Письмо подготовлено
членами предметной комиссии по математике,
к. п. н. Л.В. Кузнецовой, к. п. н. Л.О. Рословой, к. п. н. С.Б. Суворовой,
на основе обработки данных, полученных из базовых регионов;
утверждено директором ФИПИ А.Г. Ершовым.
Методическое письмо
Об использовании результатов новой формы государственной (итоговой) аттестации выпускников 9 класса 2009 года в преподавании алгебры в общеобразовательных учреждениях
Экзамен проводится с целью государственной (итоговой) аттестации по алгебре выпускников IX классов общеобразовательных учреждений на основе оценки уровня овладения обучающимися программным материалом. Экзаменационная работа рассчитана на выпускников школ, гимназий, лицеев, включая классы с углубленным изучением математики. Результаты экзамена могут быть использованы при комплектовании профильных десятых классов, а также при приеме в учреждения системы начального и среднего профессионального образования без организации дополнительных испытаний.
Содержание экзамена 2009 г. регламентировалось следующими документами:
- Обязательный минимум содержания основного общего образования по математике (приложение к Приказу Минобразования России от 19.05.1998 №1276 «Об утверждении временных требований к обязательному минимуму содержания основного общего образования»).
- Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Математика. Основное общее образование (Приказ Минобразования России от 05.03.2004 №1089 «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»).
В 2009 году экзамен проводился в 78 субъектах Российской Федерации. В экзамене приняли участие более 820 тыс. учащихся, что почти на 300 тыс. больше, чем 2008 г., и составляет примерно 77% от всех выпускников основной школы. Схема участия территорий РФ в экзамене по алгебре в новой форме различна: есть регионы, в которых экзамен в новой форме сдают все учащиеся; в то же время имеются территории, в которых экзамен в новой форме проводится в «опытном» порядке, и число учащихся, участвующих в новой форме аттестации, невелико.
Характеристика экзаменационной работы 2009 года
В 2009 году по сравнению с 2006-2008 годами в общих текстах экзаменационных работ содержательно-структурных изменений не было. В то же время в одной из территорий был повторно проведен локальный эксперимент по включению в экзамен заданий по вероятностно-статистической линии.
Структура работы 2009 г. отвечает цели построения системы дифференцированного обучения в современной школе, которая включает две задачи: формирование у всех учащихся базовой математической подготовки, составляющей функциональную основу общего образования; создание для части школьников условий, способствующих получению подготовки повышенного уровня, достаточной для активного использования математики в дальнейшем обучении, прежде всего, при изучении ее в старших классах на профильном уровне. В соответствии с этим работа состоит из двух частей.
Первая часть
направлена на проверку базовой подготовки школьников, отражающей уровень минимальной компетентности в арифметических и алгебраических вопросах. (В 2009 году в первой части общих вариантов содержалось 16 заданий, экспериментальных вариантов, включавших вопросы по статистике и вероятности – 18 заданий). При их выполнении запись решения не требуется. Учащиеся должны давать только ответы – выбрать правильный из четырех предложенных, или записать ответ, или соотнести некоторые объекты (графики и формулы, уравнения и их корни и пр.).
Задания в первой части располагаются группами в соответствии с разделами содержания, к которым они относятся. В 2009 г., как и в предыдущие годы, в работе были представлены следующие блоки содержания: числа
; буквенные выражения
; преобразования алгебраических выражений
; уравнения и системы уравнений
; неравенства
; последовательности и прогрессии
; функции
. Экспериментальные варианты включали также блок статистика и вероятность
.
Число заданий по каждому из содержательных блоков во всех работах одно и то же. Последовательность же предъявления этих блоков может варьироваться.
Каждое задание соотносится также с одной из четырех категорий познавательной области: знание
/понимание
; умение применить известный алгоритм
; умение применить знания для решения математической задачи
; применение знаний в практической ситуации
. Таким образом, проверке подлежит не только усвоение основных алгоритмов и правил, но и понимание смысла важнейших понятий и их свойств, владение различными эквивалентными представлениями (например, числа), умение решить несложную задачу, не сводящуюся к прямому применению алгоритма, способность применить знания и умения в заданиях с практическим контекстом, знакомым учащимся или близким их жизненному опыту. При выполнении заданий первой части учащиеся должны продемонстрировать определенную системность знаний, умение пользоваться разными математическими языками, распознавать стандартные задачи в разнообразных формулировках.
