ТЕМА САМООБРАЗОВАНИЯ:
«Межпредметная связь
между математикой и физикой на примере
свойств симметрии и законов сохранения»
СОДЕРЖАНИЕ:
| ВВЕДЕНИЕ |
2 |
| Введение законов сохранения в средней школе |
5 |
| Законы сохранения и симметрия времени и пространства |
9 |
| Энергия. Закон сохранения энергии |
11 |
| Импульс |
14 |
| Момент импульса |
15 |
| Теорема Нетер и связь законов сохранения со свойствами симметрии пространства и времени |
17 |
| Заключение |
20 |
ВВЕДЕНИЕ.
Научное и методологическое значение законов сохранения определяет их исключительная общность и универсальность. Благодаря той особой роли, которую играют законы сохранения в процессе познания физических форм движения материи, они являются важнейшим элементом современной научной картины мира. Законы сохранения имеют весьма многообразное содержание и, по-видимому, мы еще не знаем всех их функций. Законы сохранения обладают функцией запрета. В отличие от других законов, они не дают детальных указаний на то, как должен протекать тот или иной процесс. Но если окажется, что какой-то процесс противоречит законам сохранения, то все попытки осуществить его являются бессмысленными, этот процесс невозможен.
Многие талантливые люди в разное время пытались изобрести «вечный двигатель», который бы производил работу, не затрачивая энергию, подводимую извне. Но все «изобретения» терпели неудачу: закон сохранения энергии утверждает объективную невозможность создания такого «вечного двигателя».
Законы классической физики чаще всего имеют вид законов изменения, а не постоянства физических величин. Так, например, второй закон Ньютона описывает изменения скорости тел в результате действия сил на эти тела, уравнения Максвелла связывают изменения электрического магнитного полей и их качественных характеристик. Законы сохранения предполагают существование физических величин, которые обладают замечательными свойствами – не изменяться во времени. Такими величинами, например, являются импульс (количество движения), момент импульса (момент количества движения), энергия. Благодаря этому законы сохранения позволяют сделать некоторые заключения о характере поведения физической системы даже в тех случаях, когда для этой системы другие законы неизвестны. Кроме названных, существуют законы сохранения, справедливые лишь для ограниченного класса физических систем и явлений. Таковы многочисленные законы сохранения в теории элементарных частиц.
Каждый закон сохранения можно рассматривать как конкретное проявление всеобщего абсолютного закона сохранения материи и движения. Но нельзя быть уверенным в том, что тот или иной закон или его формулировка останутся незыблемыми всегда. По мере развития науки, расширения пределов человеческого опыта происходило уточнение закона сохранения энергии. В связи с появлением теории относительности оказалось, масса тела зависит от его скорости, а энергию следует определять так, чтобы она не обращалась в ноль, когда тело покоится относительно данной системы отсчета. С развитием физики элементарных частиц возник целый ряд новых законов сохранения (барионного заряда, лептонного заряда, странности, изотопического спина, четности). При этом считалось, что четность сохраняется при любых взаимодействиях элементарных частиц. Однако позднее при так называемых слабых взаимодействиях было обнаружено несохранение четности. В процессах, обусловленных слабыми взаимодействиями, не сохраняются также странность и изотопический спин. О таких законах сохранения говорят, что они являются приближенными (в отличие от точных законов сохранения импульса, момента импульса, энергии и зарядов).
В начале прошлого века Эмми Нетер сделала интересное открытие, имеющее непосредственное отношение к существованию законов сохранения. Теорема Нетер утверждает, что всякому непрерывному преобразованию координат, когда задан закон преобразования, соответствует некоторая сохраняющаяся величина (или, как говорят, инвариант). А поскольку преобразования тесно связаны со свойствами симметрии пространства и времени (однородностью изотропностью пространства и однородностью времени), то каждому свойству пространства и времени должен соответствовать определенный закон сохранения. С однородностью пространства, то есть с симметрией законов физики по отношению к пространственным сдвигам начала координат, связан закон сохранения импульса. С изотропностью пространства, то есть равноценностью всех пространственных направлений и, следовательно, с симметрией относительно поворота системы координат в пространстве, связан закон сохранения момента импульса. Подобным же образом представление об однородности времени (симметрии по отношению сдвигам времени) приводит к закону сохранения энергии. Это означает, что течение времени само по себе не может вызвать изменение энергии некоторой замкнутой системы.
