Реферат на тему
«Геометрические преобразования»
ученика 11 класса “Б” школы №192
Печёнкина Николая
Руководитель:
Гладкова Елена Борисовна
Москва, 2006 г.
Введение.
Геометрические преобразования являются достаточно поздним разделом математики. Первые геометрические преобразования стали рассматриваться в XVII веке, а проективные преобразования появились лишь в начале XIX века.
В алгебре рассматриваются различные функции. Функция f каждому числу х из области определения функции ставит в соответствие некоторое число f(x) – значение функции f в точке х. В геометрии рассматриваются функции, у которых другие области определения и множества значений. Они каждой точке ставят в соответствие точку. Эти функции называются геометрическими преобразованиями.
Геометрические преобразования имеют большое значение в геометрии. С помощью геометрических преобразований определяются такие важные геометрические понятия, как равенство и подобие фигур. Благодаря геометрическим преобразованиям, многие разрозненные факты геометрии укладываются в стройную теорию.
В реферате, в основном, речь пойдёт о преобразованиях пространства. Будут рассмотрены все движения, подобия, круговые и аффинные преобразования пространства, а также аффинные и проективные преобразования плоскости. Для каждого преобразования будут рассмотрены его свойства и примеры применения к решению геометрических задач.
Для начала обратимся к некоторым основным понятиям, которые будут необходимы нам для работы с преобразованиями. Остановимся на двух терминах: расстояние и преобразование. Итак, что мы будем понимать под этими словами:
Определение.
Расстоянием
между двумя точками будем называть длину отрезка с концами в этих точках.
Определение.
Преобразованием
множества будем называть взаимно однозначное отображение этого множества на себя.
Теперь перейдём к рассмотрению отдельных видов геометрических преобразований.
Часть
I. Движения пространства.
1. Общие свойства движений.
Определение.
Преобразование пространства называется движением
, если оно сохраняет расстояния между точками.
Свойства движений.
Преобразование, обратное к движению, – движение.
Композиция движений – движение.
При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок, плоскость – в плоскость, полуплоскость – в полуплоскость.
Образом плоского угла при движении является плоский угол той же величины.
Движение сохраняет величину угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями.
Движение сохраняет параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей.
Доказательства свойств.
1 и 2. Следуют из определения движения.
Пусть точки А, Х и В лежат на одной прямой, причём точка Х лежит между А и В. Тогда АХ+ХВ=АВ. Пусть точки А´, Х´, В´ – образы точек А, Х, В при движении. Тогда А´Х´+Х´В´=А´В´ (из определения движения). А отсюда следует, что точки A´, X´, B´ лежат на одной прямой, причём Х´ лежит между А´ и В´. Из доказанного утверждения сразу следует, что при движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок.
Для плоскости доказательство можно провести так. Пусть a, b – две пересекающиеся прямые нашей плоскости α, a´, b´ – их образы. Очевидно, a´ и b´ пересекаются. Пусть α´ – плоскость, содержащая прямые a´, b´. Докажем, что α´ – образ плоскости α. Пусть М – произвольная точка плоскости α, не лежащая на прямых a и b. Проведём через M прямую c, пересекающую прямые a и b в различных точках. Образом этой прямой является прямая с´, пересекающая прямые a´, b´ в различных точках. Значит, и М´, образ точки М, лежит в плоскости α´. Итак, образ любой точки плоскости α лежит в плоскости α´. Аналогично доказывается, что прообраз любой точки плоскости α´ лежит в плоскости α. Отсюда α´ – образ плоскости α.
Теперь уже несложно доказать утверждение и для полуплоскости. Надо лишь дополнить полуплоскость до плоскости, рассмотреть прямую а, ограничивающую полуплоскость, и её образ а´, а затем доказать от противного, что образы любых двух точек полуплоскости лежат по одну сторону от а´.
Следует из свойства 3.
Следует из свойства 4 и определения угла между прямыми (прямой и плоскостью, двумя плоскостями) в пространстве.
Предположим противное, т.е. пусть образы наших параллельных прямых (прямой и плоскости, плоскостей) пересекаются (в случае параллельных прямых ещё надо показать, что их образы не могут быть скрещивающимися прямыми, но это сразу следует из того, что плоскость, содержащая эти прямые, перейдёт в плоскость). Тогда рассмотрим их общую точку. У неё будет два прообраза, что невозможно по определению преобразования.
Определение.
Фигура Ф называется равной
фигуре Ф´, если существует движение, переводящее Ф в Ф´.
2. Множество неподвижных точек движений.
Определение.
Неподвижной точкой (прямой, плоскостью)
преобразования называется такая точка (прямая, плоскость) пространства, которая при этом преобразовании переходит в себя.
Теорема 2.1.
Если при движении неподвижны две точки А и В, то неподвижны все точки прямой АВ.
Доказательство.
Пусть Х произвольная точка прямой АВ, отличная от А и В. Если X→Х´ и Х≠X´, то Х´ лежит на АВ и из определения движения следует, что А – середина ХХ´ и В – середина ХХ´, чего не может быть. Значит, Х переходит при этом движении в себя. Отсюда, все точки прямой АВ неподвижны.
Теорема 2.2.
Если при движении неподвижны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, то неподвижны все точки плоскости (АВС).
Доказательство.
По теореме 2.1. неподвижны все точки прямых АВ, АС и ВС. Теперь, пусть Х – произвольная точка плоскости (АВС), не принадлежащая прямым АВ, АС и ВС. Пусть М – произвольная точка внутри ∆АВС (например, точка пересечения медиан). Прямая МХ пересекает стороны нашего треугольника в некоторых точках K и N, которые являются неподвижными. Тогда по теореме 2.1. неподвижны все точки прямой KN, в том числе и точка Х. Отсюда, все точки плоскости (АВС) являются неподвижными.
Теорема 2.3.
Если при движении неподвижны четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то неподвижны все точки пространства.
Доказательство.
Теорема выводится из теоремы 2.2. так же, как и теорема 2.2. выводится из теоремы 2.1.
Следствие.
Множеством неподвижных точек движения пространства является либо пустое множество, либо точка, либо прямая, либо плоскость, либо всё пространство.
3. Виды движений.
3.1. Тождественное преобразование.
Определение.
Тождественным преобразованием
Е пространства называется преобразование, при котором каждая точка пространства переходит в себя.
Очевидно, тождественное преобразование является движением.
3.2. Параллельный перенос.
Определение.
Пусть в пространстве задан вектор . Параллельным переносом
пространства на вектор называется преобразование, при котором каждая точка М отображается в такую точку М´, что .
Теорема 3.2.
Параллельный перенос – движение.
Доказательство.
Пусть А´, В´ – образы точек А, В при параллельном переносе на вектор . Достаточно показать, что АВ=А´В´, что следует из равенства:
.
Свойство переноса.
Параллельный перенос переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).
Доказательство.
При доказательстве теоремы 3.2, мы доказали, что при параллельном переносе сохраняются вектора. Значит, сохраняются направляющие вектора прямых и векторы нормали плоскостей. Отсюда и следует наше утверждение.
3.3 Поворот вокруг оси, симметрия относительно прямой.
Определение.
Поворотом
пространства около оси ℓ на заданный угол φ называется такое преобразование пространства, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой ℓ, проводится поворот на угол φ вокруг точки её пересечения с прямой ℓ.
Теорема 3.3.1.
Поворот вокруг оси – движение.
Доказательство.
