Письмо подготовлено
членами федеральной предметной комиссии по математике
к. п. н. Л.О. Денищевой, к. п. н. Глазковым Ю.А.,
к. п. н. К.А. Краснянской
на основе аналитического отчета «Результаты единого государственного экзамена 2008 года»,
размещенного на сайте ФИПИ (http://www.fipi.ru).
Письмо согласовано
с председателем научно-методического совета ФИПИ
по математике, к.физ-мат.н, профессором Г.Г. Канторовичем,
утверждено директором ФИПИ А.Г. Ершовым.
Методическое письмо
Об использовании результатов единого государственного экзамена 2008 года в преподавании математики в образовательных учреждениях среднего (полного) общего образования
С 2001 года по 2008 год назначением единого государственного экзамена по математике было определение уровня подготовки выпускников средней (полной) общеобразовательной школы по алгебре и началам анализа с целью итоговой аттестации и отбора при поступлении в высшие учебные заведения.
За 8 лет проведения ЕГЭ по математике он стал важным фактором совершенствования образовательного процесса. Анализ результатов ЕГЭ позволяет получить объективные данные о сильных и слабых сторонах математической подготовки выпускников, определить уровни усвоения знаний и умений отдельными группами выпускников, совершенствовать формы контроля.
Все задания, используемые в ЕГЭ, проходят многоступенчатую экспертизу на соответствие государственному стандарту математического образования, а также требованиям, предъявляемым к качеству КИМ.
Анализ результатов ЕГЭ дает возможность корректировать экзаменационную модель, повышать качество КИМ, формулировать рекомендации по совершенствованию учебного процесса, методики преподавания математики в школе.
Краткое описание изменений КИМ ЕГЭ по математике (по годам)
Экзаменационная модель ЕГЭ по математике отрабатывалась в течение первых пяти лет эксперимента. Так, в 2002 году работа по математике состояла из трех частей и содержала 25 заданий, на выполнение которых отводилось 3,5 ч (210 минут). Часть 1 включала 13 заданий базового уровня, часть 2 – 9 заданий повышенного уровня, часть 3 состояла из 3 заданий высокого уровня сложности. В работу было включено 23 алгебраических и 2 геометрических задания. При этом не удалось охватить проверкой некоторые важные умения, традиционно контролируемые на вступительных экзаменах в вузы (например, расчеты с использованием процентов, решение текстовых задач, решение геометрических задач повышенного и высокого уровня). Для обеспечения проверки указанных знаний и умений в 2003 г. число заданий в работе было увеличено до 30 (16: 10: 4), а время выполнения – до 4 часов. В результате тщательного анализа выполнения вариантов КИМ 2003 г. было принято решение об уменьшении числа заданий в вариантах КИМ 2004 г. до 27, а в КИМ 2005 г. и КИМ 2006 г. – до 26 (при этом представительность проверяемого материала сохранялась).
Кроме того, было изменено распределение числа заданий по трем частям работы (2004 г. – 14:9:4; 2005 г. – 13:10:3), а в частях 1 и 2 вместо одного типа заданий были использованы два типа заданий (в части 1 – с выбором ответа и кратким ответом, в части 2 – с кратким ответом и с развернутым ответом). Эти изменения были внесены, чтобы, с одной стороны, обеспечить адекватную проверку соответствующих математических умений (например, умение решать простейшие уравнения различного вида проверялось с помощью заданий базового уровня с кратким ответом: В1 – В3). С другой стороны, данная корректировка КИМ давала возможность выпускникам, имеющим отличную и хорошую подготовку на школьном уровне, проявить умение математически грамотно записать решение задачи (в часть 2 были включены два задания (С1 и С2) повышенного уровня, требующие записи решения).
Сравнительный анализ результатов проведения ЕГЭ в 2001–2006 годы показал функциональную пригодность усовершенствованной модели составления вариантов КИМ в 2005–2006 гг. для обеспечения объективности итоговой аттестации и дифференциации по уровню математической подготовки выпускников общеобразовательных классов средней (полной) школы. Данная структура вариантов КИМ была сохранена в 2007–2008 годах: не изменилось число заданий в работе (26) и распределение их по трем частям (13:10:3), назначение и уровень сложности, типы заданий в каждой из этих частей, а также время выполнения работы (4 ч).
В 2009 году при введении ЕГЭ в штатный режим в нормативные документы, регламентирующие разработку содержания и проведение экзамена, внесены определенные изменения1
. Выделим только те новации, которые определили характер изменений, внесенных разработчиками вариантов КИМ в Демонстрационный вариант 2009 года:
итоговая аттестация в 11 классах общеобразовательной школы проводится по математике, а не по курсу «Алгебра и начала анализа», как это было ранее.
