Письмо подготовлено
членами федеральной предметной комиссии по геометрии к. п. н. Г.К. Безруковой, к. п. н. Н.Б. Мельниковой по материалам аналитического отчета по результатам проведения экзамена в 2008 г. для выпускников 9-х классов на основе обработки данных, полученных из базовых регионов.
Научный руководитель – Г.С. Ковалева, к. п. н., заместитель директора ФИПИ.
Письмо согласовано с председателем научно-методического совета ФИПИ по математике, к.физ-мат.н, профессором
Г.Г. Канторовичем.
Методическое письмо
Об использовании результатов государственной (итоговой) аттестации выпускников основной школы в новой форме в 2008 году в преподавании геометрии в общеобразовательных учреждениях
В 2008 году геометрия была впервые включена в список предметов, по которым проводится государственная итоговая аттестация выпускников основной школы в новой форме.
Содержание экзаменационной работы определялось на основе следующих документов:
- Обязательный минимум содержания основного общего образования по геометрии (приложение к Приказу Минобразования России «Об утверждении временных требований к обязательному минимуму содержания основного общего образования» от 19.05.1998г. №1236);
- Государственный стандарт основного общего образования по геометрии (приложение к Приказу Минобразования России от 05.03.2004 №1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального, общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).
Особенности экзаменационной работы определялись целью проведения экзамена: оценить образовательную подготовку выпускников IХ класса общеобразовательных учреждений с целью их государственной (итоговой) аттестации. Использование результатов экзамена было возможно и при приеме учащихся в профильные классы старшей школы.
Проверка достижения требований стандарта осуществлялась путем включения в содержание работы только тех вопросов, которые входят в обязательный минимум содержания основных образовательных программ, то есть на итоговую проверку не выносился материал предметных тем: «Геометрические преобразования» и «Построения с помощью циркуля и линейки». В меньшей степени осуществлялась прямая проверка овладения теоретической составляющей курса, что свойственно традиционному экзамену по геометрии по билетам. Основное внимание было уделено проверке овладения практическими умениями, формируемыми в процессе изучения геометрии.
Традиционно в билеты для проведения устного экзамена по геометрии включается задача повышенного уровня, а потому учащиеся, освоившие предмет лишь на базовом уровне, не могут выполнить практическое задание целиком. В требованиях к вариантам контрольных измерительных материалов для проведения итоговой аттестации в новой форме оговаривается обязательное наличие заданий каждого уровня сложности (базового, повышенного, высокого), доступных различным по уровню подготовки
группам учащихся. Поэтому заданий в предложенной в 2008 году экзаменационной работе было непривычно много – 15, на их выполнение отводилось 2,5 часа (150 минут).
Экзаменационная работа выявляет уровень сформированности у выпускников умений, выделяемых в Требованиях к уровню подготовки выпускников по геометрии:
– умение проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;
– умение пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира;
– использование приобретенных знаний и умений в практической деятельности для решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин.
С целью проверки овладения выпускниками основной школы данными умениями в работу включена практикоориентированная задача на доказательство, традиционная и для устного экзамена.
Специфика предмета «Геометрия» такова, что возможно проверить одно и то же предметное умение на материале разного содержания. Так, например, чтобы проверить умение «находить градусную меру углов, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними», можно предложить учащимся задачу на параллелограмм, в которой для решения используется свойство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей, а можно предложить задачу на использование свойства угла, вписанного в окружность.
В геометрии не представляется возможным однозначно определить и метод решения задачи. По этой причине распределение заданий в работе проводилось не столько по содержанию и проверяемым умениям, сколько по уровню сложности и видам деятельности.
Структура экзаменационной работы по геометрии была разработана только в 2008 году и сразу прошла апробацию на уровне регионов в реальной итоговой аттестации. Работа составлена из трех частей, различающихся по назначению, сложности и формам включенных в нее заданий. В первую часть работы было включено 8 заданий (5 заданий с выбором ответа, где к каждому заданию приводилось четыре варианта ответа, из которых верным был только один, и 3 задания с кратким ответом). Вторая часть содержала 5 заданий (4 задания с кратким ответом и 1 задание с развернутым ответом). Это были задачи на вычисления, множественный выбор и доказательство. Третья часть экзаменационной работы – это 2 вычислительные задачи, к которым необходимо было привести полное развернутое решение.
