. Так, вместо словосочетания «найдем корни квадратного трехчлена» можно увидеть выражение «решим квадратный трехчлен»; вместо слов «решим неравенство», ученики часто пишут «решим уравнение». Можно встретить такое ошибочное выражение, как «построим график прямой».

Серьезное непонимание существа дела проявляется в неуместном употреблении логических союзов «И» и «ИЛИ». В сознании учащихся наблюдается путаница между употреблением этих союзов как логических связок и как частей речи русского языка. Например, результат решения квадратного уравнения записывают так: или (или употребляют в этой записи знак совокупности). В то время как задача состоит в нахождении множества корней уравнения, в соответствии с чем требуется перечислить элементы этого множества (а не записывать дизъюнкцию высказываний), что может быть сделано разными способами, например: , ; 2 и 3; 2; 3.

Сплошь и рядом учащиеся путаются в обозначениях совокупности (квадратная скобка) и системы (фигурная скобка). В экзаменационных работах 2008 года значительное число успевающих школьников вместо символической записи, обозначающей совокупность двух систем, использовали запись, означающую систему двух совокупностей. О нецелесообразности употребления термина «совокупность» и соответствующего обозначения следовало бы поговорить особо, но если уж их использовать, то в соответствии со смыслом, который в них вкладывается.

Обращает на себя внимание следующий факт: учащиеся, выполняющие задания второй части работы, т.е. относящиеся к хорошо успевающим школьникам, не вооружены элементарными техническими навыками, своего рода азбукой преобразований, которая облегчает выполнение выкладок, позволяет избежать случайных ошибок. Приведем типичный пример. В одном из заданий экзаменационной работы для нахождения области определения выражения нужно было решать квадратное неравенство . Выяснилось, что многие школьники не знают о том, что, следуя мудрому правилу «плюс лучше минуса», это неравенство целесообразно сразу же заменить равносильным . Некоторые из них так и сохраняют до конца отрицательный коэффициент у старшего члена квадратного трехчлена и в результате допускают вычислительные ошибки при вычислении его корней. Другие меняют минус на плюс, но лишь после того, как записывают уравнение , и затем они ошибаются при нахождении множества решений неравенства, забывая о том, что в неравенстве коэффициент при был отрицательный. Подчеркнем, что такого рода недостаток носит массовый характер.

Вообще, решение квадратного неравенства для многих школьников представляет поистине непреодолимую трудность. И причина, скорее всего, кроется в методических подходах, широко используемых в практике преподавания. Дело в том, что учителя математики дополняют рассмотрение алгоритма решения квадратных неравенств, в основе которого лежат графические представления, весьма трудным для девятиклассников вопросом о решении неравенств методом интервалов (хотя он и не предусмотрен стандартом по математике основной школы). Из-за объективной сложности каждого из этих вопросов, большого объема материала, неизбежной методической «скороговорки» в результате недостатка учебного времени ни один из них не усваивается сколько-нибудь удовлетворительно. Метод интервалов разрушает в сознании учащихся еще недостаточно освоенный алгоритм. В результате учащиеся не могут решить такие квадратные неравенства, как , .

Чтобы решить упомянутое выше квадратное неравенство , многие школьники посчитали необходимым разложить левую часть неравенства на множители (тогда как достаточно было найти корни трехчлена и «прочитать» ответ по схематическому графику). Заметим, что это неравенство являлось частью решения комплексной задачи на нахождение области определения выражения, которая свелась к решению системы . После того, как учащийся изображал на координатной оси корни трехчлена, а между ними «светлую» точку , получалось четыре промежутка. И многие, спровоцированные неверными ассоциациями, последовательно проставляли над этими промежутками знаки +, –, +, – или –, +, –, +.

Остановимся еще на одном распространенном недочете 2008 г. и прошлых лет. В одной из работ было предложено решить весьма непростую систему двух уравнений с двумя переменными, которой удовлетворяет три пары чисел. Главной проблемой для многих, дошедших практически до конца решения, явилась запись ответа. Они либо не объединяли найденные значения в пары, либо объединяли, путая порядок. Это еще раз свидетельствует об отсутствии понимания существа дела: все преобразования выполнены, а логически решение не завершено.

