ГОУ Гимназия №1505
«Московская городская педагогическая гимназия-лаборатория»
Реферат
Золотое сечение
Выполнила
ученица 9 класса «А» Павлова Анна
Руководитель
Илларионова Т.И.
Москва
2011
Оглавление
Введение. 3
Глава 1 Золотое сечение - симметрия или ассиметрия?. 4
Золотое сечение. 9
Глава 2 Золотые фигуры.. 11
1. Золотой прямоугольник. 11
2. Золотой треугольник. 12
3. Золотой кубоид. 12
4. Пентаграмма. 13
5. *Золотая спираль. 16
Глава 3 Применение золотого сечения и его фигур. 18
Золотое сечение в скульптуре. 21
Золотое сечение в архитектуре. 24
Золотое сечение в изобразительном искусстве. 26
Заключение. 30
Список литературы.. 31
Введение
Я люблю гулять по центру Москвы, где стоит множество старинных зданий с украшением в виде геометрических фигур содержащих золотое сечение. Они приковывают взгляд человека и заставляют восхищаться своей красотой. Мне стало интересно заглянуть за рамки учебника по геометрии, и посмотреть о роли золотого сечения в культурной сфере жизни.
Золотое сечение (или пропорция Фидия), по мнению многих исследователей, является наиболее приятной для человеческого глаза. Этим можно объяснить ее многогранное применение человеком, например такие сферы как архитектура, живопись, фотография и ландшафтный дизайн широко используют эту пропорцию и связанные с ней свойства. Это пропорция была в почете у умнейших людей, таких как Леонардо Да Винчи и Ле Корьбюзье. Художник и архитектор Леонардо Да Винчи считал, что идеальные пропорции человеческого тела должны быть связаны с золотым сечением. Архитектор Ле Корьбюзье руководствовался им во множестве своих работ. Мне же хотелось получить первоначальные знания по этой теме.
В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно например было принято брать размеры картины такими, чтобы отношение ширины к высоте было равно числу Фидия. Форму золотого сечения придавали не только картинам, но и книгам, столам, открыткам. Поэтому мне бы хотелось подробнее рассмотреть применение золотого сечения в различные эпохи от древности, эпохи Возрождения до XlX века. Для этого нужно прочитать и изучить литературу, связанную с этой темой, найти наиболее интересные факты и изложить их в своем реферате.
Цель данного реферата заключается в том, чтобы представить информацию наглядно и интересно. Для достижения цели поставлены следующие задачи
1. дать определение понятий симметрии и ассиметрии, золотое сечение.
2. описать золотые фигуры и построить некоторые из них
3. рассказать о применении и использовании божественной пропорции человеком
Для написания своей работы я использую следующую литературу: Азевич А.И. «Двадцать уроков гармонии», Ведов В. «Пирамиды здоровья», Сагателова С. С., Студенецкая В.Н. «Геометрия: красота и гармония. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Золотая симметрия, Пропорция вокруг нас. 8-9 классы: элективные курсы», Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики», статьи из электронной версии библиотеки «Наука и техника», электронная версия энциклопедии для детей по математике. Книга Азевич А.И. «Двадцать уроков гармонии», по моему мнению, хорошо раскрывает тему симметрии и ассиметрии, и дает понятные и подробные начальные сведения о золотом сечении. Сагателова С. С., Студенецкая В.Н. «Геометрия: красота и гармония. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Золотая симметрия, Пропорция вокруг нас. 8-9 классы: элективные курсы» хорошо описывает золотые фигуры и способы их построения. Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики» подробно объясняет выведение формул золотого сечения и их свойства, так же хорошо описывает построения золотого сечения и пентаграммы. Ведов В. «Пирамиды здоровья» доступно и понятно объясняет ряд Фибоначчи и получения числа Фидия. Статьи из электронной версии библиотеки «Наука и техника», электронная версия энциклопедии для детей по математике дают подробное описание применения золотого сечения в древности, эпохи Возрождения и XIX веке.
Глава 1 Золотое сечение - симметрия или ассиметрия?
Важнейшая цель этого реферата – показать красоту как главную категорию эстетики и математики.
Задумывались ли вы когда-нибудь над значением слова «гармония»?