Значимость знаний базового уровня в общей структуре алгебраической подготовки школьников отражена и в подходах к оцениванию результатов выполнения работы: для получения положительной оценки необходимо выполнить не менее половины заданий первой части.
Вторая часть
направлена на дифференцированную проверку владения материалом на повышенном уровне. Эта часть содержит 5 заданий, выполняемых с записью решения. При их выполнении выпускники должны продемонстрировать уверенное владение формально-оперативным алгебраическим аппаратом, а также широким спектром приемов и способов рассуждений; умение решить комплексную задачу, включающую в себя знания из разных тем курса алгебры, выбирая правильный путь решения и контролируя себя; умение математически грамотно и ясно изложить ход решения, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;
Задания части 2, как и части 1, базируются на содержании алгебраических блоков Обязательного минимума содержания основных образовательных программ (раздел государственного стандарта основного общего образования). Все пять задач представляют разные разделы содержания. Каждое из них относится к одному из следующих семи разделов: выражения и их преобразования
; уравнения
; неравенства
; функции
; координаты и графики
; арифметическая и геометрическая прогрессии
; текстовые задачи
.
Задания расположены по нарастанию сложности, при этом фактически они представляют три разных уровня. Первое задание (в работе это номер 17), самое простое, направлено на проверку владения формально-оперативными навыками – преобразование выражения, решение уравнения, неравенства, системы, построение графика. По уровню сложности это задание лишь немногим превышает обязательный уровень. Следующие два задания (№ 18 и № 19) более высокого уровня, они сложнее и в техническом, и в логическом отношении, при их выполнении часто приходится интегрировать знания из различных разделов курса, как правило, они носят комплексный характер. При хорошем выполнении первой части, правильное решение этих заданий уже обеспечивает получение «пятерки». Последние два задания – наиболее сложные (№ 20 и № 21), они требуют свободного владения материалом и довольно высокого уровня математического развития. Рассчитаны эти задачи на учащихся, изучавших математику более основательно, чем в рамках пятичасового курса – это, например, углубленный курс математики, элективные курсы в ходе предпрофильной подготовки, математические кружки и пр. Хотя эти задания не выходят за рамки содержания, предусмотренного стандартом основной школы, при их выполнении учащиеся должны продемонстрировать владение довольно широким набором некоторых специальных приемов (выполнения преобразований, решения уравнений, систем уравнений), проявить некоторые элементарные умения исследовательского характера.
Результаты выполнения экзаменационных заданий[1]
Ниже приводятся результаты анализа выполнения экзаменационных заданий 2009 года и некоторые тенденции предыдущих лет, что позволит учитывать их в планировании и организации методической работы по совершенствованию преподавания алгебры в основной школе. Анализ проводится отдельно по блокам содержания, а также по заданиям базового и повышенных уровней.
Результаты выполнения заданий первой части работы
Содержательный блок
«Числа
»
Во всех вариантах экзаменационной работы этого и нескольких предыдущих лет два из трех заданий блока «Числа» относились к категории «практическое применение». Одно из них связано с пониманием записи больших и малых чисел в стандартном виде. В 2009 году задания в вариантах различались контекстом (формальный и с реальными данными), видом чисел (десятичная дробь и натуральное число), проверяемым умением (представить число в стандартном виде и выполнить обратную операцию).
Ниже приведены примеры заданий из двух вариантов.
Задание 1
. Найдите десятичную дробь, равную 1,65∙10–4
.
| 1) 0,0165
|
Задание 2
. Расстояние от Нептуна – одной из планет Солнечной системы – до Солнца равно 4450 млн. км. Как эта величина записывается в стандартном виде?
| 1) 4,450 ∙
|
Эти различия не повлияли на результаты, они оказались хорошими – в среднем по всем заданиям верный ответ дали 80% выпускников.
Вместе с тем необходимость выполнить какую-либо операцию с подобными числами, выражающими реальные величины, несколько снижает результат. Например, около 30% девятиклассников не сумели определить, во сколько раз площадь территории США больше площади территории Швейцарии в случае, когда эти величины были выражены числами, записанными в стандартном виде.