Анализ выполнения заданий выпускниками с различным уровнем подготовки

По результатам одной из территорий был проведен анализ особенностей выполнения заданий экзаменационной работы группами выпускников, получивших по пятибалльной шкале отметку «2», «3», «4», «5».

Учащиеся, получившие отметку «5»,
в целом продемонстрировали очень хорошее владение материалом на уровне базовой подготовки. Результаты выполнения заданий первой части экзаменационной работы находятся в диапазоне от 88% до 97%. Исключение составляют два задания, имеющие практико-ориентированную направленность, одно из которых предполагало проведение вычислений по формуле с переводом одних единиц измерения в другие, а второе – процентные расчеты с выбором нужных данных из условия задачи. Процент выполнения этих заданий равен в среднем 55% и 77% соответственно. Эти задания вызвали наибольшие затруднения и во всех остальных группах.

Процент выполнения заданий повышенного и высокого уровней (вторая часть экзаменационной работы), показанные этой группой учащихся, находится в диапазоне от 85% (задание № 17) до 20% (задание № 21). Учащиеся, получившие отметку «4»,
продемонстрировали стабильное владение материалом на уровне базовой подготовки. Результаты выполнения 13-ти заданий первой части экзаменационной работы находятся в этой группе в диапазоне от 72% до 95%. Значительно более низкие результаты здесь показаны по тем же двум заданиям, что и в предыдущей группе (39% и 68% соответственно).

Результаты выполнения первых четырех заданий второй части работы (диапазон по различным регионам) этой группой учащихся находятся в диапазоне от 55% (задание № 17) до 10% (задание № 20). С заданием № 21 справилось в среднем около 1% четверочников.

Как и в предыдущие годы, немногим более половины выпускников данной группы (18% от общего числа учащихся) имеют рейтинг 8-10 баллов. Это «четверка», полученная на минимальной границе выставления «четверки» и характеризующая, в основном, подготовку тех учащихся, которые выполнили 12-16 заданий первой части и одно несложное из второй. В то же время, можно выделить достаточно большую группу сильных «четверочников»; их рейтинг составил 13-15 баллов, уровень их подготовки можно считать близким к «пятерке». У них в полной мере сформированы базовые знания и умения, и они способны находить пути решения задач в ситуациях, отличающихся от стандартных. Это примерно треть получивших отметку «4» (9% от общего числа учащихся).

Учащиеся, получившие отметку «3»,
продемонстрировали нестабильное владение материалом на уровне базовой подготовки. Результаты выполнения основной части заданий в этой группе находятся в более широком диапазоне: от 57% до 76%. Следует отметить и довольно низкую верхнюю границу диапазона, и серьезный отрыв результатов данной группы от предыдущей. Кроме того, для учащихся этой группы имеет значение форма ответа: задания с кратким ответом они выполняют приблизительно на 15% хуже заданий с выбором ответа.

Два задания, оказавшиеся трудными для учащихся двух предыдущих групп, выполнили соответственно 40% и 52% троечников. Но хуже всего учащихся данной группы справились с заданием на чтение реального графика (его выполнили около 37% экзаменуемых, получивших отметку «3»).

Что касается второй части работы, то учащиеся этой группы имеют реальный шанс справиться лишь с заданием №17, выполняют его от 11% до 21% «троечников». Результат выполнения всех прочих заданий составляет около 1%.

Учащихся, набравших 6 или 7 баллов, можно отнести к категории «твердых троечников»: они выполняют больше половины заданий первой части работы, а некоторые из них и первое задание второй части. Таких учащихся около 19% от общего числа сдававших экзамен.

Учащиеся, получившие отметку «2»,
не продемонстрировали владение материалом на уровне базовой подготовки. Результаты выполнения заданий в этой группе находятся в широком диапазоне: от 8% до 62%. Наиболее стабильные результаты – более 40% - показаны по заданиям, относящимся к познавательной категории «алгоритмы»: преобразование выражений, действия со степенями, формулы сокращенного умножения, представление чисел точками на координатной прямой, преобразование неравенств.

