Методические указания к лабораторной работе Нижний Новгород 2003

Министерство образования Российской Федерации НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Электроника и сети ЭВМ»

ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Методические указания к лабораторной работе

Нижний Новгород 2003 Составитель Н.В.Марочкин УДК 681.3.06

ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ: Метод. указания к лаб.работе / НГТУ; Сост.: Н.В. Марочкин. Н.Новгород, 2003. – 20 с.

Рассмотрены основные характеристики цифровых фильтров, методы построения и анализа. Приведены индивидуальные задания по синтезу и анализу цифровых фильтров. Дана методика проведения исследования.

Редактор И.И.Морозова

Подп. к печ. 06.06.02. Формат 60х841/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,25. Уч.-изд.л. 0,8. Тираж 200 экз. Заказ 434.
Нижегородский государственный технический университет. Типография НГТУ. 603600, Н.Новгород, ул.Минина, 24. © Нижегородский государственный технический университет, 2003

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучить основные характеристики цифровых фильтров (ЦФ), методы построения и анализа. Закрепить теоретические знания проведением экспе-риментального исследования с помощью моделирующей программы.

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Цифровым фильтром называют устройство, которое преобразует посту-пившую на его вход последовательность чисел x
(nT
) в другую последова-тельность чисел y
(nT
), формируемую на выходе фильтра. ЦФ – дискретное устройство. Если при выполнении арифметических операций числа не подвергаются округлению, выполняются операции задержки, суммирова-ния, умножения на постоянные коэффициенты, то работу ЦФ можно описать линейным разностным уравнением с постоянными параметрами. При постоянном периоде дискретизации Т
это уравнение имеет следующий вид:

(1)

где х(
n
Т), у(
n
Т)
– входной и выходной дискретные сигналы в момент n
Т
, , – постоянные параметры уравнения. Как следует из уравнения для формирования выходного отсчета в текущий момент времени n
Т
исполь-зуются входные и выходные отсчеты, это в общем случае.

Для синтеза и анализа ЦФ вводят характеристики, сходные с характе-ристиками аналоговых фильтров. Как известно, для анализа аналоговых непрерывных систем широко используют дифференциальные уравнения. Для упрощения их решения используют преобразование Лапласа. В результате от дифференциальных уравнений переходят к алгебраичес-ким.Функция f(
t),
которая подвергается преобразованию Лапласа должна удовлетворять следующим требованиям:

1) f
(
t
)=
0 , при t<0;

2) при t≥0 f
(
t
)
на каждом конечном отрезке имеет конечное число точек разрыва первого рода;

3) при t→∞ f
(
t
) имеет ограниченную скорость роста, т.е. существуют α
и М
= М(
f
, α)
такие, что │f
(
t
)
│≤, для t
>0.

Прямое преобразование Лапласа :

, (2)

где p
=δ+
jw
комплексная величина.

Переменную следует выбирать так, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции f
(
t
),
для этого полюсы функции F
(
p
)
при t
≥0
находились слева от прямой , . Добавляя к этой прямой дугу бесконечного радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования с обходом пути интегрирования против часовой стрелки. Обратное преобразование Лапласа :

. (3)

Интеграл равен сумме вычетов в полюсах функции F
(
p
)
. Прямое дискрет-ное преобразование Лапласа:

, (4)

представляет собой периодическую функцию частоты с периодом .

Дискретное преобразование Фурье:

, (5)

где k=0,1,2…N-1 –число выборок,, – верхняя частота в спектре сигнала, – частота повторения или интервал между соседними отсчета-ми АЧХ, рис. 1, .

Рис.1

Спектр дискретного периодического сигнала имеет вид, рис. 2.

В изображение по Лапласу входит множитель exp(pT
) – трасцендентная функция комплексной частоты. Это затрудняет переход от одних характе-ристик электрической цепи к другой. Нули и полюсы передаточной фун-кции периодически повторяются.

Рис.2

В связи с этим для дискретных систем широкое распространение получило Z
-преобразование, получаемое заменой на z, при этом .

