Школа №2
РЕФЕРАТ
«РАЗВИВАЮЩЕЕ ОБУЧЕНИЕ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ»
Подготовила
учитель математики
Юшко Л.Л.
Волгореченск – 2007
Содержание
1. Понятие "развивающее обучение" в психолого-педагогической и методической литературе
2. Преемственность в обучении и развитии
3. Развитие математического мышления и творческих способностей учащихся
4. Задачи с развивающими функциями
5. Развитие познавательной активности и самостоятельности учащихся на уроках математики
1. Понятие "развивающее обучение" в психолого-педагогической и методической литературе
В последние годы все больше внимания уделяется проблемам развивающего обучения. Небывалый рост объема информации требует от современного человека таких качеств, как инициативность, изобретательность, предприимчивость, способность быстро и безошибочно принимать решения,
а это невозможно без умения работать творчески, самостоятельно. Если в недавнем прошлом основной задачей, стоящей перед учителем, была передача ученикам определенной суммы знаний, то в настоящее время на первый план выдвигается задача развития учащихся в процессе обучения.
Согласно современной концепции математического образования, его важнейшей целью является "интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе"
По словам Г. В. Дорофеева, на современном этапе происходит "переориентация системы обучения на приоритетразвивающей функции обучения по отношению к его образовательной, информационной функции, перенос акцентов с увеличения объема информации, предназначенной для усвоения учащимися на формирование умений использовать информацию" Иными словами, обучение математике должно быть ориентировано "не столько на собственно математическое образование, в узком смысле слова, сколько на образование с помощью математики".
История развивающего обучения начинается в 30-х гг. ХХ века с работы Л. С. Выготского "Умственное развитие детей в процессе обучения".
В этой и последующих работах Л. С. Выготский сформулировал три основные психологические теории о соотношении обучения и развития, выдвинул гипотезу о психологических закономерностях развития ребенка - "зоне ближайшего развития", обосновал возможность и целесообразность обучения, ориентированного на развитие ребенка, как на прямую и непосредственную цель. Как пишет Л. С. Выготский - нечто новое ребенок сможет самостоятельно сделать после того, как он делал это в сотрудничестве с другими.
Новая психическая функция появляется у ребенка в качестве своеобразного "индивидуального продолжения" ее выполнения в коллективной деятельности, организация которой и есть обучение. По словам Л. С. Выготского, "…только то обучение является хорошим, которое забегает вперед развития"
. Вне подобного обучения в психической жизни ребенка невозможны некоторые процессы, связанные с его развитием. Обучение – внутренне необходимый и всеобщий момент развития ребенка. Без "хорошего обучения" эффективное психическое развитие ребенка невозможно.
В конце 30-х гг. психологами С. Л. Рубинштейном и А. Н. Леонтьевым проведено немало исследований, показывающих широкую изменчивость возрастных характеристик детского мышления, возникающих под влиянием измененных условий. С. Л. Рубинштейн описывал процесс мышления как сложную аналитико-синтетическую деятельность, включающую в себя анализ проблемной ситуации, воспроизведение знаний, необходимых для решения задачи, перенос усвоенных способов действия.
40-е и 50-е годы ознаменованы появлением большого количества исследований, посвященных конкретному анализу процесса усвоения знаний по отдельным учебным предметам. Во всех этих работах раскрывалось влияние различного содержания и методов обучения на особенности психического развития детей и подростков.
В конце 50-х и 60-х гг. разработка проблемы обучения и развития вступила в новую фазу: был поставлен вопрос об ускорении развития, о расширении познавательных возможностей детей под влиянием методов обучения и введения в процесс обучения нового - усложненного - содержания. Существенно изменилась и методика исследовательской работы: в педагогических экспериментах участвовали с целые классы.
В наиболее широких масштабах экспериментальное обучение в начальных классах было организовано Л. В. Занковым и его сотрудниками, сочетавшими дидактическое исследование с психологическим. Сначала изменялись (активизировались) методы, а позднее и программы обучения (давался материал на более высоком теоретическом уровне). Прослеживалось, как осуществляется развитие школьников при переходе из класса в класс. Л. В. Занковым были сформулированы новые дидактические принципы:
1) обучение на высоком уровне трудности;
2) ведущая роль теоретических знаний;
3) продвижение вперед быстрым темпом;
4) сознательное участие школьников в учебном процессе;
5) систематическая работа над развитием всех учащихся.
В итоге многолетних исследований Л. В. Занков пришел к выводу, что программа начального обучения может быть успешно завершена в три года вместо четырех, а тем самым доказал более широкие познавательные возможности младших школьников.
Теорию поэтапного формирования умственных действий и деятельностную теорию учения разработали П. Я. Гальперин и Н. Ф. Талызина. "Знать - это всегда выполнять какую-то деятельность или действия, связанные с данными знаниями. Качество усвоения знаний определяется многообразием и характером видов деятельности"
.