В экзаменационной работе были представлены задания базового, повышенного и высокого уровней сложности. Задания базового уровня были направлены на проверку достижения выпускником уровня обязательной подготовки по курсу планиметрии. Успешного выполнения этих заданий было достаточно для получения положительной отметки «3».
Задания повышенного уровня проверяли умение решать задачи на применение одного-двух теоретических фактов школьного курса геометрии в измененной ситуации. Также во вторую часть были включены две задачи (на множественный выбор и на доказательство), проверявшие степень овладения теоретическими знаниями и умениями курса. Результаты успешного выполнения заданий 1 и 2 частей позволяли выставить аттестационные отметки «4» и «5» и выявить тех выпускников, подготовка которых соответствует требованиям стандарта, но недостаточна для продолжения изучения геометрии углубленно на старшей ступени.
Задания высокого уровня сложности – это вычислительные задачи, требующие применения знаний сразу из двух-трех разделов курса планиметрии в измененной или новой ситуации и соответствующие уровню требований к задачам для классов с углубленным изучением предмета.
В контрольно-измерительные материалы 2008 г. были включены задания по всем основным содержательным разделам курса планиметрии:
· «Треугольники» (прямоугольный треугольник, признаки равенства треугольников, решение косоугольного треугольника, подобие треугольников, площадь треугольника);
· «Четырехугольники» (параллелограмм и его виды, трапеция);
· «Правильные многоугольники» (четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник, девятиугольник, двенадцатиугольник);
· «Окружность» (длина окружности, площадь круга, касательная к окружности и её свойства; вписанная и описанная окружности);
· «Векторы».
В приведенной ниже таблице 1 представлено распределение заданий по разделам курса геометрии в зависимости от уровня сложности.
Таблица 1
| №
|
Раздел
|
Вся работа
|
Часть 1
(базовый уровень)
|
Часть 2
(повышенный уровень)
|
Часть 3
(высокий уровень)
|
| Число заданий
|
|||||
| 1 |
Треугольники |
5 |
3 |
1 |
1 |
| 2 |
Четырехугольники |
5 |
3 |
2 |
0 |
| 3 |
Многоугольники |
1 |
0 |
1 |
0 |
| 4 |
Окружность |
3 |
2 |
0 |
1 |
| 5 |
Векторы |
1 |
1 |
0 |
0 |
При разработке содержания экзаменационной работы учитывалась необходимость проверки овладения различными видами деятельности. При этом задания подбирались с учетом распределения по видам деятельности, представленного в таблице 2.
Таблица 2
|
|
Виды деятельности
|
Кол-во заданий
|
% от максимального балла за всю работу
|
| 1 |
Знать и понимать |
3 |
20 |
| 2 |
Применять знания и умения в знакомой ситуации |
6 |
30 |
| 3 |
Применять знания и умения в измененной ситуации |
4 |
25 |
| 4 |
Применять знания и умения в новой ситуации |
2 |
25 |
Все задания первой и первые три задания второй части экзаменационной работы оценивались 1 первичным баллом. Последние два задания второй части оценивались в зависимости от полноты и правильности от 0 до 2-х баллов. Решения последнего задания второй части и обеих задач третьей части проверялись экспертами в соответствии с критериями оценивания с учетом правильности и полноты ответа. Максимальный балл за задание №14 составлял 2 балла, а за задание №15 – 3 балла.
На основе баллов, выставленных за выполнение всех заданий экзаменационной работы, осуществлялся перевод в отметки по пятибалльной шкале. В таблице 3 отражены соотношения между первичными баллами и отметками по пятибалльной системе, рекомендованные в 2008 году.