Гармония греческое слово, обозначающее «согласованность, соразмерность, единство частей и целого». Внешне гармония может проявляться в мелодии, ритме, симметрии и пропорциональности. Две последние относятся к математике. Математика уникальное средство познания красоты. Поскольку красота многогранна и многолика, она подтверждает универсальность математических закономерностей.
Во всем царит гармонии закон,
И в мире всё суть ритм, аккорд и тон.
Дж. Драйден[1]
Продолжим рассказ по принципу от большего к меньшему.
Симметрия – основополагающий принцип устройства мира.
Симметрия – в широком или узком смысле, в зависимости от того, как вы определяете значение этого понятия, - является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.[2]
Г. Вейль
Симметрия – распространенное явление, ее всеобщность служит эффективным методом познания природы. Симметрия в природе нужна, чтобы сохранять устойчивость. Внутри внешней симметрии лежит внутренняя симметрия построения, гарантирующая равновесие. Симметрия – проявление стремления материи к надежности и прочности.
Симметричные формы обеспечивают повторяемость удачных форм, поэтому более устойчивы к различным воздействиям. Симметрия многообразна.
Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разным операциям – поворотам, отражениям, переносам.
Существует три главных вида симметрии изучаемых в школе: симметрия относительно точки (центральная симметрия), симметрия относительно прямой (осевая симметрия) и симметрия относительно плоскости.
Центральная симметрия цветка
Центральная симметрия в орнаменте созданном человеком.
Симметрия относительно прямой на примере здания МГУ
Симметрия относительно плоскости в шаре.
Это не единственные виды симметрии, также существует и винтовая симметрия. Если рассматривать расположение листьев на ветке дерева мы заметим, что лист отстоит от другого, но и повернут вокруг оси ствола. Листья располагаются на стволе по винтовой линии, чтобы не заслонять друг от друга солнечный свет.
Винтовая симметрия в природе на примере ракушки
.
Использование винтовой симметрии человеком на примере лестницы
.
Симметрия многолика. Она обладает свойствами, которые одновременны и просты и сложны, способны проявляться и единожды и бесконечно много раз.
Если человеку мало знакомому предложить несколько фигур, он интуитивно выберет наиболее симметричные. Скорее всего, оказавшись в такой ситуации, мы выберем равносторонний треугольник или квадрат.
Человек инстинктивно стремится к устойчивости, удобству и красоте. Мир настолько хаотичен и непредсказуем, что человеку наиболее приятны для восприятия фигуры и вещи, содержащие в себе порядок, гармонию, симметрию. Работать с фигурами, у которых больше симметрий легче.
По тому, сколько симметрий имеют фигуры, можно проводить их классификацию. Самой совершенной фигурой считается шар, обладающий всеми видами симметрии.
Симметрия трудолюбива. Каждому своему виду она дает могущество порождать все новые и новые фигуры.
Симметрию можно наблюдать во всех сферах нашей жизни: симметрия построения зданий, музыки и симметрия образов в литературе, симметрия танца.
Симметрия является одним из принципов построения мира.
Симметрия – страж покоя,
Асимметрия – двигатель жизни.[3]
Гармоничным может быть и ассиметричное. Симметрия вызывает чувство покоя, неподвижности, то асимметрия вызывает ощущение движения и свободы.
Исследователи, получившие Нобелевскую премию, показали, что наш мир несимметричен, законы симметрии во Вселенной не наблюдаются. Мир асимметричен на всех уровнях: от элементарных частиц до биологических видов.
Золотое сечение
Самым известным примером гармонии ассиметрии является золотое сечение. Есть слова, принадлежащие Иоганну Кеплеру: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении»[4]
Великий ученый пол словами «деление отрезка в среднем и крайнем отношении» имеет ввиду известную пропорцию – золотое сечение. Именно эта пропорция является темой моего реферата. В следующих главах я расскажу о применении золотого сечения, а ниже дам определение этого понятия и способы его получения.
Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением. Другое название – «золотая пропорция».[5]
с : b = b : а.
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему отрезку.
a=c-b
b:c= (c-b):а
В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних
b 2
+ cb – c2
=0
Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому после преобразований
b= −(c+√5с2
)∕2 или b=(√5−1)∕2∙с
Число (√5−1)∕2 обозначается буквой в честь древнегреческого скульптора Фидия, в творениях которого это число встречается многократно.
Число - иррациональное. В практике его используют округляя до тысячных 0,618 или сотых 0,62 или десятых 0,6.