Вторая из практико-ориентированных задач, в соответствии с уже сложившейся традицией, – это «задача на проценты» с реальным сюжетом. В 2009 г. это была задача на нахождение процентного отношения величин, связанная с продолжением начатой в предыдущие годы линией выполнения вычислений с реальными данными, дающим приближенный ответ. Приводим пример одного из вариантов:
Задание 3
. Суточная норма потребления витамина С для взрослого человека составляет 60 мг. В 100 г лимонного сока в среднем содержится 29 мг витамина С. Сколько примерно процентов суточной нормы витамина С получил человек, выпивший
100 г
лимонного сока?
1) 48%
2) 0,48%
3) 210%
4) 2,1%
Результаты ее выполнения выше ожидаемых (83%), что, по всей видимости, является результатом соответствующих акцентов в преподавании, происходящих под влиянием экзамена.
Последняя серия заданий из раздела «Числа» уже стала традиционной для экзаменационных работ. Она связана с пониманием соответствия между числами и точками координатной прямой. Для решения соответствующих заданий необходимо «считать» нужную информацию с рисунка и, проанализировав четыре общих утверждения о числах, представленных в задании, выбрать среди них верное. Результаты показывают, что смысл задания учащимся понятен, но характер анализируемых выражений значительно влияет на результат. В первом из заданий нужно было применить знание правил знаков при сложении и умножении чисел с этим заданием справилось 88% выпускников. Во втором задании необходимо было упорядочить числа, обратные данным. И это вызвало значительные трудности у большой части учащихся (немного более половины школьников сумели сделать это без ошибок). Наиболее распространенная ошибка (до 40% по разным вариантам) связана с тем, что порядок в множестве чисел и 1 тот же, что и в множестве чисел a
, b
и 1. Это согласовывается с результатами предыдущих лет: учащиеся всегда затрудняются при работе с дробями и дробными выражениями.
Содержательный блок
«Выражения. Преобразование алгебраических выражений
»
Результаты показывают, что у учащихся недостаточно отработаны навыки подстановки в выражения чисел вместо переменных и выполнения соответствующих вычислений. В среднем 77% смогли правильно найти значение выражения вида при заданных значениях a
и b
(в качестве значений переменных были взяты десятичные дроби). В то же время до 40% учащихся (в отдельных регионах) не справились с этим заданием в тех случаях, когда в результате получалось отрицательное число или обыкновенная дробь. Еще хуже результат (64% верных ответов) при выполнении задания, в котором после элементарной подстановки числа в буквенное выражение (многочлен) нужно было сложить две дроби с разными знаменателями (и, возможно, с разными знаками). Таким образом, от 30% до 40% выпускников не владеют элементарным набором базовых вычислительных умений, необходимых для продолжения изучения курса алгебры и начал анализа в старшем звене. Это еще раз подтверждает выводы, сделанные выше (содержательный блок «Числа»), и указывает направление коррекционной работы в учебном процессе.
При выполнении заданий на выражение из формулы одной величины через другие учащиеся хорошо справились с формулой типа (89%). Но лишь небольшое усложнение «конструкции» формулы () стало причиной увеличения числа ошибок (от 20% до 30% выпускников не смогли определить, какие действия необходимо выполнить для нахождения значения t
). Это говорит об определенном формализме в знаниях и неустойчивости навыков преобразования равенств.
В заданиях на преобразование алгебраических выражений наиболее низкий результат (54%) школьники показали при выполнении преобразования произведения многочленов на основе тождеств , . Анализ ответов, выбираемых учащимися, показал, что учащиеся в целом правильно применяют первое тождество, но не знают, что выражения и равны (более трети выпускников 9 класса допустили соответствующую ошибку).
Традиционно низкий результат получен при выполнении заданий на преобразование дробных выражений. Более трети выпускников не смогли преобразовать в дробь выражение типа . Ежегодные результаты экзамена служат серьезным основанием для пересмотра всей методической системы изучения алгебраических дробей в основной школе. При этом необходимо учитывать, что реальный уровень, необходимый большинству школьников для изучения курса математики старших классов, вполне разумен и достигаем, и изучение этого вопроса должно строиться дифференцированно.