Таблица 3
| Школьная отметка |
2
|
3
|
4
|
5
|
| Первичный балл |
0 – 5 |
6 – 8 |
9 – 14 |
15 – 20 |
При разработке рекомендаций по интерпретации результатов экзамена была учтена и возможность использования его результатов при приеме учащихся в профильные классы старшей школы.
Для продолжения обучения в профильных классах старшей ступени обучения рекомендовано было считать достаточными получение 15 баллов.
При желании продолжить обучение в старшем звене в классе с углубленным изучением математики необходимо было набрать не менее 16 баллов за работу, не менее одного из которых должно было быть начислено за решение самого сложного задания работы – задачи 15.
Корректировка модели экзамена в 2009 году
При большом объеме работы государственной итоговой аттестации по геометрии и ограниченности времени на её выполнение у сильных учащихся, как правило, возникает проблема скорости решения геометрических задач, три из которых требуют записи развернутого решения. Поэтому при сохранении общего числа заданий в работе принято решение увеличить до 180 минут время, отводимое на её выполнение.
Также в 2009 году в экзаменационной работе будет изменено соотношение заданий с выбором ответа и с кратким ответом в первой части работы (2008 год – 5 заданий с выбором ответа, 3 задания с кратким ответом; 2009 год – по 4 задания каждого типа).
Основные результаты экзамена в 2008 году
В части 1
работы проверялись умения решать типичные задачи, применяя 1-2 геометрических факта и несложные вычисления. В частности, в ходе решения задач использовались:
- свойства углов при параллельных прямых и секущей;
- признаки равенства треугольников;
- определение и свойство средней линии треугольника;
- теорема Пифагора;
- определение синуса угла прямоугольного треугольника (решение прямоугольных треугольников).
- теорема косинусов (решение косоугольных треугольников);
- формула площади параллелограмма;
- определение трапеции;
- определение (или свойство) касательной к окружности;
- соотношение между величинами соответствующих центрального и вписанного углов.
При выполнении заданий этой части работы учащиеся показывают достаточно высокие результаты. По всем задачам базового уровня, проверявшим указанные выше элементы содержания (кроме задачи на теорему косинусов), получено более 80% верных ответов, и только задача на теорему косинусов оказалась для учащихся более трудной. Несмотря на то, что она была дана в самой простой постановке, часть учащихся с ней не справилась. Этот материал традиционно хуже усваивается. Но и по этой задаче в целом получен неплохой результат: с ней справились более 65% экзаменуемых (по имеющейся выборке).
Заметим, что объективно задачи базового уровня могут представлять для учащихся бόльшую или меньшую трудность в зависимости от проверяемых элементов содержания (от степени их усвоенности) и от числа шагов решения (т. е. от количества проверяемых элементов содержания). В первый экспериментальный год проведения государственной итоговой аттестации по геометрии почти все задания базового уровня были представлены достаточно простыми задачами с решением в два шага, один из которых был весьма тривиальным. Например, нужно было применить определение параллелограмма для выявления параллельных прямых и свойство углов при параллельных прямых и секущей для вычисления искомого угла. При составлении экзаменационных работ в последующие годы целесообразно несколько увеличить сложность задач базового уровня.
В части 2
работы проверялись умения решать несколько более трудные задачи, чем задачи базового уровня, как правило, требующие применения 1-2 геометрических фактов в измененной ситуации. В ходе решения этих задач проверялись умения применять следующие геометрические факты:
- определение биссектрисы угла;
- признаки параллельности прямых и свойства углов при параллельных прямых и секущей;
- признаки равенства треугольников;
- признаки подобия треугольников и пропорциональность сторон подобных треугольников;
- признак равнобедренного треугольника;
- теорема Пифагора;
- свойства равнобедренной трапеции;
- площадь трапеции;
- определение и свойства правильного многоугольника;
- скалярное произведение векторов.
Лучше всего учащиеся справились с задачей на подобие треугольников (с кратким ответом). Эту задачу можно было бы отнести к задачам базового уровня, если бы не тот факт, что она была дана в нетипичной для школьного курса постановке и предполагала работу с текстом, связанным с измерениями на местности. Интересно, что данные в этих задачах содержали десятичные дроби, причем в том случае, когда десятичных дробей в условии было больше, результаты выполнения задания были заметно ниже, что, видимо, связано с вычислительными ошибками.
