| УДК: 681.326 | Министерство образования и науки Украины Национальный технический университет “Харьковский политехнический институт” Кафедра физического материаловедения для электроники и гелиоэнергетики (ФМЭГ) |
РЕФЕРАТ
Эллипсометрия отраженного света
по дисциплине образовательно-профессиональной программе подготовки магистров по специализации 8.090102 – 02 “Физическое материаловедение для электроники и гелиоэнергетики”
“Специальные разделы оптической спектроскопии многослойных полупроводниковых структур”
Преподаватель,
доцент кафедры ФМЭГ В.И. Шкалето
Исполнитель,
студентка группы ФТ-18б О.В. Костылева
2003
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………………………….
Поляризация света. Методы описания состояния поляризации светового излучения……………………………………………………………………………
Эллипсометрия – метод проведения оптических исследований состояния поляризации светового излучения. Основные соотношения, используемые в эллипсометрии…………………………………………………...
Вывод основных соотношений между параметрами эллипсометрии и оптическими свойствами пленки на подложке…………………………………..
Примеры расчета зависимостей параметров эллипсометрии от величины комплексного показателя преломления пленки на подложке для различных толщин пленок при помощи программы MathCad………………….
Список литературы……………………………………………………………...
Введение
Эллипсометрия – совокупность методов изучения поверхностей жидких и твердых тел по изменению состояния поляризации светового пучка, отраженного этой поверхностью и преломленного на ней. Падающий на поверхность плоско поляризованный свет приобретает при отражении и преломлении эллиптическую поляризацию вследствие наличия тонкого переходного слоя на границе раздела сред. Зависимость между оптическими постоянными и параметрами эллиптически поляризованного света устанавливается на основании формул Френеля. На принципах эллипсометрии построены методы чувствительных бесконтактных исследований поверхности жидкости или твердых веществ, процессов адсорбции, коррозии и др. В качестве источника света в эллипсометрии используется монохроматическое излучение зеленой линии ртути, а в последнее время – лазерное излучение, что дает возможность исследовать микронеоднородности на поверхности изучаемого объекта. Получило развитие также новое направление спектральной эллипсометрии в широком интервале длин волн, существенное при исследованиях атомного состава неоднородных и анизотропных поверхностей и пленок.
Основной задачей эллипсометрии является исследование строения отражающей системы и определение ее параметров посредством анализа изменений состояния поляризации светового пучка в результате отражения. Количественной мерой этих изменений служат поляризационные углы, определяемые основным уравнением эллипсометрии. Измеряя поляризационные углы, из основного уравнения эллипсометрии можно определить два любых неизвестных параметра отражающей системы.
Первоначально эллипсометрия ограничивалась нахождением оптических постоянных различных материалов и измерением толщины однородных поверхностных пленок, причем для определения толщин использовались линейные приближения Друде, справедливые лишь в области малых толщин.
С появлением новой вычислительной техники начинается период интенсивного развития эллипсометрии. Становится возможным не только измерение толщины пленок, но и решение задачи одновременного определения более чем двух параметров отражающей системы. При этом эллипсометрия используется уже не только для исследования металлов и окисных пленок на них, но и широко применяется для изучения тонкопленочных систем, изготавливаемых на основе полупроводниковых и диэлектрических материалов.
С разработкой автоматических эллипсометров появились большие возможности применения эллипсометрических методов в исследованиях адсорбционных и каталитических процессов, химии поверхностных реакций, исследование биологических объектов и т.д. Большие перспективы открылись перед эллипсометрией для бесконтактного и неразрушающего контроля за технологическими процессами микроэлектроники, интегральной оптики и других технических направлений.
В последнее время наметились пути для решения таких важных задач эллипсометрии, как построение точной эллипсометрии учитывающей свойства реального (сходящегося и немонохроматического) светового пучка, эллипсометрии анизотропных сред.
1 Поляризация света. Методы описания состояния поляризации светового излучения.
Вектора напряжённости электрического поля E и напряжённости магнитного поля H перпендикулярны между собой и по отношению к направлению распространению света. Физическая характеристика оптического излучения, описывающая поперечную анизотропию световых волн, называется поляризацией света. Поскольку векторы E и H электромагнитной волны перпендикулярны друг другу, для полного описания состояния поляризации светового пучка требуется знание поведения лишь одного из них. Обычно для этой цели выбирается вектор E.
