Методические указания для выполнения курсовой работы по дисциплине «Численные методы и прикладное программирование»

Методические указания

для выполнения курсовой работы

по дисциплине

«Численные методы и прикладное программирование»

Курсовая работа согласно учебному плану для специальности 170500 выполняется студентами 2-го курса на 3-ем семестре и составляет 17 часов от общего объёма учебной работы (51 час).

Методические указания помогут студентам выполнить работу и освоить учебную программу в полном объёме.

Мокрова Н.В., Суркова Л.Е

Курсовая работа выполняется студентами II курса машиностроительного факультета.

Содержание курсовой работы включает две важные части, выполнение которых необходимо для подготовки квалифицированных специалистов. Работа позволяет закрепить основные знания, полученные при изучении кинематики точки, и рассмотреть важный раздел обработки экспериментальных данных.

В помощь к выполнению курсовой работы изложены основные понятия и определения теоретической механики, касающиеся кинематики точки, а также основные определения, способы расчета и алгоритмы обработки экспериментальных данных. Приведены фрагменты программ реализации отдельных этапов обработки данных.

В качестве аппарата для расчета используется математический пакет MathCAD (версии 6.0, 6.0 pro, 7.0, 2000), который признан во всем мире как мощное средство обработки информации математическими методами. Этот пакет прикладных программ позволяет обрабатывать исходные данные при помощи большого количества встроенных функций, включает большой аппарат матричного исчисления, статистического анализа, дает возможность производить графический анализ, работать с файлами данных и т.д. Следует отметить, что пакет разработан как средство удобное для понимания, позволяет строить документы в виде, как мы привыкли видеть на бумаге.

1. Обработка экспериментальных данных.

Математическое моделирование является одним из способов обработки информации для решения инженерно-технических и экономических задач. Развитие теории информации и компьютерной техники позволяет широко применять методы математического моделирования благодаря возможности реализации сложнейших алгоритмов обработки результатов исследований.

Построение математической модели в общем случае состоит из определения структуры зависимостей входных и выходных переменных рассматриваемого объекта (рис.1) и определения параметров модели, т. е. числовых значений коэффициентов, с использованием информации, полученной при исследовании реальных объектов.

e

x y

объект

Рис. 1.1. Структура технологического объекта.

x - вектор входных переменных;

y - вектор выходных переменных;

e - высокочастотная случайная величина (помеха).

При этом технологическим объектом называется некоторая система, преобразующая входную информацию (вектор входных переменных x) в выходную информацию (вектор выходных переменных y). Входными переменными (координатами) объекта называются технологические переменные, определяющие условия работы объекта. Они могут изменяться либо под воздействием случайных факторов, либо намеренно вручную или автоматически. Вектор выходных переменных (координат) – это технологические переменные, устанавливающиеся в результате работы объекта, то есть изменяя входную координату x объект устанавливает соответствующее значение выходной координаты y. Однако вид этой зависимости y = f(x) принципиально неизвестен.

Математическая модель, построенная на основе экспериментальных данных, должна точно описывать объект, при этом неоспоримым достоинством является простота модели, ясный физический смысл коэффициентов, ее общность для рассматриваемого класса процессов, а также возможность создания модели на стадии проектирования с целью решения задач прогнозирования сложных ситуаций.

Таким образом, первая проблема, которую необходимо решать в рамках математического моделирования, это обработка экспериментальных данных.

Обработка экспериментальных данных включает в себя несколько этапов:

- Предварительная обработка данных. На этом этапе, как правило, осуществляется устранение помехи, действующей на объект и обусловленной случайными факторами, путем использования фильтров, например, скользящего среднего, метода четвертых разностей, экспоненциального фильтра и т.д. Случайная составляющая помехи встречается практически при любых измерениях.

- Собственно идентификация. Это определение параметров математической модели по экспериментальным данным. При этом вид математической модели (это может быть уравнение прямой, параболы или любая другая зависимость) выбирается заранее. Определение параметров в общем случае – это поиск минимума многомерной функции-критерия.

- Оценка результатов моделирования, т.е. оценка адекватности математической модели, которая состоит в определении степени соответствия математической модели данным эксперимента.

1.1. Восстановление значений измеряемой величины в моменты времени между измерениями.

Для облегчения процедуры идентификации необходимо, чтобы при планировании и проведении эксперимента входная переменная x (рис.1.1) менялась эквидистантно (через равные промежутки времени), и количество экспериментов было не менее десяти. Однако при проведении эксперимента такое изменение входной переменной реализуется сложнее, чем не эквидистантное. Поэтому для увеличения информативности проведенного эксперимента необходимо применение интерполяции и экстраполяции.

