Методическое письмо
«Об особенностях преподавания математики в общеобразовательных учреждениях в 2009 – 2010 учебном году»
Введение
В 2009-2010 учебном году изучение математики в общеобразовательных учреждениях края должно осуществляться на основе распоряжения Правительства Российской Федерации от 29 декабря 2001 г. №1756 о принятии Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года, главной целью, которой является достижение нового качества общеобразовательной подготовки школьников.
Министерством образования РФ издан приказ № 1089 от 05.03.2004 г. «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования». В разделе «Математика» определены цели изучения предмета, обязательный минимум содержания образовательных программ, требования к уровню подготовки выпускников по всем предметам образовательной области «Математика».
Обязательным нормативным документом для образовательных учреждений является краевой базисный учебный план, спроектированный на основе ФБУП с учетом требований обязательного минимума содержания образования и тенденций в развитии образования в России. Выполнение инвариантной части ОБУП является обязательной для общеобразовательных учреждений Забайкальского края.
Федеральным экспертным советом разработаны рекомендации по использованию действующих учебников в условиях введения федерального компонента государственных образовательных стандартов общего образования. Они опубликованы в педагогических изданиях, а также направлены в муниципальные органы управления образованием на компакт-диске для использования в общеобразовательных учреждениях. Выбор учебников и пособий на 2009/2010 учебный год необходимо осуществлять в соответствии с приказом Минобразования и науки РФ от 24 декабря 2008 г. №12955 (09 декабря 2008 года №379) «Об утверждении федеральных перечней учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в образовательном процессе в образовательных учреждениях, реализующих образовательные программы общего образования и имеющих государственную аккредитацию, на 2009/2010 учебный год». В этих учебниках предложен обязательный минимум содержания основного и среднего (полного) общего образования, требования федерального компонента государственного образовательного стандарта общего образования. При выборе учебников необходимо учитывать значительные изменения, содержащиеся в «Перечне» в сравнении с 2008 годом, а также тот факт, что многие УМК были переработаны в последние годы, поэтому к преподаванию допускаются только учебники изданные не позднее 2006 - 2007 г. и имеющие гриф Минобразования России.
1. Преемственность в преподавании математики в курсе начальной и основной школы в условиях вариативного образования.
Остроту проблемы выбора учителем математики учебно-методического комплекса (УМК) для работы в 5 – 6 (и далее в 7 – 9) классах определяет многообразие учебных программ в начальной школе. Совершенно очевидно, что содержательные линии, дидактические и методические особенности системы обучения, избранные начальной школой, должны получить методическое продолжение в основной школе. Столь же очевидно, что первым (в ряду других) и непременным условием такой преемственности является знание учителем математики сущности педагогической системы, реализуемой в 1 – 4 классах.
Предлагаем наиболее распространенные учебные программы начальной школы в Забайкальском крае и их особенности:
1. «Школа России»
УМК «Школа России» (научный руководитель к.п.н. Плешаков А.А.), авторы М.И. Моро, и др. допущен
Министерством образования Российской Федерации.
В этом УМК основу начального курса математики составляют представления о натуральном числе и нуле, о четырех арифметических действиях с целыми неотрицательными числами и важнейшими их свойствами, а также основанное на этих знаниях осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. В рамках курса предусмотрено формирование у детей первоначальных пространственных представлений, ознакомление учащихся с различными геометрическими фигурами и некоторыми их свойствами, с простейшими чертежными и измерительными приборами.
Ведущие принципы обучения математике, которые авторы считают основными – учет возрастных особенностей учащихся, органическое сочетание обучения и воспитания, усвоение знаний и развитие познавательных способностей детей, практическая направленность преподавания, требующая умения применять знания на практике, выработка необходимых для этого навыков.
Преемственность начальной и основной школы в обучении математике обеспечивается УМК для 5-6 классов:
1) Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 5, 6. Изд-во «Мнемозина».
2) Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова СБ. и др. Математика 5, 6. Изд-во «Просвещение».
3) Муравин Г.К., Муравина О.В. Математика 5, 6. Изд-во «Дрофа».
2. Система развивающего обучения Л. В. Занкова.
Учебно-методический комплект по математике для начальной школы (автор И.И. Аргинская) допущен
Министерством образования Российской Федерации.
Начальный курс математики решает следующие задачи:
─ способствовать продвижению ученика в общем развитии, становлению нравственных позиций личности ребенка, не вредить его здоровью;
─ дать представление о математике как науке, обобщающей существующие и происходящие в реальной жизни явления и способствующей тем самым познанию окружающего мира;
─ сформировать знания, умения и навыки, необходимые ученикам в жизни и для успешного обучения в основном звене школы.
Отличия данной программы от традиционной:
─ расширение и углубление теоретического материала, традиционно входящего в начальное образование;
─ включение в программу отдельных вопросов программы среднего звена;
─ появление по инициативе учеников или учителя в процессе обучения и решение по мере возможностей отдельных проблем.
Содержание программы неоднородно и относится к трем разным уровням, каждый из которых имеет свою специфику и требует различных методических подходов.
1 уровень – материал, подлежащий прочному усвоению в пределах сроков, отведенных на начальное обучение. Его содержание и объем отражены в программе в разделах «Знать» и «Уметь»
2 уровень – материал, расширяющий и углубляющий знания учащихся базового уровня и одновременно закладывающий основу для дальнейшего обучения. (Знакомство с буквенными выражениями, неравенствами и уравнениями; наблюдения за изменением результата арифметических действий при изменении одного или обоих компонентов этих действий и т.д.)
3 уровень – материал, направленный на расширение общего и математического кругозора учеников, выполняющий одновременно те же функции, что и материал 2 уровня. (Элементы истории математики, знакомство с другими способами записи натуральных чисел, с целыми и дробными числами, вопросы геометрического характера). Ориентировочный уровень овладения этим материалом отражен в программе в требованиях к математической подготовке учащихся в разделе «Иметь представление».
Преемственность начальной и основной школы в обучении математике обеспечивается УМК для 5-6 классов, автор А. Г. Ванцян (учебник не имеет грифа Минобразования России, при работе по данному УМК рекомендуется оформить экспериментальную площадку). При отсутствии возможности использования УМК под авторством А.Г. Ванцяна рекомендуются следующие УМК:
1) Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова СБ. и др. Математика 5, 6. Изд-во «Просвещение».
2) Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика 5, 6. Изд-во «Мнемозина»
3. Программа «Школа 2000…»
УМК по математике для начальной школы (автор Л. Г. Петерсон) допущен
Министерством образования Российской Федерации.
