Ульяновский государственный университет
Кафедра алгебро-геометрических вычислений
Л.А. Штраус, И.В. Баринова
П Р Е Д Е Л Ы
Методические указания для студентов факультета математики
и информационных технологий и факультета управления
Ульяновск-2007
Штраус Л.А., Баринова И.В. Пределы. Ульяновск: УлГУ.-2007.
Методические указания составлены в соответствии с учебными программами курсов математического анализа для факультета математики и информационных технологий и факультета управления и относятся к разделу «Введение в анализ». Они будут способствовать усвоению теоретического материала и формированию вычислительных навыков у студентов первого курса по одной из первых тем дисциплины, преодолению разрыва между уровнем математической подготовки выпускников средней школы и требованиями, предъявляемыми к уровню знаний студентов. Рассматриваемые задачи занимают максимально широкий диапазон - от простейших упражнений, соответствующих сборнику [3](по которому можно составлять индивидуальные семестровые задания) и контролирующих формирование необходимых вычислительных навыков, до серьёзных задач из сборника [1]. В последнем случае предлагаемые решения классических задач не копируют решений из [2] и соответствуют логике изучения дисциплины. Некоторые понятия, обязательные для изучения на факультете математики и информационных технологий (верхний и нижний пределы последовательности, равномерная непрерывность функции и др.) не рассматриваются в данных указаниях. Однако многие из основных определений здесь приведены. Перед их применением необходимо ознакомиться с соответствующим материалом по конспекту лекций или учебнику.
Предел последовательности
Определение
. Число а называется пределом последовательности , если для любого существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство
( ).
Пример 1
. Доказать, что (указать ).
Решение.
Неравенство из определения предела последовательности, которое мы должны решить относительно n, принимает вид Пусть . Тогда, откуда , следовательно, в качестве N можно взять . Здесь - целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее . Если, например, , то условиям задачи отвечают натуральные числа , то есть
Пример 2
. Доказать, что (указать ).
Решение.
Неравенство принимает вид , Последнее неравенство преобразуется в квадратное. Однако вычисления можно упростить. Неравенство будет выполняться, если справедливо следующее двойное неравенство: Его левая часть заведомо выполняется при . Правая часть выполняется при . Следовательно, условиям задачи отвечают числа Отсюда
При вычислении предела в случае и (т.е. в случае неопределённости вида ) или в случае, и т.д. нельзя сразу воспользоваться арифметическими свойствами предела. Следует так преобразовать выражение , чтобы можно было использовать свойства предела и раскрыть неопределённость, т.е. найти предел. Полезным для этого в случае бывает вынести в числителе и знаменателе старшие степени за скобки или разделить числитель и знаменатель на старшую степень одного из них.
Пример 3.
Найти предел .
Решение.
Преобразуем исходное выражение, выполнив действия в числителе и знаменателе:
. Разделив числитель и знаменатель на их старшую степень , получим . Поскольку то по свойствам предела получаем
Вообще предел отношения двух многочленов переменной можно находить по правилу
(1)
так что в решении последнего примера можно было обойтись без деления на .
При вычислении пределов используют формулу бинома Ньютона
(2)
Также следует знать формулу ( «эн-факториал»- произведение натуральных чисел от 1 до n; например, ).
Пример 4
. Найти предел .
Решение.
Разделим числитель и знаменатель исходного выражения на -
старшую степень числителя и знаменателя. Действительно, показатель степени суммы равен наибольшему показателю степени слагаемых, поэтому для числителя он равен 2 (). Показатель степени произведения равен сумме показателей степеней сомножителей. Показатели степени выражений равны 1, поэтому показатель степени знаменателя равен 1+1=2. Тогда Поскольку при то , и по свойствам предела получаем
При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, часто используют приём перевода иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот с помощью формул сокращённого умножения
(3)
(4)
(5)
(первая и вторая из них получаются из третьей при и соответственно).
Так, например, если выражение содержит множитель , где и и их старшие степени и коэффициенты при них совпадают или эта разность стремится к нулю, полезно умножить числитель и знаменатель исходной дроби на , т.е. на выражение, сопряжённое к .
Пример 5
. Найти предел
Решение.
Имеем неопределённость.Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к числителю и воспользуемся формулой (3); далее разделим числитель и знаменатель на :
Теперь воспользуемся арифметическими свойствами предела и тем, что при
Замечание.
