(доказательства от противного)
Разработала учитель математики Бережная О.Д.
Материал: п, 28, § 2, учебник геометрия 7-9 Л.С.Атанасян
Методические рекомендации:
На уроке учитель знакомит учащихся с новым способом доказательства на уже известных ученикам более простых примерах рассуждений, и закрепляет способ доказательства от противного доказательством 1-го и 2-го следствий аксиомы параллельных прямых. Покажем, как это можно сделать. Учителю следует обратить внимание на две характерные ошибки, которые допускают учащиеся при использовании этого способа.
Первая ошибка - это то, что делается предположение, противоположное не тому, что требуется доказать, а тому, что задано в условии задачи или теоремы.
Вторая, не менее существенная ошибка - это неумение в отдельных случаях правильно сформулировать отрицание утверждения, которое требует доказательства. Вот один из примеров такой ошибки.
Составить утверждение, противоречащее высказыванию: «Число а больше 5». Возможный ответ: число а меньше 5.
Если бы ученик в заданном по условию высказыванию применил частицу «не», его ответ был бы верен: «Число а не больше 5», т.е. число а меньше или равно 5. Действительно, если а<5 или а=5, то это противоречит условию а>5. Ясно, что при первом варианте ответа утерян один из возможных случаев, без которого решение задания становится неполным. Поэтому, чтобы не допускать ошибки такого рода, важно с самого начала приучать учащихся формулировать отрицание утверждений, используя частицу «не» или соответствующие ей выражения: «неверно, что…», «нельзя» и т.п., т.е. следует избегать применения утвердительной формы предложений, как это было в приведенном выше примере.
В тех случаях, когда некоторое утверждение содержит отрицание какого-либо факта с помощью оборота «не», то исключив этот оборот из предложения, мы получим отрицание данного утверждения. Только после этого можно приступить к анализу ситуаций, вытекающих из сделанного предположения. Заметим, что два утверждения, одно из которых является отрицанием другого, называют противоположными или противоречащими друг другу
Цель урока:
*Ознакомить учащихся со способом доказательства от противного. *Знать аксиому параллельных прямых и следствия из нее *Применять аксиому и следствия при решении задач. *Повысить мыслительную деятельность учащихся *Воспитывать чувства ответственности
Тип урока: Объяснение нового материала
Методы: лекция.
Оборудование: компьютер.
Ход урока
Организационный момент
Актуализация. Проверка домашнего задания
Изучение нового материала.
Назначение этой темы
- дать представление об аксиомах геометрии, ввести аксиому параллельных прямых. Весь материал урока написан на компьютере. Учащиеся сами активно участвуют в объяснении нового материала. Урок начинается с рассказа учителя.
В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии да не войдет сюда». Геометрия учит доказывать, а речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы. В своих рассуждениях люди часто используют способ доказательства, который называется способом от противного. Приведем примеры таких доказательств.
Пример 1. Врач после осмотра больного ребенка доказывает родителям, почему у него не аппендицит; если бы у ребенка был аппендицит, то живот болел бы с правой стороны, но у ребенка не с правой стороны. Значит, у ребенка не аппендицит.
Пример 2. Ревизор получил задание: выяснить есть ли в данном колхозе гусеничный трактор. Председатель колхоза говорит: если бы в селе был гусеничный трактор, то были бы следы гусениц, а их не обнаружили, значит, в колхозе нет гусеничного трактора.
Схема рассуждения председателя. Требуется доказать: в селе нет гусеничного трактора.
Предположим противное тому, что требуется доказать: трактор есть.
Из этого следует, что должны быть следы гусениц.
Но их нет. Имеем противоречие между тем, что утверждается в одном предложении (должны быть следы гусениц) и отрицается в другом (следов нет).
Вывод: в селе нет гусеничного трактора.
Врач тоже рассуждал по аналогичной схеме. В чем заключается сущность способа доказательства от противного? Посмотрим таблицу.
Способ доказательства от противного
| 1 |
Делается предположение, противное тому, что требуется доказать |
| 2 |
Выясняется, что следует из сделанного предположения на основании известных теорем, аксиом, определений и условия задачи |
| 3 |
Устанавливается противоречие между тем, что утверждается в одном предложении, и его отрицании в другом |
| 4 |
Делается вывод: предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать |
Одним из важных моментов при доказательстве методом от противного является умение правильно сформулировать предложение, противоположное тому, что требуется доказать. В повседневной речи для того, чтобы выразить отрицание, иначе невозможность какого-либо события, факта или ситуации, мы часто используем частицу «не», либо иные соответствующие ей выражения: «неверно, что …», «нельзя» и т. п. Точно так же надо поступать, чтобы получить отрицание какого-нибудь математического утверждени
Упражнения
Составьте отрицания следующих утверждений.
