Методические указания и задания по выполнению контрольной работы для студентов-заочников специальностей

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КАДРОВ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

Кафедра мелиорации и водного хозяйства

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Для студентов-заочников специальностей

1-74 05 01 – мелиорация и водное хозяйство и 1-74 04 01 – сельское строительство и обустройство территорий

Горки 2006

Одобрено методической комиссией инженерного факультета заочного отделения 04.12.2005 (протокол №20).

Составил В.В. ДЯТЛОВ.

Содержание

Введение.................................................……………..………….………………….	3
1. Выполнению контрольной работы…………………………………………………	4
2. Условия, алгоритм и примеры решения задач……………………...….………	5
Литература…………………………………………………………………………	47

УДК 624.04 (072)

Строительная механика:
Методические указания и задания / Белорусская государственная сельскохозяйственная академия; Сост. В. В. Д я т л о в. Горки, 2006. 48 с.

Приведены примеры решения типовых задач с подробными пояснениями.

Для студентов-заочников специальностей 1-74 05 01 – мелиорация и водное хозяйство и 1-74 04 01 – сельское строительство и обустройство территорий.

Таблиц 6. Рисунков 32. Библиогр. 18.

Рецензенты: Н.Ф. Г у л ь к о в, А.К. Д у б о в с к и й, кандидаты техн. наук, доценты.

Ó Составление. В.В. Дятлов, 2006

Ó Учреждение образования

«Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия», 2006

ВВЕДЕНИЕ

Строительная механика изучает методы расчета инженерных конструкций и сооружений на прочность, жесткость и устойчивость при различных внешних воздействиях. Поэтому для студентов инженерно-строительных специальностей изучение этой общетехнической дисциплины имеет очень важное значение.

Настоящие указания и контрольные задания подготовлены с целью оказания помощи студентам-заочникам указанных специальностей в освоении методов расчета инженерных сооружений и соответствуют рабочему учебному плану, которым предусмотрено выполнение одной контрольной работы.

Задания контрольной работы составлены согласно типовой учебной программе дисциплины «Строительная механика» и содержат задачи по следующим темам:

1. Расчет статически определимой многопролетной балки;

2. Расчет плоских балочных ферм на подвижную и неподвижную нагрузки;

3. Расчет статически неопределимой арки;

4. Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил;

5. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений;

6. Расчет подпорной стены.

Исходные данные для выполнения контрольной работы выбираются из таблиц исходных данных, а расчетные схемы к задачам представлены на соответствующих рисунках.

Основным видом занятий студентов заочной формы обучения является самостоятельная работа с учебной, справочной и нормативной литературой.

Изучение дисциплины рекомендуется вести по темам в указанной выше очередности. Для лучшего усвоения материала следует составлять конспект. После изучения материала по учебнику рекомендуется решить задачу по данной теме, а затем выполнить контрольное задание.

1. ВЫПОЛНЕНИе
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Числовые данные для решения задач контрольной работы выбираются студентом из таблиц исходных данных по варианту, номер которого соответствует трем последним цифрам личного шифра студента (номера зачетной книжки). При этом каждая цифра номера варианта обозначается соответственно буквами а, б, в. Каждый столбец в таблицах исходных данных обозначен одной из этих букв (нижняя строчка). В столбце выбирается значение параметра по строке, номер которой совпадает с цифровым значением соответствующей буквы.

Например, при номере зачетной книжки 05-5316 шифром для выбора исходных данных будет число 316. Далее обозначают первую цифру буквой «а», вторую – «б» и третью – «в» (в примере 3 – а, 1 – б, 6 – в). Для первой задачи в табл. 1 второй столбец – линейный размер ”а” в метрах, обозначен буквой «а». по третьей командной строке имеем а = 1 м. Третий столбец обозначен буквой «б», тогда по первой строке линейный размер h = 3 м. Четвертый столбец обозначен буквой «в», по шестой строке линейный размер с = 3 м и т.д.

2. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради с полями, оставленными для замечаний рецензента. На обложке тетради должны быть четко написаны название дисциплины контрольной работы, фамилия, имя, отчество студента, название факультета и специальности, учебный шифр, точный почтовый адрес. Страницы тетради нумеруются.

3. Решение каждой задачи начинают с новой страницы. Перед выполнением задания необходимо записать условие, выбранное в соответствии с вариантом исходных данных, вычертить расчетную схему в масштабе с указанием всех размеров, числовых данных и координатных осей, используемых в расчете. Нагрузки на расчетной схеме показывают в соответствии с их действительными направлениями.

4. При выполнении задачи сначала следует наметить ход решения, указать те допущения, которые могут быть положены в его основу, а затем произвести расчет. все необходимые вычисления по возможности сначала проделать в общем виде, обозначив все данные и искомые величины буквами, а затем вместо буквенных обозначений поставить числовые значения и найти результат. Расчеты следует выполнять последовательно, теоретически обоснованно с необходимыми пояснениями и достаточно подробно. При выполнении расчетов необходимо указывать литературу с отметкой страниц, таблиц, графиков, откуда взяты расчетные формулы и другие величины справочного характера.

5. Все расчеты должны производиться в единицах СИ. Эпюры необходимо вычерчивать под расчетной схемой на одной странице с указанием размерности и всех характерных ординат. Вычисления следует вести с обычной в технических расчетах точностью (до 5 %).

6. В конце контрольной работы необходимо привести список использованной литературы, поставить дату выполнения и личную подпись. После рецензирования контрольной работы на кафедре в соответствии с замечаниями рецензента необходимо внести требуемые исправления. Исправления выполняются в конце тетради на чистых листах после заголовка «Исправления к контрольной работе». Работы, оформленные с нарушением требований, а также выполненные не по своему варианту, не рассматриваются и возвращаются для переделки.

2. Условия, АЛГОРИТМ и ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ задач

Задача 1. Рассчитать статически определимую многопролетную балку, принятую по данным табл. 1 и схемы, показанной на рис. 1.

Алгоритм решения задачи:

1. Проанализировать расчетную схему заданной балки на предмет ее статической определимости и геометрической неизменяемости, для чего, как правило, следует составить ее поэтажную схему;

2. определить опорные реакции заданной балки, составляя уравнения статики для простых балок из поэтажной схемы. При этом расчеты принято начинать с второстепенных балок высшего порядка;

3. построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М при загружении балки сосредоточенной силой F и равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q. Рациональнее это выполнять, поочередно рассматривая простые балки из поэтажной схемы;

4. построить линии влияния опорных реакций, а также линии влияния поперечной силы Q и изгибающего момента М для заданного сечения;

5. определить по линиям влияния величину опорных реакций, а также значения поперечной силы Q и изгибающего момента М в сечении m от заданной внешней нагрузки.

Рис. 1. Расчетные схемы к задаче 1.

Т а б л и ц а 1. Исходные данные к задаче 1

Номер строки	а, м	b, м	с, м	d, м	e, м	f, м	q, кН/м	F, кН	Номер расчетной схемы
0	2	1	4	3	2	1	20	20	0
1	4	3	2	1	3	3	10	10	1
2	3	4	3	2	5	2	30	30	2
3	1	2	1	2	1	4	40	40	3
4	2	5	5	3	4	1	10	10	4
5	5	2	4	1	2	4	20	20	5
6	1	1	3	2	5	2	50	50	6
7	4	3	2	3	2	1	30	30	7
8	3	4	5	1	3	5	20	20	8
9	5	5	1	4	4	3	40	40	9
***	а	б	в	а	б	в	а	б	в

Пример решения задачи 1.

Анализируем схему заданной балки (рис. 2). Она составная и статически определимая, так как степень статической неопределимости

N = R – S – H = 5 – 3 – 2 = 0,

где R – количество реакций в опорах балки;

S – число возможных уравнений статики для плоской системы;

H – число промежуточных шарниров на балке.