Неплохие результаты (около 60% верных ответов) получены по задаче (с кратким ответом) на нахождение площади равнобедренной трапеции по известным диагонали и высоте. Ее решение состояло из двух шагов: применения теоремы Пифагора и формулы площади трапеции.
Для рационального решения задачи нужно было рассмотреть прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является диагональ данной трапеции, а одним из катетов – высота трапеции. Как правило, при решении таких задач основную трудность для учащихся составляет использование того факта, что в данной конфигурации отрезок, отсекаемый на большем основании высотой трапеции, равен ее средней линии или полусумме оснований. Если же указанный факт не применять, то решение становится значительно более длинным и трудным.
Решение остальных задач повышенного уровня вызвало определенные трудности у многих учащихся.
В задаче на доказательство (с развернутым ответом) требовалось доказать два утверждения. Верное доказательство каждого из них оценивалось одним баллом. Для решения задач нужно было использовать свойства параллелограмма, определение биссектрисы угла, свойства углов при параллельных прямых и секущей и признаки равенства треугольников. Различались задачи требованием: доказать параллельность прямых, либо доказать, что указанный в условии треугольник – равнобедренный. Более легкой, чем задача на применение признака параллельности прямых, для учащихся оказалась задача, в решении которой применялся признак равнобедренного треугольника. Однако и с более легкой задачей полностью справились (получили 2 балла) менее половины учащихся. Сами задачи были несложными, но в некоторых случаях доказательство второго утверждения было значительно проще первого. Учащиеся, привыкшие выполнять работу по порядку, не производя оценку уровня сложности предлагаемых заданий, запутались в доказательстве первого утверждения и даже не приступили к рассмотрению второго. А основные трудности, скорее всего, были связаны с тем, что ситуация, представленная в задаче, не является типичной и хорошо отрабатываемой в ходе изучения курса геометрии, а также с тем, что грамотно записать доказательные рассуждения многие учащиеся просто не умеют.
В задаче на векторы (с кратким ответом) требовалось найти скалярное произведение двух векторов с общим началом. Начало и концы векторов совпадали с вершинами ромба, заданного сторо
При решении задачи на правильные многоугольники (с множественным выбором ответов) необходимо было установить, какими из приведенных в условии пяти свойств обладает указанный правильный многоугольник. При этом некоторые из перечисленных утверждений достаточно очевидны, если сформированы хотя бы зрительные представления о рассматриваемом многоугольнике, а для определения истинности остальных необходимо дополнительно провести вычисления или доказательные рассуждения.
«Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
1) Каждый из углов правильного девятиугольника
— тупой.
2) Каждый из углов правильного девятиугольника
— острый.
3) Центр правильного девятиугольника – точка пересечения его диагоналей.
4) Радиус окружности, вписанной в правильный девятиугольник, меньше радиуса окружности, описанной около этого правильного девятиугольника.
5) Радиус окружности, описанной около правильного девятиугольника, больше его стороны»
Решение этих задач оценивалось 2 баллами, если указаны все 3 верных ответа и при этом не указаны неверные ответы; 1 баллом – если правильно указаны не менее 2 верных ответов и при этом указано не более одного неверного ответа; 0 баллов – во всех остальных случаях. В разных вариантах речь шла о разных многоугольниках. По этим задачам в разных вариантах смогли получить 1 балл примерно от половины до трех четвертей учащихся (они имеют представление о рассматриваемых правильных многоугольниках и их свойствах), Разница в результатах объясняется тем, что правильный четырехугольник лучше знаком учащимся, чем правильный девятиугольник. Однако полностью верно решили эти задачи, т. е. получили 2 балла, независимо от рассматриваемого многоугольника менее 5% учащихся. Конечно, учащимся нужно было решить пять несложных задач. Но такая форма задания для них непривычна, что и могло сказаться на результатах выполнения этого задания. Также могло сыграть роль и то обстоятельство, что традиционно в вариантах экзаменационных работ по математике для заданий с выбором и с кратким ответом верным может быть только один ответ. Вместе с тем столь низкие результаты связаны не столько с этими факторами, сколько с тем, что тема «Правильные многоугольники» зачастую излагается на уроках излишне формально, что не способствует формированию умений решать на этом материале задачи повышенного уровня, требующие некоторой гибкости мышления. То, что даже по поводу квадрата почти все ученики не смогли выбрать все верные ответы, говорит о том, что учащиеся не могут применить свои знания о правильных многоугольниках для ответа на достаточно простые, но нетипичные вопросы.
