Методические указания Санкт- петербург 2009 удк 66. 01. 001

Федеральное агентство по образованию

__________________________________________________________

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный технологический институт

(Технический университет)

____________________________________________________________

Кафедра математического моделирования и оптимизации

химико-технологических процессов

В.А. Холоднов, А.В. Гайков, М.Б. Суханов, В.И.Черемисин

МЕТОДЫ РАСЧЕТА

ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С МАТЕРИАЛЬНЫМИ И ТЕПЛОВЫМИ РЕЦИКЛАМИ

Методические указания

Санкт- Петербург

2009

УДК 66.01.001

Холоднов В.А.Методы расчета химико-технологических систем с материальными и тепловыми рециклами. : Методические указания / В.А. Холоднов, А.В. Гайков, М.Б. Суханов, В.И.Черемисин. СПб.: СПбГТИ (ТУ), 2009.-29 с.

В методических указаниях рассматриваются вопросы, связанные с расчетом химико-технологических систем (ХТС) с материальными и тепловыми рециклами.

Приведены алгоритмы решения задач, которые предполагают при расчетах использовать электронную таблицу EXCEL и систему компьютерной математики Mathcad.

Методические указания соответствуют содержанию дисциплин «Моделирование систем», «Системный анализ химических производств», « Системный анализ химических технологий» государственных образовательных стандартов.

Методические указания предназначены для бакалавров, магистров, аспирантов высших учебных заведений и могут быть использованы в системах непрерывного профессионального образования по компьютерным технологиям.

Рис.18 , табл.3 , библиогр. 2 назв.

Утверждено на заседании учебно-методической комиссии физико-математического отделения 10.09.2009

Рекомендовано к изданию РИСо СПбГТИ (ТУ)

ВВЕДЕНИЕ

Принципы и понятия математического моделирования в последнее время получили существенное развитие. Оно связано с интенсивным применением информационных технологий и вычислительной техники. Использование мощных программных комплексов при расчете процессов и аппаратов химической технологии дает возможность значительно сократить время от исследования процесса до его внедрения в промышленность.

В методических указаниях приводятся известные методы для расчета ХТС с материальными и тепловыми рециклами, что позволяет прогнозировать поведение сложных процессов в изменяющихся условиях функционирования систем.

Методические указания состоят из двух частей: первая часть теоретическая, вторая часть представляет собой варианты лабораторных работ.

В первой главе методических указаний рассматриваются итерационные методы для решения уравнений на местах разрыва потоков.

Во второй главе рассматривается метод простой итерации для расчета ХТС.

В третьей главе рассматривается метод Вегстейна для расчета ХТС.

В четвертой главе приводится пример декомпозиционного расчета ХТС с использованием простой итерации, электронной таблицы EXCEL и системы компьютерной математики Mathcad.

В пятой главе предлагаются варианты лабораторных работ для расчета ХТС.

Шестая глава-приложение содержит необходимые сведения по расчету ХТС с использованием электронной таблицы EXCEL

При использовании методических указаний целесообразно сначала обратиться к вводным материалам, которые содержатся в главах 1-4, затем перейти к главе 5 для выполнения лабораторной работы по расчету ХТС.

Авторы приносят свою благодарность Э.В. Шепелевской за помощь в подготовке рукописи методического пособия к печати.

1 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

НА МЕСТАХ РАЗРЫВОВ

Декомпозиционный метод предполагает решение уравнений на местах разрыва потоков. При этом могут быть использованы традиционные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений.

Как известно, в результате структурного анализа ХТС комплекс превращается в разомкнутую систему (рисунок 1.1). На месте разрыва необходимо решать систему уравнений в неявном виде: X
=
Y
(
X
)

Рисунок 1.1 – Представление комплекса после разрыва потоков

Рисунок 1.2 - Представление комплекса после разрыва потоков

На местах разрыва потоков (рисунок 1.2) необходимо решать уравнения:

U
=
V
(
U
,
X
)
Y
=
X
(
U
,
X
)

Для решения этих уравнений в современных программных продуктах используются следующие методы:

· метод простой итерации,

· метод Вегстейна,

· метод Ньютона-Рафсонаи другие.