Неожиданно низкий результат получен по, безусловно, простому заданию на применение свойств действий со степенями с целым показателем (например, ). Обычно задания такого рода в экзаменационных работах дают значительно более высокий результат. Как показывает анализ ответов учащихся, допускались все предусмотренные в дистракторах ошибки. Наиболее распространенной явилась ошибка, при которой учащиеся, преобразовывая частное степеней типа , вычитали из 12 число 3, а не –3 (около 20% школьников). Достаточно массовыми были также ошибки, когда при делении степеней показатели не вычитали, а делили, и при возведении степени в степень вместо умножения показателей их складывали (примерно по 10% экзаменуемых). Можно предположить, что наличие такого рода очевидных ошибок объясняется неверной тактикой выполнения этого задания, вызванной его простотой: учащиеся выполняют задание устно, и многие при этом ошибаются.
Содержательные блоки
«Уравнения
», «Неравенства
»
Задания по данным двум разделам были направлены на проверку следующих знаний и умений: решать квадратные уравнения (в том числе неполные), понимать графическую интерпретацию системы двух уравнений с двумя переменными, вычислять координаты точки пересечения прямых, составлять уравнение по условию текстовой задачи, решать линейные и квадратные неравенства.
По целому ряду заданий этого блока результаты оказались ниже прошлых лет. Это же отмечалось и при анализе выполнения заданий других блоков. Очевидно, что такая ситуация объясняется более массовым участием регионов в проведении государственной (итоговой) аттестации в новой форме, а также увеличением объема анализируемой выборки.
Как и в предшествующие годы, решение неполного квадратного уравнения (вида ) вызывает у учащихся больше затруднений, чем применение формулы корней квадратного уравнения: в первом случае с решением справилось 64% девятиклассников, во втором – 75%.
Значительная разница наблюдается в выполнении заданий на понимание графической интерпретации решения системы двух уравнений с двумя переменными. Первое из двух заданий предполагало вычисление координат точки пересечения двух прямых, при этом условие было представлено в виде рисунка. Во втором для ответа на вопрос учащимся нужно было применить знание видов графиков некоторых основных функций и их расположения на координатной плоскости в зависимости от знаков коэффициентов, входящих в формулу. Приведем примеры заданий.
Задание 4
.
| Вычислите координаты точки А.
|
|
Задание 5
. Для каждой системы уравнений определите число ее решений (используйте графические соображения).
В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.
| A) |
|
1) |
Нет решений |
| Б) |
|
2) |
Одно решение |
| В) |
|
3) |
Два решения |
| Ответ: |
А |
Б |
В |
Оба задания были отнесены к разряду трудных, так как их решение демонстрирует определенную системность знаний. Однако результат выполнения первого выше ожидаемого (75%), что, безусловно, следует оценить положительно. Второе задание оказалось труднее, чем предполагалось (54%), что показывает резервы в работе над формированием обобщенных знаний.
Определенный прогресс наметился в результатах выполнения заданий на составление уравнения по условию текстовой задачи. В стандартной ситуации разобрались и сумели правильно выразить ее на алгебраическом языке 75% выпускников. Такой результат получен впервые.
В то же время простейшая задача «на дроби» вызвала затруднения у значительной части выпускников. Ниже приведен пример одного из вариантов.
Задание 6
. Прочитайте задачу: «В первый день школьник прочитал 29 страниц, во второй – 34 страницы, и вместе это составило 0,3 числа страниц в книге. Сколько страниц в книге?»
Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х
обозначено число страниц в книге?
| 1) |
|
3) |
|
| 2) |
|
4) |
|
Результаты ее выполнения значительно хуже (59%). Анализ ответов показал, что многие учащиеся (примерно 30%) выбирали четвертый ответ, т.е. ошибались и
По-прежнему у значительной части школьников вызывает трудности решение квадратных неравенств. Даже нахождение множества решений квадратного неравенства по готовому графику, когда достаточно просто «считать» ответ с рисунка, оказалось недоступным почти половине выпускников, и результат выполнения соответствующего задания существенно ниже ожидаемого (53%). Еще раз остановимся на причинах такой ситуации. Как показывает практика, часто учителя, вопреки принятому во всех учебниках для основной школы графическому подходу, используют метод интервалов, который стандартом отнесен к старшим классам и недоступен значительной части школьников на данном этапе. В результате ни тот, ни другой способы не усваиваются сколько-нибудь удовлетворительно. Метод интервалов разрушает в сознании учащихся еще недостаточно освоенный графический алгоритм. Кроме того, учащиеся не могут решить такие квадратные неравенства, как , , для которых метод интервалов не применим. Этот недостаток проявляется не только при выполнении заданий базового уровня, но и при решении задач второй части экзамена – повышенного и высокого уровней.