Значение теоремы Нетер не ограничивается только тем, что устанавливает связь классических законов сохранения с видами симметрии, имеющими геометрическую природу. При наличии в физической системе симметрий другого рода, не связанных со свойствами пространства и времени, теорема Нетер позволяет установить другие законы сохранения.
Связь законов сохранения со свойствами симметрии установлена на всех структурных уровнях материи. Большая часть теории элементарных частиц построена на анализе этих свойств. Понятия частицы и античастицы, четности и др. обязаны своим происхождением симметрии. Эта связь является настолько фундаментальной, что ее можно считать наиболее полным выражением всеобщей идеи сохранения в природе.
ВВЕДЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ.
На мой взгляд, необходимо сформировать у учащихся представление о фундаментальности законов сохранения, об их взаимосвязи с принципом инвариантности, то есть со свойствами симметрии, и с уравнениями движения, что в настоящее время практически в школе не дается.
Весьма существенно установить тот факт, что законы сохранения нельзя рассматривать изолированно от уравнений движения (только как прямые следствия свойств симметрии). Очевидно, что та или иная характеристика физической системы, постоянство которой задается одним из законов сохранения, всегда определяется через переменные состояния системы. Поэтому сохраняться она может только при условии, что эти переменные изменяются в соответствии с уравнениями движения. При изучении конкретных законов и уравнений движения можно будет показать, что, например, механическая энергия замкнутой системы, сохраняется при условии, что величины, через которые она выражается (масса, скорость, координаты), связаны законами движения Ньютона.
В практике школьного преподавания часто применяется «вывод» законов сохранения из уравнений движения (например, закона сохранения механической энергии из законов Ньютона). Таким образом, у учащихся складывается вредное представление о законах сохранения как о частном следствии уравнений движения, хотя эти законы универсальные, более фундаментальные, чем уравнения движения.
Современные физики на первое место ставят значимость законов сохранения с методологической точки зрения, так как «в законах сохранения воплощаются различные свойства симметрии пространства-времени и свойства симметрии фундаментальных взаимодействий».
Взаимосвязь законов сохранения и принципа симметрии имеет важнейшее значение в науке, поэтому и в школьном курсе этой проблеме необходимо уделять соответствующее внимание.
Важно сформировать у учащихся понятие геометрической симметрии (свойства пространства-времени), сообщить им о существовании вида симметрии – внутренней, связанной со свойствами взаимодействий, смысл которой начнет раскрываться при изучении закона сохранения электрического заряда.
Учащихся полезно также познакомить с теоремой Нетер, согласно которой каждому закону сохранения обязательно соответствует какое-либо свойство симметрии.
Изучение свойств пространства и времени в классической физике можно начинать с введения понятия однородности пространства, то есть равноправия всех его точек для протекания механических процессов. При этом важно обратить внимание на то, что еще древние греки (Аристотель) отмечали неоднородность реального пространства, и это сегодня также трудно провести через границу между описанием падения тела на Земле как движения в неоднородном пространстве и как движения в однородном пространстве, но под действием гравитационной силы.
Вопрос об однородности пространства целесообразно рассматривать не сам по себе, а в связи с изучением физических законов. Оказывается, что законы классической механики (законы движения макроскопических тел со скоростями много меньшими скорости света) не меняются при параллельном переносе в пространстве, что эквивалентно свойству однородности пространства. Возможно введение понятия пространственной трансляции, то есть сдвига начала координат на некоторое расстояние в определенном направлении. Сказанное выше можно пояснить на большом количестве простых примеров.