На основе анализа приведенных данных можно сделать некоторые выводы. Задачей первой части работы является проверка владения материалом курса на базовом уровне, но при этом на основе результатов выполнения заданий этой части уже можно дифференцировать учащихся по уровню подготовки. В меньшей степени это относится к хорошо успевающим школьникам. Тем не менее, в среднем диапазон процентов верных ответов у четверочников, отличается от соответствующего диапазона пятерочников на 5%-10%. Более тонко эти две группы учащихся дифференцируются второй частью работы. А вот разница в результатах следующих групп уже более ощутима: по отметкам «3» и «4» диапазоны различаются на 10%-20%, по отметкам «2» и «3» - на 30%-40%. Последний факт свидетельствует о том, что «уровень незнания» действительно расположен очень низко.

Сравнивая результаты выполнения выделенными группами отдельных заданий второй части работы, можно отметить следующее. Результаты выполнения уже первого, наиболее простого, задания второй части существенно различаются: группа «четверочников» выполнила его на 20%-40% хуже группы «пятерочников». Напомним, что отметка «4» выставляется и за практически полное выполнение первой части работы, правда, процент таких учащихся не высок – не более 3. Это нижняя граница четверки. При подготовке к экзамену целесообразно нацеливать определенную часть учащихся на безошибочное выполнение первой части, правильно расставляя акценты и учитывая их реальные возможности. Например, больше обращать внимание на понятийную сторону, конечно, не в ущерб алгоритмической.

Это же соображение можно отнести и к группе троечников. Особенность их подготовки состоит в том, что они освоили на базовом уровне алгоритмические умения, но имеют существенные пробелы в понятийной стороне. Возможно, отсюда и проблемы с категорией «решение задач», где нет четкого алгоритма выполнения, а известны лишь общие соображения, из которых учащимся должно быть самостоятельно «собрано» решение несложной задачи.

Результаты выполнения заданий №18-21 экзаменационной работы группой троечников находятся практически на нулевом уровне. Это лишний раз указывает на необходимость дифференцированного подхода к обучению и, в частности, при подготовке к экзамену: учителю необходимо ставить перед учащимся ту задачу, которую он может реализовать.

Перспективы включения в экзамен заданий вероятностно-статистической линии

В 2003 году было опубликовано письмо Минобразования России «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы» (от 23 сентября 2003 г. №03-93ин/13-03). В нем было рекомендовано начинать изучать этот материал в 5 и 7 классах (отметим, что он включен в стандарт 2004 года, и в настоящее время есть во всех учебниках, имеющих гриф Министерства образования и науки РФ). В этом году были сделаны первые шаги в решении вопроса включения заданий вероятностно-статистической линии в итоговую аттестацию по алгебре. На данном этапе было решено осуществлять проверку усвоения материала этой линии только на базовом уровне.

Письменный экзамен по алгебре в 9-х классах по новой форме с включением в экзаменационную работу заданий вероятностно-статистической линии проводился в 9-ти классах Саратовской области. Суммарно экзамен в режиме эксперимента сдавало 199 учащихся из трех районов Саратовской области (Энгельсский район, ЗАТО Светлый, Кировский район г. Саратова).

Для апробации содержания вероятностно-статистической линии курса математики основной школы был разработан специальный набор заданий базового уровня, относящихся к трем составляющим этой линии: элементам теории вероятностей, комбинаторике и статистике.

В первую часть экзаменационной работы дополнительно были включены два задания (задания А и Б). Таким образом, в режиме апробации первая часть экзаменационной работы состояла из 18 заданий. Задание А относилось к разделу статистики, задание Б - к разделу комбинаторики. Ниже приводится один из вариантов.

Задание А
. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся
: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается средний рост этих учащихся (среднее арифметическое) от медианы
?

Ответ
: __________________

Задание Б
. Сколько всего трехзначных чисел можно записать, используя цифры
0, 3, 7 и 9?

1) 18

2) 24

3) 48

4) 64

Дополнительные задания распечатывались на отдельном листе для каждого ученика, принимающего участие в апробации. Это позволило осуществить независимую обработку результатов выполнения заданий 1-16 и указанных двух заданий экзаменационной работы. Задания А и Б учащийся выполнял на том же листе, на котором они были распечатаны: обводил верный с его точки зрения ответ в задании с выбором ответа, в задании с кратким ответом вписывал полученный результат в строку со словом «Ответ». Дополнительные задания сдавались учащимися одновременно с первой частью работы по истечении 90 мин, отведенных на выполнение первой части в связи с увеличением объема работы.