Пусть А, В – произвольные точки пространства, А´, В´ – их образы при повороте вокруг оси. Нам достаточно показать, что АВ=А´В´. Проведём через точки А и В соответственно плоскости α и β, перпендикулярные прямой ℓ. Если α и β совпадают, то равенство АВ=А´В´ следует из аналогичной плоской теоремы. Если нет, то опустим перпендикуляр АС из точки А на плоскость β (. Пусть С´ – образ точки С при нашем повороте. По определению поворота точка А´ лежит в плоскости α, точки В´, С´ – лежат в плоскости β; СВ=С´В´ по аналогичной теореме на плоскости. Кроме того, как легко проверить, АСС´А´ – прямоугольник. Отсюда, имеем равные прямоугольные треугольники АСВ и А´С´В´ (в случае, если В совпадает с С, нам хватит и того, что АСС´А´ – прямоугольник). Значит, равны и их гипотенузы АВ=А´В´.
Определение.
Симметрией
пространства относительно прямой ℓ (осевой симметрией
) называется преобразование, которое каждую точку прямой ℓ отображает в себя, а любую другую точку М пространства отображает на такую точку М´, что прямая ℓ является серединным перпендикуляром к отрезку ММ´. Прямая ℓ называется осью симметрии
.
Очевидно, осевая симметрия является частным случаем поворота вокруг оси (вокруг той же прямой на угол 2πk+π, ). Из этого в частности следует, что осевая симметрия – движение.
3.4. Центральная симметрия.
Определение.
Симметрией
относительно точки О (центральной симметрией
) пространства называется преобразование пространства, которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображает на такую точку М´, что точка О является серединой отрезка ММ´. Точка О называется центром симметрии
.
Теорема 3.4.
Центральная симметрия – движение.
Доказательство.
Пусть А, В – две произвольные точки, А´, В´ – их образы, О – центр симметрии. Тогда .
Свойство центральной симметрии.
Центральная симметрия переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).
Доказательство.
При доказательстве теоремы 3.4, мы доказали, что при параллельном переносе вектора меняются на противоположные. Значит, у направляющих векторов прямых и векторов нормали плоскостей при центральной симметрии лишь меняются направления. Отсюда и следует наше утверждение.
3.5. Симметрия относительно плоскости.
Определение.
Пусть в пространстве задана плоскость α. Преобразование пространства, при котором каждая точка плоскости α переходит в себя, а произвольная точка – в такую точку М´, что плоскость α перпендикулярна ММ´ и делит его пополам, называется (зеркальной
) симметрией
относительно плоскости α. Плоскость α называется плоскостью симметрии
.
Теорема 3.5.1.
Зеркальная симметрия – движение.
Доказательство.
Пусть А, В – произвольные точки пространства, А´, В´ – их образы при зеркальной симметрии относительно плоскости α. Достаточно показать, что АВ=А´В´. Рассмотрим плоскость β, перпендикулярную плоскости α и проходящую через точки А, В. Пусть . Тогда А´, В´ – образы точек А, В при симметрии относительно прямой ℓ плоскости β. Значит, АВ=А´В´.
Свойство зеркальной симметрии.
При зеркальной симметрии образ прямой (плоскости), не лежащей в плоскости симметрии, параллелен прообразу или пересекается с ним на плоскости симметрии.
Доказательство.
Будем пользоваться тем, что точки плоскости симметрии неподвижны. Если наша прямая (плоскость) пересекает плоскость симметрии в некоторой точке (по некоторой прямой), то и её образ будет проходить через эту точку (прямую). Значит, образ с прообразом пересекаются в этой точке (по этой прямой).
Осталось доказать, что если прямая (плоскость) параллельна плоскости симметрии, то её образ будет параллелен прообразу. Вначале докажем для прямой. Рассмотрим плоскость, перпендикулярную плоскости симметрии и содержащую нашу прямую. Образ нашей прямой лежит в этой плоскости. Значит, образ с прообразом параллельны или пересекаются. Второе невозможно, т.к. образ и прообраз лежат в разных полупространствах относительно плоскости симметрии. Доказательство для плоскости ещё проще. Достаточно заметить, что образ и прообраз нашей плоскости лежат в разных полупространствах относительно плоскости симметрии и не могут пересекаться.
3.6. Переносная симметрия, поворотная симметрия, винтовое движение.
Определение.
Переносной симметрией
называется композиция зеркальной симметрии и параллельного переноса , где :
Определение.
Поворотной симметрией
называется композиция зеркальной симметрии и поворота вокруг оси , где .
Определение.
Винтовым движением
называется композиция поворота вокруг оси и параллельного переноса , где .
Легко заметить, что во всех трёх определениях, композиция не зависит от порядка выполнения движений.
Из свойства 2 движений следует
Теорема 3.6:
Переносная симметрия, поворотная симметрия, винтовое движение – движения.
4. Неподвижные точки различных видов движений пространства.
Найдём множества неподвижных точек различных видов движений:
Тождественное преобразование.
Множеством неподвижных точек тождественного преобразования является всё пространство.
Параллельный перенос.
Если , то - тождественное преобразование и неподвижными будут все точки пространства. Если , то у нет неподвижных точек.
Поворот вокруг оси, осевая симметрия.
Если угол поворота равен 2πk (), то он является тождественным преобразованием. Тогда неподвижны все точки. Если угол поворота не равен 2πk () (в частности, если он является осевой симметрией), то множеством неподвижных точек является ось симметрии.
Центральная симметрия.
Неподвижной точкой является только центр симметрии.
Зеркальная симметрия.
Неподвижными точками являются точки плоскости симметрии.
Переносная симметрия, поворотная симметрия, винтовое движение.
У переносной симметрии неподвижных точек нет
У винтового движения неподвижных точек нет.
У поворотной симметрии единственная неподвижная точка .
Наглядно вывод можно представить в виде следующей таблицы (для всех преобразований мы не берём в расчёт их частный случай, когда они являются тождественными):
Впоследствии мы докажем, что движения пространства ограничиваются перечисленными в таблице. Поэтому наша таблица полная.
Теперь докажем несколько теорем, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Теорема 4.1.
(признак поворота)
Если множеством неподвижных точек движения является прямая ℓ, то это движение – поворот около прямой ℓ.
Доказательство.
Из аналогичной теоремы на плоскости следует, что в каждой плоскости, перпендикулярной ℓ, происходит поворот. Все эти повороты происходят на один и тот же угол, т.к. каждая плоскость, содержащая ℓ, как легко показать, при нашем движении переходит в плоскость, также содержащую ℓ. Значит, наше движение – поворот около ℓ.
Теорема 4.2.
(признак зеркальной симметрии)
Если множеством неподвижных точек движения является плоскость α, то это движение – симметрия относительно плоскости α.
Доказательство.
Пусть α – плоскость неподвижных точек, Х – произвольная точка пространства, не лежащая в α. Опустим перпендикуляр ℓ из Х на α. Прямая ℓ при нашем движении переходит в себя, так как она остаётся перпендикулярной плоскости α и проходит через ту же точку (назовём её О) плоскости α (потому что эта точка неподвижна). Тогда Х´, образ точки Х при нашем движении, лежит на прямой ℓ. При этом ОХ´=ОХ, т.е. Х´ симметрична Х относительно плоскости α. Таким образом, наше движение – симметрия относительно плоскости α.
5. Теорема о задании движения.
Теорема 5.1.
(теорема о задании движения)
Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ с соответственно равными рёбрами, то существует одно и только одно движение пространства, отображающее точки A, B, C, D соответственно на точки A´, B´, C´, D´.
Доказательство.
I.
Существование.
Если А совпадает с А´, В – с B´, С – с C´, D – с D´, то задано просто тождественное преобразование. Если нет, то положим для определённости, что А не совпадает с А´. Рассмотрим плоскость α симметрии точек А и А´. Пусть симметрия Sα
переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B1
C1
D1
.