Аналогичным образом можно рассматривать вопрос об изотропности пространства, то есть равноправии всех его направлений. С физической точки зрения это означает неизменность законов при повороте осей системы отсчета на некоторый угол. В качестве иллюстрации можно привести простой пример: вода из шланга, направленного под постоянным углом к горизонту, бьет на одинаковое расстояние независимо от направления.
Свойство однородности времени можно раскрыть следующим образом: все моменты времени равноправны, следовательно, одно и то же физическое явление будет происходить абсолютно одинаково в любой момент времени - мяч будет падать на Землю такое же время, как и вчера, и сто лет назад и т.д. Более строго это означает, что законы классической механики не меняют своей формы при временных трансляциях, то есть изменении начала отсчета времени.
Следует отметить, свойства пространства-времени важны не сами по себе, а с точки зрения ковариантности физических законов (уравнений движения) по отношению к соответствующим преобразованиям, и что данные утверждения и составляют сущность принципа относительности Галилея.
Итак, рассмотрим варианты обсуждения взаимосвязи конкретных законов сохранения в механике с соответствующими свойствами симметрии пространства и времени.
1. Сохранение энергии и однородность времени. Начать можно с напоминания учащимся, что однородность времени означает равноправие всех моментов времени и, следовательно, неизменность определенных характеристик состояния физической системы. Очевидно, такое возможно только в том случае, внутренние силы (которые должны быть потенциальными) не зависят явно от времени. Но в таком случае не будет явно зависеть от времени и потенциальная энергия взаимосвязи частиц системы. Кроме того, поскольку полная работа внутренних сил замкнутой системы равна нулю, не может изменяться и полная кинетическая энергия частиц системы. То есть, можно прийти к тому, что из однородности времени (и из уравнений движения) следует закон сохранения полной механической энергии. В будущем это утверждение не трудно будет обобщить и на другие виды энергии.
2. Сохранение импульса и однородность пространства. Во введении можно сказать о том, что однородность пространства означает, что движение физической системы абсолютно не изменяется при переносе начала отсчета на некоторый вектор. В частности, не изменяться скорости частиц, а, следовательно, и кинетическая энергия системы. По теореме о кинетической энергии получим, что при таком переносе работа совершаться не будет, то есть будет равна нулю и сумма сил, действующих на систему. Отсюда по второму закону Ньютона получается, что полный импульс замкнутой системы сохраняется.
3. Совершенно аналогичные рассуждения можно привести для закона сохранения момента импульса. Изотропность пространства означает, что при повороте системы отсчета на некоторый угол движение системы не меняется, то есть что работа сил опять же равна нулю, откуда следует равенство нулю суммы моментов сил, действующих на систему, а отсюда, в свою очередь, сохранение момента импульса.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
И СИММЕТРИЯ ВРЕМЕНИ И ПРОСТРАНСТВА.
Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса среди всех других физических законов выделяются своей всеобщность. Они выполняются одинаково строго в классических явлениях, происходящих с макроскопическими телами, и в квантовых явлениях, в механике Ньютона и в релятивистской механике.
Сначала законы сохранения были установлены как результат обобщения огромного количества опытных фактов. Лишь значительно позднее пришло глубокое понимание этих законов и их взаимосвязи. Оказалось, что законы сохранения теснейшим образом связаны со свойствами симметрии природы. Здесь имеется в виду не симметрия физических тел (например, кристаллов), а свойство, выражающееся в неизменности вида физических законов при некоторых преобразованиях. Эти преобразования называют преобразованиями фундаментальной симметрии. Рассмотренные законы сохранения связаны с фундаментальными свойствами симметрии времени и пространства. Симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета времени проявляется в физической эквивалентности, равноценности разных ее моментов. Любые явления, происходящие в одних и тех же условиях, но в разные моменты времени, протекают совершенно одинаково. Данное свойство времени называют его однородностью. Благодаря однородности времени можно сравнивать результаты опытов, которые были проведены в прошлом или будут проведены в будущем.