За выполнение дополнительных заданий, как и за каждое задание первой части работы, начислялось 0,5 балла. Таким образом, за выполнение первой части учащиеся могли получить до 9 баллов. Несмотря на увеличение количества заданий, и общего балла на 1, критерии оценивания и схема перевода общего балла в отметку сохранялись те же, что и в общем случае. Дополнительные задания проверялись экспертами предметной комиссии. Результаты их выполнения представлены в таблице 8.

Таблица 8

Задание	Выполнили верно	Выполнили неверно	Не приступали
А	139 чел. (71%)	25 чел. (12%)	35 чел. (17%)
Б	128 чел. (64%)	66 чел. (33%)	5 чел. (3%)

Анализ результатов выполнения заданий показал типичные ошибки, которые допускались при выполнении задания А:

1) учащиеся не упорядочивали ряд значений роста, и брали за медиану значение, стоящее в середине данного ряда − 17 чел. (две трети тех, кто выполнил это задание неверно);

2) учащиеся допускали вычислительные ошибки при нахождении среднего арифметического − 8 чел. (третья часть тех, кто выполнил это задание неверно).

При выполнении задания Б типичными ошибками были следующие:

1) учащиеся считали трёхзначные числа без повторения цифр − 48 чел. (73% выполнивших это задание неверно);

2) учащиеся не учитывали того, что число не может начинаться с нуля − 12 чел. (18% выполнивших это задание неверно);

3) учащиеся допускали вычислительные ошибки − 6 чел. (9% выполнивших это задание неверно).

Наиболее распространенная из отмеченных ошибок, несомненно, является следствием той методики изучения этого вопроса, которой придерживаются многие школьные учителя, преподающие новый материал программы. Делая основной акцент на формулы комбинаторики (хотя они и не предусмотрены стандартом основной школы), они тем самым существенно уменьшают круг решаемых задач, ограничиваются рассмотрением так называемых вариантов «без повторения», что, по всей видимости, и проявилось в результатах выполнения данного задания.

Несмотря на то, что результат по заданию Б (комбинаторика) ниже, чем по заданию А (статистика), предпочтение учащиеся отдавали задаче по комбинаторике, процент приступивших к ее решению значительно больше, чем по задаче А.

В целом эксперимент показал принципиальную возможность включения заданий вероятностно-статистической линии курса математики основной школы в экзамен для проверки усвоения соответствующего материала на базовом уровне. Понятно, что такое включение можно осуществить разными способами – заменить одно или два задания в принятом в настоящее время общем плане работы или же включить в первую часть работы дополнительные задания. Результаты показали, что увеличение первой части экзаменационной работы за счет двух дополнительных заданий из нового содержательного блока вполне возможно, но, по всей видимости, требует отведения на выполнение первой части работы 90 минут. Однако экспериментальная работа в этом направлении должна быть продолжена. Это является ближайшей перспективой развития содержания и структуры экзаменационной работы по алгебре для проведения государственной (итоговой) аттестации за курс основной школы.

Некоторые рекомендации по подготовке к экзамену и совершенствованию учебного процесса

Представленный выше анализ результатов содержит достаточное количество прямых и косвенных рекомендаций, позволяющих увидеть слабые места в подготовке учащихся и наметить пути совершенствования учебного процесса, как в целом, так и при работе со школьниками, имеющими разный уровень подготовки и разные потребности в математике. В данном разделе остановимся на некоторых методических аспектах подготовки к экзамену, связанных с характером и спецификой заданий, включаемых в экзаменационные работы.

Принципиальной особенностью первой части
экзаменационной работы является то, что для каждого из 16 заданий нужно указать только ответ, выбрав его из четырех предложенных или вписав в отведенное для этого место. Однако, хотя в экзаменационные бланки заносятся только ответы, включенные в работу задания необходимо выполнять в основном письменно, используя для этого черновик. Решение должно быть записано аккуратно и с достаточной степенью подробности. Это важно не потому, что черновик тоже сдается (он просматриваться не будет), а для того чтобы ученик не допускал досадных ошибок технического характера.