Особенности курса математики:
1) Ориентация на развитие духовного потенциала личности ребенка, его творческих способностей и интереса к предмету.
2) Связь с практикой, реальными проблемами окружающего мира.
3) Реализация преемственности между начальной и средней школой.
4) Формирование стиля мышления, необходимого для успешного использования ЭВМ.
5) Раннее введение геометрических понятий. (1 класс – квадрат, прямоугольник, круг, треугольник; 2 класс – объемные фигуры (куб, цилиндр, параллелепипед, пирамида, шар, конус) нахождение площади поверхности и объема параллелепипеда; 3-4 классы – исследование и «открытие» свойств геометрических фигур).
6) Увеличение объема изучаемого материала (Множество. Пересечение, объединение множеств. Высказывание. Верные и неверные высказывания. Проценты. Нахождение процента от числа и числа по его проценту. Круговые, столбчатые и линейные диаграммы).
Обучение осуществляется на основе деятельностного подхода. Отбор содержания и последовательность изучения основных математических понятий осуществляется на основе системного подхода, который позволяет установить порядок введения фундаментальных понятий.
Преемственность начальной и основной школы в обучении математике обеспечивается УМК для 5-6 классов, авторы Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова СБ. и др. Математика 5, 6. Изд-во «Просвещение».
4. Программа «Гармония»
УМК по математике для начальной школы (автор Н. Б. Истомина) допущен
Министерством образования Российской Федерации и функционирует в школьной практике с 1992 г.
Концепция курса математики: формирование приемов умственной деятельности, овладение которыми не только обеспечивает новый уровень усвоения, но и предполагает существенные сдвиги в умственном развитии.
Особенности программы по математике:
─ Новая логика построения курса, в русле которого возможно построить процесс обучения таким образом, чтобы каждая следующая тема была органически связана с предыдущей, и создать тем самым условия для повторения ранее изученных вопросов на более высоком интеллектуальном уровне.
─ Новые методические подходы к усвоению учащимися математических понятий, в основе которых лежит установление соответствия между предметными, вербальными, схематическими и символическими моделями.
─ Новый методический подход к обучению решению задач, который предполагает специально продуманную подготовительную работу с целью:
1. Формирования у учащихся навыков чтения текста задачи;
2. Усвоения детьми конкретного смысла операций сложения и вычитания;
3. Формирования способа соотнесения предметных, вербальных, схематических и символических моделей;
4. Формирования умения складывать и вычитать отрезки и интерпретировать с их помощью различные ситуации.
─ Методика формирования геометрических представлений, в основе которой лежит нацеленность на развитие пространственного мышления и установление соответствия между моделями геометрических тел, их изображением и разверткой.
─ Возможность использования калькулятора, как средства для организации познавательной деятельности учащихся, для постановки учебных задач, для проверки различных гипотез, для выявления закономерностей и зависимостей, для эффективного формирования вычислительных умений и навыков.
Преемственность начальной и основной школы в обучении математике обеспечивается УМК Н. Б. Истоминой для 5-6 классов, изд-во «Ассоциация XXI век».
5. Программа «Начальная школа
XXI
век»
Научный руководитель Н. Ф. Виноградова, УМК по математике для четырехлетней начальной школы (автор В. Н. Рудницкая) допущен
Министерством образования Российской Федерации.
Концептуальные и методические подходы основаны на принципе интеграции. Интеграция позволяет сформировать представление о целостности мира, о взаимосвязи всех его явлений и объектов. Эта позиция стала основой для разработки интегративных предметов:
─ математика, чтение и письмо – в период обучения грамоте;
─ чтение и письмо – второе полугодие 1 класса;
─ окружающий мир;
─ искусство и художественный труд.
В программе заложена основа для овладения школьниками определенным объемом математических знаний и умений в соответствии с пятью содержательными линиями:
1. Элементы арифметики.
2. Величины и их измерение.
3. Логико-математические понятия.
4. Элементы алгебры.
5. Геометрия.
Характерные особенности учебников математики:
1. Решение задач на 1 этапе сводится к простому пересчету предметов. На втором этапе внимание учащихся привлекается к числам, данным в задаче. Решение описывается словами: пять без двух – это три; три по два – это шесть; восемь на два – это четыре. При такой работе над задачей у детей накапливается опыт не только практического выполнения сложения и вычитания, но и умножения и деления.
2. Особенностью программы является также раннее ознакомление учащихся с общими способами выполнения арифметических действий. При этом приоритет отдается письменным вычислениям. Устные вычисления ограничены лишь простыми случаями сложения, вычитания, умножения и деления.
В целях усиления практической направленности предмета с 1 класса ученики знакомятся с калькулятором и их использованием при выполнении арифметических расчетов.
3. Изучение величин. Усвоение понятия площади фигуры организуется поэтапно (во втором классе). Сначала используется прием пересчета клеток, что естественным образом связано с изучением таблицы умножения, затем вводится единица площади и, наконец, формула вычисления площади прямоугольника.
В программе также предусмотрено изучение понятий точное значение величины, приближенное значение величины.
4. Введение алгебраической линии начинается с понятия переменная, что позволяет познакомить учащихся с выражением и его значением; с уравнением и его корнем; с неравенством и его решением. Способ решения уравнений, основанный на применении правил нахождения неизвестных компонентов действий, рассматривается в плане ознакомления, а уравнения решаются с помощью графов.
Преемственность начальной и основной школы в обучении математике обеспечивается УМК:
1) Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова СБ. и др. Математика 5, 6. Изд-во «Просвещение».
2) Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика 5, 6. Изд-во «Мнемозина»
2.
Основное общее образование
Согласно федерального базисного учебного плана для общеобразовательных учреждений РФ на изучение математики на ступени основного общего образования отводится не менее 875 часов из расчёта 5 часов в неделю с 5 по 9-е классы (предусматривается резерв свободного учебного времени в объёме 90 часов для реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических технологий).
| Количество часов в год |
||||||
| V |
VI |
VII |
VIII |
IX |
Всего |
|
| ФБУП и РБУП |
175 |
175 |
175 |
175 |
175 |
875 |
| Примерный учебный план |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
25 |
Математическое образование в основной школе складывается из следующих содержательных компонентов (точные названия блоков):
| Блок |
Количество часов для V – IX классов |
| Арифметика |
250 |
| Алгебра |
270 |
| Геометрия |
220 |
| Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей |
45 |
| Всего |
875 |
| Резерв |
90 |
В связи с завершением перехода на Госстандарт 2004 года учителю при составлении рабочей программы необходимо помнить, что из курса математики основной школы полностью исключена содержательная линия «Тригонометрия», которая отнесена в старшую школу. При этом надо иметь в виду, что в основной школе, в курсе планиметрии учащиеся изучают тригонометрические функции углов от 0° до 180°; градусную и радианную меры угла; метрические соотношения между элементами прямоугольного треугольника; метрические соотношения между элементами произвольного треугольника (теорему синусов и теорему косинусов).
