Методические указания к выполнению контрольной работы №1 для студентов

МПС РОССИИ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

21/1/14
Одобрено кафедрой

«Сопротивление материалов

и строительная механика»

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Методические указания к выполнению

контрольной работы № 1

для студентов
III курса

специальностей:

150700. Локомотивы (Т)

150800. Вагоны (В)

170900. Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование (СМ)

181400. Электрический транспорт железных дорог (ЭПС)

Москва – 2003

Рецензент: д.т.н.Павлов Ю.А., профессор кафедры «Здания и сооружения на транспорте»

Ó Российский государственный открытый технический

университет путей сообщения, 2003

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Примеры решения задач, приведенные в данном методическом указании, относятся к двум видам простого сопротивления материалов: растяжению-сжатию и кручению.

В целях более глубокого понимания предлагаемых решений студентам необходимо изучить по литературным источникам соответствующие разделы курса «Сопротивление материалов». Особое внимание следует обратить на решения задач приведенные в учебниках. Кроме того, следует самостоятельно изучить раздел курса, посвященный определению геометрических характеристик плоских сечений.

К выполняемым контрольным работам предъявляется следующие требования. Каждая контрольная работа должна состоять из расчетов и пояснений к ним. Расчетные схемы и чертежи эпюр можно выполнять в тетради, но лучше это делать на отдельных листах миллиметровой бумаги.

Все схемы и чертежи должны быть выполнены карандашом и в масштабе, удобном для изображения. Схемы и чертежи должны иметь необходимые числовые размеры.

Расчеты в пояснительной записке должны состоять из озаглавленных частей, соответствующих условию задач.

Расчет должен выполняться в следующей последовательности:

1. Записывается расчетная формула или уравнение в общем виде.

2. В формулы или уравнение, подставляются числовые значения, входящих в них величин и приводится результат вычисления. Промежуточные выкладки следует проводить только для сложных выражений.

Все задачи контрольных работ выполняются строго по шифру. Отклонения от шифра влечет за собой возврат контрольной работы и ее повторное выполнение в соответствии с шифром.

Выполненная контрольная работа передается для рецензирования преподавателю кафедры. Работа, выполненная с ошибками, возвращается студенту. Исправление ошибок производится на отдельных листах, вклеенных в не зачтенную работу, и отсылается на повторное рецензирование.

1. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ИЛИ

СЖАТИЕ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

В первом разделе будут рассмотрены статически определимые стержни и стержневые системы, внутренние усилия или реакции связей которых можно определить с помощью уравнений статики.

Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает только одно усилие, продольная сила N
(растягивающая или сжимающая). При центральном растяжении или сжатии внешние силы, включая опорные реакции, или их равнодействующие, направлены вдоль оси стержня.

Метод сечений позволяет определять продольную силу в поперечном сечении любого силового участка. Стержень рассекают воображаемой плоскостью перпендикулярно его продольной оси, мысленно отбрасывают одну из образовавшихся частей, а действие на оставшуюся часть заменяют неизвестной продольной силой N
(рис. 1,а). Далее составляют единственное уравнение равновесия оставшейся части å Z = 0.

Из этого уравнения определяют значение N
, т.е. продольная сила в любом сечении бруса равна сумме проекций внешних сил, действующих на оставшуюся часть, на направление внешней нормали к сечению, взятой с обратным знаком.

Правило знаков

Силу N
принято считать положительной при растяжении, т.е. когда она направлена от сечения. При сжатии, наоборот, продольная сила отрицательна и направлена к сечению.

Эпюра (график) продольных сил дает наглядное представление о законе изменения этих сил на каждом силовом участке, стержня. Эпюра позволяет быстро находить опасные сечения стержня.

Силовой участок стержня – это участок, в котором продольная сила действует по одному определенному закону.

Границами силовых участков стержня являются места приложения внешних сил, включая и реакцию заделки стержня.