Важнейший вклад в изучение проблем творческого мышления внесла Д. Б. Богоявленская. Она выделила показатель творческого потенциала - интеллектуальную активность. Способность к творчеству, по Богоявленской, является результирующей двух факторов: уровня умственных способностей и мотивационного. Интеллектуальная активность - это интеллект, преломленный через мотивационную структуру.
Д. Б. Эльконин и В. В. Давыдов развили теорию учебной деятельности, выделив в ней следующие компоненты: потребности, мотивы, задачи, действия и операции. Согласно теории развивающего обучения по Д. Б. Эльконину и В. В. Давыдову, содержанием развивающего обучения
являются теоретические знания (в современном философско-логическом их понимании), методом
– организация совместной учебной деятельности школьников (и прежде всего организация решения ими учебных задач), продуктом развития
– главные психологические новообразования, присущие младшему школьному возрасту.
Как пишет Д. Б. Эльконин: "Категории обучения и развития разные. Эффективность обучения, как правило, измеряется количеством и качеством приобретенных знаний, а эффективность развития измеряется уровнем, которого достигают способности учащихся, т. е. тем, насколько развиты у учащихся основные формы их психической деятельности, позволяющей быстро, глубоко и правильно ориентироваться в явлениях окружающей действительности".
Три учебных предмета - русский язык, математика и труд - были выбраны Д. Б. Элькониным, В. В. Давыдовым и их сотрудниками для осуществления широкого психолого-педагогического эксперимента, в котором основной акцент делался на реконструирование школьных программ. В программы вводились знания, которые до сих пор казались "сверхтрудными". Основной результат, который был получен данной группой исследователей, сводился к тому, что младшие школьники обладают более широкими возможностями в области теоретического, отвлеченного мышления, чем им обычно приписывалось.
Исследования З. И. Калмыковой связаны с формированием продуктивного (творческого) мышления в процессе развивающего обучения.
"Основными показателями такого мышления являются:
· оригинальность мысли, возможность получения ответов, далеко отклоняющихся от привычных;
· быстрота и плавность возникновения необычных ассоциативных связей;
· "восприимчивость" к проблеме, ее непривычное решение;
· беглость мысли как количество ассоциаций, идей, возникающих в единицу времени в соответствии с некоторым требованием;
· способность найти новые непривычные функции объекта или его части".
Концепция развивающего обучения Е. Н. Кабановой-Меллер связана с формированием операций мышления, которые она называет приемами учебной работы и определяет их как систему действий, служащих для решения учебных задач. В проблеме развивающего обучения Е. Н. Кабанова-Меллер выделяет два круга вопросов: показатели умственного развития и условия, определяющие это развитие, т. е. организация обучения и формирование учебной деятельности.
В работах И. С. Якиманской говорится о том, что продуктивная (творческая) деятельность является важнейшим условием построения развивающего обучения, и она оказывает положительное влияние на развитие всех психических функций. "Организация развивающего обучения предполагает создание условий для овладения школьниками приемами умственной деятельности. Овладение ими не только обеспечивает новый уровень усвоения, но и дает существенные сдвиги в умственном развитии ребенка".
Можно упомянуть и другие работы, посвященные развивающему обучению, но даже те немногие перечисленные публикации позволяют судить о важности проблемы и об интенсивности научных исследований.
Итак, развивающее обучение - это обучение, которое целенаправленно обеспечивает развитие и активно использует его для усвоения знаний, умений и навыков. Развивающее обучение отдает приоритет развивающей функции обучения по отношению к информационной.
Приступая к организации развивающего обучения, учитель должен отчетливо представлять как принципы этого обучения в целом, так и его важнейшие особенности.
Организация развивающего обучения предполагает серьезную работу по дальнейшему научно обоснованному отбору содержания знаний, усовершенствованию методов обучения.
2. Преемственность в обучении и развитии
Преемственность является необходимым условием всякого развития. В основе философского понятия развития лежит идея изменения объекта, которая характеризуется рядом существенных особенностей: целостное изменение объекта, переход к более сложной структуре; необратимость, то есть невозможность полного абсолютного возврата системы в начальное, исходное положение; направленность, изменение от низшего к высшему, от менее совершенного к более совершенному; преемственность.
В общефилософском смысле преемственность трактуется как связь между различными этапами или ступенями развития,
сущность которой состоит в сохранении тех или иных элементов целого или отдельных его характеристик при переходе к новому состоянию.
Под преемственностью будем понимать сложный педагогический феномен, обеспечивающий непрерывное и результативное осуществление учебной деятельности (использование ранее изученного, пропедевтика изучаемого в дальнейшем), совершенствование и систематизацию знаний, умений и навыков учащихся, а также их психическое развитие (усложнение мыслительных операций, памяти, способностей и т. п.).
Решение проблемы преемственности на методическом уровне предполагает тесную взаимосвязь разных ее аспектов: дидактического, включающего преемственность содержания, средств, форм и методов обучения; психологического, связанного с учетом закономерностей формирования учебной деятельности и развития психических функций ребенка; методического, связанного с разработкой новых подходов к формированию математических понятий, оказывающих эффективное влияние на развитие мышления учащихся.