Содержательные блоки
«Функции
», «Последовательности
».
Две серии заданий блока «Функции» были связаны с графиком квадратичной функции. В одном из них необходимо было для графика функции выбрать из четырех формул ту, которая задает эту функцию. Для многих учащихся оказалось трудным решение этой задачи (66% верных ответов). Вместе с тем две из предложенных формул можно было легко отбросить по знаку коэффициента при х
2
и далее работать с двумя оставшимися. При этом достаточно было, например, подставить в каждую из этих формул координаты какой-либо одной точки, принадлежащей графику. Полученный результат еще раз подтверждает, что у многих учащихся не сформировано никакого из возможных алгоритмов распознавания графика, соответствующего заданной формуле. Это, безусловно, указывает, на некоторые проблемные места в математической подготовке школьников: умение распознавать, используя для этого определения, свойства, относится к общеинтеллектуальным умениям и должно формироваться и на уроках математики. Добиться этого вполне реально, о чем свидетельствуют результаты выполнения заданий второй серии: от 70% до 80% имеют общие представления о расположении в координатной плоскости графика квадратичной функции в зависимости от знака первого коэффициента и дискриминанта квадратного трехчлена.
Результаты выполнения задания на чтение графика функции также существенно различаются по территориям. Для некоторых территорий оно оказалось трудным (65%), а для других попало в категорию заданий средней трудности (75%), что и ожидалось.. Анализ выбора ответов показывает, что учащиеся путают абсциссу и ординату точки, неправильно трактуют такую запись, как , при нахождении наименьшего значения функции выбирают нижнюю точку графика на оси у
. Иными словами, вообще не обладают навыками восприятия готового графика как целостного объекта с характерными свойствами.
Чтение графика реальной зависимости было представлено двумя сериями заданий. Одно из них не содержало никакой вычислительной работы; суть его состояла в том, чтобы просто «прочитать» ответ на поставленный вопрос, правильно выбрав соответствующий график. Приведем пример одного из вариантов этого задания.
Задание 7
.
| Компания предлагает на выбор два разных тарифа для оплаты телефонных разговоров: тариф А и тариф В. Для каждого тарифа зависимость стоимости разговора от его продолжительности изображена графически. Сколько придется заплатить за 40 минут разговора, если используется тариф А
Ответ
|
|
Правильно ответили на вопрос 79% выпускников. Однако результаты его выполнения существенно различаются по территориям (69%-84%). Для некоторых территорий оно оказалось реально трудным, а для других попало в категорию «легких» заданий (именно так оценивали это задания разработчики КИМ).
Во второй серии заданий учащимся надо было, считав нужную информацию с графика движения, вычислить скорость движущегося объекта и выразить ее в требуемых единицах. Результаты здесь существенно ниже, чем при выполнении заданий предыдущей серии. Показательно, что они мало различаются по территориям, с ним везде справилось немногим более половины школьников. Можно с большой степенью уверенности предположить, что трудности связаны не с «чтением» графика, а именно с вычислительной работой, с проблемами в арифметических навыках, что отмечалось и при выполнении заданий других содержательных блоков. Но в целом полученный результат неплохой и говорит о положительных тенденциях в формировании умения применять математические умения в практических ситуациях.
Задания по разделу «Последовательности и прогрессии» были связаны с пониманием и применением формулы n
-го члена арифметической прогрессии. Приведем пример одного из вариантов.
Задание 8
. Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие
.
| 1) |
|
| 2) |
|
| 3) |
|
| 4) |
|
Результат выполнения этого задания хороший. Решение состояло в том, чтобы для каждой арифметической прогрессии определить ее член с заданным номером и сравнить его с нулем. С этим справилось 84% девятиклассников.
