Методические указания "Решение задач на переЛИВАНИЯ"
В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что
- все сосуды без делений
- нельзя переливать жидкости "на глаз"
- невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать
Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях.
1) знаем, что сосуд пуст,
2) знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,
3) в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились
4) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них
5) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде
Примеры решения задач.
Задача 1. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды?
Решение.
В таблице указан объем молока в литрах после каждого переливания.
| 8-литровый сосуд
|
5-литровый сосуд
|
3-литровый сосуд
|
| 8 |
0 |
0 |
| 3 |
5 |
0 |
| 3 |
2 |
3 |
| 6 |
2 |
0 |
| 6 |
0 |
2 |
| 1 |
5 |
2 |
| 1 |
4 |
3 |
| 4 |
4 |
0 |
После переливания оказалось по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.
Задача 2. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?
Решение.
В таблице указан объем бензина в литрах после каждого переливания.
| бочка
|
ведро
|
бидон
|
| не менее 10 |
0 |
0 |
| не менее 5 |
0 |
5 |
| не менее 5 |
5 |
0 |
| не менее 0 |
5 |
5 |
| не менее 0 |
9 |
1 |
| не менее 9 |
0 |
1 |
| не менее 9 |
1 |
0 |
| не менее 4 |
1 |
5 |
| не менее 4 |
6 |
0 |
Задача 3. Имеется три сосуда без делений объемами 4 л, 5 л, 6 л, кран с водой, раковина и 4 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 8 л смеси воды с сиропом, так чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?
Решение.
| 4
|
5-литровый сосуд
|
6-литровый сосуд
|
| 4 л сиропа |
0 |
0 |
| 0 |
4 л сиропа |
0 |
| 4 л воды |
4 л сиропа |
0 |
| 0 |
4 л сиропа |
4 л воды |
| 4 л воды |
4 л сиропа |
4 л воды |
| 2 л воды |
4 л сиропа |
6 л воды |
| 2 л воды |
4 л сиропа |
0 |
| 2 л воды, 2 л сиропа |
2 л сиропа |
0 |
| 2 л воды, 2 л сиропа |
0 |
2 л сиропа |
| 0 |
2 л воды, 2 л сиропа |
2 л сиропа |
| 2 л сиропа |
2 л воды, 2 л сиропа |
0 |
| 2 л воды, 2 л сиропа |
2 л воды, 2 л сиропа |
0 |
Задача состоит в том, чтобы разделить 8 л воды, находящейся в 8 л ведре, пополам, т. е. по 4 л с помощью пустых дополнительных ведер - по 3 л и 5 л. [5]
Эта задача решается за 7 ходов. Сразу придумать это решение не так просто. Но можно переформулировать задачу и расширить ее границы сложности. Попробуем найти решение для получения и других количеств воды - 1 л, 2 л, :, 7 л. Мы увидим, что получение некоторых количеств (3 л, 5 л) находятся за одно действие, другие - за два, а деление по 4 л - окажется самой трудной задачей. Пусть количество переливаний - стоимость решения задачи, ее сложность. Таким образом, из исходной задачи, для заданных объемов сосудов мы получим восемь задач сложностью в 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 условных баллов.
Задавая различные объемы сосудов, различные требуемые количества жидкости, можно получить большой набор задач разного уровня сложности.
Приведем первый набор условий задач, которые дают возможность сформулировать порядка 100 задач на переливания. Здесь объемы всех сосудов конечны.
I. Задачи на деление некоторого количества жидкости с помощью двух дополнительных пустых сосудов за наименьшее число переливаний
Решение необходимо представить в виде таблицы переливаний
Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?
Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым? [1]
У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка - 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее (3-литровое) ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.
Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года . Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки - 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?
На другой год Винни Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него два ведра - 7-литровое и 4-литровое. Как ему разделить мед пополам?
(Пересыпашка) Разбойники раздобыли 10 унций (1 унция - примерно 30 см3
) золотого песка. У них имеется две пустые коробки, емкостью 6 и 4 унции. Как им разделить песок пополам? Если на одно пересыпание требуется 1 минута, то сколько времени они будут делить свою добычу?
Некто имеет полный бочонок сока емкостью 12 пинт (пинта - 0,57 литра) и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт в сосуд емкостью 8 пинт? [1]
Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых - на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?
Разрешима ли предыдущая задача, если в хозяйстве у Белоснежки имеются кастрюлька с водой на 12 чашек и пустые кастрюльки на 9 и 7 чашек?