С учетом этих новаций и анализа итогов ЕГЭ-2008 по математике проводилась корректировка содержания заданий Демонстрационного варианта КИМ-2009, определяющего особенности вариантов КИМ-2009.
При сохранении в целом оправдавшей себя модели вариантов КИМ 2005-2008 гг. в содержание заданий внесены следующие изменения:
– в Часть 1 включены несколько заданий базового уровня, позволяющих оценить умение учащихся применять полученные знания по алгебре и по геометрии в ситуации, близкой к реальной;
– упрощено несколько заданий базового уровня сложности в Части 1;
– с учетом уровня подготовки тех выпускников, которые изучали курс математики в объеме 4 ч в неделю, отобраны по тематике и основным видам математической деятельности задания повышенного уровня сложности в Части 2;
– упрощено одно из трех заданий высокого уровня сложности, осуществляющих более тонкую дифференциацию выпускников, имеющих высокий уровень математической подготовки.
Характеристика участников ЕГЭ по математике 2008 года и основные его результаты
В 2008 году ЕГЭ по математике сдавали 938127 экзаменуемых из 78 регионов РФ, что составило 88,2% от всех выпускников 2008 года. По сравнению с 2006-2007 годами процент участников ЕГЭ в 2008 г. существенно выше (для сравнения: в 2006 г. – 623493 экз., т.е. 48,1% от всех выпускников средней школы; в 2007 г. – 605757 экз., т.е. 52,9%).
В 72 субъектах РФ ЕГЭ по математике сдавало более 92% выпускников от общего числа выпускников региона. В остальных пяти регионах число участников ЕГЭ по математике составило от 69% до 85%, а в Чеченской республике участниками ЕГЭ по математике стало лишь 10% экзаменуемых от 4000 выпускников.
Состав участников ЕГЭ по математике существенно отличался от предыдущих лет, что, безусловно, сказалось на его результатах.
По сравнению с 2006-2007 гг. число участников увеличилось более чем на 300 тысяч учащихся. Очевидно, что в предыдущие годы многие выпускники, имевшие невысокую математическую подготовку, не сдавали экзамен по математике в форме ЕГЭ, а в 2008 г. подавляющее большинство проходили государственную (итоговую) аттестацию в этой форме.
Опыт проведения ЕГЭ показал, что по сравнению с другими образовательными учреждениями более высокий уровень математической подготовки демонстрируют выпускники общеобразовательных школ, а выпускники вечерних школ наоборот показывают очень низкий уровень подготовки. Очевидно, общему снижению результатов экзамена 2008 года способствовало увеличение среди участников ЕГЭ числа учащихся вечерних школ.
Согласно данным Федерального центра тестирования среди участников ЕГЭ 2008 г. от 3% до 50% по отдельным регионам составляли выпускники 2007 г., которые сдавали экзамен повторно (например, Кабардино-Балкария – 50%, Волгоградская область – 12%, Мурманская область – 15%, Ростовская область – 17%). Согласно результатам ЕГЭ большинство из них имеют невысокий уровень математической подготовки.
В 2008 г. при сдаче ЕГЭ по математике по-прежнему действовало правило «плюс один балл при неудовлетворительных результатах экзамена», хотя опыт проведения ЕГЭ показал, что данный принцип не стимулирует слабо подготовленных выпускников к качественной подготовке к выпускному экзамену в форме ЕГЭ.
Указанные выше особенности состава участников ЕГЭ по математике 2008 г. и особые условия для получивших неудовлетворительный результат оказали негативное влияние на выполнение вариантов КИМ, что привело к снижению результатов экзамена по сравнению с предыдущими годами, особенно с 2007 годом.
При интерпретации результатов экзамена на региональном уровне
следует иметь в виду, что в тех регионах, где экзамен в форме ЕГЭ сдавали не менее 85% выпускников, выборку участников экзамена можно считать представительной, и выводы, сделанные на основе полученных результатов, можно с достаточным основанием распространять на всю совокупность выпускников средней школы данного региона. В то же время выборка учащихся на федеральном уровне
является достаточно представительной. Состав выборки участников ЕГЭ позволяет проявиться как положительным качествам школьного математического образования, так и характерным его недостаткам.
Получение достаточно полной и объективной информации о математической подготовке выпускников 2008 года обеспечивалось включением в варианты КИМ заданий, направленных на проверку достижения требований каждого из четырех основных тематических разделов стандарта 2004 года: Числовые и буквенные выражения, Функции и графики, Начала математического анализа и Геометрия. Отметим, что не проверялся материал, включенный в новый раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей», пока не подлежащий контролю на федеральном уровне.