Задания другой группы, в которых требовалось определить разность арифметической прогрессии по формуле n
-го члена, оказались трудными для учащихся, в то время как, даже не владея соответствующим знанием, учащиеся могли легко найти разность прогрессии, выполнив ту же работу, что и для решения первой из описанных задач. Однако от 35% до 45% школьников не смогли сделать такой тривиальный шаг. Это говорит об определенном формализме в знаниях учащихся, о непонимании смысла самой формулы. К сожалению, учителя в силу разных причин практикуют узко прагматичный подход к отбору учебного материала данной темы, ограничиваясь лишь решением некоторых стандартных задач, т.е. формируя только специальные знания, а не общекультурные. В результате учащиеся не осознают некоторые сущностные аспекты содержания данного вопроса, безусловно, имеющие общеобразовательное значение.
Результаты выполнения заданий второй части работы
Задания второй части представляли следующие блоки содержания: выражения и их преобразования, уравнения и системы уравнений, неравенства, координаты и графики, арифметическая и геометрическая прогрессии
.
Отметим значительный разброс в результатах выполнения заданий по территориям. При этом процент верного выполнения практически никогда не превышает прогнозируемого разработчиками.
Первые задания второй части работы (задания под номером 17) были направлены на проверку алгоритмических навыков, связанных с выражениями и их преобразованиями. Первое проверяло владение умением выполнять числовые подстановки в выражения с переменными и проводить вычисления с арифметическими квадратными корнями. Вот пример одного из вариантов.
Задание 9
. Найдите значение выражения
при
а
=.
Результат выполнения этого задания соответствует планируемому уровню трудности, однако находится на его нижней границе, а в ряде территорий ниже ожидаемого, хотя задание и характер вычислений вполне стандартные. С ним справилось около 41% школьников.
Следующее задание проверяло умение решить уравнение третей степени на основе разложения многочлена на множители способом группировки и последующего применения равенства нулю произведения. Владение этим умением также важно для тех учащихся, которые изучают математику на уровне, требующем уверенного применения алгебраического аппарата к решению математических задач. Результаты его выполнения можно считать вполне удовлетворительными (53%).
В следующую по уровню трудности группу заданий входили задания на решение линейного неравенства, а также задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии. Предлагавшееся в работах линейное неравенство, например, , на первый взгляд также алгоритмическое, но имеет одно качественное отличие, делающее его не вполне стандартным. Учащийся должен увидеть необходимость определить знак выражения типа и сделать это; дальнейшее решение тривиально. Во всех территориях результаты уложились в ожидаемый диапазон трудности. Однако показательно, что процент не приступивших к выполнению этого задания наиболее высок среди заданий второй части работы; в ряде территорий он превзошел 50%. Очевидно, что учащиеся просто не знали, как приступить к его выполнению.
Из двух заданий на арифметическую и геометрическую прогрессии труднее оказалось первое, хотя, как правило, картина обычно бывает обратная (18% и 21%). Дело, по всей видимости, в том, что фабула первого задания носит содержательный характер, а второго – более формальный. И содержательное всегда оказывается для учащихся труднее, чем формальное, что указывает некоторое направление совершенствования преподавания.
Последние два задания экзаменационной работы относятся к категории высокого уровня, являются нестандартными для основной школы и встречаются чаще в курсах повышенного уровня. В 2009 г. это были задания следующего содержания: решение задачи в координатной плоскости (составление уравнения параболы по заданным координатам трех ее точек, составление по графику функции, состоящему из двух лучей, формулы, задающей эту функцию), исследование уравнения, содержащего буквенные коэффициенты, нахождение наименьшего значения выражения на основе исследования квадратного трехчлена.
Фактические знания, требуемые для их решения, не выходят за рамки обязательного минимума содержания, но, чтобы их решить, надо свободно владеть этими знаниями и уметь применить их в нужной ситуации. Результаты по этим задачам удовлетворительные, укладывающиеся в планируемый диапазон трудности (от 7 до 10%). Учащиеся, решившие их, несомненно, отличаются высоким уровнем математической подготовки и составляют потенциал профильных классов с углубленным изучением математики на старшей ступени школьного образования.