Сразу после (6) можно было записать, поскольку показатели степени слагаемых в знаменателе и равны 3, следовательно, старшая степень знаменателя есть и коэффициент при равен 2 (на языке асимптотического поведения функций выражение в знаменателе эквивалентно , то есть
, эквивалентно , а при вычислении пределов величины можно заменять на эквивалентные, см. с. ).
Пример 6
. Найти предел
Решение.
Имеем неопределённость. Воспользуемся формулой (4).Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, дополняющее числитель до разности кубов, то есть на соответствующий неполный квадрат суммы; далее разделим числитель и знаменатель на и воспользуемся арифметическими свойствами предела:
. (7)
Замечание. С
разу после (7) можно было записать (см. предыдущее замечание).
Пример 7
. Найти предел
Решение.
Поскольку , то . Первый сомножитель в числителе является суммой геометрической прогрессии. Найдём эту сумму по формуле : . Так как , то. Окончательно получаем
Пример 8
. Найти предел
Решение.
Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии : . Кроме того, , откуда . Подставляем полученные выражения в исходное:
.
Разделим теперь числитель и знаменатель последовательно на и :
поскольку
Пример 9.
Найти предел
Решение.
Обозначим Если - чётное, , то Если - нечётное, , то
Таким образом, при любом Поскольку то .
Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
.
Пример 10.
Доказать, что
Решение.
1-й способ
. Обозначим Заметим, что при Поэтому последовательность убывает при и, поскольку она ограничена снизу нулём, то имеет предел. Обозначим и перейдём к пределу в равенстве
2-й способ
. Используя формулу (2), получаем Отсюда Поскольку , из последнего неравенства следует, что
3-й способ
. Найдём , при которых выполняется неравенство Следовательно, при
, то есть . Поскольку то из последнего неравенства следует, что .
Пример 11.
Доказать, что последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел .
Второй замечательный предел
задаётся формулами , , где
или формулой (). Он применяется, в частности, при вычислении пределов
, где т.е. в случае неопределённости вида
Пример 12.
Найти предел
Решение.
Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида Выделяем в исходном выражении формулу и вычисляем предел.
Пример 13.
Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности
Пример 14
. Доказать, что
Решение
. Покажем, что при любом
Действительно, это неравенство равносильно неравенствам
Последнее неравенство верно, поскольку последовательность
убывает(см. пример ) и её предел равен Тогда
Поскольку то и
Пример 15.
Для нахождения применяется следующий процесс: произвольно,
(8)
Доказать, что
Решение
. Из известного неравенства , связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел, получаем, что для любого Теперь убедимся в том, что последовательность не возрастает. Действительно, неравенство то есть , равносильно , . В справедливости последнего неравенства мы убедились выше. По теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел , который находим, переходя в (8) к пределу: , .
Пример 16.
Последовательность определяется следующим образом:
, Найти .
Решение
. Оценим разность между и числом , являющимся корнем уравнения : , . Применяя полученное неравенство к разности и т.д., получим , .
Поскольку , то и .
Предел функции
Пусть Е- некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел, – предельная точка множества Е, - функция, определённая на Е.
Определение
. Число называется пределом функции в точке , если
ed>0
d Þ
e). (9)
Предел функции в точке обозначается символом . Во всех рассматриваемых далее примерах функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , поэтому мы будем использовать символ . Определение предела в случае аналогично приведённому ( его можно найти в учебнике или конспекте лекций).
Определение
. Функция есть бесконечно малая при , если
Функции и называются эквивалентными (f ~ g) при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где .
Определение
. Функция есть бесконечно малая относительно при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где При этом пишут Если при этом g- бесконечно малая, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g.
Справедливы следующие предложения.
1. (f(х) ~ g(х)) при .
2. (f(х) ~ g(х)) при
Последнее правило не распространяется на суммы и разности функций, кроме отдельных случаев, например
3. Если f(х) ~ах и g(х) ~bх и , то (f(х) - g(х)) ~(а- b)х.
При вычислении пределов функций полезно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при :
1. sinx~x , ,
2. arcsinx~x, arcsinx =x+o(x),
3. tgx~x , tgx=x+o(x),
4. arctgx ~x, arctgx=x+o(x),
5. ~x , ,
6. ~xlna, ,
7. ~x , ,
8. ~ , ,
9. ~ , ,
10. 1-cosx~, .