Каждый вариант КИМ охватывал значительную часть элементов обязательного минимума содержания основного общего и среднего (полного) общего образования по математике, что обеспечивало получение достоверных данных о состоянии подготовки участников экзамена как по курсу алгебры и начал анализа, так и по курсу математики в целом. Итоги ЕГЭ по математике позволяют получить объективную картину состояния общей математической подготовки[2]
выпускников школ РФ и тенденциях её изменения (см. таблицу 1).
Таблица 1
Распределение участников экзамена по уровням
математической подготовки
| Уровень математической подготовки
|
Процент участников экзамена
|
||
| ЕГЭ 2006
|
ЕГЭ 2007
|
ЕГЭ 2008
|
|
| «Неудовлетворительный» (отметка «2») |
19,4% выполнено 0-5 заданий |
20,9% выполнено 0-6 заданий |
23,1% выполнено 0-5заданий |
| «Удовлетворительный» (отметка «3») |
39,5% |
41,9% |
44,9% |
| «Хороший» (отметка «4») |
34, 0% |
29,6% |
24,7% |
| «Отличный» (отметка «5») |
7,1% |
7,6% |
7,2% |
Отметим, что в 2005-2006 гг. для получения положительной отметки «3» надо было выполнить не менее 6 заданий, в 2007 г. уровень подготовки учащихся был несколько выше, поэтому норма выставления отметки «3» была повышена на 1 балл – для ее получения надо было выполнить не менее 7 заданий. В 2008 г. вернулись к норме 2006 г. – не менее 6 заданий, что объясняется особенностями выборки участников ЕГЭ 2008 г., о которых говорилось выше.
При этом условии по сравнению с двумя предыдущими годами увеличилось число участников ЕГЭ, показавших низкий уровень математической подготовки. Так, несколько возрос процент неудовлетворительных отметок (2%-4%), увеличился (на 3%-5%) процент выпускников, получивших на ЕГЭ отметку «3» и соответственно уменьшился (на 5%-10%) процент экзаменуемых, сдавших экзамен на отметку «4». При этом важно отметить, что процент учащихся, продемонстрировавших отличное знание математики, существенно не изменился. Эти учащиеся, как и в прежние годы, составляют около 7% выпускников российской школы.
Таким образом, по сравнению с 2006-2007 гг. выявилось некоторое снижение уровня общей математической подготовки участников ЕГЭ в 2008 г. Такая же тенденция характерна в 2008 г. и для состояния подготовки по курсу алгебры и начал анализа.
Как и в предыдущие годы, в 2008 г. выпускники существенно различались по состоянию алгебраической подготовки. При этом с заданиями базового уровня, характеризующими достижение обязательных требований стандарта по курсу алгебры и начал анализа (А1-А10, В1-В3), в 2008 г. справились от 42% до 81% экзаменуемых,
с алгебраическими заданиями повышенного уровня
с кратким ответом (В4-В8) – 17%-34% экзаменуемых.
Результаты выполнения алгебраических задач повышенного уровня (С1 и С2) и высокого уровня (С3 и С5), требующих записи решения, были, как и в прошлые годы, невысоки: справились с зданием С1 – 11% экз.; С2 – 12% экз.; С3 – 0,9% экз.; С5 – 0,56% экзаменуемых.
Как и в 2006-2007 годах, участники экзамена 2008 года в целом показали невысокие результаты при решении геометрических задач повышенного уровня сложности (В10-В11), включенных в варианты КИМ в соответствии с требованиями программы вступительных экзаменов в вузы. С ними в среднем справились около 7%-8% экзаменуемых. Задачу высокого уровня, требующую записи решения, сумели выполнить – 0,8% экз. Опыт проведения ЕГЭ показывает, что среди участников ЕГЭ делают попытку решать эти задачи только около трети выпускников. Частично это объясняется тем, что многие учащиеся с хорошей и отличной подготовкой, не предполагающие поступать в учебные заведения, где требуется сдача экзамена по математике, вообще не приступают к выполнению этих заданий.
Итоги ЕГЭ по математике последних трех лет по многим параметрам совпадают. Около трети всех участников экзамена, показавших «хороший» и «отличный» уровни подготовки, прочно овладевают всеми контролируемыми элементами содержания на базовом уровне. Выпускники, получившие отметку «4» справляются с заданиями повышенного уровня. Участники экзамена, получившие отметку «5», выполняют все задания повышенного уровня сложности. Таким образом, около трети выпускников школы демонстрируют уровень подготовки, позволяющий обеспечить успешность обучения в вузе.
Анализ результатов ЕГЭ по математике в 2008 г.
Результаты выполнения заданий по алгебре и началам анализа
Анализ результатов ЕГЭ по математике 2008 г. выявил некоторые общие закономерности, характеризующие подготовку выпускников.