Теперь, если В1
совпала с В´, С1
– с С´, D1
– с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки В´ и В1
не совпали. Рассмотрим плоскость β симметрии точек B1
и B´. Точка A´ – равноудалена от точек В1
и В´, следовательно лежит на плоскости β. Пусть симметрия Sβ
переводит тетраэдр A´B1
C1
D1
в тетраэдр A´B´C2
D2
.
Теперь, если С2
совпала с С´, а D2
– с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки С´ и С2
не совпали. Рассмотрим плоскость γ симметрии точек С2
и С´. Точки А´, В´ равноудалены от точек С2
и С´, поэтому лежат в плоскости γ. Пусть симметрия Sγ
переводит тетраэдр A´B´C2
D2
в тетраэдр A´B´C´D3
.
Теперь, если D3
совпала с D´, то доказательство завершено. Если нет, то рассмотрим плоскость δ симметрии точек D3
и D´. Точки А´, В´, С´ равноудалены от точек D3
и D´, поэтому лежат в плоскости δ. Значит, симметрия Sδ
переводит тетраэдр A´B´C´D3
в тетраэдр A´B´C´D´.
Итак, композиция нужного числа приведённых зеркальных симметрий переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B´C´D´. А это преобразование является движением (свойство 2 движений).
II.
Единственность.
Пусть существуют 2 движения f и g, переводящие А в А´, В в В´, С в С´, D в D´. Тогда движение является тождественным преобразованием, т.к. оставляет точки А, B, C, D неподвижными. Значит, f=g.
При доказательстве теоремы 5.1 (существование), фактически была доказана и
Теорема 5.2.
Любое движение пространства есть композиция не более четырёх зеркальных симметрий.
6. Движения первого и второго рода.
Определение.
Пусть (, , ) – упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Будем смотреть на трёхгранный угол ОАВС из того полупространства относительно плоскости (АВС), которое не содержит точку О. Теперь, если переход от точки А к точке В, а затем, от В к С совершается против часовой стрелки, то тройка (, , ) называется положительно ориентированной (правой)
. В противном случае тройка (, , ) называется отрицательно ориентированной (левой)
.
Теорема 6.1.
Зеркальная симметрия меняет ориентацию любой упорядоченной тройки некомпланарных векторов.
Доказательство.
В этом можно убедиться непосредственной проверкой.
Определение.
Если для упорядоченной тройки некомпланарных векторов движение сохраняет (меняет) её ориентацию, то такое движение называется движением первого (второго) рода
.
Теорема 6.2.
(корректность определения)
Если при движении некоторая упорядоченная тройка некомпланарных векторов сохраняет (меняет) ориентацию, то любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов при этом движении сохраняет (меняет) ориентацию.
Доказательство.
Представим наше движение в виде композиции зеркальных симметрий (по теореме 5.2 это можно сделать). Пусть наше движение – композиция k зеркальных симметрий, . Тогда, выполняя симметрии поочерёдно, по теореме 6.1 получим, что наше движение меняет ориентацию тройки векторов k раз. Таким образом, движение меняет ориентацию тройки векторов, если k нечётно, и сохраняет, если k чётно. Итак, мы попутно получили, что при нечётном k наше движение II рода, при чётном – I рода, что фактически и доказывает теоремы 6.3 и 6.4:
Теорема 6.3.
Любое движение I рода есть композиция двух или четырёх зеркальных симметрий.
Теорема 6.4.
Любое движение II рода есть зеркальная симметрия или композиция трёх зеркальных симметрий.
Теорема 6.5.
(теорема Даламбера)
Движение I рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, представимо композицией двух зеркальных симметрий.
Доказательство.
Вспомним доказательство теоремы 5.1 (существование). Пусть одна из точек А, В, С, D и есть неподвижная точка пространства. Тогда наше движение представится композицией не более трёх зеркальных симметрий. Но наше движение I рода. Значит, по теореме 6.3 оно является композицией двух зеркальных симметрий.
7. Классификация движений пространства.
Пользуясь доказанными теоремами, можно классифицировать все движения пространства.
Мы хотим доказать общую теорему:
Теорема 7.0.
Любое движение пространства есть параллельный перенос, винтовое движение, поворот вокруг оси, зеркальная симметрия, поворотная симметрия или переносная симметрия.
Для этого удобно разбить все движения по классам. И для каждого класса определить все движения, входящие в этот класс. Для начала разобьём все движения на движения I и II рода и докажем две теоремы, из которых сразу следует теорема 7.0:
Теорема 7.1.
Любое движение I рода есть параллельный перенос, винтовое движение или поворот вокруг оси.
Теорема 7.2.
Любое движение II рода – это зеркальная симметрия, поворотная симметрия или переносная симметрия.
Для доказательства этих теорем удобно разбить движения на классы по количеству неподвижных точек. Теперь мы получим четыре теоремы, каждая из которых в отдельности доказывается несложно:
Теорема 7.1.а.
Любое движение I рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является поворотом вокруг оси.
Теорема 7.1.б.
Любое движение I рода, не имеющее неподвижных точек, есть параллельный перенос или винтовое движение.
Теорема 7.2.а.
Любое движение II рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является зеркальной симметрией или поворотной симметрией.
Теорема 7.2.б.
Любое движение II рода, не имеющее неподвижных точек, есть переносная симметрия.
Эти теоремы фактически доказывают теоремы 7.1 и 7.2.
Будем доказывать их не по порядку, т.к. при доказательстве некоторых теорем удобно использовать другие.
Пусть f – данное движение.
Доказательство теоремы 7.1.а.
Утверждение – простое следствие теоремы 6.5 (теоремы Даламбера), согласно которой f можно представить композицией двух зеркальных симметрий. Если плоскости симметрии параллельны, то f – параллельный перенос, что невозможно, т.к. у параллельного переноса нет неподвижных точек. Значит, плоскости симметрии пересекаются по некоторой прямой ℓ. Тогда, как легко показать, f – поворот вокруг оси ℓ на удвоенный ориентированный угол между плоскостями симметрии.
Доказательство теоремы 7.2.а.
Возможны два случая: f – зеркальная симметрия или f – композиция трёх зеркальных симметрий (теорема 6.4). В первом случае и доказывать нечего. Во втором случае рассмотрим неподвижную точку О нашего преобразования f . Теперь рассмотрим движение . У движения g точка О неподвижная. С другой стороны, g – движение I рода (т.к. меняет ориентацию). Отсюда (теорема 7.1.а) g – поворот вокруг оси, содержащей точку О. Но , т.е. f – поворотная симметрия.
Доказательство теоремы 7.2.б.
Пусть А´ – образ некоторой точки А при движении f, α – плоскость симметрии точек А и А´. Тогда движение первого рода имеет неподвижную точку А´. По теореме 7.1.а движение g – поворот вокруг оси. Пусть . Тогда , откуда , причём ℓ||α, иначе общая точка ℓ и α будет неподвижной точкой движения f. Как мы уже говорили, композицией двух зеркальных симметрий (если плоскости симметрий не параллельны) будет поворот вокруг общей прямой плоскостей симметрий на удвоенный ориентированный угол между плоскостями симметрий. Отсюда понятно, что поворот вокруг оси можно представить композицией двух зеркальных симметрий. Плоскости симметрий должны обе содержать ось поворота, причём одну из этих плоскостей в остальном можно выбрать произвольно. Представим , выбрав плоскость β перпендикулярной плоскости α. Тогда . Заметим, что – осевая симметрия Su
, где . Причём u||γ, т.к. u параллельна прямой ℓ, лежащей в плоскости γ. Su
можно представить композицией двух зеркальных симметрий , где . При этом получится π||γ. Тогда , причём – вектор, перпендикулярный плоскостям γ и π, т.е. ||σ. Таким образом, – переносная симметрия.
