СОДЕРЖАНИЕ
Введение. Постановка задачи………………………………...................….….2
Глава 1.
ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ………………………………………..……..4
1.1 История создания теория катастроф……………………….………..4
1.2 Физические основы теории катастроф……………………………....8
1.3 Математические основы теории катастроф………………………...12
1.4 Элементарные катастрофы…………………………………………..18
Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ …………………………...32
2.1 Маневры и теория катастроф…………………………………………33
2.2 Применение в естественных науках………………………………….38
2.3 Применение в психологии…………………………………………….43
Глава 3. ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ТЕОРИИ КАТАСТРОФ…...45
3.1 Применение в методике обучения……………………………………46
3.2 Факультативные занятия по теории катастроф……………………...48
Заключение………………………………………………………………….........67
Список используемой литературы………………………………………...........68
ВВЕДЕНИЕ
Постановка задачи
Если внимательно рассмотреть различные процессы (в механике, физике, химии, технике, астрономии, биологи и прочее), то нельзя не заметить, что устойчивое равновесие при непрерывном изменении параметров системы может стать неустойчивым, а непрерывный процесс с течением времени может стать разрывным [1.C.7]. Изучение таких процессов привело к созданию математической теории, которая рассматривает некоторые общие черты самых разных явлений скачкообразного изменения режима системы в ответ на плавное изменение внешних условий и позволяет судить о взаимодействии различных событиях (казалось бы, несвязанных между собой).
Но эта теория часто излагается так, что многочисленные технические детали мешают ее восприятию неспециалистами. Вряд ли кто-нибудь мог бы подготовить современное и очень ясное изложение существа предмета квалифицированно, так чтобы было можно горячо рекомендовать каждому читателю, интересующемуся современными достижениями в науке и технике. Дж. Лайтхилл [1.C.7].
В связи с этим была поставлена основная задача дипломной работы - свести основные знания о теории катастроф и её приложении воедино и адаптировать их для учащихся средней школы.
Актуальность данной работы
состоит в том что, данная работа способствует формированию мировоззрения (правильного представления об окружающих процессах и явлениях и об ограничениях на их предсказуемость).
Целью данной дипломной работы
является изучение математической теории катастроф и ее приложений.
Объект исследования
данной работы – процесс формирования научного мировоззрения учащихся на основе теории катастроф.
Предмет исследования
– рассмотрение основных направлений приложений теории катастроф.
Цель, объект, предмет исследования позволяют сформулировать задачи исследования
. Они состоят в следующем:
1) рассмотреть исторический аспект теории катастроф;
2) изучить основы математической теории катастроф;
3) описать все типы катастроф, которые могут иметь место в естествознании и других науках;
4) сделать литературный обзор приложений теории катастроф;
5) рассмотреть мировоззренческий аспект теории катастроф;
6) создать факультативный курс для средних учебных заведений.
Дипломная работа состоит из введения, трех глав и заключения.
Во введении рассмотрены цели, задачи и актуальность данной дипломной работы.
Первая глава посвящена содержанию самой теории катастроф. В ней так же приводятся история становления этой теории. Особое внимание в этой главе уделено типам катастроф, приводится классификация элементарных катастроф Р.Тома.
Во второй главе собраны сведения из научной литературы по приложениям теории катастроф. Здесь приведены примеры катастроф в самых различных отраслях человеческой деятельности.
Третья глава носит оригинальный характер, так как в ней впервые предлагается факультативный курс по теории катастроф для учащихся старших классов средней школы.
В заключении приведены выводы из дипломной работы.
Глава 1. ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ
1.1 История создания теории катастроф
Для полного понимания становления теории катастроф, необходимо начать с механики. В 1686 году Исаак Ньютон изложил экспериментальное исследование движений маятника в воздухе и воде («Математические начала натуральной философии»). Затухающие колебания такого маятника представляют наиболее типичный пример асимптотически устойчивой системы [1.C.11].
В 1744 году Леонард Эйлер использовал созданное им вариационное исчисление для рассмотрения сжатой упругой колонны [1.C.11].
Жозеф Луи Лагранж развил аналитический энергетический метод в механике («Аналитическая механика», 1788) [2.C.4]. Метод Лагранжа привел к фундаментальной теореме о том, что минимум полной потенциальной энергии системы является достаточным для устойчивости. Дальнейший существенный вклад в аналитическую механику принадлежит Уильяму Гамильтону, который понял, как описать векторное поле фазовых траекторий системой дифференциальных уравнений первого порядка. Результатом их деятельности стало формирование представления о консервативной (гамильтоновой) динамической системе.
Очень быстрый рост науки и, в частности, прикладной механики привел к специализации и возникновению разнообразных версий первоначальных классических результатов [1.C.13]. Анри Пуанкаре дал набросок общей теории бифуркаций и создал общую качественную теорию динамических систем.
Математическую точность основному определению устойчивости придал А.М.Ляпунов. В докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения» в 1892 году он ввел обобщенные энергетические функции, носящие теперь его имя [1.C12].
Следуя по пути, предложенному А.Пуанкаре, А.Андронов и А.Понтрягин ввели в 1937 году важное топологическое понятие структурной устойчивости, которое лежит в основе последующих классификаций Тома, Зимана, Смейла и Арнольда [2.C.4]. В настоящее время, достижения качественной теории динамических систем Пуанкаре представляют большую топологическую главу основ механики вообще и теории устойчивости в частности. Дальнейшее исследование бифуркаций было проведено Койтером в его диссертации в 1945 году [1.C13]. Более позднее объяснение нелинейного поведения упругих систем под действием консервативной нагрузки предложено Будянским. Можно отметить важное обобщение Хатчинсона, относящееся к неустойчивости конструкций, нагружаемых в пластической области.
В 1955 году американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу «Об отображениях плоскости на плоскость», заложившую основу новой математической теории — теории особенностей гладких отображений [3.C.8]. Она стала одна из центральных областей математики, связывающая абстрактные разделы математики (алгебраическую и дифференциальную геометрию, теорию групп, порожденных отражениями, теорию комплексных пространств, коммутативную алгебру и так далее) с прикладными (теория устойчивости движения динамических систем, теория бифуркаций положений равновесия, геометрическая и волновая оптика и так далее).
Исследования, проводившиеся по изучению теории устойчивости в Университетском колледже в Лондоне (Генри Чилвером), были связаны главным образом с дискретными консервативными системами.
Рене Тома, изучив характер работ Хаслера Уитни по теории особенностей и предшествовавших им работ А.Пуанкаре и А.Андронова по теории бифуркаций, занялся широкой пропагандой этой теории. К. Зиман ввел термин «теория катастроф», как совокупность теории особенностей и ее приложений. Р. Тома и К. Зиман провели «параллели» между теорией катастроф и исследованиями Эйлера и Лагранжа. Ими были рассмотрены взаимосвязь инженерных и топологических подходов в ряде работ - это имело большое значение для создания единой теории бифуркаций [1.C.14].
Рене Тома сделал обзор приложений теории катастроф. Одна из его работ – «Естественнонаучные приложения теории особенностей не исчерпывают всех направлений теории катастроф» была издана в 1974 году. В 70-х гг. вышли работы Томпсона и Ханта, включающие теорию катастроф [4.C.12].
Исследование динамических систем с помощью бифуркаций проводили Л. Д. Ландау, позже Э. Хопф, предложившие эвристическое описание перехода от ламинарного течения к турбулентному течению при возрастании числа Рейнольдса. Ландау описывал этот переход через бифуркации торов все возрастающей размерности. Позже появилась масса работ, описывающих, в основном на физическом уровне строгости, переход от регулярного (ламинарного) движения к хаотическому (турбулентному) движению [5.C.9].
В 80-е гг. появляются книги о теории катастроф и её применении: под редакцией А.В. Гапонова-Грехова и М.И. Рабиновича «Нелинейные волны. Структуры и бифуркации», «Нелинейные волны. Динамика и эволюция». Г.Заславский и Р.Сагдеев опубликовали «Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса». Американский физик Р. Гилмор рассмотрел приложение теории катастроф в сфере точных наук.
В 1999 году в Уфимском Государственном Авиационном Технологическом Университете на специализации прикладная математика О.М.Киселёв прочитал курс лекций - «Введение в теорию нелинейных колебаний». Его цель – познакомить с методами исследования обыкновенных нелинейных уравнений.
В 2001 году в Ижевском НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» была переведена работа французского учёного Д. Рюэля, который представил основные знания по нелинейной динамике, хаосу за последние десятилетия.
В настоящее время нелинейной динамикой в России занимается Институт радиотехники и электроники и его региональные отделения. Член-корреспондент РАН Д.И. Трубецков занялся реализацией идеи о воспитании мышления, основанного на нелинейной динамики, на базе лицея Колледжа прикладных наук и Высшего Колледжа прикладных наук (факультет нелинейных процессов Саратовского госуниверситета). Учёным был разработан 4-х годичный курс «Как работают и думают физики», включающий в себя такие дисциплины как «Нелинейные колебания», «Теория катастроф», «Динамические системы и бифуркации», «Динамический хаос». А. Кузнецов составил задачник «Колебания, катастрофы, бифуркации, хаос», содержащий теоретические и исследовательские задачи, который был выпущен в 2000 году.
Кроме этого, с теорией катастроф можно познакомиться через Интернет, а именно: http://scintific.narod.ru/nlib/books, http://rcd.ru
Однако это далеко неполный перечень ученых, внесших вклад создание и применение теории катастроф, так как сама теория связана и с теорией колебаний и волн, и с теорией динамических систем, и с динамическим хаосом, а так же с экономикой, общей физикой, биологией, экологией, психологией и ещё с рядом наук.
Т.о. Теория катастроф родилась на стыке двух дисциплин — топологии и математического анализа, ее источниками являются теория особенностей гладких отображений X. Уитни и теория устойчивости и бифуркаций динамических систем А. Пуанкаре, А. Ляпунова и А. Андронова. Оба эти направления слились благодаря усилиям французского математика Р. Тома в единую стройную теорию, которая получила столь броское название — теория катастроф [5.C.11].