Например, если требуется преобразовать разность , то целесообразно, чтобы ученик последовательно выполнил на черновике такие действия:

=.

Или если требуется найти значение выражения (, то это выражение нужно преобразовать опираясь на известные факты. Например, можно воспользоваться определением степени с целым показателем:

. Можно использовать еще и свойства степени:. Можно также воспользоваться формулой , где n- натуральное число: . В любом случае это задание следует выполнять письменно, последовательно и осознанно, соотнося свои действия с известными теоретическими фактами. В противном случае возникают ошибки типа или .

Большая часть заданий в первой части экзаменационной работы – это задания с выбором ответа, где из четырех предложенных ответов только один верный. Но наличие ответов вовсе не означает, что верный ответ нужно угадывать, подбирать и т.д. Очень часто требуется непосредственное решение, выполняемое к тому же письменно, как уже говорилось выше.

Приведем некоторые примеры. Пусть в задании предлагается установить, на каком из приведенных рисунков показано множество решений системы неравенств . Чтобы ответить на этот вопрос, указанную систему нужно решить, изобразить множество ее решений на координатной прямой, а затем соотнести свой рисунок с приведенными в задании.

Практически всегда в экзамен включается текстовая задача и предлагается из четырех указанных уравнений выбрать то, которое соответствует ее условию. В этом случае вряд ли есть смысл устно анализировать уравнения и искать среди них нужное. Проще самостоятельно составить уравнение и соотнести его с предложенными. При этом, однако, верное уравнение может быть записано не в том виде, к которому пришел ученик, и, важно уметь распознать равносильные уравнения, например, такие, как , , .

Конечно, нужно уметь распознавать верные ответы, представленные в разном виде, не только при решении текстовых задач, но и в других ситуациях.

Еще один пример. Формулой n-ого члена задана последовательность и спрашивается, какое из следующих чисел не является ее членом: 1) –1; 2) ; 3) –; 4) –.

Хотя здесь можно было бы немного порассуждать, и получить ответ на вопрос задачи устно, все же надежнее, наверное, непосредственно вычислять один за другим члены последовательности – долго работать не придется. Получим: ; ; ; . Мы видим, что первые три указанных числа являются членами последовательности, а это означает, что верный ответ дан под номером 4. Можно «для убедительности» найти еще и с6
: , т.е. число – действительно не является членом последовательности.

В то же время тактика выполнения заданий с выбором ответов может быть разной. Бывает так, что целесообразно «идти от ответа».

Пусть, например, требуется разложить на множители квадратный трехчлен 3х
2
+ 9х
– 30, и даны такие варианты ответов: 1) 3(х
+2)(х
–5); 2) 3(х
–2)(х
–5); 3) 3(х
–2)(х
+5); 4) 3(х
+2)(х
+5).

Конечно, наиболее прямой и короткий путь решения этой задачи состоит в том, чтобы воспользоваться соответствующей формулой. Однако кто-то, возможно, посчитает, что проще не раскладывать на множители трехчлен, а перемножать двучлены, особенно, если сразу увидеть, что ответы 2) и 4) отпадают, так как в этих случаях не получается свободный член, равный –30. Тогда нужно всего лишь выбрать верный ответ из двух оставшихся.

Но бывают и такие задания, когда нет другого пути, кроме как просматривать предложенные ответы – этого требует формулировка задания. Пусть, например, о числах a
и b
известно, что a
– четное число, а b
– нечетное число. Спрашивается, какое из следующих чисел при этом условии является нечетным: 1) ab
; 2) 2(a
+b
); 3) a
+b
; 4) a
+b
+1. Вспоминая свойства делимости, последовательно устанавливаем, что ab
- число четное, произведение 2(a
+b
) – также четное, а сумма a
+b
, где одно слагаемое делится на 2, а другое – нет, является нечетным числом. Таким образом, выбираем ответ под номером 3.

Заметим, что такого рода задания, сюжет которых связан со свойствами чисел, допускают простое и эффективное решение – моделирование на числовом примере. (В данном случае можно взять, например, a
=6 и b
=7 и вычислить каждое из указанных выражений.)

