Теоретическая механика

Пензенский государственный педагогический университет

имени В. Г. Белинского

УДК 53(075)

А. А. Марко, О. В. Фолимагина, Н. В. Кирпичева

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

руководство для самостоятельной работы

Пенза, 2010

Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского

УДК 53(075)

Марко А. А. Теоретическая механика. Руководство для самостоятельной работы. / А. А. Марко, О. В. Фолимагина, Н. В. Кирпичева. – Пенза: ПГПУ, 2010. – 40 с.

Учебно-методическое пособие предназначено студентам физико-математического факультета. Пособие содержит подборку базовых задач курса классической механики, варианты самостоятельных работ. В пособие приведены алгоритмы решения задач, краткий анализ содержания задач для самостоятельного решения, а также требования к оформлению и защите самостоятельных работ.

Ó Пензенский государственный

педагогический университет

имени В. Г. Белинского, 2010

Ó А. А. Марко, 2010

Ó О. В. Фолимагина, 2010

Ó Н. В. Кирпичева, 2010

Введение

Уважаемый студент, немногочисленные законы и теоремы, лежащие в основе теоретической механики, находят весьма разнообразные и обширные применения. Поэтому наибольшие затруднения у изучающих теоретическую механику вызывает приложение общих положений теории к решению конкретных задач.

Залогом успешного освоения курса теоретической механики станет Ваша систематическая работа по изучению основных понятий, законов и принципов теории, а также решение задач.

Первая часть пособия содержит 8 структурированных тем, содержащих перечень основных теоретических позиций темы, рекомендуемые алгоритмы решения задач данной тематики и подборку задач, наиболее ярко иллюстрирующих методы и приемы решения задач темы.

Во второй части приведено описание самостоятельных работ, решение которых позволит Вам сформировать навыки использования законов механики в конкретных задачах.

Тема 1. Траектория и законы движения материальной точки.

Вопросы: материальная точка, траектория, закон движения, пройденный путь, перемещение, система отсчета.

Алгоритм решения:

1. выбирается система неподвижных координат – прямоугольная, полярная или какая-нибудь иная; начало координат и та или иная система выбираются, исходя из условия задачи, так, чтобы дальнейшее решение было возможно более простым;

2. на основании условий задачи для избранной системы координат составляются законы движения;

3. имея законы движения точки, можно определить ее положение в любой момент времени, установить направление движения, найти траекторию, исключив из законов движения время.

ЗАДАЧИ

1. По данным законам движения точки найти уравнения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке положение точки в моменты времени

a)

b)

c)

d)

2. Движение точки задано уравнениями: причем ось горизонтальна, ось направлена по вертикали вверх, и величины постоянные. Найти: 1) траекторию точки, 2) координаты наивысшего ее положения.

3. Точка движется по винтовой линии: Определить уравнение движения точки в цилиндрических координатах.

4. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях согласно уравнениям: . Определить уравнения движения в полярных координатах и найти траекторию точки.

5. По заданным законам движения точки в декартовых координатах: ; ; найти ее траекторию и законы движения в сферических координатах.

Тема 2. Кинематика материальной точки.

Вопросы: скорость материальной точки, ускорение материальной точки, проекции скорости и ускорения, тангенциальное и нормальное ускорения, кривизна траектории.

Алгоритм решения:

1. выбирается система неподвижных координат – прямоугольная, полярная или какая-нибудь иная; начало координат и та или иная система выбираются, исходя из условия задачи, так, чтобы дальнейшее решение было возможно более простым;

2. на основании условий задачи для избранной системы координат составляются законы движения;

3. имея законы движения точки, определить проекции скорости или ускорения, путем дифференцирования законов движения по времени;

4. определить модули скорости и ускорения, радиус кривизны траектории и т.д.

ЗАДАЧИ

1. По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения

а)

b) ; c)

2. Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно уравнению ; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению ( и – в метрах, – в секундах). Цепь укорачивается со скоростью . Определить траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости ; ось направлена вертикально вверх (сделать чертеж).