Симметрия по отношению к сдвигу начала координат означает, что точки физического пространства эквивалентны. В пространстве нет таких
Следует заметить, что однородным и изотропным является пространство, свободное от сильных физических полей. В теории поля считают, что ответственным за появление сил, действующих на частицы, является поле, искажающее свойства пространства в той области, где оно существует. В сильных полях пространство не однородно и неизотропно. Установлено, что вблизи Солнца и звезд сильные поля тяготения вызывают искривление пространства. Однако, если поле, в котором движется частица или система частиц, является центрально-симметричным, по отношению к силовому центру этого поля пространство будет изотропным. Каждому преобразованию фундаментальной симметрии соответствует определенный закон сохранения.
ЭНЕРГИЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ.
При движении механической системы 2s величин gi
и gi
(i =1, 2, …,s) определяющих ее состояние, изменяются со временем. Существуют, однако, такие функции этих величин, которые сохраняют придвижении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Эти функции называют интегралами движения. Число независимых интегралов движения для замкнутой механической системы с s степенями свободы равно 2s – 1
Уравнения Лагранжа.
С математической точки зрения эти уравнения составляют систему s уравнений второго порядка для S неизвестных функций gi
(t). Общее решение такой системы содержит 2S произвольных постоянных. Для их определения и тем самым полного определения движения механической системы необходимо знание начальных условий, характеризующих состояние системы в некоторый заданный момент времени, например, знание начальных значений всех координат и скоростей. Поскольку уравнения движения замкнутой системы не содержат времени явно, то выбор начала отсчета времени совершенно произволен, и одна из произвольных постоянных в решении уравнений всегда может быть выбрана в виде аддитивной постоянной t0
во времени. Исключив t+ t0
из 2S функций
мы выразим 2s – 1 произвольных постоянных с1
, с2
, … с 2
s
– 1
в виде функций от g и g, которые и будут интегралами движения. Однако далеко не все интегралы движения играют одинаково важную роль в механике. Среди них есть несколько, постоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с основными свойствами пространства и времени – их однородностью и изотропностью. Все эти, как говорят, сохраняющиеся величины имеют важное общее свойство аддитивности – их значение для системы, состоящей из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. Именно свойство аддитивности отводит соответствующим величинам особенно важную механическую роль. Предположим, что два тела взаимодействуют в течение некоторого времени. Поскольку, как до, так и после взаимодействия каждый из аддитивных интегралов всей системы равен сумме их значений для обоих тел в отдельности, то законы сохранения этих величин сразу дают возможность сделать ряд заключений о состоянии тел после взаимодействия, если их состояния до взаимодействия известны.
Однородность времени, то есть симметрия по отношению к выбору начала отсчета времени, приводит к закону сохранения энергии. Этот закон сохранения выполняется для систем, находящихся в неизменных во времени внешних условиях. Стационарность условий обеспечивается тем, что системы должны быть замкнутыми и адиабатически изолированными, а действие сил вызывается только потенциальными полями. Выбор начала отсчета несуществен.
В силу однородности времени лагранжева функция замкнутой системы не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа во времени может быть записана следующим образом:
(Если бы L зависела явно от времени, к правой части равенства добавился бы член )
Заменяя производные согласно уравнениям Лагранжа на , получим:
Отсюда видно, что величина
остается неизменной при движении замкнутой системы, то есть является одним из ее интегралов движения.
Эта величина называется энергией системы. Аддитивность энергии непосредственно следует из аддитивности функции Лагранжа, через которую она выражается линейным образом.
ИМПУЛЬС.