Доказательство теоремы 7.1.б.
Опять возьмём произвольную точку А, её образ А´ при движении f и плоскость ω симметрии точек А и А´. Тогда движение второго рода имеет неподвижную точку А. По теореме 7.2.а движение g – зеркальная симметрия или поворотная симметрия.
Если g – зеркальная симметрия, то f является композицией двух зеркальных симметрий. Кроме того f не имеет неподвижных точек, т.е. f – параллельный перенос.
Пусть теперь () – поворотная симметрия. Представим (), причём выберем . Тогда . Т.к. , , и – осевые симметрии. Итак, – композиция двух осевых симметрий.
Если a и b пересекаются, то у f есть неподвижная точка, что невозможно.
Если a и b параллельны, то f, как легко убедиться, – параллельный перенос.
Если а и b скрещиваются, то рассмотрим их общий перпендикуляр h и прямую p такую, что p проходит через точку пересечения h и a и p||b. Тогда, как легко убедиться, – поворот вокруг прямой h на некоторый угол, а – параллельный перенос на некоторый вектор . Поэтому – винтовое движение.
Пользуясь, полученными результатами получаем таблицу:
Часть
II. Подобия пространства.
Определение.
Подобием
называется такое преобразование пространства, при котором для любых точек пространства X, Y и их образов X´, Y´ выполняется соотношение , где k – некоторое фиксированное положительное число (называемое коэффициентом подобия
).
Определение.
Фигура Ф называется подобной
фигуре Ф´, если существует подобие, переводящее Ф в Ф´.
1. Гомотетия пространства.
Вначале рассмотрим важный частный случай подобия – гомотетию.
Определение.
Гомотетией
с центром О и коэффициентом называется преобразование пространства, при котором образом каждой точки Х является точка Х´ такая, что .
Свойства гомотетии.
Преобразование, обратное гомотетии , – гомотетия .
Композицией гомотетий и является гомотетия .
Композицией гомотетий и будет параллельный перенос, если , и гомотетия с центром на прямой АВ и коэффициентом , если .
Гомотетия переводит прямую (плоскость), не проходящую через центр гомотетии, в параллельную ей прямую (плоскость); прямую (плоскость), проходящую через центр гомотетии, – в себя.
Гомотетия сохраняет величину угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями.
Доказательства свойств.
1 и 2. Следуют из определения гомотетии.
3. Доказывается аналогично соответствующей теореме на плоскости. Действительно, если мы рассмотрим произвольную точку Х пространства, нам будет достаточно доказать нашу теорему для плоскости (АХВ).
4. Доказывается от противного.
Следует из свойства 1.
2. Свойства подобия.
Теорема 2.1.
Подобие пространства можно представить композицией гомотетии и движения f:
или
Доказательство.
Произведём гомотетию с центром в произвольной точке. Рассмотрим преобразование f такое, что (существование такого преобразования следует из определения преобразования). Преобразование f будет движением по определению движения.
Заметим, что, выбрав за f движение , мы сможем получить представление нашего подобия и в таком виде .
Свойства подобия.
При подобии прямая отображается на прямую, луч – на луч, отрезок – на отрезок, плоскость – на плоскость, полуплоскость – на полуплоскость.
Подобие сохраняет величину угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями.
Подобие сохраняет отношение отрезков.
Если тело Т´ – образ тела Т при подобии , то V(T´)=k3
∙V(T).
Доказательства свойств.
1 и 2. Следствия из теоремы 2.1.
3. Следует из определения подобия.
4. Для куба теорема, очевидно, верна. Для тела, состоящего из кубов, естественно, тоже.
Произвольный многогранник М можно наложить на кубическую решётку. Будем измельчать эту решётку. При стремлении стороны одного кубика нашей решётки к нулю объёмы двух тел: тела I, состоящего из кубиков лежащих полностью внутри М, и тела S, состоящего из кубиков, имеющих общие точки с М, – стремятся к объёму многогранника М (это следует из того, что для каждой грани нашего многогранника М к нулю будет стремиться объём кубиков, пересекающих эту грань). При этом для образа М´ многогранника М при нашем подобии объёмы тел I´, S´ (образов тел I, S) стремятся к объёму многогранника М´. Для тел I и S наша теорема верна, значит, она верна и для многогранника М.
Объём произвольного тела определяется через объёмы соответствующих многогранников, поэтому теорема верна и для произвольного тела.
Теорема 2.2.
(о задании подобия пространства)
Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ такие, что , то существует ровно одно подобие пространства, при котором А→А´, В→В´, С→С´, D→D´.
Доказательство.
То, что такое подобие существует, следует из теоремы 2.1 и теоремы о задании движения пространства (часть I, теорема 5.1). Пусть таких преобразований два: P и Р´. Тогда преобразование – движение, имеющие неподвижные точки A, B, C, D, т.е. f – тождественное преобразование. Отсюда Р=Р´.
3. Подобия первого и второго рода.
Аналогично движениям I и II рода определяются подобия I и II рода:
Определение.
Если для упорядоченной тройки некомпланарных векторов подобие сохраняет (меняет) её ориентацию, то такое подобие называется подобием первого (второго) рода
.
Корректность этого определения следует из теоремы 2.1. и следующей теоремы 3.1:
Теорема 3.1.
Гомотетия является подобием I рода при k>0 и подобием II рода при k<0.
Доказательство.
В этом можно убедиться непосредственной проверкой.
Теорема 3.2.
Подобие при k≠1 можно представить композицией гомотетии и поворота вокруг оси :
Доказательство.
В теореме 2.1. выберем род гомотетии совпадающим с родом подобия. Тогда f – движение I рода, т.е. (см. часть I, теорема 6.5.) f – перенос, поворот или винтовое движение (композиция переноса и поворота). Но, как легко проверить, композиция переноса и гомотетии есть гомотетия. Таким образом, можно гомотетию выбрать так, что f – поворот, ч.т.д.
Теорема 3.3.
Подобие, отличное от движения, имеет ровно одну неподвижную точку. Эта точка называется центром подобия
.
Доказательство.
Зададим подобие композицией (теорема 3.2.). Проведём плоскость α такую, что , . Как легко видеть, в плоскости α задано подобие плоскости. Значит, в этой плоскости есть неподвижная точка (по аналогичной теореме для плоскости).
Теорема 3.4.
Подобие при k≠1 можно представить композицией гомотетии и поворота вокруг оси , где . Указанная композиция называется гомотетическим поворотом
.
Доказательство.
В теореме 3.2. выберем за центр гомотетии центр подобия. Тогда .
Теорема 3.5.
Подобие пространства является движением, гомотетией или гомотетическим поворотом.
Доказательство.
Следует из теоремы 3.4.
Часть
III. Аффинные преобразования.
1. Общие свойства аффинных преобразований плоскости.
Определение.
Аффинным
преобразованием плоскости называется преобразование плоскости, переводящее каждую прямую в прямую.
Свойство.
При аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.
Доказательство.
Если бы образы параллельных прямых имели общую точку, то у этой точки было бы два прообраза, что противоречит определению преобразования.
Теорема 1.1.
(о задании аффинного преобразования плоскости)
Для любых данных т
Полностью эту теорему нам доказать не удастся. Однако покажем, как можно рассуждать, пытаясь её доказать.
