Министерство образования российской федерации.
Омский государственный технический университет.
Кафедра: «Метрологии и приборостроения»
Рсчётно-графическая работа
по предмету: Основы метрологии.
Тема: «Обработка результатов многократных измерений».
Выполнил: студент ІІІ курса
ФЭУ гр. МУ-321
Матузко А.В
Проверила: Гинергарт Оксана Юрьевна
Омск-2003
Содержание.
Введение
Исходные данные
Ι. Часть. Обработка результатов измерений.
ΙΙ. Часть. Проверка гипотезы об принятом законе распределения.
ΙΙΙ. Часть. Проверка гипотезы о принадлежности выборки к генеральной совокупности по критерию согласия Колмогорова.
ΙV. Часть. Проверка гипотезы о независимости последовательности результатов измерений на уровне значимости α., используя критерии знаков и критерии Тренда. Критерий знаков
V. Часть. Критерий Тренда.
VΙ. Часть. Оценка точности среднего.
VΙΙ. Часть. Оценка грубых погрешностей эксперимента.
Заключение
Список литературы
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Введение.
В науке и технике измерения занимают центральное место. Прогресс в этих областях зачастую связан с повышением их точности. Из-за неизбежных (от части исключаемых, но всё же имеющих место) погрешностей измеренное значение не соответствует в точности истинному значению. Чтобы результат измерения можно было далее использовать, необходимо указывать значения погрешностей измерений.
В зависимости от постановки задачи применяют различные параметры, характеризующие погрешность измерений. В физических и научных измерениях погрешность задаётся в виде параметра распределения случайной величены, в частности в виде среднего квадратического отклонения (СКО) генеральной совокупности.
В технике, особенно при необходимости обеспечения взаимозаменяемости устройств, интерес представляет максимальное значение погрешности. Так как это значение не всегда можно указать, на практике довольствуются границами, которые с высокой вероятностью Р (например, Р=99%) не будет превышена. Это доверительная граница или погрешность измерений для вероятности Р.
Расчёт погрешности измерений проводится на основании обработки статистических данных, полученных на основе эксперимента или на основе эксплуатационных сведений и включает следующие этапы:
1. Построение вариационного ряда.
2. Построение эмпирической функции распределения и гистограммы.
3. Принятие решения о виде закона распределения случайной величены.
4. Расчёт величин оценок для математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
Исходные данные:
ВАРИАНТ №52
| 23,155668 |
23,16 |
23,261194 |
23,26 |
17,490901 |
17,49 |
20,006850 |
20,01 |
| 18,036949 |
18,04 |
19,953388 |
19,95 |
19,070663 |
19,07 |
20,509550 |
20,51 |
| 19,980613 |
19,98 |
19,639406 |
19,64 |
18,694913 |
18,70 |
19,835016 |
19,84 |
| 18,032346 |
18,03 |
14,734912 |
14,74 |
22,489878 |
22,48 |
15,617470 |
15,62 |
| 16,014493 |
16,01 |
19,967246 |
19,97 |
25,607984 |
25,61 |
22,516743 |
22,52 |
| 18,003079 |
18,00 |
22,755095 |
22,76 |
18,700127 |
18,70 |
16,962843 |
16,96 |
| 15,979836 |