Каждая из задач части 3
допускает несколько способов решений, различающихся использованием различных методов, и, соответственно, различной системой ссылок, но в любом случае носит комплексный характер и требует выполнения дополнительных построений.
Первая задача (ее полное и верное решение оценивалась двумя баллами) была связана с вычислением площади треугольника, в котором сначала нужно было найти недостающий для использования формулы элемент.
Решение задачи требовало применения двух-трех известных учащимся из практики решения задач геометрических фактов в незнакомой ситуации, которая, скорее всего, не только не отрабатывалась на уроках геометрии, но даже не встречалась учащимся в задачах. Как показывают результаты решения этих задач, до 10% учащихся смогли справиться с решением геометрических задач такого уровня сложности, при этом безошибочно выполнили вычисления 4,5-7% учащихся. Это говорит о том, что даже не очень сложные задачи, в решении которых нужно применить несколько геометрических фактов и приемов в незнакомой ситуации, посильны только самым подготовленным и способным учащимся.
Вторая задача (ее полное и верное решение оценивалась тремя баллами) была ориентирована на проверку творческих возможностей выпускников основной школы. Ее решение требует поиска способа решения, состоящего из достаточно большого числа шагов, при этом необходимо проведение дополнительных построений и рассмотрение комбинации геометрических фигур.
Пример 1. «В треугольнике АВС проведены высоты АN и ВМ и отмечена точка К – середина стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что, а площадь треугольника МNК равна
4.
»
Пример 2. «Высоты треугольника пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что
Ð
ВАС=
45°, АВ=
12, СН=
6.
»
С задачей справились (получили 2 и 3 балла) около 3% учащихся, при этом привели достаточно полное обоснование около 2% учащихся. Это говорит о том, что даже для сильных учащихся задачи, требующие очень хорошей ориентации в свойствах геометрических фигур и большой самостоятельности мышления, представляют значительную трудность.
Рекомендации по совершенствованию методики преподавания геометрии с учетом результатов экзамена
Ниже даны рекомендации, целью которых является более эффективное формирование у школьников умений решать геометрические задачи.
Как было сказано выше, учащиеся в целом показывают хорошие результаты при выполнении заданий базового уровня
. Вместе с тем, следует отметить, что не все сдававшие экзамен смогли справиться даже с самыми простыми заданиями. Так, больше 10% учащихся не справились с задачами на трапецию (применение свойства углов при параллельных прямых и секущей), на параллелограмм (вычисление площади), на вписанные и центральные углы. Более 20% учащихся не справились с задачей на прямое применение теоремы косинусов. Причем, если с первыми из указанных задач неудачу потерпели только те учащиеся, которые получили «3» и «2», то с задачей на теорему косинусов не справились более 15% тех, кто получил оценку «4», т. е. более сильных учеников. Поэтому в ходе обучения геометрии необходимо обратить самое серьезное внимание на обеспечение усвоения всеми учащимися минимума содержания на базовом уровне.
