ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
—————————————————
ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
—————————————————
КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ МОДЕЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Методические указания к самостоятельной работе студентов
по курсу
«Методы и модели в экономике»
Для студентов, обучающихся по специальности
080502 – «Экономика и управление на предприятии
(в пищевой промышленности)»,
дневной формы обучения
—————————————————
ВОРОНЕЖ
2009
УДК 330.115
Математическое моделирование экономических процессов
[Текст] : метод. указания к самостоятельной работе студентов по курсу «Методы и модели в экономике» / Воронеж. гос. технол. акад.; сост. А. С. Дубровин. Воронеж, 2009. 24 с.
Методические указания разработаны в соответствии с требованиями ГОС ВПО подготовки специалистов по специальности 080502 – «Экономика и управление на предприятии (в пищевой промышленности)» и предназначены для самостоятельной работы студентов по курсу «Методы и модели в экономике» цикла ЕН.
Библиогр.: 6 назв.
Составитель доцент А.С. ДУБРОВИН
Научный редактор профессор Г.В. АБРАМОВ
Рецензент профессор В.И. СУМИН
Печатается по решению
редакционно-издательского совета
Воронежской государственной технологической академии
© Дубровин А.С., 2009
© ГОУВПО «Воронеж. гос.
технол. акад.», 2009
Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежской государственной технологической академии, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия академии запрещается.
1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПОДГОТОВКЕ К АУДИТОРНОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Изучение дисциплины «Методы и модели в экономике» предполагает выполнение одной аудиторной контрольной работы. Аудиторная контрольная работа проводится по следующим темам:
- натуральный межотраслевой баланс
(общие представления о модели Леонтьева; статичность и линейность межотраслевого баланса; уравнения межотраслевого баланса в натуральной форме; технологическая матрица; расчет валового выпуска отраслей по заданному экзогенно конечному спросу; расчет объемов конечного спроса по заданным валовым выпускам отраслей; понятие продуктивности межотраслевого баланса);
- стоимостный межотраслевой баланс
(уравнения межотраслевого баланса в стоимостной форме; расчет цен продуктов по заданным добавленным стоимостям в модели Леонтьева; расчет добавленных стоимостей по заданным ценам продуктов в модели Леонтьева; двойственность систем уравнений межотраслевого баланса; понятие прибыльности межотраслевого баланса);
- неразложимые технологические матрицы
(изолированное множество отраслей в модели Леонтьева; неразложимая технологическая матрица; теорема Фробениуса-Перрона и ее применение к технологическим матрицам; проверка матрицы на неразложимость; технологические матрицы трехсекторной и четырехсекторной экономики);
- продуктивные и прибыльные модели Леонтьева
(необходимое и достаточное условие продуктивности и прибыльности модели Леонтьева; вычисление собственных чисел неразложимой технологической матрицы; достаточное условие продуктивности и прибыльности модели Леонтьева; исследование технологической матрицы на продуктивность и прибыльность; свойство неотрицательной обратимости матрицы и его экономическая интерпретация);
- полные затраты в модели Леонтьева
(матрица полных затрат модели Леонтьева; расчет полных затрат межотраслевого баланса; разложение вектора валового выпуска и матрицы полных затрат в бесконечный ряд, его экономическая интерпретация; связь между прямыми и полными затратами межотраслевого баланса; учет трудовых ресурсов в модели Леонтьева);
- макроэкономические производственные функции
(описание производственной подсистемы экономики производственными функциями; общие представления о макроэкономических производственных функциях; выбор факторов производства для производственной функции на макроуровне; неоклассическая производственная функция, мультипликативная производственная функция, производственная функция Кобба-Дугласа, производственная функция с постоянной эластичностью замены (CES-функция), линейная производственная функция, производственная функция затраты-выпуск; расчет средней и предельной фондоотдачи, средней и предельной производительности труда, предельных норм замены фондов трудом и труда фондами, эластичностей выпуска по фондам и по труду для заданных макроэкономических производственных функций; изокванты и изоклинали макроэкономических производственных функций, их уравнения);
- микроэкономические производственные функции
(описание производственной фирмы производственной функцией; общие представления о микроэкономических производственных функциях; выбор факторов производства для производственной функции на микроуровне; расчет средних и предельных эффективностей факторов, предельных норм замены одних факторов другими, эластичностей факторов для заданных микроэкономических производственных функций; изокванты и изоклинали двухфакторных микроэкономических производственных функций, их уравнения).