15,97 |
21,478093 |
21,48 |
20,923235 |
20,92 |
17,184401 |
17,18 |
| 24,795771 |
24,80 |
21,258715 |
21,26 |
20,013455 |
20,01 |
18,677360 |
18,68 |
| 20,803856 |
20,80 |
20,271945 |
20,27 |
16,805881 |
16,81 |
18,040628 |
18,04 |
| 23,929105 |
23,93 |
17,675790 |
17,68 |
20,298695 |
20,30 |
17,407590 |
17,41 |
| 20,351977 |
20,35 |
21,730864 |
21,73 |
19,025735 |
19,03 |
17,219645 |
17,22 |
| 17,475253 |
17,48 |
17,763413 |
17,76 |
18,260862 |
18,26 |
21,950073 |
21,95 |
| 20,296301 |
20,30 |
17,053307 |
17,05 |
20,270393 |
20,27 |
16,009844 |
16,01 |
| 20,351370 |
20,35 |
22,617988 |
22,62 |
19,741223 |
19,74 |
22,765451 |
22,76 |
| 19,573814 |
19,57 |
18,798800 |
18,80 |
18,723656 |
18,72 |
21,609444 |
21,61 |
| 20,073228 |
20,07 |
18,676863 |
18,68 |
21,617009 |
21,62 |
16,069306 |
16,07 |
| 21,056400 |
21,06 |
13,050784 |
13,05 |
23,871371 |
23,87 |
20,255603 |
20,26 |
| 19,166575 |
19,17 |
15,121107 |
15,12 |
18,025055 |
18,02 |
19,507969 |
19,51 |
| 21,806718 |
21,81 |
19,999030 |
20,00 |
15,137427 |
15,14 |
19,975388 |
19,98 |
| 20,543405 |
20,54 |
18,135797 |
18,14 |
19,305864 |
19,31 |
19,115874 |
19,12 |
| 18,594111 |
18,59 |
20,338833 |
20,34 |
28,035200 |
28,04 |
14,123009 |
14,12 |
| 20,602122 |
20,60 |
23,847802 |
23,85 |
20,202482 |
20,20 |
26,834459 |
26,83 |
| 19,920718 |
19,92 |
23,597005 |
23,60 |
14,434317 |
14,43 |
19,210963 |
19,21 |
| 19,202480 |
19,20 |
16,021585 |
16,02 |
20,971719 |
20,97 |
21,227170 |
21,23 |
| 20,065173 |
20,06 |
19,285407 |
19,28 |
25,567098 |
25,57 |
20,989857 |
20,99 |
I. Часть.
Обработка результатов измерений.
Основная цель обработки экспериментальных данных –это получение результатов измерения и его погрешности.
Исходной информацией для обработки является ряд из n результатов измерений X1
, X2
, X3
……… ,Xn
из которых исключены известные систематические погрешности, такой ряд называется выборкой.
1). Построение вариационного ряда X1
< X2
< X3
…:
| 13,05 |
17,68 |
19,20 |
20,26 |
21,62 |
| 14,12 |
17,76 |
19,21 |
20,27 |
21,73 |
| 14,43 |
18,00 |
19,28 |
20,27 |
21,81 |
| 14,74 |
18,02 |
19,31 |
20,30 |
21,95 |
| 15,12 |
18,03 |
19,51 |
20,30 |
22,48 |
| 15,14 |
18,04 |
19,57 |
20,34 |
22,52 |
| 15,62 |
18,04 |
19,64 |
20,35 |
22,62 |
| 15,97 |
18,14 |
19,74 |
20,35 |
22,76 |
| 16,01 |
18,26 |
19,84 |
20,51 |
22,76 |
| 16,01 |
18,59 |
19,92 |
20,54 |
23,16 |
| 16,02 |
18,68 |
19,95 |
20,60 |
23,26 |
| 16,07 |
18,68 |
19,97 |
20,80 |
23,60 |
| 16,81 |
18,70 |
19,98 |
20,92 |
23,85 |
| 16,96 |
18,70 |
19,98 |
20,97 |
23,87 |
| 17,05 |
18,72 |
20,00 |
20,99 |
23,93 |
| 17,18 |
18,80 |
20,01 |
21,06 |
24,80 |
| 17,22 |
19,03 |
20,01 |
21,23 |
25,57 |
| 17,41 |
19,07 |
20,06 |
21,26 |
25,61 |
| 17,48 |
19,12 |
20,07 |
21,48 |
26,83 |
| 17,49 |
19,17 |
20,20 |
21,61 |
28,04 |
2). Определение широты распределения:
R=XMAX
-XMIN
;
R=28.04-13.05=14.99
3). Определяем возможное число разрядов:
qMIN
= 0.55*n0.4
=3.47≈3
qMAX
=1.25* n0.4
=7.88≈8
q=5
4). Определяем ширину интервала:
∆X=R / q;
∆X=14.99 / 5= 3.00
