«Преобразование Хартли. Теория и приложения»

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Уральский государственный горный университет

Институт геологии и геофизики Кафедра геоинформатики

620144 , г. Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30

Тел. (343) – 2576661. E-mail: Pisetski@hotmail.com

РЕФЕРАТ

Преобразование Хартли

Краткое содержание работы Р. Брейсуэлла

«Преобразование Хартли. Теория и приложения», М: Мир, 1990.

Курс: Теория цифровой обработки данных

Выполнила: Балаева Л.А.

E-mail:
balaeva-lydmila@yandex.ru

Руководитель
:
проф
.
Давыдов А.В.

E-mail:
prodav@yandex.ru

Содержание
.

1. Введение.

2. Преобразование Хартли.

2.1. Четная и нечетная составляющие.

2.2. Формулы связи.

2.3. Энергетический и фазовый спектры.

3. Теоремы.

3.1. Соответствие операций.

3.2. Свертка.

4. Дискретное преобразование Хартли.

4.1. Физический смысл величин τ и ν.

4.2. Чётная и нечётная составляющие.

4.3. Степени свободы.

4.4. Другие вещественные ядра.

4.5. Теоремы, связанные с ДПХ.

4.6. Выводы по ДПХ.

5. Заключение.

Без сохранения форматирования исходного документа

Екатеринбург

2005

Введение.

Преобразование Хартли, как и преобразова­ние Фурье, может применяться для спектрального анализа и различных видов обработки сигналов. Данный вид преобразования назван в честь Р. Хартли, опубликовавшего в 1942 г. статью о паре интегральных преобразований - прямом и обратном, использующих введенную им функцию . До начала 1980-х годов эти результаты оставались в забвении, пока к ним не привлек внимание исследователей Р. Брейсуэлл, разработавший основы тео­рии как непрерывного, так и дискретного преобразования Хартли, а также один из вариантов его быстрого преобразования.

Непрерывный прогресс в области обработки информации связан с задачами всевозрастающей сложности. Обращение к преобразованию Хартли обусловлено ситуацией, сложившейся в ряде методов обработки информации, в частности использующих вещественные последовательности данных (одномер­ных и двумерных). Обработку таких данных желательно осуществ­лять в области вещественных чисел с помощью взаимно симмет­ричных прямого и обратного преобразований. В отличие от преоб­разования Фурье, отображающего вещественные функции в ком­плексную область и несимметричного по i
(происходит изменение знака при переходе от прямого к обратному преобразованию), пре­образование Хартли осуществляет прямое и обратное преобразо­вания только в вещественной области и обладает указанной сим­метрией.

В своём реферате я постараюсь изложить на основе теории и практических примеров некоторые основные аспекты преобразо­вания Хартли.

Эта тема является актуальной, так как в настоящее время преобразование Хартли находит широкое применение при разработке двумерных и трехмерных быстрых пре­образований, быстрых алгоритмов интерполяции и т.д.

Хартли ввел пару формул.

.

В этих соотношениях для функции cas мы будем следовать определению автора, в соответствии с которым эта функция представляет собой сумму косинуса и синуса одного и того же аргумента cas t =
cos t + sin t.

2. Преобразование Хартли.

В определение Хартли для преобразования y (w) в явном виде был включен коэффициент 1/ для получения симметричного вы­ражения. Если опустить этот коэффициент, то оба интеграла одновре­менно не могут быть корректными. Однако следует признать не­целесообразным сохранение пары таких специфических коэффициен­тов, особенно при выполнении численных расчетов. Многие авторы отреагировали на подобную ситуацию применительно к преобразо­ванию Фурье рассмотрением функции S(w) вместо S(w).В результате коэффициент 1/ исчезает в определении прямого преобразования Фурье, однако в формуле обратного преобразования Фурье появляется коэффициент 1/2p. Таким образом, эти авторы намеренно жертвуют симметрией формул. Справедливо замечание, что это дополнительная нагрузка для памяти, так как приходится запоминать, какая из формул содержит величину 2p .Один способ запоминания состоит в том, что коэффициент 1/2p стоит перед интегралом, в котором фигурирует дифференциал d
w
,
что означает наличие величины вида w/2p , т. е. циклической частоты f
. Отсюда естественно возникает вопрос: почему непосредственно не иметь дело с частотой? Именно к этому выводу в течение многих лет склонялось мнение разных исследователей. Приверженцев использования коэф­фициента 1/ в настоящее время практически уже нет, тогда как имеется достаточное количество сторонников правомерности записи d
w
/
2p;
но общепринятой практикой является применение множителя 2
p
под знаком экспоненты в интегралах для прямого и обратного преобразований. Данная процедура реализуется автоматически при использовании частоты вместо угловой частоты w. При этом имеем

2.1.Четная и нечетная составляющие.