3. Точка движется по винтовой линии: Определить уравнение движения точки в цилиндрических координатах.

4. Движение точки задано уравнениями: причем ось горизонтальна, ось направлена по вертикали вверх, и ­ величины постоянные. Найти: 1) траекторию точки, 2) координаты наивысшего ее положения, 3) проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси .

5. Из орудия, ось которого образует угол с горизонтом, выпущен снаряд со скоростью . Предполагая, что снаряд имеет только ускорение силы тяжести , найти годограф скорости снаряда.

6. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях согласно уравнениям: . Определить проекции скорости точки на оси декартовых и полярных координат и найти модуль скорости точки.

7. Поезд движется равнозамедленно по дуге окружности радиуса и проходит путь , имея начальную скорость и конечную . Определить полное ускорение поезда в начале и в конце дуги, а также время движения по этой дуге.

8. Найти величину ускорения, а также радиус кривизны траектории точки колеса, катящегося без скольжения по горизонтальной оси , если точка описывает циклоиду согласно уравнениям: ( и – в метрах, – в секундах). Определить значение радиуса кривизны при .

9. Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями .

10. Точка движется по линии пересечения сферы и цилиндра . Уравнения движения точки в сферических координатах имеют вид: . Найти проекции и модуль скорости ускорения точки в сферических координатах.

Тема 3. Плоское движение твердого тела.

Вопросы: твердое тело, поступательное и вращательное движение, угловая скорость и угловое ускорение.

Алгоритм решения:

1. выбирается система неподвижных координат – прямоугольная, полярная или какая-нибудь иная; начало координат и та или иная система выбираются, исходя из условия задачи, так, чтобы дальнейшее решение было возможно более простым;

2. на основании условий задачи для избранной системы координат составляются законы движения;

3. имея законы движения точки, определить проекции скорости или ускорения, путем дифференцирования законов движения по времени;

4. определить модули скорости и ускорения, радиус кривизны траектории и т.д.

ЗАДАЧИ

1. Вал радиуса см приводится во вращение гирей Р
, привешенной к нему на нити. Движение гири выражается уравнением , где — расстояние гири от места исхода

нити с поверхности вала, выраженное в сантиметрах, — время в секундах. Определить угловую скорость и угловое ускорение вала, а также полное ускорение точки на поверхности вала в момент . Решить задачу в общем виде, выразив ускорение точек обода колеса через пройденное гирей расстояние , радиус колеса и ускорение гири

2. Ведущий вал I фрикционной передачи вращается с угловой скоростью рад/с и на ходу передвигается (направление указано стрелкой) так, что расстояние меняется по закону см ( — в секундах).

Определить: 1) угловое ускорение вала II как функцию расстояния d
;
2) ускорение точки на ободе колеса B в момент, когда ,
даны радиусы фрикционных колес: = 5 см, = 15 см.

3. Стержень АВ
длины 0,5 м движется в плоскости рисунка.

Скорость ( м/с) образует угол 45° с осью х
, совмещенной со стержнем. Скорость точки B образует угол 60° с осью х.
Найти модуль скорости точки B и угловую скорость стержня.

4. На рисунке изображен суммирующий механизм. Две параллельные рейки 1 и 2 движутся в одну сторону с

постоянными скоростями и . Между рейками зажат диск радиуса ,
катящийся по рейкам без скольжения. Показать, что скорость средней рейки 3,
присоединенной к оси C диска, равна полусумме скоростей реек 1 и 2.
Найти угловую скорость диска.

Тема 4. Сложное движение материальной точки.

Вопросы: Абсолютное, переносное и относительное движение, теоремы сложения скоростей и ускорений.

Алгоритм решения (определение скорости точки в относительном, переносном и абсолютном движениях):

1. разложить движение на составляющие, определив абсолютное, относительное и переносное движения;

2. выбрать две системы координат: абсолютную и подвижную;

3. мысленно остановив переносное движение, найти скорость относительного движения;

4. мысленно отвлекаясь от относительного движения, найти скорость переносного движения точки;

5. применив теорему сложения скоростей, определить искомую абсолютную скорость точки.

