1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
ВВЕДЕНИЕ
Моделирование - один из наиболее распространенных подходов к изучению различных процессов и явлений. Создание сложных систем, производственных комплексов, систем управления этими комплексами часто требует использования знаний о количественных и качественных закономерностях, свойственных рассматриваемым системам. Главными проблемами при этом являются общесистемные вопросы, включающие: определение структуры, организацию взаимосвязи между элементами, взаимодействие с внешней средой, управление функционированием как всей системой, так и ее отдельными элементами.
Приведенный перечень проблем, являющийся далеко не полным, относится к задачам системного анализа и системного моделирования
.
Часто, к сожалению, разработчик быстро убеждается в том, что классические методы прикладной математики не всегда удается успешно использовать для исследования сложных систем. Поэтому всё чаще приходится применять нетрадиционные методы исследования: имитационное, аналитическое и нечеткое моделирования.
1.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Центральными понятиями системного моделирования являются система, системный подход, структура системы, модель, теория моделирования
.
Под системой
обычно понимается совокупность объектов, элементов или составляющих произвольного характера, образующих в некотором смысле определенную целостность. Кроме того, часто используется термин сложная (большая) система.
В этом случае предполагается, что в системе имеется большое количество связанных и взаимодействующих между собой элементов, обеспечивающих выполнение системой определенной достаточно сложной задачи. Примеры сложных систем, встречающиеся в окружающем мире, можно перечислять достаточно долго. Это и компьютер, и автомашина, и телефонный аппарат, и автоматизированная система, и вычислительная система, и деканат, и производственный комплекс, и так далее.
Понятие элемента системы и расчленение ее на отдельные компоненты является относительным. Формально элементом можно считать объект, не подлежащий дальнейшему расчленению на части. Например, рассматривая в качестве сложной системы вычислительную сеть, можно считать ее элементами отдельные компьютеры. Если же сложной системой служит компьютер, то элементами можно считать процессор, память, монитор и так далее.
Системный подход
заключается в том, что исследователь пытается изучать поведение системы в целом, а не концентрировать свое внимание на отдельных ее частях. Такой подход основывается на признании того, что если даже каждый элемент или подсистема имеет оптимальные конструктивные или функциональные характеристики, то результирующее поведение системы в целом может оказаться лишь субоптимальным вследствие взаимодействия между ее отдельными частями. Возрастающая сложность организационных систем и потребность преодолеть эту сложность привели к тому, что системный подход становится все более и более необходимым методом исследования.
Обычно приводят такой пример: «Архитектор может рассматривать дом вместе с его электрической, отопительной и водопроводной системами как одну большую систему. Но инженер-теплотехник вправе рассматривать отопительную систему как законченную систему, а дом как окружающую среду. Для социопсихолога дом может рассматриваться как среда, окружающая семью, а последняя - как система, исследованием которой он занимается. Для него связь между отопительной и электрической системами может не иметь никакого значения, но для архитектора эта взаимосвязь может быть очень важной». Таким образом, необходимо проявлять значительную осторожность при определении изучаемой системы и её границ с окружающей средой.
Определенная совокупность элементов рассматриваемой системы может представляться как ее подсистема. Считается, что к подсистемам относят некоторые самостоятельно функционирующие части системы. Поэтому для упрощения процедуры исследования первоначально необходимо грамотно выделить подсистемы сложной системы, то есть - определить ее структуру.
Структура системы
- это устойчивая во времени совокупность взаимосвязей между ее компонентами (подсистемами). И при системном подходе важным этапом является определение структуры изучаемой, описываемой системы. Это связано с тем, что грамотное выделение подсистем способствует упрощению процедур исследования и анализа результатов.
В исследовании структуры системы существует ряд направлений, основными из которых являются структурный и функциональный подходы. Названия подходов уже говорят о смысле и содержании используемых методик. Структурный подход подразумевает описание состава элементов системы и связи между ними. Функциональный подход заключается в исследовании отдельных алгоритмов ее поведения.
В сложных системах одной из главных является задача управления, которая представляет собой процесс сбора, передачи и переработки информации, осуществляемый специальными средствами. От элементов системы к управляющим устройствам поступает осведомительная информация, характеризующая состояния элементов системы. Кроме того, средства управления могут получать информацию извне в виде управляющих команд от вышестоящих органов управления или воздействий внешней среды. Управляющие устройства перерабатывают всю поступающую к ним информацию. В результате этой переработки синтезируются управляющие команды, которые изменяют состояния и режимы функционирования элементов системы.
Реальные сложные системы обычно функционируют в условиях воздействия на них большого количества случайных факторов, в качестве источников которых могут быть внешние (соседние) системы, стоящие на других уровнях иерархии. Кроме того, случайными факторами воздействия могут быть ошибки, шумы и отклонения различных величин внутри системы. Внешние и внутренние случайные воздействия, естественно, влияют на режимы работы элементов системы и могут существенно менять характер ее функционирования.
На основании сказанного можно перечислить основные отличительные признаки сложных систем:
1. Наличие большого количества взаимно связанных и взаимодействующих между собой элементов.
2. Сложность функции, выполняемой системой и направленной на достижение заданной цели функционирования.
3. Возможность разбиения системы на подсистемы, цели функционирования которых подчинены общей цели функционирования всей системы.
4. Наличие управления (часто имеющего иерархическую структуру), разветвленной информационной сети и интенсивных потоков информации.
5. Наличие взаимодействия с внешней средой и функционирование в условиях воздействия случайных факторов.
В соответствии с пунктами 1 -3 перечисленных признаков считают, что сложная система, рассматриваемая как совокупность объектов (элементов, подсистем), предназначена для выполнения определенных работ или решения некоторого класса задач. Поэтому процесс функционирования сложной системы является совокупностью действий ее элементов, подчиненных единой цели.
Если цели и задачи системы определены, можно ставить вопрос об определении качества ее функционирования, которое оценивается при помощи показателя эффективности
. Это такая числовая характеристика, которая, с одной стороны, оценивает степень приспособленности системы к выполнению поставленных перед нею задач, а с другой, – существенно влияет на результаты ее исследования.
Для пояснения сказанного можно рассмотреть некоторый производственный процесс. При описании целей и задач необходимо указать перечень изделий, для выпуска которых предназначена данная система. Но, приведя только этот перечень, невозможно получить сведения для определения оценки качества функционирования. Если выбрать в качестве показателя эффективности рассматриваемого производственного процесса производительность
, измеряемую количеством изделий, выпускаемых в течении фиксированного интервала времени (смена, неделя, месяц), то может оказаться, что формально будет отдаваться предпочтение факторам, способствующим достижению максимальной производительности. Это может привести к ухудшению других характеристик производственного процесса (экономия сырья, износ оборудования, расход энергии). Если же в качестве показателя эффективности использовать себестоимость
продукции, то, наоборот, экономия сырья, износ оборудования, расход энергии и фонда заработной платы будут иметь важное значение, в тоже время окажется, что производительность может вообще не учитываться.
