Методические указания по лабораторным работам По дисциплине

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тихоокеанский государственный университет

Институт экономики и управления

Кафедра Экономическая кибернетика

Методические указания по лабораторным работам

По дисциплине Методы социально-экономического прогнозирования

Для специальности

080116.65 «Математические методы в экономике»

Методические указания разработаны в соответствии с составом УМКД

Методические указания разработала Порошина Л.А. _____________

Методические указания утверждены на заседании кафедры,

протокол № ______ от «___» _______________ 200__ г.

Зав. кафедрой _________ «___» ______________ 200__ г. Пазюк К.Т.

Методические указания по лабораторным работам по дисциплине «Эконометрическое моделирование» включают тематику лабораторных заданий, выполняемых во время аудиторных занятий.

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании УМКС и рекомендованы к изданию

протокол № ______ от «___» _______________ 200__ г.

Председатель УМКС _______ «___» __________ 200__ г.

Директор института _________ «___» ____________ 200__ г. Зубарев А.Е.

Введение

Реалии нынешнего этапа развития российской государственности выдвигают в число первоочередных задачу перехода к стабильному, предсказуемому и эффективному развитию экономики страны, что в свою очередь не возможно без специальных знаний в области методологии, методики и технологии составления научно-обоснованных макро- и микроэкономических прогнозов социально-экономического развития. Масштаб стоящих перед российским бизнесом проблем, а также качественный уровень развития современного научно-технического потенциала требует соответствующей теоретической и практической подготовки специалистов в области экономико-математического моделирования. Прогнозная информация, с одной стороны, необходима как основа планирования деятельности любого социально-экономического объекта, а с другой стороны - как предварительная оценка последствий принимаемых решений с целью их оптимизации. Отсюда ясна важность данной дисциплины для формирования специалиста в области математических методов и исследования операций в экономике.

В этой связи цель дисциплины "Методы социально-экономического прогнозирования" - вооружить студентов специальности "Математические методы в экономике" - 080116.65 знаниями общих закономерностей составления научных прогнозов развития социально-экономических объектов; познакомить их с максимально широким инструментарием выработки прогнозов развития социально-экономических объектов, а также методиками его использования в практике прогнозирования; выработать в процессе обучения у студентов навыки грамотного использования аппарата математического моделирования посредством применения передовых информационных технологий.

Задачи курса: изучение методологических основ прогнозирования, а также приемов и методов прогнозирования экономических процессов.

Дисциплина «Методы социально-экономического прогнозирования» опирается на материал учебных дисциплин: «Математический анализ», «Теория вероятности и математическая статистика», «Экономическое моделирование», «Математические методы исследования операций», «Эконометрика» и других дисциплин. В соответствии с Государственным образовательным стандартом она является дисциплиной специализации по специальности «Математические методы в экономике» и полностью соответствует по содержанию его требованиям.

Основная цель лабораторных занятий - углубленное изучение проблем, затронутых в лекционном курсе, и отработка навыков в применении изучаемых методов и процедур прогнозирования с использованием современного программного обеспечения персональных компьютеров.

В качестве базового информационно-программного инструментария на лабораторных работах предлагается воспользоваться продуктами Excel, StatGraphics, Statistica. В ходе освоения дисциплины студенты могут ознакомиться и с дополнительными программными средами, например, Matlab (Statistics Toolbox, GARCH Toolbox), Mathcad, SPSS, Eviews и др., а также специальными оптимизационными и модулями математических пакетов Matlab (Optimization Toolbox), Mathcad, Mathematica и др.

Изучение дисциплины заканчивается написанием и защитой курсовой работы и сдачей итогового экзамена.

Краткие характеристики лабораторных работ

Тема 1. Прогнозирование с учетом сезонной составляющей

Задание.
Построить точечный и интервальный прогноз на основе мультипликативной модели, аддитивной модели и модели Винторса.

Исполнение
: выполнение индивидуального задания с использованием Excel. Интерпретация результатов решения.

Оценка
. Практическая реализация теоретических методов прогнозирования.

Время выполнения заданий
: 2 часа.

Методические указания

Построение аддитивной модели временного ряда. Обратимся к данным об объеме правонарушений на таможне за четыре года, представленным в табл. 1.

Было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 1).

1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 1). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 1).