Такая замена преобразует трасцендентные функции в рациональные фун-кции от z
. Периодическое повторение особых точек устраняется, сдвиг на период Т
на плоскости Р
соответствует повороту на 360º на плоскости комплексной переменной z
. Ось частот jω
плоскости Р
отображается в окружность единичного радиуса, левая полуплоскость – во внутрь, рис. 3.

Рис. 3

Z – преобразование записывают так:

. (6)

Здесь f
(
k
)
– отсчеты импульсной характеристики аналоговой цепи в дискретные моменты времени 0,Т
,2Т
,…, при замене z
= получим:

. (7)

Это означает, что единичная окружность Z
плоскости – геометрическое место точек отсчетов частотной характеристики системы (или отсчетов спектральных составляющих), рис. 4.

Рис.4

Если Z
– преобразование применить к разностному уравнению ЦФ (1), то получим:

, (8)

где Н(
z
)
– системная функция ЦФ, аналогичная по смыслу передаточной функции аналогового фильтра. Н(
z
)
– есть Z
преобразование импульсной характеристики ЦФ.

Импульсная характеристика – есть реакция ЦФ на единичный импульс:

Z
(
f
(
nT
))=
1, поэтому при Х(
z
)=
1, H(
z
)=
Y
(
z
).

Системная функция H
(
z
)
характеризуется положением нулей и полюсов.

У физически устойчивой аналоговой системы полюсы передаточной функ-ции расположены в левой полуплоскости комплексной переменной P
=. Так как , то у устойчивого ЦФ полюсы системной функции H
(
z
)
должны располагаться внутри окружности еди-ничного радиуса. Системная функция H
(
z
)
связана с частотной характеристикой ЦФ следующим образом. Если подать на вход ЦФ дискретный гармонический сигнал , то сигнал на выходе ЦФ , где – частотная характеристика ЦФ.

В соответствии с разностным уравнением (1):

. (9)

Это выражение совпадает с H
(
z
),
если в нем заменить z
-1
на , таким образом .

Частотная характеристика периодическая функция частоты, рис. 5.

Рис.5

Если период дискретизации выбран больше чем , то это приведет к искажению частотной характеристики, рис. 6.

Рис. 6

Разностное уравнение (1) есть алгоритм функционирование ЦФ. Его изобра-жают в виде структурной схемы ЦФ, рис. 7. Здесь z-1
- элементы задержки на один такт Т
, элемент усилитель с коэффициентом усиления а,
b
; x
(
nT
)
– входной дискретный сигнал, у(
nT
)
– выходной, Т
– период дискре-тизации.

Рис.7

Цифровой фильтр на рис. 7 имеет обратные связи, это фильтр с бесконеч-ной импульсной характеристикой или БИХ-фильтр. Если все коэффициен-ты b
1
=
b
2
=…=
bN
=0, то получим фильтр с конечной импульсной характерис-тикой, КИХ-фильтр, он всегда устойчивый.

При синтезе ЦФ важно, чтобы фильтр обладал определенной частотной и фазовой характеристикой. Для синтеза БИХ фильтров используют следу-ющие методы:

1) синтез по аналоговому прототипу;

2) синтез по цифровому прототипу;

3) расчет численными методами на ЭВМ.

При синтезе по аналоговому прототипу от известной передаточной функции К(р
) аналогового фильтра-прототипа стремятся перейти к разностному уравнению и системной функции H
(
z
)
ЦФ. Используют следующие методы:

1) метод отображения дифференциалов;

2) инвариантное преобразование импульсной характеристики;

3) согласованное Z-преобразование;

4) метод билинейного преобразования.

В методе отображения дифференциалов заменяют дифференциалы на конечные разности:

В случае прямой первой разности переход к Z плоскости производят так:

.

Метод приближенный поэтому частотные характеристики ЦФ и аналого-вого прототипа могут существенно различаться, возможна потеря устой-чивости. При инвариантном преобразовании импульсной характеристики импуль-сную характеристику ЦФ получают из импульсной характеристики ана-логового фильтра прототипа. Импульсную характеристику аналогового фильтра прототипа h(
t)
представляют в виде суммы экспонент:

,

где bi
- комплексная величина.