В итоге для производственного процесса необходимо выбирать такие показатели эффективности, которые учитывают как себестоимость продукции, так и производительность оборудования, например величину прибыли, рентабельность.
Для того чтобы показатель эффективности полно характеризовал качество работы системы, должны учитываться все основные особенности и свойства системы, а также условия ее функционирования и взаимодействия с внешней средой. Таким образом, показатель эффективности должен зависеть от структуры системы, значений ее параметров, характера воздействия внешней среды, внешних и внутренних случайных факторов.
На основании сказанного, показатель эффективности определяется процессом функционирования системы
. Он отражает поведение системы во времени и может быть представлен как последовательное изменение ее состояний. Если система изменяет одно свое состояние на другое, то говорят, что система переходит
из одного состояния в другое.
Поэтому можно представить множество
возможных процессов функционирования системы, элементы которого отличаются друг от друга за счет различных условий и режимов работы системы. Каждому элементу этого множества ставится в соответствие элемент другого множества, а именно множества значений показателя эффективности системы. Так как значения показателя представляют собой действительные числа, то можно говорить об отображении множества процессов функционирования системы на множество действительных чисел, заключенных внутри некоторого интервала (в пределах изменения значений показателя эффективности). На основании сказанного показатель эффективности можно считать функционалом
от процесса функционирования системы.
В связи с тем, что сложные системы работают в условиях действия случайных факторов, значения функционалов оказываются случайными
величинами. Это создает некоторые сложности и поэтому при выборе показателя эффективности пользуются средними значениями соответствующих функционалов. Примерами таких средних значений функционалов служат средние количества изделий, выпускаемых за смену, средняя себестоимость продукции, средняя прибыль (для производственных процессов), средняя длительность поездки, средняя стоимость перевозки (для транспорта), среднее время ожидания в очереди (для систем массового обслуживания).
Иногда в качестве показателя эффективности используются вероятности
некоторых случайных событий, например вероятность успешной посадки самолета (для системы слепой посадки), вероятность застать абонентскую линию занятой (для систем телефонной связи), вероятность попасть в очередной автобус (для пассажира, находящегося в очереди).
Модель
(лат. modulus – мера) является представлением объекта, системы или понятия (идеи) в некоторой форме, отличной от формы их реального существования. Модель обычно служит средством, помогающим в объяснении, понимании или совершенствовании системы. Можно ознакомиться с несколькими определениями этого понятия, приведенными различными авторами.
Модель
– это используемый для предсказания и сравнения инструмент, позволяющий логическим путем спрогнозировать последствия альтернативных действий и достаточно уверенно указать, какому из них отдать предпочтение.
Модель
– это некоторое представление о системе, отражающее наиболее существенные закономерности ее структуры и процесса функционирования и зафиксированное на некотором языке или в некоторой форме.
Модель
– это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.
Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием
. Это один из наиболее распространенных способов изучения различных процессов и явлений.
Существует много подходов к классификации методов и приемов моделирования, но основным является подразделение на физическое
и математическое
моделирование.
При физическом моделировании модель воспроизводит изучаемый процесс (оригинал) с сохранением его физической природы и поэтому, конечно, имеет ограниченное применение.
Математическое моделирование - это способ исследования различных процессов путем изучения явлений, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями.
Под математической моделью
реальной системы понимают совокупность соотношений
(например, формул, уравнений, неравенств, логических условий, операторов), определяющих
характеристики состояний системы (а через них и выходные сигналы) в зависимости от параметров системы, входных сигналов, начальных условий и времени
.
Можно перечислить следующие основные способы использования (исследования) математической модели:
- Аналитическое исследование процессов.
- Исследование процессов при помощи численных методов.
- Моделирование процессов на ЭВМ.
Конечно, первые два подхода в настоящее время немыслимы без реализации всего процесса или некоторых его элементов на компьютерах. Но всё же есть потребность в выделении третьего подхода в самостоятельное направление.
Методы, изучаемые в данном курсе, относятся ко всем трём направлениям. Аналитическому исследованию посвящено аналитическое моделирование (тема 1.1.3 рабочей программы). Исследовать процессы при помощи численных методов предлагается студенту при изучении имитационного моделирования (тема 1.1.2) тем более, что этот подход является разновидностью численных методов решения задач. И при освоении методики нечеткого моделирования (тема 1.1.4) осуществляется именно моделирование на ЭВМ, так как без компьютера оно нереализуемо. При этом в различных темах возможно использование следующих программных средств: MAPLE, MATLAB, GPSS, CubiCalc, FuziCalc, FIDE.
Вопросы для самопроверки
1. Какие цели преследует моделирование?
2. Дайте определение математической модели.
3. Опишите методику составления моделирующего алгоритма.
1.2. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Метод имитационного моделирования является принципиально новым численным методом решения задач, который не накладывает никаких ограничений на сложность задачи и позволяет учитывать в модели любое число cущecтвенных факторов. Поэтому данный метод – практически единственный приемлемый метод получения численного решения тех задач, которые трудно сформулировать аналитически. Суть этого метода заключается в том, что операция, исход которой определяется случайными факторами, представляет собой случайный процесс. Приближенное значение его вероятных характеристик может быть найдено путем проведения натурного эксперимента с последующей статистической обработкой результатов отдельных наблюдений, для чего данная операция должна быть проведена многократно в заданных фиксированных условиях. Каждое наблюдение является реализацией случайного процесса, а отдельный результат наблюдения - случайной величиной, подчиненной тому закону распределения, который и отыскивается при проведении эксперимента.
Методом имитационного моделирования могут быть решены вероятностные задачи любой сложности, если известны вероятностные характеристики параметров исследуемого процесса и их взаимосвязи. Практическим ограничением может являться только требование очень высокой точности результата, так как последнее связано с получением статистической выборки большого объема, что потребует выполнения большого числа реализаций процесса. Время выполнения каждой реализации в значительной степени определяется способом формирования случайных чисел, которые используются как случайные параметры реального процесса. Рациональные способы получения таких чисел обеспечивают решение методом имитационного моделирования задач большой сложности, в том числе задач моделирования процесса функционирования сложных систем управления.
При моделировании сложных систем для удовлетворения требований точности проводится большое количество испытаний, что сопряжено со значительными затратами машинного времени для хранения информации о состояниях системы, усложняет последующую обработку и анализ результатов. Отсюда следует необходимость такой организации вычислительного процесса, при которой оценки интересующих параметров могли бы быть получены в ходе моделирования и не требовали бы сохранения и последующей переработки больших объемов данных.