5). Расчёт границ интервалов:
∆1
= (XMIN
; X1
+∆X)
∆2
= (X1
+∆X; X1
+2∆X)
∆3
= (X1
+2∆X; X1
+3∆X)
∆n
= (Xn
+∆X; XMAX
)
∆1
= (13,05; 16,05)
∆2
= (16,05; 19,05)
∆3
= (19,05; 22,05)
∆4
= (22,05; 25,05)
∆5
= (25,05; 28,05)
6). Подсчитываем частоты nj:
nj1
= 11
nj2
= 26
nj3
= 47
nj4
= 12
nj5
= 4
7). Расчёт середины интервалов Xjc:
Xjc1
= (13,05+16,05) / 2=14,55
Xjc2
= (16,05+19,05) / 2=17,55
Xjc3
= (19,05+22,05) / 2=20,55
Xjc4
= (22,05+25,05) / 2=23,55
Xjc5
= (25,05+28,05) / 2=26,55
8). Вычисление среднего арифметического значения измеряемой величены:
| __ m X = 1
n i =1 |
| __ X = 14,55*11+17,55*26+20,55*47+23,55*12+26,55*4
100 |
9). Вычисление отклонений середин интервалов от среднего арифметического и их квадратов:
__
Xjc – X ;
__
(Xjc – X)2
;
14,55-19,71= - 5,16
17,55-19,71= - 2,16
20,55-19,71=0,84
23,55-19,71=3,84
26,55-19,71=6,84;
(14,55-19,71) 2
=26,63
(17,55-19,71) 2
=4,67
(20,55-19,71) 2
=0,71
(23,55-19,71) 2
=14,75
(26,55-19,71) 2
=46,79
10). __
(Xjc – X)2
*nj;
(14,55-19,71) 2
*11=292,93
(17,55-19,71) 2
*26=121,42
(20,55-19,71) 2
*47=33,37
(23,55-19,71) 2
*12=177,00
(26,55-19,71) 2
*4=187,16
11). Вычисление дисперсии и среднего квадратического отклонения:
m
∑ __
Дx
= I=1
(Xjc – X)2
*nj
;
n-1
Дx
= 292,93+121,42+33,37+177+187,16
= 8,20 ;
99
Среднее квадратическое отклонение:
Sx
=√ Дx
;
Sx
=√8,20=2,86 ;
Полученые оценки математического ожидания и СКО являются случайными. Рассеяние математического ожидания оцениваются с помощью среднего квадратического отклонения среднего арифметического:
Sx
= Sx
/ √n ;
Sx
=2,86 / √100=0,286
| J |
Границы разрядов |
Xjc |
nj |
Xjc*nj |
Xjc-X |
(Xjc – X)2
|
(Xjc – X)2
|
|
| Xj |
Xj+1 |
|||||||
| 1 |
13,05 |
16,05 |
14,55 |
11 |
160,05 |
-5,16 |
26,63 |
292,93 |
| 2 |
16,05 |
19,05 |
17,55 |
26 |
456,30 |
-2,16 |
4,67 |
121,42 |
| 3 |
19,05 |
22,05 |
20,55 |
47 |
965,85 |
0,84 |
0,71 |
33,37 |
| 4 |
22,05 |
25,05 |
23,55 |
12 |
282,60 |
3,84 |
14,75 |
177,00 |
| 5 |
25,05 |
28,05 |
26,55 |
4 |
106,20 |
6,84 |
46,79 |
187,16 |
ПОСТРОЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГРАФИКОВ.
Смотри приложение 1.
По виду построенной зависимости выдвигаем гипотезу о нормальном распределении.
II. Часть.
Проверка гипотезы о принятом законе распределения.
Для проверки закона распределения используют статистические характеристики, вычисленные в первом разделе в качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения используют критерии согласия, наибольшее значение получил критерий Пирсона χ2
.
Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов построенные на основе распределения.
Этот метод можно использовать при n>50, у нас n=100.
q
χ2
=
Σ (nj – npj)2
j=1 npj
где:
nj и npj – соответственно экспериментальное и теоретическое значение частот в j-ом интервале разбиения.
При n→∞ случайная величена χ2
имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы «К»; K= q – 1 – r;
r – число определяемое по статистике параметров необходимых для совмещения моделей и частотограммы. Для нормального закона распределения r=2.