Импульсную характеристику h
(
nT
) ЦФ получают дискретизацией h
(
t
):

. (10)

Находят системную функцию:

. (11)

Полоса пропускания фильтра-прототипа не должна превышать величины π/Т
для того, чтобы не было наложения частотных характеристик ЦФ.

При согласованном Z-преобразовании полюсы и нули передаточной функции К(р)
аналогового фильтра-прототипа отображаются в полюсы и нули системной функции H
(
z
)
по правилу:

b
→
exp
(-
bT
),

(p
+
b
) →
(1-
Z
-
1
(exp
(-
bT
))),

(p+a-jb
)(p+a+jb
)=
(p+a
) 2
+b
2
→
1-
2Z-
1
e- aT
cosbT+
2Z-
2
e-
2 aT .
Метод неприменим, если нет нулей у прототипа. Если частоты, соответ-ствующие нулям превышают половину частоты дискретизации, то поло-жение нулей цифрового фильтра будет искажаться за счет эффекта нало-жения.

В методе билинейного преобразования по передаточной функция К(р)
аналогового фильтра-прототипа находят системную функцию ЦФ заменой

. (12)

Подставляя вместо р
выражение через z
,
получим системную функцию H
(
z
), однако H
(
z
)
не будет дробно-рациональным выражением и не соответствует никакому реальному цифровому устройству. Необходимо подобрать дробно-рациональное выражение, которое совпадало бы с , и при этом сохранялась бы устойчивость фильтра. Для этого используют разложение в ряд :

, (13) где .

Ограничиваясь, для упрощения расчетов, одним членом ряда, получаем формулу билинейного преобразования:

. (14)

Этот переход от плоскости Р
к плоскости Z
отображает ось jω
в единичную окружность │z
│=1, точки, расположенные левее оси р=
jω
оказываются внутри окружности │z │=1. Фильтр сохраняет устойчивость, но не будет точным аналогом исходного фильтра-прототипа, т.к. билинейное преобра-зование искажает частотный масштаб (из-за приближения для p
). Если - значение частоты характерной точки частотной характеристики аналого-вого фильтра, то этой характерной точке ЦФ будет соответствовать частота ω
ц
в соответствии с билинейным преобразованием:

(15) Искажение частотного масштаба иллюстрирует рис. 8.

Рис.8

Для корректирования искажений нужно внести предыскажения в ана-логовый прототип. Известным характерным точкам нужно поставить в соответствие характерные точки аналогового прототипа ω
а
в соответствии с выражением (15).

При синтезе БИХ ЦФ по цифровому прототипу используется цифровой фильтр НЧ, от него переходят к цифровому фильтру НЧ, ПЧ, ВЧ, режекторному в соответствии с преобразованиями, указанными в табл.1.

Цифровой фильтр	Выражение для замены	Примечание
1. Нижних частот с частотой среза ω с		− частота среза ЦФ прототипа Т − период дискретизации
2. Верхних частот с частотой среза ω с
3. Полосо- вой с частотами среза ω 2 (ω 2 > ω >1 )
4. Режекторный с частотами среза ω 1 и ω 2 (ω 2 > ω 1 )

Если АЧХ не является ступенчатообразной функцией частоты и синтез по аналоговому прототипу дает больше искажения, применяют расчет БИХ-фильтров численными методами на ЭВМ. При этом численными методами подбирают коэффициенты a
,
b
в разностном уравнении (1), минимизируя величину среднеквадратической ошибки:

(16)

где H
действ
(ejωT
), H
задан
(ejωT
) – частотные характеристики действительная и заданная.

При расчете КИХ-фильтров решают задачу аппроксимации АЧХ. Ис-пользуют метод частотной выборки и взвешивания.