К числу положительных тенденций следует отнести тот факт, что от 80% до 90% участников экзамена приступают к выполнению заданий Части 1 с кратким ответом базового уровня сложности (в предыдущие годы от 20% до 40 % экз. даже не приступали к их выполнению). Аналогичная тенденция наблюдается и при анализе выполнения заданий повышенного уровня сложности: увеличивается процент участников экзамена, которые приступают к решению заданий с кратким ответом и развернутым ответом. Это свидетельствует о том, что выпускники, в ходе обучения приобрели опыт решения задач, в которых нужно изменить стандартный алгоритм решения или преобразовать исходные данные заданий, чтобы можно было применить известный способ действий.
К негативным характеристикам подготовки выпускников следует отнести большое количество вычислительных ошибок, допущенных как при выполнении задач базового, так и повышенного уровней сложности.
Остановимся на детальном описании состояния алгебраической подготовки участников экзамена, продемонстрировавших различные уровни алгебраической подготовки.
Выпускники, показавшие «неудовлетворительный»
уровень подготовки (тестовый балл 0-24), фактически не овладели ни одним из элементов содержания, проверявшихся с помощью заданий базового уровня в вариантах КИМ.
Выпускники, показавшие «удовлетворительный»
уровень подготовки (тестовый балл 25-46), овладели 8-9 элементами содержания из 13, которые контролировались с помощью заданий базового уровня. Эта категория выпускников на базовом уровне овладела умением проводить преобразования радикалов, степеней и логарифмов с использованием ограниченного набора формул. Они умеют решать простейшие показательные уравнения и дробно-рациональные неравенства, а также читать по графику свойства функций. При этом значительная часть учащихся не усвоила: преобразования тригонометрических выражений, решение иррациональных уравнений, логарифмических неравенств и нахождение области определения сложной функции. Эта группа выпускников в целом не справилась ни с одним заданием повышенного уровня.
Участники экзамена, показавшие «хороший»
уровень подготовки (тестовый балл 47-64), овладели всеми элементами содержания, проверявшимися на базовом уровне: они умеют преобразовывать все изученные виды выражений, решать все изученные виды уравнений и неравенств, исследовать свойства функций. Эта группа выпускников овладела 2-3 элементами содержания из 7-ми, освоение которых проверялось на повышенном уровне. Они овладели умениями преобразовывать выражения и находить их значения; применять геометрический смысл производной для решения задач; решать уравнения методом замены.
Экзаменуемые, показавших «отличный»
результат (тестовый балл 65-100), успешно овладели всеми элементами содержания на базовом и повышенном уровнях. Они овладели не только методами решения всех математических задач повышенного уровня, но и показали умение математически грамотно и обоснованно записать свое решение при выполнении заданий повышенного уровня с развернутым ответом.
Следует подробнее остановиться на характеристике алгебраической подготовки учащихся, показавших удовлетворительный результат. О некотором снижении уровня подготовки этой категории учащихся свидетельствует тот факт, что в 2008 году они овладели 8-9 основными умениями из 13 (в 2007 году – 9-11), которые контролировались заданиями базового уровня сложности.
Оказалось, что выпускники, получившие оценку «3»:
· не научились решать иррациональные и тригонометрические уравнения (например, , );
· не справляются с решением простейших показательных и логарифмических неравенств (например, или );
· не умеют исследовать свойства функций, в частности, найти область определения функции ; найти множество значений функции );
· не умеют выполнять преобразования тригонометрических выражений и находить их значения (например, , если , ).
Кроме того, выпускники, получившие отметку «3», имеют серьезные затруднения при выполнении вычислений: они показали существенно различные результаты, например, при решении заданий на вычисление значений выражений и (результаты значительно ниже при выполнении второго из этих заданий).
Как и в предыдущие годы, типичными при выполнении заданий базового уровня сложности (часть 1 КИМ) являются ошибки, связанные с незнанием свойств степеней, логарифмов и радикалов; с неумением применить стандартные методы решения простейших уравнений и неравенств.
Хуже других тем и разделов усвоены преобразования тригонометрических выражений и решение иррациональных уравнений.
Большинство учащихся, показавших хороший уровень математической подготовки, как и в прошлом году, в среднем справились с 2-3 алгебраическими заданиями из 7 заданий повышенного уровня сложности. При этом от 16% до 31% сумели решить и грамотно записать полученное решение при выполнении заданий повышенного уровня с развернутым ответом (С1 и С2), включенных в варианты КИМ 2008 г. Результаты, показанные этой группой выпускников, свидетельствуют о значительном потенциале, которым они обладают, и позволяют предполагать, что целенаправленная работа в процессе обучения с такими учащимися будет способствовать повышению качества их математической подготовки.