В тоже время особое внимание должно быть уделено изучению тем и разделов, которые ранее не содержались в некоторых УМК, но в настоящий момент являются обязательными. Одно из важнейших содержательных отличий стандарта – включение новой содержательной линии – элементов статистики и теории вероятностей. В соответствии с письмом Министерства образования России «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы» (от 23 сентября 2003 г. №03-93ин/13-03) стохастическая линия строится как объединение трёх взаимосвязанных составляющих: элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики – и включается в обучение, как в основной, так и в старшей школе. В соответствии с этим одной из задач обучения математике в основной школе является также развитие у школьников вероятностной интуиции и статистического мышления.
Согласно материалам указанного письма изучение новой содержательной линии рекомендуется начинать в 5 или 7 классах. В 2009/2010 учебном году этот материал должен быть обязательно включен в программы по математике в 5-9 классах. Изучение стохастики в полном объеме должно осуществляться и в старших классах образовательных учреждений, характер и его объем зависит от статуса и выбора профильной программы изучения математики
Необходимо отметить, что в 2008 г. в одной из территорий был проведен эксперимент по включению в экзамен по итоговой аттестации в 9 классе по алгебре заданий по вероятностно-статистической линии. Проверка подготовки учащихся по вероятностно-статистической линии в 2009 г. была продолжена в режиме эксперимента. Участие регионов и школ в этой работе исключительно добровольное. С 2010 года этот материал будет входить в качестве обязательного экзаменационного материала за курс основной школы.
Для адаптации традиционного содержания к целям новой содержательной линии «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей» учителю рекомендуется использовать:
· разнообразные задачи, способствующие формированию комбинаторного мышления;
· задания на сбор, систематизацию, наглядное представление и анализ данных, представленных в обозримых выборках;
· диалоговое общение (беседы) педагогов с учащимися, во время которых фиксируется внимание на случайных явлениях в быту, в природе и технике; выделяются закономерности в случайных массовых явлениях и др.
В ходе изучения учебного материала учителю математики рекомендуется знакомить школьников с процессом построения модели, учить их анализировать, проверять адекватность построенной модели реальным ситуациям. Необходимо прививать школьникам критическое отношение к статистическим выводам и обобщениям, развивать умение понимать скрытый смысл того или иного сообщения, противостоять манипулированию сознанием человека со стороны СМИ, учить быть гибко мыслящим человеком, лишённым догматической веры в абсолютную истинность чужих выводов.
Приступая к обучению школьников элементам логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей, учитель должен ясно представлять, чем обусловлена необходимость введения в школу новой содержательной линии. Осознание учителем целей обучения стохастике в школе, видение их соотношений с общими целями обучения математике и места стохастики в ряду других тем, знание итоговых требований к стохастической подготовке учащихся составляет важнейший общезначимый компонент методической готовности учителя математики к реализации новой линии.
Систематическое применение вероятностно-статистических подходов для анализа, описания и исследования явлений окружающей действительности поможет ученику овладеть особой методологией с присущим ей использованием специфических стохастических умозаключений.
При реализации стохастической линии учителю необходимо обратить внимание на особенности учебников и УМК по математике
, которые им используются в образовательном процессе.
1) Учебник Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. «Математика 5». «Математика 6». Изд-во «Мнемозина», 2004-2008.
Учебник для 5 класса содержит достаточное количество прикладных и математических задач на составление комбинаций из нескольких элементов; числовых ребусов; задач на перебор элементов заданного множества, на выявление общего признака некоторого множества чисел, фигур. В учебнике 6 класса комбинаторных задач значительно меньше. Как в 5 классе, так и в 6 классе нет комбинаторно-лингвистических задач; задач на разрезание, разделение целого на определённые части; задач на составление «из частей» целого объекта с заданными свойствами. Для преподавания вероятностно-статистической линии в 5 – 6 классах по учебникам Н.Я. Виленкина и др. учителю рекомендуется использовать рекомендации М.В. Ткачевой «Анализ данных в учебниках Н.Я. Виленкина и других»
2) Учебник Н.Б.Истомина «Математика 5», «Математика 6». Изд-во «Ассоциация XXI век». Материал частично включен в учебное пособие, но большая часть его вынесена в комплект рабочих тетрадей «Учимся решать комбинаторные задачи» 5, 6 класс, являющийся продолжением соответствующего комплекта для 1 – 4 классов.
3) Учебник Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова СБ. и др. Математика 5, 6. Изд-во «Просвещение». Стохастическая линия традиционно является естественной составляющей учебно-методического комплекта.
4) Учебник Алимова Ш.А. и др. «Алгебра 7 – 9». Изд-во «Просвещение», 2007-2009. В учебниках уделено недостаточно внимания вопросам комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Для того, чтобы школьники, обучаясь по этим учебникам, приобрели вероятностно-статистическую грамотность, учителю рекомендуется использовать пособие для учащихся Алимова Ш.А. и др «Алгебра, 7-9: Элементы статистики и вероятность» - М.: Просвещение, 2007-2008.
5) Учебник Макарычев Ю.Н. и Миндюк Н.Г. «Алгебра 7 – 9». Изд-во «Мнемозина», 2007-2009. Для развития вероятностного мышления школьников, обучающихся по данным учебникам, авторы издали пособие «Элементы статистики и теории вероятностей» для учащихся 7-9 кл. - М.: Просвещение, 2007-2008, в котором учитель может найти рекомендации по методике изучения материала на уроках математики.
6) УМК по алгебре А.Г.Мордкович, изд-во «Мнемозина», 2007-2009 г. Содержит материал по вероятностно-статистической линии.
Учителю математики необходимо органично ввести в образовательный процесс новые приоритеты, целенаправленно обучая школьников умениям применять математические знания для решения реальных проблемных ситуаций, связанных с разнообразными аспектами окружающей жизни, не отказываясь от традиций и достоинств школьного математического образования.
Кроме того, новым является выделение в содержании образования элементов логики, что, с одной стороны, диктует необходимость усиления внимания в процессе обучения к логическому развитию учащихся, а с другой – регламентирует требования к системе логических понятий и логическому языку, которыми должны овладеть все учащиеся.