Метод частотной выборки заключается в том, что если известны отсчеты требуемой АЧХ, то выполнив обратное дискретное преобразование Фурье, можно получить отсчеты h
(n
) импульсной характеристики ЦФ. Их исполь-зуют для построения системной функции ЦФ:

. (17)

Если импульсная характеристика h
(n
) задана и бесконечна, то ее ограни-чивают умножением на прямоугольный импульс единичной амплитуды:

(18)

Использование конечной импульсной характеристики приводит к всплес-кам АЧХ в переходной полосе из-за эффекта Гиббса. Для уменьшения всплесков используют методы оптимизации и взвешивания. При оптимизации АЧХ ЦФ представляют следующим образом:

, (19)

где Н
о
(jω
) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (0÷ω
1
) и (ω
2
÷ω
3
),

Нк
(jω
) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (ω
1
÷ω
2
) в переходной полосе,

− интерполирующая функция. Положение отсчетов Н
к
в полосе ω
1
÷ω
2
(рис. 9), нужно выбрать так, чтобы Н(
jω
) приближалась к заданной.

Рис.9

Задачу решают методом линейного программирования или с использова-нием алгоритма многократной замены Ремеза. Использование взвешивания применяют для уменьшения пульсации путем умножения импульсной характеристики на специально подобранную весовую функцию, функцию окна. Весовые функции приведены в табл.2, их свойства приведены в табл.3.

Таблица 2

Окно	Выражение
Ханна
Хемминга
Блэкмана
Кайзера	I o – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка

В предыдущих методах синтеза не представлялись требования к фазовой характеристике фильтра. Одной из основных особенностей цифровых КИХ-фильтров является то, что их можно построить так, чтобы они имели линейную фазу. Предположим, что число выборок входного сигнала N
– нечетно, импульсная характеристика четная: h
nc
(-n
)=h
nc
(n
), n
=0,1…(N
-1)/2.

фильтр некаузальный (физически нереализуемый, h
(n
)≠0 при n
<0). Частот-ную характеристику фильтра можно записать так:

(20)

где а
(0)=hnc
(0), a
(n
)=2hnc
(n), n
=1,…,(N
-1)/2.

Таблица 3

Окно	Ширина главного лепестка	Максимальный уровень боковых лепестков, дб.	Уровень пульсаций в полосе пропускания, дб.
Ханна		-45	0,26
Хемминга		-42,7	0,09
Блэкмана		-75	1,11
Кайзера		-30…-100 в зависимости от α	0,1…1 в зависимости от α

Чтобы получить каузальный (физически реализуемый) фильтр необхо-димо ввести задержку в некаузальную импульсную характеристику в течение интервала времени, который соответствует наличию (N
-1)/2 выборок. Частотная характеристика каузального фильтра будет иметь вид:

. (21)

Для получения отсчетов импульсной характеристики можно использовать обратное дискретное преобразование Фурье выборок АЧХ. Частотные характеристики КИХ-фильтров с линейной фазой представлены в табл.4.

На рис. 10 показаны импульсные и частотные характеристики фильтров четырех видов. При решении задачи аппроксимации заданной частотной характеристики B
(ω)
необходимо подобрать коэффициенты Со
,…, Ск
частотной характеристики цифрового фильтра Ф(ω, Со,
С1
,…, Ск
)
так,чтобы выполнялось приближенное равенство Ф(ω, Со,
С1
,…, Ск
)≈
B
(ω
). Для реше-ния используют критерии оценки приближения. Среднеквадратический критерий заключается в минимизации интегра-ла в заданной полосе частот ω
1
÷ ω
2
:

. (22)

Критерий наилучшего равномерного приближения (чебышевский критерий):

. (23)

Рис.10

Таблица 4

Тип симметрии	Частотная характеристика
Фильтр вида 1 N - нечетно, симметричная импульсная характеристика h ( n )=h ( N -1-n )
Фильтр вида 2 N - четное, симметричная импульсная характеристика
Фильтр вида 3 N – нечетное, антисимметрич-ная импульсная характеристика h(n)= - h(N -1-n)
Фильтр вида 4 N – четное, антисимметрич-ная импульсная характеристика

Если использовать среднеквадратический критерий и разложить функцию Ф(ω, Со,
С1
,…, Ск
)
в ряд Фурье, то можно найти коэффициенты Со
,…, Ск
. Для функций Ф(ω, Со,
С1
,…, Ск
)
двух видов:

, (24) (25)

коэффициент определяется следующим образом:

, (26)

где − нормированная частота, − частота дискретизации; D
=2 при l
=0; D
=4 при l
≠0 ; и для выражений (24) и (25) соответственно. Пусть требуется найти для ФНЧ с частотной характеристикой:

. (27)

Пользуясь формулой (3), получим:

(28)

Для фильтра вида 1 отсчеты импульсной характеристики находят так:

, l
=0,1,…,k
-1;, k
=(N
-1/2), N
– нечетное,

, так как импульсная характеристика симметричная.