Свет, испускаемый каким-либо атомом или молекулой, всегда поляризован. Но макроскопические источники света состоят из огромного числа таких частиц-излучателей. При этом пространственные ориентации векторов Е и моменты актов испускания света отдельными частицами в большинстве случаев распределены хаотически. Поэтому в общем излучении направление Е в каждый момент времени непредсказуемо. Подобное излучение называется неполяризованным, или естественным светом.
Свет называется полностью поляризованным, если две взаимно перпендикулярные компоненты (проекции) вектора E светового пучка совершают колебания с постоянной во времени разностью фаз. Обычно состояние поляризации света изображается с помощью эллипса поляризации – проекции траектории конца вектора на плоскость, перпендикулярную лучу (рис 1.1). Проекционная картина полностью поляризованного света в общем в случае имеет вид эллипса с правым или левым направлением вращения вектора E во времени. Такой свет называется эллиптически поляризованным. Наибольший интерес представляют предельные случаи эллиптической поляризации – линейная (плоская) электромагнитная волна, когда эллипс поляризации вырождается в отрезок прямой линии, определяющий положение плоскости поляризации, и циркулярная (или круговая), когда эллипс поляризации представляет собой окружность. В первом случае свет называется линейно поляризованным, а во втором – право- или лево-циркулярно поляризованным в зависимости от направления вращения вектора E.
Пусть на поверхность раздела двух сред (рис. 1.2) падает плоская монохроматическая электромагнитная волна
(1.1)
с некоторым состоянием поляризации. Отраженная от границы раздела волна
(1.2)
в общем случае имеет другую поляризацию. Изменения в результате отражения состояния поляризации описывается параметрами, которые мы рассмотрим.
Электрическое поле в каждой волне представим в виде суммы двух компонент:
(1.3)
где и – единичные векторы, первый из которых лежит в плоскости падения (p-поляризация), а второй перпендикулярен этой плоскости (s-поляризация), причем оба они перпендикулярны соответствующему волновому вектору (см. рис. 1.2). Из соображений симметрии, вытекающих из изотропности двух сред, а также полной однородности в плоскости xy следует, что если электрическое поле имеет только p-компоненту или только s-компоненту, то все сказанное относится к электрическому полю отраженной и преломленной волн. Это означает, что, решая задачу об отражении волны, мы можем рассматривать независимо p- и s-компоненты поля.
2 Эллипсометрия – метод проведения оптических исследований состояния поляризации светового излучения. Основные соотношения, используемые в эллипсометрии.
Эллипсометрия – совокупность методов изучения поверхностей жидких и твердых тел по состоянию поляризации светового пучка, отраженного этой поверхностью и преломленного на ней.
Основной задачей эллипсометрии, возникшей еще в конце прошлого века и связанной с именами Друде и Релея, является исследование строения отражающей системы и определение ее параметров посредством анализа изменений состояния поляризации светового пучка в результате отражения. Количественной мерой этих изменений служат поляризационные углы, определяемые основным уравнением эллипсометрии.
При эллипсометрическом исследовании реальных отражающих систем обычно исходят из некоторых упрощающих предположений относительно свойств самих отражающих систем, а также свойств оптических элементов и светового пучка эллипсометра. Эти упрощения чаще всего сводятся к следующему:
В отражающих системах все границы раздела – геометрические поверхности. В действительности граница раздела между двумя различными средами представляет собой не геометрическую поверхность, а некоторый переходной слой. Однако во многих случаях, когда толщина переходного слоя сравнима с междуатомными расстояниями, нет необходимости учитывать этот слой. В данной работе основное уравнение эллипсометрии будет получено для случая идеально резкой границы раздела (рис. 1.2).
Все оптические элементы эллипсометра идеальные. Предполагается, что свет проходит через оптические элементы (компенсатор, линза) без потерь на отражение. Это упрощает описание самих элементов и устраняет паразитные световые пучки между элементами, способные вносить искажения в результаты измерения параметров отражающих систем. Мы будем исходить именно из таких идеализированных свойств оптичесих элементов.
Реальный световой пучок заменяется плоской монохроматической электромагнитной волной, т.е. игнорируются такие его свойства, как немонохроматичность и сходимость. Такая идеализация позволяет наиболее просто проанализировать измерительные схемы эллипсометра и упростить интерпретацию экспериментальных результатов.