Взаимосвязь преобразований Фурье и Хартли базируется на анализе свойства симметрии. Для пояснения этого представим в виде четной и нечетной компонент и соответственно. Четная компонента определяется как полусумма функции и ее зер­кального изображения, т.е. функции . Нечетная компонента определяется как полуразность этих функций и обладает свойством антисимметрии, а именно .
Любая функция может быть представлена однозначно в виде суммы четной и нечетной компонент, и, обратно, при заданных четной и нечетной компонентах однозначно может быть восстановлена исходная функция. Одним из интересных свойств четной и нечетной компонент является равенство суммы их энергий энергии самого процесса.

Для установления связи преобразования с преобразованием Фурье функции примем следующее определение.

Пустьгде и - соответственно четная и нечетная составляющие функции .
Тогда

Эти два интеграла известны под названиями соответственно косинус- и синус-преобразование Фурье.

Для иллюстрации чётной и нечётной составляющей рассмотрим ряд примеров:

Пример №1.
Рассмотрим функцию вида , которая в момент времени t = 0 имеет еди­ничный скачок, а затем монотонно убывает по экспоненциальному закону. В данном выражении фигурирует единичная ступенчатая функция Хевисайда H
(
t
),
которая определяется следующим образом:

Заметим, что значение функции , т. е. при t
= 0, не определено. Причина этого заключается в следующем. Рассмотрим две функции и ,
которые совпадают с при , но в отличие от определены при t = 0. Пусть На

(0) = а
и Нь

(0) = b
.
Тогда разность -представляет собой нулевую функцию. Поскольку рассматриваются интегралы, на их величину не влияет выбор какого-либо определенного конечного значения Н(0).

Оцениваемый интеграл равен:

На данном примере №1 можно видеть симметрию чётной компоненты и её относительно быстрое убывание, и симметрию относительно начала координат нечётной составляющей .

Можно заметить, что H
(
f
)
не является ни четной, ни нечетной функцией. Минимум функции H
(
f
)
имеет место при , макси­мум при , и она обращается в нуль при . При функция убывает как.

Пример №2.
Рассмотрим сигнал , где - смещенная единичная прямоугольная функция, имею­щая свое начало при t = 0. Стандартная единичная прямоугольная функция, которая часто необходима для стробирования сегментов колебаний, определяется как

Для данного примера имеем преобразование Хартли

,

2.2.Формулы связи.

При заданной функции для получения преобразования Фурье можно сформировать сумму :

Таким образом, из легко получить преобразование Фурье ко­лебания V
(
t
)
путем формирования зеркального изображения вида и операций суммирования функций. Вещественная часть F
(
f
)
равна E
(
f
),
а мнимая часть противоположна по знаку функции :

Наглядно связь преобразования Хартли с преобразованием Фурье можно представить на примере (в качестве примера возьмём стробирующую функцию)

И обратно, из заданного преобразования Фурье F
(
f
)
можно получить , заметив, что

,

т.е., исходя из F
(
f
),
функция определяется как сумма ве­щественной части преобразования Фурье и ее мнимой части, взятой с обратным знаком.

Помня о том, что мнимая часть комплексной величины сама является вещественной, убеждаемся в том, что представляет собой вещественную функцию, как и должно быть при условии, что исходное колебание вещественно. Если бы не было ве­щественной функцией (в этом случае не могло бы представлять собой напряжение электрического колебания), то , а тем более и также не были бы вещественными. В результате можно резюмировать:

Преобразование Фурье равно разности четной составляющей пре­
образования Хартли и нечетной составляющей, умноженной на
i
; напротив, преобразование Хартли определяется как разность ве­щественной и мнимой составляющих преобразования Фурье.

2.3.Энергетический и фазовый спектры.