В результате подготовки к аудиторной контрольной работе студент должен:
- уметь
составлять уравнения межотраслевого баланса в натуральной и стоимостной форме; определять матрицу полных затрат модели Леонтьева; строить изокванты и изоклинали макроэкономических производственных функций и двухфакторных микроэкономических производственных функций, составлять их уравнения;
- иметь навыки
расчета валового выпуска отраслей по заданному экзогенно конечному спросу; расчета объемов конечного спроса по заданным валовым выпускам отраслей; расчета цен продуктов по заданным добавленным стоимостям в модели Леонтьева; расчета добавленных стоимостей по заданным ценам продуктов в модели Леонтьева; проверки технологической матрицы на неразложимость; вычисления собственных чисел неразложимой технологической матрицы; исследования технологической матрицы на продуктивность и прибыльность; расчета полных затрат межотраслевого баланса; расчета средней и предельной фондоотдачи, средней и предельной производительности труда, предельных норм замены фондов трудом и труда фондами, эластичностей выпуска по фондам и по труду для заданных макроэкономических производственных функций; расчета средних и предельных эффективностей факторов, предельных норм замены одних факторов другими, эластичностей факторов для заданных микроэкономических производственных функций.
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПОДГОТОВКЕ К КОЛЛОКВИУМУ
Изучение дисциплины «Методы и модели в экономике» предполагает проведение одного коллоквиума.
ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ
1. Экономика как объект математического моделирования.
2. Общие представления о статических моделях макроэкономики.
3. Структуризация производственной подсистемы экономики при математическом моделировании.
4. Общие представления о модели Леонтьева.
5. Расчет валового выпуска отраслей по заданному экзогенно конечному спросу в модели Леонтьева.
6. Расчет объемов конечного спроса по заданным валовым выпускам отраслей в модели Леонтьева.
7. Расчет цен продуктов по заданным добавленным стоимостям в модели Леонтьева.
8. Расчет добавленных стоимостей по заданным ценам продуктов в модели Леонтьева.
9. Двойственность систем уравнений межотраслевого баланса.
10. Изолированное множество отраслей в модели Леонтьева, неразложимая технологическая матрица.
11. Теорема Фробениуса-Перрона и ее применение к технологическим матрицам, проверка технологической матрицы на неразложимость.
12. Технологические матрицы трехсекторной и четырехсекторной экономики.
13. Необходимое и достаточное условие продуктивности и прибыльности модели Леонтьева.
14. Достаточное условие продуктивности и прибыльности модели Леонтьева.
15. Свойство неотрицательной обратимости технологической матрицы и его экономическая интерпретация.
16. Матрица полных затрат модели Леонтьева, расчет полных затрат межотраслевого баланса.
17. Разложение вектора валового выпуска и матрицы полных затрат в бесконечный ряд, его экономическая интерпретация, связь между прямыми и полными затратами межотраслевого баланса.
18. Учет трудовых ресурсов в модели Леонтьева.
19. Общие представления о макроэкономических производственных функциях (ПФ), неоклассическая ПФ, мультипликативная ПФ, ПФ Кобба-Дугласа, ПФ с постоянной эластичностью замены (CES-функция), линейная ПФ, ПФ затраты-выпуск.
20. Расчет средней и предельной фондоотдачи, средней и предельной производительности труда, предельных норм замены фондов трудом и труда фондами, эластичностей выпуска по фондам и по труду для заданных макроэкономических производственных функций.
21. Изокванты и изоклинали макроэкономических производственных функций, их уравнения.
22. Описание производственной фирмы производственными функциями (ПФ), общие представления о микроэкономических ПФ, выбор факторов производства для ПФ на микроуровне.