Понятно, что этап формирования базовых умений у менее подготовленных школьников займет больше времени, чем потребуется более подготовленным учащимся для усвоения материала на базовом уровне. Поэтому в арсенале учителя должны быть средства и методы, позволяющие обеспечить дифференцированный подход к учащимся, организовать для слабых учащихся возможность более длительной отработки умений в ходе решения простых задач, а для более сильных – достаточно быстрый переход к решению задач повышенного уровня. Нужно заметить, что задач первичного закрепления, да и простых задач в учебниках и во многих дидактических материалах очень мало. Поэтому при выборе дидактических пособий (задачников, рабочих тетрадей, карточек и т.п.) следует обращать внимание на наличие, в том числе, и элементарных заданий на закрепление изученного материала. Целесообразно также увеличить и общее число рассматриваемых на уроке задач, эффективно используя прием устного решения задач по готовым чертежам.
К сожалению, в традициях устного экзамена по геометрии за курс основной школы существовала возможность получения удовлетворительной отметки лишь по результатам выполнения теоретической части билета при отсутствии или неправильном выполнении его практической части. В условиях прохождения итоговой аттестации в новой форме подобная практика исключена. А потому, учащиеся должны быть заранее осведомлены о том, что они не смогут быть положительно аттестованы, если не научатся самостоятельно решать задачи, в которых требуется применять небольшое число элементов содержания, овладение которыми показывает усвоение материала на базовом уровне. Желательно при изучении каждой темы ознакомить учащихся с требованиями к обязательному уровню подготовки. Например, указать, какие задачи (в учебнике, дидактическом пособии) они должны уметь решать для получения удовлетворительной оценки. Можно предложить учащимся список таких задач, например, в качестве заданий для самопроверки достижения обязательной подготовки по теме.
Заметим, что формирование умений решать задачи базового уровня – непременное условие для усвоения геометрии на любом уровне. Это обязательная часть учебного процесса, недооценивать которую нельзя. Только после этого этапа можно переходить формированию умений решать геометрические задачи повышенного и высокого уровней.
Анализ данных о выполнении заданий повышенного уровня сложности
показывает, что они вызывают трудности у значительного числа учащихся, причем, не только у слабых, но и у учащихся, продемонстрировавших при выполнении всей работы хороший уровень математической подготовкой. В числе причин неуспеха в решении таких задач можно выделить две основных.
Во-первых, для решения задач повышенного уровня нужно применить небольшое число геометрических фактов, но в такой ситуации, которую обычно называют измененной, т. е. в ситуации, не всегда отрабатываемой на уроках геометрии. Часть учащихся, даже усвоивших определенные элементы содержания, «не узнает» в представленной постановке задачи возможность применения этих элементов.
Во-вторых, при изучении некоторых разделов курса геометрии особенно проявляется слишком формальное усвоение материала учащимися. Результаты выполнения заданий повышенного уровня экзаменационной работы 2008 года выявили два таких раздела: «Векторы» и «Правильные многоугольники».
Таким образом, для того, чтобы быстро и успешно справляться с решением задач повышенного уровня, необходимо выполнение ряда условий. Одним из важнейших условий является уверенное владение свойствами ряда «опорных» геометрических конфигураций, которые часто используются в задачах. Другим, не менее важным, является умение проанализировать предлагаемую в задаче фигуру, распознать в ней опорную конфигурацию и установить связи между ее элементами: их взаимное расположение, метрические соотношения.
Формирование представлений об опорных конфигурациях должно происходить на протяжении всего процесса изучения курса геометрии. При этом целесообразно обращать внимание учащихся на такие конфигурации, решать задачи на доказательство свойств соответствующих фигур, а также задачи на применение доказанных свойств. Так, например, при изучении курса планиметрии, помимо свойств равнобедренного, правильного, прямоугольного треугольников, полезно рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник; прямоугольный треугольник, в котором проведена высота к гипотенузе; параллелограмм (трапеция или прямоугольник), в котором проведена биссектриса одного из углов и т.п.
По мере изучения материала знания учащихся о свойствах рассматриваемых фигур пополняются. Например, о равнобедренном треугольнике сначала известно, что две его стороны равны, углы при основании равны, медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают, медианы, проведенные к боковым сторонам, равны и т.д. Затем в связи с изучением теоремы Пифагора устанавливается связь между боковой стороной, основанием и высотой к основанию; в связи с изучением окружности – отмечается положение центров вписанной и описанной окружностей на высоте к основанию. При обсуждении плана решения задач полезно вспоминать набор всех известных на данный момент свойств равнобедренного треугольника с целью выбора тех из них, которые нужны для решения данной конкретной задачи.