Следует помнить, что значительное количество операций расходуется на действия со случайными числами. Поэтому с уверенностью можно сказать, что наличие простых и экономных способов формирования последовательностей случайных чисел во многом определяется возможностью практического применения этого метода. В качестве исходной совокупности случайных чисел, используемых для образования случайных элементов различной природы (таких, как случайные события, случайные величины и случайные процессы), необходимо выбирать такую совокупность, которая может быть получена с наименьшими, по возможности, затратами машинного времени и, кроме того, обеспечивает простоту и удобство дальнейших преобразований. Считается, что этим требованиям удовлетворяет совокупность случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0, 1). Наибольшее распространение получили так называемые программные генераторы этих случайных чисел, реализуемые на ЭВМ при помощи специальных программ. Разработаны специальные тесты, позволяющие осуществить статистический анализ качества последовательности случайных чисел и выявить те или иные отклонения. На этом пути проводится сравнительная оценка способов формирования случайных чисел и выбираются для практического использования наиболее точные и экономичные способы.
Студенту следует обратить внимание на то, что существуют два основных пути преобразования случайных величин, имеющих равномерное распространение в интервале (0, 1), в возможные значения случайных величин, закон распределения которых задан. Один из них — так называемый прямой — состоит в реализации некоторой операции, формирующей число у
i
над числом х
i
имеющим (точно или приближенно) заданный закон распределения. Другой основывается на моделировании условий соответствующей предельной теоремы теории вероятностей.
Кроме того, при изучении данной темы необходимо особое внимание уделить структуре моделирующих алгоритмов одно- и многоканальных СМО, освоить методику моделирования СМО на ЭВМ. Необходимо учесть, что наличие имитационной модели, реализованной на ЭВМ, позволяет провести интересные в теоретическом и практическом отношении исследования СМО. В первую очередь очевидны пути решения ряда задач анализа системы. К ним относятся определения показателей эффективности, надежности, помехоустойчивости и другие свойства системы по известным ее параметрам: интенсивности потока требований, количеству каналов и их характеристикам, времени обслуживания и т. д.
Вопросы для самопроверки
1. Как получить последовательность случайных величин, распределенных по заданному закону?
2. Как вычислить определенный интеграл методом имитационного моделирования?
3. Как определить вероятность того, что заявка получит отказ при моделировании процесса функционирования одноканальной СМО?
4. Как преобразовать модель СМО с ограниченным временем ожидания в модель СМО с отказами?
1.3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В большинстве практических случаев трудно построить точную математическую модель рассматриваемого процесса, с помощью которой можно было бы найти характеристики эффективности процесса в зависимости от определяющих параметров. Однако это удается сделать, когда исследуемая система (задача, процесс) может быть представлена в терминах марковских случайных процессов.
Пусть рассматривается некоторая физическая система. Под физической системой может подразумеваться ЭВМ, предприятие, любое техническое устройство, АСУ и т. п. Состояние этой системы меняется с течением времени (т. е. она переходит из одного состояния в другое случайным образом). Обычно можно сказать, что в этой системе протекает случайный процесс. Труднее найти пример системы, в которой происходит неслучайный процесс. В общем случае можно считать, что случайные воздействия присущи любому процессу. Просто в связи с трудностью учета этих случайных воздействий часто ими пренебрегают и процесс рассматривается как детерминированный, неслучайный. И только в том случае, когда учет случайных факторов непосредственно влияет на результаты исследования, приходится принимать их во внимание.
Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским (или «процессом без последствия»), если для любого момента времени t0
вероятностные характеристики процесса в будущем (при t >
t0
)
зависят только от его состояния в данный момент времени t0
и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом).
В практической деятельности часто удается с некоторой степенью приближения свести случайные процессы к марковским. Теория марковских случайных процессов является разделом теории вероятностей и получила сейчас очень широкое распространение.
Студенту необходимо знать, что случайные процессы можно подразделить на процессы с дискретными состояниями и на процессы с непрерывными состояниями. Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если возможные состояния системы можно заранее перечислить (перенумеровать), а переход системы из состояния в состояние происходит скачком (мгновенно). Примером процесса с дискретными состояниями может быть процесс перехода технического устройства из одного состояния в другое: исправно, неисправно, осматривается, ремонтируется и т.д. В качестве примера случайного процесса с непрерывными состояниями (плавный переход из состояния в состояние) можно привести процесс изменения напряжения в осветительной сети.
Для наглядности изображения случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться графами состояний. Вершины графа - это состояния системы, а дуги – возможные переходы из состояния в состояние.
Случайный процесс называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени. В промежутках времени между этими моментами система сохраняет свое состояние.
Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход системы из состояния в состояние возможен в любой случайный момент времени.
Случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния Si
в любое состояние Sj
не зависит от того, когда и как система пришла в состояние Si
. Марковская цепь описывается с помощью вероятностей состоянии.
Обычно ставится следующая задача: найти вероятности состояний системы pi
(
k
)
для любого k
.
Для этого удобно пользоваться графом состояний системы. При этом марковская цепь представляется точкой, перемещающейся по графу и перескакивающей из состояния в состояние в моменты времени t1
,
t2
, …,
tk
, …
или задерживающейся в некоторых состояниях. Очевидно, что для любого tk
существуют вероятности перехода системы из состояния Si
в Sj
(некоторые из них могут равняться нулю при невозможности перехода), а также существуют вероятности задержки системы в определенных состояниях. Они называются переходными вероятностями марковской цепи.
Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага. В противном случае марковская цепь называется неоднородной.
При использовании графа состояний марковской цепи на нем у стрелок обычно ставят соответствующие вероятности Pij
и такой граф называется размеченным. Вероятности Pii
на таком графе не проставляются в связи с тем, что они легко вычисляются, так как каждая из них дополняет до единицы сумму вероятностей, соответствующих стрелкам, исходящим из данной вершины (данного состояния).
Как определить вероятности состояний pi
(
k)
после любого k
-го шага, если известны матрица переходных вероятностей и начальное состояние системы? Пусть известно, что перед первым шагом (в начальный момент времени) система находится в состоянии Sm
. После k-
го шага:
При освоении материала данного раздела необходимо помнить, что марковские процессы (марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем), имея простую структуру, легко описываются математически. Однако практика показывает, что не все процессы массового обслуживания являются марковскими. При наличии последействия во входящем потоке требований или в потоке обслуживания случайный процесс в СМО является уже немарковским и при этом весь математический аппарат становится значительно более сложным. В связи с этим разработаны специальные методы исследования немарковских случайных процессов в СМО, но они выходят за пределы данного курса.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение марковской цепи.
2. Изложите методику составления уравнений Колмогорова.