Построим две решётки параллелограммов: одну – на отрезках ВС и СА (т.е. ВС и СА – стороны одного из параллелограммов решётки), другую – на отрезках В´С´ и С´А´. Если аффинное преобразование переводит А в А´, В в В´, С в С´, то оно переводит одну построенную решётку в другую (по свойству аффинного преобразования). Центры параллелограммов одной решётки перейдут в центры соответствующих параллелограммов другой (т.к. центры параллелограммов являются точкой пересечения их диагоналей). Через эти центры можно провести прямые, параллельные прямым наших решёток. Получим более мелкие решётки параллелограммов, одна из которых переходит при нашем аффинном преобразовании в другую. Для полученных решёток таким же образом можно получить ещё более мелкие и т. д. Каждая точка М определяет последовательность вложенных параллелограммов первой решётки с неограниченно уменьшающимися сторонами, содержащих М. Этой последовательности параллелограммов соответствует последовательность образов этих параллелограммов второй решётки. Эта последовательность имеет единственную общую точку. Эта точка и будет образом точки М (именно это место и сложно доказать строго). Легко проверить, что построенное преобразование будет аффинным.
Теорема 1.2.
Аффинное преобразование можно представить композицией параллельного проектирования и подобия.
Доказательство.
Выберем три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, и их образы А´, В´, С´ при аффинном преобразовании. Очевидно, точки А´, В´, С´ не лежат на одной прямой. По известной теореме треугольник А´В´С´ можно получить из треугольника АВС композицией параллельного проектирования и подобия. Такое преобразование, очевидно, будет аффинным, а по теореме 1.1 существует лишь одно аффинное преобразование, переводящее треугольник АВС в треугольник А´В´С´. Поэтому нами получено искомое представление аффинного преобразования композицией параллельного проектирования и подобия.
Теперь, представив аффинное преобразование композицией параллельного проектирования и подобия, из свойств параллельного проектирования можно получить следствия
(инварианты аффинного преобразования)
:
Аффинные преобразования сохраняют отношения длин параллельных отрезков.
Отношение площади фигуры к площади её образа постоянно для всех фигур.
Также отметим ещё одно свойство
аффинного преобразования, которое сразу следует из теоремы 1.1: преобразование, обратное аффинному, является аффинным. Действительно, аффинное преобразование (что фактически доказано в теореме 1.1) переводит одну косоугольную систему координат в другую, координаты точки и её образа одинаковы в одной системе координат и в её образе. Обратное преобразование, естественно, тоже будет аффинным, т.к. теперь понятно, что прообразом любой прямой является прямая.
Любые два треугольника аффинно эквивалентны, т.е. любое аффинное утверждение достаточно доказать для треугольника специального вида, например, правильного.
Задача 1.
Точки M, N, P расположены на сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС. Точки M´, N´, P´ симметричны точкам M, N, P относительно сторон АВ, ВС, АС. Доказать, что площади треугольников MNP и M´N´P´ равны.
Решение.
Для правильного треугольника утверждение очевидно.
Точно так же любую трапецию можно аффинным преобразованием перевести в равнобедренную, т.е. любое аффинное утверждение достаточно доказать для равнобедренной трапеции.
Задача 2.
В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС через точку В проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диагональ АС в точке Р, а через точку С – прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая диагональ BD в точке Q. Доказать, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.
Решение.
Для равнобедренной трапеции утверждение очевидно.
2. Сжатие к прямой.
Определение.
Сжатием к прямой
ℓ с коэффициентом k () называется преобразование, переводящее произвольную точку М в такую точку М´, что и , где .
Теорема 2.1.
Сжатие к прямой – аффинное преобразование.
Доказательство.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что прямая переходит в прямую. Можно даже заметить, что сжатие к прямой – частный случай параллельного проектирования (когда направление проектирования перпендикулярно линии пересечения плоскостей).
Теорема 2.2.
Для любого аффинного преобразования существует квадратная решётка, которая при этом преобразовании переходит в прямоугольную решётку.
Доказательство.
Возьмём произвольную квадратную решётку и рассмотрим один из её квадратиков ОАВС. Он при нашем преобразовании перейдёт в параллелограмм О´А´В´С´. Если О´А´В´С´ – прямоугольник, то наше доказательство закончено. В противном случае положим для определённости, что угол А´О´В´ – острый. Будем поворачивать квадрат ОАВС и всю нашу решётку вокруг точки О. Когда квадрат ОАВС повернётся на (так что точка А перешла в точку В), точка А´ перейдёт в точку В´, а В´ в вершину параллелограмма, смежного с О´А´В´С´. Т.е. угол А´О´В´ станет тупым. По принципу непрерывности, в какой-то момент он был прямым. В этот момент квадрат ОАВС переходил в прямоугольник, а наша решётка – в прямоугольную решётку, ч.т.д.
Теорема 2.3.
Аффинное преобразование можно представить композицией сжатия к прямой и подобия.
Доказательство.
Следует из теоремы 2.2.
Теорема 2.4.
Аффинное преобразование, переводящее некоторую окружность в окружность, является подобием.
Доказательство.
Опишем около нашей окружности квадрат и повернём его так, чтобы он переходил при нашем преобразовании в прямоугольник (теорема 2.2.). Наша окружность перейдёт в окружность, вписанную в этот прямоугольник, поэтому этот прямоугольник является квадратом. Теперь мы можем указать квадратную решётку, переходящую при нашем преобразовании в квадратную решётку. Очевидно, наше преобразование – подобие.
3. Аффинные преобразования пространства.
Определение.
Аффинным
преобразованием пространства называется преобразование пространства, переводящее каждую плоскость в плоскость.
Свойства.
При аффинном преобразовании прямые переходят в прямые.
Аффинное преобразование пространства индуцирует аффинное отображение каждой плоскости на её образ.
При аффинном преобразовании параллельные плоскости (прямые) переходят в параллельные плоскости (прямые).
Доказательства свойств.
Следует из того, что прямая есть пересечение двух плоскостей, и из определения аффинного преобразования.
Следует из определения аффинного преобразования и свойства 1.
Для плоскостей доказывается от противного, для прямых – через свойство 2 и свойство аффинного преобразования плоскости.
Теорема 3.1.
(о задании аффинного преобразования пространства)
Для любых данных тетраэдров АВСD и А´В´С´D´ существует единственное аффинное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´.
Доказательство.
Доказывается аналогично теореме 1.1. (строятся решётки параллелепипедов).
Из доказательства теоремы 3.1 следует, что если у нас есть некоторая косоугольная система координат W, а W´ – её образ при аффинном преобразовании, то координаты произвольной точки пространства в системе координат W равны координатам её образа в системе координат W´.
Отсюда сразу вытекают ещё некоторые свойства
аффинного преобразования.
Преобразование, обратное аффинному, является аффинным.
Аффинные преобразования сохраняют отношения длин параллельных отрезков.
Теперь пусть в пространстве задана система координат (О, , , ) и аффинное преобразование f переводит О в О´, а базисные вектора в вектора , , соответственно. Найдём координаты x´, y´, z´ образа M´(x´,y´,z´) точки M(x,y,z) при преобразовании f.
Будем исходить из того, что точка М в системе координат (О, , , ) имеет такие же координаты, что и точка М´ в системе координат (О´, , , ). Отсюда
.
Поэтому имеем равенства (*):
Стоит ещё заметить, что , т.к. векторы , , линейно независимы.
Этот определитель называется определителем аффинного преобразования
.
Теорема 3.2.
Преобразование, заданное равенствами (*), при является аффинным.
Доказательство.
Достаточно проверить, что преобразование, обратное преобразованию(*), является аффинным (свойство 4). Возьмём произвольную плоскость Аx´+Вy´+Сz´+D=0, где А, В, С не равны одновременно нулю. Выполняя подстановки (*), получим уравнение её прообраза:
.
Остаётся лишь проверить, что в полученном уравнении коэффициенты при x, y, z одновременно не равны нулю. Это действительно так, т.к. иначе система
с неравным нулю определителем имела бы лишь нулевое решение: А=В=С=0, что неверно.