1.2 Физические основы теории катастроф
Что общего между прыгающим мячиком, ледоходом на реке, извержением вулкана, биологической популяцией белок в лесу, распределением вещества во Вселенной, формированием понятия? Все эти объекты могут рассматриваться как динамические системы
. А для динамической системы можно указать набор величин, называемый динамическими переменными
и характеризующий состояние
системы, при чем значения динамических переменных из исходного набора изменяются в любой последующий момент времени по определенному правилу. Это правило задает оператор эволюции
[4.C.11]. Например, для мячика оператор эволюции определяется законами движения с учетом силы тяжести и силой удара о землю. Мгновенное состояние будет задаваться двумя величинами – расстоянием от земли и временем.
Геометрически мгновенное состояние определяется как точка на фазовой плоскости
, где расстояние и время будут осями ординат и абсцисс соответственно (рис.1.).
S
S
t
Рис.1. Движение мяча
Если состояние системы задается набором N величин, то динамику можно представить как движение точки в N-мерном фазовом пространстве
(
эволюционный процесс
математически описывается векторным полем).
Точка фазового пространства задает состояние
системы. Приложенный в этой точке вектор указывает скорость изменения состояния. В некоторых точках вектор может обращаться в нуль. Такие точки называются положениями равновесия
(состояние не меняется с течением времени). Однако с течением времени в системе устанавливаются колебания, таким образом, равновесное состояние неустойчиво
.
Кривые в фазовом пространстве, образованные последовательными состояниями процесса, называются фазовыми кривыми
. [3.C.17].
Установившиеся колебания изображаются замкнутой кривой на фазовой плоскости. Эта кривая называется предельным циклом
в фазовой плоскости (рис.2.) [3.C.17].
Устойчивые
Неустойчивые
Фокус узел седло узел фокус
Рис.2. Типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия
Различают два класса динамических систем: консервативные
(режим динамики определяется начальным состоянием) и диссипативные
(режим динамики становится не зависящим от начального состояния). В курсе теории катастроф рассматриваются диссипативные динамические системы.
Множество точек в фазовом пространстве диссипативной динамической системы в установившемся режиме называют аттрактором
. [5.C.9].
Простые примеры аттракторов – устойчивое состояние равновесия и предельный цикл, отвечающий режиму периодических колебаний (замкнутая фазовая траектория, к которой приближаются все соседние траектории).
Аттракторы, отличные от состояний равновесий и строго периодических колебаний, называются странные аттракторы
. Даже малая неточность в задании начального состояния системы нарастает во времени, так что предсказуемость становиться непостижимой на достаточно больших интервалах времени [3.C.25]. Переход от устойчивого состояния равновесия процесса к странному аттрактору может совершаться как скачком (при жесткой или катастрофической потере устойчивости), так и после мягкой потери устойчивости (рис.3.).
x
равновесие цикл удвоенный цикл странный аттрактор
потеря удвоение потеря устойчивости t
устойчивости периода удвоенного цикла
рис.3. Сценарий хаотизации
Все выше перечисленные примеры показывают, что состояние системы зависит от параметров системы
(динамических переменных, характеризующих состояние системы), при изменении которых происходит изменение состояния системы. Такие параметры называют управляющими параметрами
. Система может зависеть от одного или нескольких параметров [2.C.18]. Можно рассмотреть пространство всех систем
(рис.4.), разделенное на области, образованные системами общего положения. изображается кривой.
Рис.4 Однопараметрическое семейство систем
Не возможно однозначно предсказать конечное состояние системы по исходным параметрам. Очень трудно задать абсолютно все параметры, а задать начальные значения параметров еще сложнее, к тому же с течением времени исходные значения параметров изменяются [6.C.44].
Теория катастроф рассматривает процессы, в которых плавное изменение параметров системы прерывается их скачкообразным изменением
(предсказуемым или заранее неизвестным), после чего система оказывается в другом режиме существования или разрушается. Этот скачок теория называет катастрофой, поскольку ударный характер нагрузки на замкнутую систему может её повредить, разрушить или быть неприемлемым по каким-то иным причинам. Сама теория катастроф родилась из обобщающего анализа реальных катастроф в их математическом описании.
Режим, в котором оказывается система после катастрофы, может быть предсказуем - либо однозначно, либо в вероятностно-статистическом смысле, либо непредсказуем [6.C.21].
Таким образом, катастрофами
называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий.
1.3 Математические основы теории катастроф
Математическая сторона теории весьма непроста. Но можно ведь и о самых сложных вещах рассуждать просто, как говорится, объясняясь на пальцах. Сам Эйнштейн, кстати, владел таким способом изложения своих мыслей достаточно хорошо [3.C.88].
Прикладная математика, физика, химия, а так же технические дисциплины часто являются результатом применения новых математических идей и методов. Поэтому и прикладная математическая теория — теория катастроф — в сочетании с современными методами системного анализа является полезным и эффективным средством анализа различных реальных процессов [1.C.8].
Рассматривать в фазовом пространстве положения равновесия, предельные циклы и перестройки системы в целом (её инвариативных множеств и аттракторов) можно осуществлять с помощью дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых, обычно, неизвестны. Поэтому уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым и его решение может качественно измениться при сколь угодно малом изменении этих параметров [5.C.9]. Следовательно, при составлении дифференциальных уравнений, описывающих физические системы, необходимо учитывать, какие изменения параметров вызывают изменения системы. Однако математические модельные системы могут оказаться громоздкими из-за большого количества входящих в них переменных, поэтому при изучении таких систем часть переменных, мало изменяющихся в ходе процесса, полагают постоянными. В результате получается система с меньшим количеством переменных, которая и исследуется. Но учесть влияние отброшенных членов в исходной модели, рассматриваемой «индивидуально», обычно невозможно. В этом случае отброшенные члены можно рассматривать как возмущения
.
Предметом теории катастроф
является изучаемые зависимости качественной природы решений уравнений от значений параметров, присутствующих в заданных уравнениях [4.C.8].
Рассмотрим решения Ф1
(t
,
x
;
ca
), Ф2
(
t
,
x
;
ca
), …
системы n
уравнений, определённой в пространстве RN
с координатами x
=(
x
1
,
x
2,
...,
xN
)
,
Fi
(Ф
i
; са
;
t
;
d
Ф
i
/
dt
;
d
2
Ф
i
/
dt
2
,………;
xl
;
d
Ф
i
/
dxl
,
d
2
Ф
i
/
dxl
dxm
,……)=0
(1)
1<
i
<
n
, 1<
l
, m
<
N
, 1 <
a
<
k
,
переменные xi
и t
можно считать соответственно пространственными и временными координатами.
Решения Фi
описывают состояние некоторой системы, поэтому их называют переменными состояния
.
Уравнения Fi
=0
зависят от k
параметров са
(числа Рейнольдса, структурной константы, напряженности магнитного поля и так далее), т. е. они могут качественно влиять на свойства решений Фi
, поэтому параметры са
являются управляющими параметрами
.
Не только исследование решений системы уравнений (1), но и выявление зависимости решений этой системы от управляющих параметров са
,
является сложной задачей [5.C.9]. Чтобы ее упростить, надо сделать ряд последовательных предложений:
1.
Пусть система уравнений (1) не содержит пространственных производных любого порядка, т. е.
Fi
(Ф
i
; са
;
t
;
d
Ф
i
/
dt
;
d
2
Ф
i
/
dt
2
,…;
xl
; ----; ----)=0
. (2)
2.
Так как решение системы (2) достаточно сложно, то пусть она не зависит от всех пространственных координат х
l
.
Fi
(Ф
i
; са
;
t
;
d
Ф
i
/
dt
;
d
2
Ф
i
/
dt
2
,………; --- ;--- ; ---)=0
. (3)
3.
Пусть в решении системы (3) существуют производные по времени не выше первого порядка и сами производные в функции Fi
имеют вид:
Fi
=
d
Ф
i
/
dt
–
fi
(Ф
i
; са
;
t
)
. (4)
Система уравнений типа Fi
=
0 определяет динамическую систему [5.C.11].
4.
Для упрощения динамической системы пусть функция fi
не зависит от времени. Тогда получится автономная динамическая система уравнений
Fi
=
d
Ф
i
/
dt
–
fi
(Ф
i
; са
; -)= 0
. (5)
Автономные динамические системы, зависящие от малого числа управляющих параметров (
k
<
4), являются более доступными для рассмотрения [5.C.12].
5.
Функция fi
схожа с силой в классической механике для консервативных сил. Тогда fi
будет антиградиентом к некоторой потенциальной функции:
fi
= -
dU
(Ф
i
; са
) /
d
Ф
i
, Fi
=
d
Ф
i
/
dt
+ -
dU
(Ф
i
; са
) /
d
Ф
i
= 0
. (6)
система Fi
вида (6) называется градиентной системой [5.C.12].
Состояние равновесия градиентных динамических систем определяется системой уравнений d
Ф
i
/
dt
= 0
, следовательно dU
(Ф
i
;са
)/
d
Ф
i
=0
. (7)
Для уравнений (7) возможны следующие случаи:
a) уравнения (7) могут не иметь решения если U
(Ф
i
)= Ф,
так как
dU
(Ф;са
)/
d
Ф=
d
Ф /
d
Ф=1
, но 1/ 0
;
b) уравнения (7) могут иметь одно решение если U
(Ф
i
)= Ф2
,
так как
dU
(Ф;са
)/
d
Ф=
d
Ф2
/
d
Ф=2Ф=0
-
Ф=0
;
c) уравнения (7) могут иметь более чем одно решение если
U
(Ф
i
;с)= Ф4
+
c
Ф2
, c
< 0
, так как
dU
(Ф;са
)/
d
Ф=
d
(Ф4
+
c
Ф2
) /
d
Ф=4Ф3
+2сФ=0
-
три решения.