3. Составьте систему уравнения Эрланга для конкретного примера.
1.4. НЕЧЕТКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Этот раздел посвящен основам оперирования нечеткими понятиями - нечеткими множествами, нечеткой логикой. Эти понятия отличаются от традиционной формальной логики, известной со времен Аристотеля и оперирующей точными и четкими понятиями, такими как «да» или «нет», «истина» или «ложь», «единица» или «ноль», тем, что нечеткая логика имеет дело со значениями, лежащими в некотором (непрерывном или дискретном) диапазоне. Очевидно, что оперировать нечеткими величинами (понятиями) много труднее, чем двоичными битами. Но жизнь и практика постоянно ставят новые задачи, так как оказалось, что понятия повседневной деятельности не укладываются в рамки классической бинарной логики.
Можно привести только несколько примеров из повседневной практики. Какой момент считать началом жизни живого существа? Какое значение веса отличает толстого человека от худого? Какую прибыль можно считать средней, какую хорошей, а какую сверхприбылью? Если формально «загонять» перечисленные понятия в конкретные границы, то это может привести к значительному усложнению задачи или к недопустимому огрублению предметной области.
Джон фон Нейман (один из основоположников кибернетики) отмечал, что стремление получить точную, исчерпывающую модель для достаточно сложного объекта (процесса) не имеет смысла, поскольку сложность такого описания становится соизмеримой со сложностью самого объекта. Следовательно, использование такой модели не позволит просто и наглядно объяснить механизм его функционирования, воспользоваться какими-либо стандартными математическими процедурами для исследования характеристик объекта и синтеза системы управления им. Это особенно относится к таким объектам управления, как производственные процессы, организационные, транспортные, биологические системы.
Более того, согласно знаменитой теореме FAT (Fuzzy Approximation Theorem) любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на нечеткой логике.
Становление, развитие и применение теории нечеткой логики и нечеткого управления началось с 1964 года в результате публикации Л.А. Заде статьи «Нечеткие множества» («Fuzzy Sets”).
Выражаясь словами Л.А. Заде, «в большинстве основных задач, решаемых человеком, не требуется высокая точность. Человеческий мозг использует допустимость такой неточности, кодируя информацию, «достаточную для задачи» (или «достаточную для решения»), элементами нечетких множеств, которые лишь приближенно описывают исходные данные. Поток информации, поступающий в мозг через органы зрения, слуха, осязания и др., суживается, таким образом, в тонкую струйку информации, необходимой для решения поставленной задачи с минимальной степенью точности. Способность оперировать нечеткими множествами и вытекающая из неё способность оценивать информацию является одним из наиболее ценных качеств человеческого разума, которое фундаментальным образом отличает человеческий разум от так называемого машинного разума… Наш мир состоит не из одних нулей и единиц - нам нужна более гибкая логика для того, чтобы представлять реальные взаимосвязи… Нужны подходы, для которых точность, строгость и математический формализм не являются чем-то абсолютно необходимым и в которых используется методологическая схема, допускающая нечеткости и частичные истины».
Суть данного подхода, получившего название «нечеткой логики» («Fuzzy Logic»), заключается в следующем: в нем используются так называемые «лингвистические» переменные вместо обычных числовых переменных или в дополнение к ним; простые отношения между переменными описываются с помощью нечетких высказываний; сложные отношения описываются нечеткими алгоритмами.
Прошедшие сорок лет с момента гениальной публикации Л.А. Заде показали, что методология нечеткого моделирования признана и интенсивно развивается во всем мире. По этой проблематике уже опубликованы сотни тысяч работ, в том числе и по элементной базе нечетких компьютеров и контроллеров, инструментальным средствам разработки инженерных методов расчета и разработки нечетких систем управления и др.
На вопрос: «Что такое нечеткая логика?» обычно дается следующий ответ: «Это технология, которая обеспечивает разработку систем с помощью интуиции и инженерных знаний «know-how». Нечеткая логика использует понятия повседневной речи для определения поведения системы».
Студенту необходимо, восстановив знания по математической логике, освоить методику применения операций над нечеткими множествами и нечеткими отношениями, понять смысл использования нечетких продукций и реализации этапов систем нечеткого вывода.
Для манипулирования нечеткими (размытыми, расплывчатыми, неопределенными) переменными Лотфи Заде ввел специальную логику, в которой факты не только истинны или ложны, но и могут быть истинны с оценкой, изменяющейся от 0 (ложный факт) до 1 (абсолютно истинный факт). А именно, говорят, что функция f
есть нечеткая мера, если она удовлетворяет следующим свойствам:
- если T
- достоверно истинное, а F
- достоверно ложное
высказывание, то
f(F) = 0, f(T) = 1;
- для любых недостоверных высказываний A
и В
0 < f(A) < 1
и (A
-
B)
-
f(A) ≤ F(B).
Это значит, что если кто-то счастлив с оценкой 0, то это очень несчастный человек. Когда же человек счастлив с оценкой 1, то он безусловно счастлив. И если человек счастлив на 0,4, то подразумевается, что на 0,6 он несчастлив (например, посетил музей, но не попал в театр).
В основе алгебры нечетких множеств находятся понятия нечеткого множества и нечетких операций (алгоритмов) над ними.
Нечеткая логика -
это логика, в которой высказывание интерпретируется, как имеющее неточное значение, характеризуемое нечетким множеством, т.е. представляется функцией, принимающей значение на отрезке [0, 1].
Нечетким множеством
(fuzzy set) является совокупность элементов произвольного характера, про которые не удается определенно заявить относятся они или нет к совокупности элементов данного множества.
Нечеткое множество B
- это множество кортежей <x, µB
(x)>. Обычно записывают:
B
=
{<x, µB
(x)>}, "xÎ X
,
где x - элемент универсального множества (универсума) X
;
µB
(x) -
характеристическая функция (или функция принадлежности).
Эта функция µB
(x) каждому элементу xÎ X
ставит в соответствие определенное действительное число, принадлежащее интервалу [0, 1]. Когда xÎ X,
а µB
(x)=1, считают, что элемент x наверняка принадлежит нечеткому множеству B
, если же µB
(x)=0 - элемент x определенно не принадлежит множеству B
.
В общем виде для xi
Î X
, "i =1, 2,…, n
B
= {<x1
, µB
(x1
)>,< x2
, µB
(x2
)>,… ,< xn
, µB
(xn
)>}.
Если для некоторого множества B
= {x1
, x2
, x3
, x4
, x5
, x6
} указана мера принадлежности элементов xi
Î X
, "i =1, 6 множеству B
µB
(x1
) = 0, µB
(x2
) = 1, µB
(x3
) = 0, µB
(x4
) = 1, µB
(x5
) = 1, µB
(x6
) = 0}, то нечеткое множество представляется так:
B
= {<x1
, 0>,< x2
, 1>,< x3
,0>,<x4
,1>,< x5
,1>,< x6
,0>}.