23. Расчет средних и предельных эффективностей факторов, предельных норм замены одних факторов другими, эластичностей факторов для заданных микроэкономических производственных функций.
24. Изокванты и изоклинали двухфакторных микроэкономических производственных функций, их уравнения.
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ПО КОЛЛОКВИУМУ
«0» баллов – студент не явился на коллоквиум;
«1» балл – студент явился на коллоквиум, но отказался его сдавать;
«2» балла – студент не смог изложить суть основного вопроса;
«3» балла – студент смог изложить суть основного вопроса, но не смог ответить по существу дополнительных вопросов;
«4» балла – студент смог изложить суть основного вопроса, смог ответить по существу дополнительных вопросов, но не смог ответить на уточняющие вопросы;
«5» баллов – студент смог изложить суть основного вопроса, смог ответить по существу дополнительных вопросов и смог ответить на уточняющие вопросы.
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Изучение дисциплины предполагает выполнение одной расчетно-графической работы, по результатам выполнения которой оформляется пояснительная записка. Расчетно-графическая работа предназначена для практического освоения математических моделей конкуренции с учетом моделирования спроса. Расчетно-графическая работа выполняется по вариантам, индивидуальным для каждого студента. Перед началом выполнения работы студент должен получить номер варианта задания, который обозначим через N
. Этот номер используется при уточнении исходных данных на расчетно-графическую работу.
Пояснительная записка должна содержать:
- задание на расчетно-графическую работу;
- краткое описание применяемых математических моделей и методов;
- результаты расчетов;
- анализ полученных результатов.
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
В данной расчетно-графической работе рассматриваются математические модели экономического взаимодействия потребителей и продавцов-производителей на монотоварном рынке в условиях конкуренции. Варианты задания на расчетно-графическую работу различаются функцией спроса, которая в данных моделях полностью описывает поведение потребителей на рынке.
В общем случае при выполнении расчетно-графической работы используется линейная функция спроса, имеющая следующий вид:
, , , , (1)
где D
– количество товара, покупаемого на данном рынке за единицу времени при цене p
за единицу товара (по-английски “demand” – спрос),
A
– свободный член функции спроса,
B
– модуль коэффициента функции спроса.
По заданной функции спроса можно найти обратную ей функцию
, (2)
где p
– цена, складывающаяся на рынке при обеспечении спроса в объеме D
.
Для линейной функции спроса обратная ей функция также линейна:
, (3)
где – свободный член функции, обратной функции спроса,
– модуль коэффициента функции, обратной функции спроса.
Предполагается, что издержки производства X
единиц товара определяются линейной функцией издержек
, , , (4)
где c
– предельные издержки,
d
– постоянные издержки.
При выполнении расчетно-графической работы необходимо рассмотреть каждый из трех приведенных ниже случаев экономического взаимодействия потребителей и продавцов-производителей на монотоварном рынке (случай образования монополии, случай двух и случай многих участников рынка).
Случай 1.
Монополия на рынке
.
При выполнении расчетов для данного случая сначала рассчитывается вспомогательная величина выпуска монополии, при которой ее прибыль отрицательна и равна :
. (5)
Прибыль монополии при заданном выпуске X
следующая:
. (6)
Стратегия поведения монополии на рынке – максимизация своей прибыли. Максимальная прибыль монополии в размере
(7)
достигается при выпуске ею продукции в объеме
, (8)
при этом на рынке складывается цена за единицу товара, равная
. (9)
Доход монополии составит
, (10)
а издержки выпуска монополии равны
. (11)
Случай 2.
Две фирмы на рынке
.
При выполнении расчетов для данного случая сначала рассчитывается по формуле (5) вспомогательная величина общего выпуска двух фирм, при которой прибыль каждой фирмы отрицательна и равна . Прибыль каждой i
-ой фирмы при выпуске и первой и второй фирм составит
, . (12)
Далее в рамках данного случая 2 можно анализировать четыре отдельные ситуации (описанные ниже случаи 2.1-2.4). Результаты расчетов по этим четырем случаям вместе с результатами расчетов по случаю 1 сведем в таблицу 1.