В прямоугольной системе координат (рис 1.2), связанной с p- и s-направлениями, электрическое поле как в падающей, так и в отраженной волне запишется в виде:
(2.1)
(2.2)
где амплитуды , и , в общем случае комплексны. Каждая из систем (2.1) и (2.2) представляет собой параметрическую запись поляризационного эллипса соответствующей волны. Угловые характеристики эллипса (соотношение полуосей a и b и угол между главной осью и p-направлением (рис 1.1)) для каждой из этих волн полностью определяются отношением модулей и разностью фаз p- и s-составляющих комплексной амплитуды или просто отношением p- и s-составляющих комплексной амплитуды. Иными словами, состояние поляризации падающей и отраженной волн полностью определяется комплексными отношениями
(2.3)
В изотропном случае p(s)-составляющая комплексной амплитуды отраженной волны пропорциональна p(s)-составляющая комплексной амплитуды падающей волны, т.е.
(2.4)
(2.5)
Коэффициенты отражения (в простейшем случае отражения от идеальной границы однородных полубесконечных сред это коэффициенты Френеля) являются функциями оптических постоянных отражающей системы, толщин слоев, а также угла падения света на систему (0) и длины волны света (). В общем случае они комплексны, т.е. их можно представить в виде:
(2.6)
(2.7)
Разделив соотношение (2.4) на соотношение (2.5), получим:
(2.8)
Из (2.8) непосредственно видно, что относительный коэффициент отражения
(2.9)
представляет собой как раз ту величину, которая описывает изменение состояния поляризации света в результате отражения. В общем случае эта величина комплексная, поэтому можем записать
(2.10)
где
(2.11)
(2.12)
Углы и , характеризующие относительный коэффициент отражения, обычно называют поляризационными углами отражающей системы. Находя величины и для конкретной отражающей системы, при помощи уравнения (2.10) устанавливаем связь между поляризационных углов и с оптическими постоянными и толщинами плоскопараллельных слоев этой системы, а также углом падения света на систему (0) и длиной волны света (). Уравнение (2.10) называется основным уравнением эллипсометрии.
Комплексное основное уравнение эллипсометрии (2.10) представляет собой совокупность двух действительных уравнений, которые удобно записать в виде:
(2.13)
(2.14)
где
(2.15)
Измеряя углы и и решая совместно уравнения (2.13) и (2.14), можно определить два любых неизвестных параметра отражающей системы.
Первоначально эллипсометрия ограничивалась нахождением оптических п
С появлением новой вычислительной техники начинается период интенсивного развития эллипсометрии. Становится возможным не только измерение толщины пленок, но и решение задачи одновременного определения более чем двух параметров отражающей системы. При этом эллипсометрия используется уже не только для исследования металлов и окисных пленок на них, но и широко применяется для изучения тонкопленочных систем, изготавливаемых на основе полупроводниковых и диэлектрических материалов.
С разработкой автоматических эллипсометров появились большие возможности применения эллипсометрических методов в исследованиях адсорбционных и каталитических процессов, химии поверхностных реакций, исследование биологических объектов и т.д. Большие перспективы открылись перед эллипсометрией для бесконтактного и неразрушающего контроля за технологическими процессами микроэлектроники, интегральной оптики и других технических направлений.
Широкое внедрение эллипсометрии в самые разнообразные области науки и техники предъявляет повышение требований к точности эллипсометрических измерений и к правильности их интерпретации. В принципе метод эллипсометрии обладает высокой точностью и повышенной чувствительностью к изменению каждого параметра отражающей системы. Например, Арчер и Гобели при исследовании хемосорбции кислорода на поверхности кремния эллипсометрическим методом смогли измерить адсорбционные покрытия с точностью до 0.02 долей монослоя.
Что касается интерпретации результатов эллипсометрических измерений, то здесь наиболее универсальный и надежный путь – численное решение основного уравнения эллипсометрии для целого ряда моделей отражающих систем и набора параметров для этих моделей. Результаты таких расчетов, по существу, дают в руки экспериментатора набор гипотез относительно поведения поляризационных углов и в тех или иных конкретных ситуациях. Именно сопоставление результатов этих расчетов при варьировании одного из параметров модели отражающей системы с результатами измерений поляризационных углов при изменении тех же параметров реальной отражающей системы отражающей системы позволяет отбросить неверные гипотезы и построить адекватную модель той или иной исследуемой отражающей системы.
3 Вывод основных соотношений между параметрами эллипсометрии и оптическими свойствами пленки на подложке.
Рассмотрим отражение плоской монохроматической электромагнитной волны от системы, представляющей собой однородную полубесконечную среду с плоскопараллельным однородным слоем на ней (рис. 3.1). Их диэлектрические проницаемости соответственно 1 и 2, причем
(3.1)
где n1 и n2 – показатели преломления; и – коэффициенты поглощения. Падающая и отраженная волны распространяются в однородной полубесконечной среде, которую будем считать прозрачной, т.е. ее диэлектрическая проницаемость
(3.2)
Все среды предполагаются изотропными.
