Федеральное агентство по образованию
Бийский технологический институт (филиал)
государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Алтайский государственный технический университет
имени И.И. Ползунова»
Р.Г. Гареева
линеаризация
нелинейных зависимостей
Методические рекомендации по выполнению
расчетного задания
по курсу «Основы автоматического управления»
Бийск
Издательство Алтайского государственного технического университета
им. И.И. Ползунова
2009
УДК 681.511:62-52
Г 20
| Рецензент: |
к.т.н., доцент кафедры ИУС БТИ АлтГТУ В.М. Александрович |
Гареева, Р.Г.
| Г 20 |
Линеаризация нелинейных зависимостей: методические рекомендации по выполнению расчетного задания по курсу «Основы автоматического управления» / Р.Г. Гареева; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2009. – 18 с. |
Методические рекомендации содержат изложение некоторых методов линеаризации уравнений нелинейных звеньев систем автоматического управления.
Рекомендации предназначены для студентов специальности 200106 «Информационно-измерительная техника и технологии» дневной и заочной форм обучения по курсу «Основы автоматического управления».
УДК 681.511:62-52
| Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры МСИА. Протокол № 55 от 13.03.2009 г. |
| © Гареева Р.Г., 2009 |
||
|
© БТИ АлтГТУ, 2009 |
ВВЕДЕНИЕ
Различные по физической природе объекты управления могут описываться однотипными математическими зависимостями. Эта особенность положена в основу метода математических аналогий, широко используемого в теории автоматического управления [1].
Построение любой системы управления начинается с изучения объекта управления и составления его математического описания, которое может быть получено экспериментальным, аналитическим или комбинированным путем.
В первом случае уравнения объекта получают путем постановки специальных экспериментов на объекте (метод активного эксперимента) либо статистической обработкой результатов длительной регистрации координат объекта в условиях его нормальной эксплуатации (метод пассивного эксперимента).
При аналитическом описании уравнения объекта получают на основании физико-химических закономерностей протекающих в нем процессов.
Комбинированный путь получения математического описания объектов подразумевает обычно составление уравнений аналитическим путем с последующим уточнением коэффициентов этих уравнений экспериментальным методом.
Уравнения объектов автоматического регулирования в зависимости от описываемого ими режима работы подразделяются на уравнения статики и динамики.
Уравнения статики описывают установившийся режим, при котором все координаты объекта остаются неизменными во времени, то есть объект находится в состоянии равновесия. Они представляют собой алгебраические или дифференциальные уравнения, содержащие производные по какому-либо параметру, кроме времени. Существенной особенностью уравнений статики является неизменность координат объекта во времени.
Уравнения динамики описывают неустановившийся или переходный режим в объекте. Выходная координата объекта при этом является функцией времени и в общем виде уравнение динамики будет дифференциальным уравнением, содержащим производные по времени.
Вид уравнений статики и динамики определяется характером самого объекта управления и числом независимых координат, однозначно определяющих состояние объекта в каждый момент времени – числом степеней свободы.
В зависимости от числа степеней свободы все объекты можно разделить на два класса:
- объекты с сосредоточенными параметрами, которые обладают конечным числом степеней свободы и описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями;
- объекты с распределенными параметрами, которые имеют бесконечное число степеней свободы и описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.
Коэффициенты этих дифференциальных уравнений характеризуют конструктивные особенности объекта, физические и химические свойства веществ, а также различные гидродинамические и тепловые константы. Обычно все эти показатели называют «параметрами» объекта.
Объекты, параметры которых неизменны во времени, называются стационарными и описываются уравнениями с постоянными коэффициентами. Свойства нестационарных объектов изменяются с течением времени, что отражается на соответствующих уравнениях, коэффициенты которых также становятся функциями времени.
Большинство технологических объектов регулирования являются нестационарными объектами, однако, скорость изменения их свойств намного меньше скорости процессов регулирования. Такие объекты можно приближенно рассматривать как стационарные в течение определенного промежутка времени.