Теорема 3.3.
Для объёмов V и V´ соответственных при аффинном преобразовании тел имеет место зависимость .
Доказательство.
Пусть некомпланарные векторы , , образуют векторный базис пространства, и пусть в пространстве заданы векторы , и . Вычислив смешанное произведение этих векторов, получим:
.
Воспользуемся тем, что объём ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах как на рёбрах, равен смешанному произведению этих векторов:
,
где V0
– объём параллелепипеда, построенного на базисных векторах.
Аффинное преобразование не изменяет координаты соответственных векторов в соответственных базисах. Поэтому для объёма V´ образа параллелепипеда объёма V имеем:
,
где – объём параллелепипеда, построенного на векторах , как на рёбрах.
Отсюда получаем: . Далее , поэтому для неориентированных объёмов имеем . На все тела это равенство можно распространить аналогично доказательству свойства 4 подобий (часть II, §2).
Задача.
Вершина параллелепипеда соединена с центрами трёх не содержащих её граней. Найдите отношение объёма полученного тетраэдра к объёму данного параллелепипеда.
Решение.
Посчитаем данное отношение для куба и, переведя аффинным преобразованием куб в параллелепипед, воспользуемся тем, что аффинное преобразование сохраняет отношение объёмов. Для куба отношение легко считается. Оно равно 1:12.
Ответ:
1:12.
4. Родство пространства.
Определение.
Аффинное преобразование пространства, имеющее плоскость неподвижных точек, называется родственным преобразованием ρ
(родством
), а плоскость его неподвижных точек называется плоскостью родства
. Соответственные при родстве элементы называются родственными
.
Определение.
Направление прямых, соединяющих родственные точки, называется направлением родства
.
Свойства родства.
Родственные прямые (плоскости) пересекаются на плоскости родства или ей параллельны.
(Корректность определения направления родства)
Прямые, каждая из которых соединяет две родственные точки, параллельны.
Если направление родства непараллельно плоскости этого родства, то каждый отрезок, соединяющий две родственные точки, делится плоскостью родства в одном и том же отношении.
Всякая плоскость, параллельная направлению родства, неподвижна при этом родстве. В ней индуцируется родство плоскости (аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек, называющуюся осью родства), осью которого является прямая её пересечения с плоскостью данного родства пространства.
Доказательства свойств.
1. Доказательство аналогично доказательству свойства зеркальной симметрии (часть I, §3.5).
2. Пусть А, В – две различные точки; А´, В´ – их образы при родстве, α – плоскость родства. Пусть . Тогда (свойство аффинного преобразования), т.е. АА´||ВВ´, ч.т.д.
3 и 4. Следуют из доказательства свойства 2.
Определение.
Поверхность, представляемая уравнением , называется эллипсоидом
. Частным случаем эллипсоида является сфера.
Имеет место следующий факт, который мы доказывать не будем, однако, при доказательстве следующих теорем он нам понадобится:
Теорема 4.1.
Аффинное преобразование переводит эллипсоид в эллипсоид.
Теорема 4.2.
Произвольное аффинное преобразование пространства представимо композицией подобия и родства.
Доказательство.
Пусть аффинное преобразование f отображает сферу σ на эллипсоид σ´. Из теоремы 3.1 следует, что f может быть задано этими фигурами. Рассмотрим плоскость α´, содержащую центр эллипсоида и пересекающую его по некоторой окружности ω´ (существование такой плоскости легко доказать из соображений непрерывности). Пусть α – прообраз α´, – прообраз ω´, β – сфера, имеющая окружность ω´ своей диаметральной окружностью. Существует родство ρ, отображающее β на σ´, и существует подобие P, отображающее σ на β. Тогда – искомое представление.
Из доказательства предыдущей теоремы сразу следует теорема 4.3:
Теорема 4.3.
Аффинное преобразование, сохраняющее сферу, является подобием.
Часть
IV. Проективные преобразования.
1. Проективные преобразования плоскости.
Определение.
Проективная плоскость
–
обычная (евклидова) плоскость, дополненная бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой, называемыми также несобственными элементами
. При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, вся плоскость – одной несобственной прямой; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные – разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые плоскости, принадлежат несобственной прямой.
Определение.
Преобразование проективной плоскости, переводящее любую прямую в прямую, называется проективным
.
Следствие.
Проективное преобразование, сохраняющее бесконечно удалённую прямую является аффинным; любое аффинное преобразование является проективным, сохраняющим бесконечно удалённую прямую.
Определение.
Центральным проектированием
плоскости α на плоскость β с центром в точке О, не лежащей на этих плоскостях, называется отображение, которое любой точке А плоскости α ставит в соответствие точку А´ пересечения прямой ОА с плоскостью β.
При этом, если плоскости α и β не параллельны, то в плоскости α найдётся прямая ℓ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ, параллельна плоскости β. Будем считать, что ℓ при нашем проектировании переходит в бесконечно удалённую прямую плоскости β (при этом каждая точка B прямой ℓ переходит в ту точку бесконечно удалённой прямой, что дополняет прямые параллельные ОВ). В плоскости β найдётся прямая ℓ´ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ´, параллельна плоскости α. Будем считать ℓ´ образом бесконечно удалённой прямой плоскости α. Прямые ℓ и ℓ´ будем называть выделенными
.
Мы можем говорить, что задано просто преобразование проективной плоскости (если совместить плоскости α и β).
Из определения сразу вытекают свойства центральной проекции
:
Центральное проектирование – проективное преобразование.
Обратное к центральному проектированию преобразование – центральное проектирование с тем же центром.
Прямые, параллельные выделенным, переходят в параллельные.
Определение.
Пусть точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Двойным отношением
(АВ; СD) этих точек называется величина . Если одна из точек является бесконечно удалённой, то длины отрезков, концом которых является эта точка, можно сократить.
Теорема 1.1.
Центральная проекция сохраняет двойные отношения.
Доказательство.
Пусть О – центр проектирования, А, В, С, D – четыре точки, лежащие на одной прямой, A´, B´, C´, D´ – их образы.
Тогда .
Аналогично .
Поделив одно равенство на другое, получим .
Аналогично, вместо точки С рассматривая точку D, получим .
Отсюда , т.е. .
Чтобы доказательство было полным, осталось заметить, что все отрезки, площади и углы можно считать ориентированными.
Теорема 1.2.
Пусть даны четыре точки A, B, C, D плоскости π, не лежащие на одной прямой, и четыре точки M, N, P, Q плоскости π´, не лежащие на одной прямой. Тогда существует композиция центральной (параллельной) проекции и подобия, переводящая A в M, В в N, С в Р, D в Q.
Доказательство.
Будем для удобства говорить, что ABCD и MNPQ – четырёхугольники, хотя на самом деле это не обязательно (например, могут пересекаться отрезки АВ и CD). Из доказательства будет видно, что мы нигде не используем, что точки A, В, С, D и M, N, P, Q в указанном порядке образуют четырёхугольники.
I.
Если наши четырёхугольники – трапеции (АD||BC и MQ||NP), то доказательство совсем простое. Рассмотрим четырёхугольник A´B´C´D´, подобный четырёхугольнику MNPQ, такой, что AD=A´D´. Расположим плоскости π и π´ так, чтобы совпали точки А с А´ и D с D´. Теперь, если , то нужный нам результат даст центральная проекция с центром О (см. рис.), а если ВВ´||CC´, то нужный нам результат даст параллельная проекция с направлением ВВ´.
II.
Теперь докажем утверждение, если четырёхугольники произвольные. Пусть , . Отметим точки Х1
, Х2
, Z1
, Z2
на прямых АВ, CD, MN, PQ соответственно так, что
; ; ; .