Интерполяцией называют определение промежуточных значений функции между двумя полученными отсчетами.

Известны значения аргумента x = x0, x1, …xN и соответствующие значения функции y = y0, y1, …yN , где f(x0 ) = y0 , f(x1 ) = y1 , … f(xN ) = yN . Необходимо найти функцию y = f(x). Таких функций может быть бесконечное множество, поэтому чаще всего принимают в качестве функции f(x) многочлен (обычно степень его на единицу меньшей, чем число неизвестных табличных значений). Таким образом, задача интерполяции заключается в нахождении многочлена

y = f(x) (1.1)

степени N, удовлетворяющего условиям

f(x0 ) = y0 , f(x1 ) = y1 , … f(xN ) = yN (1.2)

где x0 ,x1 ,..xN - узлы интерполяции.

Экстраполяцией называют определение будущих значений функции с момента очередного отсчета до момента поступления следующего отсчета, то есть за пределами полученной таблицы данных. Это можно сделать, если известна интерполирующая функция.

Во многих случаях используется сплайн - интерполяция. Сплайн – это кусочно-полиномиальная функция, т.е. функция, для которой вся область определения разбита на подобласти, и в каждой из них функция представляет собой полином заданной степени m. При этом сама функция и ее производные до (m-1)-го порядка во всей области определены, в том числе на границах подобластей, и непрерывны. Наиболее часто используется кубический сплайн (m=3).

Сплайны бывают интерполирующие и сглаживающие. Они используются для интерполяции значений функций, заданных на дискретном множестве точек. Интерполирующие сплайны точно проходят через заданные значения. Spline – в переводе означает “гибкая линия”. При построении сплайнов кубическая парабола проводится через каждые три экспериментальные точки:

0, 1, 2; 1, 2, 3; 2, 3, 4 и т.д. Определяются коэффициенты параболы, исходя из равенства первых и вторых производных в конечных и начальных точках. Целесообразно применение сплайнов в следующих случаях:

- При обработке данных, когда количество точек мало (N=7), а сама зависимость y(x) носит сложный зигзагообразный характер.

- Используется при численном интегрировании и дифференцировании для получения более точных значений. Сплайн легко интегрируется и дифференцируется, т.е. это функция, с которой легко проводить дальнейшие преобразования.

В MathCAD сплайн интерполяция реализуется при помощи следующих функций:

lspline(x,y) - при линейной экстраполяции в концевых точках;

pspline(x,y) - при параболической экстраполяции в концевых точках;

spline(x,y) - при кубической экстраполяции в концевых точках;

Указанные функции возвращают вектор вторых производных, необходимых для функции, которая и осуществляет интерполяцию данных, это:

interp(p,x,y,z) - возвращает интерполированное значение при помощи вектора p в точке z, где p - вектор вторых производных.

Интерполирующая функция проходит через все точки таблицы, при этом случайная компонента фильтруется незначительно.

Применение сплайн-интерполяции в MathCAD отражено в примере 1.1.

Пример 1.1.

Задание исходных массивов данных:

Сплайн интерполяция и нахождение значений функции в промежуточной точке.

1.2.Сглаживание экспериментальных данных.

Сглаживанием (или фильтрацией) называют операцию выделения полезного сигнала измерительной информации y из его суммы с помехой e. На практике применяют несколько алгоритмов сглаживания. При сглаживании данных эксперимента производится операция усреднения с помощью интерполяционных полиномов, обеспечивающих получение уточненного значения Yi по заданному значению yi и ряду известных близлежащих значений (… yi-1, yi , yi+1…). Где m=3 для (yi-1 … yi+1) и m=5 для (yi-2 , yi-1 … yi+1 , yi+2) - ширина окна сглаживания.

Для осуществления сглаживания используются фильтры, которые различаются по методу проведения операции усреднения и по ширине окна сглаживания. Рассмотрим некоторые из алгоритмов сглаживания.

Линейное сглаживание по трем точкам реализуется с помощью формул:

Y0 = (5y0+2y1-y2)/6

Yi = (yi-1+yi+yi+1)/3 , 1  i  N-1 (1.3)

YN = (5yN+2yN-1-yN-2)/6

где N- номер последней точки (ординаты yi). Метод скользящего среднего и сглаживание с использованием встроенных функций MathCAD приведены в примере 1.2.

Пример 1.2.

скользящего среднего.

Встроенная функция сглаживания методом скользящей медианы.

1.3. Математическая обработка данных и решение

задачи идентификации.

Математическая модель – это система математических соотношений, при помощи которых можно описать свойства объекта уравнением вида:

F (x, y, b) = 0 (1.4)

где F – конкретный функциональный вид зависимости,

b – вектор параметров {b0, b1, b2 … bp}.

