КазНУ им. Аль-Фараби, физический факультет
Реферат на тему
Квантовый эффект Холла
Выполнил студент
3 курса
Букенов Нияз
Алматы, 2008г.
Ква́нтовый эффе́кт Хо́лла
— эффект квантования холловского сопротивления или проводимости двумерного электронного газа в сильных магнитных полях и при низких температурах. Квантовый эффект Холла (КЭХ) был открыт Клаусом фон Клитцингом (совместно с Г. Дордой и М. Пеппером) в 1980 году [1]
, за что впоследствии в 1985 году он получил Нобелевскую премию [2]
.
| Содержание
1 Введение 1.1 Двумерный электронный газ 1.2 Энергетический спектр носителей заряда в магнитном поле 1.3 Эффект Холла 2 Целочисленный квантовый эффект Холла 2.1 Экспериментальная установка 3 Дробный квантовый эффект Холла |
Введение
Эффект состоит в том, что при достаточно низких температурах в сильных магнитных полях на зависимости поперечного сопротивления (отношения возникающего поперечного напряжения к протекающему продольному току) вырожденного двумерного электронного газа (ДЭГ) от величины нормальной составляющей к поверхности ДЭГ индукции магнитного поля (или от концентрации при фиксированном магнитном поле) наблюдаются участки с неизменным поперечным сопротивлением или «плато».
Фон Клитцинг обнаружил так называемый нормальный (или целочисленный) квантовый эффект Холла
(КЭХ), когда, значения сопротивления на «плато» равно , где e
— заряд электрона, h
— постоянная Планка, ν — натуральное число (называемое фактором заполнения уровней Ландау) (рис. 1).
Рис. 1. Зависимости холловского сопротивления и удельного сопротивления от магнитного поля при постоянной концентрации носителей. На зависимости холловского сопротивления наблюдаются «плато».
В 1982 году Д. Цуи и Х. Штёрмер открыли дробный квантовый эффект Холла (фактор заполнения при этом становится меньше единицы).
Уже первая работа по КЭХ, названная «Новый метод определения постоянной тонкой структуры с высокой точностью по квантованию холловского сопротивления» показала, что возможно его применение в качестве стандарта сопротивления. В настоящее время известно, что значения квантованного сопротивления Холла не зависят от качества образца и его материала. Поэтому, начиная с 1990 года, калибровки сопротивлений основаны на КЭХ с фиксированным значением Rэ
= 25812,807 Ом.
Для наблюдения КЭХ существует ряд условий, которые должны выполняться, чтобы квантование было точным. Ниже приведены основные предпосылки возникновения плато.
Двумерный электронный газ
Если ограничить трёхмерный электронный газ в одном из направлений, таким образом, что в потенциальной яме (например, с ограничивающим потенциалом по оси Z
) заполнен только один уровень размерного квантования, то говорят, что электронный газ стал двумерным. В этом случае движение в плоскости перпендикулярной оси Z
остаётся свободным и энергетический спектр ДЭГ выражаетсяс формулой:
где n
= 0, 1, 2…, m
— эффективная масса квазичастиц (электронов или дырок). Только если заполнен основной уровень размерного квантования (первая подзона размерного квантования) говорят о формировании ДЭГ.
Энергетический спектр носителей заряда в магнитном поле
На классические заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Эта сила заставляет частицу двигаться по окружности с угловой скоростью ωc
= eB
/ mc
называемой циклотронной частотой (система единиц СГС). Согласно квантовой теории частицы совершающие периодическое движение обладают только дискретными значениями энергии, поэтому у заряженных частиц в магнитном поле появляются уровни энергии, называемые уровнями Ландау. Энергия k-го уровня определяется выражением
Энергетический спектр двумерного электронного газа становится полностью дискретным и каждый энергетический уровень обладает следующим вырождением
где Ф0
— квант магнитного потока. Это аналогично плотной упаковке циклотронных орбит в двумерном слое. Эту же величину можно получить, если представить, что из всех частиц в ДЭГ расположенных в интервале энергий равных ħωс
(то есть произве
) формуруется отдельный уровень Ландау.