Следовательно, теория катастроф рассматривает состояние равновесия Ф
i
(са
)
потенциальной функции U
(Ф
i
;са
)
, изменяющийся при изменении управляющих параметров са
. Переменные состояния, от которых зависит функция U
(Ф
i
; са
)
по существу являются обобщенными координатами рассматриваемой системы [5.C.13].
Обобщенная сила, действующая на систему, поведение которой описывается потенциальной функцией, равна антиградиенту этой функции. Если в рассматриваемой точке пространства состояний градиент потенциальной функции отличен от нуля, то сила, действующая в этой точке, также отлична от нуля (в этом случае в некоторой окрестности заданной точки можно выбрать новую систему координат, такую, что сила в этих новых координатах будет иметь единственную отличную от нуля компоненту F
= -
gradU
/
0
(рис. 5.)).
U(x)
grad
U(x0
)/ 0
x0
Рис.5. Преобразование функции Uв линейную функцию U ->a+(y-y0
)b помощью гладкой замены координат в точке х0
, в которой градиент не равен нулю.
Для того чтобы сделать все эти рассуждения математически строгими, необходимо использовать теорему о неявной функции, согласно которой возможна гладкая (т. е. имеющая производные любого порядка) замена координат: у1
=у1
(х1
,х2
,…,х
n
),
y
2
=у2
(х1
,х2
,…,х
n
),
……………………
yn
=у
n
(х1
,х2
,…,х
n
),
в результате которой в новой системе координат имеем
U
= y
(+const). (8)
При исследовании локальных свойств потенциальной функции в формуле (8) const можно не учитывать. (От нее можно также избавиться при помощи соответствующего сдвига начала системы координат.) [5.C.14].
Если рассматриваемая физическая система находится в состоянии равновесия (устойчивого или неустойчивого), то gradU
=0
(но это условие противоречит условию применения теоремы о неявной функции).
При этом тип равновесия определяется собственными значениями матрицы устойчивости, или гессиана, Uij
=
d
2
U
/
dxi
дх
j
.
Однако, если detUi
,/ 0 то теорема Морса, позволяет провести гладкую замену переменных, такую, что потенциальная функция может быть представлена квадратичной формой
V
=
hi
yi
2
(9)
Где hi
- собственные значения матрицы устойчивости Vij
,
вычисленные для состояния равновесия. С учетом новой замены координат в соответствии с yi
’
=
hi
1
/ 2
yi
квадратичная форма (9) может быть приведена к морсовской канонической форме V
=-
y
’
i
2
-…-
y
’
i
+1
2
+…+
y
’
n
2
=
Mi
n
(
y
’)
. (10)
Функция Mi
n
(
y
’)
получила название Морсовское
i
-седло
[5.C.15].
Рис.6. Морсовское седло, имеющее локальный минимум в точке О (0,0,0)
Точки, в которых gradU
=0
, являются точками равновесия, или критическими точками
, гладкой функции U
(
x
1
, х2
, ..., хп
).
Критические точки, в которых detVij
=0
, называют изолированными, невырожденными или морсовскими критическими точками
[5.C.16].
Критические точки функции U
(
x
1
,
x
2
,…,х
n
)
, в которых detUij
/
0
, являются неизолированными, вырожденными или неморсовскими критическими точками
[5.C.16].
Если потенциальная функция зависит от одного или более управляющих параметров С1
,
С2
, ...
, то матрица устойчивости Uij
и ее собственные значения также зависят от этих параметров. В этом случае вполне возможно, что при некоторых значениях управляющих параметров одно (или несколько) собственное значение матрицы устойчивости может (могут) обратиться в нуль [4.C.163]. Если это так, то detUij
=
0
и, следовательно, условия, необходимые для применимости леммы Морса (gradU
=0
, detUi
j
/
0
) не выполняются, и в точке равновесия потенциальная функция не может быть представлена в канонической форме (10) [1.C.67].
Однако можно найти каноническую форму потенциальной функции в неморсовской критической точке, если l
собственных значений h
1
(
c
),…,
hn
(
c
)
обращаются в нуль в hi
точке с=с0
. тогда потенциальную функцию можно расщепить на морсовскую и неморсовскую составляющие:
U(x,c)= hi
y1
(x))2
+ fNM
(y1
(x;c),…,yl
(x;c); c)+
y1
(x))2
(11)
Так как теорема Тома гарантирует существование гладкой замены переменных (при k <
5 нет ограничений на семейство потенциальных функций U
(
x
1
,..
xn
;
c
1
,..
ck
)
), то потенциальную функцию можно записать следующим образом:
fNM
(y1
(x;c),…,yl
(x;c); c)
= CG(l)
( 12)
hi
y1
(x))2
= Pert(l, k)
где функцию CG
(
l
)
называют ростком катастрофы;
функцию Pert
(
l
,
k
)
называют возмущением [5.C.19].
Функция катастрофы Са
t
(
l
,
k
)=
CG
(
l
)+
Pert
(
l
,
k
)
, представляет собой функцию l
переменных (состояний) и k
(управляющих) параметров. Функция катастроф Са
t
(
l
,
k
)
сводится к ростку катастрофы только тогда, когда в пространстве Rk
управляющие параметры принимают значения а1
,..а
k
, c
1
,…
ck
..
Все функции катастроф Са
t
(
l
,
k
)
с каноническим ростком катастроф CG
(
l
)
, где k
<
5 перечислены в таблице 1. (c.18).
1.4 Элементарные катастрофы
Существуют различные подходы к рассмотрению элементарных катастроф.
Арнольд В.И. на основе выводов теории особенности рассматривает простые образы вроде складки, сборки, точки возврата и еще несколько образов, получивших собственные имена, например, «ласточкин хвост».
Кузнецов А.П. рассматривает примеры систем с катастрофами (катастрофы складки и сборки), при выявлении существенных параметров, классификации критических точек.
Найман Э. вводит элементарные катастрофы в теории хаоса в качестве доказательства невозможности предсказать постоянные нелинейные и нерегулярные сложные движения, возникающие в динамической системе.
Воспользуемся классификацией Тома Р., которая является таблицей элементарных катастроф и содержит в каждой своей строке две функции: росток катастроф CG
(
l
)
и ее возмущением Pert
(
l
,
k
)
Таблица 1. Элементарные катастрофы Тома [5.C.67].
| Тип катастрофы |
k
|
Росток |
Возмущение |
| А2
|
1 |
x
|
а1
|
| А±3
|
2 |
±х4
|
a
|
| А4
|
3 |
x
|
а1
■а3
|
| A
|
4 |
±х4
|
а1
|
| А6
|
5 |
x7
|
а1
|
| D+
|
3 |
x2
|
а1
|
| D5
|
4 |
x2
2
|
а1
Ь сцу2
|
| D+
|
5 |
x2
г
|
а
|
| Е±
|
5 |
x3
|
а1
|
Проанализируем каждый тип катастроф.
Катастрофы типа А2
Предположим, что U
(
x
1
..., хп
; с)
— общее 1-параметрическое семейство потенциальных функций. Тогда при исследовании этого семейства можно встретить отдельные функции, которые имеют неморсовские критические точки. Ограничимся изучением зависимости качественных изменений в поведении функции катастрофы F
(
x
;
a
)
от управляющих параметров. Катастрофа А2
задается формулой (7) и графически представлена на рис. 7.
А2
:
F
(
x
;
a
) =1/3
x
3
+
ax
,
(13)
Коэффициенты в простых ростках катастроф могут быть выбраны равными каноническим значениям, например, ±1 [5.C.67].
В тех случаях, когда берутся производные, могут быть выбраны другие канонические значения с помощью изменения масштабов. Для удобства такие же множители могут быть введены и в возмущение [5.C.67].
Критические и дважды вырожденные критические точки функции
F
(
x
; а)
определяются соответственно из условий равенства нулю градиента
F
{
x
; а)
и d
2
F
/
dx
2
= 0, следовательно х2
+ а=0
и 2х=0
. (14)
a>0
a<0
a=0
Рис.7. Все функции F(x;a)
Рассмотрим полную потенциальную энергию – U
(
Q
)
. Точки, соответствующие максимуму и минимуму потенциальной энергии, это точки в которых, в которых dU
/
dQ
обращается в нуль. При этом функция U
=
U
(
q
,
q
)
имеет только одну активную координату [1.C.24]. При построении модели (рис. 8) трансформация энергии обозначим Q и L общие переменные, заменяющие локальные переменные, которые обозначались строчными буквами q
и q
. Полученное слиянии и исчезновении минимума и максимума, под действием единственного управляющего параметра, называется катастрофой складки
.
[1.C.25]. Ей соответствует траектория равновесия XCY
,
которая загибается в критической точке С, меняя при этом характер устойчивости.
Рис.8. Изменение энергии в случае катастрофы складки.
Покажем, что катастрофа типа А2
представлена складкой
.
На горизонтальной плоскости-проекции выделяется полукубическая парабола с точкой возврата (острием) в начале координат. Эта кривая делит горизонтальную плоскость на две части (условно на меньшую и большую).
Точки меньшей части имеют по три прообраза (в них проектируется три точки поверхности), точки большей части — лишь по одному, точки кривой — по два.
При подходе к кривой из меньшей части два прообраза (из трех) сливаются и исчезают (в этом месте особенность — складка), при подходе к острию сливаются все три прообраза [5.C.69].
Рис.9. Катастрофа складки.
При изменении параметра выделяются особые или бифуркационные значения параметра (рис.9). Вне этих значений положения равновесия гладко зависят от параметров [5.C.70].
Катастрофы типа
А3
Критические, дважды вырожденные критические и трижды вырожденные критические точки катастрофы А3
определяются приравниванием соответственно первой, второй и третьей производных
F
(
x
;
a
,
b
)
нулю: сепаратриса катастрофы, определяемая уравнениями
dF
/
dx
= 0, dF
2
/
dx
2
= 0, разделяет пространство управляющих параметров на две открытые области, представляющие функции с одной критической точкой или функции с тремя критическими точками.