Для путешествия по морю необходим запас пресной воды. В плавании вода расходуется со скоростью 1 бочка в сутки. В некоторый момент времени запас воды на берегу составлял 8 бочек, и вода находилась в баке, заполненном до краев. На яхте имеется такой же бак, объемом 8 бочек, но пустой. На сколько дней можно планировать путешествие, если с собой нельзя брать лишнюю воду, а в распоряжении имеется еще две пустых емкости объемом 3 и 6 бочек и их можно использовать для переливания воды?
При решении задач на переливания (и пересыпания) удобно пользоваться методикой, изложенной в [2]. Суть ее заключается в представлении последовательности переливаний аналогично движению бильярдного шарика по столу особой конструкции с размерами, соответствующими объемам первоначально пустых сосудов. Нарисовав на клетчатой бумаге исходную конфигурацию, необходимо проследить возможные движения шарика в соответствии с законом "угол падения равен углу отражения" и попадание им в требуемые точки по условию задачи. Освоив ее, нетрудно получить решение задачи на переливания (пересыпания) для трех сосудов различного объема. Пример построения траектории "умного" шарика приведен для исходной Роботландской задачи [5].
Для задачи по делению 8 л по 4 л нас интересует одна точка на схеме: 4 л в сосуде Б и 0 л в сосуде В. В этот момент остальные 4 л - в сосуде А. Это точка на горизонтальной оси с координатой - 4 единицы. В эту точку можно попасть за 7 ходов, если начать переливания в 5 л ведро (начальное движение шарика по горизонтальной оси), и за 8 ходов, если начать переливания в 3 л ведро (начальное движение шарика по наклонной оси). Для итогового решения выбираем меньшее количество переливаний - 7.
Траекторию движения шарика как модель процесса переливаний для каждой из десяти предложенных выше задач учителю предлагается изобразить самостоятельно. Данный подход позволяет быстро оценить, все ли объемы можно получить, т. е. во всех ли точках бильярдного стола мы сможем оказаться или же получение каких-то объемов невозможно.
По сути, в данных задачах реализуются два алгоритма.
Первый: последовательно из большего сосуда наполняется меньший сосуд, из него жидкость сливается в сосуд промежуточного объема, эти два действия повторяются до полного наполнения сосуда промежуточного объема, после чего жидкость из него сливается в самый большой. Процедура повторяется несколько раз до тех пор, пока два меньшие сосуда будут пустыми, а вся жидкость окажется в большом сосуде. Таким образом, будут реализованы все возможные варианты наполнения сосудов.
Второй алгоритм соответствует действиям первого, записанным в обратном порядке, т.е. с конца. Сначала из большего сосуда наполняется сосуд промежуточного объема. Из него жидкость переливается в самый маленький, а из наименьшего - в наибольший. Два последних действия повторяются до тех пор, пока сосуд промежуточного объема не станет пустым. Тогда он наполняется жидкостью из самого большого сосуда. Эта процедура повторяется до возвращения к исходному состоянию.
Решение задачи можно получить и по первому и по второму алгоритму, выбирается более короткий вариант.
Для учителя в ниже приведенных решениях задач приводятся полные сведения о том, какие количества жидкости и за сколько ходов могут быть получены с помощью сосудов данного объема. Количество действий, необходимых для получения того или иного заданного количества жидкости определяет сложность задачи и помогает учителю оценить работу ученика. Для удобства в конце приведена сводная таблица, в которой данные задачи распределены по сложности.
Так как мы рассматриваем решения задач за наименьшее число ходов, то в задачах 1 и 2 надо сделать поправку (в связи с тем, что объем А больше, чем объемы Б и В в сумме): количество, равное разности объемов A - Б - В (1л в первой и второй задачах) быстрее всего можно получить за два хода, наполнив вначале сосуды Б и В.
Дополнительная к условию задачи информация в таблицах по переливанию выделена курсивом.
Если рассматривать порядок действий с конца, то действия запишутся соответственно в обратном порядке (например, если прямое действие записано как А-Б, то обратное будет записано как Б-А).