Умения анализировать ситуацию, предлагаемую в конкретной задаче, формируются в ходе целенаправленных действий учителя, побуждающих учащихся вычленять в рассматриваемых конфигурациях «нужные» фигуры, то есть фигуры, вычисления в которых могут привести к искомому результату. Например, если в задаче говорится об окружности, то весьма вероятно будет использоваться равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, соединяющей их концы, или прямоугольный треугольник, возникающий при проведении радиуса через середину хорды или радиуса в точку касания окружности и касательной. Таким образом, в ходе изучения курса геометрии решение конкретной задачи – это не самоцель. Главной целью должно являться формирование умений анализировать предлагаемую конфигурацию, видеть в ней «детали» и связывать их с опорными конфигурациями и, соответственно, с их свойствами, позволяющими обосновывать шаги решения и проводить вычисления.
Полезно также рассмотреть наиболее важные методы решения задач и повторить те конфигурации, в которых возможно их применение. Например, решение прямоугольных треугольников, в том числе, теорема Пифагора, применяются в конфигурациях, где можно выделить прямоугольный треугольник, в частности в четырехугольниках при проведении высоты, в окружности при проведении касательной или радиуса, перпендикулярного хорде, в прямоугольнике, в ромбе при проведении двух диагоналей. Такое обобщающее рассмотрение применения свойств фигур и методов вычислений позволит более эффективно закрепить умения их применять.
Все действия, о которых говорилось выше, могут осуществляться только в процессе решения задач. Решение задач должно превалировать в обучении по сравнению с рассмотрением теоретических фактов. Особенно это относится к этапу контроля (текущего, тематического, рубежного). Гораздо важнее, чтобы учащиеся научились применять теоремы, чем воспроизводить их доказательства.
Если обратиться к указанным выше темам «Векторы» и «Правильные многоугольники», то здесь особенно важно больше уделять внимания решению задач, где изученные сведения применяются в различных вариациях. Например, свойства векторов больше рассматривать в геометрических фигурах: треугольниках, параллелограммах и т.п., причем, в одной и той же фигуре рассматривать эти свойства применительно к разным элементам данной фигуры. Например, в треугольнике АВС
рассмотреть сумму векторов (скалярное произведение векторов и др.), применительно к векторам и , и , и и т.д. Очень важно при изучении этой темы постоянно обращать внимание на связь между свойствами геометрических фигур и свойств векторов.
При изучении правильных многоугольников особую важность приобретает выделение в данном многоугольнике равнобедренных и прямоугольных треугольников, образованных при проведении радиусов описанной и вписанной окружностей, и вычисление углов этих треугольников. При решении задач необходимо подчеркивать, что из методов вычислений здесь наиболее часто применяются именно те методы, которые связаны с прямоугольными и равнобедренными треугольниками, а также формулы с величиной угла. Речь идет о решении прямоугольных и косоугольных треугольников, формулах площади треугольников. При обучении решению задач повышенного уровня сложности особое внимание следует уделить именно процессу поиска решений, а не показу готовых алгоритмов или стандартных процедур.
Задачи высокого уровня сложности
, как правило, в общеобразовательных классах на уроках решаются редко. Во-первых, самостоятельно найти путь решения для большинства учащихся – непосильная задача, а во-вторых, решение таких задач требует значительных временных затрат. Поэтому для наиболее сильных учащихся необходимо предусмотреть индивидуальные задания на дом или для работы в классе, которые выполняются по желанию ученика и поощряются оценками. Иногда сложные задачи можно рассматривать на уроке в качестве фронтальной работы с классом. В таком случае более сильные ученики должны быть заняты поиском решения, составлением плана решения задачи, а менее подготовленные учащиеся – выполнением и обоснованием отдельных шагов решения. При таком подходе пользу получат все ученики.