Проведём теперь через точки A, B, C, D прямые АK, BL, CF, DG, параллельные X1
X2
(K, L лежат на DC; G, F – на АВ), а через точки N, M – прямые NT, MS, параллельные Y1
Y2
(T, S лежат на PQ). Переведём центральной (параллельной) проекцией f трапецию АВLK в трапецию А´В´L´K´ плоскости π´, подобную трапеции MNTS (это возможно по части I нашего доказательства). При этом из выбора точек Х1
, Х2
следует, что прямая Х1
Х2
– выделенная прямая плоскости π´. Отметим на прямой L´K´ точки С´, D´ такие, что трапеция ABCD подобна трапеции A´B´C´D´. Проведём прямые C´F´, D´G´, параллельные прямой B´L´ (F´, G´ лежат на А´В´), и отметим на прямой А´В´ точку Y1
´ такую, что , . На прямой C´D´ отметим точку Y2
´ такую, что Y1
´Y2
´||A´K´ (см. рис.). Из выбора точек Y1
´ и Y2
´ следует, что прямая Y1
´Y2
´ – выделенная прямая плоскости π´. При преобразовании f точка Е переходит в точку Е´ пересечения прямых A´B´ и L´K´. Точка С переходит в некоторую точку С0
´ прямой С´D´.
Докажем, что С0
совпадает с С´. Из того, что Х2
при преобразовании f переходит в бесконечно удалённую точку прямой C´D´, а Y2
´ - образ бесконечно удалённой точки прямой CD и центральная проекция сохраняет двойные отношения, следует, что , откуда . Теперь рассмотрим преобразование g, композицию центральной проекции и подобия, переводящее трапецию CDGF в трапецию C´D´G´F´. Для преобразования g аналогично можно показать, что . Отсюда будет следовать, что точки С0
и С´ совпадают. Аналогично можно показать, что D0
– образ точки D при преобразовании f – совпадает с D´. Итак, преобразование f переводит четырёхугольник ABCD в четырёхугольник A´B´C´D´, подобный четырёхугольнику MNPQ, что и требовалось.
Теорема 1.3.
Пусть даны четвёрки точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой: A, B, C, D и A´, B´, C´, D´. Тогда существует единственное проективное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´.
Существование
такого преобразования следует из теоремы 1.1.
Единственность
можно доказывать так же, как и единственность аффинного преобразования (теорема 1.1, часть III): рассматривать квадратную решётку, строить её образ, а затем измельчать. Обойти те трудности, с которыми мы столкнулись при доказательстве аффинной теоремы, нам опять не удастся.
Из теорем 1.1, 1.2, 1.3 сразу следуют некоторые важные утверждения:
Следствия.
Любое проективное преобразование является композицией центральной (параллельной) проекции и подобия.
Проективное преобразование сохраняет двойные отношения.
Задача 1.
Даны две прямые a и b и не лежащая на них точка Р. Через Р проводятся различные пары прямых, пересекающих прямые a и b в точках А, С и B, D соответственно. М – точка пересечения AD и ВС. Доказать, что все такие точки М лежат на одной прямой, проходящей через точку пересечения прямых a и b.
Решение.
Пусть О – точка пересечения прямых a и b. Переведём прямую ОР в бесконечно удалённую. Тогда четырёхугольник ABDC будет параллелограммом; М, точка пересечения его диагоналей, будет лежать на прямой, параллельной прямым a и b и отстоящей от них на равные расстояния.
Задача 2.
Можно ли окрасить 2006 точек плоскости в красный цвет и 1003 – в синий так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки разных цветов, содержала ещё одну из окрашенных точек и все окрашенные точки не лежали на одной прямой.
Решение.
Рассмотрим проективную плоскость и правильный 2006-угольник на ней. Все вершины 2006-угольника покрасим в красный цвет, а точки пересечения сторон с бесконечно удалённой прямой покрасим в синий цвет. Легко проверить, что этот набор точек обладает требуемым свойством. Осталось лишь сделать проективное преобразование так, чтобы на бесконечно удалённой прямой не осталось отмеченных точек…
Ответ:
можно.
Теорема 1.4.
Дана окружность и точка M внутри неё. Существует центральная проекция, при которой данная окружность переходит в окружность, а точка M – в её центр.
Доказательство.
Пусть АВ – тот диаметр нашей окружности, на котором лежит точка M. Рассмотрим косой круговой конус, основанием которого является наша окружность, а вершиной такая точка О, что . На прямых ОА и ОВ за точку О отложим точки В´ и А´ соответственно так, что ОВ=ОВ´ и ОА=ОА´:
Пусть С´ – середина А´В´ и . Применяя теорему синусов к треугольникам ОАС, ОВС, ОВ´С´ и ОС´А´, нетрудно получить соотношение , т.е. точка С в точности совпадает с точкой М. Теперь осталось заметить, что из соображений симметрии сечение нашего конуса плоскостью α, проходящей через прямую А´В´ перпендикулярно плоскости (АОВ), является окружностью, поэтому центральная проекция с центром О на плоскость α является искомой.
Из доказательства этой теоремы следует также
Теорема 1.5
: Любое проективное преобразование сохраняет какую-то окружность.
Теорема 1.6.
Дана окружность и не пересекающая её прямая ℓ. Существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а ℓ – в бесконечно удалённую прямую.
Доказательство.
Пусть А, В – произвольные точки прямой ℓ, АK, AL, BM, BN – касательные к окружности из точек А и В, . По теореме 1.4 существует преобразование, сохраняющее нашу окружность, переводящее Р в её центр. При этом преобразовании отрезки KL и MN перейдут в диаметры окружности, поэтому А и В перейдут в бесконечно удалённые точки, а ℓ - в бесконечно удалённую прямую.
Задача 3.
Доказать, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон и вписанной окружности, пересекаются в одной точке.
Решение.
Пусть АВС – наш треугольник, А´, В´, С´ – точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника, . Проведём проективное преобразование, сохраняющее вписанную окружность и переводящее точку Т в её центр. Тогда AA´ и ВВ´ станут одновременно и высотами, и биссектрисами треугольника АВС, т.е. треугольник АВС перейдёт в правильный, а точка Т – в его центр. Значит СС´ проходит через Т.
2. Проективные теоремы.
Ниже приводятся известные теоремы геометрии, которые легко доказываются применением проективного преобразования:
Теорема 2.1.
(теорема Дезарга)
Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников ABC и A´B´C´ (т.е. AB и A´B´, BC и B´C´, AC и A´C´), пересекаются в точках P, Q, R лежащих на одной прямой ℓ, то прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников, пересекаются в одной точке.
Теорема 2.2.
(теорема Паппа)
Если точки А, В, С лежат на прямой ℓ, точки А´, В´, С´ - на прямой ℓ´, то точки P, Q, R пересечения прямых АВ´ и А´В, АС´ и А´С, ВС´ и В´С соответственно лежат на одной прямой.
Теорема 2.3.
(теорема Паскаля)
Точки пересечения противоположных сторон вписанного шестиугольника лежат на одной прямой.
Теорема 2.4.
(теорема Брианшона)
Главные диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке.
Не будем подробно проводить доказательство этих теорем, покажем лишь, какое преобразование сводит каждую из этих задач к очевидной:
Теорема 2.1 – проективное преобразование, переводящее прямую ℓ в бесконечно удалённую;
Теорема 2.2 – проективное преобразование, переводящее прямую PQ в бесконечно удалённую;
Теорема 2.3 – проективное преобразование, сохраняющее описанную окружность, переводящее прямую PQ в бесконечно удалённую, где P, Q – точки пересечения двух пар противоположных сторон шестиугольника;
Теорема 2.4 – проективное преобразование, сохраняющее вписанную окружность, переводящее точку пересечения двух диагоналей в центр этой окружности.