Введению профильного обучения, (приказ Министерства образования Российской Федерации от 18.07.2002 г. №2783 «Об утверждении Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования») в старших классах общеобразовательных учреждений края предшествует длительная подготовительная работа в 7-9 классах - предпрофильная подготовка учащихся. Она направлена на создание благоприятной ситуации для выбора учащимися будущего профиля своего обучения в 10-11 классах. Для этого в школе должна быть создана система курсов по выбору для учащихся 8-9 классов. Программу элективного курса могут создавать сами учителя. Но, программа курсов должна пройти рецензирование и быть утверждена на муниципальном, региональном или федеральном уровне.
В связи с введением профильного обучения в общеобразовательных учреждениях для объективной итоговой аттестации учащихся 9 классов проводится апробация новой формы итоговой аттестации выпускников основной школы по алгебре и геометрии. Новая форма экзамена рассчитана на выпускников IX классов общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев), включая классы с углубленным изучением математики. Результаты экзамена могут быть использованы при комплектовании профильных десятых классов, а также при приеме в учреждения системы начального и среднего профессионального образования без организации дополнительных испытаний.
При проведении ГИА по алгебре в 9 классах были отмечены типичные недочёты
ошибки выполнения работы учащимися.
1. Отсутствие в работах общих представлений о том, что нужно указывать и комментировать в ходе решения той или иной задачи, какие моменты решения действительно являются существенными;
2. Наличие излишних словесных комментариев к применяемым алгоритмам;
3. Отсутствие выделения каких-либо этапов решения;
4. Отсутствие работ, в которых используются слова, раскрывающие логику рассуждений, такие как «следовательно», «поэтому», «значит» и пр;
Основные ошибки
в работах:
1. Неверное употребление математической терминологии и символики в записи решения, например: вместо словосочетания «найдем корни квадратного трехчлена» употребление выражения «решим квадратный трехчлен»; вместо «решим неравенство» – «решим уравнение»; использование ошибочных выражений, например, «построим график прямой».
2. Неуместное употребление логических союзов «И» и «ИЛИ». Например, результат решения квадратного уравнения записывают так:или
. В то время как задача состоит в нахождении множества корней уравнения, в соответствии, с чем требуется перечислить все элементы этого множества (а не записывать дизъюнкцию высказываний). Это может быть сделано разными способами, например: , или 2 и 3.
3. Неверное использование совокупности (квадратная скобка) и системы (фигурная скобка). В экзаменационных работах значительное число школьников вместо символической записи, обозначающей совокупность двух систем, использовали запись, означающую систему двух совокупностей.
4. Отсутствие стремления учащимися найти рациональное решение поставленной задачи. Так, алгоритм решения квадратного неравенства должен основываться только на графическом представлении. Некоторые учащиеся его дополняют методом интервалов, который не предусмотрен стандартом по математике основной школы.
Обратим внимание на то, что важнейшим условием успешности выполнения заданий является осмысленность, осознанность действий ученика.
Показателен такой пример. В заданиях с выбором ответа была предложена задача: «Плата за коммунальные услуги составляет 800 рублей. Сколько придется платить за коммунальные услуги после их подорожания на 6%?
». Некоторые ученики выбрали ответ 48 р., то есть сумму, которая составляет 6% от 800 р. Выполнив первое действие, учащиеся забывают о втором, что объясняется отсутствием самоконтроля, непониманием того, что полученный ответ необходимо соотнести с условиями задачи.
При подготовке учащихся к выполнению второй части
экзаменационной работы необходимо помнить о ее дифференцированном
характере. Подбирая задания для тренировки, их следует соотносить с возможностями и потребностями каждого учащегося, а также с уровнем развития класса в целом. При этом не надо забывать, что отличную отметку можно получить, не выполняя двух последних заданий работы. Важно, чтобы и учащиеся были об этом информированы.
Задания второй части экзаменационной работы выполняются с записью решения. Записи должны быть математически грамотными, из них должен быть ясен ход рассуждений учащегося. Не следует требовать слишком подробных письменных комментариев и описания алгоритмов (например, построения графика, решения неравенства). Лаконичное решение (без пропуска важных шагов), не содержащее неверных утверждений, все выкладки, которого правильны, должно рассматриваться как решение без недочетов.
Необходимо учитывать, что возможны разные формы ответа. Можно употреблять любую принятую запись, главное, чтобы она была грамотной. Так, при решении неравенства ответ может быть дан как в виде числового промежутка, например, [–3; +∞)
, так и в виде простейшего неравенства х
≥ -3
. При записи области определения функции можно использовать теоретико-множественную символику, например, , или писать короче: и .
Многие задачи, предлагаемые на экзамене, допускают разные способы решения. Ученик вправе решать задачу любым из них. В ходе подготовки целесообразно показывать учащимся наиболее интересные и рациональные решения.
3. Среднее (полное) общее образование
На старшей ступени обучения математика, как и большинство учебных предметов федерального компонента, представлена на двух уровнях – базовом и профильном. Оба уровня стандарта имеют общеобразовательный характер, однако они ориентированы на приоритетное решение разных комплексов задач.
Профильное образование является важнейшим средством дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющим за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования с учетом реальных потребностей рынка труда.
Профильное образование направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса, расширяющего возможности выстраивания учеником индивидуальной образовательной траектории. Основные цели перехода к профильному образованию:
· обеспечение углубленного изучения отдельных предметов программы среднего (полного) общего образования;
· создание условий для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения индивидуальных образовательных программ;
· установление равного доступа к полноценному образованию различным категориям учащихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями;
· расширение возможности социализации учащихся, обеспечение преемственности между общим и профессиональным образованием, более эффективная подготовка выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.
Следует отметить, что математика являются обязательным предметом для изучения на базовом уровне для всех профилей, если выбранное направление не предусматривает ее изучение на профильном уровне.
Стандарт математического образования для третьей ступени школы предусматривает существенное различие уровней освоения математики.
| Количество часов в год |
||||
| Базовый уровень |
Профильный уровень |
|||
| X |
XI |
X |
XI |
|
| ФБУП и РБУП |
4 |
4 |
6 |
6 |
| Всего |
140 |
140 |
210 |
210 |
3.А. Старшая школа (базовый уровень)
Базовый уровень стандарта по математике ориентирован на формирование общей культуры. Он в основном связан с задачами общего образования (мировоззренческими, воспитательными и развивающими).