Пример
17
. Доказать (найти d(e)), что .
Решение.
Заметив, что квадратный трёхчлен имеет корни и , упростим исходное выражение:
.
Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид
e. Это неравенство будет выполняться, если . Следовательно, можно взять .
Прим
18
. Найти предел .
Решение.
При многочлены в числителе и знаменателе исходного выражения обращаются в нуль, следовательно, их пределы в точке равны нулю и мы имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение. Разложим многочлены в его числителе и знаменателе на множители, воспользовавшись тем, что является их корнем, с помощью группировки слагаемых или разделив их на х-2:
, .
Получаем Мы снова имеем неопределённость, так как при х=2 числитель и знаменатель последней дроби обращаются в нуль. Разлагаем их на множители, сокращаем и находим искомый предел: .
Пример 19
. Найти предел
.
Решение.
Имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение, умножив его числитель и знаменатель на множитель , сопряжённый к числителю.
Поскольку , то
.
Пример 20
. Найти предел .
Решение
. Подставив х=1 в выражения в числителе и знаменателе, убеждаемся в том, что имеется неопределённость вида . Воспользуемся формулами (3), (4). Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на множитель , дополняющий числитель до разности кубов (неполный квадрат суммы), и на множитель , сопряжённый к знаменателю. Получаем
Поскольку , , то
.
Пример 20
. Найти предел .
Решение.
Дважды применим приём умножения на сопряжённое выражение.
, поскольку при .
Далее,
.
Пример 21
. Найти предел a.
Решение.
Применим формулу (5) , положив в ней , . Умножив числитель и знаменатель исходной дроби на выражение и учитывая, что оно стремится к 5, получаем:
Пример 22
. Найти предел .
Решение.
1-й способ. Сделаем замену переменной:
По
предложению 3 выражение в числителе эквивалентно , следовательно,
2-й способ
. Сделаем замену переменной и воспользуемся формулой 9 из таблицы эквивалентных бесконечно малых.
Пример 23
. Вычислить предел функции
Решение
. Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем
Пример24
. Вычислить предел функции
.
Решение.
Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при , заменим их, кроме , на эквивалентные:
Получаем
.
Пример 25
. Вычислить предел функции .
Решение. 1-й способ
. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х: . Тогда по арифметическим свойствам предела . По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:
2-й способ. Поскольку , то . Точно так же и при . Воспользовавшись этими соотношениями, получаем
.
Пример 26
. Вычислить предел функции
.
Решение
. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель и учтём, что : . Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:
.
.
Пример 27. Вычислить предел функции
Решение
. 1-й способ.
Преобразуем числитель исходного выражения:
Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел и табличные эквивалентности, получаем:
++=
+ + = + 1 +
2-й способ.
Последовательно используя табличные формулы
при , получаем
Пример 28. Вычислить предел функции
Решение. Сделаем подстановку и воспользуемся табличными формулами:
Пример 29. Вычислить предел функции
Решение. Сделаем подстановку :
(10)
Преобразуем выражение
Подставляем полученное выражение в (10):
Пример 30.
Вычислить предел функции
Решение.
Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что есть бесконечно большая, а и -бесконечно малые при
Пример 31.
Найти предел
Решение.
Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня: Теперь используем табличное представление , где при , формулу приведения и то, что (непрерывность косинуса):
Пример 32.
Вычислить предел функции
Решение.
Величина является ограниченной, а x - бесконечно малой при . Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее, поэтому ; . Отсюда
Пример 33.
Вычислить предел функции
Решение.
Воспользуемся тем, что если
, то В нашем случае , Тогда
Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
Второй замечательный предел
(11)
применяется ( как и в случае последовательностей) при вычислении пределов , где т.е. в случае неопределённости вида
Следующие три примера решим различными способами.
Пример 34.
Вычислить предел функции
Решение
. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида Выделяем в исходном выражении формулу и вычисляем предел.
Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.
Пример 35.
Вычислить предел функции
Решение. Преобразуем логарифм исходного выражения, применив формулу
Отсюда Теперь находим искомый предел:
Для вычисления предела , где т.е. в случае неопределённости вида , можно использовать правило:
. (12)
Пример 36.