Алгоритм решения (определение ускорения точки в относительном, переносном и абсолютном движениях):

1. разложить движение на составляющие, определив абсолютное, относительное и переносное движения;

2. выбрать две системы координат: абсолютную и подвижную;

3. мысленно остановив переносное движение, найти скорость и ускорение точки в относительном движении;

4. мысленно отвлекаясь от относительного движения, найти угловую скорость переносного движения и ускорение точки в переносном движении;

5. найти кориолисово ускорение точки;

6. применив теорему сложения ускорений, определить искомое абсолютное ускорение точки.

ЗАДАЧИ

1. Наклонная плоскость АВ,
составляющая угол 45° с горизонтом, движется прямолинейно параллельно оси Ох с постоянным ускорением м/с2
.

По этой плоскости спускается тело Р с постоянным относительным ускорением м/с2
; начальные скорости плоскости и тела равны нулю, начальное положение тела определяется координатами .
Определить траекторию, скорость и ускорение абсолютного движения тела.

2. Найти скорости и ускорения точек гусеницы танка, движущегося без скольжения по прямолинейному участку пути со скоростью и ускорением ; радиусы колес танка равны ; скольжением гусеницы по ободу колес пренебречь.

2. Шарик Р
движется со скоростью 1,2 м/с от А
к В
по хорде АВ
диска, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска.

Найти абсолютное ускорение шарика,

когда он находится на кратчайшем расстоянии от центра диска, равном 30 см. В этот момент угловая скорость диска равна 3 рад/с, угловое замедление равно 8 рад/с2
. Решить задачу в предположении, что диск вращается вокруг диаметра, параллельного хорде. Решить при условии, что осью вращения диска является диаметр, перпендикулярный хорде.

Тема 5. Прямая задача динамики.

Вопросы: Основные законы динамики материальной точки (законы Ньютона), понятия силы, массы, инерциальной системы отсчета, принципы независимого действия сил, дальнодействия, причинности, дифференциальное уравнение движения, виды сил в механике.

Алгоритм решения:

1. изобразить на рисунке материальную точку в текущем положении и приложенные к ней активные силы;

2. применив закон освобождаемости от связей, изобразить соответствующие реакции связей;

3. выбрать инерциальную систему отсчета, если она не указана в условии задачи;

4. определить по заданному закону движения ускорение материальной точки и найти его проекции на выбранные оси координат;

5. составить дифференциальные уравнения движения материальной точки, соответствующие принятой системе отсчета;

6. из системы составленных уравнений определить искомые величины.

ЗАДАЧИ

1. Горизонтальная платформа, на которой лежит груз массы 1,02 кг, опускается вертикально вниз с ускорением 4 м/с2
. Найти силу давления, производимого грузом на платформу во время их совместного спуска.

2. Камень массы 0,3 кг, привязанный к нити длины 1 м, описывает окружность в вертикальной плоскости. Определить наименьшую угловую скорость камня, при которой произойдет разрыв нити, если сопротивление ее разрыву равно 9 Н.

3. В вагоне поезда, идущего сначала по прямолинейному пути, а затем по закругленному со скоростью 20 м/с, производится взвешивание некоторого груза на пружинных весах; весы в первом случая показывают 50 Н, а на закруглении 51 Н. Определите радиус закругления пути.

4. Гиря массы 0,2 кг подвешена к концу нити длины 1 м; вследствие толчка гиря получила горизонтальную скорость 5 м/с. Найти натяжение нити непосредственно после толчка.

5. Груз массы 0,102 кг, подвешенный на нити длины 30 см в неподвижной точке, представляет собой конический маятник, причем нить составляет с вертикалью угол 600
. Определить скорость груза и натяжение нити.

6. Автомобиль массы 1000 кг движется по выпуклому мосту со скоростью 10 м/с. Радиус кривизны в середине моста 50 м. Определить силу давления автомобиля на мост в момент прохождения через середину моста.