Таблица 1 – Результаты расчетов при наличии не более чем двух фирм на рынке
| Ситуация |
Выпуск |
Доход |
||||
| первой фирмы |
второй фирмы |
общий |
первой фирмы |
второй фирмы |
общий |
|
| Монополия |
— |
— |
|
— |
— |
|
| Картельный сговор |
|
|
|
|
|
|
| Равновесие Курно |
|
|
|
|
|
|
| Равновесие Стакельберга |
|
|
|
|
|
|
| Неравновесие Стакельберга |
|
|
|
|
|
|
Продолжение таблицы 1
| Ситуация |
Издержки |
Прибыль |
Цена |
||||
| первой фирмы |
второй фирмы |
общие |
первой фирмы |
второй фирмы |
общая |
||
| Монополия |
— |
— |
|
— |
— |
|
|
| Картельный сговор |
|
|
|
|
|
|
|
| Равновесие Курно |
|
|
|
|
|
|
|
| Равновесие Стакельберга |
|
|
|
|
|
|
|
| Неравновесие Стакельберга |
|
|
|
|
|
|
|
Случай 2.1.
Две фирмы на рынке в ситуации картельн
.
Предполагается, что картельный сговор заключается фирмами на равных условиях, то есть как выпуски, так и прибыли обеих фирм равны. Стратегия поведения фирм на рынке в ситуации картельного сговора – максимизация своей совместной прибыли. При этом общие выпуск, доход, издержки выпуска и прибыль фирм, а также цена за единицу товара равны аналогичным величинам для случая монополии на рынке:
, , , , , (13)
а выпуск, доход, издержки выпуска и прибыль каждой i
-ой фирмы рассчитываются как половина соответствующих величин для случая монополии на рынке:
, , , . (14)
Случай 2.2.
Две конкурирующие фирмы в ситуации равновесия Курно
.
Равновесие Курно складывается в ситуации, когда обе фирмы в конкурентной борьбе применяют стратегию Курно. Тогда прибыль каждой i
-ой фирмы составляет
, (15)
а выпуск каждой i
-ой фирмы равен
. (16)
При этом на рынке складывается цена за единицу товара
. (17)
Доход каждой i
-ой фирмы составит
, (18)
а издержки выпуска каждой i
-ой фирмы равны
. (19)
Общий выпуск фирм равен
, (20)
общий доход фирм равен
, (21)
общие издержки выпуска фирм равны
, (22)
а общая прибыль фирм равна
. (23)
Случай 2.3.
Две конкурирующие фирмы в ситуации равновесия Стакельберга
.
Равновесие Стакельберга складывается в ситуации, когда одна из двух фирм в конкурентной борьбе применяет стратегию Стакельберга, в то время как другая фирма применяет стратегию Курно. Без ограничения общности будем считать, что первая фирма применяет стратегию Стакельберга, а вторая – стратегию Курно. Тогда прибыль первой фирмы составляет
, (24)
прибыль второй фирмы составляет
, (25)
выпуск первой фирмы равен
, (26)
а выпуск второй фирмы равен
. (27)
При этом на рынке складывается цена за единицу товара
. (28)
Доход i
-ой фирмы составит
, (29)
а издержки выпуска i
-ой фирмы равны
. (30)
Общий выпуск фирм равен
, (31)
общий доход фирм равен
, (32)
общие издержки выпуска фирм равны
, (33)
а общая прибыль фирм равна
. (34)
Случай 2.4.
Две конкурирующие фирмы в ситуации неравновесия Стакельберга
.
Неравновесие Стакельберга складывается в ситуации, когда обе фирмы в конкурентной борьбе применяют стратегию Стакельберга. Тогда прибыль каждой i
-ой фирмы составляет
, (35)
а выпуск каждой i
-ой фирмы равен
. (36)
При этом на рынке складывается цена за единицу товара
. (37)
Доход каждой i
-ой фирмы составит
, (38)
а издержки выпуска каждой i
-ой фирмы равны
. (39)
Общий выпуск фирм равен
, (40)
общий доход фирм равен
, (41)
общие издержки выпуска фирм равны
, (42)
а общая прибыль фирм равна
. (43)
Случай 3.