Результаты и перспективы включения в экзамен заданий
вероятностно-статистической линии
В 2003 г. было опубликовано письмо Минобразования России «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы» (от 23 сентября 2003 г. №03-93ин/13-03). В нем было рекомендовано начинать изучать этот материал в 5 и 7 классах (он включен в стандарт 2004 г., и в настоящее время есть во всех учебниках, имеющих гриф Министерства образования и науки РФ). В настоящее время сделаны первые шаги в решении вопроса включения заданий вероятностно-статистической линии в государственную (итоговую) аттестацию в IX классе. На данном этапе проверка усвоения материала этой линии осуществлялась только на базовом уровне.
Экзамен по алгебре в 9-х классах по новой форме с включением в работу заданий вероятностно-статистической линии проводился в Саратовской области в 2008 и в 2009 годах. Экзамен в режиме эксперимента в 2008 г. сдавали 199 учащихся из трех районов области, в 2009 году - 2131 учащийся из 13 районов. Остановимся на результатах этих двух лет.
В первую часть работы дополнительно были включены два задания. В 2008 г. они относились к разделам статистики и комбинаторики, в 2009 г. - статистики и теории вероятностей. Ниже приводятся по одному варианту каждого года.
2008 год
Задание 1
. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся
: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается средний рост этих учащихся (среднее арифметическое) от медианы
?
Ответ
: __________________
Задание 2
. Сколько всего трехзначных чисел можно записать, используя цифры
0, 3, 7, 9?
| 1) 18 |
2) 24 |
3) 48 |
4) 64 |
2009 год
Задание 3.
На 500 электрических лампочек в среднем приходится 3 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?
Ответ
: __________________
Задание 4.
Средний рост девочек класса, где учится Маша, равен 160 см. Рост Маши 163 см. Какое из следующих утверждений верно?
1) В классе все девочки, кроме Маши, имеют рост 160 см.
2) В классе обязательно есть девочка ростом 160 см.
3) В классе обязательно есть девочка ростом менее 160 см.
4) В классе обязательно есть девочка ростом 157 см.
За выполнение дополнительных заданий, как и за каждое задание первой части работы, начислялось 0,5 балла. Таким образом, за выполнение первой части учащиеся могли получить до 9 баллов[2]
. Несмотря на увеличение количества заданий, и, соответственно, общего балла, критерии оценивания и схема перевода общего балла в отметку сохранялись те же, что и в общем случае.
С заданием 1 справились 71 % учащихся (не приступили 17 %), с заданием 2 – 64 % учащихся (не приступили 3 %).
Типичные ошибки при выполнении задания 1 следующие:
1) учащиеся не упорядочивали ряд значений роста, и брали за медиану значение, стоящее в середине данного ряда − 17 чел. (две трети тех, кто выполнил это задание неверно);
2) допускали вычислительные ошибки при нахождении среднего арифметического − 8 чел. (треть тех, кто выполнил это задание неверно).
При выполнении задания 2 типичными ошибками были следующие:
1) учащиеся считали трёхзначные числа без повторения цифр − 48 чел. (73% выполнивших это задание неверно);
2) не учитывали того, что число не может начинаться с нуля − 12 чел. (18% выполнивших это задание неверно);
3) допускали вычислительные ошибки − 6 чел. (9% выполнивших неверно).
Наиболее распространенная из отмеченных ошибок, несомненно, является следствием той методики изучения этого вопроса, которой придерживаются многие школьные учителя, преподающие новый материал программы. Делая основной акцент на формулы комбинаторики (хотя они и не предусмотрены стандартом основной школы), они тем самым существенно уменьшают круг решаемых задач, ограничиваются рассмотрением так называемых вариантов «без повторения», что, по всей видимости, и проявилось в результатах выполнения данного задания.
Несмотря на то, что результат по заданию 2 (комбинаторика) ниже, чем по заданию 1 (статистика), предпочтение учащиеся отдавали задаче по комбинаторике, процент приступивших к ее решению значительно больше.
С заданием 3 справились 40 % учащихся (не приступили 23 %), с заданием 4 (2009) – 64 % учащихся (не приступили 7 %).