Другой закон сохранения возникает в связи с однородностью пространства. В силу этой однородности механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый перенос на отрезок ε и потребуем, чтобы функция Лагранжа осталась неизменной. Параллельный перенос означает преобразование, при котором все точки системы смещаются на один и тот же отрезок, то есть их радиус-вектор . Изменение функции L в результате бесконечно малого изменения координат при неизменных скоростях частиц есть
где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Ввиду произвольности ε требование =0 эквивалентно требованию
В силу уравнений Лагранжа получаем
Таким образом, мы приходим к выводу, что в замкнутой механической системе векторная величина остается неизменной при движении.
Вектор Р называется импульсом системы. Дифференцируя функцию Лагранжа
найдем, что импульс следующим образом выражается через скорости точек . Аддитивность импульса очевидна.
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА.
Перейдем к выводу закона сохранения, возникновение которого связано с изотропией пространства. Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция Лагранжа при этом не изменилась. Введем вектор бесконечно малого поворота, абсолютная величина которого равна углу поворота, а направление совпадает с осью поворота (причем так, что направление поворота отвечает правилу винта по отношению к направлению ).
Найдем, чему равно при таком повороте приращение радиус-вектора, проведенного из начала координат (расположенного на оси вращения) к какой-либо из материальных точек поворачиваемой системы. Линейное приращение конца радиус-вектора связано с углом отношением:
Направление же вектора перпендикулярно к плоскости, проходящей через r и . Поэтому ясно, что .
При повороте системы меняется направление не только радиус-векторов, но и скоростей всех частиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому закону. Поэтому приращение скорости относительно неподвижной системы координат .
Подставляя эти выражения в условие неизменности функции Лагранжа при повороте
Заменяем производные
Или, производя циклическую перестановку множителей и выносе за знак суммы
Ввиду произвольности отсюда следует
Т.е. приходим к выводу, что при движении замкнутой системы сохраняется векторная величина
Называется моментом импульса.
Аддитивность этой величины, как и у импульса, она не зависит от наличия ли отсутствия взаимодействия между частицами. Этим исчерпываются аддитивные интегралы движения.
ТЕОРЕМА НЕТЕР И СВЯЗЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ СО СВОЙСТВАМИ СИММЕТРИИ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ.
Тот факт, что с помощью свойств симметрии пространства и времени выводятся законы сохранения и соответствующие сохраняющиеся величины, привел к широко распространившемуся убеждению о возникновении этих законов сохранения и этих физических величин из свойств симметрии пространства и времени. Таким образом, возникает ряд вопросов:
1. Являются ли законы сохранения (в частности, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса) следствиями (исключительно) свойств симметрии пространства и времени?
2. Можно ли получить в теории законы сохранения, минуя уравнения движения (не зная их)?
3. Что является определяющим (первичным): уравнения движения, законы сохранения, свойства симметрии пространства и времени? Что является «исходным» для построения физической теории?
Пожалуй, самым простым является ответ на первый вопрос: нет, не является. Согласно теореме Нетер, законы сохранения связаны со свойствами симметрии пространства и времени. Но существенной частью этой теоремы является известная функция Лагранжа. Таким образом, правильно говорить о связи законов сохранения со свойствами пространства и времени, а отнюдь не о том, что законы сохранения следуют исключительно из этих свойств или что сохраняющиеся величины «возникают» из соответствующих свойств симметрии в самой объективной действительности.
По поводу второго из трех поставленных вопросов можно заметить, что, имея в своем распоряжении функционал действия, мы сразу же получаем уравнения движения (уравнения Эйлера – Лагранжа). Конечно, приемом указанным Эмми Нетер, можно независимо найти интегралы движения, но это не отменяет того обстоятельства, что уравнения движения при этом фактически известны. Таким образом, ответ на второй вопрос тоже отрицателен.
Однако самым важным и вместе с тем самым интересным – как с философской, так и физической точки зрения, - является ответ на третий вопрос.