3. Полярное соответствие, принцип двойственности.
Определение.
Полярное соответствие
на плоскости относительно окружности с центром О и радиусом r ставит в соответствие каждой точке А, отличной от О, прямую а, перпендикулярную ОА и пересекающую луч ОА в такой точке А´, что . Прямая а называется полярой
точки А, а точка А – полюсом
прямой а. Полярой точки О является бесконечно удалённая прямая, а полярой бесконечно удалённой точки – прямая, содержащая диаметр, перпендикулярный проходящим через неё параллельным прямым.
Свойства.
Если точка В лежит на поляре а точки А, то её поляра проходит через А.
Полюс прямой является пересечением поляр всех её точек.
Поляра точки является геометрическим местом полюсов всех проходящих через эту точку прямых.
Полярой точки А, лежащей вне окружности, будет прямая, соединяющая точки касания окружности с касательными, проведёнными к ней из точки А.
Если проективное преобразование сохраняет данную окружность и переводит точку А в А´, то поляра а точки А переходит в поляру а´ точки А´.
Первое свойство является очевидным, а каждое следующее свойство сразу вытекает из предыдущих.
Следствие.
(принцип двойственности)
Пусть доказано некоторое проективное утверждение. Тогда верным будет и утверждение, полученное из доказанного взаимной заменой следующих терминов:
(точка)↔(прямая)
(лежать на прямой)↔(проходить через точку)
(лежать на окружности)↔(касаться окружности)
Двойственны, например, теоремы Паскаля и Брианшона.
Теорема 3.1.
(теорема обратная теореме Дезарга)
Если прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников ABC и A´B´C´, пересекаются в одной точке, то прямые, содержащие соответственные стороны этих треугольников, пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.
Доказательство.
Эта теорема двойственна теореме 2.1. (теореме Дезарга).
Часть
V. Круговые преобразования пространства.
1. Инверсия пространства.
Определение.
Пусть в пространстве дана сфера S с центром О и радиусом R. Инверсией
относительно сферы S называется преобразование, переводящее произвольную точку А, отличную от О, в точку А´, лежащую на луче ОА такую, что . S – сфера инверсии, О – центр, R – радиус инверсии.
Дополним пространство бесконечно удалённой точкой и поставим её в соответствие точке О (тогда, очевидно, бесконечно удалённая точка перейдёт при инверсии в точку О).
Будем считать, что любая прямая и любая плоскость содержат бесконечно удалённую точку пространства.
Определение.
Углом между двумя пересекающимися сферами называется угол между касательными плоскостями к сферам, проведёнными через любую из точек пересечения сфер. Углом между пересекающимися сферой и плоскостью называется угол между касательной плоскости к сфере, проведённой через любую из точек пересечения сферы и плоскости, и данной плоскостью.
Определение.
Углом между двумя пересекающимися окружностями (окружностью и прямой) в пространстве называется угол между касательными к окружностям, проведёнными через любую из точек пересечения окружностей. Углом между пересекающимися окружностью и прямой называется угол между касательной к окружности, проведённой через любую из точек пересечения окружности и прямой, и данной прямой.
С помощью движений пространства легко доказать корректность этих определений (т.е., что угол не зависит от точки пересечения сфер (окружностей), которую мы рассмотрели). Например, для сфер можно перевести одну точку пересечения в другую, сохранив сферы, поворотом вокруг оси, проходящей через центры сфер.
Свойства инверсии.
Преобразование, обратное инверсии, – та же инверсия.
Прямая (плоскость), проходящая через точку О, переходит в себя.
Прямая (плоскость), не содержащая точку О, переходит в окружность (сферу), проходящую через точку О.
Окружность (сфера), содержащая точку О, переходит в прямую (плоскость), не содержащую О.
Сфера, не содержащая точки О, переходит в сферу.
Окружность, не содержащая точки О, переходит в окружность.
Сохраняется угол между пересекающимися сферами (плоскостями, сферой и плоскостью).
Сохраняется угол между пересекающимися окружностями (прямыми, окружностью и прямой).
Если А´, В´ - образы точек А, В, то .
Если сфера S´ - образ сферы S, то О – центр гомотетии, переводящей S в S´.
Доказательства свойств.
Свойства 1-5, 7, 9, 10 доказываются аналогично свойствам инверсии на плоскости.
Свойство 6 следует из того, что окружность можно представить в виде пересечения двух сфер.
Докажем свойство 8. Будем говорить, что окружности (окружность и прямая) касаются, если они лежат на одной сфере (в одной плоскости) и имеют ровно одну общую точку. Как легко видеть, касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности (окружность и прямую) или параллельные прямые. Поэтому угол между образами окружностей равен углу между образами касательных прямых, проведённых через точку касания.
Итак, утверждение достаточно доказать для пересекающихся прямых. При инверсии с центром О эти прямые переходят в окружности, проходящие через О. Причём касательные к ним в точке О параллельны этим прямым, т.е. угол между ними сохраняется.
Задача.
Семь вершин выпуклого шестигранника, все грани которого – четырёхугольники, лежат на одной сфере. Доказать, что и восьмая вершина этого шестигранника лежит на этой сфере.
Решение.
Пусть ABCDA1
B1
C1
D1
– наш шестигранник, и пусть для определённости вершина D1
– та вершина, про которую не известно, лежит ли она на данной сфере. Сделаем инверсию с центром в точке В. При этой инверсии данная сфера перейдёт в некоторую плоскость α. Точки B1
´, C1
´, C´, D´, A´, A1
´, образы точек B1
, C1
, C, D, A, A1
, лежат в плоскости α, причём точки C1
´, D´, A1
´ лежат на сторонах треугольника B1
´C´A´ (см. рис.).
Плоскости (B1
A1
C1
), (CDC1
), (DAA1
) перейдут в сферы, описанные около тетраэдров BB1
´A1
´C1
´, BC´D´C1
´, BD´A´A1
´. Точка D1
перейдёт в точку пересечения этих сфер, отличную от В. Фактически нам надо показать, что эта точка лежит в плоскости α. Для этого достаточно показать, что окружности, описанные около треугольников B1
´A1
´C1
´, C´D´C1
´, D´A´A1
´, пересекаются в одной точке. А это уже простой факт планиметрии. Действительно, пусть окружности, описанные около треугольников B1
´A1
´C1
´, C´D´C1
´, пересекаются в точке О. Тогда, как легко убедиться, , и окружность, описанная около треугольника D´A´A1
´, проходит через точку О. Доказательство завершено.
2. Круговые преобразования.
Плоскости вместе с бесконечно удалённой точкой будем называть сферами.
Определение.
Преобразование пространства, сохраняющее сферы, называется круговым
.
Инверсия является частным случаем круговых преобразований.
Теорема 2.1.
Круговое преобразование, сохраняющее бесконечно удалённую точку, является подобием.
Доказательство.
Если круговое преобразование сохраняет бесконечно удалённую точку, то оно сохраняет плоскости, т.е. является аффинным. Но аффинное преобразование, сохраняющее сферу, является подобием (теорема 4.3 части III).
Теорема 2.2.
Круговое преобразование, не сохраняющее бесконечно удалённую точку, может быть представлено композицией инверсии и движения.
Доказательство.
Пусть круговое преобразование f переводит бесконечно удалённую точку в некоторую точку О, – инверсия с центром в точке О. Тогда сохраняет бесконечно удалённую точку, т.е. является подобием. Коэффициент подобия зависит от радиуса инверсии и может быть сделан равным единице. Тогда будет движением, и f можно будет представить композицией инверсии и движения.