Части золотого сечения приблизительно составляют 62% и 38% всего отрезка.
Древние математики обнаружили, что золотое сечение можно получить при помощи геометрии, и потом применять в любом масштабе, даже для строительства пирамид.
Я предлагаю рассмотреть один из многих способов, как это можно сделать.
1. Построим отрезок AB, восстановим в точке B перпендикуляр к AB, на нем отложим точку E таким образом, чтобы BE=0,5AB
2. Далее соединив точки A и E, отложим ED=BE, и AC=AD. Точка С является искомой, она производит «золотое сечение» отрезка AB.
Заметим, что по теореме Пифагора
(AD + DE)2
=AB2
+ BD2
,
а по построению AD=AC, DE=BE=0,5AB
Из этих равенств следует, что AC2
+ AC∙AB=AB2
, а отсюда можно получить равенство
AC:AB=CB:AC
Свойства
[6]
Первое свойство:
1∕ ≈ −1
то есть 1∕1,618≈1,618−1
Второе свойство:
2
≈ +1
то есть 1,618∙1,618≈2,618=1,618+1
Эти свойства имеют многогранные применения, но об этом в следующей части.
Глава 2 Золотые фигуры
На основе идеи золотого сечения существуют различные фигуры, содержащие эту пропорцию. Аналогично названию пропорции, их называют «золотые фигуры». Каждая такая фигура обязательно содержит пропорцию Фидия.
1. Золотой прямоугольник
[7]
Золотой прямоугольник – прямоугольник, у которого отношение смежных сторон дает пропорцию Фидия. А форму «золотого сечения» придавали книгам, столам и т.д. «Золотой прямоугольник» обладает интересным свойством: если от него отрезать квадрат, то останется вновь «золотой прямоугольник». Так можно продолжать до бесконечности. Если провести диагонали первого и второго прямоугольников, то точка О их пересечения принадлежит всем получаемым «золотым прямоугольникам»
Произведения в искусстве значительно улучшены с использованием знания Золотого прямоугольника. Притягательность его ценности и употребления были особенно сильны в древнем Египте и Греции и во времена Ренессанса, т.е. во всех важных периодах цивилизации. Леонардо да Винчи ( Leonardo da Vinci ) придавал огромное значение Золотой пропорции. Он также находил ее приятной в своих соотношениях и говорил: Если предмет не имеет правильного облика, он не работает. Многие из его картин обладают правильным обликом, потому что он использовал Золотое сечение для того, чтобы усилить их привлекательность.
2. Золотой треугольник
[8]
Золотой треугольник представляет собой равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется числу Фидия. Одним из его свойств является то что, длины биссектрис его углов при основании равны длине самого основания. Остальные свойства «вытекают» из свойств пентаграммы, которую мы рассмотрим позже.
Стороны золотого треугольника образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Одним из свойств золотого треугольника является то что, длины биссектрис его углов при основании равны длине самого основания. Остальные свойства вытекают из свойств пентаграммы, которую мы рассмотрим позже.
Построение золотого треугольника
Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Точка С разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения.
3.
Золотой кубоид
«Золотой кубоид» - это прямоугольный параллелепипед с ребрами. «Золотой кубоид» – это прямоугольный параллелепипед с ребрами длиной Ф, 1 и j. Площадь его поверхности равна 4Ф, а диагональ – 2. Описанная вокруг него сфера имеет радиус «1». Значит, площадь ее поверхности равна 4p. Следовательно, отношение площади поверхности этой сферы к площади поверхности «золотого кубоида» равно p / Ф.
Пентаграмма
[9]
Пятиконечная звезда, пожалуй, является одной из самых известных фигур. Она постоянно привлекала внимание людей своим совершенством. Пифагорейцы – ученики Пифагора выбрали ее в качестве символа своего союза именно эту звезду. Ее же считали амулетом здоровья. Сейчас звезда используются на многих флагах и гербах многих стран. Почему же она так привлекает, притягивает взгляд? Дело в том, что в этой звезде есть удивительное постоянство отношений составляющих ее отрезков.
Нужно построить ее, чтобы в этом убедиться.
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Описание построения золотого треугольника написано выше.
Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.
Построения золотых пятиугольника и пентаграммы содержатся уже в «Началах» Евклида, написанных за 300 лет до нашей эры. Процесс построения циркулем и линейкой описан еще в первой главе.