Для удобства работы учителя приведем полный вариант переливаний для исходной задачи [5].
| N |
Действие |
А(8л) |
Б(5л) |
В(3л) |
| 0 |
8 |
0 |
0 |
|
| 1 |
А-Б |
3 |
5 |
0 |
| 2 |
Б-В |
3 |
2 |
3 |
| 3 |
В-А |
6 |
2 |
0 |
| 4 |
Б-В |
6 |
0 |
2 |
| 5 |
А-Б |
1 |
5 |
2 |
| 6 |
Б-В |
1 |
4 |
3 |
| 7 |
В-А |
4 |
4 |
0 |
| 8 |
Б-В |
4 |
1 |
3 |
| 9 |
В-А |
7 |
1 |
0 |
| 10 |
Б-В |
7 |
0 |
1 |
| 11 |
А-Б |
2 |
5 |
1 |
| 12 |
Б-В |
2 |
3 |
3 |
| 13 |
В-А |
5 |
3 |
0 |
| 14 |
Б-В |
5 |
0 |
3 |
| 15 |
В-А |
8 |
0 |
0 |
Возможно получение любого количества литров:
| 1 литр - за 4 хода |
5 литров - за 1 ход |
| 2 литра - за 2 хода |
6 литров - за 3 хода |
| 3 литра - за 1 ход |
7 литров - за 5 ходов |
| 4 литра - за 6 ходов |
по 4 литра - за 7 ходов |
1. Решение возможно за 3 хода.
| N |
Действие |
А(10л) |
Б(7л) |
В(2л) |
| 0 |
10 |
0 |
0 |
|
| 1
|
А-Б
|
3
|
7
|
0
|
| 2
|
Б-В
|
3
|
5
|
2
|
| 3
|
В-А
|
5
|
5
|
0
|
| 4
|
Б-В
|
5
|
3
|
2
|
| 5
|
В-А
|
7
|
3
|
0
|
| 6
|
Б-В
|
7
|
1
|
2
|
| 7
|
В-А
|
9
|
1
|
0
|
| 8
|
Б-В
|
9
|
0
|
1
|
| 9
|
А-Б
|
2
|
7
|
1
|
| 10
|
Б-В
|
2
|
6
|
2
|
| 11
|
В-А
|
4
|
6
|
0
|
| 12
|
Б-В
|
4
|
4
|
2
|
| 13
|
В-А
|
6
|
4
|
0
|
| 14
|
Б-В
|
6
|
2
|
2
|
| 15
|
В-А
|
8
|
2
|
0
|
| 16
|
Б-В
|
8
|
0
|
2
|
| 17
|
В-А
|
10
|
0
|
0
|
Возможно получение любого количества литров:
| 1 литр - за 6 ходов (по схеме), min - за 2 |
6 литров - за 3 хода |
| 2 литра - за 1 ход |
7 литров - за 1 ход |
| 3 литра - за 1 ход |
8 литров - за 1 ход |
| 4 литра - за 4 хода |
9 литров - за 7 ходов |
| 5 литров - за 2 хода |
2. Решение возможно за 4 хода.
| N |
Действие |
А(12л) |
Б(8л) |
В(3л) |
| 0 |
12 |
0 |
0 |
|
| 1
|
А-В
|
9
|
0
|
3
|
| 2
|
В-Б
|
9
|
3
|
0
|
| 3
|
А-В
|
6
|
3
|
3
|
| 4
|
В-Б
|
6
|
6
|
0
|
| 5
|
А-В
|
3
|
6
|
3
|
| 6
|
В-Б
|
3
|
8
|
1
|
| 7
|
Б-А
|
11
|
0
|
1
|
| 8
|
В-Б
|
11
|
1
|
0
|
| 9
|
А-В
|
8
|
1
|
3
|
| 10
|
В-Б
|
8
|
4
|
0
|
| 11
|
А-В
|
5
|
4
|
3
|
| 12
|
В-Б
|
5
|
7
|
0
|
| 13
|
А-В
|
2
|
7
|
3
|
| 14
|
В-Б
|
2
|
8
|
2
|
| 15
|
Б-А
|
10
|
0
|
2
|
| 16
|
В-Б
|
10
|
2
|
0
|
| 17
|
А-В
|
7
|
2
|
3
|
| 18
|
В-Б
|
7
|
5
|
0
|
| 19
|
А-В
|
4
|
5
|
3
|
| 20
|
В-Б
|
4
|
8
|
0
|
| 21
|
Б-А
|
12
|
0
|
0
|
| 1 литр - за 6 ходов (по схеме) min - за 2 хода |
7 литров - за 3 хода |
| 2 литра - за 4 хода |
8 литров - за 1 ход |
| 3 литра - за 1 ход |
9 литров - за 1 ход |
| 4 литра - за 1 ход |
10 литров - за 5 ходов |
| 5 литров - за 2 хода |
11 литров - за 7 ходов |
| 6 литров - за 3 хода |
3. Решение возможно за 4 хода.