Обеспечение преемственности в обучении и развитии между начальной и основной школой связано с учетом психологических особенностей данного возрастного периода.
Для младшего школьного возраста ведущей деятельностью является учеба. Требования учебной деятельности неизбежно ведут учеников к формированию произвольности как характеристики всех их психических процессов. Произвольность формируется в результате того, что ребенок ежедневно делает то, что требует его позиция ученика: слушает объяснения, решает задачи и т. д. Постепенно он учится делать то, что надо, а не то, что ему хотелось бы. Таким образом, учащиеся учатся управлять своим поведением (в той или иной степени).
Другое важное новообразование - рефлексия.
Учитель требует от ребенка не только решения задач, но и обоснования его правильности. Это постепенно формирует способность у ребенка осознавать, отдавать себе отчет в том, что он делает, что сделал. Больше того - оценить, а правильно ли он сделал и почему он считает, что правильно.
Умение человека осознавать то, что он делает, и аргументировать, обосновывать свою деятельность и называется рефлексией.
В начальный период обучения учащимся первого класса требуется опора на внешние предметы, модели, рисунки. Постепенно они научаются заменять предметы словами (например, устный счет), удерживать в голове образы предметов. К окончанию начальной школы учащиеся уже могут выполнять действия про себя - в умственном плане. Это означает, что их интеллектуальное развитие поднялось на новую ступеньку, у них сформировался внутренний план действий.
Итак, психическая деятельность ученика, закончившего начальную школу, должна характеризоваться тремя новообразованиями: произвольностью, рефлексией, внутренним планом действий.
Развитие указанных особенностей психики школьников идет в неразрывной связи с овладением ими различными видами познавательной деятельности. Так, при поступлении в школу дети неспособны провести анализ различных свойств воспринимаемых объектов. Они обычно ограничиваются называнием цвета и формы. В процессе учения дети научаются целенаправленному восприятию предметов. Вначале учитель дает внешний образец движения взора по воспринимаемому объекту, используя указку. Затем ребенок учится составлять схему, словесный план наблюдения, исходя из его цели. Таким образом, формируется произвольное, целенаправленное наблюдение.
Учение постоянно требует нового типа запоминания, при котором вначале происходит анализ запоминаемого, выделение главного, группировка материала и т. д. Постепенно формируются приемы произвольного, осмысленного запоминания. Непроизвольное запоминание сохраняет свою ценность, но и оно претерпевает изменения, идущие в сторону осмысления запоминаемого материала. Предварительная работа с материалом оказывается решающей для запоминания: материал запоминается как бы сам собой. Постепенное формирование внутреннего плана действий приводит к существенным изменениям во всех интеллектуальных процессах. Вначале дети склонны делать обобщения по внешним, как правило, несущественным признакам. Но в процессе обучения учитель фиксирует их внимание на связях, отношениях, на том, что непосредственно не воспринимается, поэтому учащиеся переходят на более высокий уровень обобщений, оказываются способными усваивать научные понятия, не опираясь на наглядный материал.
В начальной школе происходит развитие всех познавательных процессов, но Д. Б. Эльконин, вслед за Л. С. Выготским, считает, что изменения в восприятии, в памяти являются производными от мышления. Именно мышление становится в центр развития в этот период детства, в силу этого развитие восприятия и памяти идет по пути интеллектуализации. Учащиеся используют мыслительные действия при решении задач на восприятие, запоминание и воспроизведение. "Благодаря переходу мышления на новую, более высокую ступень происходит перестройка всех остальных психических процессов, память становится мыслящей, а восприятие думающим. Переход процессов мышления на новую ступень и связанная с этим перестройка всех остальных процессов и составляют основное содержание умственного развития в младшем школьном возрасте"
.
Итак, в возрасте 6-11 лет происходит перестройка познавательных процессов - формирование произвольности, продуктивности и устойчивости, т.е. развитие произвольного внимания, восприятия, памяти; происходит переход от наглядно-образного мышления к словесно-логическому на уровне конкретных понятий.
Психологические особенности подросткового возраста (11-14 лет) таковы: ведущая деятельность - общение со сверстниками, освоение новых норм поведения и отношений с людьми; формирование самооценки, характера; развитие логического мышления, способности к теоретическим рассуждениям и самоанализу, к оперированию абстрактными понятиями.
Основное новообразование этого возраста - социальное сознание, перенесенное внутрь - самосознание. Развитие рефлексии не ограничивается только внутренними изменениями самой личности, в связи с которыми также становится возможным и более глубокое понимание других людей. Еще одно новообразование, возникающее в конце переходного возрата - это самоопределение. С субъективной точки зрения оно связано с осознанием себя в качестве члена общества и конкретизируется в новой общественно значимой позиции.