Рис. 2. Расчетная схема заданной балки.

Следовательно, для упрощения расчета такой балки следует составить ее поэтажную схему (рис. 6, б).

Определяем опорные реакции для простых балок, принятых из поэтажной схемы (рис.3,4,5).

Балка ЕД.

Рис. 3. Расчетная схема простой балки ЕД.

SМЕ
= 0; F×c – RД
(с + f) = 0;

SМД
= 0; F×f – RЕ
(с + f) = 0;

Балка NС.

Рис. 4. Расчетная схема простой балки NС.

SМN
= 0;

SМC
= 0;

Балка АВ.

SМА
= 0;

Рис. 5. Расчетная схема простой балки АВ.

SМВ
= 0;

Строим эпюры М и Q, причем эпюру изгибающих моментов будем строить со стороны растянутых волокон балки.

Это можно выполнить двумя путями: либо рассматривать заданную (нерасчлененную) схему многопролетной балки, показав на ней полученные ранее значения и направления опорных реакций, либо строить эпюры Q и М для простых балок из поэтажной схемы на одной базовой линии (см. рис. 6).

Сечение 1-1 0
£
х1

£
3 м;

Q1-1
= – RA
; Q1-1
= – 2,8 кН.

М1-1
= – RA
×х1
; М х1=0
= 0; М х1 = 3
= – 8,4 кНм.

Сечение 2-2 3 м
£
х2

£
6 м;

Q2-2
= – RA
+ RB
– q×(х2
– 3);

Q х2 = 3
= – 2,8 + 16,1 = 13,3 кН;

Q х2 = 6
= – 2,8 + 16,1 – 10×3 = – 16,7 кН.

М х2 = 3
= – 8,4 кНм;

– RA
+ RB
– q×(x3
– 3) = 0;

х3
= 4,33 м.

Сечение 3-3 0
£
х3

£
2 м;

Q3-3
= – RД
= – 6,7 кН.

М3-3
= RД
×х3
; М х3 = 0
= 0; М х3 = 2
= 13,3 кНм.

Сечение 4-4 2 м
£
х4

£
4 м;

Q4-4
= – RД
+ F; Q4-4
= 13,3 кН.

М4-4
= RД
×х4
– F×(х4
– 2);

М х4 = 2
= 13,3 кНм; М х4 = 4
= 6,7×4 – 20×2 = – 13,5 кНм.

Строим линии влияния опорных реакций, а также линии влияния М и Q в заданном сечении m–m (рис. 7).

При построении линий влияния следует учитывать то обстоятельство, что движение единичного груза по простым балкам поэтажной схемы действует на изменение искомых силовых факторов (реактивных или внутренних) по-разному, в зависимости от того, где расположено заданное сечение – на основной балке или на вспомогательной.

Рис. 6. Расчетные схемы балки, эпюры Q и M.

Рис. 7. Линии влияния опорных реакций и внутренних

силовых факторов Q и M в сечении m-m балки.

Загружаем построенные линии влияния заданной внешней нагрузкой и находим значение реакций, а также значения Qm
и Мm
. Все силовые факторы, и внешние и внутренние, определяют по линиям влияния с помощью выражения

Si
= S(q×wi
+ F×уi
),

где wi
– площадь участка линии влияния, расположенного под распределенной нагрузкой q;

уi
– ордината линии влияния, расположенная под сосредоточенной силой F.

Задача 2.
Рассчитать плоскую балочную ферму на подвижную и неподвижную нагрузки, принятую по данным табл. 2 и схемы, показанной на рис. 8, 9, 10.