| N |
Действие |
А(7л) |
Б(4л) |
В(3л) |
| 0 |
7 |
0 |
0 |
|
| 1
|
А-Б
|
3
|
4
|
0
|
| 2
|
Б-В
|
3
|
1
|
3
|
| 3
|
В-А
|
6
|
1
|
0
|
| 4
|
Б-В
|
6
|
0
|
1
|
| 5
|
А-Б
|
2
|
4
|
1
|
| 6
|
Б-В
|
2
|
2
|
3
|
| 7
|
В-А
|
5
|
2
|
0
|
| 8
|
Б-В
|
5
|
0
|
2
|
| 9
|
А-Б
|
1
|
4
|
2
|
| 10
|
Б-В
|
1
|
3
|
3
|
| 11
|
В-А
|
4
|
3
|
0
|
| 12
|
Б-В
|
4
|
0
|
3
|
| 13
|
В-А
|
7
|
0
|
0
|
Возможно получение любого количества литров:
| 1 литр - за 2 хода |
4 литра - за 1 ход |
| 2 литра - за 4 хода |
5 литров - за 5 ходов |
| 3 литра - за 1 ход |
6 литров - за 3 хода |
4. Решение возможно за 5 ходов.
| N |
Действие |
А(6л) |
Б(5л) |
В(1л) |
| 0 |
6 |
0 |
0 |
|
| 1
|
А - Б
|
1
|
5
|
0
|
| 2
|
Б - В
|
1
|
4
|
1
|
| 3
|
В - А
|
2
|
4
|
0
|
| 4
|
Б - В
|
2
|
3
|
1
|
| 5
|
В - А
|
3
|
3
|
0
|
| 6
|
Б-В
|
3
|
2
|
1
|
| 7
|
В-А
|
4
|
2
|
0
|
| 8
|
Б-В
|
4
|
1
|
1
|
| 9
|
В-А
|
5
|
1
|
0
|
| 10
|
Б-В
|
5
|
0
|
1
|
| 11
|
В-А
|
6
|
0
|
0
|
Возможно получение любого количества литров:
| 1 литр - за 1 хода |
4 литра - за 2 хода |
| 2 литра - за 3 хода |
5 литров - за 1 ход |
| 3 литра - за 4 хода |
5. Решение возможно за 8 ходов.
| N |
Действие |
А(10л) |
Б(7л) |
В(4л) |
| 0 |
10 |
0 |
0 |
|
| 1
|
А-В
|
6
|
0
|
4
|
| 2
|
В-Б
|
6
|
4
|
0
|
| 3
|
А-В
|
2
|
4
|
4
|
| 4
|
В-Б
|
2
|
7
|
1
|
| 5
|
Б-А
|
9
|
0
|
1
|
| 6
|
В-Б
|
9
|
1
|
0
|
| 7
|
А-В
|
5
|
1
|
4
|
| 8
|
В-Б
|
5
|
5
|
0
|
| 9
|
А-В
|
1
|
5
|
4
|
| 10
|
В-Б
|
1
|
7
|
2
|
| 11
|
Б-А
|
8
|
0
|
2
|
| 12
|
В-Б
|
8
|
2
|
0
|
| 13
|
А-В
|
4
|
2
|
4
|
| 14
|
В-Б
|
4
|
6
|
0
|
| 15
|
А-В
|
0
|
6
|
4
|
| 16
|
В-Б
|
0
|
7
|
3
|
| 17
|
Б-А
|
7
|
0
|
3
|
| 18
|
В-Б
|
7
|
3
|
0
|
| 19
|
А-Б
|
3
|
3
|
4
|
| 20
|
В-Б
|
3
|
7
|
0
|
| 21
|
Б-А
|
10
|
0
|
0
|
Возможно получение любого количества литров:
| 1 литр - за 4 хода |
6 литров - ха 1 ход |
| 2 литра - за 3 хода |
7 литров - за 1 ход |
| 3 литра - за 1 ход |
8 литров - за 9 ходов |
| 4 литра - за 1 ход |
9 литров - за 5 ходов |
| 5 литров - за 7 ходов |
6. Разделить пополам 10 унций, т.е. получить 5 и 5 унций с помощью коробок в 6 и 4 унций невозможно, т.к. невозможно получить нечетные числа путем вычитания и прибавления четных чисел к четному числу. Возможны следующие действия:
| N |
Действие |
А(10ун) |
Б(6ун) |
В(4ун) |
| 0 |
10 |
0 |
0 |
|
| 1 |
А-Б |
4 |
6 |
0 |
| 2 |
Б-В |
4 |
2 |
4 |
| 3 |
В-А |
8 |
2 |
0 |
| 4 |
Б-В |
8 |
0 |
2 |
| 5 |
А-Б |
2 |
6 |
2
td>
|
| 6 |
Б-В |
2 |
4 |
4 |
| 7 |
В-А |
6 |
4 |
0 |
| 8 |
Б-В |
6 |
0 |
4 |
| 9 |
В-А |
10 |
0 |
0 |
Возможно получение четного количества унций:
| 2 унции - за 2 хода |
6 унций - за 1 ход |
| 4 унции- за 1 ход |
8 унций - за 3 хода |
7. Решение возможно за 7 ходов.