Когнитивное развитие в переходном возрасте характеризуется развитием абстрактного мышления и использованием метакогнитивных навыков. Ж.Пиаже определил абстрактное мышление подростков как мышление на уровне формальных операций. Этот новый вид интеллектуальной обработки данных носит абстрактный, умозрительный характер. Мышление на уровне формальных операций включает в себя размышления о возможностях, а также сравнение реальности с теми событиями, которые могли бы произойти или не произойти. В то время как детям младшего возраста гораздо удобнее иметь дело с конкретными эмпирическими фактами, подростки проявляют все большую склонность относиться ко всему, как просто к одному из вариантов возможного. Мышление на уровне формальных операций требует способности формулировать, проверять и оценивать гипотезы. У подростков также возрастает способность планировать и предвидеть. Мышление на уровне формальных операций можно охарактеризовать как процесс 2-го порядка. Мышление 1-го порядка выявляет и исследует связи между объектами. Мышление 2-го порядка включает в себя мысли о мыслях, поиск связей между отношениями и маневрирование между реальностью и возможностью. Существенными свойствами подросткового мышления являются: способность учитывать все комбинации переменных при поиске решения проблемы; способность предполагать, какое влияние одна переменная окажет на другую; способность объединять и разделять переменные гипотетически-дедуктивным образом ("Если есть Х, то произойдет Y").
Принято считать, что не все люди способны мыслить на уровне формальных операций. Более того, подростки и взрослые, достигающие этого уровня, не всегда могут постоянно на нем удерживаться. Например, многие люди, сталкиваясь с незнакомыми проблемами в новых для них ситуациях, часто возвращаются к более конкретному типу рассуждений. Вероятно, для развития формально-операционального мышления необходим определенный уровень интеллекта. Ж. Пиаже подчеркивал, что элементы мышления такого типа принципиально важны для освоения передовой науки и математики.
В отличие от Ж. Пиаже, сторонники информационного подхода обращают главное внимание на совершенствование у подростков тех умений, которые принято называть метапознанием, которое включает в себя такие умения, как способность размышлять о мыслях, формировать стратегию и планировать. В результате появления этих новых когнитивных умений подростки учатся анализировать и сознательно изменять процессы своего мышления. Подростки решают проблемы и рассуждают эффективнее, чем дети младшего школьного возраста.
Учет психологических особенностей младших школьников и подростков является необходимым условием обеспечения преемственности в обучении и развитии.
Главной целью обучения на современном этапе является не только и не столько приобретение определенного багажа знаний, сколько повышение уровня интеллектуального развития учащегося, то есть формирование умения самостоятельно воспринимать, анализировать и осознавать
информацию.
Исходя из этого, поиск путей реализации преемственности становится вновь актуальным.
В настоящее время остро стоит проблема преемственности в обучении математике между начальной и основной школой. Многие программы обучения математике для начальной школы ориентированы на "развивающее обучение" (Э.И.Александрова, И.И.Аргинская, Н.Б.Истомина, Л.Г.Петерсон). Программы обучения математике в 5-6 классах, используемые в массовой практике, являются программами традиционного обучения (И.В.Баранова, Н.Я.Виленкин, Э.Р.Нурк). Возникает несогласованность курса математики начальной и основной школы, прежде всего, содержательная.
Содержательная несогласованность обусловлена тем, что авторы "развивающих учебников" для начальной школы идут по пути расширения объема содержания начального курса математики, включают в него те вопросы, которые традиционно изучаются в основной школе. Это требует адекватного изменения курса математики 5-6 классов. Возможное решение этой проблемы лежит на пути создания единого курса "Математика 1-6". Работа в этом направлении уже ведется (достаточно упомянуть учебники Н.Б.Истоминой).
Другой аспект содержательной несогласованности учебников состоит в том, что упомянутые учебники для начальной школы насыщены нестандартными, занимательными задачами, основанными на дополнительном теоретическом материале. В традиционных учебниках для основной школы содержание, продолжающее эту линию "развивающих задач" недостаточно.
Анализ учебников математики системы развивающего обучения для начальных классов показывает, что все они в той или иной мере сориентированы на развитие познавательной активности учащихся и их творческого потенциала, на формирование учебной деятельности и таких качеств мышления, как гибкость и критичность. Об этом свидетельствует вариативность учебных заданий, выполнение которых предполагает наблюдение, анализ, обобщение, выявление разнообразных зависимостей и закономерностей, установление соответствия между предметными, вербальными, схематическими и символическими моделями.
Перечисленные направления не получают должного логического продолжения в учебниках математики для 5-6 классов, используемых в массовой практике, в которых объяснительные тексты, содержащие примеры-образцы и система репродуктивных упражнений на закрепление новых знаний ориентируют учителя на информационно-сообщающий и объяснительный методы преподавания, а ученика - на исполнительский и репродуктивный методы учения.
Таким образом, с точки зрения организации деятельности учащихся, развивающие учебники математики для начальной школы и учебники математики для 5-6 классов моделируют учебные процессы разного характера.
В настоящее время новый смысл приобретают обе составляющие преемственности - и содержательная, и процессуальная.
3. Развитие математического мышления и творческих способностей учащихся
Развивающее обучение на уроках математики связан
Ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности. Особое значение математики в умственном развитии отметил еще в ХVIII веке М. В. Ломоносов: "Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит"
.