Не всегда легко понять характер изменения комплексной функции, имея графики ее вещественной и мнимой частей, однако в оптике и других областях физики более привычным является использование понятия квадрата модуля преобразования, или энергетического спект­ра:

Энергетический спектр является четной функцией частоты и поэтому более прост для понимания. С другой стороны, энергетический спектр содержит в себе, по крайней мере, половину информации об исходном колебании, так как теряется информация о фазе. Тем не менее, для ряда приложений энергетический спектр может оказаться инструмен­том исследования, который необходим.

Энергетический спектр можно получить непосредственно из пре­образования Хартли. Имеем

Рассмотрим энергетический спектр, полученный из преобразования Хартли на примере прямоугольного импульса.

Таким образом, вместо возведения в квадрат вещественной и мнимой частей и их суммирования при данном значении мы возводим в квадрат и суммируем два значения преобразования Хартли для частот + и —. При этом результат суммирования должен быть разделен на два, так как каждая из функций вида и , возведенная в квадрат, равна полному энергетическому спектру, тогда как вещественная и мнимая части содержат по половине этой величины.

В оптике представляет затруднение измерение фазы преобразова­ния Фурье, однако в анализе сигналов рассмотрение фазовых функций (фазочастотных характеристик) является привычной процедурой, хо­тя их понимание и толкование требуют определенной подготовки и опыта. Фазовая функция может быть непосред­ственно вычислена из выражения

Фаза преобразования Фурье может быть также непосредственно получена из преобразования Хартли

В объяснении характера изменения фазы при изменении частоты оказывается полезным опыт. При интерпретации фазы следует учи­тывать, что поведение фазы непосредственно связано с амплитудой, причем большие фазовые изменения происходят вблизи нуля ампли­туды, и наоборот - незначительные изменения фазы при больших амплитудах.

Имеем следующую формулу для определения фазы преобразова­ния Фурье через преобразование Хартли:

Наглядно это можно представить на следующем примере.

Полезной альтернативой одновременному представлению веществен­ной и мнимой частей является построение траектории на комплексной плоскости путем изображения как функции с обозначением на этой траектории значений частоты как параметра. Тогда для любой данной частоты амплитуда | | определяет расстояние от начала координат до соответствующей точки параметрически задан­ной кривой, а фаза преобразования определяет угловую координату. Такая диаграмма для функции изображена на рис.1. Комплексная плоскость для данной диаграммы - это не плоскость из теории функции комплексной переменной, где независимая перемен­ная оказывается комплексной величиной. Здесь независимая пере­менная вещественна, однако зависимая переменная является комплексной, и можно рассматривать ее вещественную и мнимую части как декартовы координаты.

Заслуживает внимания тот факт, что при движении по траектории к началу координат скорость «вычерчивания» траектории, измеряе­мая отношением длины дуги к частотному интервалу, уменьшается таким образом, что угловая скорость «бегущей» точки на траектории остается постоянной. Это свойство отражает линейную природу графа argF
(
f
)
; разрывы фазовой функции обусловлены прохождени­ем траектории через начало координат.

Можно также рассматривать это преобразование в виде трех­мерной винтовой траектории, для которой в данном случае можем представить только перспективную проекцию, но может быть сде­лана проволочная модель этой кривой. На рис.2 показана эта винтовая кривая, дополняющая наше представление еще одним из­мерением. Траекторию в полярных координатах можно представить в виде проекции винтовой кривой на плоскость , а вещественную и мнимую части как проекции на горизонтальную и вертикальную плоскости прямоугольной системы координат соответственно.

В определенном смысле преобразование Хартли может рассмат­риваться как гладкая форма представления вещественного колебания. Будучи чисто вещественным, преобразование Хартли не требует других способов представления, тогда как другие способы могут быть непосредственно получены из него.

3.Теоремы.

Теоремы преобразований полезны тем, что они позволяют избежать сложного математического анализа. Владея рядом теорем, можно получить новые преобразования, исходя из традиционных, свести данную задачу к известной и объединить функции в более сложные формы без необхо­димости все выполнять с самого начала. За счет этого упрощается интегрирование функций, имеющих аналитическое описание.

Численные методы расчетов также оказываются выгодными, ког­да применяются теоремы, позволяющие перейти к более простым или быстрым операциям. Наконец, это обеспечивает владение необходи­мым аппаратом логического мышления.