Методика определения соответствия экспериментального и принятого закона состоит в следующем:
1). Определение: X, Sx
, Sx
__
X=19,71; Sx
= 2,86; Sx
= 0,286.
2). Группирование по разрядам ∆X (частотограмма).
∆1
= (XMIN
; X1
+∆X)
∆2
= (X1
+∆X; X1
+2∆X)
∆3
= (X1
+2∆X; X1
+3∆X)
∆n
= (Xn
+∆X; XMAX
)
∆1
= (13,05; 16,05)
∆2
= (16,05; 19,05)
∆3
= (19,05; 22,05)
∆4
= (22,05; 25,05)
∆5
= (25,05; 28,05)
3). Подсчитываем для каждого разряда разбиения его середину Xjc и npj- число наблюдений теоретически соответствующие выбранной модели;
3.1). Xjc→tj то есть вычисляется аргумент дифференциальной функции нормированного распределения для каждого интервала.
__
tj = (Xjc – X) / Sx
;
tj1
=(14,55-19,71) / 2,86= -1,80
tj2
=(17,55-19,71) / 2,86= - 0,76
tj3
=(20,55-19,71) / 2,86=0,29
tj4
=(23,55-19,71) / 2,86=1,34
tj5
=(26,55-19,71) / 2,86=2,39;
3.2). По значению аргумента из таблицы находят значение функции плотности вероятности P(tj):
P(tj)1
= 0,0790
P(tj)2
= 0,2989
P(tj)3
= 0,3825
P(tj)4
= 0,1626
P(tj)5
= 0,0229
3.3). Рассчитываем плотность вероятности физической величены в единицах этой величены.
P(xj) = P(tj) / Sx
;
P(xj)1
= 0,0790 / 2.86= 0,03
P(xj)2
= 0,2989 / 2.86= 0,10
P(xj)3
= 0,3825 / 2.86=0,13
P(xj)4
= 0,1626 / 2.86=0,06
P(xj)5
= 0,0229 / 2.86=0,01
3.4). Рассчитываем теоретически частоты в каждом интервале.
npj = n*∆x* P(xj);
npj1
=100*3.00*0,03=9
npj2
=100*3.00*0,10=30
npj3
=100*3.00*0,13=39
npj4
=100*3.00*0,06=18
npj5
=100*3.00*0,01=3
Если в какой-либо интервал попало меньше 5-и наблюдений, то в обеих гистограммах его соединяют с соседним интервалом.
После этого определяют число степеней свободы:
K= q – 1 – r - m;
m- число укрупнений.
K=5-1-2-1=1
| J |
Xjc |
nj |
Xjc-X
|
tj |
P(tj) |
P(xj) |
npj |
χ2
|
| 1 |
14,55 |
11 |
-5,16 |
-1,80 |
0,0790 |
0,03 |
9 |
0,44 |
| 2 |
17,55 |
26 |
-2,16 |
-0,76 |
0,2989 |
0,10 |
30 |
0,53 |
| 3 |
20,55 |
47 |
0,84 |
0,29 |
0,3825 |
0,13 |
39 |
1,64 |
| 4 |
23,55 |
16 |
3,84 |
1,34 |
0,1626 |
0,06 |
21 |
1,19 |
| 5 |
26,55 |
6,84 |
2,39 |
0,0229 |
0,01 |
4). Вычисление значения χ2
по формуле.
q
χ2
=
Σ (nj – npj)2
;
j=1 npj
χ2
=
(11-9)2
+(26-30)2
+(47-39)2
+(16-21)2
= 109
=1,10
99 99
5). По заданному уровню значимости α=0,1 и числу степеней свободы «К», находят граничные значения
χ2
н
(нижняя), χ2
в
(верхняя)
χ2
н
(K, α / 2=0,05)= а
χ2
в
(K, 1- α /2=0,95)= в
χ2
н
(1+0,05)=0,00393
χ2
в
(1+0,95)=3,841
6).
χ2
н
<
χ2
≤χ2
в
0,004 <
1,10 <
3,84
Так как неравенство выполнятся, то гипотеза принимается.
ІІІ. Часть.
Проверка гипотезы о принадлежности выборки к генеральной совокупности по критерию согласия Колмогорова.