Таблица 1 – Расчёт сезонной компоненты

№ квартала,	Количество правонарушений,	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	375	–	–	–	–
2	371	2630	657,5	–	–
3	869	2612	653	655,25	213,75
4	1015	2712	678	665,5	349,5
5	357	2835	708,75	693,75	-336,75
6	471	2840	710	709,375	-238,375
7	992	2873	718,25	714,125	277,875
8	1020	2757	689,25	703,75	316,25
9	390	2757	689,25	689,25	-299,25
10	355	2642	660,5	674,875	-319,875
11	992	2713	678,25	669,375	322,625
12	905	2812	703	690,625	214,375
13	461	2740	685	694	-233
14	454	2762	690,5	687,75	-233,75
15	920	–	–	–	–
16	927	–	–	–	–

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 1). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты (табл. 2). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 2 – Расчёт скорректированной сезонной компоненты

Показатели	Год	№ квартала,
		I	II	III	IV
	1999	–	–	213,75	349,5
	2000	-336,75	-238,375	277,875	316,25
	2001	-299,25	-319,875	322,625	214,375
	2002	-233	-233,75	–	–
Всего за -й квартал		-869	-792	814,25	880,125
Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала,		-289,667	-264	271,417	293,375
Скорректированная сезонная компонента,		-292,448	-266,781	268,636	290,593

Для данной модели имеем:

.

Корректирующий коэффициент: .

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты () и заносим полученные данные в таблицу 2.

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

.

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (гр. 4 табл. 3). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 3 – Трендовая и слуайная компонента

1	2	3	4	5	6	7	8
1	375	-292,448	667,448	672,700	380,252	-5,252	27,584
2	371	-266,781	637,781	673,624	406,843	-35,843	1284,721
3	869	268,636	600,364	674,547	943,183	-74,183	5503,117
4	1015	290,593	724,407	675,470	966,063	48,937	2394,830
5	357	-292,448	649,448	676,394	383,946	-26,946	726,087
6	471	-266,781	737,781	677,317	410,536	60,464	3655,895
7	992	268,636	723,364	678,240	946,876	45,124	2036,175
8	1020	290,593	729,407	679,163	969,756	50,244	2524,460
9	390	-292,448	682,448	680,087	387,639	2,361	5,574
10	355	-266,781	621,781	681,010	414,229	-59,229	3508,074
11	992	268,636	723,364	681,933	950,569	41,431	1716,528
12	905	290,593	614,407	682,857	973,450	-68,450	4685,403
13	461	-292,448	753,448	683,780	391,332	69,668	4853,630
14	454	-266,781	720,781	684,703	417,922	36,078	1301,622
15	920	268,636	651,364	685,627	954,263	-34,263	1173,953
16	927	290,593	636,407	686,550	977,143	-50,143	2514,320

Шаг 4. Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда () с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

.

Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени (гр. 5 табл. 3).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл. 3).

На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.

Рис. 1 – Динамика скорректированных показателей

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

.

Получим

;

.

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и . Таким образом,

;

.

Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.

Построение мультипликативной модели рассмотрим на данных предыдущего примера.

Тема 2. Прогнозирование на основе наивных методов и методов средних

Задание.
Построить точечный прогноз на основе наивных моделей и методов средних.

Исполнение
: выполнение индивидуального задания с использованием Excel. Интерпретация результатов решения.

Оценка
. Практическая реализация теоретических методов прогнозирования.

Время выполнения заданий
: 2 часа.

Методические указания

По данным ряда динамики (таблица 4) необходимо выполнить прогноз и оценить его статистическую значимость.

Таблица 4 – Расчёты для экспоненциальной модели

Месяц	Остаток денег на начало месяца, трлн. руб., (уt )	Экспоненциально сглаженные уровни ряда, (Qt )
январь	75,8	75,80	-	-
февраль	70,5	74,74	17,978	0,0601
март	74,5	74,69	0,037	0,0026
апрель	72,1	74,17	4,300	0,0288
май	75,3	74,40	0,812	0,0120
июнь	73,4	74,20	0,639	0,0109
июль	76,1	74,58	2,313	0,0200
итого	-	74,88	26,077	0,134

Экспоненциально сглаженные уровни ряда динамики:

, где

Yt
– уровень ряда динамики за период t; - параметр сглаживания (=0,2).

Прогнозное значение остатка денег на начало августа:

=74,88 трлн. руб.

Для точности прогноза определим:

- остаточную дисперсию:

==8,7;

- среднюю ошибку аппроксимации:

=0,134/5*100=2,7%<10%, следовательно, точность прогноза можно признать надёжной.

Тема 3. Адаптивные методы прогнозирования

Задание.
Построение прогнозов на основе методов экспоненциального сглаживания, моделей Брауна и Хольта.

Исполнение
: выполнение индивидуального задания с использованием ППП Statistica 6.0 и Statgraphics. Интерпретация результатов решения.

Оценка
. Практическая реализация теоретических методов прогнозирования.

Время выполнения заданий
: 4 часа.

Методические указания

На основе исходных данных (таблица 5) необходимо построить модели по рядам динамики, выполнить прогноз.