На верхней и нижней границах плоскопараллельного слоя наблюдаются многократные отражения и преломления (рис. 3.1). Все лучи, идущие в данной среде в одном направлении (им отвечает один и тот же множитель , но разные комплексные амплитуды), интерферируют между собой, давая результирующее поле. На рис. 3.2 изображены именно такие результирующие поля и падающее поле , представляющие собой плоские волны:
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
где – комплексные амплитуды соответствующих волн.
В среде общее поле представляется суммой:
(3.8)
в среде 1 –
(3.9)
в среде 2 –
(3.10)
Аналогичным образом запишутся и магнитные поля (соответствующие вектора и снабдим одинаковыми индексами).
Система координат (x, y, z) выбрана так, что плоскости (x, z) и (x, y) совпадают соответственно с плоскостью падения и отражающей поверхностью (см. рис. 3.1 и 3.2). Из-за полной однородности в плоскости (x, y) зависимость решения уравнения поля от этих координат должна быть одинаковой во всем пространстве. Это означает, что компоненты и волнового вектора для всех пяти волн одни и те же. Учитывая это обстоятельство и используя выражение для волнового вектора
(3.11)
а также очевидную формулу
(3.12)
запишем в координатной системе (x, y, z) (ось y перпендикулярна плоскости падения) следующие соотношения для волновых векторов :
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
где – угол падения света на систему.
Для определения амплитуд плоских волн (3.3) – (3.7) обратимся к следующим граничным условиям на поверхностях раздела: и . Граничные условия требуют непрерывности тангенциальных составляющих и . В рассматриваемом случае тангенциальными составляющими полных векторов и являются их проекции на оси x и y. Исходя из выражений (3.8) – (3.10), определяющих полное поле в каждой среде, и используя формулы (3.3) – (3.7), а также (3.15) и (3.16), запишем граничные условия на каждой поверхности раздела.
При :
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
При :
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
Из уравнений (3.19) – (3.26) естественно выпал множитель – общий для всех волн.
Используя известные для плоской монохроматической электромагнитной волны соотношения
(3.27)
(3.28)
выразим входящие в граничные условия (3.19) – (3.26) x- и y-составляющие магнитного поля через x- и соответствующего электрического поля. Из выражений (3.27) и (3.28), принимая во внимание равенство нулю y-составляющей волнового вектора, имеем;
(3.29)
(3.30)
(3.31)
Подставляя (3.31) в (3.30), находим:
(3.32)
Используя формулы (3.11) и (3.15) – (3.18), запишем соотношения (3.29) и (3.32)для каждой из пяти плоских волн:
(3.33)
(3.34)
(3.35)
(3.36)
(3.37)
где
(3.38)
Запишем теперь граничные условия (3.19) – (3.26), выразив из них магнитное поле через электрическое согласно формулам (3.33) – (3.37) и несколько изменив порядок следования этих условий:
(3.39)
(3.40)
(3.41)
(3.42)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
(3.46)
Таким образом, получена система для восьми линейных уравнений, позволяющая найти x- и y-составляющие комплексных амплитуд четырех плоских волн через x- и y-составляющие амплитуды падающей волны. Эта система распадается на две независимые подсистемы: (3.39) – (3.42) и (3.43) – (3.46). Из первой подсистемы выражаем x-составляющие амплитуд четырех плоских волн через , а из второй подсистемы – y-составляющие тех же амплитуд через :
(3.47)
(3.48)
где ; и – определители первой и второй подсистем соответственно; – определитель, отличающийся от заменой i-го столбца свободным столбцом первой подсистемы с исключенным общим множителем ; – определитель, отличающийся от заменой i-го столбца свободным столбцом первой подсистемы с исключенным общим множителем .
Электрическое поле в падающей волне представим в виде суммы двух компонент, одна из которых лежит в плоскости падения (p-составляющая), а другая перпендикулярна ей (s-составляющая):
(3.49)
где и – единичные векторы, перпендикулярные волновому вектору , причем лежит в плоскости падения, перпендикулярен ей и по направлению совпадает с осью y (см. рис. 3.2). Из (3.49) имеем:
(3.50)
(3.51)
Подставляя в соотношение (3.47) и (3.48) и , определенные формулами (3.50) и (3.51), находим:
(3.52)
(3.53)
Из выражений (3.52) и (3.53) видно, что если падающая волна содержит только p-компоненту или s-компоненту электрического поля, то во всех остальных волнах вектор также лежит в плоскости падения или перпендикулярен ей. Это как раз тот вывод, который следует и из соображений симметрии, обусловленных изотропностью всех сред и полной однородностью в плоскости (x, y).