| N |
Действие |
А(12п) |
Б(8п) |
В(5п) |
| 0 |
12 |
0 |
0 |
|
| 1
|
А-Б
|
4
|
8
|
0
|
| 2
|
Б-В
|
4
|
3
|
5
|
| 3
|
В-А
|
9
|
3
|
0
|
| 4
|
Б-В
|
9
|
0
|
3
|
| 5
|
А-Б
|
1
|
8
|
3
|
| 6
|
Б-В
|
1
|
6
|
5
|
| 7
|
В-А
|
6
|
6
|
0
|
| 8
|
Б-В
|
6
|
1
|
5
|
| 9
|
В-А
|
11
|
1
|
0
|
| 10
|
Б-В
|
11
|
0
|
1
|
| 11
|
А-Б
|
3
|
8
|
1
|
| 12
|
Б-В
|
3
|
4
|
5
|
| 13
|
В-А
|
8
|
4
|
0
|
| 14
|
Б-В
|
8
|
0
|
4
|
| 15
|
А-В
|
0
|
8
|
4
|
| 16
|
Б-В
|
0
|
7
|
5
|
| 17
|
В-А
|
5
|
7
|
0
|
| 18
|
Б-В
|
5
|
2
|
5
|
| 19
|
В-А
|
10
|
2
|
0
|
| 20
|
Б-В
|
10
|
0
|
2
|
| 21
|
А-Б
|
2
|
8
|
2
|
| 22
|
Б-В
|
2
|
5
|
5
|
| 23
|
В-А
|
7
|
5
|
0
|
| 24
|
Б-В
|
7
|
0
|
5
|
| 25
|
В-А
|
12
|
0
|
0
|
Возможно получение любого количества пинт:
| 1 пинта - за 5 ходов |
7 пинт - за 1 ход |
| 2 пинты - за 3 хода |
8 пинт - за 1 ход |
| 3 пинты - за 2 хода |
9 пинт - за 3 хода |
| 4 пинты - за 1 ход |
10 пинт - за 5 ходов |
| 5 пинт - за 1 ход |
11 пинт - за 9 ходов |
| 6 пинт - за 6 ходов |
8. Приготовить можно любое количество порций:
| N |
Действие |
А(12ч) |
Б(9ч) |
В(5ч) |
| 0 |
12 |
0 |
0 |
|
| 1 |
А-В |
7 |
0 |
5 |
| 2 |
В-Б |
7 |
5 |
0 |
| 3 |
А-В |
2 |
5 |
5 |
| 4 |
В-Б |
2 |
9 |
1 |
| 5 |
Б-А |
11 |
0 |
1 |
| 6 |
В-Б |
11 |
1 |
0 |
| 7 |
А-В |
6 |
1 |
5 |
| 8 |
В-Б |
6 |
6 |
0 |
| 9 |
А-В |
1 |
6 |
5 |
| 10 |
Б-В |
1 |
9 |
2 |
| 11 |
Б-А |
10 |
0 |
2 |
| 12 |
В-Б |
10 |
2 |
0 |
| 13 |
А-В |
5 |
2 |
5 |
| 14 |
В-Б |
5 |
7 |
0 |
| 15 |
А-В |
0 |
7 |
5 |
| 16 |
В-Б |
0 |
9 |
3 |
| 17 |
Б-А |
9 |
0 |
3 |
| 18 |
В-Б |
9 |
3 |
0 |
| 19 |
А-В |
4 |
3 |
5 |
| 20 |
В-Б |
4 |
8 |
0 |
| 21 |
А-В |
0 |
8 |
4 |
| 22 |
Б-А |
8 |
0 |
4 |
| 23 |
В-Б |
8 |
4 |
0 |
| 24 |
А-В |
3 |
4 |
5 |
| 25 |
В-Б |
3 |
9 |
0 |
| 26 |
Б-А |
12 |
0 |
0 |
| 1 чашка - за 4 хода |
7 чашек - за 1 ход |
| 2 чашки - за 3 хода |
8 чашек - за 3 хода |
| 3 чашки - за 1 ход |
9 чашек - за 1 ход |
| 4 чашки - за 2 хода |
10 чашек - за 11 ходов |
| 5 чашек- за 1 ход |
11 чашек - за 5 ходов |
| 6 чашек - за 7 ходов |
9. Для указанных объемов кастрюлек невозможно отмерить 6 чашек, т.е. невозможно разделить воду пополам.