Алгоритм решения задачи:

1. построить линии влияния усилий в стержнях для указанной панели (счет начинать с единицы) фермы, считая слева (отсчет панелей вести по поясу, по которому движется груз). Пояс, по которому движется груз, отмечен на схеме пунктиром;

2. для построенных линий влияния усилий определить критическое положение нагрузки и вычислить значение усилий в этих стержнях;

3. из линий влияния усилий, рассмотренных в пункте 2, выбрать линию влияния, дающую большее усилие, сохранить на ферме критическое положение грузов для получения этого усилия и разнести их на ближайшие узлы пояса, по которому грузы передвигаются;

4. для фермы с узловыми нагрузками, полученными по пункту 3, построить диаграмму Максвелла-Кремоны и определить по ней усилия во всех стержнях фермы;

5. сравнить усилие, вычисленное в стержне, выбранном согласно пункту 3, с усилием, полученным в нем же по диаграмме Максвелла-Кремоны. Схема нагрузки представлена на рис. 8.

Т а б л и ц а 2. Исходные данные к задаче 2

Номер строки	Длина панели d, м	Высота фермы h, м	Номер панели	Номер расчетной схемы
0	8	4	3	0
1	6	5	4	1
2	7	6	5	2
3	6	4	3	3
4	8	5	4	4
5	5	5	3	5
6	4	6	2	6
7	7	4	4	7
8	6	6	3	8
9	8	5	5	9
***	б	а	б	в

Рис. 8. Расчетная схема подвижной нагрузки к задаче 2.

Рис. 9. Расчетные схемы к задаче 2.

Рис. 10. Расчетные схемы к задаче 2.

Пример решения задачи 2.

Строим линии влияния опорных реакций и линии влияния усилий в стержнях второй панели и примыкающей к ней справа стойке. Полученные линии влияния представлены на рис. 11.

Л.в.
S
2-3

Левая ветвь. Груз слева. Рассматриваем равновесие правой части.

SМ12
= 0; S2-3
×h + RB
×6d = 0;

Правая ветвь. Груз справа. Рассматриваем равновесие левой от сечения части фермы.

SМ12
= 0; S2-3
×h + RА
×2d = 0;

Ставим на этой линии влияния грузы в опасное положение. Условия невыгодного положения следующие:

¬ Fл
+ Fкр
> ;

® Fл
< ;

¬ 35 + 95 = 130 >

® 35 < Условия выполняются.

Найдем усилие в этом стержне, используя выражение

Si
= SFi
×уi
;

S2-3
= – (35×0,9 + 95×1,5 + 30×1,3 + 70×1,1 + 30×0,7 +

+ 70×0,5 + 30×0,1) = – 349 кН.

Л
.
в
. S2-12

Левая ветвь. Груз слева.

SFу
= 0; S2-12
×sin a – RB
= 0;

Рис. 11. Расчетная схема фермы, линии влияния усилий в стержнях.

a = 450
;

sin a = 0,71; S2-12
= – 1,41 RB
.

Правая ветвь. Груз справа.

SFу
= 0; – S2-12
×sin a + RА
= 0;

Ставим грузы по участкам линии влияния в опасное положение.

¬ 35 + 95 = 130 >

® 35 <

S2-12
= 35×0,07 + 95×1,06 + 30×0,92 + 70×0,78 + 30×0,49 +

+ 70×0,35 + 30×0,07 = 226,65 кН.

Л.в.
S
А-12

Левая ветвь. Груз слева.

SМ2
= 0; SА-12
×h – 7d×RB
= 0;

Правая ветвь. Груз справа.

SM2
= 0; SA
-12
×h – RА
×d = 0;

Ставим грузы по этой линии влияния в опасное положение.

¬ 35 + 95 = 130 >

® 35 < 53,75 кН.

SА-12
= 35×0,175 + 95×0,875 + 30×0,775 + 70×0,675 + 30×0,475 +

+ 70×0,375 + 30×0,175 + 70×0,075 = 210,75 кН.

Л.в.
S
3-12

Вырезаем узел 3.

y

1

Груз в узле. Груз вне узла.