Типичные ошибки при выполнении задания 3 следующие:
1) учащиеся находили вероятность покупки неисправной лампочки, хотя в задании требовалось найти вероятность покупки исправной лампочки − 52% тех, кто выполнил это задание неверно;
2) находили отношение общего числа всех равновозможных исходов к благоприятствующим исходам (делили 500 на 3) − 25% тех, кто выполнил задание неверно;
3) допустили вычислительные ошибки при переводе обыкновенной дроби в десятичную − 12% тех, кто выполнил задание неверно.
Заметим, что одна из причин, по которой 29% учащихся не приступили к выполнению задания, возможно, кроется в отсутствии в настоящее время терминологического единства в действующих учебниках.
Кроме того, ошибки учащихся часто являются следствием неудачного планирования изучения данных тем, которого придерживаются многие учителя. Отдельные темы статистического раздела преподаются, начиная с 5 класса, а темы теории вероятностей оставляются для изучения в 9 классе, и поскольку времени для отработки нового материала крайне мало, усваиваются они недостаточно прочно и осознанно.
При выполнении задания 4 была выявлена следующая типичная ошибка: из 29% тех учащихся, кто выполнил задание неверно, более половины ответили, что в классе обязательно есть девочка ростом 160 см.
Заметим, что в 2009 г. задание из раздела статистики выполнено несколько хуже, чем то, которое было в 2008 г. Объяснить это можно тем, что задание этого года направлено на проверку понимания сущности понятия «среднее арифметическое», а прошлого – на знание определения, т.е.носит более формальный и алгоритмический характер.
Результаты проведенной работы показали принципиальную возможность включения заданий вероятностно-статистической линии курса математики основной школы в экзамен для проверки усвоения соответствующего материала на базовом уровне. В то же время увеличение первой части экзаменационной работы (до 18 заданий), по всей видимости, требует отведения на выполнение первой части работы 90 минут.
В заключение отметим, что в 2010 году соответствующие вопросы в итоговую аттестацию для всех девятиклассников
включаться не будут. Вместе с тем для рассмотрения предложена вторая демоверсия, содержащая задания рассматриваемого содержательного блока, и соответствующие варианты экзаменационных работ по решению региона могут быть в рамках эксперимента включены в государственную (итоговую) аттестацию 2010 года.
Заключение
Представленный выше анализ результатов содержит достаточное количество прямых и косвенных рекомендаций, позволяющих увидеть слабые места в подготовке учащихся и наметить пути совершенствования учебного процесса, как в целом, так и при работе со школьниками, имеющими разный уровень подготовки и разные потребности в математике.
Методическую помощь учителю могут оказать
следующие материалы, размещенные на сайте ФИПИ
:
- документы, регламентирующие разработку контрольных измерительных материалов для государственной (итоговой) аттестации 2010 г. по математике в основной школе (кодификатор элементов содержания, спецификация и демонстрационный вариант экзаменационной работы);
- учебно-методические материалы для членов и председателей региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ выпускников 9-х классов;
Кроме того, можно воспользоваться методическими пособиями, подготовленными коллективом разработчиков КИМ:
Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе /Л.В.Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. –М.: Просвещение, 2009.
Государственная итоговая аттестация (по новой форме): 9 класс. Тематические тренировочные задания. Алгебра / ФИПИ автор - составители: Л.В. Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др. – М.: Эксмо, 2008.
ГИА-2009. Экзамен в новой форме. Алгебра. 9 класс / ФИПИ авторы - составители: Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.– М.: Астрель, 2009.
Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра. 2009 / ФИПИ авторы-составители: Е.А. Бунимович, Т.В. Колесникова, Л.В. Кузнецова, Л.О. Рослова, С.Б. Суворова – М.: Интеллект-Центр, 2009.
ГИА-2010. Экзамен в новой форме. Алгебра. 9 класс / ФИПИ авторы- составители: Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.– М.: Астрель, 2009.
Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра. 2010 / ФИПИ авторы - составители: Е.А. Бунимович, Т.В. Колесникова, Л.В. Кузнецова, Л.О. Рослова, С.Б. Суворова – М.: Интеллект-Центр, 2009.
[1]
Анализ результатов проводился на основе обработки данных, полученных из базовых регионов РФ.
[2]
Оценивание проводилось по модели 1