Таблица 5 – Исходные данные для лабораторной работы №3

Год	Темп прироста производительности труда, %	Год	Темп прироста производительности труда, %
1	10	15	4
2	6,4	16	6,2
3	6,8	17	6,9
4	8	18	6,1
5	11,1	19	5,1
6	6,7	20	7
7	6,9	21	6,5
8	7	22	5,3
9	8,2	23	6,3
10	6,1	24	6,4
11	3,8	25	5,8
12	6	26	3,4
13	5,2	27	4,1
14	2,9

Введем исходные данные. Переименуем показатели: год – t, темп прироста производительности труда – у.

Выберем процедуру Forecasting
(прогнозирование)
в модуле Time
-
Series
Analysis
(анализ временных рядов)
из пункта Special
(специальный)
главного меню (рис. 2).

Рисунок 2 – Меню Special

Система выдаст входную панель Forecasting
(рис. 3).

Введем в поле Date
имя переменной у, установим переключатель Year
(
s
)
. Number
of
Forecasts
(период упреждения)
примем равным пяти (рис. 3). Остальные поля оставим без изменения.

Рисунок 3 – Входная панель процедуры прогнозирования

STATGRAPHICS
выдаст сводку предварительного анализа. Щелкнем на панели правой кнопкой мыши и во всплывшем меню выберем Analysis
Options
(опции анализа).
STATGRAPHICS
выведет панель Model
Specification
Options
(опции спецификации модели). Она представлена на рис. 4.

Устанавливаем Linear
Trend
/
OK
. Система построит линейную модель (рис. 4).

Рис. 4 – Панель спецификации моделей прогнозирования

Вызовем панель Graphical
Options
(графические опции)
и отметим флажком пункт Time
Sequence
Plot
(график временной последовательности).
STATGRAPHICS построит искомый график (рис. 5).

Рис. 5 – Окно анализа процедуры прогнозирования

Двойным щелчком левой кнопки мыши можно максимизировать или минимизировать панель. Щелчок правой кнопкой вызывает контекстное меню, пункты которого зависят от выбранной процедуры и типа панели (графическая или текстовая).

Результаты проведенного анализа можно сохранить в файле StatFolio
.

В прогнозировании помимо построения линейного тренда используется широкий набор моделей. Динамические ряды также нуждаются в предварительном анализе. Данные процедуры позволяет сделать мод

уль в STATGRAPHICS Time
-
Series
Analysis
.
Основные процедуры данного модуля представлены в таблице 6.

Используя процедуры сглаживания STATGRAPHICS, устраним случайные колебания исследуемого временного ряда. Воспользуемся процедурой Simple Moving Average
, далее EWMA
и Resistant Nonlinear Smoothing
.

Выберем в модуле Time-Series Analysis
процедуру Smoothing
. Появится панель ввода, которая аналогична панели Forecasting
. Введем имя переменной и установим переключатель Year
(
s
)
(рис. 6). ОК
.

Таблица 6 – Основные процедуры модуля АВР STATGRAPHICS

Процедура	Содержание	Описание
Descriptive Methods Analysis (описательные истоды анализа)	1. Horizontal and Vertical Time Sequence Plot (горизонтальный и вертикальный график временной последовательности) 2. Autocorrelations (автокорреляция) 3. Periodogram and Periodogram Table (периодограммма: табличные значения и график) 4. Tests for Randomness (критерии случайности) 5. Crosscorrelations (кросскорреляция)	Процедура позволяет установить структуру временных рядов с использованием разнообразных критериев
Smoothing (сглаживание)	1. Simple Moving Average (простая скользящая средняя) 2. Spencer/ s 15-term/21-term MA (скользящие средние Спенсера по 15 и 21 точкам) 3. Henderson/ s Weighted MA (взвешенная скользящая средняя Хендерсона) 4. EWMA (взвешенная скользящая средняя) 5. Resistant Nonlinear Smoothing (устойчивое нелинейное сглаживание)	Процедура осуществляет различные виды сглаживания
Seasonal Decomposition (сезонное разложение)	1. Multiplicative and Additive Seasonal decomposition method (сезонное разложение по мультипликативной или аддитивной модели) 2. Seasons Indices (сезонные индексы)	Процедура проводит сезонное разложение временного ряда
Forecasting (прогнозирование)	1. Random Walk (случайная выборка) 2. Mean (средняя) 3. Trend/ s models (трендовые модели) 4. Exponential Smoothing (экспоненциальное сглаживание) 5. ARIMA Model (объединенная модель авторегрессии и скользящего среднего)	Процендура осуществляет прогнозы по различным моделям

Рисунок 6 – Входящая панель процедуры сглаживания

Система выведет в рабочей области сводку простого пятиточного сглаживания, установленного по умолчанию. В табличных опциях устанавливаем флажок в поле Date
Table
(таблица данных)
, а в графических – Time
Sequence
Plot
(график временной последовательности)
(рис. 7, 8, 9, 10). Получим отчет (рис. 11).