Катастрофа типа А3
задается следующим семейством функций, зависящих от двух управляющих параметров а
и b
:
А+3
:
F
(
x
;
a
,
b
) = +
x
4
+
ax
+
bx
2
.
(15)
График функции (рис.10) при различных значениях управляющих параметров (а,
b
):
внутри области имеет форму сборки
или симметричной бифуркации.
Рис. 10. График функции F(x;a,b) = +
x4
+ ax+bx2
.
F
(
x
;
a
,
b
)
имеет три изолированные критические точки, а вне этой области — всего одну; на границе функция семейства имеет изолированную критическую точку и дважды вырожденную критическую точку, а в начале координат— трижды вырожденную критическую точку. Положение критических точек находится путем решения кубического уравнения вида
gradF
=
x
3
+
ax
+
b
= 0.
(16)
Рис. 11. График функции F = x3
+ ax + b = 0.
Катастрофы типа
А4
Катастрофа типа А4
задается следующим семейством функций, зависящих от трех управляющих параметров а,
b
, с:
А4
:
F
(
x
;
a
,
b
,
c
)=
x
5
+
ax
+
bx
2
+сх3
.
(17)
Критические точки определяются через приравненные к нулю производные:
1. Критические точки: 5х4
+ а + 2
b
х
+ 3х2
с = 0.
2. Дважды вырожденные: 10х3
+
b
+3х
=0.
3. Трижды вырожденные: 1
0x2
+
1=0.
4. Четырежды вырожденные: x
=0.
Функция А4
:
F
(
x
;0,0,0)
имеет четырежды выраженную точку х=0
.
Рис. 13. График функции F(x;a,b,c)=x5
+ ax+bx2
+сх3
.
Катастрофы типа
A
+5
Катастрофа типа А+
5
задается следующим семейством функций, зависящих от четырех управляющих параметров а,
b
, с,
d
:
А+5
:
F
(
x
;
a
,
b
,
c
,
d
)= +
x
4
+ах+
bx
2
+сх3
+
dx
4
.
(15)
1. Критические точки: +
4х3
+х+2
b
х+3
cx
2
+4
dx
3
=0
2. Дважды вырожденные: +
6х2
+
b
+3
cx
+6
dx
2
=0
3. Трижды вырожденные: +
4
a
х+
c
+4
dx
=0
Рис. 14. График функции F(x; a, b, c) =+
x4
+bx2
+сх3
+dx4
.
Катастрофы типа
A
6
Катастрофа типа А6
задается следующим семейством функций, зависящих от пяти управляющих параметров а,
b
, с,
d
,
e
:
А6
:
F
(
x
;
a
,
b
,
c
)=х7
+ а
x
+
bx
2
+сх3
+
dx
4
+
ex
5
(19)
1. Критические точки: 7х6
+
a
+2
b
х+3
c
х2
+4
dx
3
+5
ex
4
=0
.
2. Дважды вырожденные: 24х5
+
b
+3
c
х+6
d
х2
+10
ex
3
=0
.
3. Трижды вырожденные: 40х4
+
c
+4
dx
+10
ex
2
=0
.
4. Четырежды вырожденные: 40х3
+
d
+5
ex
=0
.
5. Пяти вырожденные: 24
х2
+
ex
=0
.
6. Шести вырожденные: 48х+е=0
.
Рис. 15. График функции F(x; a, b, c) = х7
+ аx+bx2
+сх3
+dx4
+ex5
.
Катастрофы типа
D
+
4
Катастрофа типа D+
4
задается следующим семейством функций, зависящих от трех управляющих параметров а,
b
, с:
D+
4
: F(x,y;a,b,c)=
x2
y+
y2
+
ах
+by
+ cy2
=0
. (20)
Рис. 16. График функции F(x; a, b, c) = x2
y+
y2
+ах+by+ cy2
=0.
Катастрофы типа
D
5
Катастрофа типа А+
5
задается следующим семейством функций, зависящих от четырех управляющих параметров а,
b
, с,
d
:
D
5
:
F
(
x
;
a
,
b
,
c
,
d
)= х2
у+у4
+
ax
+
b
у+
cx
2
+
d
у2
.
(22)
Рис. 17. График функции F(x;a ,b, c, d)= х2
у+у4
+ ax+bу+cx2
+dу2
.
Катастрофы типа
D
-6
Катастрофа типа D-6
задается следующим семейством функций, зависящих от пяти управляющих параметров а,
b
, с,
d
,
e
:
D
-
6
:
F
(
x
;
a
,
b
,
c
,
d
)= х2
у+
у5
+
ax
+
b
у+
cx
2
+
d
у2
+
ey
3
.
(23)
Рис. 18. График функции F(x;a ,b, c, d)= х2
у+у5
+ ax+bу+cx2
+dу2
+ey3
.
Рис. 19. График функции F(x; a, b, c, d) = х2
у+у5
+ ax+bу+cx2
+dу2
+ey3
.
Катастрофы
типа
E+6
Катастрофа типа E+6
задается следующим семейством функций, зависящих от пяти управляющих параметров а,
b
, с,
d
,
e
:
E+6
:
F
(
x
;
a
,
b
,
c
,
d
,
e
)= х3
+
у4
+
ax
+
b
у+
cxy
+
d
у2
+
exy
2
.
(24)
Рис. 20. График функции F(x;a ,b, c, d,e)= х3
+
у4
+ ax+bу+cxy+dу2
+exy2
.
Установление наличия и типа катастрофы в рассмотренных выше случаях возрастающей неопределенности в описании системы могут помочь определить упрощенную модельную потенциальную функцию, зависящую только от существенных переменных состояния и управляющих параметров. Cответствующий росток потенциальной функции может помочь установить соответствующий тип уравнений, и то, каким образом потенциальная функция может входить в такие уравнения.
Хотя катастрофы обнаруживаются при качественных исследованиях уравнений, существует эффект обратной связи, который иногда позволяет получить качественные следствия даже в том случае, когда мы не знаем самих уравнений при условии, что мы в состоянии установить их наличие и тип катастрофы [2.C.144].
Среди огромного количества катастроф можно выделить ряд характеристик, позволяющие говорить о наличии катастрофы.
1.
Модальность.
Рис. 21. Катастрофа сборки.
Физическая система может иметь два или более различных физических состояния. Другими словами, описывающая систему потенциальная функция имеет более чем один локальный минимум в некоторой области изменения внешних управляющих параметров.
Катастрофа сборки становится бимодальной, если управляющие параметры лежат в пределах области сборки.
2.
Недостижимость.
Если система находится в состоянии равновесия, которое оказывается морсовским i-седлом (рис.22), то такое состояние является неустойчивым, поскольку существуют инфинитезимальные возмущения, приводящие к уменьшению значения потенциала. Всякий раз, когда потенциальная функция имеет более чем один локальный минимум, она должна иметь, по крайней мере, одно i-седло (с>0), которое является состоянием неустойчивого равновесия [4.C.83].
Два слоя в области сборки, представляющие локально устойчивые минимумы, разделены срединным недостижимым слоем, представляющим неустойчивые локальные максимумы.
Рис. 22. Морсовское седло.
3.
Катастрофические скачки.
Малые изменения в значениях управляющих параметров могут вызывать большие изменения («катастрофический скачок») в значениях переменных состояния по мере того, как система перескакивает из одного локального минимума в другой [5.C.3]. Согласно принципу Максвелла, этот неожиданный скачок сопровождается плавным, но не дифференцируемым изменением значений потенциала. Переход из окрестности одного локального минимума в другой проявляет себя в большом изменении значения переменной состояния, которое часто происходит в сверхбыстрой временной шкале. Свойства устойчивости критических точек функции катастрофы-сборки легко определяются из рассмотрения многообразия этой катастрофы. Неожиданный скачок в значении переменной состояния происходит, как только состояние системы перескакивает с одного слоя поверхности катастрофы сборки на другой (рис.23).
Рис.23. Катастрофа сборки.
4.
Расходимость.
Конечные изменения в значении управляющих параметров приводят к конечным изменениям
Неустойчивость физического процесса при возмущениях в траектории управляющих параметров называется расходимостью.
Расходимость в случае катастрофы сборки. Два близких пути в пространстве управляющих параметров могут приводить к далеко расходящимся конечным значениям переменных состояния (рис.24).
Рис.24 . Катастрофа сборки.
5.
Гистерезис.
Гистерезис имеет место, когда физический процесс не является полностью обратимым, т. е. над той же самой точкой пространства управляющих параметров скачок из локального минимума 1 в локальный минимум 2 может и не произойти, в то время как скачок из локального минимума 2 в локальный минимум 1 имел место [2.C.113].
Рис.25. Явление гистерезиса.
Явление гистерезиса имеет место, когда скачок с одного листа на другой не случается при тех же значениях управляющих параметров, что и возвратный скачок.
Модальность, недостижимость, катастрофические скачки, расходимость и гистерезис обычно встречаются в совокупности. Они зависят от достижимости физической системой области пространства управляющих переменных, в которой потенциал имеет более чем один локальный минимум. Явление гистерезиса может быть не наблюдаемо, если поведение системы подчиняется принципу Максвелла, однако даже в этом случае иногда возможно наблюдать его (сверхохлаждение, сверхнагревание) с помощью экспериментальных методов [5.C.93].
Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ
В теории катастроф есть нечто таинственное – это удивительные
совпадения связей между далекими на первый взгляд предметами теориями [7.С.62].
Теория катастроф дает универсальный метод исследования скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений. Существуют различные публикации, в которых теории катастроф применяется к исследованиям биения сердца, в геометрической и физической оптике, эмбриологии, лингвистике, психологии, экономике, гидродинамике, геологии и теории элементарных частиц. Среди опубликованных работ по теории катастроф есть исследования устойчивости кораблей, моделирования деятельности мозга и психических расстройств, восстаний заключенных в тюрьмах, поведения биржевых игроков, влияния алкоголя на водителей транспортных средств [3.C.7].