Иногда анализ предложенных ответов помогает сразу увидеть верный, и этим есть смысл пользоваться. Пусть, например, даны числа: 1) 60; 2) 64; 3) 66; 4) 68. Требуется выяснить, какое из этих чисел не является членом арифметической прогрессии 4;8;12;16;... . Очевидно, что члены прогрессии – это последовательные натуральные числа, кратные 4. Из предложенных для выбора чисел только одно не делится на 4 – это число 66. Понятно, что именно оно и не является членом прогрессии. Ответ на поставленный вопрос можно получить, и решая эту задачу формально. А именно, можно задать прогрессию формулой n
-го члена an
=4n
и последовательно решать уравнения 4n
=60, 4n
=64 и т.д., отыскивая то, которое не имеет натурального корня. Но очевидно, что первый способ предпочтительнее: он более осмысленный, да и время экономит, но им могут воспользоваться те учащиеся, которые умеют думать, подмечать закономерности.

Некоторые виды заданий рассчитаны на то, что ученик найдет короткий способ решения, опираясь на известные факты. Вот пример такого задания. На рисунке изображена парабола и предлагается указать формулу, которой она задается. Варианты ответов: 1) у
= х
2
– 2; 2) у= –х
2
+ 2; 3) у=х
2
+ 4; 4)у = –х
2
+ 4. Здесь, конечно же, не предполагается, что ученик будет строить графики перечисленных функций, пока не наткнется на нужный (хотя и такой длинный и неэффективный путь возможен). Достаточно увидеть, что все эти формулы имеют вид y=ax2
+b, вспомнить зависимость направления ветвей параболы от знака коэффициента a, а также то, что коэффициент b – это ордината пересечения параболы с осью у. Тогда станет очевидным, что верным является ответ под номером 4.

Важнейшим условием успешности выполнения заданий является осмысленность, осознанность действий ученика и просто здравый смысл. В противном случае, даже имея необходимые знания, можно прийти к неверному ответу.

Показателен такой пример. В одной из экзаменационных работ в заданиях с выбором ответа была предложена задача: «Плата за коммунальные услуги составляет 800 рублей. Сколько придется платить за коммунальные услуги после их подорожания на 6%?». Некоторые ученики выбрали ответ 48 р., то есть сумму, которая составляет 6% от 800 р. Эта ошибка довольно типична: выполнив первое действие, учащиеся нередко забывают о втором. Однако тут налицо еще и отсутствие здравого смысла, элементарного самоконтроля, непонимания того, что полученный ответ необходимо соотнести с условиями задачи. Ведь ученики, допустившие эту ошибку, получили парадоксальный результат: после подорожания услуг сумма платежа стала меньше!

Вообще привычка к самоконтролю, к самопроверке для учащихся не менее важна, чем знание правил и формул. Ведь человеку свойственно ошибаться. И всегда полезно проверить себя, используя тот или иной подходящий в данной ситуации прием.

Так, пусть требуется, используя готовый рисунок (рис. 1), решить систему уравнений: . Найдя на рисунке нужную точку и «прочитав» ее координаты, полезно

Рис. 1

проверить себя, подставив найденные числа в уравнения системы.

Часто ученик может проверить себя, выполнив для самоконтроля, обратные преобразования. Если, например, нужно представить в стандартном виде число 0,000019, то, получив соответствующее произведение (а это должно быть 1,9.
10-5
), полезно решить обратную задачу – представить его в виде десятичной дроби.

При подготовке учащихся к выполнению второй части
экзаменационной работы необходимо помнить о ее дифференцированном характере. Подбирая задания для тренировки, их следует соотносить с возможностями и потребностями каждого учащегося, а также с уровнем класса в целом. При этом не надо забывать, что хорошую отметку, и даже «пятерку», можно получить, не выполняя два последних задания работы. Важно, чтобы и учащиеся были об этом информированы.

Задания второй части экзаменационной работы выполняются с записью решения. Единственное общее требование к оформлению решения заключается в следующем: записи должны быть математически грамотными, из них должен быть ясен ход рассуждений учащегося. При этом не следует требовать слишком подробных письменных комментариев. Во всяком случае, не надо требовать описания алгоритмов (например, построения графика, решения неравенства). Лаконичное решение (без пропуска важных шагов), не содержащее неверных утверждений, все выкладки, которого правильны, должно рассматриваться как решение без недочетов.