Вычислить предел функции
Решение.
Находим
Далее, и в силу (12) получаем
Пример 37. Последовательность функций определяется следующим образом: Найти
Решение. Легко заметить и доказать по индукции, что Оценим разность между и числом являющимся корнем уравнения . Последнее неравенство следует из того, чтоиПрименяя полученное неравенство к разности и т.д., получим то есть. Отсюда видно, что
Непрерывность функции
Определение. Функция , заданная на множестве Е
R, называется непрерывной в точке аЕ, если
(13)
Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 41); если же а - предельная для множества Е, то (13) означает, что
Пример 38.
Доказать, что функция непрерывна в точке а=2(найти ).
Решение. 1-й способ.
Поскольку
определена при всех значениях R,
то Е=
R и (13) принимает вид:
Переходим к неравенству для значений функции:
(14)
Пусть выполнено неравенство
то есть
Тогда
Если теперь потребовать, чтобы выполнялось неравенство ,
то неравенство (14) также будет выполнено:
Итак, для выполнения последнего неравенства потребовалось, чтобы
и .
Поэтому
2-й способ. Неравенство для значений функции выполнено, если выполнено неравенство
Последнее неравенство, (квадратное относительно ) выполнено, если Таким образом,
Рис.1
3-й способ. Найдём по графически (см. рис. 1) и получим такой же результат, как для второго способа (в этом легко убедиться самостоятельно).
Пример 39.
С помощью «» рассуждений доказать непрерывность следующих функций: 1) :2).
Решение.
1). Пусть Тогда если . Кроме того, должно выполняться условие ,откуда и При а=0 если ( в качестве окрестности нуля в множестве Е=D(f) берётся ).
2). Покажем, что для любых х и а
(15)
Из определения арктангенса и с помощью замены переменной получаем, что это неравенство равносильно неравенству
где (16)
Если х и а одного знака, то
Мы воспользовались известным неравенством Из него же следует справедливость (16) для х и а разного знака. Из неравенства (15)следует, что в качестве искомого можно взять : если , то получаем, что
Пусть функция
определена в точках некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.
Определение. Точка а называется точкой разрыва функции , если она не определена в точке а или определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.
Если а – точка разрыва и существуют конечные пределы и, то а называется точкой разрыва первого рода. Если при этом , то а называется точкой устранимого разрыва.
Точки разрыва функции , не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. Если при этом или , то а называется точкой бесконечного разрыва.
Если в некоторой полуокрестности слева или справа от а не определена, то для определения характера разрыва рассматривают только или .
Пример 40
. Найти точки разрыва функции
и исследовать их характер.
Решение.
В точках функция непрерывна, поскольку является произведением или частным непрерывных функций. В точке оба односторонних предела существуют и не равны: . Следовательно, - точка разрыва первого рода. В точке х=1 , следовательно, - точка разрыва второго рода
( точка бесконечного разрыва).
Пример 41
. Определить точки разрыва функции и исследовать их характер.
Решение.
Находим область определения функции: Отсюда или . На функция непрерывна: на множестве в силу арифметических свойств и непрерывности корня, а в точках - поскольку они являются изолированными (отдельными) точками . Таким образом, точками разрыва могут быть только . Находим . Поскольку
чётная, то и . Следовательно, - точки устранимого разрыва.
Пример 42
. Исследовать на непрерывность функцию и построить её график.
Решение.
Пусть х>0. При х>1 и у=0. При у=1. При и Таким образом, при
(одновременно строим график, рис. 2 ); Следовательно, , являются для у точками разрыва первого рода. Пусть теперь х<0. При х < -1 и .
При , у=1. При и Таким образом, при Получаем, что и точки , являются точками разрыва первого рода. Поскольку то х=0 является точкой устранимого разрыва. Во всех остальных точках функция непрерывна.
Рис. 2
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие для вузов.- М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002.- 558 с.
2. Ляшко И.И., Боярчук А.А., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах, ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл. – Киев, Издательское объединение «Вища школа», 1974.-680 с.
3. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты: Учебное пособие. 3-е изд., испр.-СПб.: Издательство «Лань», 2005. -240 с.
4. Кузнецова М.Г. Типовой расчёт по высшей математике: Пределы.- Ульяновск: УлПИ, 1987.- 24 с.