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Щелкнем правой кнопкой мыши на второй табличной панели – появится всплывающее меню, в котором выберем пункт Pane
Options
(опции панели). Система предоставит возможность изменить метод сглаживания. Установим переключатель в поле EWMA
(рис. 11). Система рассчитает значения и построит график для взвешенного экспоненциального сглаживания с параметром 0,1.

Рис. 11 – Сглаживание уровней рядов динамики методом временной последовательности

Проведем аналогичные расчеты с помощью устойчивого нелинейного сглаживания.

Анализ графиков позволяет сделать вывод, что изменение темпов прироста выработки лучше всего аппроксимирует нелинейное устойчивое сглаживание. Кривые простого скользящего и взвешенного экспоненциального сглаживания менее информативны.

Рис. 12 – Панель установки опций сглаживания

Определив общие закономерности изменения выработки, можно приступить к подбору модели и расчету прогнозных значений моделируемого показателя. С этой целью воспользуемся процедурой Forecasting
.

Свернем в пинктограмму окно анализа с результатами сглаживания и выберем указанную процедуру. Заполним верхнюю панель, введя имя переменной и количество лет прогноза, равное пяти (рис. 3). С целью проверки адекватности модели используем три последних наблюдения. Поэтому в поле Withhold
for
Validation
(число точек для проверки правильности модели) введем цифру три.

Система поместит в рабочую область сводку прогноза по модели случайной выборки.

Учитывая, что STATGRAPHICS может сравнивать одновременно пять типов моделей, оптимизируя их параметры, выберем для анализа линейную модель (Liner trend), параболу (Quadratic trend), линейное экспоненциальное сглаживание Брауна (Brown/
s linear exp. Smoothing), линейное экспоненциальное сглаживание Хольта (Holt/
s linear exp. Smoothing), квадратическое экспоненциальное сглаживание Брауна (Brown/
s quadratic exp. Smoothing). Напомним, что в STATGRAPHICS реализовано три типа сглаживания Брауна. Простое сглаживание основано на предположении стационарности изучаемого процесса, линейное предполагает линейный тренд в данных. Квадратическое сглаживание базируется на том, что моделируемый показатель может быть основан на том, что моделируемый показатель может быть описан полиномом второго порядка, т.е. параболой.

Указанные модели выбираются с помощью панели Model
Specification
Options
(опции спецификации модели) (рис. 4). В области Model
щелкнем на пункт А
, а в области Type
установим флажок Linear
trend
.
Затем выберем пункт В
и установим флажок Quadratic
trend
. Для модели С
выберем Brown
/

s
linear
exp
.
Smoothing
; для моделей D
и E
установим флажки на полях Holt
/

s
linear
exp
.
Smoothing
и Brown
/

s
quadratic
exp
.
Smoothing
. Остальные поля оставим со значениями по умолчанию, в т.ч. с флажком Optimize
,
активным для всех экспоненциальных моделей. Щелкаем ОК
с установленным для модели С переключателем. Это означает, что все расчеты система выполнит для этой модели (рис. 13).

Рис. 13 – Анализ линейной модели Брауна

Результаты сравнительного анализа можно вывести, установив флажок Model
Comparisons
(сравнение моделей) табличных опций.

Получим листинг сравнения моделей (рис. 13). Кратко опишем его. В верхней части листинга приводится информация о данных и уравнениях или коэффициентах построенных моделей.

Наибольший интерес представляют таблицы со статиками прогнозирования, позволяющими оценить адекватность полученных зависимостей. К таким характеристикам относится средняя арифметическая ошибка (МЕ), описывающая отклонения фактических значений от выровненных. Чем ближе она к нулю, тем точнее осуществлена аппроксимация. Средняя квадратическая ошибка (MSE) и средняя абсолютная ошибка (МАЕ) используются для сравнения разных процедур прогнозирования.

Среднепроцентная ошибка (МРЕ) и среднеабсолютная процентная ошибка (МАРЕ) рассчитываются по остаткам одношагового выравнивания, которые делятся на фактическое значение выработки.