Объекты управления называются линейными, если они подчиняются принципу суперпозиции, который заключается в том, что реакция объекта на сумму входных сигналов равна сумме реакций на каждый из сигналов в отдельности. Линейные объекты описываются линейными дифференциальными уравнениями, то есть уравнениями, в которых искомая функция и ее производные содержатся в первой степени.
Для линейного стационарного объекта с сосредоточенными параметрами уравнение состояния в общем случае может быть записано в виде:
где – входной сигнал;
– выходной сигнал;
– постоянные.
Применение линейных дифференциальных уравнений позволяет использовать мощные математические средства синтеза систем управления. Однако на практике строго линейных систем не существует, поскольку любая статическая или динамическая характеристика системы может быть линейна только на определенном участке (например, на определенном интервале частот) и, кроме того, стабильность этой характеристики может быть зависима от ряда факторов, изменяющихся во времени.
Характеристики элементарных нелинейных звеньев можно разделить на слабые нелинейности и существенные. К первой группе относятся нелинейные характеристики, которые при малом значении входного сигнала или при малом его отклонении от среднего значения могут быть заменены линейными. Наличие подобных нелинейностей в системах часто мало сказывается на их динамике. Подобные нелинейности могут быть подвергнуты процедуре, называемой линеаризацией. Если при линеаризации существенные черты явлений (как качественные, так и количественные) сохраняются, то линеаризация допустима и целесообразна.
К существенным нелинейностям относятся характеристики, которые в значительной степени влияют на динамику поведения системы. В существенно нелинейных системах могут наблюдаться явления, которые принципиально невозможны в линейных системах. Например, могут наблюдаться незатухающие колебания, которые обладают определенной устойчивостью, то есть при возмущениях они с течением времени восстанавливаются как по фазе, так и по амплитуде. Подобные явления не могут быть описаны линейными моделями, поэтому линеаризация в этом случае, как правило, недопустима (будут искажены как количественные, так и качественные черты явлений).
1 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ В ОКРЕСТНОСТИ
СТАЦИОНАРНОЙ ТОЧКИ
В том случае, если нелинейность объекта проявляется в статическом режиме и статические характеристики описываются аналитическими функциями, нелинейные характеристики объекта могут быть заменены приближенными линейными.
Одним из наиболее распространенных способов линеаризации является разложение нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки в линейном приближении [1, 2].
Рассмотрим объект, описываемый нелинейным дифференциальным уравнением вида:
, (1)
где – выходная величина;
– входное воздействие;
– нелинейная функция.
Уравнение (1) характеризуется наличием стационарного решения , соответствующего стационарному воздействию , при котором выполняется условие:
.
При отклонениях от стационарного режима уравнение объекта примет вид
, (2)
где – отклонения от установившихся значений.
В основе метода линеаризации в окрестности стационарной точки лежит предположение, что в исследуемой системе переменные изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются все время достаточно малыми.
Разложим функцию стоящую в правой части уравнения (2), в ряд по степеням указанных выше малых отклонений и ограничимся линейными слагаемыми:
. (3)
Если вычесть из уравнения (3) почленно уравнение (1) для стационарного режима, получим линеаризованное дифференциальное уравнение в приращениях
,
или
. (4)
Решение нелинейного уравнения (2), находят в виде
,
где – решение линейного уравнения (4), которое может быть получено, например, с использованием операторного метода Лапласа.
1.1 Практическая часть
Осуществить линеаризацию в окрестности стационарной точки нелинейного уравнения, описывающего изменение уровня жидкости в гидравлической емкости при наличии притока и стока жидкости [1]:
,
где – объемная скорость притока жидкости;
– высота слоя жидкости в емкости;
– площадь поперечного сечения емкости;
– коэффициент пропускной способности дросселя на стоке жидкости.
2 КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Метод кусочно-линейной линеаризации применим для нелинейных объектов, статические характеристики которых могут быть представлены в виде суммы отрезков линейных характеристик. Для каждого отрезка характеристики справедливо линейное дифференциальное уравнение [2]. Переход от одного участка к другому осуществляется «припасовыванием» отдельных решений. При этом решение для кон- ца одного участка является начальным условием для следующего и т.д.