Рассматриваются два класса теорем. Первый из них связан с такими процедурами, как усечение, модуляция, свертка, и другими общепринятыми операциями, которые могут выполняться над функ­цией. Этот класс теорем дает ответ на вопрос: какой процедуре подвергается (как видоизменяется) преобразование исходной функ­ции? Например, каким образом изменяется преобразование функции, являющейся зеркальным изображением исходной функции? Ответ заключается в следующем: преобразование также изменяется на зеркальное, что может показаться не столько простым, сколько очевидным выводом. Тем не менее, опыт показывает, что подобные знания оказываются полезными, особенно если могут быть применены соображения относительно симметрии, как в данном примере.

Второй класс теорем связан с соотношениями между функциями и их преобразованиями, что обычно может быть выражено в виде равенств. Например, интеграл от функции в бесконечных пределах равен главному значению ее преобразования. Здесь мы вновь имеем крайне простую теорему, которая, однако, избавляет от необходимо­сти выполнять трудоемкое интегрирование, оказывается полезной при проверке численных расчетов и является сильным инструментом в случае, когда при решении какой-либо задачи возникает вопрос о выборе метода ее решения: аналитического или численного.

Значительная часть сведений об этих теоремах может быть сведе­на в таблицы, которые неизменны.

3.1.Соответствие операций.

Если колебание V
(
t
)
имеет преобразование Хартли H
(
f
),
то каким будет это преобразование для функции V
(
t
/
T
),
т. е. функ

ции, получаю­щейся из исходного колебания в результате растяжения шкалы времени в Т
раз? Непосредственное определение интеграла для положительных Т приводит к выражению

Если Т отрицательно, то для новой переменной =
t
/
T
должно быть произведено изменение пределов интегрирования, вследствие чего результат равен -
TH
(
Tf
).
Чтобы учесть обе возможности (положи­тельных и отрицательных Т), можно сформулировать вывод следую­щим образом:

Если V(t) имеет преобразование Хартли H (f), то V(t/T) имеет преобразование Хартли вида |T|H(Tf). Для сравнения приведем теорему подобия, или теорему изменения масштаба, применительно к преобразованию Фурье:

Если
V
(
t
) имеет преобразование Фурье
F
(
f
), то
V
(
t
/
T
) имеет преобразование Фурье вида |
T
|
F
(
Tf
).

Благодаря этой очень близкой аналогии удобно перечислить теоремы для обоих преобразований так, чтобы были наглядны и очевидны их различия. Ниже будут опущены выводы для простых соотношений, подобных рассмотрен­ному примеру.

3.2.Свертка.

В таблице операции свертки и взаимной корреляции условно обозна­чены символами «звездочка» (*) и «пентаграмма» (). В соответствии с этими обозначениями имеем

V
1
(
t
)*
V
2
(
t
)=

V
1
(
t
)
V
2
(
t
)=

Важным свойством теоремы о свертке является следующее: если одна или обе функции, входящие в формулу свертки, являются либо четными, либо нечетными, то теоремы Хартли и Фурье (т. е. формулы прямых преобразований Хартли и Фурье для свертки) совпадают. Имеем теорему:

Если
V
1
(
t
) является четной функцией, то свертка
V
1
(
t
)
V
2
(
t
)
имеет преобразование Хартли вида Н1
(
f
)Н2
(
f
).

Если одна из этих функций является нечетной, то формула упроща­ется.

Если
V
1
(
t
) -
нечетная функция, то свертка
V
1
(
t
)
*
V
2
(
t
) имеет преобразование Хартли вида Н1
(
f
)
H
2
(-
f
).

4. Дискретное преобразование Хартли
.

Хотя мы стремимся рассматривать время как непрерывную перемен­ную, на практике необходимо использовать дискретную переменную для описания временных рядов, например, когда для вычисления требуется дискретизация этой переменной или в случае накапливания данных на регулярных интервалах. Поэтому введем дискретную переменную τ, которая будет соответствовать времени, но принимать только целочисленные значения от 0 до N - 1. Выбран именно этот интервал, а не [1, N] или [- (N/2) + 1,N/2] в соответствии с обще­принятой практикой. Таким образом, прямое дискретное преобразова­ние Фурье
(ДПФ) и обратное ему преобразование имеют стандартную форму

Функция f(τ) может быть дискретным представлением исходного непрерывного колебания или функцией переменной, дискретной по своей природе.