Надо учитывать, что возможны разные формы ответа. Можно употреблять любую принятую запись, главное, чтобы она была грамотной. Так, при решении квадратного уравнения можно просто перечислить его корни: 2; –3; или записать: х
1
= 2, х
2
= –3. При решении неравенства ответ может быть дан как в виде промежутка, например, [–3; +∞), так и в виде простейшего неравенства х
≥ -3. При записи области определения функции можно использовать теоретико-множественную символику, например, , или писать короче: и .

Многие задачи, предлагаемые на экзамене, допускают разные способы решения. Ученик вправе решать задачу любым из них. Соображения типа «можно решить более рационально, более красиво и пр.» при оценивании не играют роли. Однако в ходе подготовки целесообразно показывать учащимся наиболее интересные и рациональные решения, знакомить их с некоторыми общими приемами решения тех или иных видов задач. Это будет служить пополнению их «математического багажа», и в конечном итоге, их математическому развитию.

Приведем примеры решения некоторых задач из различных разделов курса, которые включались в экзаменационные работы в разные годы.

■ П р и м е р 1. Представьте выражение в виде произведения двух многочленов.

Преобразование «в лоб» ни к чему не приведет. Поэтому воспользуемся следующим приемом: перемножим попарно крайние и средние множители – при этом полученные произведения будут содержать одинаковые члены:

= .

Введем новую переменную: . В результате получим квадратный трехчлен , для которого способ разложения на множители известен: =. Вернувшись к переменной х
, получим: .

Таким образом, = .

Учащимся полезно знать, что прием введения новой переменной для приведения выражения к более простому виду довольно часто оказывается полезным: при преобразовании выражений, решении уравнений, неравенств, систем. Так, при решении системы уравнений замена , позволяет «избавиться» от дробей. При решении уравнения замена позволяет избавиться от корня и свести уравнение к квадратному. При решении неравенства замена позволяет получить стандартное квадратное неравенство , алгоритм решения которого известен. При упрощении выражения замена позволяет «разглядеть» в числителе разность кубов и сократить дробь.

■ П р и м е р 2. Имеет ли произведение ab
, где b
= 5 – a
, наибольшее значение, и если имеет, то при каких а
и b
оно достигается?

Подставив в произведение ab
вместо b
разность 5 – a
, получим: . Теперь надо исследовать квадратный трехчлен . Воспользуемся свойствами квадратичной функции. Ее график – парабола. Коэффициент при а
2
отрицателен, поэтому ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение.

Так как корни трехчлена – числа 0 и 5, то абсцисса вершины параболы равна 2,5. Таким образом, наибольшее значение трехчлен , а, значит, и произведение ab
,
принимает при а
= 2,5. Найдем соответствующее значение b
: . Ответ: имеет; при а
= b
= 2,5. ■

При ответе на вопрос задачи мы опирались на свойства квадратичной функции. Вообще, решение многих экзаменационных задач основано на применении функциональных свойств выражений. Так, для того, чтобы доказать, что выражение при любых х
принимает положительные значения, надо показать, что квадратный трехчлен всегда положителен.

Чтобы найти наибольшее значение выражения нужно представить эту дробь в виде и воспользоваться тем, что выражение вида а
2
принимает наименьшее значение при а
= 0. Похожим образом обстоит дело с заданием, в котором нужно найти наименьшее значение суммы . Так как выражение вида принимает наименьшее значение при а
= 0, то необходимо, чтобы одновременно равнялись нулю подкоренные выражения и .

Факт существования наименьшего значения у функции , где a
> 0, используется и при доказательстве того, что уравнение не имеет корней. В самом деле, наименьшее значение каждого из этих двух квадратных трехчленов равно 1, но достигается оно при разных значениях х
.

■ П р и м е р 3. Имеются два раствора одной и той же соли разной концентрации – 35% и 60%. В каком отношении надо взять первый и второй растворы, чтобы получить раствор, концентрация которого 40%?

Пусть х
– масса первого раствора, у
– масса второго раствора (выраженные в одних единицах). Тогда, количество соли в первом растворе составляет 0,35х
, а во втором – 0,6у
. Масса нового раствора равна х
+ у
, а количество соли в нем 0,4(х
+ у
). Получаем уравнение:

; ; х
= 4у
; .