Кроме того, явления устойчивости представляют огромный интерес для всех научных работников и инженеров из самых разных областей науки и техники. Например, потеря устойчивости тонкостенных конструкций под действием веса и ветровой нагрузки, астрофизика коллапсирующих звезд, внезапное разрушение кристаллической решетки, фазовые переходы в термодинамических системах, взрывное развитие популяций конкурирующих экологических видов, возникновение турбулентности в быстро движущейся жидкости, хаотическое движение в простых детерминистических моделях, управление положением космического корабля и нейродинамика мозга.
Общая точка зрения на все эти различные проблемы устойчивости достигается при помощи теории катастроф. Чтобы понять предмет достаточно глубоко, требуется некоторое знание математики, только тогда
можно составить правильное представление об области применения теории катастроф [2.C.12]
2.1 Манёвры и теория катастроф
Состояния равновесия процесса образуют поверхность
того или иного числа измерений в этом пространстве. Проекция поверхности равновесий на плоскость управляющих параметров может иметь особенности [4.C.124]. Предполагается, что это — особенности общего положения. В таком случае теория особенностей предсказывает геометрию «катастроф», то есть перескоков из одного состояния равновесия в другое при изменении
управляющих параметров.
Рис. 26. Проектирование поверхности на плоскость
Математическая сторона катастроф позволяет обосновать результаты,
полученные на практике (в зависимости от степени обоснованности управляющих параметров). Например, в теории хлопков упругих
конструкций и в теории опрокидывания кораблей предсказания теории полностью подтверждаются экспериментом. С другой стороны, в биологии, психологии и социальных науках (скажем, в приложениях к теории поведения биржевых игроков или к изучению нервных болезней) как исходные предпосылки, так и выводы имеют скорее эвристическое значение.
Замкнутая система может иметь один и более устойчивых балансировочных режимов, принадлежащих к конечному или бесконечному множеству. Перевод замкнутой системы из одного балансировочного режима в другой - наиболее часто встречающийся вид маневра.
Маневр
имеет смысл при переходе системы в конечный балансировочный режим, который является устойчивым режимом для данной замкнутой системы [3.C.93].
В пространстве параметров, описывающих замкнутую систему, маневр - траектория перехода от одной точки (начальный вектор состояния) к другой точке (конечный вектор состояния) (рис.27.).
r2
(t)
r
1
(
t
)
Рис. 27. Проектирование поверхности на плоскость
Вектор состояния - функция времени, то есть идеальная траектория и хронологический график прохождения контрольных точек на ней.
Множество допустимых векторов состояния составляет полосу допустимых отклонений от идеальной траектории (с учетом отклонений по времени в прохождении контрольных точек на идеальной траектории).
Маневр может быть условно устойчивым, если замкнутую систему удается перевести в конечное состояние с приемлемой точностью, но возмущающие воздействия (в том числе конфликтное управление) в процессе маневра плохо предсказуемы до его начала; вследствие этого траектория перехода должна корректироваться в ходе маневра с учетом реальных отклонений. Маневр может быть завершен при условии, что в течение перехода возмущающие воздействия не превысят компенсационных возможностей замкнутой системы [4.C.367]. Это же касается ситуации конфликтного управления одним объектом со стороны нескольких субъектов. Примером такого рода условно устойчивого маневра является любое плавание эпохи парусного флота "из пункта А в пункт Б": доплыть - шансы есть, но об аварийности, сроках и маршруте можно говорить только в вероятностном смысле о будущем и в статистическом смысле - о прошлом [3.C.94]. Устойчивый маневр имеет вероятность успешного завершения, когда возмущающиеся воздействия на замкнутую систему в ходе маневра равна единице; однако, может быть сведена и к нулевой вероятностной предопределенности низкой квалификацией управленцев [4.C368]. Наглядными примерами успешного и неуспешного завершения маневра является организация деятельности различных предприятий.
Под «возмущающим воздействием
» следует понимать как внешние воздействия среды, включая и конфликтность управления, так и внутренние изменения (поломки и т. п.) в замкнутой системе, поэтому, говоря об устойчивости как об ограниченности отклонений, следует понимать предсказуемость поведения системы [4.C.368]. В экономике широко применяются модели реальных процессов, содержащие допущения
(отклонения от идеала). Экономико-математическое моделирование позволяет проанализировать конкретный процесс. На рис.30. можно увидеть точки пересечением плоскостей предложения S
и спроса D
на осях Q
(объем товаров и услуг), P
(цена), E
(отклонение), значение которых будет оптимальной ценой PE
.
P
Q
Рис. 28. Образование оптимальной цены
В экономике и других отраслях к маневрам перехода предъявляются разные требования, но наиболее часто предъявляется требование плавности, безударности, т. е. отсутствия импульсных (ударных) нагрузок на замкнутую систему в процессе её движения по идеальной траектории маневра с допустимыми отклонениями в пространстве параметров.
В математической интерпретации это требование двукратной дифференцируемости по времени вектора состояния замкнутой системы и наложению ограничений на вектора-производные («скорость», «ускорение») во всем пространстве коридора допустимых отклонений на протяжении идеальной траектории. Снятие этого требования - перенос задачи управления в область приложений теории катастроф
[5.C.436].
Другой пример явлений, изучаемых теорией «катастроф», - переход колебательного процесса из одной потенциальной ямы в другую потенциальную яму: так в шторм корабль испытывает качку относительно одного устойчиво вертикального положения. Плавное увеличение амплитудных значений крена при качке может привести к внезапному опрокидыванию корабля кверху днищем в течение интервала времени менее полупериода качки (секунды) в процессе усиления шторма, обледенения и т.п. Но и опрокинувшийся корабль может не сразу же пойти ко дну, а может еще длительное время оставаться на плаву кверху днищем, по-прежнему испытывая качку относительно своего другого, также устойчиво вертикального положения.
Область потенциально устойчивого по предсказуемости управления в пространстве параметров вектора состояния по отношению к конкретной замкнутой системе - объективная данность. В ней лежит множество объективно возможных траекторий маневров; и множество объективно невозможных. Во множестве объективно возможных траекторий можно выделить подмножество траекторий, на которых лежат точки «катастроф» [5.C.378]. С математической точки зрения это могут быть точки нарушения двукратной дифференцируемости по времени вектора состояния; точки превышения ограничений на вектора-производные; точки на границах между двумя потенциальными ямами и тому подобное. Рассмотрим железнодорожный транспорт страны, тогда: область потенциально устойчивого управления - вся территория государства; множество объективно возможных маневров - существующая сеть железных дорог. Множество объективно невозможных - всё, где нет рельсов и где невозможно по техническим причинам проложить рельсы или построить стрелочные переводы для изменения направления движения. Точки «катастроф»- неисправные пути и стрелочные переводы, слишком крутые повороты и негабаритные места, непроходимые для некоторых видов подвижного состава и локомотивов и тому подобное - это реальные возможности «катастроф». По отношению к каждому из видов груза железнодорожные узлы - точки ветвления их траекторий в вероятностном смысле. В этом примере сами «катастрофы» теории катастроф в нем представлены только реальными «катастрофами» железнодорожного транспорта, а причины срывов управления могут быть самые различные, и могут лежать на каждом этапе управления. Поэтому необходимо исследовать область, предполагаемого маневрирования, на предмет её полного включения в область потенциально устойчивого управления. Если же какие-то фрагменты области, предполагаемого маневрирования, содержат в себе точки срыва управления, выпадают из области потенциально устойчивого (при необходимом качестве) управления по причине многосвязности области, отсутствия её выпуклости и т.п., то такие зоны необходимо исключить и пролагать траектории маневров в обход них (и точек срыва управления в частности) [8.C.4]. Именно этим занимаются все квалифицированные навигаторы: при подходе к берегу, на навигационной карте они проводят границу района, запретного им для маневрирования из-за малости в нём глубин.
2.2 Применение в естествознании
1. Явление сверхпроводимости.
Впервые сверхпроводимость была открыта Камерлинг - Оннесом в 1911 году у ртути при температуре около 4o
К (-269o
С) выше абсолютного нуля (Нобелевская премия 1913 года). Вплоть до 1986 года сверхпроводимость наблюдалась лишь у некоторых металлов и их сплавов, а самой высокой температурой перехода в сверхпроводящее состояние обладал сплав ниобия и германия: 23o
К (-250o
С). Сверхпроводимость возникает только при охлаждении материала ниже определенной температуры, которая называется критической Тк
. Величина этой температуры у каждого сверхпроводника своя (рис.29.). В этой точке электрическое сопротивление скачком падает до нуля.
R
t
Тк
Рис.29. Зависимость сопротивления материала от температуры
Сверхпроводимость можно наблюдать у гелия 4
Не. При понижении температуры жидкий He I с нормальными свойствами переходит в сверхпроводящее состояние He II. В момент сверхпроводящего перехода теплоемкость С гелия резко возрастает до огромной величины, а при дальнейшем охлаждении быстро уменьшается. График этой зависимости напоминает греческую букву λ (лямбда) (рис.30).
Рис.30 Зависимость теплоемкости от температуры при переходе гелия в сверхпроводящее состояние
2. Астрофизика
.
Многие понятия и идеи теории устойчивости исторически возникли при изучении проблем астрофизики звезд и планет. Одна из них это гравитационный коллапс массивной холодной звезды. Чтобы изучить реальный гравитационный коллапс массивной горячей звезды с
учетом углового момента количества движения, магнитных полей Гаррисон, Торн, Вакано и Уилер рассмотрели основные состояния системы из А
барионов (нейтронов и протонов), которые дошли до последней стадии термоядерной эволюции и достигли температуры, близкой к абсолютному нулю [1.C.80].
Для А =
1 основное состояние соответствует атому водорода (Н),
для А =4—атому гелия (Не),
для А
=56 — атому железа (Fe).
При повышении значения А
до 56-106
основное состояние получаемого вещества будет соответствовать 106
атомов железа Fe, расположенных в узлах объемно-центрированной кубической решетки. Когда число барионов достигнет значения порядка 106.