Согласно его критерию сравнивают эмпирические и теоретические значения интегральной функции распределения. Мерой расхождения между гипотезой и эмпирической функцией распределения является разность между эмпирической и гипотетической функциями распределения.
H=max | F̃(x)-F(x) |
Академик Колмогоров в 1933 г. доказал что, если функция F(x) не прирывна, то функция распределения величены λ равна произведению абсолютной величены наибольшей разности между соответствующими значениями эмпирической и теоретической функциями распределения непрерывной случайной величены X на корень квадратный из числа наблюдений.
λ = max | F̃(x)-F(x) |*√n;
при n→∞ функция распределения λ имеет пределом функцию:
| +∞ K(λ) = ∑
K=-∞ |
- Функция Колмогорова |
Из определений предела и функций распределения случайной величены получаем, что при достаточно большом n и n>0 и вероятность того что:
P (H* √n< λ) ≈ K(λ)
Применение для проверки гипотезы о законе распределения случайной величены, сводится к нахождению величены «Н» и к нахождению величены λ
λ =H*√n
Ламбда задаётся для заданного уровня значимости α. Так как α=0,1 следовательно λα
=1,22
Критерий Колмогорова применим в том случае,если известен не только вид функции, но и её параметры mx
и Sx
__
mx
= X
Определяя, принадлежит ли заданная выборочная совокупность к генеральной совокупности с параметрами mx
и Sx на уровне значимости α:
1). Строим ранжированный ряд:
| 13,05 |
17,68 |
19,20 |
20,26 |
21,62 |
| 14,12 |
17,76 |
19,21 |
20,27 |
21,73 |
| 14,43 |
18,00 |
19,28 |
20,27 |
21,81 |
| 14,74 |
18,02 |
19,31 |
20,30 |
21,95 |
| 15,12 |
18,03 |
19,51 |
20,30 |
22,48 |
| 15,14 |
18,04 |
19,57 |
20,34 |
22,52 |
| 15,62 |
18,04 |
19,64 |
20,35 |
22,62 |
| 15,97 |
18,14 |
19,74 |
20,35 |
22,76 |
| 16,01 |
18,26 |
19,84 |
20,51 |
22,76 |
| 16,01 |
18,59 |
19,92 |
20,54 |
23,16 |
| 16,02 |
18,68 |
19,95 |
20,60 |
23,26 |
| 16,07 |
18,68 |
19,97 |
20,80 |
23,60 |
| 16,81 |
18,70 |
19,98 |
20,92 |
23,85 |
| 16,96 |
18,70 |
19,98 |
20,97 |
23,87 |
| 17,05 |
18,72 |
20,00 |
20,99 |
23,93 |
| 17,18 |
18,80 |
20,01 |
21,06 |
24,80 |
| 17,22 |
19,03 |
20,01 |
21,23 |
25,57 |
| 17,41 |
19,07 |
20,06 |
21,26 |
25,61 |
| 17,48 |
19,12 |
20,07 |
21,48 |
26,83 |
| 17,49 |
19,17 |
20,20 |
21,61 |
28,04 |
2). Размах R:
R=XMAX
-XMIN
;
R=28.04-13.05=14.99
3). Количество интервалов q:
q=5
4). Определяем: ∆X, nj, npj, P̃̃j =nj/n:
∆X=R / q;
∆X=14.99 / 5= 3.00;
nj1
= 11
nj2
= 26
nj3
= 47
nj4
= 12
nj5
= 4;
npj = n*∆x* P(xj);
npj1
=100*3.00*276.22=82866
npj2
=100*3.00*1045.10=313530
npj3
=100*3.00*1337.41=401223
npj4
=100*3.00*568.53=170559
npj5
=100*3.00*80.07=24021;
P̃̃̃j =nj/n:
P̃̃̃j1
=11/100=0,11
P̃̃̃j2
=26/100=0,26
P̃̃̃j3
=47/100=0,47
P̃̃̃j4
=12/100=0,12
P̃̃̃j5
=4/100=0,04
5). Построение эмпирической функции распределения F̃(x)
F̃(x)1
=0,11
F̃(x)2
=0,37
F̃(x)3
=0,84
F̃(x)4
=0,96
F̃(x)5
=1,00
6). Для определения гипотетической функции распределения:
а). Определим значение аргумента функции Лапласа, соответствующая правым границам всех интервалов:
Zj+1 =Xj+1 - m
x
;
Sx
Zj+11
=16,05-19,71
= -1,28
2,86
Zj+12
=19,05-19,71
= -0,23
2,86
Zj+13
=22,05-19,71
=0,82
2,86
Zj+14
=25,05-19,71
=1,87
2,86
Zj+15
=28,05-19,71
=2,92
2,86
б). Определение значения функции Лапласа по таблице Ф(z).