Проиллюстрируем конкретными примерами, какие недочеты выявились у «хорошистов» при выполнении заданий повышенного уровня сложности. Они успешно справляются с решением уравнений (показательных, логарифмических и иррациональных) методом замены (см. примеры 1-4).
| Пример 1. |
Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке отв
етов запишите их произведение.)
|
41% |
| Пример 2. |
Решите уравнение + 7– 8 = 0. (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите произведение всех его корней.) |
33% |
| Пример 3. |
Решите уравнение (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите произведение всех его корней.) |
31% |
Более низкие результаты показаны этими учащимися при выполнении «похожего» уравнения (см. пример 4).
| Пример 4. |
Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите их сумму.) |
19% |
Отметим, что в примере 4, кроме замены, аналогичной замене, которую нужно сделать при решении примеров 1-3, нужно применить понятие степени с дробным показателем. В остальных шагах решения выпускник должен применить известный метод. Но даже такое незначительное изменение влечет за собой снижение результата. Этот пример показывает, что группа выпускников, показавшая хорошую подготовку, все же более успешно воспроизводит известные методы решения, чем видоизменяет их. Это же наблюдение подтверждается и при анализе результатов выполнения заданий повышенного уровня с развернутым ответом (С1-С2).
Как и в прошлом году, «хорошисты» не справились с заданиями (см. примеры 5-6), где при решении нужно применить определение периодической функции (справились чуть более 30 % участников экзамена).
| Пример 5. |
Функция определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 5. На промежутке она задается формулой . Найдите значение выражения . |
19% |
| Пример 6. |
Функция определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 7. На промежутке она задается формулой . Найдите значение выражения . |
16% |
Заметим, что похожий пример, включенный в варианты КИМ в 2007 году, но содержащий в условии рисунок (часть графика периодической функции), выполнялся более успешно (справились более 50% выпускников, получивших отметку «4»). Это сравнение показывает, что даже хорошо подготовленные выпускники лучше ориентируются в ситуации, если есть опора на наглядные образы математического объекта.
Как и в 2007 году, выпускники 2008 года, показавшие отличный уровень подготовки, справляются со всеми заданиями базового уровня сложности, а также со всеми заданиями повышенного уровня сложности. Из них от 80% до 97% выполняют верно задания повышенного уровня сложности с кратким ответом и от 78% до 92% – правильно решают задания повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Выборочная перепроверка работ выявила ошибки и недочеты, которые допускают выпускники, приступающие к выполнению этих заданий. В 2008 г. были включены задания, где нужно было найти наибольшее (наименьшее) значение функции и текстовая задача, для решения которой нужно было составить модель-уравнение (см. примеры 7-10).
| Пример 7. |
Найдите все значения х,
|
92% |
| Пример 8. |
Найдите все значения х
|
84% |
| Пример 9. |
Найдите наибольшее значение функции . |
81% |
| Пример 10. |
Найдите наибольшее значение функции |
79% |
Основная ошибка при выполнении примеров 7-8 состояла в том, что выпускники считали окончательным ответом корни уравнения-следствия, т.е. в их решении отсутствовал один из шагов – отбор корней, удовлетворяющих уравнению, составленному по условию задачи.
На этот этап при обучении решению уравнений нужно обратить серьезное внимание, т.к. эту же ошибку допустили выпускники и при решении других видов уравнений повышенного уровня сложности с кратким ответом. Очевидно, если бы при решении уравнения выпускники следили за равносильностью преобразований уравнений, то уменьшилась бы вероятность возникновения указанной ошибки.
При выполнении примеров 9-10 характерны разнообразные ошибки: и в преобразовании выражений, и в вычислениях, и в применении формулы производной, и др.
Результаты выполнения заданий по геометрии
Согласно плану составления вариантов КИМ в работу были включены две задачи по геометрии повышенного уровня сложности. Как и в предыдущие годы, в 2008 году по этим задачам были получены низкие результаты – от 2% до 24% верных ответов по вариантам КИМ, причем с этими задачами справляется лишь категория учащихся с «высокой» (отметка «5») математической подготовкой. По подавляющему большинству задач правильные ответы получили более 60% таких учащихся. Из учащихся с хорошей математической подготовкой менее 20% экз. успешно решали эти задачи.
Таким образом, при сдаче ЕГЭ геометрические задачи позволяют выявить наиболее подготовленных по математике учащихся. Вместе с тем низкие результаты говорят о неблагополучном положении с геометрической подготовкой школьников, что требует анализа причин таких результатов.