Базовый курс обеспечивает потребности учащихся в изучении других предметов и получении высшего образования в областях, где не предъявляются вы
развитию учащихся. В него включены вопросы статистики и теории вероятностей. По сравнению с действующим содержание образования разгружено за счет явного выделения вопросов, изучаемых в ознакомительном плане (вопросы, выделенные курсивом).
В базовом курсе выделяется ещё один уровень стандарта математического образования, условно названный базовым уровнем-2 (базовый уровень для профилей гуманитарной направленности), для тех учащихся, которые не предполагают сдавать вступительные экзамены по математике. Он представляет собой модификацию содержания базового курса на «общекультурном»
уровне.
Согласно Федеральному базисному учебному плану для образовательных учреждений Российской Федерации для изучения математики на этапе основного общего образования на базовом уровне отводится не менее 280 часов из расчета 4 часа в неделю. При этом предполагается построение курса в форме последовательности тематических блоков с чередованием материала по алгебре, анализу, дискретной математике, геометрии.
Примерная программа рассчитана на 280 учебных часов. При этом в ней предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 30 учебных часов для реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических технологий.
3.Б. Старшая школа (профильный уровень)
Профильный курс математики ориентирован на продолжение учащимися образования в высшей школе по специальностям, требующим достаточно высокой математической подготовки. Его содержание в целом расширено по сравнению с действующим обязательным минимумом. В частности, оно дополнено алгебраическим материалом, входящим в программу углубленного изучения математики в старших классах: делимость, многочлены, комплексные числа.
Согласно Федеральному базисному учебному плану для образовательных учреждений Российской Федерации для обязательного изучения математики на этапе основного общего образования отводится не менее 420 часов из расчета 6 часов в неделю. При этом учебное время может быть увеличено до 12 уроков в неделю за счет школьного компонента с учетом элективных курсов. Примерная программа рассчитана на 408 учебных часов. При этом в ней предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 50 учебных часов для реализации авторских подходов, использования разнообразных форм организации учебного процесса, внедрения современных методов обучения и педагогических технологий.
Увеличение времени на изучение математики – важный шаг в развитии преемственности школьного и вузовского образования. Во-первых, это усилит подготовку выпускников школы по математике, экзамен по которой является обязательным фактически во всех вузах. Во-вторых, математика считается предметом, в котором приоритетно формируются общеинтеллектуальные, общеучебные умения и навыки, роль которых как одной из важнейших составных частей учебных достижений школьников постоянно возрастает.
Математическое образование в старшей школе складывается из следующих содержательных линий (точные названия блоков):
| Блок |
Базовый |
Профильный уровень (Х-Х1 классы) |
|
| Базовый уровень (Х-Х1 классы) |
Базовый уровень для профилей гуманитарной направленности (Х-Х1 классы) |
||
| Алгебра (входят основы тригонометрии) |
40 |
30 |
- |
| Геометрия |
100 |
100 |
120 |
| Элементы логики, комбинаторики, статистики и теорий вероятностей |
20 |
25 |
20 |
| Функции |
30 |
35 |
30 |
| Начала математического анализа |
20 |
20 |
30 |
| Уравнения и неравенства |
40 |
40 |
70 |
| Числовые и буквенные выражения |
- |
- |
70 |
| Тригонометрия |
- |
- |
30 |
| Всего |
280 |
280 |
420 |
| Резерв |
30 |
30 |
50 |
Важно понимать, что профиль - это не углубленное изучение предмета, классы с углубленным изучением математики – это одно из направлений специализации. В примерных программах для профильных классов материал для углублённого изучения выделен курсивом и контролю не подлежит. В классах с углублённым изучением предусматривается изучение 1-2 предметов, а в профильных классах на повышенном уровне изучаются 2-5 предметов, остальные предметы - на базовом уровне + элективные курсы (курсы по выбору, обязательные для посещения). Углублённое изучение предмета (не менее 8ч.) в профильных классах можно организовать, если предмет (6 ч.) дополнить элективным курсом (2ч. из компонента образовательного учреждения).
Для формирования учебного плана конкретного профиля необходимо учитывать обязательное количество часов, выделяемое на изучение предмета «Математика»
| Профиль |
Число недельных учебных часов за два года обучения |
|
| 10 класс |
11 класс |
|
| Преподавание математики на профильном уровне |
||
| Физико - математический |
6 |
6 |
| Естественнонаучный профиль |
6 |
6 |
| Физико - химический |
6 |
6 |
| Химико - биологический |
6 |
6 |
| Биолого - географический |
6 |
6 |
| Социально - экономический |
6 |
6 |
| Информационно - технологический |
6 |
6 |
| Преподавания математики на базовом уровне |
||
| Социально - гуманитарный |
4 |
4 |
| Филологический |
4 |
4 |
| Художественно - эстетический |
4 |
4 |
| Оборонно - спортивный |
4 |
4 |
| Универсальный (непрофильное обучение) |
4 |
4 |
При организации изучения математики, выборе учебников и УМК в старшей школе рекомендуется руководствоваться следующими документами:
• Приказ МО РФ № 1089 от 05.03. 2004 г. «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»;
• Стандарт общего образования по математике; [Электронный ресурс]: Профильное обучение в старшей школе. Режим доступа: http://www.profile-edu.ru/;
• [Электронный ресурс]: Портал Министерства образования РФ. Режим доступа: http://www.ed.gov.ru/;
• Стандарт среднего (полного) общего образования по математике на базовом уровне; [Электронный ресурс]: Профильное обучение в старшей школе. Режим доступа: http://www.profile-edu.ru/ [Электронный ресурс]: Портал Министерства образования РФ. Режим доступа: http://www.ed.gov.ru/;
• Стандарт среднего (полного) общего образования по «Математике» на профильном уровне; [Электронный ресурс]: Профильное обучение в старшей школе. Режим доступа: http://www.profile-edu.ru/; [Электронный ресурс]: Портал Министерства образования РФ. Режим доступа: http://www.ed.gov.ru/;
• Примерная программа по математике [Электронный ресурс]: Портал Министерства образования РФ. Режим доступа: http://www.ed.gov.ru/;
• Требования к оснащению образовательного процесса в соответствии с содержательным наполнением стандартов по «Математике» [Электронный ресурс]: Портал Министерства образования и науки РФ. Режим доступа http://www.mon.gov.ru/;
• Элективные курсы при профильном обучении: Образовательная область «Математика»/ МО РФ - Национальный фонд подготовки кадров. - М.: Вита-Пресс, 2007.