Большое число участников на конкурентном рынке с малой долей каждого из них на нем
.
Для нормального функционирования рынка с большим числом участников необходимо, чтобы индивидуальные действия различных участников были согласованы между собой. Разрешение конфликта между участниками рынка, преследующими свои цели, возможно не только прямым принудительным путем, но и косвенно через конкурентный рыночный механизм, основанный на регулирующем действии системы цен. Если система цен определена, то любая рыночная сделка независимо от того, является ли рынок конкурентным или нет, осуществляется в соответствии с этой системой цен. Если участники не могут влиять на цены, то рынок называется конкурентным. На конкурентном рынке цены для каждого участника неуправляемы, и ему остается только пассивно приспосабливаться к существующей системе цен.
При некоторой системе цен индивидуальные планы (намерения) участников становятся совместимыми, т.е. такая система цен обеспечивает распределение ресурсов и продуктов на основе разрешения конфликта между участниками. Такая равновесная ситуация называется конкурентным равновесием. Конкурентное равновесие представляет собой совместное распределение производства и потребления, при котором совокупный спрос не превосходит совокупного предложения, стоимость совокупного спроса в конкурентных ценах равна стоимости совокупного предложения в этих же ценах, при этом каждый потребитель максимизирует свою полезность в конкурентных ценах, а каждый производитель – свою прибыль в этих же ценах. Таким образом, существование конкурентного равновесия означает существование такой системы равновесных (конкурентных) цен, при которой согласуются конфликтные интересы потребителей и производителей.
Для изучения конкурентного равновесия разработана модель Вальраса. В рамках модели Вальраса решается вопрос о том, при каких условиях существует конкурентное равновесие (теорема Эрроу-Дебре), исследуется, для каких состояний экономики возможен переход в состояние конкурентного равновесия, а для каких невозможен. Если же переход возможен, модель Вальраса позволяет указать управляющее правило, при котором этот переход осуществится.
При выполнении данной расчетно-графической работы предполагается, что состояние конкурентного равновесия на рынке возможно и осуществим переход в это состояние (установление равновесной цены). Существует много моделей установления равновесной цены на монотоварном рынке. В данной расчетно-графической работе производятся расчеты по каждой из трех наиболее известных из них: паутинообразной модели, дискретной и непрерывной модели Эванса.
В моделях установления равновесной цены на монотоварном рынке поведение продавцов-производителей полностью описывается функцией предложения. При выполнении данной расчетно-графической работы используется линейная функция предложения, имеющая следующий вид:
, , , , (44)
где S
– количество товара, поставляемого на данный рынок за единицу времени при цене p
за единицу товара (по-английски “supply” – предложение),
a
– модуль свободного члена функции предложения,
b
– коэффициент функции предложения.
Состояние равновесия характеризуется равенством спроса и предложения
, (45)
причем при выполнении условия
(46)
это уравнение имеет единственное решение , так что состояние равновесия
(47)
единственно. Равновесная цена рассчитывается следующим образом:
, (48)
а спрос и предложение при равновесной цене вычисляется по формуле
. (49)
Само состояние конкурентного равновесия (45), описываемое равновесной ценой (48) и величиной спроса и предложения при ней (47), едино для всех моделей установления равновесной цены, но динамика цены, спроса и предложения в процессе установления равновесной цены различна для разных моделей. Все модели установления равновесной цены основаны на предположении, что изменение цены зависит от разности спроса и предложения: если спрос выше предложения, то цена возрастает, в противном случае убывает. Далее рассмотрим отдельно каждую из трех таких моделей: паутинообразная модель, дискретная модель Эванса и непрерывная модель Эванса.
Случай 3.1.
Паутинообразная модель установления равновесной цены
.