S3-12
= – 1 S3-12
= 0

Ставим грузы по этой линии влияния в опасное положение.

¬ 35 + 95 = 130 >

® 35 < 80 кН.

S3-12
= – (95×1 + 35×0,2 + 30×0,2) = – 108 кН.

Наибольшее усилие в стержне верхнего пояса. Сохраняем положение грузов для получения этого усилия и разносим грузы по узлам верхнего пояса фермы.

Определяем опорные реакции:

SMА
= 0; 28×d + 108×2d + 52×3d + 42×4d + 24×5d + 76×6d +

+ 12×7d + 18×8d – RB
×8d = 0;

SMВ
= 0; 12×d + 76×2d + 24×3d + 42×4d + 52×5d + 108×6d +

+ 28×7d – RА
×8d = 0;

Для фермы с полученными узловыми нагрузками строим диаграмму Максвелла-Кремоны и находим усилия во всех стержнях фермы (рис. 12).

Рис. 12. Расчетная схема фермы, диаграмма Максвелла-Кремоны.

Задача 3.
Методом сил рассчитать двухшарнирную статически неопределимую арку, очерченную по уравнению квадратичной параболы

,

по данным табл. 3 и схемы, показанной на рис. 13.

Алгоритм решения задачи:

1. установить степень статической неопределимости двухшарнирной арки и выбрать основную систему метода сил;

2. составить расчетные канонические уравнения метода сил, определить коэффициенты и свободные члены полученных уравнений;

3. определить лишние неизвестные;

4. определить опорные реакции, изгибающий момент, продольную и поперечную силы в заданном сечении n-n.

Указания к решению задачи:

1. сплошная двухшарнирная арка описана по уравнению квадратичной параболы

где ℓ
– пролёт арки, м;

f – стрела подъема арки, равная 0,2ℓ
, м;

х – абсцисса сечения, отсчитываемая от левой опоры, м.

2. Согласно заданной расчетной схеме (рис. 13), нагрузка приложена к арке на расстоянии сℓ
, отсчитываемом от правой опоры;

3. Жесткость арки принять постоянной, т.е. EI = const;

4. Для арки со стрелой подъема f = 0,2ℓ
при вычислении перемещений можно пренебречь влиянием продольной силы, а бесконечно малый элемент ds принять равным его проекции на ось х, т.е. ds = dx;

5. Так как продольная ось арки плавная кривая, то коэффициенты и свободные члены канонических уравнений метода сил следует определять методом непосредственного интегрирования с помощью интеграла Мора.

Т а б л и ц а 3. Исходные данные к задаче 3

Номер строки	Пролет ℓ , м	F, кН	с	m
0	20	100	0,4	0,2
1	30	150	0,3	0,8
2	le="text-align:center;">40	300	0,8	0,3
3	50	250	0,4	0,6
4	20	150	0,6	0,2
5	40	250	0,3	0,4
6	35	60	0,4	0,7
7	25	80	0,2	0,6
8	45	40	0,6	0,4
9	35	50	0,3	0,3
***	б	а	б	в

Рис. 13. Расчетная схема к задаче 3.

Пример решения задачи 3.

Рис. 14. Расчетная схема заданной арки.

Определяем степень статической неопределимости арки (рис. 14)

N = R – S – H = 4 – 3 – 0 = 1.

Выбираем для заданной расчетной схемы арки основную систему метода сил (рис. 15).

Рис. 15. Основная система для арки.

Каноническое уравнение метода сил имеет следующий вид:

х1
d11
+ D1
F
= 0.

Единичное и грузовое перемещения находим методом непосредственного интегрирования с помощью интеграла Мора (рис. 16,17):

Рис. 16. Единичная расчетная схема арки.

Рис. 17. Грузовая расчетная схема арки.

М11
= RA
×x1
= 0,4F·x1
; 0 £ х1
£ 0,6l;

М22
= RB
×x2
= 0,6F·x2
; 0 £ х2
£ 0,4l;

Определяем лишнее неизвестное:

x1
= 0,93×150 = 139,5 кН.