В результате решение нелинейного дифференциального уравнения заменяется решение
В соответствии с определением данного метода, решение нелинейного уравнения включает в себя в общем случае следующие основные этапы:
1. Исходная нелинейная характеристика заменяется ломаной линией с конечным числом прямолинейных отрезков.
2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные параметры линейного уравнения.
3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.
Рассмотрим объект, описываемый нелинейным дифференциальным уравнением вида:
, (5)
где – выходная величина;
– входное воздействие;
– нелинейная функция, которую можно представить в виде суммы линейной и нелинейной частей.
Выберем для нелинейной функции два интервала линеаризации [ 0, y
1
], [ 0, y
2
] (рисунок 1), на которых нелинейная функция будет заменена совокупностью линейных функций по следующему правилу:
где – уравнение линейной характеристики;
ai
, bi
– коэффициенты линейного уравнения, подлежащие определению;
i
– номер интервала линеаризации.
f
2
– нелинейная функция; – линейные функции
Рисунок 1 – Кусочная линеаризация нелинейной функции
Для определения коэффициентов линейных уравнений рассмотрим каждый интервал отдельно.
Для 1-го интервала линейная функция примет вид
.
В точке получим , откуда и .
В точке получим , откуда .
Таким образом, решение нелинейного уравнения (5) на 1-ом интервале сводится к решению линейного уравнения следующего вида:
Для 2-го интервала линейная функция примет вид
.
В точке получим , откуда .
В точке получим
,
откуда .
По аналогии коэффициенты линейного уравнения для -го интервала определяются по следующим соотношениям:
, .
Решение нелинейного дифференциального уравнения (5) заменяется совокупностью решений трех линеаризованных дифференциальных уравнений на отдельных интервалах.
2.1 Практическая часть
Осуществить кусочно-линейную линеаризацию на 3-х интервалах нелинейного уравнения, описывающего изменение уровня жидкости в гидравлической емкости при наличии притока и стока жидкости [1]:
,
где – объемная скорость притока жидкости;
– высота слоя жидкости в емкости;
– площадь поперечного сечения емкости;
– коэффициент пропускной способности дросселя на стоке жидкости.
3 ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
Гармоническое представление сигналов может быть положено в основу приближенного метода исследования периодических режимов в нелинейных автоматических системах. Наличие в системе одного или нескольких нелинейных звеньев при определенных условиях приводит к появлению в системе предельных циклов, то есть собственных периодических колебаний системы при отсутствии внешних воздействий. Параметры этих колебаний (амплитуда и частота) могут быть приближенно определены путем гармонической линеаризации нелинейностей, которая основана на принципе гармонического балан-са [3].
Этот принцип вытекает из следующего положения – несмотря на то, что колебания нелинейных систем редко описываются простыми гармоническими функциями времени, они чаще всего периодичны или близки к периодическим колебаниям, которые могут быть представлены в виде ряда Фурье из синусных и косинусных гармоник. Во многих случаях существенной оказывается лишь амплитуда основной гармоники. Согласно принципу гармонического баланса исходное нелинейное уравнение можно заменить линейным, решение которого совпадает с первым приближением решения нелинейного уравнения. Этот способ называется методом эквивалентной линеаризации. Более точные приближения решения могут быть получены, если дополнительно к основной гармонике учесть и высшие так, чтобы исходное нелинейное уравнение удовлетворялось по всем частотам учтенных компонент [4]. За линеаризацию приходится платить тем, что коэффициенты получаемого линейного уравнения оказываются переменными, зависящими от параметров входного сигнала (амплитуды и частоты) или от вре-мени.
Рассмотрим некоторую автоматическую систему, в состав которой входит нелинейное звено, описываемое уравнением вида:
, (6)
где – выходная величина;
– входная величина, изменяющаяся по синусоидальному закону;
f
– нелинейная функция.