7. Поршень ДВС совершает горизонтальные колебания согласно закону см, где – длина кривошипа, – длина шатуна, – постоянная по величине угловая скорость вала. Определить наибольшее значение силы, действующей на поршень, если масса поршня .

8. Шарик, масса которого равна 100 г, падает под действием силы тяжести и при этом испытывает сопротивление воздуха. Движение шарика выражается уравнением , где – в метрах, – в секундах, ось направлена по вертикали вниз. Определить силу сопротивления воздуха и выразить ее как функцию скорости шарика.

9. Груз массы 1 кг подвешен к тросу длины 2 м и совершает вместе с тросом колебания согласно уравнению , где – угол отклонения троса от вертикали в радианах, – время в секундах. Определить силу натяжения троса в верхнем и нижнем положениях груза.

10. Точка массы движется по эллипсу . Ускорение точки параллельно оси . При координаты точки были , начальная скорость . Определить силу, действующую на движущуюся точку в каждой точке ее траектории.

Тема 6. Определение закона движения по заданным силам (обратная задача динамики).

Вопросы: Основные законы динамики материальной точки (законы Ньютона), понятия силы, массы, инерциальной системы отсчета, принципы независимого действия сил, дальнодействия, причинности, дифференциальное уравнение движения, виды сил в механике.

Алгоритм решения:

1. изобразить на рисунке материальную точку в текущем положении и приложенные к ней активные силы;

2. применив закон освобождаемости от связей, изобразить соответствующие реакции связей;

3. выбрать инерциальную систему отсчета, если она не указана в условии задачи;

4. записать систему начальных условий;

5. определить по заданному закону движения ускорение материальной точки и найти его проекции на выбранные оси координат;

6. составить дифференциальные уравнения движения материальной точки;

7. проинтегрировать систему дифференциальных уравнений движения. Использовав систему начальных условий, определить постоянные интегрирования;

8. воспользовавшись найденным законом движения, определить искомые кинематические величины.

ЗАДАЧИ (прямолинейное движение)

1. Найти наибольшую скорость падения шара массы 10 кг и радиуса 8 см, принимая, что сопротивление воздуха равно , где скорость движения, площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению его движения, численный коэффициент, зависящий от формы тела и имеющий для шара значение .

2. Какова должна быть постоянная тяга винта при горизонтальном полете самолета, чтобы, пролетев метров, самолет увеличил свою скорость с м/с до м/с? Тяга винта направлена по скорости полета. Сила лобового сопротивления, направленная в сторону, противоположную скорости, пропорциональна квадрату скорости и равна (Н) при скорости 1 м/с. Масса самолета кг.

3. Определить движение тяжелого шарика вдоль воображаемой прямолинейного канала, проходящего через центр Земли, если принять, что силы притяжения внутри земного шара пропорциональна расстоянию движущейся точки от центра Земли и направлена к этому центру. Шарик опущен в канал с поверхности Земли без начальной скорости. Указать также скорость шарика при прохождении через центр Земли и время движения до этого центра. Радиус Земли равен м, ускорение силы притяжения на поверхности Земли .

4. Точка массы начинает двигаться без начальной скорости из положения прямолинейно (вдоль оси ) под действием силы притяжения к началу координат, изменяющейся по закону . Найти момент времени, когда точка окажется в положении . Определить скорость точки в этом положении.

5. Тело массы 1 кг движется под действием переменной силы Н. Через сколько секунд тело остановится, если начальная скорость тела 20 м/с и сила совпадает по направлению со скоростью тела? Какой путь пройдет тело до остановки?

6. Точка массы начинает двигаться из состояния покоя из положения прямолинейно под действием силы притяжения, пропорциональной расстоянию от начала координат: , и силы отталкивания, пропорциональной кубу расстояния: . При каком соотношении точка достигнет начала координат и остановится?

ЗАДАЧИ (криволинейное движение)

1. Тело веса , брошенное с начальной скоростью под углом к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Определить наибольшую высоту тела над уровнем начального положения, считая сопротивление пропорциональным первой степени скорости: . Найти закон движения точки. На каком расстоянии по горизонтали точка достигнет наивысшего положения.