Точка А принадлежит отрезку СД
Прямые а и b пересекаются.
( Прямые а и b не пересекаются. Значит, они параллельны.)
Угол А тупой.
(Угол А не тупой. Значит, он либо прямой, либо острый. )
Число а меньше нуля.
( Число а не меньше нуля. Следовательно, а=0 либо a>0.)
Все данные прямые проходят через точку А.
(Не все данные прямые проходят через точку А, т.е. по крайней мере одна из них не проходит через точку А.) В следующих предложениях необходимо убрать оборот «не», чтобы получить отрицание утверждений.
Прямые а и b не параллельны.
Через точки А,В, и С нельзя провести прямую.
(Через точки А, В, и С можно провести прямую.)
Луч b не пересекает ни одного отрезка с концами на сторонах угла А.
(Луч b пересекает по крайней мере один отрезок с концами на сторонах угла, т.е. луч b проходит между сторонами этого угла.) Дается понятие об аксиомах и аксиоме параллельных прямых.
Решаем такую задачу:
Через точку М, не лежащую на прямой а, провести прямую, параллельную прямой а.
Построение прямой, проходящей через точку М и параллельной прямой а, доказывает, что, по крайней мере, одна такая прямая существует. Естественно, возникает вопрос:
Сколько таких прямых можно провести?
Ответ на него дает аксиома параллельных прямых. В аксиоме утверждается, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Далее решаем задачи. В этом параграфе впервые вводится понятие следствия, поэтому разъясняем смысл этого понятия, после чего рассмотрим следствие 1 и 2 из аксиомы параллельных прямых.
1. Решение задач на 1-е следствие.
(Вывод - следствие из аксиомы: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.)
Решение всех предложенных задач оформляются на компьютере и в тетрадях учащихся.
Задача 1.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. (§ 2). (Опорная задача.) Дано: а¦ b
Прямая с пересекает а в точке О (рис.1). Рис.1
Доказать: прямая с пересекает прямую b.
Доказательство.
Точка О лежит на а и О лежит на с как точка пересечения прямых а и с. Но О не лежит на b , так как параллельные прямые а и b не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Следовательно, прямые b и с – различные, поскольку О лежит на с и О не лежит на b.
Предположим, что прямая с не пересекает прямую b. Значит, с¦ b.
Тогда через точку О, не принадлежащую прямой b, проходит более одной прямой (а и с), параллельных прямой b.
Это противоречит 5 постулату Евклида -аксиоме параллельных прямых. (Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной).
Следовательно, если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.
2. Задача на 2-е следствие.
Эту задачу учащиеся могут решать самостоятельно.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Дано: а¦с и b¦с (Рисунок 2)
Доказать: а¦b
Доказательство:
Предположим, что а и b не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке М (Рисунок 3).
Тогда через точку М проходят две прямые (прямые а и b) параллельные прямой с.
Это противоречит 5 постулату Евклида- аксиоме параллельных прямых.
Следовательно, если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
При доказательстве теорем мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного.
Для лучшего усвоения метода доказательства от противного и экономии времени используем многоразовые карточки-подсказки, сделанные из плотной бумаги, вставленные в полиэтиленовые пакеты, на которых выполняются записи.
Карточки имеют следующий вид:
| Предположим, что …
Из предположения следует … На основании … Это противоречит … Значит … |
3. Закрепление нового материала.
№196 Дан треугольник АВС. Через точку С сколько параллельных прямых можно провести к АВ ? (одну, по аксиоме параллельных прямых). № 197.Через точку, не лежащую на прямой р проведено четыре прямых. Сколько этих прямых может пересекать данную прямую? (ответ: три или четыре, полезно показать учащимся на рисунке два возможных случаю расположения прямых: а) все четыре прямые пересекают прямую р; б) одна из четырех прямых параллельна р, а три другие пересекают ее Эти два случая иллюстрируют ответ на вопрос задачи.). № 198.Прямые а и b перпендикулярны к р, прямая с пересекает прямую а, пересекает ли прямая она прямую b? (ответ: да, так как прямые а и b параллельные. Задача 1°)
4. Итог урока.
Что мы изучали на уроке? О чем вы узнали?
(Мы изучали аксиому, аксиому параллельных прямых, следствие из нее и метод доказательства теорем от противного.)
5. Домашняя работа.
№ 199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Доказать, что ВС и АС пересекают прямую р.
(Доказываем от противного. Предположим, что ВС и АС не пересекают прямую р.Из предположения следует, что ВС и АС параллельны к прямой р. Это противоречит данной. Значит, ВС и АС пересекают прямую р. )
№ 219.