Математика является тем предметом, на материале которого можно проводить целенаправленную работу по развитию мышления учащихся, их творческих способностей. В самом деле, развитие мышления школьников тесно связано с формированием приемов мышления в процессе их учебной деятельности. Эти приемы мышления (анализ, синтез, обобщение, абстрагирование
и т. д.) выступают также, как специфические методы научного исследования, особенно ярко проявляющиеся при обучении математике и в частности при решении задач.
Развивающее обучение, в отличие от традиционного, характеризуется стремлением сделать развитие мышления школьников управляемым процессом, а основные приемы мышления - специальным предметом усвоения.
Известно, что между системой обучения и ходом умственного развития учащихся существует тесная взаимосвязь, подчиняющаяся определенным закономерностям, поиски которых являются в настоящее время одной из центральных проблем педагогической психологии.
Афоризм одного из известных физиков М. Лауэ: "Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто"
, характеризует как важную роль развития мышления, так и его неразрывную связь с обучением.
В современной психологии мышление понимается как социально-обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия существенно нового, т. е. процесс опосредствованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза.
Под математическим мышлением
понимается прежде всего форма, в которой проявляется мышление в процессе познания конкретной науки - математики. Математическое мышление имеет свои черты и особенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также спецификой методов их изучения.
Математическому мышлению свойственны те качества, которые присущи научному мышлению. В исследованиях Ю. Н. Колягина, это:
1) Гибкость мышления
- способность к целесообразному варьированию способов действия; легкость перестройки системы знаний, умений и навыков при изменении условий действия; легкость перехода от одного способа действия к другому, умение выходить за границы привычного способа действия.
2) Активность мышления
- постоянство усилий, направленных на решение некоторой проблемы, желание обязательно решить эту проблему, изучить различные подходы к ее решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменяющихся условий и т. д.
3) Организованность памяти.
В зависимости от содержания запоминаемого материала и от деятельности человека в процессе запоминания память делят на образную (двигательную, зрительную, слуховую), эмоциональную и словесно-логическую. В зависимости от целей деятельности различают память непроизвольную и избирательную. В зависимости от времени хранения информации в памяти различают память кратковременную (оперативную) и долговременную.
В процессе обучения математике целесообразно развивать все указанные виды памяти.
Организованность памяти означает способность к быстрому и правильному воспроизведению необходимой информации. Важнейшим элементом памяти является запоминание.
4) Широта мышления
- способность к формированию обобщенных способов действий, имеющих широкий диапозон переноса и применения к частным, нетипичным случаям. Это качество мышления часто проявляется в готовности школьников принять во внимание новые для него факты в процессе деятельности в известной ситуации.
5) Глубина мышления
- способность глубокого понимания каждого из изучаемых математических фактов в их взаимосвязи с другими фактами.
Глубина мышления проявляется также в умениях отделять главное от второстепенного, обнаружить логическую структуру рассуждения, отделить то, что строго доказано, от того, что принято на веру, извлекать из математического текста не только то, что в нем сказано, но и то, что содержится "между строк".
6) Критичность мышления
- умение оценить правильность выбранных путей решения проблемы и получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности, значимости и т. п. В процессе обучения математике воспитанию этого качества у учащихся способствует постоянное обращение к различного вида проверкам, грубым прикидкам найденного результата, а также к проверке умозаключений, сделанных с помощью индукции, аналогии и интуиции.
Понятно также, что математическое мышление относится к мышлению естественнонаучному.
Естественнонаучное мышление характеризуется:
· приобретением естественной научной информации и знаний (знанием фактов, специальных терминов, умением воспроизводить устно законы и правила, определять форму, структуру, процессы и их функции, умением объяснять значение закона);
· формированием умения пользоваться естественнонаучными знаниями на практике, обогащением жизненного опыта путем использования в быту знаний законов природы, умением различать факты и гипотезы, ставить эксперименты и проверять выводы, делать обобщения на основе экспериментальных данных.
Обладая всеми чертами естественнонаучного мышления, математическое мышление имеет свою специфику.
В методико-математических работах, в которых речь идет о развитии математического мышления школьников, встречаются термины, обозначающие ту или иную разновидность математического мышления. Так, например, часто говорят о необходимости развития у школьников логического мышления, функционального мышления, пространственного воображения и т. д.
· Логическое мышление
обычно характеризуется умением выводить следствия из данных предпосылок, вычленять частные случаи из некоторого общего положения, теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы и т. п. Развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике является предметом заботы учителей и методистов. Логическое мышление проявляется и развивается у учащихся, прежде всего, в ходе различных математических выводов: индуктивных и дедуктивных, при доказательстве теорем, обосновании решения задач и т. д.
· Функциональное мышление
, характеризуемое осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами, ярко проявляется в связи с изучением одной из ведущих идей школьного курса математики - идеи функции.