Большую роль в приобретении умений решать задачи, в которых применяются факты из разных разделов курса геометрии
, играет обобщающее повторение, на которое выделяется учебное время в конце учебного года. Материал следует повторять не в той последовательности, в какой он изучался, а «классифицированно», причем за основу классификации целесообразно принять вид фигуры (треугольники, четырехугольники, окружность и т.п.). При этом для каждого вида фигур рассматриваются все изученные в курсе способы вычислений (теорема Пифагора, теоремы синусов и косинусов, решение пропорций в подобных треугольниках, формулы площади и т.п.). В такую схему повторения естественным образом вписывается обобщающее рассмотрение свойств опорных конфигураций, о которых говорилось выше. Например, при повторении материала по теме «Параллелограмм», кроме свойств углов, сторон и диагоналей параллелограмма, рассматриваются несколько конфигураций и связанных с ними вычислений:
– Параллелограмм, в котором проведены диагонали
. Возможно рассмотрение равных треугольников, равновеликих треугольников, применение свойств углов при параллельных прямых и секущей, соотношения между квадратами диагоналей и сторон параллелограмма, метода удвоения медианы треугольника, формулы площади параллелограмма или треугольника с использованием синуса угла, вычисление стороны или диагонали по теореме косинусов или синусов.
– Параллелограмм, в котором проведена высота
. Возможно применение Теоремы Пифагора и определений тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, формулы площади параллелограмма или треугольника с использованием высоты.
– Параллелограмм, в котором проведена биссектриса угла
. Возможно рассмотрение равнобедренного треугольника, отсекаемого биссектрисой.
– Параллелограмм, в котором из двух вершин проведены отрезки, пересекающие противолежащие стороны
. Возможно рассмотрение подобных треугольников или треугольников, имеющих общую высоту.
Для организации повторения нужно использовать специально подобранные задачи – простые и комплексного характера, в ходе решения которых учащиеся могли бы рассмотреть разнообразные варианты постановок задач для каждой из конфигураций.
При решении задач необходимо обращать внимание на обоснованность шагов решения
. В экзаменационной работе для большинства задач не требуется приводить ни обоснований, ни вычислений и нужно только указать получившийся ответ. Однако для того, чтобы получить верный ответ, нужно правильно оценить ситуацию и применить определенные признаки и свойства фигур и способы вычислений. Этого не достигнуть, если в процессе обучения не требовать от учащихся обосновывать решения задач.
Для трех задач экзаменационной работы требуется записать решение. Для получения максимального числа баллов решение должно содержать все шаги, необходимые для получения ответа, все вычисления должны быть верными, и должны быть приведены обоснования основных моментов решения. В ходе обучения нужно обращать внимание учащихся на необходимость приведения корректных доказательных рассуждений, причем, не только в задачах на доказательство, но и при решении вычислительных задач.
Особо следует обратить внимание на то, что задания, входящие в контрольные измерительные материалы по контролируемым в них элементам содержания не выходят за рамки образовательного стандарта.
В этой связи, отметим, что успешное выполнение вариантов государственной итоговой аттестации всецело зависит от полноценного и глубокого изучения программного материала по действующим учебникам.
Таким образом, подготовка к государственной итоговой аттестации по геометрии в новой форме не должна подменять систематическое изучение школьных предметов, а, как и любая традиционная подготовка к экзамену, должна быть обеспечена качественным изучением нового материала, продуманным текущим повторением, и, наконец, обязательным обобщением, систематизацией знаний из различных разделов курса.
Методическую помощь учителю в подготовке учащихся к государственной итоговой аттестации в новой форме могут оказать следующие материалы, размещенные на сайте ФИПИ:
- документы, регламентирующие разработку контрольно-измерительных материалов для государственной итоговой аттестации по геометрии 2009 г. (кодификатор элементов содержания, спецификация и демонстрационный вариант экзаменационной работы);
- учебно-методические материалы для членов и председателей региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ выпускников 9-х классов 2009 г.;
- перечень учебных изданий, рекомендуемых ФИПИ для подготовки к экзамену.