При центральном растяжении или сжатии в поперечных сечениях стержня возникают равномерно распределенные нормальные напряжения (рис. 1,б), равные отношению продольной силы N
к площади поперечного сечения

[Н/м2
] = [Па] (1.1)

Эпюра напряжений для стержней постоянного сечения аналогична эпюре продольных сил, а при ступенчатом изменении площади сечения стержней, эпюра напряжений имеет скачки не только в местах приложения внешних сил, но и в местах изменения сечения. Это связано с тем, что напряжение обратно пропорционально площади сечения.

Границами участков при построении эпюры напряжений для стержня переменного сечения являются не только места приложения внешних сил, но и места ступенчатого изменения площади сечения.

Оценка прочности элементов конструкции, испытывающих растяжение или сжатие, производится по наибольшему нормальному напряжению.

Условие прочности, которое требуется для нормальной эксплуатации конструкции, записывается в виде:

, (1.2)

где – допускаемое напряжение (задается в расчетных нормах или в справочниках).

Допускаемые напряжения равны опасным напряжениям sоп
, деленным на коэффициент запаса прочности n
:

. (1.3)

Для хрупких материалов за опасные напряжения принимают предел прочности sоп
=
sв
, поэтому

,

для пластичных материалов – предел текучести sоп
=
sТ
, следовательно,

.

Очевидно, что коэффициент запаса n
1
, должен быть больше n
2
, так как после появления пластических деформаций стержень еще не разрушается.

Напряжения, не превосходящие предела пропорциональности, связаны с относительными деформациями законом Гука

, (1.4)

где - относительная деформация;

- абсолютная продольная деформация (удлинение или укорочение участка бруса длиной l
с постоянными напряжениями в поперечных сечениях, м;

Е
- модуль упругости при растяжении, Па.

Под действием продольных сил происходит удлинение или укорочение силовых участков стержня, а, следовательно, и всего стержня. Если на силовом участке продольная сила и площадь поперечного сечения постоянны, то

,

где – длина стержня до деформации, м;

– то же, после деформации.

Подставляя выражения для и в (1.4), можно получить формулу для определения абсолютного удлинения стержня.

(1.5)

В случае, когда величина силы N
изменяется в пределах силового участка по известному закону, деформация участка складывается из деформаций бесконечно-малых участков , по длине которых величину силы N
можно считать постоянной. Тогда, применяя формулу (1.5) можно записать

. (1.6)

Полная деформация участка

; (1.7)

Если на участке с постоянным поперечным сечением действует равномерно распределенная продольная погонная нагрузка t
, то усилие от этой нагрузки будет изменяться по закону

. (1.8)

Подставляя (1.8) в (1.7), получим

(1.9)

где - равнодействующая равномерно распределенной погонной нагрузки на данном участке.

Для стержня, имеющего несколько силовых участков, абсолютное изменение длины стержня определяется как алгебраическая сумма деформаций отдельных силовых участков:

, (1.10)

где - абсолютные деформации соответствующих силовых участков стержня, определяемые по формуле (1.5) и (1.9).

Перемещение поперечных сечений стержня вдоль его оси обозначается буквой U
и является следствием деформации силовых участков стержня.

Перемещение произвольного сечения стержня равно абсолютному удлинению той части стержня, которая заключена между этим сечением и заделкой. Если известно перемещение сечения в начале участка, длиной l,
то перемещение сечения в конце участка в котором действует нормальная сила и, кроме того, по длине участка приложена равномерно распределенная нагрузка, может быть вычислено по формуле

; (1.11)

Знаки у слагаемых определяются соответствием выбранного положительного направления и направлением действия сил.

Отсюда следует, что перемещение поперечных сечений стержня может происходить и на участках, не подверженных деформации, а как результат влияния деформации соседних силовых участков. Это основное отличительное свойство перемещения от деформации.

Определяют перемещения по формуле (1.11) и начинают от неподвижного конца, т.е. от заделки.