Отметим, что в 2002-2008 гг. в экзаменационной работе задачи по геометрии были предназначены для абитуриентов. При выставлении аттестационной оценки результаты выполнения геометрических заданий не учитывались. Как показывает опыт проведения ЕГЭ, учащиеся с «низкой» математической подготовкой, а также многие учащиеся с «хорошей» подготовкой, которым не нужно сдавать математику при поступлении в вуз, даже не приступают к решению геометрических задач. Кроме того, только около трети учащихся, приступающих к решению задач, получают верный ответ к стереометрическим задачам, а по планиметрии доля верных ответов еще меньше.
Выяснение причин неуспеха при решении геометрических задач ЕГЭ начнем с рассмотрения их особенностей.
Во-первых,
все геометрические задачи в вариантах КИМ вычислительные, поэтому для их успешного решения должен быть отработан аппарат стандартных вычислений. В большинстве задач применяются теорема Пифагора, определения синуса, косинуса и тангенса острого угла, теорема косинусов (реже – синусов), требуется вычислить элементы подобных треугольников.
Во-вторых,
несмотря на то, что задачи вычислительные, для их решения важно твердое владение теоретическим материалом. Хотя от учащихся и не требуется умение грамотно записывать решение и приводить обоснования, но необходимо владеть свойствами заданных плоских и пространственных фигур, применять эти свойства в ходе вычислений, а также для распознавания и построения заданных конфигураций.
В-третьих,
для успешного решения предложенных задач нужно уметь выделять стандартные конфигурации и применять несколько изученных свойств, относящихся к разным разделам курса геометрии.
В 2008 году основной шаг решения задач по теме «Треугольники» состоял в выявлении подобных треугольников, получающихся после соединения отрезком вершины треугольника с точкой противолежащей стороны. Основным шагом решения задач по теме «Параллелограмм» являлось распознавание подобных треугольников и применение теоремы об отношении их площадей. В решении задач на вычисление длины отрезка в ромбе основным шагом было нахождение отношения отрезков с использованием свойства биссектрисы треугольника. Основным шагом решения задач по теме «Трапеция» было построение прямоугольного треугольника (надо было провести прямую, параллельную одному из заданных отрезков).
В зависимости от способа решения конкретной задачи нужно было уметь применить 1–2 факта из следующего перечня:
·признаки подобия треугольников и следующая из подобия пропорциональность соответствующих сторон;
·метрические соотношения в прямоугольном треугольнике;
·формулы площади треугольника;
·отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту;
·теорема Пифагора;
·определение синуса и косинуса, угла прямоугольного треугольника (решение прямоугольных треугольников).
В-четвертых,
«ключевым моментом решения» геометрических задач повышенного уровня сложности в вариантах КИМ является использование определения или свойства фигуры в несколько измененной ситуации. Поэтому учащийся должен обладать достаточно гибким мышлением, позволяющим осуществлять перенос стандартных умений в измененную ситуацию. Решение каждой задачи требовало комплексного выполнения, как правило, 1–2 основных шагов и применения 1-2 фактов, обеспечивающих нахождение искомых величин.
Задания по теме «Треугольники
» были представлены одним типом задач. В качестве примера рассмотрим одну планиметрическую задачу из этой темы: «На стороне НК
треугольника НКО
отмечена точка С
так, что НС
= 6, СК
= 12, ÐСОН
= ÐОКН
. Найдите площадь треугольника ОНС
, если ÐН
= 60°».
Решение задач такого типа основано на рассмотрении подобных треугольников (их подобие устанавливается с помощью первого признака подобия). Эти задачи по планиметрии в ЕГЭ 2008 г. оказались наиболее трудными. Получить верный ответ смогли только 2% всех учащихся, решавших соответствующие варианты КИМ. Следует отметить, что подобные задачи предлагались на ЕГЭ несколько лет назад, но и тогда процент верных ответов был весьма небольшой. Для изменения ситуации учителям следует обратить внимание на такую достаточно простую конфигурацию и обязательно рассматривать аналогичные задачи при изучении подобия треугольников.
В 2008 году, как и в прошлые годы, в каждый вариант КИМ была включена одна стереометрическая задача повышенного уровня. Эти задачи были составлены по темам «Прямая призма» и «Цилиндр». Проверялось знание свойства указанных пространственных фигур, умение применять эти свойства для вычисления искомых элементов фигур, а также знание формул для вычисления объемов цилиндра и конуса, площадей их боковых поверхностей и сечений. Кроме того, проверялось владение понятиями угла между плоскостями и расстояния между скрещивающимися прямыми (последнее в наиболее простом варианте: скрещивающиеся прямые содержат ребра оснований прямой призмы).
В варианты 2008 года входили две серии задач на прямую призму. Ключевым моментом решения почти всех задач первой серии являлось применение понятия угла между плоскостями и построение его линейного угла. Например, «Основание прямого параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
– параллелограмм ABCD
, в котором AD
и ÐD
. Тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью B
1
CD
равен 0,5. Найдите боковое ребро параллелепипеда».