Листинг содержит также стандартную ошибку остатков (RMSE) и пять тестов RUNS, RUNM, AUTO, MEAN, VAR:

RUNS – тест на чрезмерное количество пиков и впадин (Test for excessive runs up and down) – рассчитывает число повышений или падений в последовательности анализируемых данных. Тест чувствителен к долгосрочным циклам;

RUNM – тест на чрезмерное количество отклонений от медианы (Test for excessive runs above and below median) – рассчитывает число наблюдений, значение которых выше или ниже медианы, значение которых выше или ниже медианы, и игнорируют значения, которые являются равными медиане. Тест чувствителен к наличию тренда в данных;

AUTO – тест на чрезмерную автокорреляцию (Box-Pierce test for excessive autocorrelation) – рассчитывает коэффициент сериальной корреляции Бокса-Пирса;

MEAN – тест на существенность разности средних (test for difference in mean 1st
half to 2nd
half) – служит для определения тенденции среднего значения;

VAR – тест на существенность разности дисперсий (test for difference in variance 1st
half to 2nd
half) – позволяет установить тенденцию вариабельности.

Модель прогнозирования будет адекватной, если все тесты будут иметь значение OK. Т.о., тесты остатков несущественны. Знак звездочки означает, что тест статистически существенен. Количество звездочек определяет уровень существенности критерия. Три звездочки означают, что тест значим с вероятностью, превышающей 99%.

Данные листинга, приведенного на рисунке 14, показывают, что линейная экспоненциальная модель Брауна наиболее удачно аппроксимирует фактические данные. Поэтому для расчетов используется эта модель. Текстовые и графические результаты прогнозирования можно вывести на экран, установив, например, флажки на полях Forecast
Table
(таблица прогнозов) табличных опций и Time
Sequence
Plot
(график временной последовательности).

Рис. 14 – Сравнительный анализ моделей

На рисунке 15 показаны фактические и прогнозные значения темпов прироста выработки, полученные по линейной экспоненциальной модели Брауна (a=0,2145). Рассчитаем прогнозы по другим моделям и результаты сведем в таблицу 3.

Сравнивая различные варианты прогнозов на 5 лет, следует отметить неоднозначность полученных результатов (таблица 7).

Рис. 15 – Прогноз по линейной экспоненциальной модели Брауна

Таблица 7 – Прогноз темпов прироста производительности труда по различным моделям и методам

Тип модели	Порядковый номер прогноза
	28	29	30	31	32
7,86123-0,112565*t	4,71	4,6	4,48	4,37	4,25
9.67752-0.531709*t+0.016766*t2	7,93	8,36	8,81	9,31	9,83
Brown/ s linear wish a=0,2159	4,8	4,68	4,56	4,45	4,33
Holt/ s linear wish a=0,3144, b=0,076	4,57	4,44	4,32	4,19	4,07
Brown/ s quadratic wish a=0,1652	4,69	4,53	4,35	4,17	3,99

В качестве пессимистического варианта прогноза можно рассматривать результаты по квадратической экспоненциальной модели. При этом надо иметь в виду, что остатки у этой модели по тесту MEAN незначительно существенны.

Наиболее вероятен прогноз по линейной модели Брауна. Темп прироста выработки снизится с 4,8% до 4,33%.

Тема 4. Модели стационарных временных рядов

Задание.
Прогнозирование на базе моделей авторегресси р-порядка, модели скользящего среднего порядка q и авторегрессионных моделей со скользящими средними в остатках.

Исполнение
: выполнение индивидуального задания с использованием ППП Statistica 6.0 и Statgraphics. Интерпретация результатов решения.

Оценка
. Практическая реализация теоретических методов прогнозирования.

Время выполнения заданий
: 8 часов.

Методические указания

Исходные данные для прогноза представлены в таблице 8.

Таблица 8 – исходные данные по выработке на одного работающего для прогнозирования по методу Бокса-Дженкинса (в т)

Период	Выработка, т	Период	Выработка, т
1	233	19	1029
2	263	20	1052
3	288	21	1068
4	319	22	1125
5	363	23	1170
6	433	24	1222
7	467	25	1281
8	503	26	1333
9	544	27	1358
10	577	28	1372
11	639	29	1389
12	687	30	1354
13	733	31	1341
14	758	32	1370
15	809	33	1340
16	865	34	1379
17	934	35	1397
18	1006	19	1029

В формулах для удобства записи использован оператор сдвига В, вычисляемый как ВYt
=Yt
-1
.

Модель (1) имеет порядок (p, d, q). P- определяет порядок авторегрессии, q – скользящего среднего; d – порядок конечных разностей. Ее практическое использование и методика построения связаны с Г. Боксом и Г. Дженкинсом. В пакете STATGRAPHICS реализована эта процедура. Покажем возможности ее использования для прогнозирования, используя данные из таблицы 2.

Проблема применения модели Бокса-Дженкинса является определение эффективных оценок ее параметров p, d, q. Для ее построения вычисляют первоначально разности ряда до тех пор, пока они не окажутся стационарными относительно математического ожидания и дисперсии. Далее задача сводится к оцениванию коэффициентов в модели авторегрессии и скользящего среднего.