Исторические примеры, которые обычно приводят, свидетельствуют о том, что теория может строиться на пути от свойств симметрии к законам сохранения, и о том, что теория может строиться на пути от законов сохранения к свойствам симметрии. На первом пути мы сначала обнаруживаем свойства симметрии, затем открываем соответствующие уравнения движения и законы сохранения и лишь много времени спустя находим существующую между ними связь, либо, зная свойства симметрии и то, как они связаны с уравнениями движения (уравнениями поля и законами сохранения), выводим теоретически эти последние (как это было в квантовой электродинамике).
На втором пути мы вначале экспериментально обнаруживаем существование некоторых сохраняющихся величин, которым затем с помощью теоремы Нетер ставим в соответствие инвариантность уравнений поля (или уравнений движения) относительно некоторого преобразования, либо, зная уравнения поля (или уравнения движения) и свойственные этому полю законы сохранения, мы открываем группу преобразований, по отношению к которой уравнения поля (или уравнения движения) имеют инвариантную форму. Вследствие того, что законы сохранения и свойства симметрии связаны между собой, они могут быть друг из друга выведены и поэтому как первый, так и второй путь построения теории правомерны. Но ни тот, ни другой пути построения теории не дают ответа на вопрос о том, что является определяющим в объективной действительности – свойства симметрии или законы сохранения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В статье «Памяти Эмми Нетер» Альберт Эйнштейн писал в 1935 году: «Эмми Нетер входила в число самых значительных и самых творческих гениев математики». П.С. Александров называет ее «великой алгебраисткой» и отмечает, что «она создала совершенно новое направление в алгебре, названное в последствии общей или абстрактной алгеброй. Ее идеи в последние десятилетия оказывали все возрастающее влияние на различные части современной математики». Но дело не только в этом. Ее работы оказали глубокое влияние на фундаментальные представления современного естествознания и до сих пор широко обсуждаются не только математиками, но и за пределами математики – физиками и философами.
Доказательство теоремы Нетер относится к 1918 году. И хотя она занимает весьма скромное место в математическом наследии Эмми Нетер, но представляется чрезвычайно важной как с физической, так и с философской точки зрения.
Эвристическое значение теоремы Нетер обусловлено тем, что с ее помощью по свойствам движения некоторой физической системы, по характеру взаимодействия физических объектов открывается возможность судить о свойствах симметрии пространства и времени; обратно, по свойствам симметрии пространства и времени можно судить об особенностях движения физических систем и их взаимодействий.
Теорема Нетер опирается на один из возможных способов нахождения уравнений движения физической системы. Конечная цель – это определение движения (т.е. изменения во времени) заданной физической системы. Для этого необходимо найти решения уравнений движения. Решение уравнений – значительно облегчается, если удается обнаружить некоторые комбинации искомых величин, не меняющиеся с течением времени – первые интегралы уравнений движения. Некоторые из них имеют непосредственный физический смысл. Особенно важны интегралы энергии, импульса и момента импульса. Законы сохранения той или иной физической величины дают, по существу, некоторые правила запрета – движение может осуществляться так, чтобы данная величина не меняла своего значения. Но, как и откуда находятся теоретически законы сохранения?
Конечно, и до того, как была доказана теорема Нетер, существовали способы нахождения интегралов движения, т.е. законов сохранения. Их выводили обычно из уравнений движения. И этот способ вовсе не утратил своего значения. Однако Э.Нетер предложила иной способ нахождения первых интегралов, который допускает интересную физическую интерпретацию. В основе этого способа – преобразование пространственных и временных координат. Если при определенном преобразовании координат некоторой замкнутой системы функционал действия не меняется, то этому преобразованию соответствует определенный первый интеграл или закон сохранения.
Но преобразование пространственных и временных координат, не изменяющие функционала действия, указывают на симметрию пространства и времени. Как показала Эмми Нетер, каждому из этих преобразований соответствует определенный закон сохранения.
Теорема Нетер, позволившая вскрыть глубокие связи и отношения между различными сторонами объективной действительности, является великолепной иллюстрацией той эвристической роли, которую фактически играет математика в познании объективного мира.