Пусть теперь функция принадлежности µ (x) принимает не только 0 и 1, но и любое значение aÎ [0, 1], то есть µВ
(x3
) = aÎ [0, 1]. Благодаря этому элемент xi
может или не принадлежать B (µВ
= 0), или быть элементом B в небольшой степени ( µВ
близко к 0), или более или менее принадлежать B (µВ
= 0,5), или - в значительной степени быть элементом B (µВ
близко к 1), или, наконец, может быть элементом B (µВ
= 1).
Как задают нечеткие множества?
Например, для множества четных натуральных чисел X={0, 2, 4, 6,…}
нечеткое множество B
- «нечеткое число, близкое к нулю», можно задать так:
B
= {<0, 1.0>, <2, 0.8>, <4, 0.5>, <6, 0.2>}
или B
= {(0, 1.0), (2, 0.8), (4, 0.5), (6, 0.2)}.
Другим способом задания нечеткого множества является графическое представление. В этом случае в качестве графика представляется зависимость функции принадлежности µВ
(x) от значений самих элементов x нечеткого множества B
. Так для указанного множества график функции можно представить соответствующими точками или, если абстрагироваться от физического смысла элементов множества, - в виде кривой.
Возможность выполнения операций над нечеткими множествами
подразумевает, что функция принадлежности часто является синонимом нечеткого множества.
Например, пересечением двух нечетких множеств A
и B
называют третье нечеткое множество C
= A
Ç B
, заданное на том же универсуме X
, функция принадлежности которого равна
µ C
(x) = min { µA
(x), µ B
(x)}, "x Î X
.
Это такое множество, элементы которого одновременно содержатся в A
и в B
:
µC
(x) = µA
(x) Ù µ B
(x), "x Î X
.
Реализация операции пересечения конечных нечетких множеств A
и B
выглядит так:
A
= {(1, 1.0), (2, 0.9), (3, 0.7), (4, 0.5), (5, 0.3), (6, 0.1)},
B
= {(1, 0.2), (2, 0.9), (3, 1.0), (4, 0.9), (5, 0.2), (6, 0)},
C
=A
Ç B
= {(1, 0.2), (2, 0.9), (3, 0.7), (4, 0.5), (5, 0.2)}.
Объединением двух нечетких множеств A
и B
называется такое третье нечеткое множество функция принадлежности которого определяется так:
µD
(x) = max { µA
(x), µ B
(x)}, "x Î X
.
Лингвистическая переменная
Понятие лингвистической переменной используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств. Она используется в нечетком управлении для представления входных и выходных переменных управляемой системы.
Лингвистическая переменная
определяется как кортеж:
<β, T, X, G, M >,
где β - наименование или название лингвистической переменной;
T - базовое терм-множество лингвистической переменной или множество её значений (термов), каждое из которых представляет собой наименование отдельной нечеткой переменной;
Х - область определения (универсум) нечетких переменных, которые входят в определение лингвистической переменной β;
G - некоторая синтаксическая процедура, которая описывает процесс образования или генерирования из множества Т новых, осмысленных значений для данной лингвистической переменной;
М - семантическая процедура, которая позволяет поставить в соответствие каждому новому значению данной лингвистической переменной, получаемому с помощью процедуры G, некоторое содержание посредством формирования соответствующего нечеткого множества.
Пример.
В качестве примера можно рассмотреть ситуацию со скоростью движения автомобильного транспорта в пределах городской черты. Хотя правила дорожного движения регламентируют величину этой скорости, однако многие автолюбители предпочитают давать собственную субъективную оценку своей скорости движения. При этом используются такие определения, как «малая скорость», «средняя скорость» и «высокая скорость» движения. Очевидно, что подобная практическая оценка скорости может относиться к диапазону скоростей в пределах интервала от 0 км/ч до некоторой величины, определяемой личными предпочтениями того или иного водителя. Пусть в нашем примере из соображений удобства это будет величина 100 км/ч.
Формализация субъективной оценки скорости движения может быть выполнена с помощью следующей лингвистической переменной < β1
, T, X, G, M >,
где β1
- скорость движения автомобиля;
T = {«малая скорость
», «средняя скорость
», «высокая скорость
»}; X = [0, 100];
G - процедура образования новых термов с помощью логических связок «И», «ИЛИ» и модификаторов типа «очень», «НЕ», «слегка» и др. Например: «малая или средняя скорость», «очень высокая скорость» и др;
M - процедура задания на Х = [0, 100] нечетких переменных α1
= «малая скорость
», α2
= «средняя скорость
», α3
= «высокая скорость
», а также соответствующих нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов «И», «ИЛИ», «НЕ», «очень», «слегка» и других операций над нечеткими множествами вида: АÇВ, АÈВ, ⌐А и т.п.
Для рассматриваемого примера нечеткие множества А1
, А2
, А3
, соответствующие нечетким переменным: α1
= «малая скорость
», α2
= «средняя скорость
», α3
= «высокая скорость
», удобно задать графически с помощью кусочно-линейной функции принадлежности.
Системы нечеткого вывода
Процесс нечеткого вывода представляет собой некоторый алгоритм получения нечетких заключений на основе нечетких условий или предпосылок с использованием понятий нечеткой логики.
Системы нечеткого вывода предназначены для реализации процесса нечеткого вывода и служат базисом всей современной нечеткой логики. Системы нечеткого вывода позволяют решать задачи автоматического управления, классификации данных, распознавания образов, принятия решений, машинного обучения и многие другие.
В основе систем нечеткого вывода лежит использование нечетких правил (правил нечеткой продукции).
Под правилом нечеткой продукции
или просто - нечеткой продукцией
понимают выражение следующего вида:
Q; P; A
Þ
B
; S, F, N,
где Q - сфера применения нечеткой продукции;
Р - условие применимости ядра нечеткой продукции;
A Þ B - ядро нечеткой продукции, в котором А - условие ядра, В - заключение ядра, Þ - знак логического следования, А и В представляют собой нечеткие лингвистические высказывания;
S - метод или способ определения количественного значения степени истинности заключения ядра;
F - коэффициент определенности или уверенности нечеткой продукции;
N - постусловия продукции.
Система нечетких правил продукции
или продукционная нечеткая система
представляет собой некоторое согласованное множество отдельных нечетких продукций
или правил нечетких продукций.
Основные этапы нечеткого вывода
Системы нечеткого вывода предназначены для преобразования значений входных переменных процесса управления в выходные переменные на основе использования нечетких правил продукции. Для этого системы нечеткого вывода должны содержать базу правил нечетких продукций и реализовать нечеткий вывод заключений на основе посылок или условий, представленных в форме нечетких лингвистических высказываний.