Дискретное преобразование Хартли (ДПХ) вещественной функции f(τ) и соответствующее обратное преобразование определяются соотношениями

где, как и выше, используется обозначение cas θ= cos θ + sin θ, вве­денное Хартли.

Для получения обратного ДПХ воспользуемся свойством ортого­нальности

Подставляя величину
определяющую пре­образование H
(
v
),
в выражение
получим

,

что подтверждает справедливость обратного преобразования.

Коэффициент
в ДПХ заимствуется из практики использова­ния ДПФ, для которого величина F (0) равна постоянной составляю­щей функции ; другими словами, ДПХ является симметричной процедурой. Кроме этого, ДПХ является вещественным преобразова­нием, так как вещественной является функция .

Пример дискретного прямого и обратного преобразования Хартли:

4.1.Физический смысл величин τ и
ν
.

Переменная τ интерпретируется как время, а дискретная пере­менная ν - как частота; однако следует помнить две особен­ности. Если в качестве единицы времени t принята секунда, т. е. временной интервал между последовательными элементами временного ряда равен 1 с, то частота равна ν /N [Гц], а не ν, следовательно, частотный интервал между соседними эле­ментами последовательности H(v) равен [Гц]. По мере увеличения ν возрастает соответствующая частота, но только до значения ν = N/2;
при дальнейшем росте величины ν соот­ветствующая ей частота становится равной (N - ν)/N, обра­щаясь в нуль при ν = N.

4.2.Чётная и нечётная составляющие.

Как в случае непрерывного преобразования, ДПХ имеет чётную и нечетную компоненты

,

однако должны быть высказаны некоторые соображения в отноше­нии определений в силу принятого ограничения диапазона изменения ν от 0 до N - 1. Общепринятый способ учета этого ограничения заключается в присвоении функции вне области ее определения таких значений, чтобы сформировать циклическую (периодическую) функ­цию с периодом N.
Таким образом, для ν = -1 мы присваиваем функции значение H(N - 1), так как ν = -1 и ν = N - 1 разделены периодом длины N. В общем случае будем присваивать функции Н(-ν), где -Nν-1, значения H(N-ν) для которых не­зависимая переменная заключена в основном диапазоне изменения ν. С помощью данной процедуры мы приходим к более простому соотношению между ν и частотой: можно сказать, что ν/N представ­ляет собой не что иное, как частоту в герцах в диапазоне -N/2<ν<N/2.
Получим также соотношения для четной и нечетной составляющих, согласующиеся с равенствами, приведенными выше. Таким образом, имеем

Рассмотрим чётную и нечётную составляющие ДПХ на примере биномиального импульса (см. ниже)

Из определения F(ν) для ДПФ очевидно, что F(ν) может быть получено с использованием четной и нечетной составляющих ДПХ: F(ν) = E(ν)-i
O(ν).

С другой стороны, если мы располагаем преобразованием F(ν), то можно сформировать H(ν): H(ν) = ReF(ν)-ImF(ν).

Эти выражения имеют сходство с соотношениями, полученными выше для непрерывного преобразования.

4.3.Степени свободы
.

Нами были установлены взаимно однозначные соотношения между дискретными преобразованиями Фурье и Хартли. При этом возни­кает вопрос из области теории информации. Как объяснить тот факт, что N вещественных значений ДПХ можно использовать вместо N комплексных значений ДПФ, которые содержат 2N вещественных чисел? Это можно понять, вспомнив о том, что эрмитово свойство ДПФ означает двойную избыточность. Таким образом, ДПФ имеет только N степеней свободы, несмотря на то, что имеется 2N вещест­венных коэффициентов. Так как для ДПХ вследствие его симметрии не характерно свойство вырожденности, N его вещественных коэффи­циентов эквивалентны N комплексным коэффициентам ДПФ.

4.4.Другие вещественные ядра.

Функция cas θ может рассматриваться как синусное колебание со сдвигом 45°, автоматически соответствующее косинусной и синусной компонентам. Если в качестве ядра преобразования использовать функцию sin(θ+α), где α -произвольный сдвиг, то весовые мно­жители косинусной и синусной компонент будут неодинаковы, однако при этом будут отсутствовать информационные потери, за исключе­нием случаев, когда α = 0, π/2,… .