Нас интересует связь отраженной волны с падающей. Представим электрическое поле в отраженной волне в виде суммы p- и s-составляющих:
(3.54)
где имеет прежний смысл, и – единичный вектор, перпендикулярный волновому вектору и лежащий в плоскости падения. Из (3.54) находим:
(3.55)
(3.56)
Подставляя и из (3.55) и (3.56) в формулы (3.52) и (3.53), написанные для отраженной волны (i = 1), получаем:
(3.57)
(3.58)
Таким образом, коэффициенты отражения p- и s-составляющих падающей волны, введенные в разделе 2 (формулы 2.3), для рассматриваемой отражающей системы имеют вид:
(3.59)
(3.60)
Определители , и , , входящие в формулы (3.59) и (3.60), после несложного расписывания принимают следующий вид:
(3.61)
(3.62)
(3.63)
(3.64)
Подставляя найденные значения определителей в формулы (3.59) и (3.60), приходим к окончательным выражениям для коэффициентов отражения:
(3.65)
(3.66)
где
(3.67)
(3.68)
(3.69)
(3.70)
(3.71)
Здесь и – коэффициенты отражения Френеля для p-компоненты электрического поля, относящиеся соответственно к границам между средами и и и ; и – коэффициенты отражения Френеля для s-компоненты электрического поля, относящиеся соответсвенно к тем же границам, что и и .
И, наконец, записывая относительный коэффициент отражения
(3.72)
приходим к основному уравнению эллипсометрии (см. формулу (2.10)) для отражающей системы однородная подложка – однородная пленка:
(3.73)
Поляризационные углы и , определяемые основным уравнением эллипсометрии (3.73), зависят от толщины пленки , оптических характеристик пленки, подложки и внешней среды () а также от угла падения света на систему () и длины волны света ().
4 Пример расчета зависимостей параметров эллипсометрии от величины комплексного показателя преломления пленки на подложке для различных толщин пленок при помощи программы MathCad.
Рассмотрим систему воздух – золотая пленка – стеклянная подложка, т.е. . Угол падения возьмем равным 30 ().
Данные для комплексного коэффициента преломлении возьмем из справочной литературы (см. рис. 4.1).
Рассчитаем углы преломления в пленке и подложке ( и ) из соотношения Синелиуса:
Рассчитаем коэффициенты и для всех сред (воздух, пленка, подложка):
Затем рассчитываем коэффициенты отражения Френеля:
Рассчитаем частоту:
волновой вектор:
и величину :
Затем рассчитаем коэффициенты отражения:
И, наконец, рассчитаем поляризационные углы:
Задавая толщину пленки как параметр, построим графики зависимостей поляризационных углов от величины комплексного показателя преломления пленки для различных толщин пленок, которая представлена на рисунках 4.2 и 4.3.
Список литературы.
Ржанов А.В., Свиташев К.К. и др. Основы эллипсометрии. – Новосибирск: Наука, 1979.
Алгоритмы и программы для численного решения некоторых задач эллипсометрии. Под. ред. Ржанова А.В. – Новосибирск: Наука, 1980.
Савельев В.И. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и магнетизм.Волны. Оптика. – 3-е изд., испр. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.
Nf – комплексный показатель преломления пленки;
Nk<0> – длина волны, мкм.
Рисунок 4.1 – Зависимость комплексного показателя преломления пленки золота от длины волны
Nf – комплексный показатель преломления пленки;
1 – поляризационный угол при d1 = 5 нм;
2 – поляризационный угол при d2 = 25 нм;
3 – поляризационный угол при d3 = 50 нм;
4 – поляризационный угол при d4 = 75 нм;
5 – поляризационный угол при d5= 100 нм.
Рисунок 4.2 – Зависимость поляризационного угла от величины комплексного показателя преломления пленки для различных толщин пленок
Nf – комплексный показатель преломления пленки;
1 – поляризационный угол при d1 = 5 нм;
2 – поляризационный угол при d2 = 25 нм;
3 – поляризационный угол при d3 = 50 нм;
4 – поляризационный угол при d4 = 75 нм;
5 – поляризационный угол при d5= 100 нм.
Рисунок 4.3 – Зависимость поляризационного угла от величины комплексного показателя преломления пленки для различных толщин пленок