Ф(z)1
= 3997= -0,3997
Ф(z)2
= 0909= -0,0909
Ф(z)3
= 2939=0,2939
Ф(z)4
= 4693=0,4693
Ф(z)5
= 4982=0,4982
в). Вычисление значения функции распределения F(x) предполагаемого в качестве теоретического закона распределения:
F(x)= 0,5+ Ф(z);
F(x)1
=0,5-0,3997=0,10
F(x)2
=0,5-0,0909=0,41
F(x)3
=0,5+0,2939=0,79
F(x)4
=0,5+0,4693=0,97
F(x)5
=0,5+0,4982=1,00
7). Найти абсолютное значение разности между значениями эмпирической и теоретической функциями распределения при одинаковых значениях аргумента, а затем выбрать наибольшую из них.
H=max | F̃(x)-F(x) |
H1
=0,11-0,10= 0,01
H2
=0,37-0,41= 0,04
H3
=0,84-0,79= 0,05
H4
=0,96-0,97= 0,01
H5
=1,00-1,00=0
Н=0,05
8). Вычислить значение функции λ.
λ =H*√n;
λ=0,05*√100=0,5
9). По заданному уровню значимости определить значение λα
λα
=1,22
10). Если λ ≤ λα
то выдвинутая гипотеза о принадлежности выборки к генеральной совокупности считается справедливой.
0,5<1.22
Неравенство соблюдено.
| J |
Границы разрядов |
nj |
P̃̃̃j |
F̃(x) |
Zj+1 |
Ф(z) |
F(x) |
H |
|||
| Xj |
Xj+1 |
||||||||||
| 1 |
13,05 |
16,05 |
11 |
0,11 |
0,11 |
-1,28 |
-0,40 |
0,10 |
0,01 |
||
| 2 |
16,05 |
19,05 |
26 |
0,26 |
0,37 |
-0,23 |
-0,09 |
0,41 |
0,04 |
||
| 3 |
19,05 |
22,05 |
47 |
0,47 |
0,84 |
0,82 |
0,29 |
0,79 |
0,05 |
||
| 4 |
22,05 |
25,05 |
12 |
0,12 |
0,96 |
1,87 |
0,47 |
0,97 |
0,01 |
||
| 5 |
25,05 |
28,05 |
4 |
0,04 |
1,00 |
2,92 |
0,50 |
1,00 |
0 |
||
ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ.
Смотри приложение 2.
ΙV. Часть.
Проверка гипотезы о независимости последовательности результатов измерений на уровне значимости α., используя критерии знаков и критерии Тренда.
Критерий знаков.
Пусть получено N результатов измерений случайной величены X. Критерий знаков заключается в сравнении результатов измерений Xi величены X с некоторой величиной Me –медиана. Медиана –среднее число упорядоченного ряда то есть число, равно отстоящее от краёв. При чётном количестве членов медиана равна полу сумме средних значений. Если Xi>Me то «+», если Xi< Me то «-». Совокупность знаков последовательности «+» и «-», представляет собой серию τо
. Число серий τ –случайная величена позволяет определить является ли результат данной последовательности измерений не зависимым.
При заданном уровне значимости проверка осуществляется путём сопоставления полученного числа серий τ с критическими точками τверхнее
и τнижнее
.
ВАРИАНТ № 1а.
1). Строим из чисел ранжированный ряд.
| 0,06 |
0,7 |
1,57 |
2,4 |
| 0,37 |
0,81 |
1,59 |
2,49 |
| 0,41 |
0,91 |
1,69 |
2,68 |
| 0,57 |
1,15 |
1,92 |
2,8 |
| 0,59 |
1,43 |
2,06 |
3,08 |
2). Ищем медиану.