Пентаграмма из церкви Святого Петра
.
Структура яблока в разрезе.
Если разрезать поперёк яблоко или грушу, то мы увидим вот такую структуру расположения семян . Цветы этих деревьев так же имеют структуру пятиугольника.
Пятиконечная звезда – это вторая пространственная структура вокруг которой гнездятся мистика и в разное время у разных народов пятиконечная звезда означала разное.
У пифагорейцев - символ здоровья и совершенства, опознавательный знак общины.
В христианской символике пентаграмма символизирует пять ран Иисуса или, в числовом толковании, сумму Троицы (Отец, Сын и Дух Святой) и двойственной природы Христа (божественной и человеческой).
На фото приведена деталь отделки северного фасада Амьенского собора. Амьенский собор (фр. Cathédrale Notre-Dame d'Amiens) — самый большой из французских соборов по своему объему (200 000 м³).
Перевёрнутая пентаграмма, пятиконечная звезда с тремя лучами, направленными вниз, в начале истории христианства перевёрнутая пентаграмма трактовалась как символ Преображения Христа.
Различают также “мужскую” и “женскую” пентаграммы (женская в с двумя лучами кверху). Иногда (особенно в Алхимии) упоминается как защитный знак, так как вызванный демон не мог переступить её линий. Например, в “Фаусте” Гёте сам Мефистофель не мог покинуть комнату, пока на выходе была нарисованна пентаграмма. Тамплиеры считали Пентаграмму символом Священного Женского Начала, а в Индии пентаграмма - символ Венеры (богини Кали).[10]
5. *Золотая спираль
Расскажем ещё об одном замечательном применении золотого сечения в геометрии – о золотой спирали. Строго говоря, спираль не является фигурой, скорее кривой, но именно в этой главе уместно описать её.
Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.
Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Он называл спираль «кривой жизни». Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Молекула ДНК закручена двойной спиралью.
Существует математическая прогрессия, известная как ряд Фибоначчи, и она имеет особое отношение к числу фи и пирамидам в Гизе. Принципы этого ряда впервые изложил средневековый математик Леонардо Фибоначчи. Этот ряд использовали для описания роста растений. Вот эта последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и так далее. Для того, чтобы получить каждое следующее число в этом ряду, надо сложить два предыдущих: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13 и так далее.
У этой последовательности очень интересное соотношение с числом фи: если разделить каждый член этого ряда на предыдущий, полученные результаты будут стремиться к трансцендентному числу 1,6180339.
1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.66, 13/8=1.625, 21/13=1.615, 34/21=1.619, 55/34=1.617, 89/55=1.6181, Чем дальше вы будете продолжать считать, тем ближе будете подходить к числу фи. Конечно, вы никогда не дойдете до него, потому что у него нет арифметического решения, но вы будете бесконечно приближаться к нему. Эту последовательность можно изобразить графически, в виде так называемой спирали Фибоначчи.
Эта спираль почти идентична логарифмической спирали фи, известной как спираль золотого сечения. Разница заключается в том, что спираль Фибоначчи – это интерпретация (при помощи целых чисел) арифметически невозможной спирали золотого сечения, у которой нет ни конца, ни начала. У спирали Фибоначчи есть определенное начало.[11]
Глава 3 Применение золотого сечения и его фигур
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и
Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Kвадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.
Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж.Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Cекреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась "О перспективе в живописи". Его считают творцом начертательной геометрии.
Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Kнига была восторженным гимном золотой пропорции. Cреди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать".Cудя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Pост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
Великий астроном XVI в. Иоган Kеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в.
В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».[12]
Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах.
Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.
Золотое сечение в скульптуре
Эти пропорции человеческого тела использовались еще античными скульпторами при создании скульптур. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.
Дорифор — это не изображение конкретного спортсмена-победителя, а иллюстрация канонов мужской фигуры.
Иногда эту статую так и называли - «Канон Поликлета», вслед за одноименным теоретическим трактатом его создателя. Поликлет выводил там цифровой закон идеальных пропорций человека. Эти пропорции находятся друг с другом в цифровом соотношении. Вдобавок, в нем воплощаются теоретические идеи о перекрещенном распределении напряжения в руках и ногах. Основы пифагореизма, этой числовой магии, которой придерживался Поликлет, тоже повлияли на пропорции Копьеносца.