Таким образом, основными этапами нечеткого вывода являются:
- формирование базы правил систем нечеткого вывода,
- фаззификация входных переменных,
- агрегирование подусловий в нечетких правилах продукций,
- активизация или композиция подзаключений в нечетких правилах продукций,
- аккумулирование заключений нечетких правил продукций.
База правил нечетких продукций
представляет собой конечное множество правил нечетких продукций, согласованных относительно используемых в них лингвистических переменных.
Под фаззификацией
понимается не только отдельный этап выполнения нечеткого вывода, но и собственно процесс нахождения значений функций принадлежности нечетких множеств, т.е. это просто введение нечеткости
.
Агрегирование
представляет собой процедуру определения степени истинности условий по каждому из правил системы нечеткого вывода, т.е. это просто формирование условий.
Активизация
в системах нечеткого вывода представляет собой процедуру нахождения степени истинности каждого из подзаключений правил нечетких продукций.
Аккумуляция
или аккумулирование представляет собой процесс нахождения функции принадлежности для каждой из выходных лингвистических переменных.
Дефаззификация
представляет собой процесс нахождения обычного (не нечеткого) значения для каждой из выходных лингвистических переменных.
Для реализации процесса нечеткого моделирования, например в среде MATLAB, предназначен специальный пакет расширения Fuzzy Logic Toolbox. В рамках этого пакета пользователь может выполнять необходимые действия по разработке и использованию нечетких моделей в одном из следующих режимов:
- в интерактивном режиме с помощью графических средств редактирования и визуализации всех компонентов систем нечеткого вывода;
- в режиме команд с помощью ввода имен соответствующих функций с необходимыми аргументами непосредственно в окно команд системы MATLAB.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение нечеткого множества.
2. Изложите методику составления правил нечетких продукций.
3. Перечислите этапы реализации системы нечеткого вывода.
4. Приведите названия алгоритмов нечеткого вывода.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Методы и приемы, изученные в данной дисциплине, могут быть применены не только для решения задач проектирования вычислительных машин, систем и сетей, но и в смежных областях: при анализе АСУ и АСУ ТП, гибких производственных систем, систем автоматизированного проектирования и др.
Среди методов прикладного системного анализа имитационное моделирование является, пожалуй, самым мощным инструментом исследования сложных систем, управление которыми связано с принятием решений в условиях неопределенности. По сравнению с другими методами такое моделирование позволяет рассматривать большее число альтернатив, улучшать качество управленческих решений и точнее прогнозировать их последствия. Эффективность его значительно возросла с появлением мощных компьютеров последних поколений и развитием специальных программных средств. Эти новые возможности открыли путь к блочному построению моделей и преодолению таких преград для широкого использования сложных имитационных моделей в процессах принятия решений, как их недостаточная гибкость и трудность отражения в них динамики и многоуровневой структуры управления.
Чтобы овладеть искусством моделирования, мало одного лишь пассивного знания математических основ имитационного, аналитического и нечеткого моделирования и умения разбираться в «книжных» моделях, сильно упрощающих реальные проблемы. Необходимо также знакомство с практическими аспектами предмета, методологией конструирования моделей, с возможными причинами успехов и неудач. Необходимо овладение новыми информационными технологиями, которые всё чаще рекламируются издательствами, фирмами и индивидуальными разработчиками.
2. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
По данной дисциплине каждый студент выполняет две контрольные работы, которые включают всего 10 задач. Выбор варианта задания осуществляется по двум последним цифрам шифра студента (n
- последняя цифра, m
– предпоследняя цифра) и по последней цифре z
года выполнения работы.
Контрольные работы оформляются в отдельной папке (брошюре, тетради). На обложке должно быть указано: название дисциплины, фамилия, имя и отчество студента (полностью), шифр, специальность и адрес (почтовый и/или электронный).
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1
Задача 1.
Используя процедуру моделирования дискретной случайной величины, осуществить моделирование результата реализации случайных событий.
Пользуясь последовательностью случайных величин, равномерно распределенных в интервале (0, 1), полученных средствами табличного процессора EXCEL (функция СЛЧИС( )) или средствами пакета MAPLE, или взятых в любом справочнике по теории вероятностей, произвести серию, состоящую из десяти независимых опытов (т.е. определить, какие события произошли), при которых искомый результат для z
, равной 0, 2, 4, 6, 8 (четные), является сложным событием, зависящим от двух независимых событитий A и B, а для z
, равной 1, 3, 5, 7, 9, (нечетные) - сложным событием, зависящим от двух зависимых событий А и B.
Различные варианты вероятностей рА
и рВ
для четных z
и pА
, pВ
, р(В/А) для нечетных z
приведены ниже:
pА
= |m - n| * 0,02 + (n + m) * 0,01 + 0,1;
pB
= 0,01 * (n + m) + 0,30;
p(B/A) = |n - m| * 0,02 + 0,35.
Задача 2.
Используя процедуру моделирования дискретной случайной величины, осуществить моделирование однородной цепи Маркова, состоящее в последовательном выборе десяти событий Aj по жребию в соответствии с вероятностями pij
заданных матрицей переходов П, и начальными вероятностями p0
j
. Для этого опять можно воспользоваться последовательностью случайных величин (как и в первой задаче), равномерно распределенных в интервале (0, 1), взятых, например, на с. 38 [1].
Размерность v
квадратной матрицы П определяется z
: для z
, равной 1, 3, 5, 7, 9, v
= 3, а для z
, равной 0, 2, 4, 6, 8, v
= 4.
Начальное состояние цепи задается начальными вероятностями р0
j
и в простейшем случае p0
j
= 1/v
.
Для v
= 3
.
Для v
= 4
,
где
Задача 3.
Определить последовательность из десяти значений случайной величины x, распределенной в зависимости от варианта v
, по одному из следующих законов распределения:
v
= 1 - равномерно по закону ,
v
= 2 – по показательному закону
v
= 3 - по закону распределения
v
= 4 - по закону распределения
v
= 5 - по нормальному закону,
где v
вычисляется по следующим формулам: v =
z + 1
для z
= 0,…, 4 и v =
z – 4
для z
= 5,…, 9.
В вариантах для v
, равной 1, 4 и 5, а
или с,
или sx,
т.е. символ q
, выбираются во второй строке в зависимости от n
, расположенной в первой строке табл. 1, a b
или mx
, т.е. символ w
, - в третьей строке в зависимости от m
, расположенной в первой строке.
Таблица 1
| n
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| q
|
1 |
2 |
1 |
0,5 |
1,5 |
2 |
2,5 |
1,5 |
0,5 |
1 |
| w
|
3 |
3,5 |
4 |
5 |
5,5 |
3,5 |
4 |
3 |
6 |
3,5 |
В вариантах v
= 2 и 3 параметр l вычисляется по формуле
Задача 4.
Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Каково должно быть число опытов (реализаций) для того чтобы с заданной вероятностью Q можно было ожидать, что частота m/N события А отклонится от его вероятности р меньше, чем на заданную величину e?
Исходные данные в этой задаче определяются следующим образом:
р
= |n - m| * 0,1 + n * m * 0,01,
e = n * m * 0,001 + 0,001.
Задача 5
. Для однородной марковской цепи, матрица переходных вероятностей которой представлена в условии задачи 2, рассчитать вероятности состояний pi
(k) для k = 0, 1, 2, 3 при условии, что при k = 0 система находилась в состоянии номер w (Aw
). При этом w определяется по следующим зависимостям:
w = 1 при n и m четных,
w = 2 при n и m нечетных,
w = 3 при n четном и m нечетном,
w = 4 при n нечетном и m четном.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2
Задача 6.
Составить систему алгебраических уравнений для нахождения предельных вероятностей состояний системы, граф которой может быть построен на основании использования матрицы переходных вероятностей, приведенной в задаче 2, и в которой необходимо считать величины pij
(вероятности перехода системы из состояния Аi
в состояние Аj
) величинами плотностей вероятностей перехода λij
из i-го состояния в j-е.
Задача 7.
Для процесса «размножения и гибели», количество состояний которого равно 5 (т.е. Si
- это S0
, S1
, S2
, S3
, S4
) построить размеченный граф состояний и рассчитать вероятности состояний. При этом величины λij
для i, изменяющихся от 0 до 3, и j - от 1 до 4, представленных в первом столбце табл. 2, а величины λji
- во втором столбце, для различных значений n и m выбираются из третьего столбца.
Таблица 2
| Значения i и j |
Значения j и i |
λij
|
| 1 |
2 |
3 |
| i=0, j=1 |
- |
(n+m)+0,1 |
| i=1, j=2 |
j=4, i=3 |
n+0,4m |
| i=2, j=3 |
j=3, i=2 |
n+0,3m |
| i=3, j=4 |
j=2, i=1 |
n+0,2m |
| - |
j=1, i=0 |
n+0,1m |
Задача 8.
Система массового обслуживания (СMО) имеет n
+ 2 равноправных каналов и обслуживает поток заявок с интенсивностью l
= n
+ 1 (1/мин). Интенсивность обслуживания заявок одним каналом m
= m
+ 2 (1/мин). Потоки заявок и обслуживания считать пуассоновскими. Длина очереди ограничена и равна m.
Если n
и m
имеют значения, большие пяти, то количества каналов и мест в очереди вычисляются путём деления значений n
и/или m
на 2 с округлением до целого.
Построить размеченный граф состояний системы. Найти характеристики СМО: вероятности состояний системы, вероятность отказа, относительную пропускную способность системы, абсолютную пропускную способность и среднее количество занятых каналов.
Задача 9.
Разработать моделирующий алгоритм для СМО, параметры которой приведены в задаче 8, в предположении, что модель реализуется методом имитационного моделирования. В алгоритме предусмотреть расчет характеристик с точностью
e = 0,01*n + 0,1.
При обработке результатов моделирования предусмотреть вычисление следующих величин: вероятность обслуживания заявок, вероятность отказа в обслуживании, производительность системы, среднее время пребывания заявок в системе.
Задача 10.
Разработать пример задачи нечеткого вывода. Знания о рассматриваемой предметной области (она выбирается студентом самостоятельно, исходя из личных пристрастий или производственной заинтересованности) представляются в форме эвристических правил продукций.
Для выбранной предметной области рассмотреть входные и выходные лингвистические переменные и правила нечетких продукций. Определить функции принадлежности для входных и выходных переменных. Получить графики результата нечеткого вывода для конкретных значений входных переменных.
5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Задачи 1, …, 4 и 9 относятся к разделу имитационного моделирования, 5, …, 8 – аналитического моделирования, а задача 10 - нечеткого моделирования.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1
Задача 1.
Эта задача посвящена освоению процедуры моделирования дискретной случайной величины.
Для начала необходимо освоить алгоритм выбора варианта задания. Пусть шифр студента заканчивается цифрами 3 и 7 (n
= 7, m
= 3), а для года выполнения работы 2004 z
= 4. Это значит, во-первых, что необходимо реализовать сложное событие, зависящее от двух независимых событий А и В. В соответствии с приведенными формулами в тексте задачи, вероятности состояний вычисляются следующим образом:
pА
= |m - n| * 0,02 + (n + m) * 0,01 + 0,1 =
= |3 – 7|*0,02+(7 + 3) * 0,01+0,1=4*0,02 +10 *0,01+0,1 = 0,28;
pB
= 0,01 * (n + m) + 0.30 = 0,01 * (7 + 3) + 0,3 = 0,40.
Таким образом, определены исходные данные: вероятность pA
наступления события A равна 0,28, а вероятность pB
= 0,40.
Теория этого вопроса приведена в учебном пособии [1] на с.44-45, а пример реализации на с. 46.
Если же в соответствии с условием задачи будет необходимо реализовать сложное событие, состоящее из двух зависимых событий А и В (в случае, когда год выполнения работы заканчивается на нечетную цифру), тогда необходимо вычислить и значение условной вероятности р(В/A):
p(B/A) = |n - m| * 0,02 + 0,35 = |3 – 7| * 0,02 + 0,35 = 0,43.
Теория же этого вопроса приведена на с. 46-47 того же учебного пособия, а пример реализации - на с.47-48.
Задача 2.
Задача посвящена освоению методики моделирования однородной цепи Маркова. Расчет величин переходных вероятностей матрицы П аналогичен процедуре расчета, изложенной в предыдущей задаче. При этом нужно помнить, что сумма вероятностей в строке матрицы П должна равняться единице. Пусть для v
= 4 и после подстановки значений n
и m
в формулы первой строки матрицы П получены значения вероятностей: p11
= 0,14, p12
= 0,25, p13
= 0,06. Это значит, что величина вероятности р14
вычисляется как единица минус сумма всех остальных вероятностей в строке, т.е. р14
= 1 – (0,14+0,25+0,06) = 0,45.
Теория реализации однородной цепи Маркова приведена на с.48-49, а пример - на с. 49-50.
Задача 3.
Теория и методики получения последовательностей случайных величин с заданным законом респределения приведены на с. 50 – 57 учебного пособия [1], там же есть и примеры реализации этих методик.
Задача 4.
Эта задача посвящена освоению методики определения количества реализаций процесса имитационного моделирования, для того чтобы получить результаты имитации с требуемой точностью.