При чётном количестве членов медиана равна полу сумме средних значений.
Me = (1,43+1,57) / 2=1,5
3). Подсчитываем τо
0.41<1.5; 0.59<1.5; 0.70<1.5; 1.59>1.5; 2.68>1.5; 1.92>1.5; 3.08>1.5; 2.40>1.5; 1.57>1.5; 0.57<1.5; 0.91<1.5; 0.37<1.5; 1.43<1.5; 2.49>1.5; 1.69>1.5; 2.80>1.5; 2.06>1.5; 1.15<1.5; 0.06<1.5; 0.81<1.5.
- - - + + + + + + + - - - - + + + + - - -
τо
=5
4). Ищем τн
и τв
, проверяем неравенство.
α.=0.1
τн
(N, 1- α./2)=0.95
τв
(N, α./2)=0,05
| Уровень значимости α. |
||||||
| Число изм. N |
0,99 |
0,975 |
0,95 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
| 20 |
5 |
6 |
6 |
15 |
15 |
16 |
τн
< τо
< τв
6 > 5 < 15
Так как неравенство не выполняется, то гипотеза не принимается.
5). Строим график (Смотри приложение 3). V. Часть.
Критерий Тренда.
Для последовательности N результатов измерений случайной величены X определяем число случаев, когда Xi>Xj где (i=1,2,3……N-1), (j=i+1,i+2……N) i<j.
Каждое неравенство называется инверсией при этом:
qij= Xj>Xi – «1»
Xj<Xi – «0»
Для i-го результата измерения инверсия равна:
N
Уi
=∑qij
J=i+1
А общее число инверсии для всей последовательности результатов:
N-1
У0
=∑ Уi
i=1
Если полученные результаты измерений являются независимыми то число инверсий, есть величена случайная имеющая распределения f(У). Для распределения инверсии составляется таблица критических точек в зависимости от уровня значимости α.
Критерий Тренда обладает наибольшей мощностью при выявлении систематических зависимостей носящих монотонно возрастающий или убывающий характер.
1). Считаем Уi
N
Уi
=∑qij
J=i=1
| 0,41 |
1,92 |
0,91 |
2,80 |
| 0,59 |
3,08 |
0,37 |
2,06 |
| 0,70 |
2,40 |
1,43 |
1,15 |
| 1,59 |
1,57 |
2,49 |
0,06 |
| 2,68 |
0,57 |
1,69 |
0,81 |
| У1
|
У6
|
У11
|
У16
|
| У2
|
У7
|
У12
|
У17
|
| У3
|
У8
|
У13
|
У18
|
| У4
|
У9
|
У14
|
У19
|
| У5
|
У10
|
У15
|
2). Подсчитываем У0
N-1
У0
=∑ Уi
i=1
У0
=2+3+3+8+13+9+13+10+7+2+3+1+3+5+3+4+3+2+0=94
3). Ищем Ун
и Ув
, проверяем неравенство.
α.=0.1
Ун
(N, 1- α/2)=0,95
Ув
(N, α/2)=0,05
| Уровень значимости α. |
||||||
| Число изм. N |
0,99 |
0,975 |
0,95 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
| 20 |
59 |
64 |
69 |
120 |
125 |
130 |
Ун
=69, Ув
=120
Ун
< У0
< Ув
69< 94 <120
Так как неравенство выполняется, то гипотеза принимается.
VΙ. Часть.
Оценка точности среднего.
При заданном уровне значимости мерой точности определения математического ожидания является, величена доверительного интервала.
Для получения интервальной оценки нормального распределения случайной величены необходимо:
1). Определить точную оценку математического ожидания и среднее квадратическое отклонение X Sx
:
Sx
=√ Дx
;
Sx
=√8,20=2,86 ;
| __ m X = 1
n i =1 |
__
X = 19,71.
2). Определить доверительную вероятность:
PД
=1- α =0,9 (90%)
3). Найти нижнюю и верхнюю границы интервала, где находится истинное значение оцениваемого параметра:
-Е= α/2; + Е=1- α/2.