· Сформированность пространственного воображения
характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические модели изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами. Известно, что невысокий уровень развития пространственно-схематического мышления обычно затрудняет изучение стереометрии, так как оно не формируется сразу; для его успешного развития обычно требуется кропотливая предварительная подготовка учащихся.
· Значительно реже в методико-математической литературе встречается термин "интуитивное мышление".
Однако опытный учитель всегда уделяет должное внимание развитию у школьников сообразительности, способности к догадке.
Эти разновидности математического мышления являются не чем иным, как особыми формами проявления мышления в процессе изучения математики.
Многие черты математического мышления проявляются в мышлении творческом. Однако вряд ли имеет смысл говорить о творческом математическом мышлении, так как творческое мышление является весьма общей категорией, проявляющейся в умственной и практической деятельности человека.
К творческим способностям
, с точки зрения Ю. М. Колягина, относятся прежде всего:
· способность к правильному и быстрому восприятию, способность к пространственному воображению;
· способность к быстрому сосредоточению и переключению внимания с сохранением его устойчивости и интенсивности на любых избранных объектах;
· наличие хорошей избирательной памяти, способность репродуцировать ведущие знания и опыт;
· способность к сильному творческому воображению;
· способность оценивать ситуацию сразу с различных точек зрения, способность видеть больше того, что есть и что очевидно;
· способность проникать в сущность основных взаимосвязей, скрытых в данной проблеме, перед тем как приступить к ее решению;
· устойчивую потребность в познании нового;
· образность, точность и сжатость речи, способность необычно отвечать на специфические вопросы;
· способность создавать наглядно-действенные и наглядно-образные модели тех или иных ситуаций;
· способность мыслить отвлеченно, схватывая главную суть закономерности изучаемого процесса или характеристические свойства той или иной ситуации.
Важно отметить, что к числу качеств, присущих творческой личности, справедливо относят и такие качества, как:
· глубокие и широкие знания в области своей деятельности;
· всестороннюю (или узконаправленную) любознательность;
· мечтательность, склонность к фантазии;
· независимость суждений;
· находчивость, способность к импровизации;
· склонность к риску и т. д.
Нетрудно видеть, что в перечисленных качествах творческой личности проявляется высокий уровень развития самых разнообразных компонентов, присущих математическому мышлению.
Осуществляя целенаправленное математическое развитие школьников, следует помнить, что задачи являются здесь наиболее естественным и наиболее эффективным средством.
Мышление психологически выступает как деятельность по решению задачи. А. В. Брушлинский пишет, что развитие мышления происходит
"именно в ходе решения задач, когда человек сам наталкивается на посильные для него проблемы и вопросы, формулирует их и затем решает".
С. Л. Рубинштейн, характеризуя психическую природу мыслительного процесса, указывал: "Всякий мыслительный процесс является по своему внутреннему строению действием, направленным на разрешение определенной задачи. Задача эта заключает в себе цель для мыслительной деятельности индивида, соотнесенную с условиями, которыми она задана. Начальным моментом мыслительного процесса обычно является проблемная ситуация. Мыслить человек начинает, когда у него появляется потребность что-то понять. Мышление обычно начинается с проблемы или вопроса, с удивления или недоумения, с противоречия"
.
4. Задачи с развивающими функциями
Развитие математического мышления и творческих способностей осуществляется в ходе размышлений учащихся над задачами.
Самостоятельная деятельность учащихся по решению задач занимает главное место в обучении математике. Умение решать задачи - критерий успешности обучения математике.
Задача в теории обучения понимается в широком смысле. В это понятие можно включить любое задание, требующее осуществления какого-либо познавательного акта, любой учебный текст, подлежащий усвоению. Согласно А.Н.Леонтьеву, задача - это есть цель, данная в определенных условиях.
Рассмотрим систематизацию задач в зависимости от их функций. К. И. Нешков и А. Д. Семушин выделяют следующие типы задач:
· задачи с дидактическими функциями,
· задачи с познавательными функциями,
· задачи с развивающими функциями.
Характеристика функций задач дана в работах Ю. М. Колягина и Е. И. Лященко. По мнению Ю. М. Колягина, функции задач должны соответствовать основным компонентам образования: обучению, воспитанию и развитию. Е. И. Лященко, анализируя требования к задачам, исходит из деления задач на дидактические, познавательные, развивающие.
К развивающим задачам, или задачам с развивающими функциями относятся:
1) задачи, для решения которых не требуются новые знания по предмету, надо применять имеющиеся знания в иной комбинации;
2) задачи, с помощью и на основе которых приобретаются знания по предмету.
Развивающие задачи, или задачи с развивающими функциями, - это задачи, содержание которых может отходить от основного курса математики с посильным осложнением некоторых из изученных ранее вопросов школьной программы; запоминание и усвоение этого материала всеми учащимися необязательно. При решении этих задач ученику недостаточно применять изученные теоретические сведения или уже известные методы решения задач, а необходимо проявить выдумку, сообразительность.