Ключевым моментом решения задачи было построение линейного угла заданного двугранного угла. А вычисления были основаны на решении прямоугольных треугольников: рассматривался прямоугольный треугольник, составленный боковым ребром призмы, высотой сечения и ее проекцией на плоскость основания призмы.
Следует отметить, что задачи этой серии, хоть и не являются типичными и часто использующимися в практике преподавания, однако и незнакомой данную в них конфигурацию назвать нельзя. Для успешного решения таких задач достаточно было владеть основными понятиями стереометрии и уметь решать прямоугольные треугольники. Выпускники так же плохо справились с этими задачами, как и с задачами по планиметрии, хотя у сильных учащихся результаты существенно лучше, чем по планиметрическим заданиям.
Рекомендации по совершенствованию методики преподавания математики с учетом результатов ЕГЭ 2008 года
Результаты экзамена выявили ряд нерешенных проблем, характерных для подготовки различных категорий выпускников. О некоторых проблемах совершенствования обучения математике говорилось в методических письмах прошлых лет:
· ориентация на прочное усвоение базовых требований к математической подготовке;
· дифференциация обучения, разработка стратегии обучения и подготовки к выпускному экзамену с учетом достигнутого учащимся уровня образовательных достижений;
· применение различных средств обучения, в том числе, наглядных, направленных на обеспечение прочности овладения изучаемым материалом различными категориями учащихся;
· ориентация на развитие математического мышления и др.
В настоящем письме нельзя не сказать о давней проблеме, которая достаточно остро встает во время итоговой аттестации – это существенное различие в количестве двоек, которое выставляется старшеклассникам по итогам работы в полугодиях в 10-11 классах, и количестве двоек, получаемых выпускниками при сдаче ЕГЭ (19%-23% в различные годы проведения экзамена).
Ни для кого не секрет, что школьная оценка выполняет различные функции, в том числе, и воспитательные. Иногда, в текущем контроле, учитель выставляет ученику положительную оценку для того, чтобы показать динамику продвижения от незнания к неполному, неточному, частично верному знанию. Тем самым, учитель дает сигнал слабо подготовленному выпускнику, что его старания заметили. Но в то же время здесь важно поставить перед учеником перспективную задачу: каких реальных результатов ему нужно добиться (какими знаниями и умениями он должен овладеть), чтобы его математическая подготовка получила объективную положительную оценку.
Пока в текущем контроле не будет доминировать оценка овладения требованиями, зафиксированными в нормативных документах, а не оценка хорошего поведения или прилежания, не исчезнет и проблема рассогласования в выставлении удовлетворительной оценки в течение года и на итоговом контроле в выпускном классе.
В принятой в школах системе контроля имеются и механизмы, которые позволят объективизировать оценку. Например, проведение письменных работ (самостоятельные, контрольные, зачеты), где ученик предъявляет не только ответы, но и решения заданий. Здесь объективно и точно можно зафиксировать правильность ответа и допущенные ошибки. А воспитывающая функция оценки в большей степени может относиться к промежуточным видам контроля, организуемым при индивидуальном опросе или в ходе фронтальной работы со всем классом.
Кроме проблемы, связанной с повышением объективности оценивания подготовки учащихся, обратим внимание учителей математики на те материалы ЕГЭ, которые можно активно использовать в повседневной работе. Например, использовать для ориентации в процессе обучения систему заданий, отобранных при проведении единого экзамена, которые характеризуют требования базового уровня стандарта 2004 г..
Особое внимание уделим проблемам преподавания геометрии.
Из сказанного выше следует, что для обеспечения успешного выполнения учащимися геометрических заданий повышенного уровня сложности, подобных включавшимся в варианты КИМ 2002-2008 гг., чрезвычайно важным является решение в процессе обучения геометрии следующих дидактических проблем:
· обеспечить усвоение учащимися базовых знаний, формирование у них умений применять эти знания в стандартной ситуации;
· сформировать системные знания о геометрических фигурах, которые изучаются в школьном курсе;
· обеспечить знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов;
· развивать гибкость мышления, способность анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.
Первая из указанных проблем – это достижение обязательных требований к математической подготовке школьников. На решение этой проблемы в первую очередь должны быть направлены усилия учителя. О том, как более эффективно решать задачу систематизации знаний учащихся, много говорилось в методическом письме 2006 года. При этом подчеркивалась большая роль повторения материала, систематизированного по изученным геометрическим фигурам.
Третья и четвертая проблемы довольно тесно связаны, поскольку рассмотрение различных ситуаций применения одного и того же геометрического факта не только работает на запоминание возможных ситуаций, требующих его использования, но и способствует формированию потребности и способности анализировать особенности предлагаемой в задаче ситуации.