| N |
Действие |
А(12ч) |
Б(9ч) |
В(7ч) |
| 0 |
12 |
0 |
0 |
|
| 1 |
А-Б |
3 |
9 |
0 |
| 2 |
Б-В |
3 |
2 |
7 |
| 3 |
В-А |
10 |
2 |
0 |
| 4 |
Б-В |
10 |
0 |
2 |
| 5 |
А-Б |
1 |
9 |
2 |
| 6 |
Б-В |
1 |
4 |
7 |
| 7 |
В-А |
8 |
4 |
0 |
| 8 |
Б-В |
8 |
0 |
4 |
| 9 |
А-Б |
0 |
8 |
4 |
| 10 |
В-А |
4 |
8 |
0 |
| 11 |
Б-В |
4 |
1 |
7 |
| 12 |
В-А |
11 |
1 |
0 |
| 13 |
Б-В |
11 |
0 |
1 |
| 14 |
А-Б |
2 |
9 |
1 |
| 15 |
Б-В |
2 |
3 |
7 |
| 16 |
В-А |
9 |
3 |
0 |
| 17 |
Б-В |
9 |
0 |
3 |
| 18 |
А-Б |
0 |
9 |
3 |
| 19 |
Б-В |
0 |
5 |
7 |
| 20 |
В-А |
7 |
5 |
0 |
| 21 |
Б-В |
7 |
0 |
5 |
| 22 |
А-Б |
0 |
7 |
5 |
| 23 |
В-А |
5 |
7 |
0 |
| 24 |
Б-В |
5 |
0 |
7 |
| 25 |
В-А |
12 |
0 |
0 |
Возможно получение любого количества чашек кроме 6:
| 1 чашка - за 5 ходов |
7 чашек - за 1 ход |
| 2 чашки - за 2 хода |
8 чашек - за 7 ходов |
| 3 чашки - за 1 ход |
9 чашек - за 1 ход |
| 4 чашки - за 6 ходов |
10 чашек - за 3 хода |
| 5 чашек- за 1 ход |
11 чашек - за 12 ходов |
10. Путешествие может планироваться на 2, 3, 5 или 6 дней.
| N |
Действие |
А(8б) |
Б(6б) |
В(3б) |
| 0 |
8 |
0 |
0 |
|
| 1 |
А-Б |
2 |
6 |
0 |
| 2 |
Б-В |
2 |
3 |
3 |
| 3 |
В-А |
5 |
3 |
0 |
| 4 |
Б-В |
5 |
0 |
3 |
| 5 |
В-А |
8 |
0 |
0 |
Возможно получение следующего запаса воды:
| 2 бочки - за 1 ход |
5 бочек - за 1 ход |
| 3 бочки - за 1 ход |
6 бочек - за 1 ход |
Распределение задач по сложности
(в зависимости от сложности - количества ходов - приведены объемы жидкости, которые можно получить путем переливаний с помощью трех сосудов заданного объема)
Например, для задачи 7, т.е. для сосудов объемами 12, 8 и 5 пинт за 1 ход можно получить в каком либо сосуде 4, 5, 7 или 8 пинт. Данные задания могут быть оценены в 1 условный балл. 11 пинт сока для этих же емкостей можно получить не менее, чем за 9 ходов. Значит, данная задача будет "стоить" в 9 раз дороже - 9 условных баллов. Самая сложная задача - N 9, отливание 11 чашек воды из 12-чашечной кастрюльки с помощью 9 и 7-чашечных. Она требует 12 ходов.