Формат нового ФБУП предоставляет большие возможности для реализации вариативности образования. Эти возможности необходимо использовать для организации математического образования. Поскольку математика является системообразующим предметом, итоговая аттестация по которому в форме ЕГЭ обязательна для всех учащихся, необходимо ответственно подойти к распределению вариативной части РБУПа.
В 2009 году единый государственный экзамен был переведён в штатный режим. В связи с этим в нормативные документы, регламентирующие разработку содержания и проведение экзамена, были внесены определенные изменения.
Прежде всего, итоговая аттестация в 11 классах общеобразовательной школы в 2009 году проводилась по математике
, а не по курсу «Алгебра и начала анализа», как это было ранее.
Обязательный экзамен по математике сдавали выпускники, которые изучали математику в объеме пяти и более
часов в неделю, а также те выпускники, которые изучали математику в объеме четырех
часов в неделю. Причем все учащиеся сдавали ЕГЭ по математике по единым текстам вариантов КИМ. Для того чтобы предоставить выпускникам, изучавшим математику в разном объеме, возможность показать достигнутые ими результаты обучения, была проведена корректировка содержания заданий КИМ-2009.
По сравнению с 2008 годом структура вариантов КИМ не была изменена. Но в связи с изменением назначения единого государственного экзамена, было подвергнуто корректировке назначение и содержание частей работы.
Назначение единого государственного экзамена определяла специфику содержания экзаменационной работы. Аттестация выпускников школы по курсу математики и требования вступительных экзаменов в вузы обусловила необходимость включения в работу достаточно большого числа заданий по математике. Таким образом, обязательной проверке подлежал материал всех блоков, по которым распределено содержание школьного курса математики: «Выражения и преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции», «Числа и вычисления», «Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин».
В соответствии с принятой структурой и содержанием работы Часть 1 КИМ-2009 содержала 13 заданий (А1–А10, В1–В3), составленных на материале курсов алгебры 7-11 кл. и геометрии 7-11 кл.
Эти задания обеспечили достаточную полноту проверки овладения материалом этих курсов на базовом уровне. При их выполнении от учащегося требовалось применить свои знания в знакомой ситуации.
Результаты выполнения заданий Части 1 позволили оценить уровень базовой подготовки учащихся по курсу математики.
Часть 2 включала 10 заданий (В4–В11, С1, С2) повышенного (по сравнению с базовым) уровня, при решении которых от учащегося требовалось применить свои знания в измененной ситуации, используя при этом методы, известные ему из школьного курса. Содержание этих заданий отвечало как минимуму содержания основной и средней (полной) школы, так и содержанию, предлагаемому на вступительных экзаменах в вузы.
Часть 3 включала три задачи высокого уровня сложности (С3 и С5 – алгебраические, С4 – геометрическая), при решении которых учащимся надо было применить свои знания в новой для них ситуации.
Результаты выполнения заданий Частей 2 и 3 позволили осуществить последующую, более тонкую дифференциацию выпускников по уровню математической подготовки. Предполагается, что на этой основе вузы смогут осуществить объективный и обоснованный отбор наиболее подготовленных абитуриентов для зачисления в вузы.
За верное выполнение всех заданий работы можно было максимально получить 37 первичных баллов. На основании числа первичных баллов, полученных за выполнение всех заданий работы, определялось, прошел ли учащийся нижнюю границу, необходимую для получения удовлетворительной оценки при сдаче выпускного экзамена по курсу математики.
Таким образом, при сохранении в целом модели вариантов КИМ 2005-2008 гг. в содержание заданий КИМ 2009 были внесены следующие изменения:
– в Часть 1 включены несколько заданий базового уровня, позволяющих оценить умение учащихся применять полученные знания по алгебре и по геометрии в ситуации, близкой к реальной (задания А7, В3, Демонстрационный вариант 2009 г);
– упрощено несколько заданий базового уровня сложности в Части 1;
– с учетом уровня подготовки тех выпускников, которые изучали курс математики в объеме 4 ч в неделю, отобраны по тематике и основным видам математической деятельности задания повышенного уровня сложности в Части 2 (задания В4, В6);
– упрощено одно из трех заданий высокого уровня сложности, осуществляющих более тонкую дифференциацию выпускников, имеющих высокий уровень математической подготовки.
Учителю при организации подготовки учащихся к ЕГЭ рекомендуется обратить внимание на типичные ошибки, допускаемые учениками при выполнении заданий КИМ в логике их соотнесения к соответствующему содержательному блоку школьного курса математики.
Выражения и их преобразования.
Все варианты КИМ традиционно включают в себя задания на тождественные преобразования выражений, содержащих корни, степени с рациональными показателями, логарифмы, тригонометрические функции. В каждой из трех частей работы необходимо проводить различные по сложности преобразования выражений.
В заданиях Части 1 традиционно проверяется владение каким-либо одним из изученных свойств или правил действий. Заметим, что эти задания соответствуют базовому уровню и тем задачам, которые представлены во всех действующих учебниках по математике.
Естественно, что тождественные преобразования выражений различного вида являются составным элементом решения других заданий повышенного уровня Части 2 и высокого уровня Части 3.
Типичные ошибки
, которые допускают учащиеся при выполнении заданий этой содержательной линии:
1) Ошибки при выполнении арифметических действий (в течение ряда лет отмечается недостаточно прочное овладение учащимися вычислительными навыками, что проявляется при выполнении действий со степенями и нахождении значения различного вида выражений).
2) Ошибки применения понятия степени с рациональным показателем, незнание свойств степени и корня.
3) Ошибки применения понятия и свойств логарифмов.
4) Плохое усвоение базовых тригонометрических формул.
Уравнения и неравенства
Материал этого раздела традиционно представляется достаточно широко во всех частях вариантов КИМ. Это иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения, а также уравнения смешанного типа или комбинированные. Кроме того, в вариантах ЕГЭ предлагается ряд заданий на исследование функций, при выполнении которых требуется решить различные уравнения и неравенства.
Типичные ошибки
, которые допускают учащиеся при выполнении заданий этой содержательной линии:
1) При решении показательных уравнений и неравенств допускаются ошибки при выполнении тождественных преобразований степеней с различными основаниями; при вынесении общего множителя за скобку; в смене знака при переходе к линейному неравенству в случае, когда основание степени меньше 1; вычислительные ошибки.
2) При решении логарифмических уравнений и неравенств допускаются ошибки при выполнении тождественных преобразований с использованием свойств логарифма; в смене знака при переходе к линейному неравенству в случае, когда основание логарифма меньше 1; при отборе корней не учитывается область определения логарифмической функции; вычислительные ошибки.