Концентрация электронов в ДЭГ в магнитном поле определяется по формуле ns
= NNH
, если уровень Ферми попадает в щель между уровнями Ландау. В общем случае частичное заполнение одного из уровней Ландау характеризуется так называемым фактором заполнения
— отношение концентрации ДЭГ к вырождению уровней Ландау. Он может принимать как целые, так и дробные значения.
Эффект Холла
Явление, открытое Холлом в 1879 году, состоит в том, что в проводнике с током, помещенном в магнитное поле, перпендикулярное направлению тока, возникает электрическое поле в направлении, перпендикулярном направлениям тока и магнитного поля. Возникающее в проводнике электрическое поле, называемое полем Холла, вызвано действием силы Лоренца FL
= eBv
, заставляющей электроны отклоняться в направлении, перпендикулярном скорости v
. В результате это поле EH
уравновешивает силу Лоренца, и между боковыми гранями образца возникнет разность потенциалов VH
, которая поддается измерению.
Ток через образец равен I
= nevS
, где S
— площадь поперечного сечения проводника, S
= bd
, b
— ширина, d
— толщина.
Условие равновесия силы Лоренца и силы, вызванной холловским полем eEH
= evB
= eVH
/b
. Отсюда следует, что VH
= bvB
= IvB/nevd
= IB/end
= IRH
, где RH
называется холловским сопротивлением. В двумерных системах RH
= B/ens
, где ns
— поверхностная концентрация.
Важно отметить, что RH
— это отношение возникающей поперечной разности потенциалов к продольному току, RH
= Rxy
= Vy
/Ix
. При этом продольное сопротивление, Rxx
= Vx
/Ix
, слабо зависит от индукции магнитного поля, оставаясь по величине близким к своему значению при B = 0
Целочисленный квантовый эффект Холла
Как было замечено Клитцингом при измерении эффекта Холла в инверсном слое кремниевого МОП транзистора при низких температур (Т ~ 1 K) и в сильных магнитных полях (B > 1 Тл) линейная зависимоть холловского сопротивления сменяется чередой ступеней (плато) как показано на Рис. 2.
Рис. 2. Зависимости холловского сопротивления от магнитного поля. На зависимости холловского сопротивления указаны факторы заполнения для некоторых «плато».
Величина сопротивления на этих ступеньках равна комбинации фундаментальных физических констант, деленной на целое число ν:
Когда на зависимоти холловского сопротивления RH
наблюдается плато, продольное электрическое сопротивление становится очень малой величиной (оно равно нулю с высокой экспериментальной точностью). При низких температурах ток в образце может течь без диссипации (рассеяния).
Прецизионные измерения также показали, что на точности квантования RH
не сказываются такие существенные параметры эксперимента, как размеры образцов, влияние границ и важное в обычном эффекте Холла закорачивание холловского напряжения омическими контактами, а также степень совершенства структур, то есть наличие большого количества примесей и дефектов, тип материала, в котором находится 2D-электронный газ, температура и сила измерительного тока. Экспериментальная точность квантования так высока, что встал вопрос о метрологических применениях КЭХ: проверке формул квантовой электродинамики с помощью прецизионного определения постоянной тонкой структуры или создания нового эталона сопротивления.
Экспериментальная установка
Геометрия измерения квантового эффекта Холла. RH
=V2
/I
Для наблюдения эффекта гетероструктуру со сформированным двумерным электронным газом помещают в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости электронного газа. При пропускании тока через образец измеряют ток, а также возникающее напряжение вдоль и поперек образца.
Локализация состояний спектра и осцилляции компонент проводимости 2D электронного газа в сильном магнитном поле. Локализованные состояния закрашены зелёным.
Эквипотенциали в образце с двумя контактами в условиях квантового эффекта Холла.
Дробный квантовый эффект Холла
В 1982 году Даниэль Цуи (Daniel Tsui) и Хорст Штёрмер (Horst Stormer) заметили, что «плато» в Холловском сопротивлении наблюдаются не только при целых значениях n
, но и в существенно более сильных магнитных полях, при n
=1/3. В дальнейшем были обнаружены плато электрического сопротивления и при других дробных значениях n
, например при n
=2/5, 3/7…
Природа дробного квантового эффекта Холла была объяснена Р. Лаффлином в 1983 году. В 1998 году Цуи, Штёрмер и Лаффлин получили Нобелевскую премию по физике за открытие и объяснение этого явления.