Отработку умения применять некий геометрический факт в различных ситуациях можно обеспечить, решая много различных задач. Этому мешает дефицит учебного времени. Поэтому для экономии времени целесообразно решать задачи по готовым чертежам. При этом достаточно потребовать от учащихся только назвать или сформулировать необходимую для решения теорему (определение) или свойство, но не выполнять само решение.
Такой же подход можно применить и в ходе обучения стереометрии. Например, если говорить об углах и расстояниях в пространстве – материале, который из года в год используется в задачах вариантов ЕГЭ и ранее предлагался на вступительных экзаменах многих вузов, и который традиционно вызывает трудности у учащихся, то можно рекомендовать при изучении каждого конкретного многогранника или тела вращения рассматривать расстояния и углы между различными элементами этих фигур (прямыми и плоскостями). Например, на доске изображаются несколько пирамид разного вида. Учащиеся должны изобразить линейный угол искомого двугранного угла и кратко записать шаги построения, продумать обоснования. Затем несколько учеников на доске выполняют соответствующие дополнительные построения, и фронтально проводится обсуждение необходимых обоснований. Подобная работа будет способствовать развитию гибкости мышления и формированию представлений о различных ситуациях, связанных с углом между рассматриваемыми плоскостями, и принесет больше пользы, чем решение полноценной задачи, посвященной одной нестандартной конфигурации.
При изучении фигур (треугольников, многоугольников, многогранников, тел вращения) можно идти в противоположном направлении: анализировать конфигурацию и отвечать на вопрос о том, какие геометрические величины здесь можно вычислить и какими способами. Например, если в трапеции провести две высоты, то появятся прямоугольные треугольники, гипотенузами которых являются боковые стороны, а если провести высоту и диагональ, – то прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является диагональ. В этих треугольниках можно применять теорему Пифагора и определения тригонометрических функций острых углов. Заметим, что в зависимости от того, в какой последовательности соответствующий материал изучается, такую работу можно проводить или непосредственно в ходе изучения материала, или только при повторении, когда уже изучены все необходимые факты. Так, указанные выше свойства трапеции, как правило, в момент прохождения темы «Трапеция» еще не изучены, и здесь речь может идти только об итоговом повторении.
Введение определений расстояний и углов в пространстве происходит, как правило, до изучения пространственных фигур. Поэтому при введении этих понятий ограничены возможности нахождения соответствующих величин в многогранниках и телах вращения. В свою очередь, при изучении фигур времени на детальную отработку всех фактов, используемых для решения задач на изучающуюся фигуру, конечно недостаточно. Как правило, учащиеся успевают решить несколько типичных задач и некоторое число нетипичных. Например, при изучении пирамиды более или менее можно успеть отработать применение понятий угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани, угла между плоскостью основания и боковым ребром в правильной пирамиде. В то же время на экзамене могут предлагаться углы и расстояния в пирамиде в ситуациях, отличных от рассмотренных. Поэтому даже несложные, но нестандартные задачи такого рода посильны только самым подготовленным учащимся. В связи с этим при изучении углов и расстояний можно рекомендовать усилить внимание к этим вопросам в двух направлениях.
Можно предлагать учащимся задания на распознавание углов и расстояний в пирамидах общего вида, параллелепипедах, конусах и цилиндрах, так как в 5-6 классах, а затем в 9 классе в курсе геометрии рассматривались эти виды фигур, и учащиеся имеют о них представление. Но больший эффект, конечно, дадут подобные задания при изучении каждой конкретной фигуры и, а также при итоговом повторении.
Об организации учебного процесса в пояснительной записке к Программе по математике для средней школы говорится, что учебный процесс должен быть организован так, чтобы все учащиеся освоили материал курса на обязательном уровне и, кроме того, чтобы обучение способствовало «удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Такие школьники должны получать индивидуальные задания (и в первую очередь нестандартные математические задачи), их следует привлекать к участию в математических кружках, олимпиадах, факультативных занятиях; желательно рекомендовать им дополнительную литературу». Отдельные задачи можно включать и в общую работу на уроке. Знакомство с ними расширит область нестандартных ситуаций применения изученных геометрических сведений. Однако при этом важно продумать и систему проверки решения этих задач, а также организацию консультативной помощи учащимся по решению дополнительных задач.
1
Познакомиться с документами, регламентирующими разработку ЕГЭ 2009 г. по математике, можно на портале информационной поддержки проекта «Единый государственный экзамен» http://ege.edu.ru, а также на сайте Федерального института педагогических измерений http://www.fipi.ru
[2]
Состояние математической подготовки учащихся оценивается на основе результатов выполнения всех заданий работы