Для построения ARIMA-модели порядка (1, 1, 1), т.е. порядок авторегресси, скользящего среднего и конечных разностей равен единице, в панели спецификации моделей установим переключатель процедуры Бокса-Дженкинса – ARIMA
Model
и изменим поля Differencing
Noseasonal
Order
(порядок несезонной разности) и МА
(несезонное скользящее среднее). Установим их равными единице. Прогноз осуществим на 6 лет.

Результаты построения отражены на рисунке 16.

Используя данные листинга (рис. 16), запишем:

(1 – 0,724В)(1 – В)Уt
= 9,151 + (1 – 0,353В)et
.

Раскрыв скобки и применяя операторы сдвига BYt
-1
=Yt
-1
и Вet
-1
=et
-1
, имеем

Yt-1
= 9,151 + 1,725 Yt-1
– 0,725 Yt-2
+ et
– 0,353et-1
.

Отличительной чертой использования процедуры Бокса-Дженкинса является прогнозирование не только математического ожидания временного ряда, но и доверительных интервалов, в которых находится искомый показатель с заданной вероятностью.

Рис. 16 – Результаты построения модели Бокса-Дженкинса

На рис. 17 представлен исходный ряд за 35 периодов с прогнозными значениями выработки на 6 лет. Пунктирными линиями отмечены доверительные 95%-е границы прогноза.

Рис. 17 – Прогноз выработки по модели Бокса-Дженкинса

Для вывода основных формул, используемых для прогнозирования значений показателя Уt
на будущий период t+l (где l – период упреждения), вводят два способа представления ряда динамики. Предсказываемый уровень исследуемого показателя выражается в виде

,

где - прогноз выработки в l-м году; а1
, а2
, …, ар
– коэффициент авторегрессии; b1
, b2
, …, bq
– коэффициенты скользящего среднего.

Другая форма записи ARIMA-модели связывает будущие значения показателя выработки с бесконечной линейной комбинацией случайных компонент et
:

(1)

где - рассчитанные специальным образом веса.

Используя формулу (1), можно показать, что предсказанные значения выработки на момент времени t+l отличается от ее прогноза в момент t на ошибку предсказания на первом шаге еt
+1
, умноженную на коэффициент .

На рис. 17 представлен листинг с результатами прогнозирования по модели Бокса-Дженкинса. Из них видно, что за 6 предстоящих лет производительность труда вырастет на 13% (1570,45:1397*100-100). При этом значение выработки в конце периода упреждения может изменяться от 1376,78 до 1764,12 на человека.

Тема 5. Модели нестационарных временных рядов

Задание.
Прогнозирование на базе моделей авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего и ARIMA-моделей.

Исполнение
: выполнение индивидуального задания с использованием ППП Statistica 6.0 и Statgraphics. Интерпретация результатов решения.

Оценка
. Практическая реализация теоретических методов прогнозирования.

Время выполнения заданий
: 6 часов.

Методические указания

Лабораторная работа «Применение авторегрессионных моделей и ARIMA-моделей в прогнозировании» проводится на основе данных таблицы 9.

Таблица 9 - Исходные данные по выработке на одного работающего (в т)

Год	Выработка, т	Год	Выработка, т
1	673	12	951
2	694	13	915
3	711	14	938
4	786	15	847
5	797	16	891
6	782	17	885
7	810	18	883
8	832	19	867
9	834	20	824
10	878	21	918
11	900

Проверим гипотезу о наличии в данных линейного тренда и возможности использования авторегрессии первого порядка для прогнозирования остатков.

Строим линейный тренд: Special/ Time-Series Analysis/ Forecasting.
Введем в поле Date
имя переменной у, установим переключатель Year
(
s
)
. Период упреждения берем равный четырем годам. Т.к. по умолчанию прогноз выполняется для модели случайной выборки, то щелкаем правой клавишей мыши и выберем из меню пункт Analysis
Options
.
STATGRAPHICS
выведет панель Model Specification Options.
Устанавливаем Linear Trend/OK
. Получаем отчет (рис. 18).

Проводим анализ полученной модели.

Вызываем панель табличных опций и устанавливаем в поле Forecasting
Table
. Система выведет соответствующую информацию (рис. 19).

Рис. 18 – Панель сводных итогов прогнозирования

Как видно на рис. 19, эта панель содержит две таблицы. В верхней таблице отражены модельные значения выработки и остатки, в нижней – приведены прогнозы по линейной модели с 95%-ми доверительными интервалами.

Рис. 19 – Прогноз тренда по линейной модели

Поскольку эта информация потребуется для дальнейшего расчета, сохраним ее в электронной таблице. Для этого, используя кнопку Save results
, вызовем панель Save Results Options
и установим флажки в полях Forecasts, Upper forecasts limits, Lower forecasts limits, Residuals.
Оставим без изменения имена переменных. Система сохранит четыре переменные, в т.ч. остатки. Им присвоено имя Residuals
.