| N задачи |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Объемы |
10-7-2 |
12-8-3 |
7-4-3 |
6-5-1 |
10-7-4 |
10-6-4 |
12-8-5 |
12-9-5 |
12-9-7 |
8-6-3 |
| 1 ход |
2,3,7,8 |
3,4,8,9 |
3, 4 |
1, 5 |
3,4,6,7 |
4, 6 |
4,5,7,8 |
3,5,7,9 |
3,5,7,9 |
2,3,5,6 |
| 2 хода |
1, 5 |
1, 5 |
1 |
4 |
- |
2 |
3 |
4 |
2 |
- |
| 3 хода |
по5, 6 |
6, 7 |
6 |
2 |
2 |
8 |
2, 9 |
2, 8 |
10 |
- |
| 4 хода |
4 |
2, по 6 |
2 |
3 |
1 |
- |
- |
1 |
- |
- |
| 5 ходов |
- |
10 |
5 |
по 3 |
9 |
- |
1, 10 |
11 |
1 |
- |
| 6 ходов |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
6 |
- |
4 |
- |
| 7 ходов |
9 |
11 |
- |
- |
5 |
- |
по 6 |
6 |
8 |
- |
| 8 ходов |
- |
- |
- |
- |
по 5 |
- |
- |
по 6 |
- |
- |
| 9 ходов |
- |
- |
- |
- |
8 |
- |
11 |
- |
- |
- |
| 10 ходов |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
| 11 ходов |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
10 |
- |
- |
| 12 ходов |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
11 |
- |
В таблице приведены данные для формирования 86 (как минимум) вариантов задач на переливания (пересыпания) с различным уровнем сложности - количеством ходов - от 1 до 12 условных баллов.
Разобравшись с задачами на переливания с помощью сосудов конечного объема, можно перейти ко второму набору задач, в которых вместо одного из сосудов присутствует бесконечный источник или водоем, из которого можно набирать жидкость любое количество раз, а также сливать жидкость в него. Эти задачи можно рассматривать как дополнительные к задачам первого набора.
II. Задачи на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью двух пустых сосудов
(при переливании можно сливать жидкость в исходный сосуд или водоем)
Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?
Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?
Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?
Как решить предыдущую задачу, если на экспертизу необходимо доставить 5 литров нефти, а емкости сосудов составляют соответственно 7 литров и 3 литра?
Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока? [3]
Современный вариант старинной задачи [6].
К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не может выполнить их просьбу. Приятели продолжают настаивать и дают продавцу 100 рублей (сумма зависит от финансово-экономической ситуации в стране и соответственно варьируется) с одним условием, что они получат свои порции одновременно. После некоторого размышления продавец сумел это сделать. Каким образом?
Для решения приведенных задач требуется 4, 6, 8 и более ходов.
Для данного типа задач также применим подход, изложенный в [2]. Приведем решения без полного возможного набора ходов. Объем жидкости в условном сосуде А будет соответствовать объему слитой жидкости, объемы Б и В - заданным объемам по условию задачи. Действие, обозначенное одной буквой, например, Б, означает наполнение сосуда из источника (водоема, исходного сосуда).
1. Задача имеет решение за 4 хода.
| N |
Действие |
А |
Б(9л) |
В(5л) |
| 0 |
0 |
0 |
||
| 1 |
В |
0 |
0 |
5 |
| 2 |
В-Б |
0 |
5 |
0 |
| 3 |
В |
0 |
5 |
5 |
| 4 |
В-Б |
0 |
9 |
1 |
2. Задача решается за 6 ходов. Лишнюю воду сливаем в водоем.
| N |
Действие |
А |
Б(5л) |
В(3л) |
| 0 |
0 |
0 |
||
| 1 |
Б |
0 |
5 |
0 |
| 2 |
Б-В |
0 |
2 |
3 |
| 3 |
В-А |
3 |
2 |
0 |
| 4 |
Б-В |
3 |
0 |
2 |
| 5 |
Б |
3 |
5 |
2 |
| 6 |
Б-В |
3 |
4 |
3 |
3. Для решения требуется 8 ходов. Компот сливаем в ведро.
| N |
Действие |
А |
Б(900г) |
В(500г) |
| 0 |
0 |
0 |
||
| 1 |
Б |
0 |
900 |
0 |
| 2 |
Б-В |
0 |
400 |
500 |
| 3 |
В-А |
500 |
400 |
0 |
| 4 |
Б-В |
500 |
0 |
400 |
| 5 |
Б |
500 |
900 |
400 |
| 6 |
Б-В |
500 |
800 |
500 |
| 7 |
В-А |
1000 |
800 |
0 |
| 8 |
Б-В |
1000 |
300 |
500 |
4. Решение достигается за 8 ходов. Нефть из сосуда В два раза выливается.
| N |
Действие |
А |
Б(9л) |
В(4л) |
| 0 |
0 |
0 |
||
| 1 |
Б |
0 |
9 |
0 |
| 2 |
Б-В |
0 |
5 |
4 |
| 3 |
В-А |
4 |
5 |
0 |
| 4 |
Б-В |
4 |
1 |
4 |
| 5 |
В-А |
8 |
1 |
0 |
| 6 |
Б-В |
8 |
0 |
1 |
| 7 |
Б |
8 |
9 |
1 |
| 8 |
Б-В |
8 |
6 |
4 |
5. Задача также решается за 8 ходов, аналогично предыдущей.