Следовательно, можно предположить справедливость обратного преобразования; ядро обратного преобразования равно α sin θ + α cos θ.

4.5.Теоремы связанные с ДПХ.

Каждой теореме дискретного преобразования Фурье соответствует подобная теорема для дискретного преобразования Хартли. Для полноты представления материала ниже даются все теоремы, в том числе теоремы о свертке и корреляции. Свертка функций непрерывного аргумента, обозначаемая символом , отличается от процедуры циклической свертки дискретных последовательностей, для обозначения которой используется символ .

Можно отметить, что среднее значение последовательно­сти определяется величиной H(0), а значение ее среднего квадрата равно.

Некоторые теоремы для двух различных преобразований характеризуются точным соответствием, как, например и , тогда как в других случаях имеют место различия.

Теорема о зеркальном изображении.
Если из последовательности сформировать ее зеркальное изображение , то в результате ведущий (нулевой) элемент сохранит неизменное положение, а осталь­ные элементы изменят порядок следования на обратный. Таким образом, вместо элемента f(1) исходной последовательности имеем f(-1), который интерпретируется как f(-1 mod N)
и равен f(N-1), т.е. является последним элементом новой последовательности. Следовательно, вместо последовательности {a b c d e f g h} имеем {a h g f e d c b},
что в области преобразования соответствует замене вида {ABCDEFGH}{AHGFEDСВ}.

Теорема сложения.
Свойство суперпозиции, иллюстрируемое тео­ремой сложения, просто отражает линейность оператора ДПХ.

Теорема о сдвиге.
Сначала рассмотрим пример, в котором реали­зуется единичный сдвиг последовательности {a0
a1
a2
... aN
-1
}, имеющей ДПХ вида {α0
α1
α2
... αN
-1
}. В соответствии с теоремой о сдвиге для Т=
1 имеем последовательность {a
N
-1
а0
а1
аг
…
a
N
-
2
}, для которой ДПХ равно

{ α 0
C1
α1
C2
a2

... C N-1
αN-1
} - { 0 S1
α N-1
S2
αN-2
... SN-1
α1
},

где Cν
= cos (2πν/N), Sν
= sin(2πν/N).

Для выполнения данной операция сдвига мы перемещаем каждый элемент исходной последовательности на одну позицию вправо. Последний элемент в соответствии с принятым свойством циклично­сти перемещается на первую позицию.

ДПХ состоит из двух последовательностей, одна из которых содержит косинусные, другая - синусные коэффициенты. ДПФ также представляет собой совокупность двух последовательностей с синус­ными и косинусными коэффициентами, однако для ДПХ в отличие от ДПФ для синусной компоненты характерно зеркальное отображе­ние - это свойство именуется обратной индексацией. Для доказа­тельства теоремы о сдвиге подставим f(t+T) в формулу, определяющую прямое ДПХ, и получим

f(τ+T)cas(2πντ/N) = f()cas[2πν(-T)/N] =

f()[cas (2πν/N) cos (2πνT/N) + cas'(2πν/N) sin(2 πνT/N)] =

cos (2πνT/N) f()cas(2πν/N) + sin(2πνT/N) f()cas'(2πνT/N) =

cos (2πνT/N) H(ν) - sin(2πνT/N) f()cas(-2πν/N) =

cos(2πνT/N) H(ν) -sin(2πνT/N)H(-ν).

Теорема о свертке.
В общем случае преобразование свертки(τ) f2
(τ) содержит четыре компоненты. Основными величинами, которые должны быть вычислены, являются прямые произведения Ра
(ν)= H1
(ν)H2
(ν) и смешанные произведения Рb
(ν)=
H1
(ν)H2
(-ν). С использованием этих обозначений имеем H(ν)= N[Pa
(ν)-Ра
(-ν)+Рb
(ν)+Рb
(-ν)].

Таким образом, данная процедура включает два, а не четыре дейст­вия умножения. Теперь если Н2
(ν) - четная функция (т. е. Н2
(ν)= H2
(-ν)), то

H(ν) = NHl
(ν)H2
(ν).

Рассмотрим пример, когда H2
(ν) –чётная функция.