Задачи с развивающими функциями не должны быть объектом изучения. Это не означает, что они превращаются в задачи, необязательные для решения. Таких задач должно быть достаточно много в учебнике для каждого класса, начиная с 1-го. Задачи, несущие развивающие функции, в основном предназначены для развития мышления учащихся. Однако способности учащихся различны, и поэтому их успехи в решении таких задач, естественно, неодинаковы. Необходимо исходить из того, что не каждый ученик может решить любую задачу, не каждый ученик сумеет достаточно глубоко разобраться в некоторых готовых решениях. Задачи с развивающими функциями не должны быть случайными. Они должны быть связаны с изучаемым материалом и представлять посильные для учащихся трудности. Наибольшую пользу эти задачи приносят тогда, когда они решаются без предварительной подготовки и достаточно разнообразны по содержанию и способам решения. Если же, как это часто делается, решать с целью "развития" несколько однородных задач подряд до тех пор, пока учащиеся не усвоят способ решения, то эти задачи потеряют свои ценные развивающие качества.
Решение задач с развивающими функциями не доводится до навыка.
Учащиеся - каждый по мере своих возможностей - должны просто решать эти задачи. И все же при их решении учащиеся будут получать не только знания, но и развитие, что непременно отразится на усвоении ими всего курса математики. При решении задач с развивающими функциями создаются благоприятные условия для проявления самостоятельности учащихся, особое значение приобретает индивидуальный подход к учащимся.
Задачи с развивающими функциями не пользуются популярностью у многих учителей по ряду причин. Обучение их решению требует большого напряжения со стороны учителя и не сразу дает внешне заметные результаты. Кроме того, эти важные результаты обучения довольно трудно выявить самому учителю (одну задачу решила одна группа учащихся, с другой справилась другая группа, и учитель постоянно испытывает тревогу, что решение не оставит следа в сознании всех учащихся). Неудовлетворенность у учителя оставляет и то, что он не сразу может продемонстрировать успехи своих учеников коллегам. Как показывает эксперимент, при систематической работе по решению задач с развивающими функциями уже через 1-2 месяца заметны успехи учащихся.
5. Развитие познавательной активности и самостоятельности учащихся на уроках математики
Эффективность процесса обучения математике в наше время определяется многими факторами, но главная роль принадлежит учителю.
Его задача, прежде всего, воспитать активно мыслящую личность.
От мастерства учителя, его умения управлять процессом формирования знаний учащихся, развитием их мышления во многом зависит, сможет ли ученик творчески подойти к изучаемому материалу. Остановлюсь на некоторых приемах, которые способствуют успешному усвоению учебного материала, развитию познавательной активности школьников.
Ведь активизация
– эта такая организация познавательной деятельности учащихся, при которой учебный материал становится предметом активных мыслительных и практических действий каждого ученика. Она должна обеспечить не только простое запоминание материала и формирование устойчивого внимания, но и дать учащимся некоторые навыки и умения самостоятельно добывать знания. Главным условием формирования познавательной активности школьников являются содержание и организация урока. Отбирая материал и продумывая приемы, которые будут использованы на уроке, учителю надо оценивать их с точки зрения возможности возбудить и поддерживать интерес к предмету.
Класс не представляет собой однородную массу. Безусловно, имеется часть учащихся, у которых интерес к математике зародился еще до ее изучения. Таким ученикам нужны разнообразные задания. Во время выполнения упражнений тренировочного характера для них всегда надо иметь в запасе более сложные задания. В качестве сложных задач удобно предлагать задачи со звездочками из учебника, чтобы не тратить время на запись их условий.
Одним из средств активизации познавательной деятельности школьников является широкое использование их жизненного опыта. Большую роль при этом играют практические работы, а также решение задач с практическим содержанием.
Так, объяснение темы “Координатная плоскость” в 6-ом классе начинаю с вопроса: “Укажите из своей жизненной практики примеры, где положение объекта задается при помощи чисел”.
Учащиеся по очереди называют примеры: место в кинозале, положение фигуры на шахматной доске, широта и долгота места на карте и др. Затем формулируется задача…
Изучение вопроса о сумме n–первых членах арифметической прогрессии в 9-ом классе начинаю с рассказа: “Примерно 200 лет тому назад в одной из школ Германии на уроке математики учитель предложил ученикам найти сумму первых 100 натуральных чисел. Все принялись подряд складывать числа, а один ученик почти сразу же дал правильный ответ. Имя этого ученика Карл Фридрих Гаусс. В последствии он стал великим математиком. Как удалось Гауссу так быстро подсчитать эту сумму?”
Предлагаю учащимся поискать решение этой задачи, подумать, как проще и удобнее выполнить его. Постепенно учащиеся находят правильное решение: (1+100)*50=5050. Затем выясняем, что последовательность 1,2,3,…,100 есть частный случай арифметической прогрессии и выводим формулу для суммы n–первых членов арифметической прогрессии.