α=0,1
-Е=0,1 /2= -0,05
+ Е=1-0,1 /2= +0,95.
Границы, определённые уровнем значимости называются доверительными
границами, а интервал заключенный между доверительными границами называется доверительным интервалом
. Площадь ограниченная доверительным интервалом и кривой плотности вероятности называется доверительной вероятностью.
4). Для нормального распределения можно использовать связь с доверительным интервалом через доверительные границы:
±Е=Z*S x
;
5). Полученный доверительный интервал удовлетворяет условию:
|
Р
где Zp
–аргумент функции Лопласа отвечающий вероятности Р/2.
6). Результат измерений записывается в виде:
Q=X± Zp
*Sx
где Q –истинное значение измеряемой величены
Р=2Ф(Zp
)
Ф(Zp
)=0,45, тогда Zp
= 1,65
Q=19.71-1.65*0.286=19.24
Q=19.71+1.65*0.286=20.18
19,24< X < 20.18
VΙΙ. Часть.
Оценка грубых погрешностей эксперимента.
Иногда при проведении анализа технологических процессов встречаются случаи, когда в результаты эксперимента вкрадывается грубая погрешность измерения.
Грубая погрешность измерения может возникнуть в результате просчётов исследователя при измерении деталей, неправильного выбора измерительных баз, перекосов деталей, вибрации во время измерения.
Грубые погрешности измерения и обработки нередко оказывают решающее влияние на оценку точности технологических процессов и приводят к тому, что отдельные результаты наблюдений по своей величине значительно отличаются от других. Если исследователь убеждён, что такие наблюдения являются результатом ошибки, то эти наблюдения не следует учитывать при последующем анализе. Если же такой уверенности нет, то для определения того, являются ли резко выделяющиеся измерения результатом грубой ошибки или случайного отклонения, необходимо использовать определённые методы обнаружения грубых погрешностей.
Метод Романовского.
При этом методе на основе полученных опытных данных выборки вычисляют характеристики X и Sx, предварительно исключив из неё резко выделяющиеся значения Xi.
Затем оределяют величену tβ
по формуле
tβ
= | Xi – X
|
Sx
tβ
= |28.04- 19.71|
= 2.91
2.86
Xi –наибольшее значение.
tβ
´=2
Так как tβ
> tβ
´ , то Xi является грубой ошибкой и должно быть исключено из выборки.
Заключение.
В первой части расчётно-графической работы производилась обработка результатов измерений. В результате чего было получено следующее: Дx
(дисперсия) равна 8,20, а среднее квадратическое отклонение равно 2,86. Также для наглядности была построена гистограмма и график интегральной кривой.
Во второй части проверялась гипотеза о принятом законе распределения. В частности применялся критерий Пирсона χ2
. После всех проведённых вычислений оказалось, что данная гипотеза принимается так, как было выполнено неравенство χ2
н
<χ2
≤χ2
в
(0,004 <
1,10 <
3,84).
В третей части проверялась гипотеза о принадлежности выборки к генеральной совокупности по критерию согласия Колмогорова. В этой части для принятия гипотезы нужно было, чтобы выполнилось неравенство λ ≤ λα
(0,5<1.22), поскольку условие выполнено, то гипотеза принемаенся. Также здесь для наглядности был построен график “Интегральные кривые”.
В четвёртой части проверялась гипотеза о независимости последовательности результатов измерений на уровне значимости α, используя критерий знаков. Эта гипотеза не была принятой , так как не было выполнено неравенство τн
< τо
< τв
(6 > 5 < 15). Был построен график.
В пятой части проверялась гипотеза о независимости последовательности результатов измерений на уровне значимости α, используя критерий Тренда. Гипотеза была принятой поскольку неравенство выполнелось Ун
< У0
< Ув
(69< 94 <120).
В шестой части поизводилась оценка точности среднего. Определили истинное значение измеряемой величены и оно находится в пределах:
19,24< X < 20.18.
В заключительной части оценивались грубые погрешности эксперимента по методу Романовского.
Список литературы.
Приложение 1.
1). Построение частотограммы и полигона распределения:
2). Кумулятивная (интегральная) кривая:
Приложение 2.
Приложение 3.