Структура ЦФ будет иметь вид, показанный на рис. 11.

Рис. 11

Сгладить пульсации частотной характеристики можно путем умножения отсчетов импульсной характеристики на весовое окно g
(
l
), тогда вместо коэффициентов получим , l
=0,…,(N
-1)/2.

Найдем коэффициенты для преобразователя Гильберта, идеали-зированная частотная характеристика которого имеет вид:

,

где Ω
– нормированная частота. Выберем В(ω
)=-1 в диапазоне при интегрировании в соответствии (3) и , получим:

.

Отсчеты импульсной характеристики КИХ фильтра :

, l
=1,…,k
; k
=(N
-1)/2, коэффициенты h
(0), h
(1), h
(k
) антисимметричны коэффициентам h
(2k
),…,h
(2k
-l
): h
(l
)=-h
(2k
-l
).

Это фильтр вида 3, количество отсчетов импульсной характеристики нечетное.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Выберите в качестве аналогового фильтра прототипа цепь, схема кото-рой показана рис.12.

Рис. 12

Ее передаточная функция , где Т*
=
RC
.
Заданы величины Т*
и Т
(Т
– период дискретизации). Используйте метод инвариантного преобразования импульсной характеристики. Постройте структурную схему ЦФ, АЧХ, ФЧХ. Проверьте полученные результаты с помощью моделирующей программы.

2. В задании 1 используйте метод билинейного преобразования, постройте структурную схему, фильтра, АЧХ, ФЧХ. Проверьте полученные результаты с помощью моделирующей программы.

3. Используйте метод билинейного преобразования постройте ЦФ с максимально гладкой АЧХ со следующими данными: затухание на частоте среза , 3дб, затухание на частоте , А
дБ; частота дискретиации , аналоговый прототип – фильтр Баттерворта с частотной характерис-тикой:

, где n
– порядок фильтра,.

Расчет выполняйте следующим образом.

1) определите аналоговые частоты, соответствующие требуемым и в соответствии с выражением:

, этим корректируется искажение частотного масштаба;

2) из условия затухания А
дб на частоте в сравнении с сигналом на нулевой частоте определите порядок фильтра n
: ;

3) из справочника [4 ] найдите передаточную функцию прототипа или используйте табл.5;

4) сделайте замену в соответствии с билинейным преобразованием:

, получите К
(p
)→Н
(z
);

5) по системной функции H
(z) постройте структурную схему ЦФ, АЧХ и ФЧХ.

4. Постройте структурную схему ЦФ преобразователя Гильберта, АЧХ, ФЧХ.

Исходные данные для расчетов по п.1-4 получите у преподавателя.

5. Полученные результаты по п.1-4 сравните с результатами работы моделирующей программы

Таблица 5

n	K(p)
1
2
3

5. ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ

Каковы назначение и принцип работы ЦФ?
Что такое системная функция ЦФ?
Какова структурная схема ЦФ?
В чем отличие КИХ и БИХ ЦФ.
В чем заключается метод частотной выборки ?
Виды КИХ фильтров с линейной фазовой характеристикой.
В чем заключается метод инвариантного преобразования импульсной характеристики ?
Методы синтеза КИХ фильтров.
Как найти частотную характеристику ЦФ?

6. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Введение в цифровую фильтрацию: Пер. с англ./Под ред. Р. Богнера и А.Д. Константинидиса. – М.: Мир, 1976. – 216с.

2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. – М.: Мир, 1978. – 848с.

3. Современная теория фильтров и их проектирование: Пер. с англ. Под ред. Г. Темеша и С. Митра. – М.: Мир 1977. – 560с.

4. Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров. М.: Мир. 1984. – 320с.

5. Чернега В.С., Василенко В.А., Бондарев В.Н. Расчет и проектирование технических средств обмена и передачи информации. М.: Высшая школа, 1990. – 223с.