Венера Милосская, статуя богини Афродиты и эталон женской красоты, является одним из лучших памятников греческого скульптурного искусства - также построена на пропорциях золотого сечения
Хочется так же подтвердить на примере восхищение этой скульптурой. Многие поэты посвящали ей стихи и строчки, например, такие как Маяковский и Афанасий Фет, Марк Лисянский, Татьяна Бориневич-Эклога, Дроздова.[13]
И мне хочется процитировать наиболее удачные из них:
Афанасий Фет «Венера Милосская»
И целомудренно и смело,
До чресл сияя наготой,
Цветет божественное тело
Неувядающей красой.
Под этой сенью прихотливой
Слегка приподнятых волос
Как много неги горделивой
В небесном лике разлилось!
Так, вся дыша пафосской страстью,
Вся млея пеною морской
И все победной вея властью,
Ты смотришь в вечность пред собой.
Марк Лисянский «Венера»
[14]
Одной рукой поддерживая тогу,
Не поднимая трепетных ресниц,
Как тайна красоты,
Как вызов богу.
Она стоит. царица всех цариц.
На длинной шее
Ни единой складки,
Две линии намечены едва.
И ямка у ключицы
Дышит сладко,
И ожерелье словно кружева.
Она стоит открыто,
Не таится,
А молодая мраморная грудь
Вздымается, волнуется, теснится,
Высокая и теплая чуть-чуть.
Весенним ранним утром
Земледелец
Её нашел случайно в борозде.
Крестьянский сын,
Тудяга и умелец,
Он ахнул,
Удивился красоте.
Он за неё в тревоге был,
Не зная
Среди своих бесчисленных забот,
Что женщина вот эта неземная
До наших дней
Спокойно доживет. Золотое сечение в архитектуре
Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.). [15]
На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618...
Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари), и в пирамиде Хеопса:
Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.
Что касается пирамид, то не только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения, то же самое явление обнаpужено и у Мексикансих пирамид.[16]
Мексиканские пирамиды
Hа попеpечном сечении пиpамиды видна фоpма, подобная лестнице.В пеpвом яpусе 16 ступеней, во втоpом 42 ступени и в тpетьем - 68 ступеней.
Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим обpазом:
16 x 1.618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1.618 = 42
42 + 26 = 68
Золотое сечение в изобразительном искусстве
На картине И.И. Шишкина "Сосновая роща" просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины приблизительно в золотом сечении. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит в золотом сечении правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины в пропорциях золотого сечения.
Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда художник создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.
Ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре - спирали. Многофигурная композиция, выполненная в 1509 - 1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру"Избиение младенцев".
Если на подготовительном эскизе Рафаэля мысленно провести линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза (на рисунке эти линии проведены красным цветом), а после этого соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается золотая спираль. Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.
Неизвестно, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции "Избиение младенцев" или только "чувствовал" ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонди: арка моста, идущая от головы женщины, - в левой части композиции и лежащее тело ребенка - в ее центре.
Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Посмотрим внимательно на картину "Джоконда". Композиция портрета построена на"золотых треугольниках".
Портрет Моны Лизы (Джоконда) привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках", точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника. Зрачок левого глаза, через который проходит вертикальная ось полотна, находится на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, которые с одной стороны, делят пополам углы при основании золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бедрами золотого треугольника делят их в пропорции Золотого сечения. [17]
Таким образом, Леонардо Да Винчи использовал в своей картине не только принцип симметрии, но и Золотое сечение
Картина «Святое семейство» Микеланджело признана одним из шедевров западноевропейского искусства эпохи Возрождения. Гармонический анализ показал, что композиция картины основана на пентакле.
В. И. Суриков «Боярыня Морозова».
Роли ее отведена средняя часть картины. Она окована точкой высшего взлёта и точкой низшего спадания сюжета картины.
1) Это — взлёт руки Морозовой с двуперстным крестным знамением как высшая точка.
2) Это — беспомощно протянутая к той же боярыне рука, но на этот раз — рука старухи — нищей странницы, рука, из-под которой вместе с последней надеждой на спасение выскальзывает конец розвальней.
А как обстоит дело с «высшей точкой»? На первый взгляд имеем кажущееся противоречие: ведь сечение А1В1, отстоящее на 0,618... от правого края картины, проходит не через руку, не даже через голову или глаз боярыни, а оказывается где-то перед ртом боярыни!