Паутинообразная модель позволяет реализовать процесс «нащупывания» равновесной цены. Пусть в начальный момент времени установлена начальная цена , при этом спрос оказался меньше предложения, т.е. , тогда понижаем цену до уровня , при котором спрос равен предложению при первоначальной цене . При новой цене уже спрос превышает предложение, т.е. , поэтому повышаем цену до уровня , при котором , и т.д. Таким образом, реализуется рекуррентный процесс, описываемый рекуррентным соотношением
, . (50)
Для сходимости этого процесса к состоянию равновесия при линейных функциях спроса и предложения необходимо и достаточно выполнения условия
, (51)
т.е. линия спроса должна быть более наклонной, чем линия предложения. Сходимость данного рекуррентного процесса означает устойчивость состояния равновесия.
Для линейных функций спроса и предложения рекуррентное соотношение (50) принимает вид:
, , (52)
откуда
,
. (53)
Случай 3.2.
Дискретная модель Эванса
.
В дискретной модели Эванса время считается дискретным (вся числовая ось времени разбита на равные интервалы длиной , отмеряющие шаги по времени). Все рассматриваемые в модели моменты времени пронумерованы неотрицательными целыми числами (момент времени с номером t
имеет величину ). Скорость изменения цены полагается пропорциональной превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности , определяемым как
, (54)
где – величина изменения цены за один шаг времени при величине превышения спроса над предложением, равной .
Проведение расчетов по дискретной модели Эванса заключается в реализации рекуррентного вычислительного процесса, описываемого рекуррентным соотношением для цены в момент времени t
:
, . (55)
Результаты расчетов по паутинообразной модели и дискретной модели Эванса сводятся в таблицу 2.
Таблица 2 – Результаты расчетов по паутинообразной модели и дискретной модели Эванса
| Номер итерации |
Паутинообразная модель |
Дискретная модель Эванса |
||||
| Цена |
Спрос |
Предложение |
Цена |
Спрос |
Предложение |
|
| 0 |
|
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
| 2 |
|
|
|
|
|
|
| … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
| T |
|
|
|
|
|
|
| ¥ |
|
|
|
|
|
|
Величина спроса и предложения на очередной итерации t
рассчитывается как
, , , , (56)
, , , (57)
соответственно. Начальное значение цены должно удовлетворять условию
. (58)
Случай 3.3.
Непрерывная модель Эванса
.
В непрерывной модели Эванса время считается непрерывным, цена оказывается непрерывной функцией времени , а скорость изменения цены пропорциональна превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности , определяемым как
. (59)
Динамика цены описывается дифференциальным уравнением
, . (60)
Уравнение (60) имеет стационарную (равновесную) точку (48), имеющую смысл равновесной цены. Решение дифференциального уравнения (60) дается следующей формулой:
. (61)
Результаты расчетов по непрерывной модели Эванса сводятся в таблицу 3.
Таблица 3 – Результаты расчетов по непрерывной модели Эванса
| Время t
|
Цена |
Спрос |
Предложение |
| 0 |
|
|
|
| 1 |
|
|
|
| 2 |
|
|
|
| … |
… |
… |
… |
| T |
|
|
|
| ¥ |
|
|
|
Величина спроса и предложения в момент времени рассчитывается как
, (62)
(63)
соответственно. Начальное значение цены должно удовлетворять условию (58).
ЗАДАНИЕ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Перечень исходных данных для выполнения расчетов.
1. A
– свободный член функции спроса.
2. B
– модуль коэффициента функции спроса.
3. c
– предельные издержки выпуска продукции.
4. d
– постоянные издержки выпуска продукции.
5. a
– модуль свободного члена функции предложения.
6. b
– коэффициент функции предложения.
7. – начальное значение цены в моделях установления равновесной цены.
8. T
– количество итераций в паутинообразной модели и дискретной модели Эванса, а также максимальное время в непрерывной модели Эванса.
9. g
– скорость изменения цены при единичном превышении спроса над предложением в дискретной и непрерывной моделях Эванса.
10. – временной шаг в дискретной модели Эванса.
Условия реализуемости вычислений.
1. Условие существования конкурентного равновесия (46).