Этот вопрос излагается в параграфе 2.7 учебного пособия [1].
Если опять считать, что шифр студента оканчивается цифрами 3 и 7, то исходные данные в этой задаче определяются следующим образом:
р = |
n -
m| * 0,1 +
n *
m * 0,01 = |7 –3|*0,1 + 7 * 3 * 0,01 = 0,61,
e = n * m * 0,001 + 0,001
= 7 * 3 *0,001 + 0,001
= 0,022 ≈ 0,02.
Задача 5
. Для решения этой задачи необходимо ознакомиться с содержанием параграфа 4.1 учебного пособия [1], сама методика и пример расчета приведены на с. 107-112.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2
Задача 6.
Данная задача посвящена закреплению знания теоретического метериала, изложенного в параграфе 4.4 учебного пособия [1]. Сама методика и пример находятся на с.124-127.
Задача 7.
Решение этой задачи необходимо начинать только после ознакомления с материалом параграфа 4.5 учебного пособия [1]. В этом параграфе, расположенном на с. 127-131, есть и пример расчета.
Если шифр студента по-прежнему заканчивается на теже цифры 3 и 7, то, пользуясь табл. 2, можно получить следующие значения величин λij
и λji
в качестве исходных данных:
λ01
= 10,1; λ12
= 8,2; λ23
= 7,9; λ34
= 7,6;
λ43
= 8,2; λ32
= 7,9; λ21
= 7,6; λ10
= 7,3.
Задача 8.
Задача посвящена овладению аналитических методов определения характеристик СMО. Этот материал находится в учебном пособии [1] на стр. 133-158. Там же приведены примеры расчёта.
Для цифр шифра 37 количество каналов в СМО будет равно 9, количество мест в очереди - 3, интенсивность входного потока заявок l
= 6 (1/мин), а интенсивность обслуживания m
= 5 (1/мин). Таким образом, рассматривается СМО вида М/
M/9/3
с характеристиками потоков l
= 6 и m
= 5. Это многоканальная СМО с ограниченной очередью (см. с.143-148 [1]).
Если в шифре студента m = 0, то это СМО с отказами (без очереди) - с. 133-140.
В случае, когда n = 1 - это одноканальная СМО (с. 143-148). А если и m = 0, то это одноканальная СМО с отказами (с. 140-142). Если же n = 0, то такой вариант недопустим, и необходимо количество обслуживающих каналов принять равным пяти.
При решении задачи необходимо выполнять определенную последовательность этапов (указанную на с. 137), а именно: построение графа состояний, разметка графа, вычисление величин pi
, вычисление показателей эффективности Ротк
, q, A и k.
Задача 9.
Как указано в задании, исходные данные для этой задачи берутся из условия задачи 8. То есть, как выбрано в предыдущей задаче, это, например, СМО с девятью каналами и тремя местами в очереди. Небходимо разработать моделирующий алгоритм для такой СМО. В учебном пособии [1] этот материал расположен в главе 3 (с. 74-103).
Никакие расчеты производить не нужно, так как это только моделирующий алгоритм. То есть нужно разработать блок-схему алгоритма функционирования СМО для своих исходных данных. Но нужно предусмотреть такое количество реализаций процесса моделирования, чтобы искомые данные вычислялись с точностью e = 0,001 * n + 0,001 = 0,001 * 7 + 0,001 = 0,008 ≈ 0,01.
То есть необходимо задать такое количество реализаций процесса имитации функционирования СМО, чтобы результаты вычислялись с точностью до сотых (см. § 2.7 на с. 63-70 [1]).
Задача 10.
Задача посвящена закреплению теоретического материала, относящегося к разделу нечеткого моделирования ([7], с. 7…221; [10], c.9…56; [11], c. 80…110).
В качестве примера можно рассмотреть задачу «Чаевые в ресторане»
[7,10].
Анализируется ситуация в ресторане, при которой, согласно принятым в некоторых странах традициям, после окончания обслуживания принято оставлять официанту чаевые. Основываясь на устоявшихся обычаях и интуитивных представлениях посетителей ресторанов, величина суммы чаевых не является постоянной и зависит, например, от качества обслуживания и приготовления заказанных блюд.
Задача состоит в том, чтобы разработать некоторую систему, которая была бы реализована в виде системы нечеткого вывода и позволяла бы определять величину чаевых на основе субъективных оценок посетителя качества обслуживания и приготовления блюд.
Знания о рассматриваемой проблемной области могут быть представлены в форме следующих эвристических правил продукций:
1. Если обслуживание плохое или ужин подгоревший, то чаевые - малые.
2. Если обслуживание хорошее, то чаевые - средние.
3. Если обслуживание отличное или ужин превосходный, то чаевые - щедрые.
Приведенные правила субъективны и не свободны от критики. В частности, для многих посетителей наших ресторанов может показаться странным правило 1, согласно которому следует оставлять чаевые в случае плохого обслуживания или подгоревшего ужина, и правило 2, согласно которому следует оставлять средние чаевые даже в случае подгоревшего ужина. Возможно, некоторые пердпочтут вообще не оставлять чаевых в подобных ситуациях и будут по-своему правы. Тем не менее, данный пример широко используется в литературе.
В качестве входных параметров системы нечеткого вывода рассматриваются два нечеткие лингвистические переменные: «качество обслуживани
я» и «качество приготовления
заказанных блюд
» (или сокращенно - «качество ужина
»), а в качестве выходных параметров - нечеткая лингвистическая переменная «величина чаевых
».
В качестве терм - множества первой лингвистической переменной «качество обслуживания
» используется множество Т1
= {«плохое», «хорошее», «отличное»},
а в качестве терм – множества второй лингвистической переменной «качество
ужина
» используется множество Т2
= {«подгоревший»
, «превосходный
»}. В качестве терм – множества выходной лингвистической переменной «величина чаевых
» используется множество Т3
= {«малые», «средние», «щедрые
»}.
С учетом этих уточнений, рассматриваемая субъективная информация о величине чаевых может быть представлена в форме трёх правил нечетких продукций следующего вида:
ПРАВИЛО 1: ЕСЛИ «качество обслуживания плохое» ИЛИ «ужин подгоревший», ТО «величина чаевых малая».
ПРАВИЛО 2: ЕСЛИ «качество обслуживания хорошее», ТО «величина чаевых средняя».
ПРАВИЛО 3: ЕСЛИ «качество обслуживания отличное» ИЛИ «ужин превосходный», ТО «величина чаевых щедрая».
Процесс разработки системы нечеткого вывода в рамках решения задачи 10 контрольной работы на этом завершается. Продолжением будет выполнение лабораторной работы 3 на тему «Нечеткое моделирование». Работа реализуется на системе MATLAB в интерактивном режиме.