В общем случае на местах разрыва необходимо решать следующую систему из нелинейных алгебраических уравнений с неизвестными:

2 МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ И ЕГО МОДИФИКАЦИИ

Для применения метода простой итерации система рассматриваемых уравнений преобразуется к следующему виду:

Задаются начальные приближения и осуществляется поиск решения по этому преобразованному уравнению. Необходимо отметить, что на сходимость процедуры поиска решения сильно влияет способ представления преобразованных уравнений и выбор начального приближения.

Пример 1.

Рассмотрим решение уравнения (1)

Начальное приближение , точность решения

Представим уравнение в виде:
(2)

Результаты, приведенные в таблице 2.1, показывают, что процесс решения расходится.

Таблица 2.1 – Результаты решения уравнения (2) методом простой итерации

Представим уравнение (1) в виде: (3)

Результаты, приведенные в таблице, показывают, что процесс решения сходится.

Таблица 2.2 - Результаты решения уравнения (3) методом простой итерации

На 4 шаге выполняется условие сходимости
и итерационный процесс заканчивается.

Пример 2.

Рассмотрим решение системы уравнений:

(4)

Начальное приближение , при a = 100, b = 100.

Представим систему в виде (5)

(5)

В таблице 2.3 показан ход итерационного процесса поиска решения системы (4).

Таблица 2.3- ход итерационного процесса

3 МЕТОД ВЕГСТЕЙНА

В соответствии с этим методом: ,

где

В нижеследующей таблице приведены результаты решения системы (4) с использованием метода Вегстейна.

4 ПРИМЕР ДЕКОМПОЗИЦИОНННОГО РАСЧЕТА ХТС С

ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ

Определить расходы промежуточных и выходных потоков ХТС (рисунок 4.1).

Пусть .

Рисунок 4.1- Химико-технологическая система

Здесь и в дальнейшем приняты следующие обозначения: -
расход потока, выходящего из i
-го элемента и поступающего в j
-
й элемент. Если первый индекс 0, то поток соответствует входному потоку ХТС, если второй индекс 0, поток соответствует выходному потоку ХТС.

4.1 СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ХТС

Все элементы ХТС образуют комплекс, т. е. могут быть рассчитаны только совместно. В соответствии со структурным анализом ХТС с помощью прадерева можно выделить следующие контуры:

Так как параметричность всех потоков одинакова (каждый поток характеризуется только расходом), то для преобразования замкнутой ХТС в разомкнутую можно воспользоваться, например, разрывом дуг 1—2 и 3—4.

Окончательная последовательность расчета ХТС: {ИБ, 2, 4, 3, 1},где ИБ-итерационный блок, в котором задаются начальные приближения по потокам, и обеспечивается равенство параметров полученных потоков.

Информационная блок-схема расчета ХТС с указанием расходов соответствующих потоков представлена на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2- Этапы составления информационной блок-схемы и определение последовательности расчета элементов ХТС

4.2 СОСТАВЛЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПИСАНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ХТС

Для расчета ХТС необходимо наличие математических описаний отдельных элементов ХТС. В рассматриваемом примере их можно составить с помощью соотношений между расходами потоков, заданных в условии.

Запишем математические описания элементов ХТС согласно определенной ранее вычислительной последовательности (рисунок 4.3).

На рисунке 4.3 - рассчитанные расходы соответствующих разорванных потоков. Их начальные значения задаются в виде приближенных значений .

В результате расчета должно быть:

Таким образом, математическое описание данной ХТС представляет собой систему из 8-и линейных уравнений с 8-ю неизвестными.

Для данного примера конечно можно воспользоваться известными методами решения таких уравнений. В общем же случае, как правило, получается система нелинейных уравнений.

Для решения данной задачи можно воспользоваться различными методами, в данном случае - методом простой итерации. Этот метод носит общий характер и с успехом применяется для расчета сложных реальных ХТС.

Рисунок 4.3 - Последовательность расчета элементов ХТС

Алгоритм решения задачи

Шаг 1.
Ввод исходных данных.

В данном случае таковыми будут:

— расход входного потока, кг·ч-1
;

— точность вычисления, %;

— начальные приближения для расходов на выходе ИБ.

Шаг 2.
Задание номера итерации, k
=1.

Шаг 3.
Расчет ХТС в соответствии с найденной в результате структурного анализа последовательностью:

сначала необходимо для элемента 2 определить значения расходов для выходных потоков ,

затем — для элемента 4: ,

далее для элемента 3:

и, наконец, для элемента 1 значение. Индекс р указывает на расчетные значения

Шаг 4.
Проверка условий