Находим значения М, Q, N в заданном сечении n-n (рис. 18).

Рис. 18. расчетная схема арки для определения Мn
, Qn
, Nn
.

Мn
= RB
×xn
– x1
×уn
;

Мn
= 90×8 – 139,5×3,84 = 184,3 кНм.

Qn
= Q0
×cos a + H×sin a; Q0
= – RB
; Н = 139,5 кН.

Nn
= – (Q0
×sin a + Н×cos a).

Определим угол наклона касательной в заданном сечении n-n арки к горизонту:

a = 9,090
; sin a = 0,158; cos a = 0,987.

Так как по условию задачи точка приложения сосредоточенной силы F на арке совпадает с положением заданного сечения n-n, то внутренние силовые факторы Q и N необходимо определить по обе стороны от заданного сечения. Из теории построения эпюр внутренних силовых факторов методом сечений известно, что в точке приложения внешнего сосредоточенного силового фактора на расчетной схеме на соответствующей эпюре должен быть скачок.

Поперечная сила чуть-чуть справа от сечения n-n

Qn
прав
= – 90×0,987 + 139,5×0,158 = – 66,8 кН.

Поперечная сила чуть-чуть слева от сечения n-n

Qn
лев
= (– 90 + 150)×0,987 + 139,5×0,158 = 81,3 кН.

Продольная сила чуть-чуть справа от сечения n-n

Nn
прав
= – (90×0,158 + 139,5×0,987) = – 151,9 кН.

Продольная сила чуть-чуть слева от сечения n-n

Nn
= – (60×0,158 + 139,5×0,987) = – 147,2 кН.

Задача 4
. Рассчитать статически неопределимую раму методом сил по данным табл. 4 и схемы, показанной на рис. 19.

Алгоритм решения задачи:

1. установить степень статической неопределимости и выбрать основную систему;

2. построить единичные эпюры от лишних неизвестных, равных единице, суммарную единичную и грузовую эпюры моментов;

3. составить расчетные (канонические) уравнения метода сил, определить все входящие в них коэффициенты и свободные члены и сделать проверки правильности их нахождения;

4. решить расчетные уравнения;

5. построить расчетные эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;

6. выполнить статическую и кинематическую проверки расчетных эпюр.

Жесткость всех элементов рамы постоянна (EI = const).

Рис. 19. Расчетные схемы к задаче 4.

Т а б л и ц а 4. Исходные данные к задаче 4

Номер строки	а, м	b, м	h, м	F, кН q, кН/м	Номер расчетной схемы
0	1	2	1	20	0
1	3	1	2	30	1
2	2	2	2	10	2
3	1	2	3	20	3
4	2	3	4	30	4
5	4	1	1	20	5
6	2	2	3	40	6
7	1	3	2	20	7
8	3	2	1	10	8
9	2	1	3	20	9
***	а	б	в	а	в

Пример решения задачи 4.

Степень статической неопределимости рамы (рис. 20)

N = R – S – H = 5 – 3 – 0 = 2.

Отбрасываем две “лишние” связи, получаем основную систему.

Составляем канонические уравнения метода сил:

х1
d11
+ х2
d12
+ D1
F
= 0;

х1
d21
+ х2
d22
+ D2
F
= 0.

Определяем грузовые и единичные перемещения способом перемножения эпюр по Верещагину:

Рис. 20. Расчетная схема рамы, основная система, единичные и грузовая эпюры.

Решаем систему уравнений:

х1
=51,14 кН; х2
= –21,5 кН.

Проверяем правильность нахождения лишних неизвестных, т.е. выполняем кинематическую проверку. Умножаем эпюру на х1
, а эпюру на х2
(рис. 21).

Рис. 21. Исправленные единичные эпюры.

Определяем перемещения по направлению х1
и х2
:

D1
= 0; D2
= 0.