Ответ: первый и второй растворы надо взять в отношении 4 : 1. ■

Решая задачу, мы получили одно уравнение с двумя переменными, но при этом смогли ответить на вопрос, так как надо было найти не конкретные значения х
и у
, а их отношение. Вообще, при решении многих текстовых задач возникают аналогичные ситуации – уравнений получается меньше, чем переменных. Но в таких задачах, как правило, вопрос ставится таким образом, что находить значения всех величин, обозначенных буквами, не требуется. Постановка вопроса в таких задачах обычно такова: найти отношение
величин, их сумму
, натуральные
решения и др.

■ П р и м е р 4. Найдите все значения k
, при которых прямая у
= kx
пересекает в трех различных точках ломаную, заданную условиями .

Построим заданную ломаную и проведем «граничные» прямые, которые задаются уравнениями у = kx (рис. 2). Одна из этих прямых проходит через точку (2; 1), а вторая параллельна прямым у = 2х + 5 и у = 2х – 3. Уравнение первой прямой , второй – у = 2х . Из рисунка видно, что все прямые, проходящие через

Рис. 2

начало координат, находящиеся «между» этими двумя прямыми, пересекают ломаную в трех точках. Ответ: . ■

В задачах, где уравнения, формулы содержат буквенные коэффициенты, часто можно использовать графические соображения, как это было сделано в рассмотренном примере. Например, пусть требуется найти все значения а
, при которых неравенство не имеет решений. Рассуждать можно так. График трехчлена в левой части неравенства – это парабола, ветви которой направлены вверх. Переформулируем поставленный вопрос: нужно найти все значения а
, при которых парабола расположена выше оси х
. Теперь понятно, что нужно решить неравенство D
< 0. Опираясь точно так же на наглядные представления, можно рассуждать иначе: вершина параболы должна находиться в верхней полуплоскости, поэтому задача сводится к решению неравенства у
0
> 0, где у
0
– ордината вершины параболы.

Как уже говорилось, многие задания допускают разные способы решения. Даже текстовые задачи, для которых основным способом решения является алгебраический, в ряде случаев могут быть решены арифметически.

■ П р и м е р 5. Решим задачу. Автобус отправился из пункта А в пункт В. Одновременно навстречу ему из В в А выехал велосипедист. Через 40 мин они встретились, и каждый продолжил движение в своем направлении. Автобус прибыл в пункт В через 10 мин после встречи. Через какое время после встречи прибыл в А велосипедист?

Будем рассуждать так. На путь после встречи автобус затратил в 4 раза меньше времени, чем на путь до встречи. Если точку встречи обозначить буквой С, то из сказанного следует, что АС в 4 раза больше, чем ВС. Значит, велосипедист после встречи проехал расстояние, в 4 раза большее, чем до встречи, а значит, он затратил на него 40∙4=160 (мин).

Ответ: через 2 ч 40 мин

Ссылки

Со всеми материалами, которые разрабатываются в целях обеспечения проведения государственной (итоговой) аттестации по алгебре в 9 классе и анализа получаемых результатов, можно знакомиться на сайте http://www.fipi.ru. На нем размещены следующие материалы:

- документы, регламентирующие разработку КИМ для ГИА по алгебре 2009 г. (кодификатор элементов содержания, спецификация и демонстрационный вариант экзаменационной работы);

- учебно-методические материалы для членов и председателей региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ выпускников 9-х классов 2009 г.;

- перечень учебных изданий, рекомендуемых ФИПИ для подготовки к экзамену.

[1]
Здесь и далее: это задание выполнялось в двух территориях, поэтому указан не диапазон, а средние результаты по каждой из них. В одной из этих территорий, где результат выше, в экзамене участвовала небольшая выборка девятиклассников, и, как показывают результаты, с хорошей математической подготовкой. Полагаем, что в отчете эти результаты должны быть представлены, но суммировать их с другими, полученными на больших массивах учащихся, нецелесообразно.

[2]
Фактически во второй части работы представлены задания трех уровней (см. п. 1 отчета), что и отражено в данной таблице.