В зависимости от способа представления функции F выделяют два способа построения математических моделей:

- Экспериментальный (эмпирический или формальный) способ. На объекте проводится эксперимент с получением векторов входных и выходных параметров x и y. Вид функции F задается по своему усмотрению, функция также как и вектор параметров b не имеет физического смысла. При задании эмпирической модели руководствуются простотой вычисления функции F, ее задают в виде, разрешенном относительно y: y=yм(x, b), где вектор параметров b включается линейно. Этим требованиям удовлетворяют модели вида полинома. Особенностью таких моделей является то, что применять их можно только в том диапазоне значений x, в котором проводился эксперимент с целью определения параметров b. Раздел математической статистики, занимающийся вопросами аппроксимации данных эмпирическими зависимостями, называется регрессионным анализом.

- Аналитический способ. Вид функции F получается на основе анализа всех процессов, протекающих в объекте, принятия системы допущений и составления системы уравнений сохранения субстанций для выделенного объекта. При этом вид функции определяется физической сутью процесса и принятой системой допущений. Таким образом, получаются системы уравнений, сложные уравнения, которые невозможно разрешить относительно переменных. Многие технологические процессы могут быть описаны только системами дифференциальных уравнений.

Как уже отмечалось, определение параметров математической модели по экспериментальным данным является задачей идентификации. Используя таблицу экспериментальных данных (x – вектор входных параметров, y – вектор выходных параметров), необходимо найти такие значения параметров b={bj, j=0…p} ( p – порядок уравнения) модели объекта

F(x, yм, b) = 0 (1.5)

чтобы вектор выходных параметров модели yм был максимально приближен к вектору исходных данных y. Если в модели (1.5), структура которой известна, задать вектор параметров b, то можно получить таблицу расчетных данных аналогичную экспериментальной, при чем yм будет определяться набором этих параметров. Задача идентификации заключается в минимизации некоторого критерия I, являющегося мерой близости двух векторов y и yм.

I(b) = Ф(b, y, yм) min (1.6)

b

Для проведения процедуры идентификации можно сформулировать несколько критериев, поэтому эта процедура не имеет единственного решения.

В качестве критерия I может выступать квадратичный критерий, физический смысл которого состоит в расчете оценки дисперсии аппроксимации экспериментальных данных в выбранной модели F:

I(b)=___1___(yi – yм(xi, b))2 (1.7)

где N – количество экспериментов,

p – количество параметров, включенных в модель.

Может быть так же использован модульный критерий:

I(b)= /yi – yм(xi, b)/ (1.8)

или минимаксный критерий (критерий равномерного приближения):

I(b) = max /yi – yм(xi, b)/ (1.9)

i

Если вектор yм представлен в виде функции, линейной по параметрам, то решение задачи идентификации может быть осуществлено, при I в виде квадратичного критерия, аналитически на основе необходимых условий существования минимума. Тогда задача идентификации сводится к решению системы линейных уравнений:

 I(b)/ bj =0, j=0…p (1.10)

Этот метод называется методом наименьших квадратов (МНК).

В качестве уравнения модели могут выступать полиномы разной степени. В среде MathCAD для вычисления параметров b0 и b1 , входящих в уравнение прямой (полинома первой степени) существуют специальные встроенные функции:

b0 =intercept(x,y) (отсечение)

b1 =slope(x,y) (наклон)

Расчет параметров моделей, представляющих собой полиномы первой и второй степени, приведен в примере 1.3. Для расчета коэффициентов параболы использован матричный метод решения системы линейных уравнений (1.10). При этом составлена вспомогательная матрица z, столбцы которой представляют собой элементы вектора x в соответствующей степени и использована матричная формула расчета коэффициентов полинома

A = ( zT  z ) –1 ( zT  y) (1.11)

Пример 1.3.

Задание исходных массивов данных.

Линейная регрессия видаY*=b0+b1•x

Среднеквадратичная погрешность аппроксимации:

Полиномиальная регрессия вида Y*=b0+b1•x+ b2•x2

Среднеквадратичная погрешность аппроксимации:

В качестве уравнения модели могут быть также использованы следующие виды регрессионных зависимостей:

yм (x, b) = b0 +b1/x - для гиперболической регрессии;

yм (x, b) = b0• x b1 - для степенной регрессии;

yм (x, b) = b0•b1x - для показательной регрессии;

yм (x, b) = b0•exp(b1•x) - для экспоненциальной регрессии;

yм (x, b) = b0 +b1•lg x - для логарифмической регрессии.

Определение коэффициентов степенной регрессии с помощью блока MathCAD приведено в примере 1.4.

Пример 1.4.

Уравнение степенной регрессии y*= b0