2. Условие сходимости итерационного процесса (51).
Типовой набор значений исходных данных для выполнения расчетов:
; ; ; ; ; ; ; ; ; . Приведенный типовой набор значений исходных данных однозначно определяется номером варианта задания N
. Это позволяет проводить расчетно-графическую работу при любом числе вариантов заданий с закреплением за каждым студентом своего индивидуального варианта.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
1. Рассчитать параметры a
, b
функции (3), обратной функции спроса (1).
2. Рассчитать описывающие случай монополии на рынке и случай двух фирм на рынке величину по формуле (5), величину по формуле (8), величину по формуле (10), величину по формуле (11), величину по формуле (7), величину по формуле (9), величины , , , , по формуле (13), величины , , , по формуле (14), величины по формуле (16), величину по формуле (20), величины по формуле (18), величину по формуле (21), величины по формуле (19), величину по формуле (22), величины по формуле (15), величину по формуле (23), величину по формуле (17), величину по формуле (26), величину по формуле (27), величину по формуле (31), величины , по формуле (29), величину по формуле (32), величины , по формуле (30), величину по формуле (33), величину по формуле (24), величину по формуле (25), величину по формуле (34), величину по формуле (28), величины по формуле (36), величину по формуле (40), величины по формуле (38), величину по формуле (41), величины по формуле (39), величину по формуле (42), величины по формуле (35), величину по формуле (43) и величину по формуле (37). Полученные результаты расчетов свести в таблицу вида 1. Привести комментарий к таблице с описанием экономического смысла полученных результатов.
3. Рассчитать величины , , описывающие состояние конкурентного равновесия, по формулам (48), (49).
4. Построить графики функций спроса (1) и предложения (44) с указанием точки конкурентного равновесия (45), (47).
5. Рассчитать величины , ,
, ,
, , , при для паутинообразной модели и дискретной модели Эванса по формулам (53), (55)-(57). На основе полученных результатов построить таблицу вида 2. Привести комментарий к таблице с описанием экономического смысла полученных результатов. Построить график динамики цены для паутинообразной модели, график динамики спроса и предложения для паутинообразной модели, график динамики цены для дискретной модели Эванса и график динамики спроса и предложения для дискретной модели Эванса.
6. Рассчитать величины , , по формулам (61)-(63) соответственно при для непрерывной модели Эванса. На основе полученных результатов построить таблицу вида 3. Привести комментарий к таблице с описанием экономического смысла полученных результатов. Построить график динамики цены для непрерывной модели Эванса и график динамики спроса и предложения для непрерывной модели Эванса.
7. По результатам выполнения пунктов 1-6 оформить пояснительную записку по расчетно-графической работе.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Власов, М. П. Моделирование экономических процессов [Текст] : учеб. пособие для студ. обуч. по спец. 080502 (гриф УМО) / М. П. Власов, П. Д. Шимко. – Ростов-на-Дону : Феникс, 2005. – 409 с.
Грицюк, С. Н. Математические методы и модели в экономике [Текст] : учебник для ст. ср. проф. образ. (гриф МО) / С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В.В. Лысенко. – Ростов-на-Дону : Феникс, 2007. – 348 с. (Высшее образование).
Ермаков, В. И. Справочник по математике для экономистов [Текст] : учеб. пособие для студ. вузов (гриф УМО) / В. И. Ермаков – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : ИНФРА-М, 2007. – 264 с.
Колемаев, В. А. Математическая экономика [Текст] : учебник для ВУЗов (гриф МО) / В. А. Колемаев. – 3-е изд., стер. – М. : ЮНИТИ, 2005. – 399 с.
Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов [Текст] : учебник (гриф МО) / Н. Ш. Кремер [и др.]. – 3-е изд. – М. : ЮНИТИ, 2009. – 479 с.
Методы и модели в экономике [Текст] : метод. указания по выполнению контрольной работы / Воронеж. гос. технол. акад.; сост. А. С. Дубровин, М. Е. Семенов. – Воронеж : ВГТА, 2007. – 16 с.