D1
= х1
×+ х2
×+D1
F
= 0;

D2
= х1
×+ х2
×+D2
F
= 0;

Строим эпюры М, Q, N методом сечений (рис. 22).

Сечение 1-1; 0
£
х1

£
3 м;

Q1-1
= х1
– qx1
; Q х1=0
= х1
= 51,14 кН;

Qх1=3
= 51,14 – 30×3 = – 38,86 кН;

N1-1
= х2
= 21,5 кН;

М x
1 = 0
= 0;

х1
– qx1
= 0;

Сечение 2-2; 0
£
х2

£
3 м;

Q2-2
= х2
= 21,5 кН; N2-2
= х1
– qh = 51,14 – 30×3 = – 38,86 кН;

М х2=0
= 18,42 кНм.

Сечение 3-3; 0
£
х3

£
3 м;

Q3-3
= – х1
+ qh = 38,86 кН; N3-3
= – х2
= – 21,5 кН;

Рис. 22. Расчетная схема рамы, эпюры М, Q, N.

М х3=0
= – 45,08 кНм; М х3=3
= 70,5 кНм.

Выполняем статическую проверку правильности построения расчетных эпюр (рис. 23).

Рис. 23. Расчетные схемы узлов рамы.

Задача 5.
Рассчитать статически неопределимую раму методом перемещений по данным табл. 5 и схемы, показанной на рис. 24.

Алгоритм решения задачи:

1. выбрать основную систему и построить единичные и грузовую эпюры моментов;

2. составить канонические уравнения и определить коэффициенты и свободные члены, решить уравнения;

3. построить расчетные эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;

4. выполнить кинематическую проверку правильности построения расчетных эпюр. Жесткость элементов рамы EI = const.

Т а б л и ц а 5. Исходные данные к задаче 5

Номер строки	а, м	b, м	q, кН/м	F, кН	h, м	Номер расчетной схемы
0	1	2	10	20	2	0
1	3	1	20	30	3	1
2	2	3	30	10	4	2
3	4	1	20	20	2	3
4	1	2	10	40	3	4
5	2	3	20	30	1	5
6	1	4	30	20	2	6
7	3	1	20	40	3	7
8	2	2	40	20	2	8
9	2	3	20	30	2	9
***	а	б	в	а	б	в

Рис. 24. Расчетные схемы к задаче 5.

Пример решения задачи 5.

Степень статической неопределимости рамы (рис. 25) по методу перемещений зависит от числа возможных угловых и линейных смещений:

n = 1уг
+ 1л
= 2.

Рис. 25. Расчетная схема рамы.

Выбираем основную систему, вводя дополнительные связи в места возможных смещений (рис. 26). Принимаем условие – реактивные усилия во введенных связях равны нулю.

Канонические уравнения метода перемещений имеют следующий вид:

Строим единичные , и грузовую МF
эпюры моментов с помощью специально разработанных таблиц, которые приведены во всех источниках основной литературы (см. рис. 26).

Рис. 26. Основная система, единичные и грузовая эпюры.

Коэффициенты и свободные члены уравнений находим статическим способом, вырезая соответствующие узлы рамы.

	r11 – 3EI – 0,75EI – 1,5EI = 0; r11 = 5,25EI.
	R1F – 15 = 0; R1F = 15.

Sx = 0;

Sx = 0;

Решаем систему уравнений:

Умножаем эпюру на j1
, эпюру на D2
и получаем так называемые исправленные эпюры (рис. 27).

Рис. 27. Исправленные единичные эпюры.

Расчетную эпюру Мрасч
строим способом сложения, используя выражение

Мрасч
=j1
+ D2
+ МF
.

Имея правильно построенную эпюру Мрасч
, можно, рассматривая статическое равновесие всех участков рамы как отдельно взятых балок, определить продольные и поперечные силы и построить эпюры N и Q (рис. 28).

Задача 6.
Рассчитать подпорную стену по данным табл. 6 и схемы, показанной на рис. 29, 30.