3) При решении иррациональных уравнений большинство выпускников правильно находят корни уравнения, но не производят отбор корней; допускают ошибки при выборе метода решения.
Типичные ошибки
при решении заданий повышенного уровня
:
1) Основная ошибка связана с неумением школьников переформулировать задание с необычным условием. Учащиеся просто приравнивают оба выражения к нулю, решая тем самым совершенно другую задачу.
2) Серия ошибок базового уровня при решении иррациональных уравнений, которые проявляются в незнании формулы разложения квадратного трехчлена на множители, незнании свойств корня и области допустимых значений выражений, содержащих знак корня, неправильных вычислениях и т.д.
Функции
Задания на проверку функциональных представлений учащихся традиционно представлены задачами на: нахождение области определения и значений функций, четности (нечетности) функций; промежутков возрастания и убывания по графику; на определение точек максимума (минимума) и наибольших (наименьших) значений функций. Как и в прошлом году во 2 часть включены задания повышенного уровня сложности на проверку понимания и применения определения периодической функции, что позволяет проверить уровень математической компетентности ученика. Как и в прошлые годы предлагаются задания на использование связи между свойствами функции и ее производной, в которых необходимо перевести условие с «графического языка» на аналитический язык, чтобы составить математическую модель предложенной в задаче ситуации, что также позволяет оценить уровень математической компетентности ученика.
Типичные ошибки
, которые допускают учащиеся при выполнении заданий этой содержательной линии:
1) Незнание области определения, множества значений элементарных функций (дробно-рациональной, квадратичной, логарифмической и т.д.), их свойств и связанных с ними алгоритмов.
2) Ошибки при вычислении производной функции.
3) Ошибки при исследовании функции с помощью производной (В5
). При выполнении этих заданий проверяется, может ли ученик установить связь между характером монотонности функции и знаком производной или между сменой знака производной и наличием точки максимума (минимума), и, как следствие наибольшего (наименьшего) значения функции.
Типичные ошибки
при решении заданий повышенного уровня:
1) Первая ошибка связана с неумением школьников переформулировать задание с необычным условием.
2) Ошибки при решении неравенства с модулем.
3) Незнание понятия «наименьшее (наибольшее)» значение функции. Большинство учащихся допускают ошибку при записи ответа (путают точку максимума (минимума) с наименьшим (наибольшим) значением функции). Некоторые ограничиваются нахождением значений функции на концах отрезка и выбором наибольшего из полученных чисел.
4) И, наконец, серия ошибок базового уровня, которые проявляются в неправильном вычислении производной сложной функции, при выполнении тождественных преобразований.
Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин
При сдаче ЕГЭ геометрические задачи позволяют выявить наиболее подготовленных по математике учащихся. Вместе с тем традиционно низкие результаты решения геометрических задач говорят о неблагополучном положении с геометрической подготовкой школьников, что требует анализа причин таких результатов.
Это объясняется, прежде всего, тем, что все геометрические задачи в вариантах КИМ вычислительные, поэтому для их успешного решения должен быть отработан аппарат стандартных вычислений. В большинстве задач применяются теорема Пифагора, определения синуса, косинуса и тангенса острого угла, теорема косинусов (реже – синусов), требуется вычислить элементы подобных треугольников. Поэтому, несмотря на то, что задачи вычислительные, для их решения важно также твердое владение теоретическим материалом. Хотя от учащихся и не требуется записывать решение и приводить обоснования, но необходимо владеть свойствами заданных плоских и пространственных фигур, применять эти свойства в ходе вычислений, а также для распознавания и построения заданных конфигураций. Для успешного решения геометрических задач нужно уметь выделять стандартные конфигурации и применять их свойства, относящиеся к разным разделам курса геометрии.
В зависимости от способа решения конкретной задачи нужно уметь применить 1–2 факта из следующего перечня:
· признаки подобия треугольников и следующая из подобия пропорциональность соответствующих сторон;
· метрические соотношения в прямоугольном треугольнике;
· формулы площади треугольника;
· отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту;
· теорема Пифагора;
· определение синуса и косинуса, угла прямоугольного треугольника (решение прямоугольных треугольников).
В процессе решения геометрических задач повышенного уровня сложности «ключевым моментом» является использование определения или свойства фигуры в несколько измененной ситуации. Поэтому учащийся должен обладать достаточно гибким мышлением, позволяющим осуществлять перенос стандартных умений в измененную ситуацию. Решение каждой задачи предполагает комплексное выполнение, как правило, 1–2 основных шагов и применения 1-2 фактов, обеспечивающих нахождение искомых величин.
Для обеспечения успешного выполнения учащимися геометрических заданий повышенного уровня сложности, которые с 2009 года являются обязательными для решения, чрезвычайно важным является решение в процессе обучения геометрии следующих дидактических проблем:
· обеспечить усвоение учащимися базовых знаний, формирование у них умений применять эти знания в стандартной ситуации;
· сформировать системные знания о геометрических фигурах, которые изучаются в школьном курсе;
· обеспечить знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов;
· развивать гибкость мышления, способность анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.
Традиционно низкие результаты ЕГЭ свидетельствуют, прежде всего, о том, что в процессе обучения не уделяется должное внимание отработке базовых умений. В этой связи учителями высказывается, по-видимому, справедливое суждение о недостаточном количестве часов, отводимых в базисном учебном плане старшей школы на математику. Это, по их мнению, приводит к тому, что отдельным учащимся не хватает отводимого учебного времени на прочное усвоение изучаемых тем.
Вместе с тем наблюдения и анализ уроков позволяют выявить еще нереализованные возможности для совершенствования преподавания в рамках отведенного времени. Хотя в педагогической и методической литературе много говорят об индивидуализации обучения, об учете готовности ученика к восприятию материала, о дозировании заданий с учетом его потребностей и возможностей, но традиционно урок готовится в расчете на некоторого среднего школьника, что и приводит к столь невысоким результатам.
И, тем не менее, несмотря на все индивидуальные отличия учащихся, существует нечто общее в организации учебного процесса по математике.
Например, один из важных моментов - отбор содержания изучаемого материала. Как показывают наблюдения, учителя не всегда правильно выбирают материал, необходимый для полного, а главное, качественного изучения темы. В одних случаях перегружается теоретическая составляющая урока, в других – сообщаются только формулировки теорем и следствий из них и вовсе не рассматриваются их обоснования, а главное практическое применение.