Выполним гармоническую линеаризацию уравнения (6), которое с учетом изменения входного сигнала по гармоническому закону примет вид
. (7)
Разложим функцию в ряд Фурье:
(8)
Введя новую переменную , определим коэффициенты разложения
,
,
,
Предположим, что периодические колебания имеют симметричный характер, то есть в разложении (8) отсутствует постоянная составляющая, а также пренебрежем в этом разложении в соответствии с приведенными выше соображениями второй, третьей и другими высшими гармониками. Тогда вместо равенства (8) приближенно получим:
Учитывая, что
и введя обозначения
, (9)
, (10)
получим приближенную запись сигнала на выходе нелинейного звена [3]:
(11)
Уравнение (11) представляет собой гармонически линеаризованное уравнение нелинейного звена автоматической системы. Другими словами, нелинейное уравнение (7) при гармонической линеаризации заменяется линейным уравнением (11), коэффициенты которого зависят от амплитуды входного сигнала .
К уравнению вида (11) могут быть отнесены, например, уравнения нелинейных звеньев, статические характеристики которых имеют петлю гистерезиса (рисунок 2). На рисунке 2 изображена характеристика нелинейного звена релейного типа с петлей гистерезиса. Наличие петли гистерезиса приводит к неоднозначной зависимости от , при этом значение зависит не от величины, а от знака производной Применительно к характеристике на рисунке 2 при рабочей является правая ветвь характеристики, а при – левая ветвь. Второе слагаемое в правой части уравнения (11) учитывает указанную зависимость от знака производной
Рисунок 2 – Нелинейное звено релейного типа
с петлей гистерезиса
Если статическая характеристика нелинейного звена является однозначной, то есть без петли гистерезиса (рисунок 3), то выходной сигнал звена не зависит ни от величины, ни от знака производной входного сигнала. В этом случае гармонически линеаризованное уравнение нелинейного звена примет вид
,
где определяется равенством (9). Коэффициент для таких нелинейностей равен нулю.
Рисунок 3 – Нелинейное звено релейного типа
с идеальной статической характеристикой
Если выходной сигнал нелинейного звена системы зависит не только от значения входного сигнала , но и от величины производной , то есть имеется нелинейность
,
то гармонически линеаризованное уравнение нелинейного звена примет вид [3]
,
где ,
.
В этом случае коэффициенты гармонической линеаризации оказываются зависящими от амплитуды и частоты синусоидального сигнала на входе нелинейного звена.
3.1 Практическая часть
Осуществить гармоническую линеаризацию нелинейного уравнения для звена:
1) релейного типа с петлей гистерезиса (см. рисунок 2);
2) релейного типа с идеальной статической характеристикой (см. рисунок 3).
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Софиева, Ю.Н. Основы линейной теории автоматического регулирования / Ю.Н. Софиева, В.Я. Бадеников, А.Э. Софиев. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1994. – 124 с.
2. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М: Наука, 1975. – 767 с.
3. Иванов, В.А. Математические основы теории автоматического регулирования / В.А. Иванов, Б.К. Чемоданов, В.С. Медведев. – М: Высшая школа, 1971. – 807 с.
4. Каннингхэм, В. Введение в теорию нелинейных систем / В. Каннингхэм. – М. – Л: Госэнергоиздат, 1962. – 456 с.
СОДЕРЖАНИЕ
| ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………… |
3 |
| 1 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ В ОКРЕСТНОСТИ СТАЦИОНАРНОЙ ТОЧКИ…...................................................................................... |
6 |
| 1.1 Практическая часть……………………………………… |
7 |
| 2 КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
НЕЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ……………………………. |
8 |
| 2.1 Практическая часть……………………………………… |
10 |
| 3 ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ……………………….. |
11 |
| 3.1 Практическая часть…………………..…………………. |
15 |
| СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………. |
16 |
Учебное издание
Гареева
Рената Гегелевна
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ
Методические рекомендации по выполнению
расчетного задания
по курсу «Основы автоматического управления»
Редактор Малыгина И.В.
Технический редактор Малыгина Ю.Н.
Подписано в печать 19.05.09. Формат 60´84 1/16
Усл. п. л. 1,05. Уч.-изд. л. 1,13
Печать – ризография, множительно-копировальный
аппарат «RISO TR -1510»
Тираж 60 экз. Заказ 2009-46
Издательство Алтайского государственного
технического университета
656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46
Оригинал-макет подготовлен ИИО БТИ АлтГТУ
Отпечатано в ИИО БТИ АлтГТУ
659305, г. Бийск, ул. Трофимова, 27
| |