2. Точка массы движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра О
, изменяющейся по закону , где радиус-вектор точки. В начальный момент точка находилась в и имела скорость , направленную параллельно оси . Определить траекторию точки.

3. Точка массы движется под действием силы тяжести по гладкой внутренней поверхности полого цилиндра радиуса . В начальный момент угол , а скорость точки равнялась нулю. Определить скорость точки и реакцию поверхности цилиндра при угле .

Тема 7. Теорема об изменении момента импульса материальной точки.

Вопросы: Понятия центра масс системы материальных точек, момента импульса материальной точки, момента импульса силы, внешние и внутренние силы, замкнутая механическая система, закон сохранения момента импульса системы.

Алгоритм решения:

1. изобразить на рисунке систему в текущем положении и приложенные к ней внешние силы;

2. выбрать систему координат (при движении точки по дуге окружности следует одну из осей направить через центр окружности перпендикулярно ее плоскости);

3. вычислить суммы моментов сил, приложенных к материальной точке, относительно осей координат;

4. изобразить вектор импульса точки, записать выражение его моментов относительно неподвижных осей координат и взять от них производные по времени;

5. записать теорему о движении центра масс в проекциях на декартовы оси координат;

6. в зависимости от условия решить прямую или обратную задачу динамики.

ЗАДАЧИ

1. Два математических маятника, подвешенных на нитях длин и ,
совершают колебания одинаковой амплитуды. Оба маятника одновременно начали двигаться в одном направлении из своих крайних отклоненных положений. Найти условие, которому должны удовлетворять длины и для того, чтобы маятники по истечении некоторого промежутка времени одновременно вернулись в положение равновесия. Определить наименьший промежуток времени Т.

2. Определить массу М
Солнца, имея следующие данные: радиус Земли м, средняя плотность 5,5 т/м3
, большая полуось земной орбиты а
= 1,491011
м, время обращения Земли вокруг Солнца Т
= 365,25 сут. Силу всемирного тяготения между двумя массами, равными 1кг, на расстоянии 1м считаем равной Н, где m
— масса Земли; из законов Кеплера следует, что сила притяжения Земли Солнцем равна , где г — расстояние Земли от Солнца.

3. Определить движение точки, масса которой 1 кг, под действием центральной силы притяжения, обратно пропорциональной кубу расстояния точки от центра притяжения, при следующих данных: на расстоянии 1 м сила равна 1 Н. В начальный момент расстояние точки от центра притяжения равно 2 м, скорость = 0,5 м/с и составляет угол 45° с направлением прямой, проведенной из центра к точке.

4. Частица М
массы 1 кг притягивается к неподвижному центру О
силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния. Эта сила равна 8 Н на расстоянии 1 м. В начальный момент частица находится на расстоянии ОМ0
=
2м и имеет скорость, перпендикулярную к ОМ0

и равную 0,5 м/с. Определить траекторию частицы.

Тема 8. Закон сохранения полной механической энергии. Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек.

Вопросы: Работа силы, кинетическая и потенциальная энергия системы материальных точек, эквипотенциальная поверхность, консервативные и диссипативные силы, закон сохранения механической энергии, теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек.

Алгоритм решения:

1. изобразить на рисунке систему в текущем положении и приложенные к ней внешние силы;

2. вычислить сумму работ всех сил, приложенных к материальной точке, на ее перемещении;

3. вычислить кинетическую энергию материальной точки в ее начальном и коечном положениях;

4. применить теорему об изменении кинетической энергии материальной точки и определить искомую величину.

ЗАДАЧИ

1. Определить наименьшую работу, которую надо затратить для того, чтобы поднять на 5 м
тело массы 2 т, двигая его по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол в 300
. Коэффициент трения 0,5.

2. К концу упругой пружины подвешен груз массы М
. Для растяжения пружины на 1 м
надо приложить силу в с Н
. Составить выражение полной механической энергии груза на пружине. Движение отнести к оси x
, проведенной вертикально вниз из положения равновесия груза на пружине.