6
—106.
7
, самогравитация становится столь большой, что электроны достигают релятивистских энергий и преобразуют протоны в нейтроны. Ядерный состав меняется от Fe до более тяжелых и более богатых нейтронами ядер [1.C.80].
Масса / солнечная масса
плотность
Рис. 31. График зависимости массы-энергии от плотности.
На рис. 31 приводятся результаты исследования равновесия и устойчивости, в которых масса-энергия представлена как функция плотности в центре звезды. Здесь видно, что возможны только две области устойчивости, соответствующие белым карликам и нейтронным звездам. С увеличением числа барионов и массы-энергии каждая из этих областей достигает критического положения равновесия, или катастрофы складки, при которой доминируют гравитационные силы, и может начаться коллапс[1.C.81].
3. Устойчивые конструкции
Многие крупногабаритные технические конструкции могут быть описаны с помощью потенциальной функции, минимальное значение которой определяет устойчивое состояние конструкции [5.C.180]. Само состояние описывается положением точки в некотором пространстве состояний конструкции. С увеличением нагрузки на конструкцию (мост, здание и т. д.) потенциальная функция изменяется. Значительная нагрузка может привести к потере устойчивости конструкции (т. е. к ее разрушению) вследствие нарушения устойчивого состояния, которое является для данной системы расчетным. Равновесие, устойчивость и потеря устойчивости — это основные вопросы, рассматриваемые теорией катастроф. Методы теории катастроф позволяют определить чувствительность критической, или разрушающей, нагрузки, как к несовершенству конструкции, так и к динамическому воздействию [1.C.83]. Кроме того, они оказываются эффективными при изучении составных систем, для которых возможны различные формы разрушения. Результаты исследования технических конструкций очень важны для их возведения, эксплуатации и разрушения. Работники Московского метрополитена ежедневно используют прибор, чувствительный к разрушениям в конструкциях.
Теория катастроф используется при рассмотрении систем (составленных из нескольких конструкционных элементов), способных к неожиданным формам разрушения и обладающих жесткой чувствительностью к несовершенству [5.C.181], если между элементами существует сильная связь. Например, разрушение опорного кронштейна.
На практике конструкции собирают обычно из большого числа отдельных элементов. Анализ процесса разрушения, как правило, проводится методами теории бифуркаций [1.C.83], используя готовые алгоритмы вычисления возмущения и эталонные характеристические значения (для материала, конструкций, спектрального анализа и так далее).
4. Уравнение Ван-дер-Ваальса
Уравнение Ван-дер-Ваальса, предложенное впервые в 1873 году, описывает поведение жидкости вблизи ее критической точки. Уравнение было получено как соотношение между тремя параметрами V
, Р, Т
жидкости в окрестности ее критической точки:
pV3
-(RT+pb)V2
+aV-ab=0
, (25)
где p
– давление, V
– объем газа, R
– постоянная Больцмана,
T
– температура, a
и b
– постоянные для каждого газа величины.
Уравнение Ван-дер-Ваальса описывает катастрофу сборки.
Уравнение катастрофы сборки А+3
:
F
(
x
;
a
,
b
) = +
x
4
+
ax
+
bx
2
(15).
Разделим уравнение Ван-дер-Ваальса (25) на p
V3
-(RT/
р
+b)V2
+a/
р
V-ab/
р
=0
. (26)
Переобозначим коэффициенты при V
в уравнении (26), учитывая, что p
прямопропорционально V
. Получится следующее выражение:
V
4
-В
V
2
+А
V
-С=0
, оно сравнимо с уравнением (15) – уравнением сборки.
Кривая, описываемая уравнением (25) показана на рис. 32.
р
V
V
1
V
2
V
3
Рис.32. Кривая Ван-дер-Ваальса.
2.3 Применение в психологии
Рассмотрим работу английского математика К. Зимана. Будем характеризовать творческую личность (например, ученого) тремя параметрами, называемыми «техника», «увлеченность», «достижения». По-видимому, между этими параметрами должна быть зависимость. Тем самым возникает поверхность в трехмерном пространстве с координатами (Т, Д, У)
[3.C.12].
Спроектируем эту поверхность на плоскость (Т, У) вдоль оси Д. Поверхность общего положения особенности — сборка (по теореме Уитни) РИС.33.
Рис. 33. Модель «ученый» в пространстве «техника – увлеченность – достижения»
Рассмотрим достижения ученого в зависимости от его увлеченности и технической возможности. Если увлеченность невелика, то достижения монотонно и довольно медленно растут с техникой. Если увлеченность достаточно велика, то наступают качественно новые явления. В этом случае достижения с ростом техники могут расти скачком (такой скачок будет, например, если техника и увлеченность меняются вдоль кривой на рис. 33. в точке 2
). Область высоких достижений, в которую мы при этом попадаем, обозначена на рис. 6 словом «гении» [3.C.13].
С другой стороны, рост увлеченности, не подкрепленный соответствующим ростом техники, приводит к катастрофе (на кривой 3
в точке 4,
рис. 33.), при которой достижения скачком падают, и мы попадаем в область обозначенную на рис. 32 словом «маньяки». Интересно, что скачки из состояния «гений» в состояние «маньяк» и обратно происходят на разных линиях, так что при достаточно большой увлеченности гений и маньяк могут иметь равные увлеченности и техники, различаясь лишь достижениями (и предысторией).
Глава 3. ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ТЕОРИИ КАТАСТРОФ
Программа рассчитана на старшие классы и опирается на значительный объем знаний, которыми владеют учащиеся. Изложение материала отличается доступностью и простотой. Каждое занятие посвящено определенной теме. Программа предусматривает выполнение упражнений, которые помогут не только закрепить теоретические материал, но и научится применять теорию катастроф на практике. К программе прилагается планирование факультативных занятий, методические указания к занятиям, практические задачи. Программой предусмотрено изучение теории катастроф и ее приложения в 9-10 классах средних общеобразовательных учреждениях по 1 часу в неделю. Весь курс рассчитан на 10 часов.
Таблица 2.Тематическое планирование
| № п/п |
ТЕМА УРОКА |
№ занятия |
| 1 |
Введение в теорию катастроф. |
1, 2, 3 |
| 2 |
История создания. |
4 |
| 3 |
Машина катастроф. |
5, 6 |
| 4 |
Применение теории катастроф. |
7 |
| 5 |
Семинар. |
8, 9 |
| 6 |
Резервное занятие |
10 |
Литература:
1. Арнольд В.И. Теория катастроф.-3-е изд., доп.-М.:Наука, 1990.-128 с.
2. Дж. М.Т. Томпсон. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985, 254 с.
3. Стюарт И. Тайны катастрофы: пер. с франц.-М.: Мир, 1987.-76 с.
4. Т.Постон, И.Стюарт. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980, 608 с.
5. Рюэль. Случайность и хаос. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
3.1 Применение в методике обучения
Факультативные занятия по теории катастроф призваны заинтересовать учащихся средних классов в углубленном изучении математики, рассмотреть различные явления окружающего мира с точки зрения единой математической теории и сформировать научное мировоззрение.
Для успешного преподавания факультативного курса по теории катастроф в старших классах учителю необходимо:
1. знать основы теории катастроф и ее применение;
2. знать методику преподавания этой теории;
3. учитывать общие психологические закономерности процесса обучении и усвоения знаний учащихся старших классов;
4. учитывать увлечения учащихся.
Так как курс теории катастроф опирается на знания физики, геометрии, математического анализа, то необходимо обладать достаточными знаниями по этим дисциплинами и их методике преподавания.
Содержание факультативных занятий:
1. Введение в теорию катастроф (3 часа).
Введение в теорию катастроф играет особую роль в мотивации обучения математике, поэтому необходимо заинтересовать учащихся в необходимости познания причин катастроф на математическом языке. Кроме этого уже на первых занятиях необходимо вводить основные понятия теории катастроф и стремиться показать широкий круг применения этой теории. При введении понятий обязательно наличие демонстраций, схем, графиков. Постепенное усвоение понятий, умений и навыков способствуют овладению учащимися знаниями, умениями и навыками на высоком уровне.
2. История создания (1 час).
История создания теории катастроф позволяет учащимся познакомиться с интересными историческими фактами, узнать новые имена ученых, познакомиться с направлениями их научных работ.
3. Машина катастроф (2 часа).
Изготовить машину катастроф Зимана учащиеся могут самостоятельно, и продемонстрировать ее действие. Машина катастроф Зимана представляет собой наглядную зависимость состояния системы от параметров, что очень важно как для понимания, как самой теории катастроф, так и развития интереса к математике в целом.
4. Применение теории катастроф (3 часа).
Очень важно показать применение теории катастроф, чтобы у учащихся не возникало чувство отдаленности теории от практики. Кроме этого, применение полученных знаний поможет закрепить их и сформировать научное представление об окружающем мире. Необходимо найти и рассмотреть примеры доступные и понятные учащимся. Последнее занятие рекомендуется сделать открытым, на котором учащиеся (изучившие курс факультатива) могли бы продемонстрировать действие машины катастроф, зачитать доклады, устроить презентацию работ с последующим обсуждением всех работ. В результате этого занятия выступившие учащиеся получат опыт работы с литературой (поиск, анализ), публичных выступлений (поведение на публике, умение выстраивать свое видение окружающего мира) и моральное удовлетворение от проделанной работы. Учащиеся, которые только познакомились с теорией катастроф и ее приложениями, смогут научиться научному вниманию, диспуту и возможно то же заинтересуются как теорией катастроф, так и математикой в целом.
3. 2 Факультативные занятия по теории катастроф
Введение в теорию катастроф (3 часа).
В окружающем нас мире происходят различные процессы: кипит вода, автомобиль движется по дороге; белка скачет по веткам деревьев, Петров (любая другая фамилия) крутится на первой парте. Попробуйте зарисовать движение этих объектов. Какие фигуры у вас получились? Похоже ли они на прямые? А знаете ли вы, как будут двигаться белка или Петров в любой момент времени? А если будет задано начальное положение?