Пример
1
. Стальной стержень (Е
= 2×105
МПа), один конец которого жестко защемлен, другой – свободен, находится под действием продольных сил Р
и распределенной нагрузки t
= 20 кН/м. Продольные силы и нагрузка вызваны взаимодействием стержня с остальными частями механизма, не показанными на схеме. Отдельные участки стержня имеют различную площадь поперечного сечения, F
или 2F
(рис.2,а).

Требуется:

1) сделать схематический чертеж бруса по заданным размерам, соблюдая масштаб длин по вертикали;

2) вычислить значения продольной силы N
и нормального напряжения s,
построить их эпюры;

3) найти перемещение точки В.

I.
Определение количества участков

Нормальная сила Nz
зависит от величин внешних сил, поэтому границами участков будут сечения, в которых приложены эти силы, а также сечения совпадающие с началом (концом) действия распределенной нагрузки.

Таким образом, рассматриваемый брус имеет три самостоятельных участка, начиная со свободного конца:

I участок от А (точка приложения силы Р
) до В (начало действия распределенной нагрузки)

II участок от В до С (конец действия распределенной нагрузки)

III участок от С до D (точка закрепления бруса).

II. Определение значений продольной силы
N

и нормального напряжения
s

Для этой цели воспользуемся методом сечений.

I участок (А – В) 0 м Ј z1
Ј 0,15 м

Проведем сечение 1–1 на расстоянии z
1
от начала координат (точка А), отбросим нижнюю часть (рис.2). Рассмотрим равновесие верхней отсеченной части. На нее действует только внешняя сила P
и продольная сила , показанная в положительном направлении, которая учитывает воздействие нижней отброшенной части (рис. 2,б).

Составим уравнение равновесия и выразим продольную силу, действующую на первом участке:

; – Р
= 0; = Р
= 29 кН.

Для нормального напряжения (при F
1
=
F
= const):

Полученные величины продольной силы и нормального напряжения не меняются по всей длине первого участка.

II участок (B – C) 0,15 м Ј z2
Ј0, 34 м

Аналогично предыдущему проведем сечение 2–2 на расстоянии z
2
от свободного конца бруса, в пределах II-го участка (рис. 2,в). Для верхней части составим уравнение равновесия .

В это уравнение войдут: сосредоточенная сила Р
= 29 кН, равнодействующая продольной распределенной нагрузки по длине отсеченной части второго участка , а также сила , показанная в положительном направлении.

При этом уравнение равновесия примет вид:

отсюда

кН.

Учитывая постоянство площади поперечного сечения на втором участке, выражение для нормального напряжения может быть записано таким образом:

Анализируя полученные выражения, видим, что величины продольной силы и имеют линейную зависимость от ординаты z
2
. Поэтому для построения эпюр достаточно определить их значения в начале и конце участка:

при z
2
= 0,15: N
(0,15) = 32 – 2 × 0,15 = 29 кН;

s
(0,15) = МПа;

при z
2
= 0,34: N
(0,34) = 32 – 20 × 0,34 = 25,2 кН;

s
(0,34) = .

Проводим сечение 3–3 на расстоянии z
3
от свободного конца бруса, в пределах III-го участка (рис. 2,г).

III участок (C – D) 0,34 м Ј z
3
Ј 0,53 м

Уравнение равновесия принимает вид:

:

Выразив , получаем:

Выражение для нормального напряжения может быть записано таким образом:

Подставив числовые значения в приведенную формулу, получаем:

.

По полученным значениям строим эпюры Nz
и s
z
(рис. 2,д,е).
Необходимым условием правильности п
остроения этих графиков является выполнение следующих требований:

– растягивающие усилия Nz

и нормальные напряжения s
z
со знаком “+” откладываем влево от базисной линии 0–0, отрицательные вправо;

– если нагрузка равномерно распределена по длине участка, то эпюра ограничена наклонной линией;

– скачок в эпюре N
должен находиться в точке приложения сосредоточенн
ого усилия и быть равным по величине значению этой си
лы;

– скачки в эпюре s
должны совпадать с точками приложения внешней силы Р
и изменения площади поперечного сечения бруса.