3. При ходьбе на лыжах на дистанцию в 20 км
по горизонтальному пути центр тяжести лыжника совершал гармонические колебания амплитудой 8 см
с периодом Т
= 4 с
, масса лыжника 80 кг
, коэффициент трения лыж о снег f
= 0,05. Определить работу лыжника на маршруте, если всю дистанцию он прошел за 1 час 30 минут, а также среднюю мощность лыжника. Считать, что работа торможения при опускании центра тяжести лыжника составляет 0,4 работы при подъеме центра тяжести на ту же высоту.

5. Груз массы 1 кг
подвешен на нити длины 0,5 м
в неподвижной точке О
. В начальный момент груз отклонен от вертикали на угол 600
, и ему сообщена скорость в вертикальной плоскости по перпендикуляру к нити вниз, равная 2,1 м/с
. Определить натяжение нити в нижнем положении и отсчитываемую по вертикали высоту, на которую груз поднимается над этим положением.

6. Путь, по которому движется вагонетка, скатываясь из точки А
, образует разомкнутую петлю радиуса r
, как показано на рисунке; Ð
ВОС
= Ð
ВО
D
= α
. Найти, с какой высоты h
должна скатываться вагонетка без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю петлю, а также то значение угла α
, при котором эта высота h
наименьшая. На участке DC
центр тяжести вагонетки совершает параболическое движение.

7. Тяжелая отливка массы т
прикреплена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси О
и отклонен от вертикали на угол φ0
. Из этого начального положения отливке сообщают начальную скорость .

Определить усилие в стержне как функцию угла отклонения стержня от вертикали, пренебрегая массой стержня. Длина стержня .

8. Груз М
веса Р
падает без начальной скорости с высоты Н
на плиту А
, лежащую на спиральной пружине В
. От действия упавшего груза М
пружина сжимается на величину h
. Не учитывая веса плиты А
и сопротивлений, вычислить время Т
сжатия пружины на величину h
и импульс S
упругой силы пружины за время Т
.

Общие указания к выполнению самостоятельных работ

Все студенты специальности «физика-информатика» выполняют в шестом семестре по три самостоятельные работы, каждая из которых состоит из пяти задач сборника [1]. Номера задач, входящих в самостоятельные работы № 1,2,3 выбираются из приводимых ниже таблиц 1,2,3.

Выбор задач для каждой контрольной работы производится по заданному преподавателем варианту студента. Искомый вариант контрольной работы находится в таблице на пересечении строки, номер которой соответствует числу десятков номера варианта, и столбца с номером, соответствующим числу единиц номера варианта. Так, например, вариант, номер которого 23, содержит в самостоятельной работе 1 задачи 4.27, 2.41, 8.30, 12.8, 12.9 (на пересечении второй строки и третьего столбца таблицы 1).

Следует обратить внимание на то, что задачи сборника И. В. Мещерского имеют, как правило, два номера: первый является ее порядковым номером в данном издании, а второй (помещенный в скобках) соответствует ее порядковому номеру в предыдущих изданиях. Во всех приводимых далее таблицах порядковые номера задач приводятся по изданиям задачника, вышедшего с 1970 по 1980 гг., в изданиях начиная с 1981 г., номера этих задач заключены в скобки.

Самостоятельные работы выполняется в отдельной тетради, на обложке которой указывается факультет, специальность, фамилия и инициалы студента, а также номер варианта.

При оформлении самостоятельных работ необходимо выполнять следующие правила:

1.
в тетради оставляются поля шириной 4-5 см для замечаний преподавателя;

2.
текст условия задачи полностью переписывается из задачника;

3.
все чертежи выполняются с помощью карандаша, линейки и циркуля; не допускается выполнение чертежей "от руки";

4.
чертежи должны сопровождать решение задачи, даже если они в задачнике не приводятся;

5.
на чертежах указываются все необходимые размеры и все векторы, упоминаемые в решении задачи; векторы могут изображаться цветными карандашами;