На эти и другие вопросы вам поможет ответить теория, которую вы будете рассматривать на факультативном курсе, который называется теорией катастроф. Курс рассчитан на 10 занятий (по 1 занятию в неделю). Вы познакомитесь с краткой историей создания теории катастроф, с основными понятиями теории и ее приложениями. Вами будет проделана практическая работа по применению теории катастроф. Вы научитесь пользоваться научной литературой и на последнем занятии сделаете достойную демонстрацию своих работ. При подготовке к занятиям используйте следующую литературу:
Т.Постон, И.Стюарт. Теория катастроф и ее приложения,
Дж. М.Т. Томпсон. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. Арнольд В.И. Теория катастроф
и любые другие источники, которые посчитаете важными.
Название «теория катастроф» было предложено Зиманом и означает теорию, которая рассматривает скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Чтобы понять определение к рассмотрим опыт с пластмассовой линейкой. Положим линейку на две опоры (рис. 34) и начнем ставить по очереди небольшие грузики на середину линейки, в какой-то момент времени линейка выгнется и сбросит грузики. Произошла катастрофа (постепенное изменение нагрузки вызвало внезапный ответ системы).
Рис. 34. Линейка и грузики.
Построим график зависимости прогиба линейки от нагрузки.
прогиб
критическая нагрузка
нагрузка
Рис. 35. График зависимости прогиба линейки от приложенной к ней силы.
Величина прогиба линейки приблизительно определяется положением средней точки (ординатой); при этом точка приложения силы может слегка смещаться вдоль оси абсцисс (Рис. 35) [9.С13]. Если нагрузка невелика, то линейка прогибается вверх, когда же нагрузка оказалась слишком большой, то линейка получила прогиб вниз. Линейка вышла из состояния равновесия и скинула грузики, то есть состояние линейки неустойчиво. На уроках физики вы рассматривали такие понятия как энергия, теплота, работа по ее передаче, а так же вам знакомо понятие упругое и неупругое тело. Процесс, происходящий с линейкой можно объяснить с физической точки зрения (все механические системы стремятся к тому, чтобы их потенциальная энергия была как можно меньше). Вот почему течет вода, остывают тела, стреляют рогатки [9.С18].
Можно построить зависимость, которая показывает, как изменяется упругая энергия линейки от ее прогиба при постоянной нагрузке (рис. 36). Пусть различные прогибы линейки называются состояниями, соответствовать ей будет ось абсцисс.
энергия
А В С состояние
Рис. 36. График зависимости энергии системы от ее состояния.
Состояниям (А, В, С) соответствуют точки на кривой, у которых значение энергии стационарно. Состояние В энергия минимальна, а в состоянии А и С максимальна. Можно представить шарик, который катиться вдоль графика, тогда, чем выше находится шарик, тем больше его потенциальная энергия. Чтобы уменьшить энергию, шарик будет катиться вниз до тех пор, пока его энергия не станет минимальной. Шарик не будет двигаться только на горизонтальных участках [9.С.19].
Однако состояние равновесия могут быть различными:
1. Минимальная энергия.
Состояния, при котором энергия минимальна устойчивы. Если шарик немного сместить из положения равновесия, его энергия возрастет, и он вернется в исходное положение (рис. 37).
энергия
состояние
Рис. 37. График зависимости энергии от состояния.
2. Состояния, при которых энергия максимальна
. Любое перемещение уменьшает энергию, и, по мере того как шарик удаляется от начального положения, он теряет все больше и больше энергии. Начальное смещение от положения равновесия имеет тенденцию к увеличению (рис.38).
энергия
Состояние
Рис. 38. График зависимости энергии от состояния
Рассмотрим зависимость упругой энергии линейки от ее прогиба для пяти значений приложенной нагрузки (рис. 39).
прогиб
А С F H
состояние
Рис. 39. Зависимость упругой энергии линейки от ее прогиба.
Каждому возможному прогибу соответствует некоторая энергия. Состояние равновесия – это точки, которым на кривой зависимости энергии линейки от ее прогиба соответствуют горизонтальные участки [9.С.21]. При нулевой нагрузке зависимость имеет W
-
образную форму (рис. 40).
энергия
прогиб
D E F
Рис. 40. Характер зависимости энергии от состояния.
Состояния, соответствующие точкам D и F, устойчивы, а состояние, соответствующее точке Е, неустойчиво. Кривую можно разбить на три области: устойчивая, неустойчивая, устойчивая. Поэтому после того как линейка сбросила грузики, она прогнулась вниз, так как для прогиба вверх она должна преодолеть энергетический барьер (рис.41), а дополнительного воздействия извне в рассматриваемом случае нет [9.С.22].
энергетический барьер
новое исходное
состояние состояние
(пргиб вниз) (прогиб вверх)
Рис. 41. Энергетический барьер.
Так как нет внешнего воздействия, благодаря которому система может преодолеть энергетический барьер, то система подчиняется правилу запаздывания (или промедления).
Линейка может прогнется вверх, если на нее действует сила, направленная вверх (отрицательная нагрузка). Такое явление называется гистерезисом.
Зная характер зависимости прогиба от нагрузки, теперь можно объяснить, почему линейка внезапно изменила свою форму: изменилось ее состояние – оно перестало быть устойчивым (рис.42).
прогиб вверх увеличение нагрузки
критическая нагрузка прогиб вниз
Рис. 42. Изменение состояний.
Наблюдаемое явление (рис.42) имеет специальное название – катастрофа
, а теория, рассматривающая катастрофы, называется теорией катастроф
.
Теория катастроф позволяет математически задавать различные катастрофы и выполнять графические изображения, не только на плоскости, но и в пространстве. Рассмотрим зависимость поведения собаки от ее эмоционального поведения (рис.43). агрессия
гнев страх
Рис. 43. Поверхность состояния собаки.
В результате получаем поверхность
, которая характеризует зависимость агрессивность собаки от «количества» гнева и страха. Подобные поверхности неоднозначны
, то есть любому сочетанию переменных соответствует несколько положений – состояний собаки [9.С.32].
Поверхность имеет такую странную форму, чтобы это понять рассмотрим рис. 44.
агрессия
гнев страх
Рис. 44.Модель поведения собаки.
Стрелке 1
соответствует – возрастающее напряжение,
стрелке 2
– внезапная смена настроения.
Если внимательно рассмотреть рис. 45, то станет понятно, почему внезапно изменяется поведение животного: с начала собака убегает, а затем возвращается и нападает. Все зависит от того, как и в какой последовательности возрастают (или уменьшаются) страх и гнев животного. Собака может напасть, а потом неожиданно для вас обратиться в бегство.
В рассмотренной поверхности возможны следующие случаи (рис.46):
1. Поведение собаки определяется однозначно:
a) гнев без страха - нападение (а);
b) ни гнева, ни страха – индифферентное состояние (b);
c) страх без гнева – бегство.
2. Поведение собаки определяется однозначно: неустойчивое состояние, когда животное боится и раздражено, оно может напасть или убежать (d).
3.
а b c d
Рис. 46. Состояние собаки.
Поведение собаки можно рассмотреть на рис.47.
агрессия
гнев страх
Рис. 47.Модель поведения собаки.
Состояние собаки определяется линиями, огибающими точку Р. Поверхность состояния собаки можно сравнить с изменением потенциальной энергии при катастрофическом скачке линейки [9.C.36].
Графики, выполненные в фигурных стрелках (рис.48) универсальны. Они выражают и распределение потенциальной энергии, и вероятность состояния поведения животного, поэтому наиболее вероятное поведение имеет максимальную энергию (аналогично минимальной энергии линейки).
Рис. 48. Вероятностное распределение состояний.
Поверхность состояния – это распределение наиболее вероятностного состояния (рис.49) [1.C.136].
Рис.49.Поверхность.
Поверхность такого вида получила название сборка
. Это из типов элементарных катастроф. В теории катастроф проводится математическое исследование каждой элементарной катастрофы. Например, катастрофа сборки имеет вид F
(
x
;
a
,
b
)=+
x
4
+
ax
+
bx
2
.
Теперь, зная функциональную зависимость можете самостоятельно построить поверхность вручную или с помощью компьютера.
История создания теории катастроф (1час).
Лекцию об истории создания теории катастроф надо начинать с механики. В 1686 году Исаак Ньютон рассмотрел движение простого маятника в воздухе и воде («Математические начала натуральной философии»). Затухающие колебания такого маятника [1.C.11]. Рассмотренные колебания являются затухающими (рис.50). например неустойчивой системы.
A
Рис.50. График затухающих колебаний.
В 1744 году Леонард Эйлер использовал созданное им математический аппарат (вариационное исчисление) для определения равновесных состояний сжатой упругой колонны [1.C.11].
Жозеф Луи Лагранж в 1788 году в своей работе доказал, что минимум полной потенциальной энергии системы является достаточным для устойчивости (рис.51).
энергия
состояние
Рис. 51. Зависимость энергия-состояние.
Наука в 18-19 веках очень быстро развивалась, и возникали различные направления в её отраслях. Анри Пуанкаре стал основоположником теории бифуркаций. С простым примером бифуркации (удвоение) вы неоднократно сталкивались (у=х2
). Задача, стоявшая перед учеными заключалась не только рассмотреть окружающий мир, но описать его структуру, движение математически. Одним из ученых, сумевший это сделать был, А.М.Ляпунов. В современных вузах премии для молодых ученых в области механики-математики носят его имя. Ряд ученых в первой половине 20 века смогли рассмотреть и описать динамические системы: А.Пуанкаре, А.Андронов, А.Понтрягин. В настоящее время достижения Пуанкаре представляют большую главу основ механики. Дальнейшее исследование связано с реакцией упругих тел и конструкций на некоторые виды механической нагрузки. Можно отметить важное обобщение Хатчинсона, относящееся к неустойчивости конструкций, нагружаемых в пластической области. Результаты этих научных трудов используются в строительстве и эксплуатации современных зданий, мостов, метро.