И самое главное, не проводится работа по систематизации имеющихся и обобщению новых и ранее полученных знаний, не всегда расставляются акценты в значимости изучаемого материала для решения конкретных задач по теме.Следствием этого является низкий уровень сформированности у учащихся умения самостоятельно добывать знания и использовать имеющиеся знания в измененной ситуации.Учителя тратят очень много времени на то, чтобы выучить весь теоретический материал, разбивая его на небольшие блоки. В то время как больших результатов можно добиться, научив школьников на первом этапе пользоваться этими формулами, а при итоговом повторении обратить внимание на те, которые требуется запомнить. Таким образом, в настоящее время от учителя требуется не столько объяснение нового материала, обеспечивающее понимание каждым учеником того, что подлежит усвоению и как следует работать с этим материалом, но и организация работы, в большей степени самостоятельной, по научению учащихся использованию его в практической работе.В настоящее время достаточно популярно проведение такого закрепления изучаемого материала, как решение большого числа однотипных упражнений с целью «отработки навыка решения». С появлением ГИА и ЕГЭ появился и «новый» прием работы в выпускных классах в конце учебного года (иногда уже в феврале) – постоянное (в некоторых школах, еженедельное) выполнение работ, представляющих собой варианты ГИА и ЕГЭ. Большинство учителей считают, что полноценное знание достигается многократными однотипными тренировками Правда, они же вынуждены констатировать, что однотипные задачи сильным ученикам скучны и неинтересны. Давно известно, что однотипность упражнений при обучении математике приводит к механическому, бездумному решению известных задач. В то время как задача, имеющая всего лишь другую формулировку, становится новой и не поддается решению. Часты случаи, когда учащиеся решающие неплохо однотипные примеры и задачи по повторенной теме, а спустя некоторое время не могут решить точно такие же. Подводя итоги можно утверждать следующее:1. Механизм проведения итоговой аттестации в форме ГИА и ЕГЭ позволяет не только констатировать достижение значительной частью выпускников российских школ большинства требований стандарта, но и выявить серьезные пробелы в работе педагогов с той частью учащихся, которая не овладевает этими требованиями.2. Среди нереализованных педагогами возможностей повышения качества математического образования главным является совершенствование подготовки и проведения урока математики на основе более активного внедрения в практику работы школы принципов индивидуализации и дифференциации обучения; применения активных форм организации деятельности школьников; организации самостоятельной работы учащихся по усвоению изучаемого материала; внедрения проверенных и признанных на практике достижений в области педагогической психологии.3. Проведение итоговой аттестации в форме ГИА и ЕГЭ требует от педагогов изменения методики преподавания математики, а потому проблемы, возникающие в подготовке как слабых, так и сильных учащихся, есть следствие недостаточной реализации потенциала современного урока.
В заключении предлагаем учителю список литературы, который может помочь при организации работы с учениками не только с целью подготовки их к сдаче ГИА и ЕГЭ, но и для расширения и систематизации математических знаний.
1. ЕГЭ-2009. Математика: сборник экзаменационных заданий. Федеральный банк экзаменационных материалов./ ФИПИ авторы составители: Л.О. Денищева, А.Р. Рязановский, П.В. Семенов, И.Н. Сергеев – М.: Эксмо, 2009.
2. Единый государственный экзамен 2009. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ ФИПИ авторы составители: Ю.А. Глазков, Л.О. Денищева, Г.А. Краснянская, А.Р. Рязановский, П.В. Семенов – М.: Интеллект-Центр, 2009.
3. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ. 2009. Математика/ ФИПИ авторы составители: В.И. Ишина, Л.О. Денищева, Е.М. Бойченко– М.: Астрель, 2009.
4. Государственная итоговая аттестация (по новой форме): 9 класс. Тематические тренировочные задания. Алгебра/ ФИПИ автор составитель: В.Л. Кузнецова– М.: Эксмо, 2008.
5. Государственная итоговая аттестация (по новой форме): 9 класс. Тематические тренировочные задания. Геометрия / – М.: Эксмо, 2008.
6. ГИА-2009. Экзамен в новой форме. Геометрия. 9 класс/ ФИПИ авторы составители: Г.К. Безрукова, Н.Б. Мельникова, Н.В. Шевелева - М.: Астрель, 2009.
7. ГИА-2009. Экзамен в новой форме. Алгебра. 9 класс/ ФИПИ авторы составители: В.Л. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович - М.: Астрель, 2009.
8. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Геометрия. 2009/ ФИПИ авторы составители: Г.К. Безрукова, Н.Б. Мельникова, Н.В. Шевелева – М.: Интеллект-Центр, 2009.
9. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра. 2009/ ФИПИ авторы составители: Е.А. Бунимович, Т.В. Колесникова, В.Л. Кузнецова, Л.О. Рослова, С.Б. Суворова – М.: Интеллект-Центр, 2009.
10. Комплект методических материалов, обеспечивающих проведение государственной (итоговой) аттестации учащихся 9 классов общеобразовательных учреждений в новых формах. Сборник нормативно-правовых и инструктивно-методических материалов / Сост. Л.О. Рослова, Л.М. Рыбченкова. – М.: Просвещение, 2007.
11. Единый государственный экзамен 2007. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ авторы-составители: Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская, А.Р. Рязановский, П.В. Семенов – М.: Интеллект-Центр, 2007.
12. Единый государственный экзамен. Математика. Контрольные измерительные материалы 2007/ ФИПИ авторы-составители: В.И. Ишина, Е.М. Бойченко, Г.А. Захарова – М.: Вентана-Граф, 2007.
13. ЕГЭ-2007: Математика / ФИПИ авторы-составители: В.В. Кочагин, Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, А.Р. Рязановский, И.Н. Сергеев, Е.М. Бойченко, Г.А. Захарова, П.М. Камаев, Н.Б. Мельникова – М.: Астрель, 2007.
14. Сдаем единый государственный экзамен: Математика / ФИПИ авторы составители: Л.О. Денищева, И. Ишина, К.А. Краснянская, А.Р. Рязановский, В.В. Кочагин – М.: Дрофа, 2007.
15. ЕГЭ-2008. Федеральный банк экзаменационных материалов (открытый сегмент). Математика/ ФИПИ авторы составители: Л.О. Денищева, А.Р. Рязановский, П.В. Семенов, И.Н. Сергеев – М.: Эксмо, 2007.
Бригаденко Е.С., Ульзутуева С.А.-методисты учебно-методического кабинета математики факультета естественно-научного и математического образования ЗабКИПКРО