по математике на тему: «Понятие интегрирования и его применение»

Средняя школа №43

РЕФЕРАТ

по математике

на тему: «Понятие интегрирования и его применение»

подготовила: учитель математики

Павич Н.Л.

Всякий раз, когда в математике рассматривается какая-либо операция, возникает вопрос об операции, к ней обратной. Так, наряду с операцией сложения рассматривается обратная к ней операция вычитания. Наряду с операцией умножения рассматривае5тся обратная к ней операция деления, наряду с операцией возведения в степень рассматривается обратная к ней операция извлечения корня. При рассмотрении обратной операции возникает два основных вопроса: ее осуществимость и ее единственность. Так, если рассматривать только действительные числа, то извлечение квадратного корня не всегда возможно. Нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Точно также извлечение квадратного корня не является операцией однозначной, так как при извлечении квадратного корня из положительного числа мы получаем два его значения: положительное и отрицательное. И когда мы познакомились с операцией дифференцирования, возникает вопрос об операции, обратной к ней, которая называется операцией интегрирования.
Для операции интегрирования необходимо решить два вопроса: вопрос об осуществимости операции интегрирования и вопрос об единственности операции интегрирования. Перейдем к точным математическим формулировкам. Если задана функция f
(
x
)
то функция h
(
x
)
, заданная для тех же значений аргумента, что и f
(
x
)
, и удовлетворяющая условию h
/
(
x
)=
f
(
x
),
называется интегралом
функции f
(
x
)
или первообразной
для функции f
(
x
).
Переход от заданной функции f
(
x
)
к функции h
(
x
)
, удовлетворяющей уравнению h
/
(
x
)=
f
(
x
),
является операцией интегрирования.

О происхождении терминов и обозначений.
История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре
той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.
Латинское слово quadratura переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античное время (и позднее, вплоть до XVII столетия) еще не были достаточно развиты привычные для нас представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу».

Символ интеграла ∫ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл
придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского ihtegro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать
. Возможно, происхождение термина интеграл
иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление
, которое ввел И. Бернулли.

Другие известные нам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция
заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный».

В современной литературе множество всех первообразных для функции f
(
x
)
называется также неопределенным интегралом.
Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А современную запись интеграла с указанием границ интегрирования называют определенным интегралом
(обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Из истории интегрального исчисления.
Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур
(т.е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур
(т.е. вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания
, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 – ок. 355 до н.э.). С поvмощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. С этой модификацией мы знакомы: вывод формулы площади круга, предложенная в геометрии, основан на идеях Архимеда. Вспомним основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа π
, нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т.д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал что объем этого шара равен 2/3 объема цилиндра).

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления.( Добавим, что практически и первые теоремы были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математически XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод –метод неделимых,