Точно так же простую формулу получим в случае, когда Н2
(ν) является нечетной функцией; при этом имеем H(ν)=NHl
(-ν)H2
(ν).

Вследствие коммутативности Н(ν)=NHl
(ν)H2
(ν), если либо H1
(ν), либо Н2
(ν) являются четными функциями. Часто одна либо другая функция обладает свойствами симметрии или антисимметрии, что приводит к более простым соотношениям. Ввиду важности операции свертки мы вернемся к ней в следующей главе.

Теорема о произведении.
В теореме о произведении четыре компо­ненты предполагают выполнение только двух операций свертки, так как две другие просто реализуются путем зеркального отображения двух сомножителей.

Теорема о растяжении.
Сходство этой теоремы с соответствую­щей теоремой для случая непрерывной независимой переменной относится к изменению масштаба по оси абсцисс, когда V(t) преобра­зуется в V(t/T). Так как величина T может быть либо больше, либо меньше единицы, операция может представлять собой либо растяже­ние, либо сжатие. В случае дискретной переменной изменения мас­штаба также имеют практическое значение, например, когда последо­вательность регулярных измерений должна быть повторена с боль­шей или меньшей скоростью. Функция V(t/T) определена для любого Т при заданной V(t), но это утверждение несправедливо для f(τ/Т) при заданной функции f(τ), где τ=0,1, … ,N-1.
Следовательно, применительно к теореме подобия отсутствует строгая аналогия. Теорема о растяжении имеет отношение только к увеличению мас­штаба времени, что осуществляется добавлением нулей в исходную последовательность. Наиболее просто это можно проиллюстриро­вать на примере.

Пусть последовательность {abcd} имеет последовательность ДПХ {α β γ δ}. Тогда последовательности {а 0 b 0 с 0 d 0} соответствует последовательность ДПХ вида {α β γ δ α β γ δ }.

В правомерности этого результата можно убедиться, анализируя выражение для прямого ДПХ:

α+βcas τθ+γcas 2τθ+
δcas 3τθ+αcas 4τθ+βcas 5τθ+γcas 6τθ+δcas7τθ.

Убеждаемся в том, что при τ = 0 имеем f(0) = а.
При нечетном τ сумма равна нулю, для четного τ эта сумма сводится к выражению: α+βcasτθ+γcas2τθ+δcas3τθ, для которого обратное преобразо­вание Хартли имеет вид: {a b c d}.

Теорема о второй производной.
Рассмотрим данную теорему на примере экспоненциальной функции.

4.6.Выводы по ДПХ.

Свойства ДПХ свидетельствуют в пользу использования этого преобразования в численном анализе. Тот факт, что значения преобразования Хартли являются вещественными, создает удобства при выполнении расчетов. Кроме того, полезно свойство симметрии обращения преобразования, так как не требуется запоминать, к какой области представления отно­сится данная последовательность. Более того, ряд теорем для преобразования Фурье имеет различную форму для разных областей представления (временной или частотной); этот не­достаток отсутствует у ДПХ. Множитель N зависит от обла­сти представления, и от него можно было бы избавиться, однако на практике почти всегда существуют нормирующие или калибровочные факторы, которые должны быть учтены по окончании численных расчетов. Опыт показывает, что послед­ний этап заключается в учете в совокупной форме коэффициен­тов пропорциональности, поэтому отклонение от точного соответствия между прямым и обратным преобразованиями, заключающееся в появлении коэффициента N, не имеет значе­ния в практике вычислений.

5.Заключение.

Таким образом, в данном реферате были рассмотрены некоторые основы преобразования Хартли. В результате чего можно сделать следующие выводы.

Во-первых, хотя между интегралами преобразования Хартли

отсутствуют существенные отличия от обычных интегральных формул преобразо­вания Фурье, однако на практике эти различия значительны.

Во-вторых, функция вещественна в отличие от функции преобразования Фурье.

В-третьих, обратное преобразование для его реализации требует точно такой же процедуры интегрирования, как и прямое преобразо­вание.

Наконец, не является обычным преобразованием Фурье, и мы должны быть готовы к нетрадиционным характеру и свойствам этого преобразования. Значительная часть умозрительных построе­ний относительно преобразования Фурье, а, именно спектра колеба­ния, являющегося функцией времени, непосредственно неприменима к .