| N |
Действие |
А |
Б(7л) |
В(3л) |
| 0 |
0 |
0 |
||
| 1 |
Б |
0 |
7 |
0 |
| 2 |
Б-В |
0 |
4 |
3 |
| 3 |
В-А |
3 |
4 |
0 |
| 4 |
Б-В |
3 |
1 |
3 |
| 5 |
В-А |
6 |
1 |
0 |
| 6 |
Б-В |
6 |
0 |
1 |
| 7 |
Б |
6 |
7 |
1 |
| 8 |
Б-В |
6 |
5 |
3 |
6. Задача имеет решение за 14 переливаний. Молоко из 17-литрового бидона сливается в цистерну.
| N |
Действие |
А |
Б(17л) |
В(5л) |
| 0 |
0 |
0 |
||
| 1 |
В |
0 |
0 |
5 |
| 2 |
В-Б |
0 |
5 |
0 |
| 3 |
В |
0 |
5 |
5 |
| 4 |
В-Б |
0 |
10 |
0 |
| 5 |
В |
0 |
10 |
5 |
| 6 |
В-Б |
0 |
15 |
0 |
| 7 |
В |
0 |
15 |
5 |
| 8 |
В-Б |
0 |
17 |
3 |
| 9 |
Б-А |
17 |
0 |
3 |
| 10 |
В-Б |
17 |
3 |
0 |
| 11 |
В |
17 |
3 |
5 |
| 12 |
В-Б |
17 |
8 |
0 |
| 13 |
В |
17 |
8 |
5 |
| 14 |
В-Б |
17 |
13 |
0 |
Можно дать достаточно короткое словесное решение задачи: с помощью 5-литрового бидона налить в 17-литровый бидон 15 литров молока. Затем, наполнив еще раз 5-литровый бидон, налить недостающие 2 литра в больший бидон. Тогда в 5-литровом бидоне останется 3 литра молока. Вылив 17 литров молока обратно в цистерну, налить эти 3 литра молока в 17-литровый бидон. Остается добавить туда еще 10 литров молока.
7. Секрет задачи в том, что предложенная сумма, по-видимому, превышает стоимость всего кваса в бочке, а это значит, что в некоторый момент продавец имеет возможность вылить остатки кваса из бочки и использовать ее как дополнительную емкость. Для определения того, в какой момент надо выливать квас из бочки, надо обратиться к предлагаемой в [2] модели решения задачи, аналогии с движением шарика и начертить эту схему. Из нее следует, что для решения задачи мы должны получить 7 литров. А задача получается комбинированной: сначала надо решить задачу II типа, а потом вариант I-го типа.
Сначала получим 7 литров с помощью 5 и 3-литровых сосудов:
| N |
Действие |
А |
Б(5л) |
В(3л) |
| 0 |
0 |
0 |
||
| 1 |
Б |
0 |
5 |
0 |
| 2 |
Б-В |
0 |
2 |
3 |
| 3 |
В-А |
3 |
2 |
0 |
| 4 |
Б-В |
3 |
0 |
2 |
| 5 |
Б |
3 |
5 |
2 |
Далее сливаем квас из бочки и переливаем в нее 7 литров из емкостей. Теперь решаем задачу по типу I:
| N |
Действие |
А(7л) |
Б(5л) |
В(3л) |
| 0 |
7 |
0 |
0 |
|
| 1 |
А-В |
4 |
0 |
3 |
| 2 |
В-Б |
4 |
3 |
0 |
| 3 |
А-В |
1 |
3 |
3 |
| 4 |
В-Б |
1 |
5 |
1 |
Так как приятели должны получить порции по 1 л одновременно из сосудов Б и В, придется Б освободить и перелить 1 л из бочки.
Литература
Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин Математическая шкатулка М.: Просвещение, 1988
Я.И.Перельман Занимательная геометрия М.: ГИФМЛ, 1959, с.238
В.Н.Русанов Математические олимпиады младших школьников М., Просвещение, 1990
Е.П.Коляда Развитие логического и алгоритмического мышления учащихся 2 класса //Информатика и образование. 1996. N1. С. 86.
Ю.А.Первин Алгоритмические этюды Книга для чтения, тетрадь N2 М.: АО КУДИЦ, 1993
И.Ф.Шарыгин Математический винегрет М., АГЕНТСТВО "ОРИОН", 1991