Необходимо отметить работы Хаслера Уитни, Рене Тома. К. Зиман ввел термин «теория катастроф». Р. Тома и К. Зиман провели «параллели» между теорией катастроф и исследованиями Эйлера и Лагранжа. Это имеет большой значение для различных инженерных работ. Математические статьи Р. Тома были переизданы массовым тиражом в карманной серии. В 70-х гг. вышли работы Томпсона и Ханта.
В 80-е гг. появляются книги о теории катастроф и её применении: под редакцией А.В. Гапонова-Грехова и М.И. Рабиновича «Нелинейные волны. Структуры и бифуркации», «Нелинейные волны. Динамика и эволюция». Американский физик Р. Гилмор показал приложение теории катастроф в сфере точных наук.
В настоящее время нелинейной динамикой в России (и в частности теорией катастроф) занимается Институт радиотехники и электроники и его региональные отделения, а так же различные научные центры, например, Ижевский НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика».
Член-корреспондент РАН Д.И. Трубецков разработал 4-х годичный курс «Как работают и думают физики», включающий в себя такие дисциплину как «Теория катастроф».
Кроме этого, с теорией можно познакомиться через Интернет, а именно: http://scintific.narod.ru/nlib/books, http://rcd.ru
Однако это далеко неполный перечень ученых, внесших вклад создание и применение теории катастроф, так как сама теория связана и с теорией колебаний и волн, и с теорией динамических систем, и с динамическим хаосом, да и с экономикой, общей физикой, биологией, экологией, психологией и ещё с рядом наук.
Машина катастроф Зимана (1 час).
Машину катастроф каждый может легко изготовить сам. Для этого нужно взять доску (А)
(см. рис.52) и, вырезав из картона диск (В),
прикрепить его иглой в центре (С) к доске так, чтобы он мог свободно вращаться. Другая игла (
D
)
втыкается только в диск на его краю, а третья (Е)
— только в доску. Чтобы закончить сборку машины нужно еще две ленты из легко растяжимой резины (F, G), карандаш (H) и лист бумаги. Подле того, как игла на краю диска соединена с неподвижной иглой и с карандашом резинками, мы ставим, острие карандаша в некоторой точке на листе бумаги и тем натягиваем резинки.
Диск устанавливается в некотором положении. Теперь при движении острия карандаша диск будет поворачиваться.
H F
D
G
A E C B
Рис.52. Машина катастроф Зимана
При некоторых положениях острия карандаша малое изменение его положения способно вызвать «катастрофу», т. е. скачок диска в новое положение. Если отметить на листе бумаги места всех таких «катастроф», то получается «кривая катастроф» (К).
Полученная кривая катастроф имеет четыре точки возврата. При пересечении кривой катастроф скачок может происходить, а может и не происходить, в зависимости от того, по какому пути остриё карандаша обходило точки возврата кривой катастроф [3C.14].
Состояние машины катастроф описывается тремя числами.
Положение острия карандаша задается двумя координатами (они называются управляющими параметрами
).
Положение диска определяется еще одним числом углом поворота, называемым также внутренним
параметром
системы. Если все три числа заданы, и определены степени растяжения резинок и, следовательно, определена потенциальная анергия всей системы. Диск поворачивается так, чтобы эту энергию минимализировать (по меньшей мере, локально). При фиксированном положении карандаша потенциальная энергия — функция от положения диска, т. е. функция, заданная на окружности. Эта функция может иметь в зависимости от значений управляющих параметров один или несколько минимумов (рис. 53).
потенциальная энергия
Рис.53. Потенциальная энергия машины катастроф
Если при изменении управляющих параметров положение минимума меняется плавно, то скачка не происходит. Скачок происходит при тех значениях управляющих параметров, для которых локальный минимум исчезает, слившись с локальным максимумом (рис. 53); после скачка диск оказывается в положении, отвечающем другому локальному минимуму
Рассмотрим трехмерное пространство состояний машины. Состояния, при которых диск находится в равновесии, образуют в этом пространстве гладкую поверхность.
Если проектировать эту поверхность на плоскость управляющих параметров вдоль оси внутреннего параметра, то получится следующая проекция – кривая катастроф (рис. 53) [3C.15].
Рис.53. Поверхность равновесий машины катастроф
Применение теории катастроф (3 часа)
Согласно геологическим данным,
поверхность Земли хранит следы многих оледенений. В течение этих периодов огромные пространства Северного полушария круглый год были покрыты льдами. За последний миллион лет оледенения наступали примерно каждые 100 тыс. лет, причем их продолжительность значительно превышала длительность (10—12,5 тыс. лет) межледниковых периодов. Продвижение и отступление ледников сопровождались сменой климатических условий, что в свою очередь приводило к миграции в широких масштабах как растительных, так и животных видов. Установлено, что изменения климата в более поздние времена (развитие растительного покрова Исландии, оледенение Гренландии) приводили также к миграции людей. Довольно часто климатические изменения порождали экономические трудности. Так, внезапное похолодание, наступившее в конце «малого ледникового периода», явилось причиной катастрофического неурожая картофеля в Ирландии. Следствием изменения климатических условий, происходившего в более отдаленные времена, были проблемы социального характера, связанные с расцветом и упадком государств, изменением значимости геополитических районов (см. труды Плутарха и Ветхий Завет). В связи с этим, естественно, важно знать, произойдут ли и когда именно колебания или изменения климата в будущем. Климатические изменения, подобные тем, которые имели место в «ледниковом периоде», в наше время вызвали бы огромные экономические трудности. Резкое снижение мирового производства продуктов питания, связанное с охлаждением земного шара, серьезно повлияло бы на демографический баланс, не говоря уже о том, что увеличение плотности народонаселения, обусловленное новым продвижением края северных полярных льдов до 40° северной широты, имело бы отрицательные последствия [11.C.36].
Рассмотрим движение Земли по орбите вокруг Солнца. Земля движется по
эллиптической орбите и, казалось бы, она остается неизменной.
Однако за прошедший миллион лет эксцентриситет (отношение большой и малой полуосей) изменялся от 0,00 примерно до 0,06 (рис. 54) (заштрихованному шарику соответствует эксцентриситет равный нулю). Это изменение не описывается гармоническими (с одной частотой) колебаниями; имеется спектр частот, причем преобладают частоты, которым соответствуют периоды колебаний от 90 до 105 тыс. лет, в среднем около 93 тыс. лет (рис. 54). В данное время эксцентриситет орбиты мал. Количество энергии, поступающей в верхние слои атмосферы при почти круговой орбите и при максимальном эксцентриситете, различается на 0,1 %. Этого вполне достаточно для изменения средней температуры земной поверхности на несколько Кельвинов, что в свою очередь достаточно для возникновения экстремальных климатических условий [12.C.11].
Полюс эклиптики
эксцентриситет
Тыс. лет до н.э.
0 100 200 300 400 500
Рис. 54.а — изменения орбиты Земли вызваны влиянием других планет, которые лежат в одной плоскости. Эксцентриситет изменяется от 0,00 до 0,06;
б —
изменение эксцентриситета земной орбиты на протяжении последних 500 тыс. лет.
Для подготовки к конференции можно предложить учащимся ряд исследовательских задач:
1. Построить график зависимости появления ледохода на реке от температуры, проанализировать полученный график (рис.55).
ледоход
t
,
0
C
Рис.55. График зависимости появления ледохода на реке от температуры
2. Исследовать функции F
(
x
;
a
,
b
)=+
x
4
+
ax
+
bx
2
, F
(
x
;
a
,
b
)=
x
3
+
ax
.
3. Построить кривую Ван-дер-Ваальса и поверхность, определяющую состояние системы газ-жидкость. Показать, что в результате теплового возбуждения система может преодолеть энергетический барьер
Для подготовки к конференции можно предложить учащимся ряд практических задач:
1. Изготовить машину катастроф Зимана и показать зависимость полученной кривой от упругости и длины резинки и диаметра круга.
2. Выполнить модели различных зависимостей.
Заключение
В дипломной работе, посвященной теории катастроф и ее приложениям были получены следующие результаты:
1. изучена математическая теория катастроф;
2. рассмотрены элементарные катастрофы Р.Тома;
3. самостоятельно рассмотрено катастрофа складки и сборки;
4. собраны литературные сведения по приложениям теории катастроф в различных областях знаний;
5. даны методические рекомендации для проведения факультативных занятий по теории катастроф для учащихся старших классов;
6. выделена важная роль рассматриваемой теории в формировании научного мировоззрения.
Список используемой литературы:
1. Дж. М.Т. Томпсон. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985, 254 с.
2. Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов.-М.: Наука, 1989. – 134 с.
3. Арнольд В.И. Теория катастроф.-3-е изд., доп.-М.:Наука, 1990.-128 с.
4. Т.Постон, И.Стюарт. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980, 608 с.
5. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1988, 345 с.
6. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности: пер. с англ. Кушниренко А. Г. под редакцией Арнольда В. И.-М.: Мир, 1977.-290 с.
7. Журавлёв Г.Е. Системные проблемы развития математической психологии.-М.: Наука, 1983.
8. Э. Найман. Теория хаоса. 12 с.
9. Стюарт И. Тайны катастрофы: пер. с франц.-М.: Мир, 1987.-76 с.
10. Баландин Р. Видения и провидения Вернадского В.И.-М.: Чудеса и приключения №11, 1997 с.23-24.
11. Урсул А., Комаров В. Путь в ноосферу. М.: Чудеса и приключения №9, 1996 с.36-38.
12. Орлов А. Погоду – на линию огня!-М.: Чудеса и приключения №6, 2002 с.11.
13. Баландин Р. О жизни вечной.-М.: Чудеса и приключения №12, 2000 с.45-46.
14. Зигуненко С. Как устроена машина времени? - Мн.: Полымя, 1996 254 с.
15. Рюэль . Случайность и хаос. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика»,2001. 456 с.