Золотое сечение режет здесь действительно по самому главному.
В нём, и именно в нём, — величайшая сила Морозовой.[18]
Заключение
В ходе работы были раскрыты понятия симметрии и ассиметрии, золотого сечения и золотых фигур. Были описаны произведения изобразительного искусства, зодчества, скульптурного мастерства, созданные с использованием золотой пропорции.
Таким образом, цель реферата я считаю выполненной.
В 13 веке от Рождества Христова известный итальянский математик известный по имени Фиббоначи, наблюдая за различными явлениями живой природы, открыл золотую пропорцию – бесконечную последовательность чисел, где каждое последующее число является сумой двух предыдущих; разделив каждое предыдущее на последующее мы всегда будем получать приблизительно 0,618 (например 987/1597=0,618034). Леонардо Да Винчи, создавая свои картины, использовал особый способ структурного совершенства: он называл его Золотым Сечением, при котором отношение всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей и приблизительно равно 0,618. До этого в 6 веке нашей эры греческий философ и математик Пифагор находит это соотношение в геометрии. А в 3 веке нашей эры упоминание о нем можно найти и у древних египтян, которые называли его божественной сутью. Возможно, им было дано знание о существовании особых законов гармонии, которые являются основой всего совершенного в этом мире. Теперь о воде. В обычной воде угол между водородными связями равен 104, а у талой 108 и соотношение длин водородных связей 0,618. Некоторые ученые предполагают, что замерзая и оттаивая, вода неизменно сохраняет одну базовую программу жизни, именно по этой программе и создавалось все совершенное.
Список литературы
Литература
1) Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии - Москва, изд-во «Школа-Пресс», 1998 год.
2) Ведов В. Пирамиды здоровья. – Санкт-Петербург, издательство «Весь» - добрые вести, 2000 год.
3)Сагателова С. С., Студенецкая В.Н. Геометрия: красота и гармония. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Золотая симметрия, Пропорция вокруг нас. 8-9 классы: элективные курсы – Волгоград, изд-во «Учитель», 2007 год
4) Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» - Москва, изд-во «Просвещение», 2007 год.
Интернет- ресурсы
1) сайт электронной библиотеки «Наука и техника»: http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
Данные соответствуют – 19.04.2011
2) статьи из энциклопедии для детей по математике: http://netnotes.narod.ru/math/gold6.html Данные соответствуют -20.04.2011
[1]
Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии - Москва, изд-во «Школа-Пресс», 1998 год.
[2]
Там же
[3]
Азевич А.И. указанное сочинение
[4]
Сагателова С. С., Студенецкая В.Н. Геометрия: красота и гармония. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Золотая симметрия, Пропорция вокруг нас. 8-9 классы: элективные курсы – Волгоград, изд-во «Учитель», 2007 год
[5]
http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm Данные соответствуют 10.04.2011. Интернет сайт Библиотеки Мошкова, автор данной статьи Виктор Лаврус.
[6]
Азевич А.И. указанное сочинение
[7]
http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm электронная библиотека "Наука и техника" - действительно на 11.04.2011
[8]
Там же.
[9]
Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики – Москва, изд-во «Просвещение», 2007 год.
[10]
http://fictionbook.ru/author/litagent_audiokniga/yenciklopediya_simvolov/read_online.html?page=1 действительна на 04.04.2011
[11]
http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm указанное сочинение действительна на 19.04.2011
[12]
http://www.abc-people.com/data/leonardov/zolot_sech-txt.htm действительна на 10.04.2011. Электронная версия энциклопедии «энциклопедия замечательных людей и идей»
Часть фактов была взята с http://world.lib.ru/s/shakirow_d_s/zolotoececxenie.shtml Шакиров Даян Шамилевич «секрет гениальности» Действительна на 10.04.2011
[13]
http://www.liveinternet.ru/community/1726655/post64489082/ Действительна на 24.04.2010
[14]
Там же
[15]
http://www.tech-to-life.com/publ/1-1-0-18 Действительна на 19.04.2011
[16]
http://piramidlandia.at.ua/ Действительна на 19.04.2011
[17]
http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/golden-section-pic002.htm указанное сочинение
[18]
http://www.tech-to-life.com/publ/1-1-0-18 указанное сочинение