Решение устных задач придает уроку необходимую глубину и живость, открывает широкие возможности для выявления и формирования у учащихся склонностей и интересов к математике. Никакая другая форма занятий не может обеспечить широкого фронта активной и творческой работы учащихся, а значит, и не будет столь эффективной. Успех этой работы в значительной степени зависит от подбора задач. Задачи должны быть краткими по содержанию, побуждать учащихся к проявлению сообразительности и находчивости.
Активизация самостоятельной деятельности школьников на уроке может рассматриваться в двух аспектах, касающихся их коллективной и индивидуальной учебно–познавательной работы, организуемой и направляемой учителем. Вместе с тем, эти аспекты отнюдь не исчерпывают все многообразие педагогических проблем организации самостоятельной работы учащихся в процессе обучения математике.
На уроках геометрии предлагаю учащимся выполнить практическую работу, по результатам которой они делают самостоятельно выводы, дают определения и доказывают теоремы, тем самым, развивая познавательную активность.
Например:
· Начертите четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (ученики чертят параллелограмм и сами формулируют определение). Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
· Отметьте три точки, не лежащие на одной прямой. Соедините их отрезками. Такая геометрическая фигура называется треугольником. Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенные между собой отрезками.
При объяснении теоремы Пифагора в 8 классе я предлагаю ребятам:
· начертить прямоугольный треугольник;
· измерить длины его сторон;
· вычислить квадрат гипотенузы;
· найти сумму квадратов катетов;
· сравнить полученные результаты.
Учащиеся сами формулируют теорему Пифагора.
Особое внимание следует обращать на задания, которые формируют умение анализировать, сравнивать, обобщать, выделять главное, контролировать и планировать свою деятельность. Так, при прохождении темы “Решение треугольников”, ученикам предлагаю домашнее задание: составить рассказ о теоремах синусов и косинусов по плану:
· что вы знаете о возникновении теоремы;
· какого типа задачи вы можете решать с помощью этих теорем;
· как можно использовать эти теоремы в других предметах или в практической жизни человека.
Такие задания систематизируют знания учащихся, учат их видеть основное, повышают речевую активность. Для воспитания познавательной активности школьников использую в своей практике ознакомление их с различными способами доказательства теорем, различными подходами к решению одной и той же задачи.
Задача: В одной цистерне 59 т нефти, в другой – 44 т. Через сколько дней в Цистернах останется одинаковое количество горючего, если ежедневно из первой расходуется 5 т, а из второй 2 т.
Решение:
I способ – алгебраический.
59–5х=44–2х, х=5 (дней).
II способ – арифметический.
1) 59–44=15, 2) 5–2=3, 3) 15:3=5 (дней).
Часто на уроках задаю учащимся вопросы:
Чем отличаются задания друг от друга?
Существует ли другой способ решения?
Какой способ решения проще и почему?
Где применяется данная задача в повседневной жизни?
Формы заданий, даваемых на уроке, стараюсь разнообразить. Например, предлагаю упражнения с набором ответов, среди которых нужно выбрать верный. При проведении самостоятельных работ применяю “круговые” упражнения.
Развитию творческих способностей учащихся хорошо влияют также навыки составления задач самими учащимися. Развитию познавательной активности и самостоятельности учащихся способствуют факультативные занятия. Воспитывать интерес к математике и развивать математические способности, а тем более, раскрывать перед учащимися содержание и красоту математики можно только на основе хорошего математического содержания соответствующих мероприятий. Большую пользу в воспитании самостоятельности учащихся приносят задания по моделированию. Такие задания способствуют пробуждению интереса учащихся к математике, более сознательному усвоению курса, связи математики с жизнью и с другими предметами, пополняют математические кабинеты интересными и полезными пособиями.
Олимпиады, КВН, математические вечера, выпуск математических газет, участие в неделе математики, все это также способствует развитию познавательной активности учащихся, так как для подготовки к этим мероприятиям необходимо самостоятельно ответить на поставленные вопросы, подобрать материал, задуматься над той или иной проблемой. Проблема должна быть доступной пониманию учащихся.
Научить детей трудиться и мыслить – основная задача школы
. Учитель должен уметь создавать творческий, деловой настрой на уроке. Требованиям современного процесса обучения и воспитания отвечает умелое применение на уроке наглядности и технических средств. Каждое средство обучения имеет свои дидактические функции, свои возможности использования – отсюда следует и комплексное использование всех видов наглядности. Если слово учителя подкреплено хорошо продуманным зрительным образом, если на помощь приходят разнообразные средства, то урок становится живым и интересным для каждого ученика. Перед учителями школ поставлена важнейшая задача – осуществлять комплексный подход к воспитанию школьников. Но эту задачу невозможно решать без воспитания активной познавательной деятельности и самостоятельности учащихся.
Литература:
Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения
Выготский Л.С. Педагогическая психология
Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. М., 1959; Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М., 1968;
Кабанова-Меллер Е.Н. О переносе в процессе учения // Советская педагогика. 1965. N 11
Брушлинский А.В. Зона ближайшего развития и проблема субъекта деятельности // Психологический журнал. 1993. N 3
Венгер Л.А. Воспитание и обучение. М.