Щелкнем мышью по кнопке графических опций и в появившейся панели установи флажки в полях Time
Sequence
Plot
(график временной последовательности) – рис. 20; Residual
Plots
(график остатков) – рис. 21; Residual
Autocorrelation
Function
(график автокорреляционной функции) – рис. 22; Residual
Partial
Autocorrelation
Function
(график частной автокорреляционной функции) - рис. 23.

Рис. 20 - График временной последовательности

На рис. 20 представлен график исходного ряда и прогноз по линейному тренду на 4 года вперед.

Рис. 21 - График остатков

Наибольший интерес представляет график автокорреляционной функции и график частной автокорреляционной функции. Уменьшение высоты столбцов графика автокорреляционной функции свидетельствует об ослаблении связи с прошлым и возможности использования авторегрессии.

Рис. 22 - График автокорреляционной функции

Рис. 23 - График частной автокорреляционной функции

График частной автокорреляционной функции применяется для уточнения количества членов авторегрессионой модели, необходимых для адекватного описания остатков. На рис. 23 коэффициенты частной автокорреляции отображаются в виде столбцов, высота которых пропорциональна величине коэффициента. Границы в виде штриховых линий, расположенных выше и ниже нуля, применяются для выявления частных автокорреляций, значимо отличается от нуля. Как видно из графика, остатки выработки сильно коррелированны с предыдущим значением. Коэффициент частной автокорреляции первого порядка равен 0,6271 (Tabular
Options
/
Residual
Autocorrelation
Function
- рис.24). следовательно, их можно описывать авторегрессией первого порядка.

Рис. 24 – Частные коэффициенты автокорреляции

Строим ARIMA-модель: Special/ Time-Series Analysis/ Forecasting.
Введем в поле Date
имя переменной RESIDUALS
, установим переключатель Year
(
s
)
. Период упреждения берем равный четырем годам. По умолчанию прогноз выполняется для модели случайной выборки, поэтому щелкаем правой клавишей мыши и выберем из меню пункт Analysis
Options
.
STATGRAPHICS
выведет панель Model
Specification
Options
.
Устанавливаем ARIMA
Model
. Уберем флажок в поле Constant
, т.е. построим модель без свободного члена. Остальные значения оставим без изменения.

STATGRAPHICS рассчитает авторегрессию первого порядка. Выходное экранное окно содержащее результаты подбора модели, представлено на рис. 8. из него видно, что оценка авторегрессионного параметра значима по критерию Стьюдента. Фактический критерий Стьюдента существенно больше табличного, т.к. r-значение равно 0,000124 (рис. 25).

Следовательно для прогнозирования остатков производительности труда можно использовать авторегрессию первого порядка, которая имеет вид e t
=0,713736et
-1
.

Вызовем панель табличных опций и установим флажок в поле Forecasts
Table
. Система выведет прогноз остатков (рис. 26). Представленные результаты свидетельствуют, что прогноз остатков увеличится с –11,3735 до –4,13529 т. В целом остатки отрицательно влияют на тренд.

Итоги прогнозирования производительности труда свидетельствуют (рис. 2), что объединенный прогноз производительности труда (графа 6) меньше прогноза по линейному тренду из-за отрицательного прогноза остатков (графа 3).

Для моделирования остатков можно использовать объединенную модель авторегрессии и скользящего среднего (ARIMA). Её сущность заключается в приведении нестационарного временного ряда к стационарному путем взятия конечных разностей.

Рис. 25 – Панель сводных итогов авторегрессии

Рис. 26 – Прогноз тренда по остаткам

Общая формула ARIMA-модели имеет вид

,

где Ф(В) – оператор авторегрессии. Он равен

Ф(В)=1-а1
В-а2
В2
-…-ар
Вр
;

(1-В)d
– оператор взятия d-разностей; - оператор скользящего среднего, который можно представить как

У(В)=1-а1
В-а2
В2
-…-аq
Вq
;

Yt
– исходный временной ряд; et
– случайная составляющая.

Тема 5. Метод Дельфи

Задание.
Прогнозирование качественных показателей с использованием интуитивных методов прогнозирования.

Исполнение
: выполнение индивидуального задания.

Оценка
. Формирует необходимые представления об экспертных методах прогнозирования.

Время выполнения заданий
: 2 часа.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Основная литература:

1. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование. М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Бестужев-Лада И.В. Прогнозирование обоснованных социальных нововведений. - М.: Наука, 1993.

3. Блинов О.Е. Статические имитационные модели прогнозирования /ГАУ. - М., 1991.

4. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие. – М.: МЭСИ, 2002. – 52 с.

5. Дудорин В.И. и др. Методы социально-экономического прогнозирования (специальные методы прогнозирования) /ГАУ.- М., 1992.

6. Замков О.О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе. – М.: ГУ ВШЭ, 2001.

7. Заречнев В.А. Прогнозирование на компьютере. Методы, алгоритмы, реализация. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004.

8. Клейнер Г. Производственные функции. М.: Финансы и статистика, 1986.

9. Лисичкин В.А. Теория и практика прогностики. – М.: Наука, 1972. 223с.

10. Литвак Б.Г. Экспертные оценки и принятие решений. – М.: Патент, 1997.

11. Мартино Д.Х. Технологическое прогнозирование. - М.: Прогресс, 1977.

12. Основы экономического и социального прогнозирования/ Под ред. В.Н. Мосина, Д.М. Крука. – М.: Высш. Шк., 1985.

13. Морозова Т.Г., Рикулькин и др. Прогнозирование и поланирование в условиях рынка. Учеб. Пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. – 318с.

14. Парсаданов Г.А. Прогнозирование национальной экономики. - М.: ЗАО "Финстатинформ", 1999.

15. Рабочая книга по прогнозированию /Отв. ред. И.В.Бестужев-Лада. - М.: Мысль, 1982.

16. Статистическое моделирование и прогнозирование / Под ред. А.Г.Гранберга. - М.: Финансы и статистика, 1990.

17. Теория прогнозирования и принятия решений / Под ред. С.А.Саркисяна. - М.: Высшая школа, 1977.

18. Тихомиров Н.П. И др. Принципы организации этапов прогнозирования и оценки научно-технического уровня при управлении созданием больших технических систем. .-М.: Изд-во РЭА им.Г.В.Плеханова, 1995.

19. Тихонов Э.Е. Методы прогнозирования в условиях рынка. – Невинномысск: 2006

20. Черныш Е.А. Прогнозиование и планирование в условиях рынка. . - М.: ПРИОР, 1999.

21. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. – М.:Статистика, 1977.

Дополнительная литература:

1. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: исследование зависимостей. - М.: Финансы и статистика, 1985.

2. Айвазян, С.А. Основы эконометрики. Учебник для вузов: В 2 т. Т.2: /С.А.Айвазян. Прикладная статистика. Основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 432 с.

3. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста.-М.: Изд-во МГУ, 1981

4. Бородич, С.А. Эконометрика: Учебное пособие. /С.А.Бородич. - Мн.:Новое знание, 2001.- 408 с.

5. Бэстенс Д.-Э., Ван Дер Берг В.-М., Вуд Д. Нейронные сети и финансовые рынки. – М.:ТВП, 1997

6. Винн Р., Холден К. Введение в прикладной эконометрический анализ. - М.: Финансы и статистика, 1981.

7. Грицан В.Н. Эконометрика. – М.: Издательско-торговая корпорация “Дашков и К”, 2002.

8. Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980.

9. Доугерти Кристофер. Введение в эконометрику. Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М.-XIV, 1997, - 402 с.

10. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. М.: Финансы и статистика, 1986-1987.

11. Заречнев В.А. Статистическое моделирование. Методы, алгоритмы, реализация. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004.

12. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. 3-е изд. - М.: Дело, 1997, - 400 с.

13. Мардас А.Н. Эконометрика. – СПб.: Питер, 2001.

14. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Инфра-М, 1997.

15. Колемаев, В.А. Эконометрика: Учебник. /В.А.Колемаев. - М.: ИНФРА-М, 2004.- 160 с.

16. Кононов Д.А и др. Формирование сценарных пространств и анализ динамики поведения социально-экономических систем. – М.: ИПУ, 1999.

17. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 311 с.

18. Кремер, Н.Ш. Эконометрика. Учебник для вузов. /Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.

19. Литвак Б.Г. Экспертная информация: Методы получения и анализа. - М.: Радио и связь, 1982.

20. Носко В.П. (2000), Эконометрика для начинающих: основные понятия, элементарные методы, границы применимости, интерпретация результатов. М., ИЭПП, 252 с.

21. Образцова О.Н., Назарова О.В., Канторович Г.Г. Экономическая статистика. Эконометрика. Методические материалы. – М.: ГУ – ВШЭ, 2000.

22. Орлов А.И. Эконометрика: Учеб. пособ.. – М.: Из-во «Экзамен»,2002.

23. Тихомиров, Н.П. Эконометрика: Учебник. /Н.П.Тихомиров, Е.Ю.Дорохина. - М.: «Экзамен», 2003.- 512 с.

24. Экспертные оценки в социологических исследованиях/ Под ред. С.Б.Крымского. - Киев, Наукова думка, 1990.