Алгоритм решения задачи:

1. графическим методом определить активное давление на напорную грань стены;

2. построить эпюры интенсивности давления на напорную грань стены;

3. определить силы, действующие на стену, и точки их приложения;

Рис. 28. Расчетные эпюры М, Q, N.

4. построить многоугольник давления в стене, определить графически эксцентриситеты в сечениях согласно излому профиля стены;

5. проверить устойчивость стены на опрокидывание и сдвиг. Коэффициент трения кладки по грунту принять равным 0,45;

6. определить напряжения в подошве фундамента стены и построить эпюру напряжений.

Рис. 29. Расчетные схемы к задаче 6.

Рис. 30. Расчетные схемы к задаче 6.

Т а б л и ц а 6. Исходные данные к задаче 6

Номер строки	H, м	Угол α	γкладки , кН/м3	γгрунта , кН/м3	Угол φ	Угол φ0	q, кН/м2	Номер профиля
0	10	12º	27	14	26º	16º	15	0
1	8	14º	23	15	28º	7º	20	1
2	6	9º	25	13	30º	11º	17	2
3	4	13º	24	18	33º	10º	14	3
4	10	10º	22	19	31º	12º	16	4
5	5	7º	24	16	29º	15º	18	5
6	9	8º	26	18	27º	14º	20	6
7	6	10º	28	17	35º	12º	19	7
8	7	9º	27	19	34º	9º	15	8
9	8	8º	23	15	32º	6º	16	9
***	а	б	в	а	б	в	а	в

Пример решения задачи 6.

Характеристики: грунт – a = 140
; gгр
= 15 кН/м3
; j = 330
; j0
= 140
и кладка – gкл
= 24 кН/м3
.

Рис. 31. Расчетная схема подпорной стены.

Начинаем с определения сил, действующих на стену (рис. 31). Прежде всего заменяем равномерно распределенную пригрузку qпр
эквивалентным слоем грунта:

Выполним построения Понселе для двух фиктивных участков напорной грани стены и действительного участка задней грани, графически определим площади S треугольников Ребхана и вычислим силы активного давления грунта на фиктивные и действительный участки по второй теореме Ребхана:

Построим эпюры интенсивности давления на фиктивные участки напорной грани стены и участок задней грани, для чего определим нижние ординаты этих эпюр по формуле

где Н – высота рассматриваемого участка грани стены.

Для определения величин сил активного давления на реальные участки граней стены используем заштрихованные площади эпюр интенсивности давления (рис. 32).

Точки приложения сил активного давления найдем графическим способом, определив центры тяжести заштрихованных участков эпюр интенсивности давления.

Определяем собственный вес двух участков стены и грунта на уступе стены:

G1
= 0,3Н×0,5Н×gкл
= 1,8×3×24 = 129,6 кН/на 1 п. м;

Gгр
= 0,4Н×0,5Н×gгр
= 2,4×3×24 = 108,0 кН/ на 1 п. м.

d = 180
; d + j0
= 180
+ 140
= 320
.

Аналитически или графически находим точки приложения собственного веса стены (см. рис. 32).

Строим силовой многоугольник (т.е. геометрически складываем все силы, действующие на стену) и многоугольник давления в стене (представляет собой геометрическое место точек приложения равнодействующих всех сил, действующих на стену выше рассматриваемого сечения). Графически находим эксцентриситет в основании подпорной стены: е = 0,4 м.

Теперь проверим устойчивость стены на опрокидывание вокруг внешнего ребра а.

Ма уд
= G1
×0,15Н + Gгр
×0,49Н + G2
×0,3Н + Е3
×0,7 =

= 129,6×0,9 + 108,0×2,9 + 311×1,8 + 10×0,7 = 993,6 кНм;

Ма опр
= Е1
×4,1 + Е2
×3,4 = 45×4,1 + 81×3,4 = 459,9 кНм;